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Exercices A 75
Ep ainsi : (£7, s) ~ (V, t) si et seulement si il existe W ouvert, contenant
P, W C Z7 n V tel que s w= * |w-
La classe d'equivalence de (U, s) s'appelle le germe de s en P. On la
note sp. On note Tp 1'ensemble des germes, c'est la fibre de T en P. On
dit que TP est la limite inductive des J-"(U) pour P € U.
On pose A" = Upgx-^V (reunion disjointe des J-p}. Montrer qu'on
definit une injection iu de F(U) dans 1'ensemble des fonctions de U dans
K en posant iu(s}(P] = sp. Montrer que les iu sont compatibles aux
restrictions, de sorte que T est un sous-faisceau du faisceau des fonctions
de X dans K.
2. Sections sur un ouvert
Soit V une variete algebrique affine. On suppose que F(V) est un
anneau factoriel (c'est le cas, par exemple, si V = k n }.
a) Soient /i,..., /n £ F(V) des elements non nuls et soit h leur pgcd.
Montrer que Ton a D(fi) U U D(fn) C D(h) et que 1'homomorphisme
naturel de restriction :
est un isomorphisme (on raisonnera par recurrence sur n).
b) En deduire que si U est un ouvert de V et si U n'est pas contenu
dans un ouvert D(f) distinct de V, on a F(C7, Oy) = F(V, Oy). Exemple :
V = A; 2 , U = k 2 - {(0,0)}; plus generalement on a F(I7) = F(V) des que
V — U est de codimension > 2 dans V.
3. Sections et quotients
Soit Q C A: 4 , Q = V(XY - ZT] muni de sa structure de variete algebrique.
Soient Uy et Uz les ouverts de Q definis par y ^ 0 et z ^ 0 et
posons U = Uy U Uza)
Montrer que la fonction / de U dans k definie par /(x, ?/, z, t} = x/z
(resp. = t/y) si P = (x, y, z,t) € Uz (resp. si P € C/y) est un element de
F(t/,0g).
b) ^ Montrer que / n'est pas la restriction a U d'un quotient G/H
avec G, H dans k[X, Y, Z, T] et H(P] ^ 0 pour tout P € U.
(On notera que cela signifie que V(y,Z), bien que de codimension 1
dans Q, ne peut etre defini par une seule equation (cf. Ch. IV).)