Introduction - index

§ 2. Le theoreme de Bezout 129
et on a done dimBj = dimSd — dimSd~s ~ dim 5^ + dim5d_s_t. On
conclut par un calcul facile en utilisant la formule :
valable pour n > — 2 (ce qui explique la condition d > s +1 — 2).
(Si Ton veut s'epargner le calcul on peut aussi noter que la formule
precedente ne depend plus que de s et t et calculer la dimension de Bd
dans le cas particulier F = X s , G = Y t . Dans ce cas, une base de Bd est
formee des images des X l Y :i T d ~' l ~ : ' avec 0 < i < s — 1, 0 < j < i — 1,
d — i — j > 0. Pour d > s + t — 2 la derniere condition est superflue, de
sorte que la dimension cherchee est bien st.)
CorollaireJ2.10. La multiplication par T induit un isomorphisme de
faisceaux B(—l] ~ B (et on a done aussi, pour tout entier d, un isomorphisme
B(d) ~ B).
Demonstration. Cela resulte de 2.8 et de III, 9.4 (la surjectivite pour n
grand suffit).
Remarque 2.11. On peut donner, a 1'aide de 2.8, une autre demonstration
de 2.5. Soit H G S un polynome homogene de degre > 0. On a alors
D+(H) n D+(T) = D(H>) et Z n D + (H) = Z n D(H^ et il s'agit de
prouver qu'on a un isomorphisme :
(par 1.6 ce dernier groupe est isomorphe a r(ZnD + (H}, Oz}}- Le lecteur
consciencieux montrera sans peine cet isomorphisme (qui s'obtient a partir
de 1'operation bemol) en s'inspirant de la demonstration de la proposition
2.13 ci-dessous.
En identifiant j*(Oz] et B le corollaire 2.10 devient :
Corollaire 2.12. La multiplication par T induit un isomorphisme de
faisceaux Oz(—l) — Oz et done aussi, pour tout entier d, un isomorphisme
Oz ~Oz(d).