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§ 1. Degre et genre d'une courbe projective, Riemann-Roch 1 161 Demonstration 1) C'est le theoreme de Bezout : ici un hyperplan n'est rien d'autre qu'une droite et le nombre de points d'intersection de C et D, comptes avec multiplicites, est egal a d. (*) 2) On utilise la suite exacte usuelle : qui donne Mais, comme C est une hypersurface de P 2 , on sait (cf. Ill, 10.a) que Jc est isomorphe a Opz(—d) et on a done , cqfd. Remarque 1.9. Cela permet de repondre, pour les courbes planes, aux questions de i) ci-dessus : on a des courbes lisses de tout degre d > 0 (cf. V, 2.7.3), leur genre arithmetique est impose par le degre. On notera que les genres possibles sont tres lacunaires : 0,1,3,6,10,15,... En particulier, il n'y a pas de courbe plane de genre arithmetique 2 ni 4. Exemple 1.10 : Les intersections completes dans P 3 Soit C = VP(F,G) C P 3 une intersection complete (cf. Ill, lO.b). On suppose F, G G k[X, Y, Z, T] homogenes de degres s et t et on suppose qu'on a IP(C) = (F,G] (on dit alors que C est schematiquement intersection complete : son ideal est engendre par deux generateurs, ce qui implique evidemment qu'elle est ensemblistement intersection des deux surfaces correspondantes, mais la reciproque est fausse, cf. 1.13). Pour calculer le genre g = h l Oc on utilise encore la suite exacte (*). On note, en deroulant la suite exacte de cohomologie associee a (*), qu'il est egal a h?Jc. Mais on a une resolution de Jc (cf. Ill, 10.1) : et on en deduit la suite exacte : en effet les H 2 des faisceaux (9pa(n) sont nuls et H^Jc aussi (considerer la suite (*)). On a alors la formule :
162 VIII. Genre arithmetique des courbes (avec la convention que le coefficient binomial f n j est mil si n < p) et on trouve g = i}St(s + t — 4) + 1. Pour le degre on peut calculer de la meme fagon mais il est plus simple de couper C par un plan H general (disons T = 0). On est ramene a chercher dans le plan H 1'intersection des deux courbes d'equations F(X, Y, Z, 0) et G(X, Y, Z, 0) de degres s et t. D'apres Bezout, il y a st points d'intersection, done C est de degre st. Remarques 1.11 1) II existe pour tous s, t des courbes intersections completes lisses (cf. Exercice VIII, 2). 2) On obtient ainsi pour s — 2 et t = 3 des courbes lisses de genre 4 (qui ne sont done pas isomorphes a des courbes planes, cf. i.3 ci-dessus), mais toujours pas de courbes de genre 2 (cf. Examen Janvier 1992). Example 1.12: La cubique gauche. On se reportera a 1'exercice II, 4 pour la definition et les resultats concernant cette courbe. On voit d'abord, en coupant par un plan quelconque, que le degre est bien egal a 3. Pour le genre on utilise la meme methode que ci-dessus, mais on a cette fois la resolution suivante pour Jc qui donne la suite exacte . Comme le H 3 est nul on a g = 0. (Pour le degre on peut aussi voir que x(C?c(l)) = 4, ce qui redonne d — 3.) Remarque 1.13. La cubique gauche n'est pas schematiquement intersection complete. En effet, sinon on aurait 3 = si, done, par exemple s = 1 et t = 3, mais alors le genre serait egal a 1 et non a 0. En revanche elle est ensemblistement intersection complete de deux surfaces de degres 2 et 3 : . x , . ^ i qui se passe c'est que C est double dans cette intersection (qui, comme schema, est de degre 6). Signalons, a ce propos, que la question de savoir si toute courbe de P 3 est ensemblistement intersection complete est encore ouverte actuellement.
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Geometric algebrique line introduct
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Daniel Perrin IUFM de Versailles Un
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Chapitre I Ensembles algebriques af
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Exercices 27 Remarque 6.14. Ce theo
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Chapitre II Ensembles algebriques p
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§2. Le faisceau structural d'un en
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5. Anneaux locaux § 5. Anneaux loc
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Ideal d'un ensemble algebrique affi
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Tangente 115 Transformation quadrat
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Physique Collection « Savoirs Actu
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