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Examen, juin 1992 279
2) Soit G un groupe algebrique (i.e. une variete algebrique, munie
d'une structure de groupe telle que la multiplication /j,: G x G —> G et le
passage a 1'inverse cr : G —» G, donnes respectivement par /i(x, y] = xy
et cr(x) — x~ l , soient des morphismes).
a) On suppose que G est une variete irreductible et projective. Montrer
que G est un groupe commutatif. (On pourra utiliser 1'application (p de
G xG dans G donnee par (p(g, h) = g~ l hg.} Ce resultat est-il encore vrai
si G n'est pas projective? pas irreductible?
b) Soient G et H deux groupes algebriques irreductibles et projectifs
et (p : G —> H un morphisme de varietes. Montrer qu'il existe un element
a 6 H et un morphisme -0 : G —» //, morphisme a la fois de varietes et
de groupes, tels que Ton ait, pour tout g G G, ip(g} = ai/j(g}.
Probleme II
On travaille sur un corps k algebriquement clos. Si X est une variete
on designe par Ox son faisceau structural.
1) Soit F un sous-ensemble fini de P 2 . On munit F de sa structure naturelle
de sous-variete algebrique de P 2 et on note Jp le faisceau d'ideaux
de C7p2 qui definit F. Montrer qu'il existe une droite A qui ne rencontre
pas F. On note 6 1'equation d'une telle droite. Montrer que la multiplication
par 8 donne la suite exacte de faisceaux :
(On pourra travailler sur les ouverts affines standard.)
En deduire que si on a H l (P 2 , JF(TI)) = 0 pour n > — 2 on a
pour tout k > n.
Dans toute la suite on travaille dans 1'espace projectif P 3 .
2) Soit C une courbe irreductible et lisse de degre d de P 3 et H un plan
d'equation h. On suppose que Cr\H est fini et forme de d points distincts.
On note Jc le faisceau d'ideaux qui definit C dans P 3 et Jcnn,H celui
qui definit Cr\H dans H. Montrer que la multiplication par h donne une
suite exacte de faisceaux :