Introduction - index

§2. Ideal d'lin ensemble algebrique affine 13
b) L'operation / oublie les puissances : si n = 2 et / = (X 2 ), V(I) est
1'axe des y et on a I(V(I)) = (X] / /.
Cette question du rapport entre 7 et 7(V(/)) est fondamentale et sera
elucidee au paragraphe 4.
2.3. Quelques exemples
a)Ona/(0) = Jfe[Xi,...,Xn].
b) Pour 7(fc n ) on a la proposition suivante :
Proposition 2.4. On suppose k infini. Alors on a I(k n ) = 0.
(Autrement dit, si une fonction polynomiale est nulle partout le polynome
correspondant est nul.)
Attention, on notera que 1'assertion est fausse si k est fini : considerer
le polynome X q — X sur Fg.
Demonstration. On raisonne par recurrence sur n. C'est clair si n = I
car un polynome non nul n'a qu'un nombre fini de racines. Au cran n, si
P ^ 0 et si P n'est pas constant on a, par exemple,
avec r > 1 et ar ^ 0. II existe (#1,..., xn-\) e k n *, d'apres 1'hypothese
de recurrence, tel que ar(xi,... ,xn_i) / 0. Alors le polynome
P(XI, ... ,xn_i,Xn) a au plus r racines, done n'est pas nul pour tout
xn e k.
c) On a /({(ai,..., an)}) = (A"i - a1}..., Xn - an).
L'inclusion D est claire. Inversement, si on a P(ai,...,an) = 0 on
divise P successivement par les Xi — a; (cf. Memento 1.1.c) et on ecrit
ainsi :
avec c € k. Mais c n'est autre que P(fli,... ,an), qui est nul, done P
appartient a 1'ideal (X\ — ai,..., Xn — an).
d) Supposons k infini et calculons, dans k[X, Y], 1'ideal