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140 VII. Cohomologie des faisceaux
II s'agit maintenant de voir que les groupes de cohomologie que nous
venons de definir remplissent bien les fonctions que nous leur avons assignees
dans 1'introduction. Deja le H° est bien ce que Ton attend :
Proposition 2.3. On a H yo (U,f] = T(X,f}.
Demonstration. Le groupe H° est juste le noyau de la premiere differentielle.
II est done forme des Sj e F(Ui) tels que ds — 0, i.e. tels que
3^ — Sj sur Uij. Comme J-" est un faisceau les Si se recollent en une section
globaleser(*,.F) = :FpQ.
Remarques 2.4
1) La cohomologie de Cech est fonctorielle : si on a un homomorphisme
de faisceaux de groupes u : F —> Q on en deduit immediatement
un homomorphisme de complexes de C P (U,F} dans C P (U,G} et des homomorphismes
de groupes H p (u) : H Vp (U,f} -» H Vp (U,Q}.
2) On verifie aussitot sur la definition de la cohomologie de Cech
qu'elle commute aux sommes directes, i.e. qu'on a la formule :
3) Lorsque X est une variete algebrique sur le corps k et F un Oxmodule,
les groupes F(UiQ...ip} sont munis naturellement de structures
de fc-espaces vectoriels et il en est de meme des C P (U,F}. Comme les
differentielles sont A:-lineaires, tous les H Vp (U,F] sont done aussi des
fc-espaces vectoriels.
b. La nullite des H l en affine
Theoreme 2.5. Soient X une variete afnne, A — T(X] son anneau, M
un A-module, F = M le faisceau quasi-coherent associe et soit U = (Ui)
(i = 0,..., m) un recouvrement de X par des ouverts afRnes standard.
Alors on a, pour tout p > 0, H Vp (U, JF) = 0.
Demonstration. Nous allons traiter essentiellement un cas doublement
particulier : 1) on suppose p = 1, 2) on suppose A integre et M sans
torsion. Nous donnerons quelques indications pour le cas general qui n'est
pas conceptuellement plus difficile, mais un peu long a ecrire.
Rappelons que M sans torsion signifie que si a € A et x (E M avec
ax = 0 on a a = 0 ou x = 0.