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30 II. Ensembles algebriques projectifs
La relation 'R, n'est autre que la colinearite et les classes d'equivalence
pour 'R, sont done les droites vectorielles de £", privees de 0.
Definition 1.1. L'espace projectif associe a E, que 1'on note P(E), est
le quotient de E — {0} par la relation Tl. Lorsque Fon a E = k n+1 (i.e.
si Von a choisi une base) on pose P(E) = P n (k) et on Fappelle espace
projectif standard de dimension n.
Designons par p la projection canonique k n+1 — {0} —> P n (k). Si
x = (XQ,XI, ..., #„) est 7^ 0 et si x = p(x) on dit que x est un point
de P n (fc), de coordonne.es homogenes (XQ,XI, ... ,xn). On note qu'alors
les Xi sont non tous nuls et que, si A £ k est ^ 0, (Ax0, Aa?i,..., Azn)
est un autre systeme de coordonnees homogenes de x, ce qui justifie la
terminologie.
Remarques 1.2
1) Lorsque k = R ou C, 1'espace projectif a une topologie naturelle : la
topologie quotient de celle de k n+1 — {0}. On verifie que 1'espace projectif
est alors compact et connexe.
2) Le fait que 1'espace projectif associe a k n+l soit de dimension n
correspond au fait que les droites vectorielles y sont contractees en des
points.
b. Les sous-espaces projectifs
Les notations etant celles definies ci-dessus, on considere un sousespace
vectoriel F de E, de dimension ra + 1 avec 0 < m < n.
Definition 1.3. L'image de F — {0} dans P(E) est par definition un
sous-espace projectif de dimension m, note F.
(Ceci se justifie, entre autres, par le fait que la trace sur F de la
relation de colinearite de E est la relation de colinearite de F.)
Lorsque m = 0 on dit que F est un point, pour m = 1,2, ...,n — 1
on parle de droite, plan,..., hyperplan projectifs et on est en mesure de
developper toute une geometric, analogue a la geometric affine, mais avec
des theoremes d'intersection sans exceptions :
Proposition 1.4. Soient V, W deux sous-espaces projectifs de P(E), de
dimensions r et s, avec r + s — n > 0. AJors, V n W est un sous-espace
projectif de dimension > r + s — n (en particulier il est non vide).