Cours et activités en arithmétique pour les classes ... - Robert Rolland

50 Chapitre 3
En conséquence pourvu que x1, x2 et x1 + x2 soient dans I, on obtient le
développement binaire de R(x1 + x2) en additionnant les développements
binaires de R(x1) et R(x2), et en tronquant au delà du huitième bit.
c) Nous allons calculer dans différents cas C, α, V et regarder dans chaque
cas la validité de l’opération.
c1) x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0.
Dans ce cas on a R(x1) = x1, R(x2) = x2, R(x1) + R(x2) < 256, donc C = 0.
• Si x1 + x2 ≤ 127 (ou R(x1) + R(x2) ≤ 127), l’opèration est valide, il n’y a
pas non plus de retenue du septième bit vers le huitième (puisque le résultat
ne dépasse pas 127). Dans ce cas on a α = 0 et donc V = 0.
• Si x1 + x2 ≥ 128 (ou R(x1) + R(x2) ≥ 128), l’opération n’est pas valide,
il y a une retenue du septième bit vers le huitième (puisque le résultat est
≥ 128). Dans ce cas α = 1 et V = 1.
c2) x1 ≥ 0 et x2 < 0 (ou de façon symétrique x1 < 0 et x2 ≥ 0).
L’opération est toujours valide. De plus le huitième bit de R(x1) est 0 alors
que celui de R(x2) est 1. Par suite il y a une retenue du huitième bit vers
l’extérieur si et seulement si il y a une retenue du septième bit vers le huitième.
En conséquence ou bien C = α = 1 ou bien C = α = 0. Dans les deux cas
V = 0.
c3) x1 < 0 et x2 < 0.
Les développements binaires de R(x1) et R(x2) ont tous leur huitième bit
valant 1. Donc C = 1.
On considère alors les 7 premiers bits de R(x1) et R(x2), ce qui revient à
prendre R(x1)−128 et R(x2)−128. Or R(x1) = x1 +256 et R(x2) = x2 +256,
donc
(R(x1) − 128) + (R(x2) − 128) = x1 + x2 + 256.
• Si x1+x2 < −128 (opération invalide) alors (R(x1)−128)+(R(x2)−128) <
128, et il n’y a pas de retenue du septième bit vers le huitième. Donc α = 0,
V = 1.
• Si x1 + x2 ≥ −128 (opération valide) alors (R(x1) − 128) + (R(x2) − 128) ≥
128, et il y a une retenue du septième bit vers le huitième. Donc α = 1,
V = 0.
c4) En raisonnant par exhaustion on voit que l’opération est valide si et
seulement si V = 0.
Extension des résultats Il suffit de remplacer 256 par 2 16 si on travaille
sur deux octets. On obtiendra les mêmes résultats.