Notes de cours sur les variables aléatoires

Variables aléatoires
A. Variable aléatoire et espérance mathématique
† Exemple: Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé non pipé.
Considérons le jeu suivant: si le joueur obtient un “6”, il gagne 5 ', s’il obtient un nombre pair autre que 6, il gagne 1'. Par
contre, s’il obtient un point impair, il perd 2'.
On peut se poser la question de savoir si ce jeu est intéressant pour le joueur.
Essayons de modéliser le problème.
Tout d’abord l’ensemble des résultats élémentaires de l’expérience aléatoire est W = 81, 2, 3, 4, 5, 6

2 Variables aléatoires solutions.nb
remarque: La probabilité que cette variable prenne une valeur donnée, ou un ensemble de valeurs données, égale la
probabilité de la réalisation de l’événement associé à cette valeur ou cet ensemble de valeurs.
† Le tableau suivant associant les valeurs de la variable aléatoire X à la probabilité de chacune de ces valeurs est la loi de
probabilité de la variable aléatoire:
x i P@X = x i D = p i
-2 3ê6
1 2ê6
5 1ê6
† Définition
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction qui exprime la probabilité correspondant à chacune des
valeurs que cette variable peut prendre.
† Pour savoir si ce jeu est favorable ou non au joueur, calculons la moyenne de cette variable aléatoire.
Sur 6 parties, en moyenne, le joueur perdra 3 fois 2 ', gagnera 2 fois 1 ' et gagnera 1 fois 5 '.
Cela donne donc 3 H-2L + 2 µ 1 + 1 µ 5 = 1.
Donc, en moyenne il gagnera à chaque partie
3 H-2L+2 µ 1+1 µ 5
6
= 1
6 '
On appelle cette moyenne l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
Le jeu est favorable au joueur; on dit alors que l’espérance de gain est positive.
Recalculons cette espérance mathématique E HXL à l’aide du tableau donnant la loi de probabilité de X:
x i P@X = x i D = p i x i P@X = x i D
-2 3ê6 -6ê6
1 2ê6 2ê6
5 1ê6 5ê6
n
L’espérance mathématique est donc donnée par la formule ⁄ xi . P@X = xiD i=1
† Définition
L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est donnée par la formule
n
E HXL = ⁄ xi . P@X = xiD i=1
remarques: On peut noter la probabilité P@X = x i D sous la forme p i et l’espérance de X sous la forme EX.
La formule précédente s’écrit alors
n
EX = ⁄ xi . pi i=1
formule à comparer à la formule de calcul de la moyenne en statistique descriptive.

Exercices A
† A1. Supposons le jeu suivant:
En tirant une carte d’un jeu de 52 cartes, on vous donne 1 ' si vous tirez un coeur, 2 ' si vous tirez un carreau, 5 ' si vous
tirez un trèfle et 10 ' si vous tirez un pique.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire mesurant vos gains possibles à chaque partie.
b) Calculer l’espérance mathématique de cette variable aléatoire.
c) Jusqu’à combien d’euros pouvez-vous miser avant chaque tirage pour être certain de gagner à long terme?
Le gain attendu, si on joue ce jeu suffisamment longtemps, est donc de 4,50 ' par partie.
Vous serez dès lors gagnant si vous misez 4 ' et perdant si vous misez 5 ' à chaque partie.
† A2. Une urne contient neuf boules.
Quatre de ces boules portent le numéro 0, trois portent le numéro 1 et deux le numéro 2. Tous les tirages sont supposés
équiprobables.
On tire au hasard deux boules simultanément. Soit X, la somme des numéros marqués sur ces boules.
Déterminer et représenter graphiquement la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance de X.
† A3. Soit Y la variable aléatoire qui correspond à la somme obtenue en lançant deux dés.
Calculer l’espérance mathématique de Y
Fonction de répartition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire X est la fonction F :
F : Rö@0, 1D : x ö FHxL = P@X § xD
† Reprenons comme exemple l’exercice A2 ci-dessus.
La loi de probabilité est
Ajoutons la fonction de répartition FHxL
xi pi 6
0
36
12
1
36
11
2
36
6
3
36
1
4
36
x i p i F Hx i L = P@X § x i D
0
1
2
3
4
6
36
12
36
11
36
6
36
1
36
6
36
18
36
29
36
35
36
Pour calculer la probabilité P@1 < X § 3D, il suffit de calculer
P@1 < X § 3D = P@X § 3D - P@X § 1D = FH3L - FH1L = 35 18 17
- =
36 36 36
Voici le graphique de F HxL :
1
Variables aléatoires solutions.nb 3

†
Pour calculer la probabilité P@1 < X § 3D, il suffit de calculer
P@1 < X § 3D = P@X § 3D - P@X § 1D = FH3L - FH1L = 35 18 17
- =
36 36 36
4 Variables aléatoires solutions.nb
Voici le graphique de F HxL :
probabilité
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
B. Variance et écart-type
1 2 3 4
† Exemple: Reprenons l’exemple précédent et calculons maintenant la variance et l’écart-type de cette variable aléatoire.
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
L’écart-type est la racine carrée de la variance.
xi P HX = xiL xi.P HX = xiL HEX -x i L 2 p i
-2 3ê6 -6ê6 507ê216
1 2ê6 2ê6 50ê216
5 1ê6 5ê6 841ê216
⁄ = 1 1ê6 1398ê216
V = 1398
= 6.472222
216
s = V = 6.472222 = 2.544
† Définition
valeur
La variance de la variable aléatoire X est
n
VarHXL = ⁄ HEX - xiL i=1
2 . pi où pi = PHX = xiL L’écart-type de la variable aléatoire X est la racine carrée de la variance
sHXL = VarHXL
remarque: VarHXL = EHX - EXL 2 = EIX 2 - 2 X EX + EX 2 M = EIX 2 M - 2 EX 2 + EX 2 = EIX 2 M - HEXL 2
Exercices B
† B1. Un dé à six faces possède trois faces rouges, 2 faces jaunes et une face bleue.
On lance ce dé 5 fois de suite. On considère la variable aléatoire mesurant le nombre de faces jaunes obtenues.
Déterminer la loi de probabilité, la moyenne, la variance et l’écart-type de cette variable aléatoire.
† B2. Un certain type de missiles atteint son but avec une probabilité de 0,4. On effectue 10 tirs successifs et on considère la
variable aléatoire mesurant le nombre de tirs réussis.
Déterminer la loi de probabilité, la moyenne, la variance et l’écart-type de cette variable aléatoire.

† B3. Il a été constaté statistiquement que, sur une chaîne de montage donnée, sur 1000 ampoules électriques qui sortent, 5
sont défectueuses. En assimilant la fréquence à la probabilité, on choisit au hasard un lot de 10 ampoules électriques. On
considère la variable aléatoire mesurant le nombre d’ampoules défectueuses.
Déterminer la loi de probabilité, la moyenne, la variance et l’écart-type de cette variable aléatoire.
† B4. Un test comporte 8 questions à choix multiples. Chaque question a 3 réponses proposées dont une seule est correcte,
Un étudiant choisit au hasard la réponse à chaque question. On considère la variable aléatoire mesurant le nombre de
bonnes réponses données.
Déterminer la loi de probabilité, la moyenne, la variance et l’écart-type de cette variable aléatoire.
† B5. **On lance deux dés en espérant obtenir un “double six”. On considère la variable aléatoire comptant le nombre d’essais
à effectuer avant d’obtenir le premier succès.
Déterminer la loi de probabilité, la moyenne, la variance et l’écart-type de cette variable aléatoire.
† B6. Les organisateurs d’une tombola de bienfaisance ont imprimé 1000 billets numérotés de 1 à 1000.
Le réglement prévoit que: 5 billets gagneront 500'
12 billets gagneront 100'
25 billets gagneront 30'
55 billets gagneront 10'
Les autres billets ne gagneront rien. Tous les billets sont réservés.
a) Déterminer la loi de probabilité de la v.a. mesurant le gain obtenu.
b) Déterminer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type.
c) Combien vendre les billets pour faire un bénéfice de 1000 ' ?
Variables aléatoires solutions.nb 5
† B7. On lance un dé. Vous me devez x ' si le dé tombe sur 5 ou 6. Je vous donne y ' sinon. Les probabilités de gagner ne
sont clairement pas les mêmes. Néanmoins peut-on choisir x pour rendre le jeu équitable ?
† B8. On suppose que la population française est constituée de 10% de gauchers. On considère donc que la probabilité pour
qu’un individu pris au hasard soit gaucher est égale à 1/10.
Dans une entreprise de couture on recrute 8 employés. Soit X le nombre d’employés gauchers recrutés.
(a) Quelle est la loi de X ? son espérance ? son écart-type ?
(b) Calculer la probabilité pour que le groupe contienne :
i. exactement un gaucher;
ii. au moins un gaucher;
iii. exactement 3 gauchers;
iv. moins de 3 gauchers.
† B9. Une urne contient 10 jetons : 3 jetons portent le numéro 1 ; 2 jetons portent le numéro 2, 5 jetons portent le numéro 3.
On tire au hasard deux jetons et on considère la variable aléatoire représentant le total des nombres marqués sur les deux
jetons.
a) Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire
b) Calculer son espérance mathématique et sa variance.
c) Quelle est la probabilité pour que ce total prenne une valeur égale à 6 ? Strictement comprise entre 2 et 6 ?
† B10. Un aquarium contient :
- 6 poissons rouges, coûtant 1 ' pièce
- 4 poissons jaunes, coûtant 1,5 ' pièce
Un client achète 3 poissons qu’il sort au hasard de cet aquarium. On considère la variable aléatoire X désignant le prix total
des 3 poissons.
a) Calculer la probabilité de tirer 2 poissons rouges et 1 jaune, et le prix alors payé.
b) Calculer la probabilité de payer 4 ' pour 3 poissons tirés au hasard.
c) Calculer le prix moyen E HXL. 3,6 '
d) Calculer l’écart-type s X du prix payé. 0.374166

6 Variables aléatoires solutions.nb
C. Loi binomiale
† Définition
On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire ayant deux issues possibles appelées succès et échec.
Le succès ayant une probabilité p, l’échec a dès lors la probabilité q = 1 - p
† Exemple 1: On lance une pièce équilibrée et on considère succès l’obtention du côté PILE, l’échec étant donc l’obtention du
côté FACE.
† Exemple 2: On tire au hasard une boule d’une urne contenant 12 boules noires et 8 blanches. On appelle succès le tirage
d’une boule blanche et échec le tirage d’une boule noire.
† Définition
On appelle variable indicatrice la variable aléatoire prenant comme valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec lors d’une
épreuve de Bernoulli
Le succès ayant une probabilité p, l’échec a dès lors la probabilité q = 1 - p
Déterminons la loi de cette variable aléatoire indicatrice (loi indicatrice). Calculons également son espérance, sa variance et
son écart-type.
x i p i x i p i Hx i - EXL 2 p i
1 p p q 2 p
0 q = 1 - p 0 p 2 q
⁄ = 1 p q 2 p + p 2 q
L’espérance est donc EHXL = p et la variance VHXL = q 2 p + p 2 q = p qH p + qL = p q
s = p q
† Définition
Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli consécutives, indépendantes les unes des autres et
ayant toutes la même probabilité de succès p.
† Exemple 1
On lance 3 fois de suite une pièce équilibrée et on considère la variable aléatoire mesurant le nombre de PILE obtenu.
† Exemple 2
On tire successivement avec remise 5 boules d’une urne contenant 12 boules noires et 8 blanches. On considère la variable
aléatoire mesurant le nombre de boules blanches obtenues.
† Exemple 3
On tire 5 cartes d’un jeu de 52 cartes. On considère la variable aléatoire X qui compte le nombre d’as obtenus. Donner la loi
de probabilité de X. Est-ce une v.a. binomiale ?
† Définition
Une loi binomiale est la loi de probabilité d’une variable aléatoire X d’un schéma de Bernoulli.
On note Bi Hn; pL la loi binomiale relative à un schéma constitué de n épreuves de Bernoulli dont la probabilité de succès
égale p.
remarque: Dans l’exemple 1, nous avons une loi binomiale Bi(3;1/2).
Dans l’exemple 2, nous avons une loi binomiale Bi(5;2/5).
remarque: Une variable binomiale Bi Hn; pL est la somme de n variables indicatrices de probabilité p.

† Loi de probabilité d’une v.a. binomiale
La loi binomiale Bi(n;p) est définie par
P@X = kD = C n k p k q n-k
Son espérance mathématique est donnée par EHXL = n. p
Sa variance VHXL = n. p.q
et donc l’écart-type est donné par s = n p q
n
⁄ Cnk pk qn-k = H p + qLn = 1
k=0
n n n
EX = ⁄ k Cnk pk qn-k = ⁄ k Cnk pk qn-k n!
= ⁄ k
k=0
k=1
k=1
k! Hn-kL! pk qn-k n
Hn-1L!
= ⁄ n
k=1
Hk-1L! Hn-kL! pk qn-k n
= n p ⁄
k=1
n-1
Hn-1L!
Hk-1L! Hn-kL! pk-1 q n-k = n p ⁄
i=0
Hn-1L!
i! Hn-1-iL! pi q n-1-i = n p ⁄
i=0
n-1
Cn-1 i pi qn-1-i = n p H p + qLn-1 = n p
Plus simplement, X~Bi Hn; pL est la somme de n v.a. indicatrices I i dont l’espérance est p. On a alors
EHXL = EHI 1 + I 2 + ... + InL = EHI 1 L + EHI 2 L + ... + EHInL = p + p + ... + p = n p
† Représentation graphique de la loi binomiale Bi(25; 1/2)
Sur tableur (Open Office, Microsoft Excel), la fonction LOI.BINOMIALE Hk; n; p; 0L vous permet de calculer P@X = kD.
La fonction LOI.BINOMIALE Hk; n; p; 1L calcule P@X § kD
On remarque que si on augmente la valeur de n dans une loi binomiale Bi Hn; pL, on obtient une courbe “en cloche” appelée
«courbe de Gauss». Quand n augmente, la loi binomiale tend vers une loi appelée loi normale et définie par la fonction
suivante:
1
f HxL =
s 2 p ‰
- Hx-mL2 2 s2 et P@X § xD = x 1
Ÿ- s 2 p ‰
- Ht-mL2 2 s2 „ t
On peut dès lors obtenir une approximation de la loi binomiale par la loi normale lorsque n est très grand et p du même
ordre que q. On pose alors m = n p et s = n p H1 - pL
† Fonction de répartition
la fonction de répartition d’une variable aléatoire binomiale peut s’écrire
k
P@X § kD = ⁄ Cni pi qn-i i=0
Une table est disponible à l’adresse http://www.macformath.net/math/stat/binomiale/Table_Binomiale.pdf
Variables aléatoires solutions.nb 7

8 Variables aléatoires solutions.nb
Inégalité de Chebychev
Pour une variable aléatoire X, on peut montrer que P@ X - EX < k sD ¥ 1 - 1
k 2
La probabilité qu’une valeur quelconque se trouve dans l’intervalle D EX - 2 s, EX + 2 s@ est plus grande que 75%.
La probabilité qu’une valeur quelconque se trouve dans l’intervalle D EX - 3 s, EX + 3 s@ est plus grande que 89%.
Pour une v.a. normale (voir plus loin), ces valeurs deviennent 95,44% et 99,74%
Exercices C
† C1. Soit X la variable aléatoire suivant la loi binomiale Bi(6 ; 0,4) :
Calculer les probabilités suivantes :
P@X = 3D et P@X = 5D 0,2765 et 0,0369
P@2 § X § 3D 0,5875
Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et son écart-type. 2,4 ; 1,44 ; 1,2
† C2. Un examen propose 20 questions. L’élève a le choix parmi 5 réponses dont une seule est juste.
Soit un élève qui choisit ces réponses au hasard.
a) Calculer le résultat le plus probable (sur 20). 4/20
b) Quelle est la probabilité d’obtenir 10/20? 0,002
† C3. Dans une classe de 20 élèves, la probabilité pour qu’un élève soit absent un jour donné s’élève à 4 %. On admettra que
les absences des différents élèves pour un jour donné sont totalement indépendantes les unes des autres.
Appelons X la variable aléatoire qui, pour un jour pris au hasard, correspond au nombre d’élèves absents.
Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
En déduire l’espérance mathématique de X , E(X). 0,8
Déterminer alors la probabilité de chacun des événements suivants :
(a) A : pour un jour donné, il n’y a aucun élève absent ; 0,442
(b) B : pour un jour donné, il y a plus de deux élèves absents ; 0,04386
(c) C : pour un jour donné, il y a entre 2 et 4 élèves absents. 0,1887
† C4. Un sondage mentionne que 36 % de l’ensemble des Bruxellois ayant accès à Internet ont déjà réalisé un achat par voie
électronique.
On choisit 10 Bruxellois ayant accès à Internet pour connaître s’ils ont effectué ou non un achat par voie électronique.
Quelle est la probabilité d’observer
a) 2 Bruxellois (sur les 10) ayant déjà effectué un achat par voie électronique ?
b) Au moins 3 Bruxellois ayant déjà effectué un achat par voie électronique ?
c) Au plus 3 Bruxellois ayant déjà effectué un achat par voie électronique ?
d) De 2 à 4 Bruxellois ayant déjà effectué un achat par voie électronique ?
† C5. On jette un dé.
Si on obtient un 6, on gagne 5 '
Si on obtient un 5 ou un 4, on gagne 2 '
Si on obtient un 3 ou un 2, on gagne 1 '
Si on obtient un 1, on perd 10 '
Le jeu est-il équitable ?
Calculer
a) L’espérance mathématique 0.166667
b) La variance 22.4722
c) L’écart type

Exercices supplémentaires C
† C6. Dans une réaction nucléaire, une particule peut soit se séparer en deux morceaux, soit ne pas se séparer et ce avec des
probabilités respectives 2/3 et 1/3. Sachant que les morceaux se comportent comme de nouvelles particules indépendantes,
trouver la loi de probabilité et la moyenne du nombre de particules obtenues après deux réactions à partir d’une seule
particule.
† C7. Soit une étude portant sur des familles de 6 enfants. On sait que la probabilité d’avoir une fille ou un garçon est
identique. Quelle est la probabilité pour que:
a) exactement 2 d’entre eux soient des filles (combien de combinaisons sont possibles?) 0.234375
b) une famille comporte au minimum 2 filles 0.890625
c) une famille ne comporte pas plus de 2 garçons 0.34375
† C8. (avec tables)
Dans une population donnée, la probabilité de trouver le gène Z actif est de 50%. Soit X le nombre de patients possédant ce
gène Z actif. Une expérience a été menée sur un échantillon de 25 personnes (arrondir les réponses à deux décimales
significatives).
- Quelle est la probabilité de déceler la présence d’un gène inactif chez 10 personnes au moins dans cette expérience?
- Quelle est la probabilité de trouver 5 personnes possédant ce gène Z actif ? Combien de combinaisons sont possibles?
source: http://www.fundp.ac.be/
† C9. Une rivière comporte une population d’écrevisses. Un écologiste réalise une expérience en disposant tous les 10 mètres
une nasse à écrevisses. Il en place ainsi 25 et les numérote de 1 à 25. Sachant que pour cette rivière, il n’y a que 15% de
chances de relever une nasse vide:
a) Déterminer la probabilité de relever 3 nasses vides? 0.217379
b) Si l’écologiste relève 2 nasses vides sur les 25, combien de combinaisons sont possibles? 300
source: http://www.fundp.ac.be/
† C10. Une classe de terminale compte 30 élèves dont 20 filles. A chaque cours de mathématique, le professeur de cette classe
interroge au hasard un élève. D’un cours à l’autre, le professeur ne se rappelle pas de l’élève interrogé au cours précédent ce
qui fait qu’à chaque cours, le choix de l’élève par le professeur est indépendant des choix précédents.
a) Quelle est la probabilité, à un cours donné, que l’élève interrogé soit une fille? 0.6667
n est un entier positif. On appelle X la variable aléatoire définie par:
“X=nombre de filles interrogées durant n cours de mathématiques consécutifs”
b) Quelle est la loi de probabilité de X ?
c) Quelle est la probabilité que le nombre de filles interrogées soit égal à 4 après 10 cours consécutifs? 0.0569019
d) Quel doit être le nombre maximum de cours consécutifs pour que la probabilité qu’aucune fille ne soit interrogée soit
inférieur à 0,001? 7
e) Durant un trimestre, il y a 36 cours le mathématiques. Quel nombre de filles interrogées peut-on espérer? 24
source: http://www.maths-express.com/
† C11. Un joueur paie 15 euros pour jeter au hasard un dé équilibré. Il gagnera :
• 15 euros s’il obtient le 1 ;
• 5 euros s’il obtient le 2 ou le 3 ;
• 60 euros s’il obtient le 6 ;
• 0 dans les autres cas.
Calculer le gain moyen du joueur. -0.833333 '
Variables aléatoires solutions.nb 9
† C12. Monsieur Raël affirme que, grâce à son ordinateur, il peut prédire le sexe des enfants à naître.
Pour cette prédiction, il ne demande que 5 ', destinés à couvrir les frais de gestion; de plus, pour «prouver» sa bonne foi, il
s’engage à rembourser intégralement en cas de prédiction erronée.
Soit X le gain de monsieur Raël ; écrire la loi de probabilité de X.
Si monsieur Raël trouve 1 000 naïfs, combien peut-il espérer gagner ?

10 Variables aléatoires solutions.nb
† C13. Une personne doit subir successivement trois tests. La probabilité de réussir le premier est de 1/2. Pour les deux tests
suivants, la probabilité de réussite est de 1/2 lorsque le test précédent est réussi, mais n’est que de 1/4 lorsque le test
précédent est raté.
(a) Soit X le nombre de tests réussis. Trouver la loi, l’espérance mathématique et la variance de X. 1.21875 et 0.9834
(b) En déduire la probabilité pour la personne de réussir au moins deux tests. 0.375
† C14. La probabilité d’atteindre une cible par un coup de fusil vaut 1/5. Dix coups sont tirés, indépendamment les uns des
autres. Calculer la probabilité que la cible soit atteinte au moins deux fois sachant qu’elle est atteinte au moins une fois.
Donner l’espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire mesurant le nombre de fois où la cible est atteinte.
† C15. On vous propose le jeu suivant:
Vous lancez deux dés comportant chacun une face rouge, deux faces jaunes et trois faces bleues.
Si vous obtenez 2 faces rouges, vous gagnez 5 '. Si vous obtenez deux faces jaunes ou deux faces bleues, vous gagnez 2 '.
Dans tous les autres cas, vous perdez 1'. Joueriez-vous à ce jeu? Justifier.
D. Loi de Poisson
† La loi de Poisson est une loi qui décrit la distribution de probabilités du nombre d’occurrences d’un événement par unité de
temps ou d’espace.
La probabilité p de l’événement est petite par rapport à 1 - p.
Quelques exemples:
- le nombre de particules émises par une substance radioactive,
- le nombre de fautes d’impression dans les pages d’un livre,
- le nombre de personnes atteintes d’une maladie,
- le nombre de décès par suicide,...
Si le nombre moyen d’occurrences dans cet intervalle est l, alors la probabilité qu’il existe exactement k occurrences (k étant
un entier naturel, k = 0, 1, 2, ...) est P@X = kD = ‰ -l l k
k!
† Loi de probabilité
Si X est une variable aléatoire de Poisson de paramètre l>0,
P@X = kD = ‰ -l l k
EX = l
Var X = l
† Fonction de répartition
k!

†
Fonction de répartition
P@X § kD = ‰ -l k
li ⁄
i=0 i!
Une table est disponible à l’adresse http://www.macformath.net/math/stat/poisson/Table_Poisson.pdf
exemple: On considère une variable de Poisson PoH4L.
Calculons la probabilité P@X = 6D.
P@X = 6D = P@X § 6D - P@X § 5D = 0.8893 - 0.7851 = 0.1042
oubien P@X = 6D = 256
45 ‰ 4
Exercices D
† D1. Dans une agence de voyage, le nombre de personnes se présentant quotidiennement au bureau des voyages d’affaire suit
une loi de Poisson.
En moyenne, 8 personnes se présentent par jour.
Calculer la probabilité des événements suivants:
a) Au plus 5 personnes se présentent le lundi 20 avril.
b) Il ne viendra personne le 21 avril au matin.
† D2. Un standard téléphonique reçoit en moyenne 0,7 appel à la minute. Quelle est la probabilité pour que, entre 09 h 59 et
10 h, il recoive :
a) 0 appel
b) 1 appel
c) plus d'un appel
† D3. Sur une autoroute, il y a en moyenne un accident par semaine. Une semaine, il y en a 4.
Quelle est la probabilité de cet événement ?
† D4. Le statisticien anglais Clarke a divisé Londres en 576 rectangles et compté les chutes de bombes dans ces rectangles
durant la 2ème guerre mondiale 1939-1945.
Il a trouvé :
Nbre de bombes 0 1 2 3 4 5
Nbre de rectangles 229 211 93 35 7 1
Calculer la moyenne l du nombre de bombes par rectangle. Comparer la distribution réelle à la distribution résultant de
l'application de la loi de Poisson de paramètre l.
† D5. On suppose que dans un livre de 200 pages, 240 erreurs d’impression sont distribuées au hasard.
Calculez la probabilité pour qu’une page donnée contienne :
a) 0 erreur b) 1 erreur
c) 2 erreurs d) 2 erreurs ou plus
† Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
Soit X, une loi binomiale Bi Hn, pL. Si n est grand et p très petit, on peut approcher cette loi par une loi de Poissson de
paramètre l = n p.
En effet,
P@X = kD = C n k p k H1 - pL n-k =
Si n tend vers l’infini,
J1 - l
n Nn ö‰ -l
n!
k! Hn-kL! Jl
n Nk J1 - l
n Nn-k = lk l
J1 -
k! n Nn
n! l
J1 -
Hn-kL! nk n N-k
Variables aléatoires solutions.nb 11

†
P@X = kD = C n k p k H1 - pL n-k =
12 Variables aléatoires solutions.nb
Si n tend vers l’infini,
J1 - l
n Nn ö‰ -l
n! n Hn-1L... Hn-k+1L
=
Hn-kL! nk nk ö1
J1 - l
n N-k ö1
et donc, à la limite,
P@X = kD = ‰ -l lk k!
n!
k! Hn-kL! Jl
n Nk J1 - l
n Nn-k = lk l
J1 -
k! n Nn
n! l
J1 -
Hn-kL! nk n N-k
On utilise généralement la loi de Poisson lorsque n > 50 et p < 0.1
Exemple
On a répertorié dans une usine le nombre d’accidents mineurs subis par le personnel sur une période de 200 jours de
travail. Ces accidents sont indépendants les uns des autres.
Nbre d' accidents 0 1 2 3 4 5
nbre de jours 86 82 22 7 2 1
† D6. Lors de l’application d’un vaccin, on constate que le nombre de réactions graves est de 4 cas sur 10000. On vaccine 2000
nouveaux patients.
On considère que la v.a. est une variable de Poisson car n est grand et p très petit.
l = n p = 0.0004 µ 2000 = 0.8
a) Calculer la probabilité de n’avoir aucune mauvaise réaction.
b) Calculer la probabilité d’avoir deux mauvaises réactions.
c) Et d’avoir au moins 2 mauvaises réactions ?
E. Variables aléatoires continues
† Une variable aléatoire continue X peut prendre un nombre infini de valeurs, c-à-d toutes les valeurs possibles dans un
intervalle donné. Sa fonction de répartition F est continue.
Il existe une fonction f positive intégrable telle que +
Ÿ- f HxL „ x = 1 appelée densité de probabilité.
FHaL = P@X § aLD = a
Ÿ- f HxL „ x
Géométriquement, quand on dispose de la fonction f , on est conduit à calculer les probabilités par des aires.
remarque: P@X = aD = 0
P@a § X § bD = FHbL - FHaL = Ÿ a b f HxL „ x
EX = +
Ÿ- x f HxL „ x
Var X = +
Ÿ- Hx - EXL2 f HxL „ x

Loi normale
† Une variable aléatoire ayant comme loi de probabilité la fonction f HxL suivante est appelée variable aléatoire normale N(m,
s 2 ).
f HxL =
et P@X § xD = x
Ÿ- s
1
2 p ‰
- Hx-mL2 2 s2 EX = m et var X = s 2
s
1
2 p ‰
- Ht-mL2 2 s2 „ t
Les variables aléatoires à distribution normale, de par leurs propriétés, sont les plus employées en statistique.
La fonction de densité a l’allure d’une courbe en cloche appelée courbe de Gauss.
s = 3
, 1 , 2
4
Pour calculer les probabilités liées à cette distribution, on fait généralement appel à des tables de statistique en ramenant la
loi normale considérée à la loi normale centrée réduite de moyenne 0 et d’écart-type 1 (voir ci-dessous).
Sur Excel ou OpenOffice, vous pouvez utiliser la fonction LOI.NORMALE Hx; espérance; écart_type; cumulativeL.
† Loi normale centrée réduite Z
La normale centrée réduite est la variable aléatoire normale Z = NH0; 1L.
Son espérance est nulle et son écart-type est égal à 1.
f HxL =
1
2 p ‰
- x2 2
Cette fonction de densité de probabilité est une fonction paire possédant une AH ª y = 0.
On a donc P@X § 0D = P@X ¥ 0D = 1
2 .
Une table est disponible à l’adresse http://www.macformath.net/math/stat/normale/Table_Normale.pdf
† Utilisation de la table: Z = NH0; 1L
- Calculons P@Z < 2.93D
Variables aléatoires solutions.nb 13

†
Utilisation de la table: Z = NH0; 1L
14 Variables aléatoires solutions.nb
- Calculons P@Z < 2.93D
Il faut chercher la valeur de la cellule corrspondant à la ligne 2,9 et à la colonne 0,03. On obtient P[Z 1.23D = 1 - P@Z § 1.23D = 1 - 0.8907 = 0.1093
- Pour un intervalle,
P@0 < Z < 1.2D = P@Z < 1.2D - P@Z < 0D = 0.8849 - 0.5 = 0.3849
remarque: pour une v.a. continue, P@Z = zD = 0 et donc P@Z § zD = P@Z < zD
Calculer P@Z > -0.6D , P@1 § Z § -0.64D
† Variables aléatoires normales non réduites
=
Pour calculer les valeurs d’une loi normale non réduite NIm, s 2 M, on effectue un changement de variable pour se ramener à
la loi normale Z.
Par exemple, considérons X = NH200; 40L
On pose Z = X-200
40
0.4
0.3
0.2
0.1
N H200, 40M
196 198 200 202 204 206
0.4
0.3
0.2
0.1
-4 -2 2 4
† Exemple 1. On suppose que la température X pendant le mois de juin suit une loi normale de moyenne 20°C et d’écart-type
s=3°. Calculer la probabilité que la température soit comprise entre 21°C et 26°C.

† Exemple 2. On sait que le QI suit une loi normale NI100; 15 2 M
Déterminer
a) le QI maximum atteint par 90% de la population
b) l’intervalle de QI centré sur la moyenne qui comprend la moitié de la population
Exercices E
Variables aléatoires solutions.nb 15
† E1. La résistance d’un tissu de coton est une v.a. X distribuée normalement, de moyenne 165 et de variance 9. L’usine
considère qu’un échantillon est défectueux si sa résistance est inférieure à 162. Quelle est la probabilité pour qu’un
échantillon choisi au hasard soit défectueux ?
† E2. Une machine automatique fabrique des tubes en série dont le diamètre X est réparti selon la loi normale de moyenne 20
cm et d’écart-type 1,5 mm.
a) Calculez la probabilité qu’une pièce prise au hasard dans la fabrication ait un diamètre compris entre 19,75 cm et 20,25
cm.
b) Quel intervalle de centre 20 cm peut-on garantir avec une probabilité 0,95 ?
† E3. On suppose que la taille de 615 étudiants est distribuée normalement avec une moyenne de 1,75 m et un écart-type de
20 cm. Calculer le nombre d’étudiants ayant des tailles :
— inférieures ou égales à 1,50 m
— comprises entre 1,50 m et 1,65 m
— supérieures ou égales à 2 m.
† E4. Un zoologiste étudie les passages d'une espèce de chauve-souris en lisière d'un espace boisé à La Plante près de Namur. Il
effectue un comptage d'individus et répertorie en moyenne 3 individus par 30 minutes.
a) Quelle est la probabilité qu'il détecte 7 individus en 1 heure?
b) Quelle est la probabilité qu'il détecte au plus 7 individus en 1 heure?
c) Quelle est la probabilité qu'il détecte entre 2 et 4 individus par 15 minutes?
source: http://webapps.fundp.ac.be/
† E5. La probabilité qu’un tireur atteigne une cible est de 1
4 .
a) En supposant qu’il tire 5 fois, quelle est la probabilité qu’il atteigne la cible au moins 2 fois ?
b) Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois soit supérieure ou égale à 2
3 ?
† E6. Un test comprend 10 questions. Lorsque le candidat répond correctement à une question, il gagne deux points. Lorsqu’il
ne répond pas ou donne une fausse réponse, il perd deux points.
Soit x le nombre de bonnes réponses.
(a) Trouver une formule donnant la note du candidat en fonction de x. On suppose que si la formule donne un résultat
négatif, la note 0 est attribuée.
(b) Un candidat répond bien à la moitié des questions. Pour les 5 autres, il répond au hasard.
Soit X, la note sur 20 obtenue.
- Quelles valeurs peut prendre X?
- Quelle est la probabilité que le candidat obtienne 20 ?
- Quellle est la probabilité qu’il obtienne 8 ?
- Quellle est la probabilité qu’il obtienne au moins 10 ?

16 Variables aléatoires solutions.nb
† E7. L'institut National de Statistiques s'est intéressé au nombre d’accidents sur la route et démontre qu'en moyenne, on
observe 2 accidents par quart d'heure en pleine heure de pointe.
a) Quelle est la probabilité de n'observer aucun accident en un quart d'heure?
b) Quelle est la probabilité d'observer plus de 3 accidents en un quart d'heure?
c) Quelle est la probabilité de n'observer aucun accident en une heure?
d) Quelle est la probabilité d'observer 4 accidents en une heure?
solution: P(X = 4) = 0,0572
source: http://webapps.fundp.ac.be/
† E8. Soit X le nombre de mollusques capturés par 10 dm 2 .
Supposons que la répartition des animaux est non agrégative et que la concentration moyenne est de 10 individus par 10
dm 2 . Quelle est la probabilité de capturer 15 individus par 10 dm 2 ?
† E9. Dix composants électroniques identiques sont mis en service simultanément. La probabilité pour que l’un quelconque de
ces composants soit encore en service au bout d’un an est 0,8.
a) Quelle est la probabilité pour qu’il y ait encore 7 composants en fonctionnement au bout d’un an ? au moins 7 ?
b) Sachant qu’il y a au moins 7 composants en fonctionnement, calculer la probabilité pour qu’il y en ait au plus 9.
† E10. Dans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont défectueuses; on prélève une pièce, on examine si elle est
défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à
chaque tirage de 120 pièces associe le nombre des pièces défectueuses.
a) Justifier que X suit une loi binomiale, en préciser les paramètres.
b) Calculer P@X = 5D.
c) Montrer qu’une approximation de la loi binomiale par une loi de Poisson convient et calculer P@X = 5D à l’aide de
l’approximation. Comparer pour apprécier la qualité de l’approximation.
† E11. On lance 300 fois une pièce de monnaie truquée. La probabilité d’obtenir face est 2
3 .
On désigne par X la variable aléatoire qui associe le nombre de «faces» obtenus.
a) Justifier que X suit une loi binomiale , en préciser les paramètres. Peut-on calculer simplement P@X > 210D ?
b) Calculer à l’aide d’une approximation par une loi normale.
† E12. Une entreprise fabrique des perceuses. Un tirage au hasard de 1 000 perceuses étant assimilé à un tirage avec remise, on
appelle X la variable aléatoire qui à chaque lot de 1 000 perceuses associe le nombre de perceuses non défectueuses de ce
lot. On admet que X suit la loi binomiale Bi(1000; 0.9875 ). On veut calculer la probabilité P que 982 perceuses au moins ne
soient pas défectueuses.
a) Calculer EX et s X . Donner, sans la calculer, l’expression de P.
b) Pour calculer une valeur approchée de P, on admet qu’il est légitime d’utiliser la loi normale N( 987; 3.5 2 ).
Déterminer P à 10 -2 près.
† E13. On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de défauts sur le verre d’une ampoule.
On admet que X obéit à la loi de Poisson de paramètre l = 4.
Calculer la probabilité des événements suivants:
a) il n’y a aucun défaut sur l’ampoule.
b) il y a plus de 2 défauts sur l’ampoule.
c) Le nombre de défauts est compris entre 2 et 5 (bornes comprises).
† E14. Une entreprise fabrique en série des boîtes en carton.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la hauteur d’une boîte en carton.
On admet que X suit la loi normale de moyenne 2,5 cm et d’écart type 0,2 cm.
a) Calculer la probabilité qu’une boîte, choisie au hasard dans la production, ait une hauteur inférieure à 2,25 cm.
b) Déterminer le réel a tel que la probabilité que X soit inférieure à a, ait pour valeur 0,67.