Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

22 Chapitre 2
2.4.3 Aspects algorithmiques
La détermination des nombres premiers est un problème important et difficile.
Plus précisément il y a plusieurs problèmes distincts. Tout d’abord
déterminer les nombres premiers plus petits qu’un nombre donné, c’est-àdire
construire une table ; ensuite dire si un nombre donné est ou n’est
pas premier ; enfin, déterminer la décomposition en nombres premiers d’un
nombre donné. Tous ces problèmes algorithmiques ont donné lieu à de longs
développements et ne sont que partiellement résolus. Nous donnons ici un algorithme
élémentaire pour construire des tables de nombres premiers, appelé
le crible d’Ératosthène.
Pour avoir dans une table de résultats tous les nombres premiers ≤ n, on
écrit dans une table de départ et dans l’ordre habituel, tous les nombres de
2 à n. On itère jusqu’à épuisement de la table de départ l’action suivante :
on met dans la table de résultats le premier nombre qui se trouve dans la
table de départ et on supprime de cette dernière ce nombre ainsi que tous
ses multiples.
2.4.4 Applications de la décomposition en facteurs premiers
Si a est un nombre entier > 1 on peut utiliser la décomposition de a en
facteurs premiers pour caractériser les diviseurs de a.
Théorème 2.4.4 Un nombre b > 1 divise le nombre a > 1 si et seulement
si chaque nombre premier intervenant dans la décomposition de b intervient
dans la décomposition de a affecté d’un exposant supérieur ou égal à celui
qu’il a dans b. Ce qui peut s’écrire de la façon suivante : si
a =
p premier
est la décomposition en facteurs premiers de a. Alors un nombre b > 1 divise
a si et seulement si
b =
p βp
où tous les βp vérifient βp ≤ αp.
p premier
p αp