Introduction - index

Memento d'algebre
Les connaissances contenues dans ce memento sont utilisees des les
premiers chapitres de ce livre. II est done essentiel de les acquerir rapidement.
En general on utilisera seulement les definitions et les resultats,
mais il peut etre interessant de chercher des demonstrations a titre d'exercice.
On a signale par le signe ^f ceux des resultats dont la demonstration
n'est pas evidente. Dans ce cas on pourra, si on le souhaite, se reporter
aux references.
1. Anneaux
On suppose connues les notions d'anneau (toujours suppose commutatif
et unitaire), d'anneau de polynomes, d'ideal, d'anneau quotient, de
corps, de module. On note (x) ou xA 1'ideal engendre par x dans A, i.e.
1'ensemble des elements de la forme xa pour a £ A.
1.1. Anneaux
a. Le theoreme d'isomorphisme
Soient / : A —> B un homomorphisme d'anneaux, / = Ker/. Soit J
un ideal de A contenu dans / et soit p : A —> A/J la projection canonique.
Alors :
1) il existe un unique homomorphisme / : A/J —> B tel que / = fp
(on dit que / se factorise par A/J),
2) /est injectif si et seulement si on a J = /,
3) / est surjectif si et seulement si / Test.
En particulier on a Im / ~ A/Ker /.