Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

24 Chapitre 2
2.5 Commentaires, compléments
2.5.1 Des exemples
Il est important de voir avant toute chose fonctionner les algorithmes et
les autres notions sur des exemples concrets, notamment en ce qui concerne
l’algorithme d’Euclide, l’algorithme d’Euclide étendu, le crible d’Erathostène,
l’utilisation des décompositions en nombres premiers pour les calculs du pgcd,
du ppcm, des diviseurs d’un nombre. Les représentations graphiques seront
aussi très utiles à la bonne compréhension.
2.5.2 Compléments
Les congruences
En ce qui concerne les congruences, voici ce qu’il est dit dans le programme,
dans la partie consacrée aux travaux pratiques :
La division euclidienne permet d’établir des compatibilités avec les opérations
nécessaires pour les problèmes étudiés. Ceux-ci pourront être l’occasion de
présenter et de mettre en œuvre la notion de congruence, au sujet de laquelle
aucune connaissance spécifique ne peut être exigée.
Voici donc quelques résultats sur les congruences qu’on sera certainement
amené à démontrer.
Considérons les nombres
· · · − 16 − 10 − 4 2 8 14 20 26 · · ·
Le nombre 2 est le seul nombre de cet ensemble qui soit dans l’intervalle
[0, 6[. Les éléments de cet ensemble sont tous les nombres y tels que
y = 6q + 2
c’est-à-dire, tous les nombres y dont la division euclidienne par 6 a pour reste
2.
Si x et y sont deux nombres de cet ensemble alors y − x est un multiple de 6.
Plus généralement, si n ≥ 1 et si 0 ≤ r < n, on cherche les éléments de Z
dont la division euclidienne par n a pour reste r.