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Introduction - index

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224 X. Liaison des courbes gauches<br />

oil la matrice B de v dans les bases duales des bases canoniques est la<br />

matrice (r + 1) x r obtenue en bordant inferieurement la matrice M. par<br />

les lignes formees des A; et /^.<br />

2) L'ideal /r est egal a J.<br />

3) Le schema F est ime courfae ACM.<br />

Demonstration. II suffit de montrer le point 1) car alors J sera sature<br />

en vertu de 1.9 et F, qui n'est pas vide puisque X est distincte de C, sera<br />

une courbe ACM en vertu de 2.7. Determinons done 1'ideal transporteur<br />

J de le dans Ix- Soit a € J. Cela signifie qu'on a pour tout i = 1,..., r<br />

la relation a/t- £ (/,#), c'est-a-dire a/; = ct^f + ftig. Posons A = X^=i ^Ar e &<br />

et /^ = Z)L=i A^e/c- La relation precedente s'ecrit p(aej — a;A — 0ifj,) = 0.<br />

La suite exacte (*) montre alors qu'il existe un vecteur x l € E tel que<br />

aez = u(x z ) + Qj-A + /3t/u.<br />

Soit alors u' : E(s + t) © ^(t) © R(s) -» ^(5 + t) 1'homomorphisme<br />

defini par blocs par u' = (u, A,//) (le lecteur verifiera que les degres sont<br />

bien compatibles avec les decalages indiques). Le calcul precedent montre<br />

1'equivalence : a G J ^=^ Vz aet- G Imw', ce qui signifie exactement que a<br />

annule Cokeru'. Considerons alors 1'homomorphisme transpose v = ^u' :<br />

F y (-s-t] —» £ v (-s-t)©^(-t)©^(-5). On constate que les degres des<br />

modules sont bien les memes, de sorte que Ton est en position d'appliquer<br />

2.7 et 2.9. Parmi les r-mineurs de la matrice B de v apparaissent deja,<br />

lorsqu'on enleve 1'une des deux dernieres lignes, les polynomes / et g (au<br />

signe pres). Comme / et g n'ont pas de facteur commun, il en est de<br />

meme, a fortiori, des r-mineurs de B et il resulte alors du lemme 2.9 que<br />

J est 1'ideal engendre par les r-mineurs de B et, en vertu de 2.7, on a la<br />

resolution<br />

ou (p = (!,..., c^r-i), les ¥i etant les r-mineurs de B obtenus en enlevant<br />

une ligne de M..<br />

Corollaire 3.9. Avec Jes notations precedentes, la courbe C est algebriquement<br />

liee a T par X.<br />

Demonstration. On calcule la resolution du transporteur J' de 7p dans<br />

Ix par la methode du theoreme. La matrice A" a regarder est de taille<br />

(r + 2) x (r + 1) et, puisque / et g sont parmi les generateurs de /r, elle

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