Les transparents de l'exposé. - Site de Florian HECHNER

Lois des grands nombres dans des espaces de Banach
et martingales généralisées
Florian HECHNER
I.R.M.A. Strasbourg
1 er Septembre 2008

1 Introduction
Soit (Xi) une suite de copies indépendantes, d’une variable aléatoire centrée
X, et Sn := X1 + · · · + Xn.
Dans de nombreux problèmes concrets, en particulier la construction d’intervalles
de confiance pour une moyenne, on a besoin d’informations précises
sur la vitesse de convergence de Sn
n vers 0.
Souvent, la “vitesse de convergence” est quantifiée en utilisant les queues
des fonctions de répartition des Sn
n .
Theorème 1.1 (Baum-Katz) :
Soit 0 < p < 2. Les conditions suivantes sont équivalentes :
1. E|X| p < +∞.
2. |Sn|
n 1/p −→ 0 p.s.
3. E|Sn| p = o(n).
4. ∀ε > 0, +∞
n=1
1
n P
|Sn|
n1/p
> ε < +∞.
La dernière condition traduit, lorsque 1 < p < 2, une propriété intrinsèque
de la suite Sn
n .

2 Martingales généralisées
Définition 2.1 :
Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. Soit (Fn) une filtration, c’est-à-dire
une suite croissante de sous-tribus de F. Notons T l’ensemble des temps
d’arrêt bornés à valeurs dans N.
Soit (Zn) une suite de variables aléatoires intégrables adaptées à la filtration.
• On dit que (Zn) est un amart si (EZτ)τ∈T converge dans R.
• On dit que (Zn) est une quasimartingale si
∞
E|E(Zn+1|Fn) − Zn| < +∞.
n=1
En pratique, pour voir si (Zn) est un amart, on vérifie si pour toute suite
croissante (τn) ∈ T , la suite E(Zτn ) converge.
• Une quasimartingale est en particulier un amart.
• La réciproque est fausse.

3 Loi des grands nombres de Kolmogorov
On considère des v.a. à valeurs dans un espace de Banach réel séparable
(B, · ) muni de sa tribu borélienne.
Theorème 3.1 (E.Mourier) :
Soit (Xi) une suite de copies indépendantes d’une variable aléatoire centrée
à valeurs dans B. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1. La suite Sn n
2. EX < +∞.
converge p.s.
Définition 3.2 :
Soit p ∈ [1, 2] et (εi) une suite de v.a. de Rademacher indépendantes. On
dit que B est de type (de Rademacher) p si il existe une constante C telle
que pour toute suite finie (xi) d’éléments de B, on a :
p
E
εixi
C
xi p
i
Proposition 3.3 :
Soit p ∈ [1, 2]. Si B est de type p il existe une constante C telle que pour
toute suite finie (Xi) de variables aléatoires centrées appartenant à Lp ,
p
E
Xi
C
EXi p
i
i
i

Theorème 3.4 :
Soit (Xi) une suite de copies indépendantes d’une variable aléatoire centrée
à valeurs dans un espace de Banach séparable de type p > 1.
Alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :
• EX ln + X < +∞
• Sn
n est une quasimartingale.
Exemple 3.5 :
L’espace c0 des suites qui tendent vers 0 est un espace n’ayant aucun type
non trivial.
• On considère une suite (εk) de variables aléatoires de Rademacher indépendantes
• On définit une suite (ak) de réels : k 9 étant fixé, ∃!j, k ∈ 〚2j +1, 2j+1 〛.
On pose alors ak := 1
ln ln j .
• On pose X := (akεk)k.
Alors la condition EX ln + X < +∞ est vérifiée et pourtant Sn
n n’est
pas une quasimartingale.

4 La loi des grands nombres de Marcinkiewicz-Zygmund
4.1 Le cas scalaire
Theorème 4.1 :
Soit (Xk) une suite de copies indépendantes d’une variable aléatoire réelle
centrée X, et p ∈]1, 2[ fixé. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1. La suite Sn
n1/p 2. E|X| p < +∞
converge presque sûrement vers 0.
Allan Gut a précisé la vitesse de convergence en montrant le résultat suivant
:
Theorème 4.2 :
Si Sn
n1/p Sn
converge presque sûrement vers 0, alors n1/p
est un amart relativement
à la filtration naturelle.
La suite Sn
n est-elle également une quasimartingale, à savoir la condition
est-elle vérifiée ?
n1
Contre-exemple 4.3 :
Soit X de loi symétrique telle que
1
n 1+1/pE|Sn| < +∞
∀t > 0, P(|X| p > t) = 1 [0,e 2 ](t) +
2 p e 2 ln 2
t(ln t) p (ln ln t) 1 ]e 2 ,+∞[(t).
Alors X est centrée et |X| p est intégrable, donc Sn
n1/p
est un amart. Cependant,
on montre que ce n’est pas une quasimartingale.
Pourtant il y a des situations simples où Sn
n est une quasimartingale, par
exemple si E(X2 ) < +∞.

Le théorème suivant caractérise les situations où Sn
n est une quasimartingale
:
Theorème 4.4 :
Soit (Xi) une suite de copies indépendantes d’une v.a. centrée X, et p ∈
]1, 2[ fixé. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
• Sn
n1/p
est une quasimartingale.
• +∞
0 P1/p (|X| > t)dt < +∞.
La proposition suivante traduit la seconde hypothèse en terme de quantiles
de la v.a. |X|.
Proposition 4.5 :
Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1. +∞
0 P1/p (|X| > t)dt < +∞
2. un
n1+1/p < +∞
n1
où un désigne le quantile d’ordre 1 − 1
n de X, c’est-à-dire
un := inf x
1
P(|X| x) > 1 − = inf x
1
n
P(|X| > x) <
n
.

4.2 Le cas banachique
On considère à présent des v.a. à valeurs dans un espace de Banach réel
séparable (B, · ) muni de sa tribu borélienne.
Les résultats du cas scalaire ont un analogue dans des espaces de Banach
suffisament réguliers.
De Acosta a montré que les espaces de Banach de type p sont caractérisés
par la loi forte des grands nombres de Marcinkiewicz et Zygmund :
Theorème 4.6 :
Soit B un espace de Banach séparable et 1 < p < 2. Alors les deux propriétés
suivantes sont équivalentes :
1. B est de type p.
2. Pour toute variable aléatoire X à valeurs dans B, si (Xi) est une
suite de copies indépendantes de X, les deux propriétés suivantes sont
équivalentes :
• Sn
n1/p
converge vers 0 p.s.
• EX p < +∞ et EX = 0.

Une classe d’espaces réguliers un peu plus petite que les espaces de type p
est celle des espaces de type p-stable.
Définition 4.7 :
Soit 0 < p 2. Une variable aléatoire réelle X est dite p-stable s’il existe
σ 0 telle que la fonction caractéristique de X soit de la forme
Ee itX = e − σp |t| p
2 .
Pour a := (ak)1kn une suite de nombres réels, on note (a∗ k ) la suite
réordonnée de façon décroissante de la suite (|ak|).
Pour q 1, aq,∞ := sup (k
1kn
1/qa∗ k ) est appelée norme ℓq-faible de a.
Définition 4.8 :
Soit 1 p < 2. On dit qu’un espace de Banach séparable (B, · ) est
de type p-stable s’il existe une constante C telle que pour toute suite de
variables aléatoires p-stables (θi) et toute suite finie (xi) d’éléments de B,
on ait :
C xi p
1/p .
i
θixi
p,∞
Remarque 4.9 :
Un espace de Banach de type stable 1 < p < 2 est aussi de type p ′ –stable
pour 1 p ′ p.
Un espace de Banach B de type stable 1 p < 2 est aussi de type p.
Réciproquement, si B est de type p > 1, il est de type p ′ –stable pour tout
p ′ < p.
Si B est un Banach de type stable p ∈]0, 1[, d’après un théorème de
Maurey–Pisier il existe q ′ > p tel que B soit de type q ′ stable.
i

Theorème 4.10 :
Soit B un espace de Banach de type stable p ∈]1, 2[, et X une variable
aléatoire centrée à valeurs dans B. Les deux propriétés suivantes sont
équivalentes :
1. Sn
n1/p 2. +∞
0
est une quasimartingale.
P 1/p (X > t)dt < +∞.
Peut-on affaiblir l’hypothèse de type p-stable ?
Exemple 4.11 :
Soit p ∈]1, 2[.
L’espace ℓp des suites (xi) telles que |xi| p < +∞ est un espace de type
p, mais qui n’est pas de type p-stable.
On considère une suite (ξi) de v.a. indépendantes de loi de Pareto de paramètres
(1, p), et (εi) une suite de v.a. i.i.d. de Rademacher, indépendante
de (ξi).
On pose X := +∞
n=2
1
n1/p (ln n) p+1 p−1
p −
2p
εnξn1 {ξnn 1/p }en.
Alors :
• X est à valeurs dans ℓp,
• X vérifie +∞
0 P1/p (X > t)dt < +∞,
• Sn
n1/p,
Fn n’est pas une quasimartingale.