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Problems II 253
en un ferme (cf. Probleme I pour la definition des produits).
a) Soit / : X — Y un morphisme. On suppose X complete et Y
separee. Montrer que 1'image f(X) est fermee et que c'est une variete
complete (cf. Probleme I, 4.e).
b) On suppose X et Y completes. Montrer que X x Y est complete.
c) On suppose X complete. Soit Y une sous-variete fermee de X.
Montrer que Y est complete.
d) Soit n > 1. Montrer que 1'espace affine A n (k] n'est pas une variete
complete (utiliser a.). On peut montrer plus generalement, en utilisant
la dimension, qu'une variete affine et complete est finie.
2. Completude de P n
On va montrer dans ce paragraphe que P n est une variete complete.
Soient Y une variete, p la projection p : P n x Y —> Y et Z un ferme de
P n x Y. II s'agit de voir que p(Z) est ferme dans Y.
a) Montrer qu'on peut se ramener au cas ou Y est affine d'anneau R.
b) Soit U{ = D + (Xi) x Y. Montrer que les Ui forment un recouvrement
ouvert affine de P n x Y et que T(Ui) = R[Xo/Xi,..., Xn/Xi] (cet anneau
sera note Ai).
c) Soit J 1'ideal homogene engendre dans S = R[XQ, ... ,Xn] par les
polynomes homogenes F tels que, pour tout i, on ait
Soit Sr (resp. Jr) la partie homogene de degre r de S (resp. J). Montrer
que pour tout i et tout / 6 I(Z n Ui) il existe des entiers &, r tels que
Ton ait F = Xff e Jr.
d) Soit y e Y — p(Z), y correspond a 1'ideal maximal m de R. Determiner
le ferme V(mAi) de Ui. Montrer 1'egalite Ai = mAi + I(Zr\Ui)
(utiliser le Nullstellensatz).
e) Montrer qu'il existe un entier t tel que, pour tout z, on ait X\ 6
Jt + mSt, puis qu'il existe un entier r tel que Sr — Jr + mSr.
f) En deduire qu'il existe / € R, f