propagation atmospherique - notes de cours - Institut Jean le Rond ...

PROPAGATION ATMOSPHERIQUE -
NOTES DE COURS
François COULOUVRAT et Régis MARCHIANO
(francois.coulouvrat@upmc.fr - regis.marchiano@upmc.fr)
Université Pierre et Marie Curie - Paris 6
Institut Jean Le Rond d’Alembert - UMR CNRS 7190
4, place Jussieu - 75252 Paris cedex 05 France
Année universitaire 2009-2010

Table des matières
1 Equation des ondes 4
1.1 Fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Linéarisation des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 L’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Solutions de l’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 L’onde progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 L’onde plane progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 L’onde plane progressive harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 L’onde sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 La vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Vitesse du son dans l’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Vitesse du son dans l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Aspects énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Equation de conservation de l’énergie acoustique . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Puissance d’une source acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Mesure du niveau de pression, le décibel . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Réflexion et transmission d’une onde acoustique à une interface plane 25
2.1 Les lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Onde plane incidente, réfléchie et transmise . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Les lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Coefficients de réflexion et de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Calcul des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude . . 28
2.2.2 Incidence normale - conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Conservation de l’énergie en incidence oblique . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Réflexion totale - onde plane inhomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Onde plane inhomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Réflexion totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Transmission à travers une paroi mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Hypothèses et modélisation de la paroi mince . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Champ acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Perte en transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 2
3 Sources acoustiques - introduction à l’aéroacoustique 38
3.1 Sources ponctuelles et fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 Rappels sur la distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Source ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.4 Sphère pulsante, monopole et source ponctuelle . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Le théorème de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Le théorème de Kirchhoff en régime temporel . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Le théorème de Kirchhoff en régime fréquentiel . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Sources acoustiques de type 1 : rayonnement des surfaces planes . . . . . . . . 47
3.3.1 L’intégrale de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Rayonnement d’un piston plan bafflé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.3 Rayonnement d’une coupelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Introduction à l’aéroacoustique : analogie de Lighthill et bruit de jet . . . . . . 59
3.4.1 Analogie aéroacoustique de Lighthill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.2 Bruit de jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Guides d’ondes 62
4.1 Guides d’ondes bi-dimensionels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.1 Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.2 Résolution - Solution à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.3 Modes propagatifs - Modes évanescents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.4 Conditions à la source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Guide d’onde cylindrique rigide avec écoulement uniforme . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 L’équation des ondes dans un milieu avec écoulement uniforme . . . . . 68
4.2.2 Relation de dispersion de l’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.3 Vitesse de phase et anisotropie de la propagation . . . . . . . . . . . . 70
4.2.4 Bilan d’énergie dans un milieu en mouvement - vitesse de groupe . . . 71
4.2.5 Modes guidés en conduit annulaire ou cylindrique à paroi rigide . . . . 75
4.2.6 Cas du conduit cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.7 Cas du conduit annulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Guide d’onde cylindrique avec paroi traitée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 Impédance à la paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.2 Relation de dispersion des modes guidés avec paroi traitée . . . . . . . 85
4.3.3 Calcul des modes guidés en conduit cylindrique à paroi traité . . . . . . 87
5 Introduction à l’acoustique non linéaire dans les fluides 91
5.1 Introduction - observations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2 La vitesse du son en acoustique non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 L’équation de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Solution de l’équation de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.1 Solution de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.2 Déformation temporelle et cascade d’harmoniques : Solution de Fubini 101
F. Coulouvrat et R. Marchiano 2

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 3
5.4.3 Théorie des chocs faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A Définitions et propriétés des fonctions de Bessel 108
F. Coulouvrat et R. Marchiano 3

Chapitre 1
Ondes sonores dans un fluide parfait
Dans ce chapitre, nous établissons l’équation des ondes linéaire pour une perturbation
acoustique se propageant dans un fluide parfait. La première partie est consacrée au rappel
des équations de bilan pour un fluide parfait ainsi que des lois de comportement thermodynamiques.
La seconde partie présente l’approximation acoustique ainsi que la linéarisation des
équations rappelées dans la première partie. Ces équations linéarisées permettent d’établir
l’équation des ondes. La troisième partie est consacrée à l’étude des solutions de l’équation
des ondes. La solution générale sera établie pour l’équation des ondes à une dimension et le
concept d’onde plane progressive sera alors introduit. Il sera ensuite généralisé à l’onde plane
progressive à 3D puis à l’onde plane progressive harmonique. La solution de l’équation des
ondes dans le cas d’une géométrie sphérique sera également abordée. Dans une quatrième
partie, quelques développements sur les propriétés de la vitesse du son sont discutés. Enfin, la
dernière partie sera consacrée à l’étude des aspects énergétiques de la propagation d’une onde
acoustique dans un fluide parfait.
4

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 5
1.1 Équations du mouvement d’un fluide parfait
Dans un premier temps, nous rappelons les équations de bilan pour la quantité de mouvement,
pour la masse et pour l’énergie dans le cas d’un fluide parfait. En un point → x, à l’instant
t, on note ρ( → x, t) la masse volumique ([ρ] = kg.m −3 ), p( → x, t) la pression ([p] = P a), → v ( → x, t)
la vitesse ([v] = m.s −1 ) et T ( → x, t) la température ([T ] = K). En outre, on appelle u son
énergie interne spécifique (i.e. par unité de masse, [u] = J.kg −1 ) et s son entropie spécifique
([s] = J.kg −1 .K −1 ). Avec ces notations, l’équation de conservation de la masse s’écrit :
∂ρ
∂t + div(ρ → v ) = 0. (1.1)
L’équation de conservation de la quantité de mouvement, ou équation d’Euler, est :
ρ D →
v ∂
= ρ
Dt → v
∂t + (→v . →
∇) →
v = − →
∇ p. (1.2)
où l’opérateur Da/Dt représente la dérivée particulaire (encore appelée dérivée totale) de la
quantité a : Da/Dt = ∂a/∂t + ( → v . →
∇)a.
Pour un fluide parfait, l’équation de bilan d’énergie se réduit à :
Ds
Dt
= 0. (1.3)
Les lois de la thermodynamique permettent de caractériser l’état du fluide. L’identité
fondamentale de la thermodynamique reliant l’énergie interne spécifique, l’entropie spécifique,
la température, la pression et la masse volumique s’écrit :
1
du = T ds − pd = T ds +
ρ
p
dρ (1.4)
ρ2
Cette relation permet de définir la température T = ∂u
∂s
ρ2
= p(ρ, s) en fonction des variables d’état (ρ, s).
∂u
∂ρ
s
F. Coulouvrat et R. Marchiano 5
ρ
= T (ρ, s) et la pression p =

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 6
1.2 Equation des ondes
Les relations rappelées dans la section précédente vont nous permettre d’établir les équations
de l’acoustique dans un fluide parfait au repos. Au repos, la vitesse du fluide est nulle, v0 = 0,
si bien qu’on peut entièrement caractériser l’état du fluide par sa masse volumique et son
entropie (ρ0, s0), puisque les autres variables dépendent directement de ces deux grandeurs :
la pression au repos est p0 = p(ρ0, s0) quant à la température au repos, on a T0 = T (ρ0, s0).
L’établissement des équations de l’acoustique en fluide parfait repose sur l’hypothèse que
les ondes acoustiques sont une perturbation de l’état de base du fluide (au repos dans notre
cas, mais il est possible d’établir les équations de l’acoustique pour un fluide en écoulement).
Ainsi on écrit les champs de masse volumique, de pression, de température, d’entropie et de
vitesse, comme étant la somme de l’état de base (le repos) plus la perturbation acoustique
(notée avec l’indice a) :
ρ( → x, t) = ρ0 + ρa( → x, t) (1.5)
p( → x, t) = p0 + pa( → x, t) (1.6)
T ( → x, t) = T0 + Ta( → x, t) (1.7)
s( → x, t) = s0 + sa( → x, t) (1.8)
→ v ( → x, t) = → v a ( → x, t) (1.9)
Nous allons établir les équations de l’acoustique en injectant ces champs dans les équations
de bilan rappelées précédement, en ne gardant que les termes linéaires par rapport aux perturbations
acoustiques.
1.2.1 Linéarisation des équations
– Equation de conservation de la masse
En injectant les équations 1.5 et 1.9 dans l’équation de conservation de la masse (eq.
1.1), il vient :
∂(ρ0 + ρa)
+ div((ρ0 + ρa)
∂t
→ v a) = 0.
En ne gardant que les termes d’ordre 1 et en remarquent que la masse volumique au repos
ne dépend ni du temps (∂ρ0/∂t = 0) ni de l’espace (le fluide est homogène, →
∇ ρ0 = 0),
on obtient l’équation de conservation de la masse linéarisée :
∂ρa
∂t + ρ0div( → v a) = 0. (1.10)
– Equation d’Euler
Pour linéariser l’équation d’Euler, on procède de la même manière. Les équations 1.5,
1.6 et 1.9 sont injectées dans l’équation d’Euler (eq. 1.2), il vient alors :
(ρ0 + ρa)
∂ → v a
∂t + (→ v a . →
∇) → v a
F. Coulouvrat et R. Marchiano 6
= − →
∇ (p0 + pa).

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Là aussi, on ne garde que les termes d’ordre 1. Par conséquent, on néglige le terme
convectif ( → v a . →
∇) → v a ainsi que le terme ρa ∂→v a qui sont des termes d’ordre 2. L’équation
∂t
d’Euler linéarisée s’écrit :
∂
ρ0
→ v a →
= − ∇ (pa). (1.11)
∂t
– Equation de conservation de l’énergie
D’après l’équation de bilan de l’énergie (eq. 1.3), pour un fluide parfait, l’entropie est
constante au cours du temps pour une particule fluide donnée que l’on suit dans son
mouvement (Ds/Dt = 0). D’autre part, le fluide est homogène, par conséquent, cette
constante est la même pour toutes les particules du fluide : s( → x, t) = s0. Donc, la
perturbation acoustique d’entropie est nulle. Ainsi, la pression dépend d’une part de la
masse volumique et d’autre part de l’entropie au repos : p(ρ, s0). En considérant que la
perturbation de masse volumique est petite par rapport à la masse volumique au repos
(ρa

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1.2.2 L’équation des ondes
Nous allons maintenant établir l’équation des ondes à partir des équations linéarisées calculées
précédemment 1.10, 1.11 et 1.13. Pour cela, tout d’abord, on élimine la dépendance
en masse volumique dans l’équation de conservation de la masse en y substituant l’équation
1.13 :
On dérive ensuite cette équation par rapport au temps :
En commutant les opérateurs ∂
∂t
1
c 2 0
1
c 2 0
1
c 2 0
∂(pa)
∂t + ρ0div( → v a) = 0. (1.15)
∂ 2 (pa)
∂t 2
∂
+ ρ0
∂t div(→v a) = 0. (1.16)
et div, cette équation devient :
∂ 2 (pa)
∂t 2
+ ρ0div
∂ → v a
∂t
= 0. (1.17)
En substituant l’expression de ∂ → v a /∂t donnée par l’équation d’Euler linéarisée (eq. 1.11),
cette dernière équation peut se mettre sous la forme classique de l’équation des ondes scalaire
à trois dimensions :
∆pa − 1
c 2 0
∂2 (pa)
= 0. (1.18)
∂t2 Compte tenu des hypothèses formulées jusqu’à présent, cette équation est valable pour des
petites perturbations, dans un fluide parfait homogène au repos.
Il est également possible d’établir une équation de propagation pour les autres champs.
La relation de proportionnalité entre la masse volumique et la pression (eq. 1.14) montre
immédiatement que la masse volumique satisfait l’équation des ondes :
∆ρa − 1
c 2 0
∂2 (ρa)
= 0. (1.19)
∂t2 Pour établir l’équation des ondes pour la vitesse, il faut partir de l’équation de la conservation
de la masse où l’on a substitué la pression à la masse volumique (eq. 1.15) et en prendre le
gradient. Puis il faut utiliser l’équation d’Euler linéarisée pour éliminer le terme en gradient
de la pression. On obtient ainsi l’équation des ondes vectorielle pour la vitesse :
→
∆ → v a − 1
c2 0
F. Coulouvrat et R. Marchiano 8
∂2 ( → v a)
= 0. (1.20)
∂t2

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 9
1.3 Solutions de l’équation des ondes
Dans cette partie, nous passons en revue quelques solutions de l’équation des ondes. Tout
d’abord nous présentons la solution de l’équation des ondes à une dimension d’espace. Cette
solution permet d’introduire le concept d’onde progressive. Ensuite, nous étendons cette notion
au cas des ondes planes progressives, solutions de l’équation d’ondes à trois dimensions établie
précédemment. Puis, dans une courte partie nous introduisons le concept d’onde plane progressive
harmonique (cas particulier d’onde plane progressive) et en particulier le vocabulaire
associé. Enfin, le cas de l’onde sphérique est traité.
1.3.1 L’onde progressive
A une dimension d’espace (que l’on notera x), l’équation des ondes est :
∂2pa 1
−
∂x2 c2 0
∂2 (pa)
= 0. (1.21)
∂t2 Pour chercher les solutions de cette équation, on effectue le changement de variables proposé
par d’Alembert 1 (1747) en posant :
En effectuant ce changement de variables on trouve que :
∂pa 1 ∂pa ∂pa
= − −
∂x ∂ξ ∂η
et par conséquent,
∂pa
∂t
L’équation des ondes se réduit alors à :
ξ = t − x/c0, (1.23)
η = t + x/c0. (1.24)
c0
= ∂pa
∂ξ
(1.25)
∂pa
+ , (1.26)
∂η
∂2pa 1
=
∂x2 c2 2 ∂ pa
0 ∂ξ2 − 2 ∂2pa ∂ξ∂η + ∂2pa ∂η2
, (1.27)
∂2pa ∂t2 = ∂2pa ∂ξ2 + 2 ∂2pa ∂ξ∂η + ∂2pa .
∂η2 (1.28)
∂ 2 pa
∂ξ∂η
= 0 (1.29)
1 Ce changement de variables est inspiré de la factorisation de l’équation des ondes en deux équations de
transport dans la direction +x et −x :
∂2pa 1
−
∂x2 c2 ∂
0
2 (pa)
∂t2 =
∂pa
∂x
− 1
c0
F. Coulouvrat et R. Marchiano 9
∂(pa) ∂pa 1
+
∂t ∂x c0
∂(pa)
= 0. (1.22)
∂t

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 10
En intégrant cette équation une première fois par rapport à ξ, puis une seconde fois par
rapport à η, on trouve que la pression peut s’exprimer comme :
pa = f(ξ) + g(η) = f(t − x
) + g(t + x
) (1.30)
où f et g sont des fonctions scalaires quelconques. C’est la solution générale de l’équation des
ondes unidimensionnelle.
Interprétation physique : Pour simplifier le problème, on suppose que la pression acoustique
est de la forme : pa = f(t − x ). Si on se place en x = 0, alors la pression est décrite par
c0
une fonction du temps : pa = f(t) (Fig. 1.1). Si on observe maintenant l’onde en une position
quelconque x1 telle que x1 > 0 alors la pression est donnée par pa = f(t − x1/c0). Ceci signifie
qu’on peut déduire la pression en x1 à partir de la pression en x = 0 en décalant (”déphasant”)
la solution en x = 0 d’une quantité ∆t = x1/c0 vers les t > 0. En d’autres termes, l’onde qui
passe en x = 0 arrive en x1 avec un déphasage égale à ∆t. Ce temps correspond au temps qu’il
a fallu à l’onde pour parcourir la distance x1 à la vitesse c0. Ceci justifie bien sûr l’appellation
de vitesse de propagation des ondes acoustiques ou plus simplement de vitesse du son ou encore
célérité du son pour c0. La compréhension de cette notion d’onde progressive est essentielle
en acoustique (comme dans toutes les branches de la physique ondulatoire). On peut encore
interpréter le phénomène de la manière suivante : la fonction f décrit la propagation d’un
ébranlement dans la direction des x croissants. En effet, en se plaçant en x < 0 le temps de
parcours aurait été négatif : le signal serait arrivé avant d’être émis et par la même occasion
aurait brisé le principe de causalité ! Pourtant rien n’interdit aux ondes acoustiques de se propager
dans la direction des x décroissants. En fait, c’est la fonction g qui décrit la propagation
vers les x décroissants. Pour s’en convaincre, il suffit de faire le même raisonnement que celui
qu’on a fait avec la fonction f. On retiendra que la structure couplant espace et temps t − x
c0
est synonyme d’une propagation vers les x croissants tandis que la structure t + x traduit la
c0
propagation vers les x décroissants.
La vitesse peut être trouvée à partir de la solution générale pour la pression (eq. 1.30) en
utilisant l’équation d’Euler linéarisée à une dimension :
Cette dernière équation s’intégre en :
c0
∂va
ρ0 = −∂pa
∂t ∂x
= −
(1.31)
∂
f(t −
∂x
x
) + g(t +
c0
x
)
c0
(1.32)
= 1
(f ′ − g ′ ) (1.33)
c0
c0
ρ0va = 1
(f − g). (1.34)
c0
Dans le cas d’une onde progressive vers les x croissants, la pression est pa = f(t − x
c0 )
et d’après l’équation précédente la vitesse s’écrit : va = 1 f. Par conséquent, la vitesse est
ρ0c0
proportionnelle à la pression :
F. Coulouvrat et R. Marchiano 10
va = p
. (1.35)
Z

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 11
p a
p a
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
! t = x 1 /c 0
Fig. 1.1 – Ebranlement se propageant vers les x croissants
La quantité Z = 1 est appelée impédence caractéristique du milieu.
ρ0c0
Dans ce qui précéde, la seule approximation qui ait été faite est que la perturbation acoustique
en masse volumique est très inférieure à la masse volumique au repos : |ρa| 0
= |c0ρa|
|ρ0|

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 12
progressive qui s’écrit :
pa( → → →
x . n
x, t) = f t − , (1.37)
f est une fonction scalaire quelconque, → n est un vecteur unitaire appelé vecteur direction de
propagation. En injectant cette solution (eq. 1.37) dans l’équation des ondes à trois dimensions
(eq. 1.18), on vérifie aisément que l’onde plane est solution de l’équation des ondes.
Ce type d’onde possède des propriétés intéressantes. Tout d’abord, la solution dans un
plan perpendiculaire à la direction de propagation est identique en tout point et ne dépend
que du temps (Fig. 1.2). L’appellation d’onde plane est due à cette propriété. Ensuite, on
peut déduire la pression dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation à partir
de la pression dans un autre plan perpendiculaire à la direction de propagation. Pour cela, on
applique à la pression un déphasage égal à ∆t = d/c0, où d est la distance séparant les deux
plans 2 .
Si on se déplace, en suivant l’onde à la vitesse c0, alors la pression est identique en tous
points (onde plane) et ne dépend pas du temps : on mesure à chaque instant la même pression.
On peut traduire mathématiquement cette propriété par la relation :
c0
pa(t, → x= → x 0 +c0t → n) = cste. (1.38)
Cette relation définit une surface (dans notre cas un plan) où la phase est constante, appelée
front d’onde. Toute droite parallèle à → n et par conséquent, perpendiculaire au front d’onde,
est appelée rayon acoustique.
Comme pour l’onde progressive, il est possible d’établir une relation simple liant la pression
à la vitesse. Pour cela, on utilise l’équation d’Euler linéarisée (eq. 1.11) dans laquelle on injecte
l’expression de pa pour une onde plane (eq. 1.37) :
∂
ρ0
→ v a
∂t
→
n
= − f
c0
′ . (1.39)
En intégrant cette relation par rapport au temps, on trouve la même relation d’impédance
que pour l’onde progressive :
→
v a= pa →
n . (1.40)
Z
La relation d’impédance dans le cas d’une onde plane progressive montre que d’une part la
vitesse est proportionnelle à la pression et d’autre part, la vitesse est dirigée selon → n, c’est à
dire dans la direction de propagation, on dit alors que c’est une onde longitudinale.
Pour conclure, remarquons que l’onde plane n’a pas de réalité physique. En effet, il est
difficile d’envisager un tel type d’onde, d’extension spatiale infinie ! Cependant, l’onde plane a
un intérêt important car elle permet de fabriquer des modèles simples et elle permet également
de décomposer les solutions plus complexes comme une combinaison d’ondes planes.
2 Soit D une droite portant le vecteur direction de propagation et coupant le plan P1 au point
O1 = (x1, y1, z1) et le plan P2 au point O2 = (x2, y2, z2), la distance d vaut alors d =
(x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 + (z1 − z2) 2
F. Coulouvrat et R. Marchiano 12

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 13
Fig. 1.2 – Propagation d’une onde plane progressive
1.3.3 L’onde plane progressive harmonique
Nous avons vu, dans la partie précédente, qu’il existe une classe de solutions particulières
de l’équation des ondes : l’onde plane progressive. Particularisons encore un peu plus cette
classe de solution, en nous intéressant au cas des fonctions périodiques, et plus particulièrement
des fonctions harmoniques. On notera T = 1/f, la période de ces fonctions ([T ] = s), où f
représente la fréquence [f] = Hz.
Il existe plusieurs types de représentation classique de ces fonctions. La plus simple s’écrit :
f(t) = a cos(2πt/T + φ) = a cos(ωt + φ), (1.41)
où a est l’amplitude, φ la phase du signal ([φ] = rad) et ω = 2π/T la pulsation [ω] = rad/s).
Cependant, la représentation complexe est souvent plus adaptée à la résolution des différents
problèmes :
f(t) = Re Ae −iωt , (1.42)
où A = ae iφ est l’amplitude complexe. Le signe moins qui apparaît dans l’exponentielle complexe
est une convention très répandue en acoustique. Dans la pratique, sauf indication du
contraire, on omettra la notation partie réelle.
Avec ces notations, on introduit l’onde plane progressive harmonique :
pa( → x, t) = P e −iω
„
t− → x . → «
n
c0 F. Coulouvrat et R. Marchiano 13
(1.43)
pa( → x, t) = P e i(→k
. → x −ωt)
. (1.44)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 14
où →
k= k → n est le vecteur d’onde et k = ω/c0 est le nombre d’onde ([k] = rad/m). Le nombre
d’onde est homogène à l’inverse d’une longueur, on peut donc poser : k = 2π/λ, où λ est une
longueur que l’on va définir. Par définition, l’onde plane progressive harmonique possède une
période temporelle reliée à la pulsation : ω = 2π/T . Par analogie, on voit que k est reliée à une
période spatiale qui est la longueur λ. Par conséquent, l’onde plane progressive harmonique
est périodique en temps (T ) et en espace (λ). La longueur λ est appelée longueur d’onde. Si
on fait l’analogie avec les ondes de pesanteur que l’on produit en lançant un caillou dans l’eau,
la longueur d’onde est la distance qui sépare deux vagues consécutives.
En combinant les relations définissant la pulsation et la longueur d’onde, on trouve une
des relations les plus importantes en acoustique :
λ = c0/f, (1.45)
cette relation montre que la périodicité spatiale est reliée à la péridocité temporelle par la
vitesse du son. Il faut retenir que plus les longueurs d’onde sont petites et plus la fréquence
est élevée. La figure 1.3 illustre cette relation en reliant le spectre fréquentiel à quelques
phénomènes acoustiques : de la détection des essais nucléaires (phénomène à grande échelle
spatiale et à basse fréquence), à l’utilisation de filtre à ondes de Rayleigh dans les téléphones
portables (phénomène très haute fréquence et dimension spatiale très petite).
Dans le cas d’une onde plane progressive harmonique se déplaçant vers les → x croissants
pa( → x, t) = P ( → x)e −iωt , la pression et la vitesse vérifient toujours la relation d’impédance :
∂ → v a
∂t
= − 1
= −i →
ρ0
→
∇ pa
k P e −iωt
ρ0
→ v a = k → n P e −iωt
→ v a = pa
Z
ωρ0
→
n .
Enfin, introduisons le concept d’analyse fréquentielle qui généralise le cas simple de l’onde
progressive harmonique et étend considérablement son intérêt. Le formalisme de Fourier permet
de décomposer tout signal temporel en une somme de signaux périodiques. Les transformées
de Fourier directe et inverse permettent de passer du domaine temporel au domaine
fréquentiel, par convention on choisit :
P ( → x, ω) =
pa( → x, t) = 1
2π
+∞
−∞
+∞
−∞
pa( → x, t)e iωt dt, (1.46)
P ( → x, ω)e −iωt dω. (1.47)
La définition de la transformée de Fourier inverse illustre le fait que la pression dans le domaine
temporel est une superposition (une somme) d’ondes harmoniques de différentes fréquences
(e −iωt ).
F. Coulouvrat et R. Marchiano 14

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 15
Fig. 1.3 – Illustration de la relation entre la longueur d’onde et la fréquence au travers de
quelques exemples et applications de l’acoustique
F. Coulouvrat et R. Marchiano 15

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 16
P1
P2
!
n
Fig. 1.4 – Illustration de la périodicité en espace et en temps pour une onde plane harmonique
Dans le domaine fréquentiel, l’équation des ondes est ”‘transformée”’ par l’intermédiaire
de la transformation de Fourier en :
c’est l’équation de Helmholtz.
1.3.4 L’onde sphérique
P1
P2
T
∆P + k 2 P = 0, (1.48)
Lorsqu’on étudie des sources ponctuelles, il est plus commode de travailler en coordonnées
sphériques plus adaptées à la géométrie du problème. En coordonnées sphériques, le Laplacien
vaut :
∆ = 1
r 2
∂ 2 ∂
r +
∂r ∂r
1
r2
sin θ
sin θ
∂
+
∂θ
1
r 2 sin 2 θ
∂ 2
∂φ 2
t
(1.49)
On s’intéresse dans ce paragraphe à des ondes avec une symétrie sphérique (dépendance uniquement
en r). Le Laplacien se réduit au premier terme et l’équation des ondes en coordonnées
sphériques s’écrit :
1
r2
∂
r
∂r
2 ∂pa
∂r
− 1
c 2 0
En développant la dérivée par rapport à r, il vient :
2 ∂pa
r ∂r + ∂2pa 1
−
∂r2 c 2 0
∂2pa = 0 (1.50)
∂t2 ∂2pa = 0
∂t2 En multipliant cette équation par r et en remarquant que 2 ∂pa
∂r + r ∂2pa ∂r2 l’expression classique de l’équation des ondes en coordonnées sphériques :
∂2rpa 1
−
∂r2 c2 0
F. Coulouvrat et R. Marchiano 16
= ∂2 rpa
∂r 2 , on trouve
∂2rpa = 0 (1.51)
∂t2

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 17
La structure de cette équation est formellement identique à celle de l’équation d’onde
unidimensionnelle étudiée précédemment (cf 1.3.1). La seule différence est que c’est la quantité
rpa qui vérifie cette équation. On connaît la forme des solutions :
Par conséquent, la pression acoustique est :
rpa = f(t − r/c0) + g(t + r/c0). (1.52)
pa(r, t) = 1
r f(t − r/c0) + 1
r g(t + r/c0). (1.53)
L’interprétation physique de cette solution est similaire à celle de l’onde progressive. La fonction
f décrit la propagation d’une onde vers les r croissants (r → ∞), c’est une onde divergente.
Le terme en 1/r rend compte de la décroissance du champ en fonction de la distance à l’origine.
Les fronts d’onde sont alors des sphères de plus en plus grandes et les rayons acoustiques
sont les droites normales à ces surfaces. La fonction g décrit la propagation d’une onde vers
les r décroissants (jusqu’à r = 0), c’est une onde convergente. Le terme en 1/r rend compte
de l’augmentation de l’amplitude au fur et à mesure que l’onde se rapproche de l’origine. En
r = 0, il y a une singularité, toutes les parties de l’onde convergent en ce point et l’amplitude
attendue est infinie ! Ceci est bien sûr physiquement impossible : on est dans un cas de figure
où la modélisation adoptée n’est plus valable ! Dans le cas d’une onde divergente (i.e. une
source ponctuelle en r = 0 et pas de source à l’infini), la pression se réduit à :
pa(r, t) = 1
r f(t − r/c0), (1.54)
on peut alors calculer la vitesse acoustique à partir de l’équation d’Euler généralisée :
∂
ρ0
→
v a → 1
= − ∇ f(t − r/c0) . (1.55)
∂t r
Dans le cas de la symétrie sphérique en coordonnées sphériques, le gradient se réduit à →
∇=
∂ →
er, par conséquent :
∂r
∂ → v a
∂t =
′ f f →er
+ . (1.56)
ρ0r2 rρ0c0
En intégrant cette expression, on trouve la vitesse acoustique :
→ F f →er
v a= + . (1.57)
ρ0r2 rZ
où F est la primitive de la fonction f. Cette expression est différente de celles obtenues
pour l’onde progressive et l’onde plane. Cependant, lorsque r est très grand (r → ∞), le
premier terme est négligeable par rapport au second et on retrouve une expression formellement
identique à la relation d’impédance pour une onde plane progressive. En effet, si r → ∞,
localement on peut considérer le front d’onde comme plan et assimiler alors l’onde sphérique
à une onde plane.
Comme nous l’avons fait pour l’onde plane, il est aussi possible de caractériser un peu
plus le problème et d’introduire la notion d’onde sphérique harmonique. Nous ne traitons pas
explicitement ce cas, mais nous y reviendrons au travers d’exemples dans la suite de l’exposé.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 17

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 18
O
r
Fig. 1.5 – Onde sphérique divergente
F. Coulouvrat et R. Marchiano 18

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 19
1.4 La vitesse du son
1.4.1 Cas général
Dans la section 1.2, la vitesse de propagation des ondes sonores dans un fluide parfait a
été définie grâce à des considérations thermodynamiques comme étant :
∂p
c0 = .
∂ρ
Nous allons relier la vitesse du son à la compressibilité du milieu de propagation. Pour cela,
introduisons le coefficient de compressibilité adiabatique :
χs = − 1
∂V
, (1.58)
V ∂p s
Ce coefficient traduit la variation de volume relative δV
V
entropie constante ([χs] = P a−1 ) : δV
V = −χsδp. Le signe moins est une convention qui permet
au coefficient de compressibilité d’être une quantité positive car sous l’effet de la pression le
volume diminue. La masse volumique est inversement proportionnelle au volume : ρ = M/V .
En différenciant cette relation on obtient :
dρ
ρ
s0
= −dV
V .
produite si on exerce la pression δp à
Ceci permet d’écrire le coefficient de compressibilité adiabatique sous la forme :
χs = 1
∂ρ
, (1.59)
ρ ∂p s
on relie alors aisément la vitesse du son à ce coefficient :
1
c0 =
ρχs
(1.60)
On voit que la vitesse du son est inversement proportionnelle à la racine carrée du produit
du coefficient de compressibilité adiabatique et de la masse volumique. La vitesse du son est
d’autant plus grande que la masse volumique et le coefficient de compressibilité sont faibles.
Dans les deux exemples que nous allons voir dans la suite, vitesse du son dans l’air et dans
l’eau, c’est le le coefficient de compressibilité qui donne la tendance concernant la valeur de
c0. En effet, nous allons voir que la vitesse du son dans l’air (considéré comme un gaz parfait,
milieu compressible) est inférieure à la vitesse du son dans l’eau (moins compressible !). Pour
calculer la vitesse du son dans un milieu donné à partir de la relation 1.59, il faut donc connaître
le coefficient de compressibilité adiabatique. Or en pratique, ce coefficient est moins facile à
mesurer que le coefficient de compressibilité isotherme. Il est en effet plus facile de contrôler
la température que l’entropie. C’est d’ailleurs ce coefficient qui été utilisé par Newton et qui
conduit à sous-estimer la vitesse du son de 16% environ.
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Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 20
1.4.2 Vitesse du son dans l’air
On assimile l’air à un gaz parfait. Dans ce cas, il est possible de calculer analytiquement la
vitesse du son dans l’air. On a supposé que la propagation d’ondes est un processus adiabatique.
Par conséquent, le gaz suit la loi de Laplace :
pρ −γ = cste, (1.61)
le coefficient γ est le rapport des chaleurs spécifiques. En différenciant cette expression on
trouve :
On en déduit, d’après la définition de la vitesse du son que :
dp
p
dρ
= γ . (1.62)
ρ
c 2 0 = γ p
ρ
(1.63)
La loi des gaz parfaits permet de relier la pression à la masse volumique. En effet, la loi d’état
des gaz parfait s’écrit :
pV = nRT (1.64)
où p désigne la pression dans le fluide, V le volume du fluide, n le nombre de mole, R =
8.31431J.K −1 .mol −1 est la constante des gaz parfaits et T et la température. En divisant cette
expression par la masse de gaz M contenu dans le volume V , on trouve :
p = ρrT. (1.65)
où r = nR/M = R/mair avec mair la masse molaire de l’air. En injectant cette expression
dans l’équation 1.63, on trouve que la vitesse du son dans un gaz parfait s’exprime par :
c0 = γrT . (1.66)
En assimilant l’air à un gaz parfait, il est possible de calculer une valeur du son ’théorique’.
En utilisant les valeurs numériques suivantes : γ = 1.4, R = 8.31431J.K −1 .mol −1 et mair =
28.96g/mol, on trouve que la vitesse du son est égale à c0 = 343.5m/s à T = 20˚C. Il est
important de retenir cet ordre de grandeur.
1.4.3 Vitesse du son dans l’eau
Dans l’eau, on ne connaît pas de loi d’état simple. En pratique, on utilise des formules
empiriques. Pour illustration voici l’une d’entre elle, ne faisant intervenir que les contributions
linéaires de la température et de la pression :
c0 = 1447 + 1.610 −6 p + 4(T − 283.16) (1.67)
A 8˚C, sous une pression de p = 1atm = 1.013P a la vitesse du son dans l’eau est c0 =
1439m.s −1 . Dans l’eau de mer la formule précédente n’est plus valable, l’espérience montre en
effet qu’elle conduit à sous-estimer la vitesse du son. En fait, la salinité de l’eau influe sur la
vitesse du son. On retiendra l’ordre de grandeur suivant : dans l’eau c0 ≈ 1500m/s.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 20

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 21
1.5 Aspects énergétiques
1.5.1 Equation de conservation de l’énergie acoustique
Il est possible d’obtenir une loi de bilan de l’énergie acoustique pour un fluide parfait en utilisant
les équations couplées linéarisées (eqs. 1.10 et 1.11) en suivant la démarche proposée par
Kirchhoff (1876). Pour cela, il convient de multiplier scalairement l’équation d’Euler linéarisée
par la vitesse acoustique :
Ce qui peut encore s’écrire :
ρ0
2
→ ∂
v a .ρ0
→ v a
∂t = − → v a . →
∇ pa. (1.68)
∂ → v 2
a
∂t
→ → →
= − ∇ .(pa v a) + pa ∇ . → v a . (1.69)
En injectant l’équation de la conservation de la masse linéarisée, il vient :
∂ ρ0
∂t 2
→2 v a + → →
∇ .(pa v a) = − pa ∂ρa
ρ0 ∂t
(1.70)
En utilisant la relation entre masse volumique et pression (eq.1.13), on trouve
∂ ρ0
∂t 2
+ div(pa
→
v a) = 0 (1.71)
La quantité ea = ρ0
2
→2 v a + 1
2ρ0c2 p
0
2 a
→2 v a + 1
2ρ0c2 p
0
2 a a la dimension d’une énergie par unité de volume ([ea] =
J.m−3 ), c’est l’énergie acoustique par unité de volume. On peut remarquer que l’énergie est due
à deux contributions : l’une d’origine cinétique et l’autre d’origine ”potentielle”. La quantité
→ →
Ia= pa v a a la dimension d’une intensité ”instantanée” ([ →
Ia] = W.m−2 .s−1 ) et est appelée
intensité acoustique. Cette équation a la structure d’une équation de bilan3 :
V
∂ea
∂t
+ div(→ Ia) = 0 (1.72)
En intégrant cette équation de bilan sur un volume V délimité par la surface S, il vient :
∂ea
dV +
∂t
div( →
Ia)dV = 0 (1.73)
La dérivée par rapport au temps peut permuter avec l’intégrale triple et le théorème d’Ostrogradsky
permet de transformer le second membre en une intégrale de surface :
∂
→
eadV = − Ia .
∂t
→
dS (1.74)
V
avec le vecteur surface élémentaire →
dS= dS →
next orienté selon la normale extérieure. La variation
d’énergie acoustique Ea = V eadV au cours du temps dans le volume V est égale au
flux de l’intensité.
3 On aurait pu établir cette équation en partant des équations de bilan de la mécanique des milieux continus
au lieu d’utiliser les équations déjà linéarisées. Cette démarche qui semble plus rigoureuse aboutit en fait à la
même équation de bilan pour l’énergie acoustique.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 21
V
∂V

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 22
V
Fig. 1.6 – Volume V entouré par la surface S
Pour une onde plane, on peut facilement calculer la valeur de l’énergie grâce à la relation
d’impédance :
→2 Ea = ρ0 v a= p2a ρ0c2 , (1.75)
0
remarquons dans ce cas l’équipartition entre énergie cinétique et potentielle. L’intensité acoustique
vaut :
→
Ia= p2 →
a n
ρ0c0
dS
→
= Eac0 n (1.76)
Calculons l’intensité acoustique associée à une onde plane. L’expression de l’intensité acoustique
fait intervenir des quantités quadratiques, or il faut garder à l’esprit que même si on
utilise les notations complexes, seule la partie réelle de la pression ou de la vitesse a une
signification physique. Il faut donc prendre quelques précautions pour mener le calcul de l’intensité
acoustique (comme de toutes les autres grandeurs quadratiques !). Ainsi, si on note
pa(x, t) = Re(A(x)e−iωt ) la pression associée à une onde plane harmonique, l’intensité acoustique
vaut :
→
→ n
Ia=
4Z (pa + p ∗ a) 2 = 1 2 −2iωt 2 ∗2 2iωt
A e + 2 |A| + A e
4ρ0c0
→
n . (1.77)
La notation ∗ indique qu’on prend le complexe conjugué, ainsi on a bien : Re(pa) = 1/2 (pa + p∗ a).
1.5.2 Puissance d’une source acoustique
Dans le cas où les grandeurs acoustiques sont des fonctions périodiques (de période T ), il
est commode de travailler avec les valeurs moyennes des différentes grandeurs acoustiques. On
définit la valeur moyenne d’une fonction f(t) par la relation :
〈f(t)〉 = 1
T
F. Coulouvrat et R. Marchiano 22
T
f(t)dt (1.78)
0

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 23
La moyenne temporelle appliquée à l’équation de conservation de l’énergie (Eq. 1.72) montre
que :
→ div( ) = 0 (1.79)
Ia
en effet, la moyenne temporelle < ∂ea/∂t > est nulle. Par conséquent, on a :
→ . →
dS= 0 (1.80)
∂V
Ia
On peut conclure de cette dernière relation qu’en moyenne sur une période le flux entrant
est nul. Ceci est à mettre en relation avec le phénomène propagatif étudié. Cette relation est
valable si le volume V ne contient pas de source. Si le volume V contient une ou plusieurs
sources, on peut définir la puissance acoustique de cette source comme étant le flux d’intensité
acoustique à travers la surface S :
P =
S
→
Ia
. → n dS (1.81)
→
n est le vecteur normal orienté vers l’extérieur de
cette surface. La puissance ne dépend pas
→
de la définition de la surface entourant la source ([ Ia ] = W.m−2 et [P] = W ).
Exemple : Calculons la puissance acoustique d’une source ponctuelle. Cette source émet
une onde sphérique harmonique de la forme :
pa = A
(1.82)
r ei(kr−ωt)
Alors, en utilisant l’équation d’Euler généralisée, on montre que la vitesse se met sous la forme :
→ pa iA
v a= +
Z ρ0r2ω ei(kr−ωt)
→er
(1.83)
L’intensité moyenne est par conséquent4 :
→
→
Ia = pa v a = 1
2 Re
pa
soit en explicitant les différents termes :
→ Ia = |A|2
2Zr2 →
er
La puissance émise par une source ponctuelle est :
P = < →
Ia> . → n dS.
S
→∗ v a
(1.84)
(1.85)
On intègre sur la surface de la sphère de rayon r (la variable r est fixée) :
P = |A|2
2Zr2
dS = |A|2
2Zr2 4πr2 . (1.86)
Finalement,
P =
S
2π |A|2
. (1.87)
Z
4
→
la démonstration du résultat < pa v a>= 1/2Re(pa a) est laissé au soin du lecteur. Il faut la aussi bien
→
faire attention à utiliser les quantités réelles :< pa v a>=
F. Coulouvrat et R. Marchiano 23
→ v ∗

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 24
1.5.3 Mesure du niveau de pression, le décibel
La moyenne temporelle de la pression d’une onde harmonique est nulle (par exemple pour
une onde progressive harmonique à 1D : < pa(x, t) >=< A cos(kx−ωt) >= 0). Cette grandeur
n’est donc pas adaptée pour caractériser des les grandeurs acoustiques qui sont généralement
harmonique ou peuvent être décomposées en fonctions harmoniques. Il est commode d’introduire
une autre moyenne, qui est la moyenne quadratique définie par :
pmoy = 〈p 2 a〉 (1.88)
La pression moyenne permet de définir le niveau de pression en décibel (dB), noté Lp ou parfois
SP L (pour Sound Pressure Level en anglais) :
Lp = 20 log pmoy
pref
(1.89)
où pref est la pression de référence. La pression de référence dépend du milieu de propagation,
elle vaut pref = 2.10 −5 P a dans l’air 5 et pref = 10 −6 P a dans l’eau. La pression moyenne en
fonction du niveau en décibel est :
pmoy = pref10 Lp/20
(1.90)
Si Lp = 0dB, alors la pression vaut bien la pression de référence. On voit qu’une augmentation
de 20 décibels correspond à multiplier par 10 la pression moyenne. L’oreille humaine est
capable d’entendre des sons sur une plage d’amplitude très grande de 0dB à 120dB environ,
soit une dynamique en pression allant de 2.10−5P a à 20P a, soit 6 ordres de grandeur. Cette
performance est possible car l’oreille humaine fonctionne comme un détecteur logarithmique.
Il existe aussi d’autres niveaux que l’on peut rencontrer dans la littérature, nous citerons
le niveau en intensité et le niveau en puissance. Le niveau en intensité LI noté aussi IL (pour
Intensity Level) est défini par :
< I >
LI = 10 log , (1.91)
Iref est l’intensité de référence dans l’air et vaut : Iref = 10−12W.m−2 . Si l’onde est sphérique
ou plane, on peut relier assez simplement les niveaux en pression et en intensité.
Le niveau en puissance, noté LW ou encore P W L (Sound Power Level en anglais) est défini
par la relation :
LW = 10 log W
, (1.92)
Iref
Wref
Wref est la puissance de référence dans l’air et vaut : Wref = 10 −12 W
5 c’est la pression pour laquelle un son devient perceptible dans la gamme de fréquence 1000-3000Hz pour
une oreille en parfaite santé
F. Coulouvrat et R. Marchiano 24

Chapitre 2
Réflexion et transmission d’une onde
acoustique à une interface plane
Les phénomènes de réflexion et de transmission d’une onde acoustique sont extrêmement
importants du point de vue pratique car ils se produisent inévitablement dans tout milieu
borné. Ils interviennent dans tous les domaines de l’acoustique : acoustique aérienne (réflexion
sur le sol, transmission à travers les différentes couches de l’atmosphère), acoustique architecturale
(réflexion sur les parois), acoustique sous-marine (réflexion à la surface ou sur le fond,
...). Nous nous limiterons ici pour l’essentiel au cas d’une interface plane séparant deux fluides
parfaits.
2.1 Les lois de Snell-Descartes
2.1.1 Onde plane incidente, réfléchie et transmise
Considérons deux fluides parfaits compressibles, homogènes et au repos, dénotés respectivement
1 et 2, qui sont séparés par une interface plane infinie en z = 0. On note →
N le vecteur
normal à l’interface. On suppose qu’une onde plane progressive harmonique se propage dans
le fluide 1 dans la direction → ni. On désigne cette onde comme l’onde incidente à l’interface.
Cette onde va donner naissance à une onde plane réfléchie se propageant dans le fluide 1, et
une onde plane transmise dans le fluide 2. On définit un repère cartésien dans lequel Oz est
la direction normale à l’interface, Ox est dans le plan défini par la normale à l’interface →
N et
le vecteur direction de propagation → ni, Oy étant la troisième direction. Pour une onde plane
incidente d’amplitude A et de pulsation ωi, la pression s’écrit :
pi = A exp [i (kixx + kizz − ωit)] , (2.1)
où (kix, 0, kiz) sont les trois composantes du vecteur d’onde. On sait que pour que l’onde plane
soit solution de l’équation des ondes dans le fluide 1, on doit avoir : → →
k i= ki ni avec ki = ωi/c1.
En introduisant l’angle θi entre la normale à l’interface et la direction de propagation incidente,
25

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 26
Fluide 1
! c
1 1
Fluide 2
! 2 c2
z
N
" "
i r
Fig. 2.1 – Réflexion-transmission d’une onde à une interface plane
les composantes du vecteurs d’ondes s’écrivent :
⎧
⎨
⎩
" t
kix = ωi sin θi c1
kiy = 0
kiz = − ωi
c1
cos θi
On note l’onde plane réfléchie et l’onde plane transmise sous la forme :
pr = RA exp [i(krxx + kryy + krzz − ωrt)] ,
pt = T A exp [i(ktxx + ktyy + ktzz − ωrt)] .
Les coefficients R et T sont appelés respectivement coefficients de réflexion et de transmission
en amplitude.
Enfin, notons que pour que la pression soit solution de l’équation des ondes dans les milieux
1 et 2, les vecteurs d’onde →
k r= (krx, kry, krz) et →
k t= (ktx, kty, ktz) doivent vérifier les relations
de dispersion :
2.1.2 Les lois de Snell-Descartes
|| →
k r || = ωr
c1 ,
|| →
k t || = ωt
c2 .
x
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Afin de déterminer les champs acoustiques réfléchis et transmis, il faut écrire les conditions
aux limites qui doivent être vérifiées sur l’interface. En mécanique des fluides, on sait
que, sur une interface matérielle séparant deux fluides parfaits, on doit avoir continuité de la
vitesse normale (condition cinématique) et de la pression (condition d’équilibre mécanique).
La condition de continuité de la pression s’écrit en z = 0 :
F. Coulouvrat et R. Marchiano 26

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 27
p1 = P01 + pi + pr = p2 = P02 + pt
(2.5)
En l’absence d’onde acoustique, l’interface est à l’équilibre, et donc P01 = P02 . La condition
d’équilibre mécanique devient donc en z = 0, pi + pr = pt , soit, en explicitant les pressions :
A exp [i(kixx − ωit)] + RA exp [i(krxx + kryy − ωrt)] = T A exp [i(ktxx + ktyy − ωtt)] (2.6)
Cette condition doit être vérifiée en tout point de l’interface et à tout instant. Ceci ne
pourra donc être vérifié que si les arguments des exponentielles sont égaux, à savoir :
⎧
⎨
⎩
ωi = ωr = ωt,
0 = kry = kty,
kix = krx = ktx.
(2.7)
La première relation montre que la fréquence acoustique est inchangée lors de la réflexion
et de la transmission. On notera simplement ω la pulsation commune.
La seconde relation prouve que les directions de propagation des ondes réfléchies et transmises
restent dans le plan (Oxz) , toutes les composantes suivant y étant nulles. On peut
alors introduire les angles θr et θt repérant les vecteurs directions de propagation réfléchi → n r
et transmis → n t , par rapport à la normale à l’interface, avec :
krx = ω sin θr,
c1
krz = ω cos θr,
c1
ktx = ω sin θt, c2
ktz = − ω
(2.8)
cos θt.
c2
La troisième relation stipule que le nombre d’onde dans la direction parallèle à l’interface
est identique pour les trois ondes. On le notera simplement kx. En l’exprimant en fonction des
différents angles, on obtient :
ω
c1
sin θi = ω
c1
sin θr = ω
c2
sin θt. (2.9)
On peut donc conclure de cette dernière relation que l’angle de l’onde réfléchie et celui de
l’onde incidente sont égaux :
θr = θi, (2.10)
et que l’angle de l’onde transmise et de l’onde incidente sont reliés par la relation :
sin θt
c2
= sin θi
c1
(2.11)
Ces deux dernières relations sont connues sous le nom de lois de Snell-Descartes. (elles ont
été établies en optique par Descartes en 1637, sans doute à partir des travaux antérieurs de
Snell). On remarque que la réflexion d’une onde acoustique est similaire à celle d’une onde
lumineuse sur un miroir. Le phénomène physique suivant lequel une onde change de direction
en passant dans un milieu de célérité différente est appelée réfraction. Remarquons que lorsque
l’onde passe dans un milieu avec une célérité plus faible (c2 < c1), l’angle de transmission est
plus petit que l’angle d’incidence, et il est plus grand si la célérité est plus grande (Fig. 2.2).
F. Coulouvrat et R. Marchiano 27

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 28
Fluide 1
!
1
c
1
Fluide 2
! 2 c2
" i
" r
c1 > c2 Fluide 1
!
1
c
1
x
Fluide 2
! 2 c2
" i
c1 > c2 Fig. 2.2 – Transmission d’une onde à une interface plane dans les cas où 1) c1 > c2 et 2)
c1 < c2
Dans le deuxième cas (c2 > c1 ), si l’angle d’incidence est trop élevé, il peut se produire
que l’angle de transmission n’est plus défini, lorsque sin θi > c1/c2 . L’angle limite θcr =
arcsin(c1/c2) est appelé angle critique. Dans ce cas, aucune onde plane progressive ne peut
être transmise dans le milieu 2 : on dit alors que l’on a réflexion totale. Ceci ne veut pas dire
qu’il ne se passe rien dans le milieu 2. La réflexion totale sera étudiée plus loin.
2.2 Coefficients de réflexion et de transmission
2.2.1 Calcul des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude
Compte tenu des résultats démontrés dans la partie précédente, la pression acoustique dans
les milieux 1 et 2 s’écrit :
p1(x, z, t) = A exp [kxx + kizz − ωt] + AR exp [kxx + krzz − ωt] , (2.12)
p2(x, z, t) = AT exp [kxx + ktzz − ωt] (2.13)
La condition aux limites d’équilibre mécanique à l’interface donne une première relation
entre les coefficients de réflexion et de transmission : 1+R = T . Afin de déterminer entièrement
ces deux coefficients, il faut exprimer la condition aux limites cinématique. Le milieu étant
sans écoulement, la vitesse acoustique est égale à la vitesse totale, et donc la condition de
continuité des vitesses normales s’écrit : ( → v i + → v r). →
N= → v t . →
N. De plus, pour une onde plane
progressive, on sait que : → v = p →
n (Eq. 1.40). En injectant cette dernière relation dans la
Z
condition de continuité des vitesses normales il vient :
cos θi
(R − 1)
Z1
F. Coulouvrat et R. Marchiano 28
" r
cos θt
= −T , (2.14)
Z2
x

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 29
ou encore en fonction des nombres d’onde :
kiz
ρ01
(R − 1) = −T ktz
. (2.15)
On en déduit les expressions des coefficients de réflexion et de transmission :
ρ02
R = cos θi − Z1 cos θt Z2
cos θi + Z1 cos θt Z2
T =
2 cos θi
cos θi + Z1 cos θt Z2
En fonction des nombres d’onde, ceci s’écrit également :
R = kiz − ρ01
T =
ρ02 ktz
kiz + ρ01
ρ02 ktz
2kiz
kiz + ρ01
ρ02 ktz
2.2.2 Incidence normale - conservation de l’énergie
(2.16)
(2.17)
, (2.18)
. (2.19)
Examinons en premier lieu le cas de l’incidence normale (θi = 0). D’après les lois de Snell-
Descartes, l’angle de transmission est lui aussi nul (θt = 0). Les coefficients de réflexion et de
transmission en amplitude (2.16 et 2.17) se simplifient :
Z1 1 − Z2 R =
1 + Z1
, (2.20)
Z2
T = 2
1 + Z1
. (2.21)
Z2
Il est aisé de vérifier que le coefficient de réflexion varie entre −1 et 1 en fonction du rapport
des impédances complexes des deux milieux. En revanche, le coefficient de transmission est lui
compris entre 0 et 2, et, en particulier, est plus grand que 1 lorsque l’impédance du milieu 1
est inférieure à celle du milieu 2. Ce résultat peut paraître a priori surprenant. En réalité, ceci
provient du fait que les milieux 1 et 2 étant différents, on ne peut pas comparer directement les
amplitudes des pressions. L’idée que les coefficients seraient plus petits que 1 est la traduction
intuitive d’un principe de conservation, selon lequel on ne peut pas récupérer plus que ce que
l’on a fourni. Mais la quantité qui doit être conservée n’est pas la pression, mais l’énergie. On
a vu dans le paragraphe 1.5 que l’intensité acoustique moyenne d’une onde plane d’amplitude
A (en pression) est égale à |A| 2 → n /2Z . On calcule alors l’intensité acoustique moyenne de
l’onde :
– incidente < →
Iai>= |A| 2 → ni /2Z1,
– réfléchie < →
Iar>= |RA| 2 → nr /2Z1,
– transmise < →
Iat>= |T A| 2 → nt /2Z2.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 29

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 30
On en déduit les coefficients de réflexion et de transmission en intensité dans le cas de
l’incidence normale :
r =
t =
< →
Iai>
< →
Iar>
< →
Iai>
= |R| 2 =
= Z1
Z2 |T |2 = 4Z1
Z2
2 1−Z1/Z2
1+Z1/Z2
1
1+Z1/Z2
,
2
.
(2.22)
Il est immédiat de vérifier que le coefficient de transmission en intensité est toujours compris
entre 0 et 1, et que l’on a la relation r+t = 1, qui traduit le principe de conservation de l’énergie.
2.2.3 Conservation de l’énergie en incidence oblique
Plus généralement, dans le cas de l’incidence oblique, on calcule le flux d’énergie acoustique
moyen par unité de surface véhiculé par les différentes ondes à travers l’interface. Pour l’onde
incidente, cette quantité est égale à :
Φi =< →
Iai> . →
N= −|A| 2 cos θi/2Z1. (2.23)
Pour les ondes réfléchies et transmises, ces quantités sont respectivement égales à
Φr = < →
Iar> . →
N= |RA| 2 cos θr/2Z1,
Φt = < →
Iat> .− →
N= +|T A| 2 cos θt/2Z2.
(2.24)
Remarque, il faut faire attention de projeter par rapport à la normale extérieure à la surface,
par conséquent, pour calculer le flux transmis on projette suivant − →
N.
En additionnant les différents flux et en remplaçant les coefficients de réflexion/ transmission
par leur expressions en fonction des angles d’incidence et de transmission, on trouve :
Φi + Φr + Φt = 0. (2.25)
Ceci montre que le flux d’énergie total à travers la paroi est nul : on a bien conservation de
l’énergie.
2.3 Réflexion totale - onde plane inhomogène
2.3.1 Onde plane inhomogène
Lorsque le milieu 2 est plus rapide que le milieu 1 (c2 > c1), on a vu que l’angle de
transmission θt n’est pas toujours défini. En effet, d’après les lois de Snell-Descartes, l’angle
de transmission doit satisfaire la relation :
sin θt = c2
Cette relation ne peut être satisfaite que si :
F. Coulouvrat et R. Marchiano 30
c2
c1
c1
sin θi
(2.26)
sin θi ≤ 1, (2.27)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 31
or ceci n’est vrai dans le cas où c2 > c1 que si θi < θcr = arcsin c1 . Au delà de l’angle critique,
c2
θcr, il ne peut pas y avoir d’onde plane transmise, l’angle de transmission n’étant plus défini.
Dans ce cas aucune onde plane progressive ne peut être transmise dans le milieu 2, on dit
alors qu’il y a réflexion totale. Cela veut-il pour autant dire qu’aucune onde n’est transmise à
travers l’interface ? Pour répondre à cette question, étudions plus précisément ce qui se passe
lorsque la valeur de l’angle d’incidence dépasse celle de l’angle critique.
D’après les lois de Snell-Descartes, la composante horizontale du nombre d’onde est la
même pour les ondes incidentes, réfléchies et transmises. Par conséquent, on a la relation
suivante :
ktx = kix = ω
c1
sin θi. (2.28)
Cette relation permet de calculer la composante suivant z du vecteur d’onde →
k t :
k 2 tz = ω2
c2 −
2
ω2
c2 sin
1
2 θi = ω2
c2
1 −
2
c22 c2 sin
1
2
θi
Dans le cas où θi > θcr, alors :
c2
c1
(2.29)
sin θi > 1, (2.30)
ce qui entraîne d’après la relation 2.29 que le carré de la composante suivant z du vecteur
d’onde de l’onde transmise est négatif : k2 tz < 0, c’est à dire que la composante verticale du
vecteur →
k t est imaginaire pur. Il existe deux solutions admissibles :
ktz = ±i ω
c
c2
2 2
c2 sin
1
2 θi − 1, (2.31)
correspondant à deux solutions possibles pour la pression acoustique transmise :
pt = T A exp[∓
ω
c2
c2 2
c2 sin
1
2
θi − 1 z] exp[i(kxx − ωt)]. (2.32)
La première solution (signe ”-”) est exponentiellement croissante lorsque l’on pénètre dans
le milieu 2 (z → −∞), alors que la seconde (signe ”+”) est exponentiellement décroissante.
Seule cette dernière est physiquement acceptable. On peut encore l’écrire :
pt = T A exp(z/δ) exp[i(kxx − ωt)], (2.33)
où δ a la dimension d’une distance : c’est la distance caractéristique sur laquelle l’onde décroît
exponentiellement :
δ = c2
2 sin θi
ω
−1/2 − 1 . (2.34)
sin 2 θcr
Ce type d’onde est appelé onde plane inhomogène. Par opposition à l’onde plane progressive,
on observe que l’onde plane inhomogène est une onde qui se propage dans la direction
Ox , avec une amplitude exponentiellement décroissante dans la direction z < 0 (l’onde est
évanescente dans la direction verticale). L’influence de la perturbation acoustique créée par
une telle onde est donc restreinte au voisinage de l’interface, sur une épaisseur de l’ordre de δ.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 31

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 32
2.3.2 Réflexion totale
Calculons maintenant les coefficients R et T au-delà de l’angle critique. Le calcul est
analogue à celui effectué dans les autres cas, mais il faut utiliser les expressions qui font
intervenir les vecteurs d’onde à la place de celles faisant intervenir les angles (Eq.2.16 et 2.17).
Les vecteurs d’ondes sont :
kiz = −ω/c1 cos θi,
ktz = i ω
c2
c 2 2
c 2 1
sin 2 θi − 1.
Par conséquent, les coefficients de réflexion et de transmission sont :
R = cos θi + i Z1
c2 2
Z2 c2 1
cos θi − i Z1
c2 2
Z2 c2 1
T =
2 cos θi
cos θi − i Z1
c2 2
Z2 c2 sin
1
2 θi − 1
sin2 θi − 1
sin2 , (2.35)
θi − 1
. (2.36)
Dans ce cas, les coefficients de réflexion et de transmission sont complexes. Il est immédiat de
vérifier que le module du coefficient de réflexion est égal à 1. Ceci signifie que, en moyenne sur
une période, la totalité du flux d’énergie acoustique à travers l’interface de l’onde incidente
est communiqué à l’onde réfléchie : il y a réflexion totale. Vérifions ce résultat en calculant le
flux d’énergie acoustique à travers l’interface de l’onde évanescente. Pour l’onde évanescente,
on a (en notation complexe) :
pt = T A exp[i(kxx + ktzz − ωt)] (2.37)
→ v t=
→
k pt
ρ0ω
(2.38)
En prenant la partie réelle, il vient (on rappelle que ktz = −i/δ et on note φT la phase de
T ) :
pt = |T |A exp(z/δ) cos(kxx − ωt + φT ), (2.39)
vtz = |T |A exp(z/δ) sin(kxx − ωt + φT )
δρ0ω
Le flux moyen d’énergie par unité de surface à travers l’interface est donc égal à :
(2.40)
Φt =< →
Ia> .− →
N= 0. (2.41)
L’onde plane inhomogène ne transporte pas d’énergie dans la direction verticale, ce qui
achève de démontrer qu’il y a bien réflexion totale dans le cas de l’incidence surcritique.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 32

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 33
Fluide
Plaque
Fluide
!
z
N
!
!
Fig. 2.3 – Transmission d’une onde à travers une plaque
2.4 Transmission à travers une paroi mince
2.4.1 Hypothèses et modélisation de la paroi mince
x
z
Plaque déformée
On veut étudier le problème de la transmission du son à travers une paroi mince séparant
deux fluides identiques. Ce problème est très important en pratique, car il intervient dans
tous les problèmes d’isolation phonique, que ce soit en acoustique du bâtiment ou des transports
(isolation des habitacles automobiles, des cabines d’avion ...). La situation physique est
modélisée par le cas d’une plaque élastique mince séparant deux fluides parfaits, homogènes,
identiques et au repos. L’hypothèse de plaque mince va nous permettre d’utiliser le modèle
simplifié des plaques minces d’Euler-Bernoulli. Afin qu’elle soit vérifiée, il faut s’assurer que
la longueur d’onde des ondes acoustiques soit très grande devant l’épaisseur de la plaque. Par
exemple, dans l’air, pour des fréquences acoustiques comprises entre 100 et 1000 Hz, la longueur
d’onde varie entre 3,3 et 0,33 m, donc demeure grande devant l’épaisseur d’une cloison
ou d’un mur de quelques centimètres d’épaisseur.
On suppose que la plaque est une plaque élastique mince, de masse par unité de surface
(masse surfacique) ρS, d’épaisseur h, de module d’Young E et de coefficient de Poisson ν . On
note up(x, t) le déplacement vertical à l’instant t d’un point de la plaque situé à l’équilibre à
l’abscisse x (Fig. 2.4).
D’après la théorie d’Euler Bernoulli (voir cours de mécanique du solide), le mouvement
d’une plaque en flexion est régie par l’équation suivante :
F. Coulouvrat et R. Marchiano 33
∂
ρS
2up ∂t2 + B ∂4up ∂x4 = fext, (2.42)
u p
x

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 34
où le coefficient B est égal à B = Eh 3 /12(1 − ν 2 ) et où fext désigne la somme des forces
extérieures exercées par unité de surface sur la plaque dans la direction verticale.
2.4.2 Champ acoustique
On considère une onde plane de pulsation ω, incidente dans le fluide du côté supérieur
(z > 0) avec un angle d’incidence θ. D’après les lois de Descartes, les fluides étant identiques
de part et d’autre de la plaque, les angles de réflexion et de transmission sont égaux à l’angle
d’incidence θ. Le champ acoustique peut donc s’écrire dans la partie z > 0 :
p + (x, z > 0, t) = A exp[i(k sin θx − k cos θz − ωt)] + RA exp[i(k sin θx + k cos θz − ωt)], (2.43)
et dans la partie z < 0 :
p − (x, z < 0, t) = T A exp[i(k sin θx − k cos θz − ωt)], (2.44)
k = ω/c0 étant le nombre d’onde dans le fluide.
La vitesse acoustique s’en déduit, en rappelant que pour une onde plane → v = p → n /Z0 :
→+ v (x, z > 0, t) = A
sin θ
exp[i(k sin θx − k cos θz − ωt)]
(2.45)
Z0
− cos θ
+ RA
sin θ
exp[i(k sin θx + k cos θz − ωt)] , (2.46)
Z0
cos θ
→− T A
sin θ
v (x, z < 0, t) = exp[i(k sin θx − k cos θz − ωt)]
. (2.47)
− cos θ
Z0
2.4.3 Conditions aux limites
Ecrivons la condition cinématique de continuité des vitesses normales : en tout point x et
à tout instant t, on doit avoir :
→ v +
(x, z = 0, t). → z = → v −
(x, z = 0, t). → z = ∂up
∂t
En explicitant ces conditions, on trouve les deux relations suivantes :
R = 1 − T
iT A
up(x, t) = − cos θ exp[i(k sin θx − ωt)]
Z0ω
(2.48)
(2.49)
Ecrivons maintenant l’équation des plaques en flexion. La somme des forces extérieures
exercées sur la plaque par unité de surface dans la direction verticale vaut :
fext = −p0 − p + (x, z = 0, t) + p0 + p − (x, z = 0, t). (2.50)
En conséquence, en substituant l’expression du déplacement vertical up et du champ de
pression dans l’équation d’Euler-Bernoulli, on obtient la valeur du coefficient de transmission :
T =
F. Coulouvrat et R. Marchiano 34
1 − i ρSω cos θ
+ i
2Z0
Bω3 sin4 θ cos θ
2Z0c4 −1 . (2.51)
0

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 35
2.4.4 Perte en transmission
|A| 2
Le niveau sonore mesuré en dB de l’onde plane incidente est égal à : 10 log 2p2
tandis
ref
|T A| 2
que celui de l’onde plane transmise vaut : 10 log . La différence entre les deux niveaux
mesure le niveau de perte en transmission (en anglais ”transmission loss”) :
2p 2 ref
T L = 10 log(1/|T | 2 ). (2.52)
D’après l’expression calculée du coefficient de transmission, et en introduisant la fréquence :
la fréquence de coïncidence :
on a :
T L = 10 log
1 +
f0 = 2Z0
. (2.53)
πρS
fc = c2
0 ρs
.
2π B
(2.54)
2 2
f
f
cos θ 1 −
f0
f 2 sin
c
4
2
θ . (2.55)
En pratique, pour les matériaux de construction usuels, on a : f0

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 36
Transmission loss
80
70
60
50
40
30
20
10
10
20
30
40
50
0
0 0.5 1 1.5 2
log(f)
2.5 3 3.5 4
Fig. 2.4 – Perte en transmission, θ = 10, 20, 30, 40 et 50˚
F. Coulouvrat et R. Marchiano 36

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 37
1. Les sources acoustiques réelles ne produisent pas des champs avec un angle d’incidence
fixe, mais au contraire des champs diffus, possédant des composantes dans toutes les
directions. Le caractère diffus du champ incident a tendance à réduire la perte en transmission
(empiriquement, de 5 dB par rapport à l’incidence normale).
2. On a supposé la plaque de dimension infinie. En pratique, ceci est une approximation
bien vérifiée seulement si la longueur d’onde acoustique est petite devant la taille de la
plaque. Le modèle n’est donc plus valable à basse fréquence.
En résumé, qualitativement, on a les résultats suivants :
– la perte en transmission augmente de 6 dB par octave en deçà de la fréquence de coïncidence
;
– la perte en transmission augmente de 6 dB en deçà de la fréquence de coïncidence lorsque
la masse double ;
– la fréquence de coïncidence diminue si la masse augmente ;
– au-delà de la fréquence de coïncidence, la perte en transmission augmente avec la raideur.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 37

Chapitre 3
Sources acoustiques - introduction à
l’aéroacoustique
3.1 Sources ponctuelles et fonctions de Green
3.1.1 Rappels sur la distribution de Dirac
Définition mathématique
Soit Ω un ouvert non vide de Rn , on note D(Ω) l’espace des fonctions infiniment différentiables
sur Ω et à support compact dans Ω. On définit l’espace des distributions D ′ (Ω) sur Ω comme
l’espace dual de D(Ω), c’est-à-dire l’espace des formes linéaires continues de D(Ω) vers R. Soit
T une distribution, pour toute fonction φ de D(Ω), on note par :
〈T, φ〉 = T ( → y )φ( → y )d → y , (3.1)
la valeur de la distribution appliquée à la fonction φ.
On définit sa dérivée ∂T/∂yi par :
∂T
, φ =
∂yi
Ω
∂T
∂yi
Ω
φ( → y )d →
y = −
Ω
T ( → y ) ∂φ(→y )
d
∂yi
→
y = − T, ∂φ
, (3.2)
∂yi
On définit la distribution δ( → y − → y 0) (ou fonction généralisée) de Dirac au point → y 0∈ Ω la
distribution telle que :
〈δ, φ〉 = δ( → y − → y 0)φ( → y )d → y = φ( → y 0). (3.3)
Interprétation physique
Ω
La notion de distributions généralise la notion de fonction. En effet, l’espace des fonctions
est inclus dans l’espace des distributions D ′ (Ω) car, pour chaque fonction f( → y ) on peut définir
38

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 39
la distribution (également notée f( → y )) telle que 〈f, φ〉 =
Ω f(→y )φ( → y )d → y . La définition de la
dérivée permet de généraliser l’intégration par parties :
∂f
, φ =
∂yi
∂f( → y )
φ(
∂yi
→ y )d →
y =
∂f( → y )φ( → y )
− f(
∂yi
→ y ) ∂φ(→
y )
d
∂yi
→
y = − f, ∂φ
,
∂yi
(3.4)
Ω
Ω
les termes de bord étant nuls car les fonctions tests φ sont à support compact.
La distribution δ( → y − → y 0) de Dirac est une fonction « généralisée », nulle partout sauf en
→ y 0, et infiniment grande en → y 0, si bien que, lorsqu’on la multiplie par une fonction « test »
φ et que l’on intègre sur Ω, on obtient la relation 3.3. La distribution δ( → y − → y 0) est l’outil
mathématique permettant de décrire une « action » concentrée en un point.
3.1.2 Source ponctuelle
On a introduit au chapitre 1 les solutions de l’équation des ondes à symétrie sphérique
(1.53), superposition d’une onde convergente et d’une onde divergente. En ne prenant en
compte que l’onde divergente, cette solution s’écrit :
pa(r, t) = 1
r f (t − r/c0) (3.5)
Ces solutions satisfont évidemment l’équation des ondes en tout point autre que l’origine,
mais ne sont pas définies au sens des fonctions usuelles à l’origine. Par contre, l’expression
ci-dessus (Eq. 3.5) est définie même à l’origine au sens des distributions, et l’on va montrer
que cette expression vérifie (au sens des distributions) la relation :
1 ∂2
f(t − r/c0)
− ∆
= 4πf(t)δ(
∂t2 r
→ x) (3.6)
où δ( → x) est la distribution de Dirac dans R 3 .
Démonstration
c 2 0
Les distributions étant définies comme formes linéaires sur D(Ω) , pour démontrer le
résultat il faut multiplier l’équation 3.6 par une fonction « test » φ et intégrer sur Ω. Pour
le membre de droite, on trouve par définition de la distribution de Dirac 4πf(t)φ( →
0). Il faut
vérifier que le membre de gauche est égal à cette valeur pour toute fonction test φ, ce qui
établira l’égalité au sens des distributions. Calculons donc :
1 ∂
I =
2
f(t − r/c0)
− ∆
φ(
∂t2 r
→ x)d → x . (3.7)
Ω
c 2 0
Pour cela, on introduit une boule de rayon ɛ → 0 centrée à l’origine. En dehors de cette boule,
l’intégrand est identiquement nul car pa( → x, t) est solution (au sens des fonctions) de l’équation
des ondes. A l’intérieur de la boule, il reste :
π 2π ɛ
1
I =
θ=0 Φ=0 r=0 rc2 ∂
0
2f(t − r/c0)
∂t2 φ(r, θ, Φ)− →
∇ . →
f(t − r/c0)
∇
φ(r, θ, Φ) r
r
2 sin θdrdθdΦ.
(3.8)
F. Coulouvrat et R. Marchiano 39

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 40
Le premier terme tend vers 0 quand ɛ tend vers 0. On transforme le second terme en « rentrant
» φ dans la divergence et en appliquant le théorème de la divergence, soit :
π 2π
→ f(t − r/c0)
I =
−φ(ɛ, θ, Φ) ∇
.
θ=0 Φ=0
r
r=ɛ
→ er ɛ 2 sin θdθdΦ
π 2π ɛ
→ f(t − r/c0
+
∇
.
θ=0 Φ=0 r=0 r
→
∇ (φ(r, θ, Φ)) r 2 sin θdrdθdΦ
π 2π
→ f(t − r/c0)
=
−φ(ɛ, θ, Φ) ∇
.
θ=0 Φ=0
r
r=ɛ
→ er ɛ 2 sin θdθdΦ
π 2π ɛ
+
(−f(t − r/c0) − r/c0f ′ (t − r/c0)) → er . →
∇ (φ(r, θ, Φ)) sin θdrdθdΦ
θ=0
Φ=0
r=0
Le second terme du membre de droite ci-dessus apparaît comme une intégrale régulière de
fonctions bornées sur un domaine qui tend vers 0, donc il tend lui-même vers 0. Le premier
terme se réduit à :
π
I =
θ=0
2π
Φ=0
soit, quand ɛ tend vers 0 :
I → φ( →
π
0)f(t)
φ(ɛ, θ, Φ) f(t − ɛ/c0) + ɛ
f
c0
′
(t − ɛ/c0) sin θdθdΦ (3.9)
θ=0
2π
Φ=0
ce qui est bien égal à l’expression recherchée.
Interprétation physique
sin θdθdΦ = 4πφ( →
0)f(t), (3.10)
L’équation 3.6 montre que l’expression 3.5 est bien solution de l’équation des ondes, correspondant
à un terme source (second membre de l’équation des ondes) localisé spatialement
(δ Dirac) à l’origine et émettant le signal temporel 4πf(t). C’est ce que l’on appelle une source
ponctuelle.
3.1.3 Fonctions de Green
On appelle fonction de Green une solution de l’équation des ondes avec au second membre
un terme source de type source ponctuelle (source localisée en un point de l’espace) émettant
une impulsion à un instant t0 (signal temporel ’localisé’ dans le temps). La source n’est pas
nécessairement localisée à l’origine. Notons → x0 la position de la source ponctuelle, il suffit
d’opérer un changement d’origine pour montrer qu’une solution de :
est donnée par :
1
c 2 0
∂2 − ∆
∂t2 pa( → x, t) =
F. Coulouvrat et R. Marchiano 40
pa( → x, t) = 4πf(t)δ( → x − → x0) (3.11)
1
|| → x − → x0 || f
t − || → x − →
x0 ||
c0
(3.12)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 41
Enfin, si l’on spécifie le signal temporel en choisissant une impulsion émise à un instant donné
t0, soit : f(t) = δ(t − t0)/4π (où δ(t − t0) est la distribution de Dirac dans R ), la solution
de l’équation des ondes avec une source ponctuelle localisée au point → x 0 et impulsionnelle à
l’instant t0 : 1
c 2 0
∂2
− ∆ pa(
∂t2 → x, t) = δ(t − t0)δ( → x − → x0) (3.13)
est donnée par la fonction de Green pa( → x, t) = G( → x, t, → x0, t0) en espace illimité :
G( → x, t, → 1
x0, t0) =
4π|| → x − → x0 || δ
t − t0 − || → x − →
x0 ||
. (3.14)
c0
Remarquons que, selon la notation choisie, la fonction de Green est fonction de 8 variables :
– les 3 variables d’espace → x repèrent la position du point d’observation (le point où l’on
mesure la pression acoustique),
– la variable de temps t repère l’instant où la pression acoustique est mesurée,
– les 3 variables d’espace → x 0 repèrent la position de la source (le point où la pression
acoustique est émise),
– la variable de temps t0 repère l’instant où la pression acoustique est émise.
Enfin, si l’on spécifie dans le signal temporel en choisissant un signal harmonique de pulsation
ω, soit : f(t) = − exp(−iωt)
, le champ de pression harmonique vérifiant l’équation de
4π
Helmholtz avec une source ponctuelle localisée au point → x 0 :
∆ + k 2 ˆpa = δ( → x − → x 0), (3.15)
est donné d’après 3.12 par la fonction de Green ˆpa = ˆ G( → x, → x 0) en espace illimité :
ˆG( → x, → x 0) =
−1
4π|| → x − → x0 || exp
ik|| → x − →
x0 ||
(3.16)
Remarquons que, selon la notation choisie, la fonction de Green de l’équation de Helmholtz
est fonction de 6 variables :
– les 3 variables d’espace → x repèrent la position du point d’observation (le point où l’on
mesure la pression acoustique),
– les 3 variables d’espace → x 0 repèrent la position de la source (le point où la pression
acoustique est émise).
3.1.4 Sphère pulsante, monopole et source ponctuelle
Dans la partie précédente, on a résolu le problème du rayonnement d’une source ponctuelle
en champ libre en utilisant le formalisme des distributions et des fonctions de Green. Pour
cela, on a résolu le problème en introduisant la source ponctuelle comme un terme source
dans l’équation des ondes par l’intermédiaire de la fonction de Dirac. Dans cette partie, nous
allons calculer le champ rayonné par une sphère pulsante (source de dimension finie). Ensuite,
nous montrerons que si l’on fait tendre les dimensions de la sphère pulsante vers zéro (i.e. on
fait tendre la sphère pulsante vers une source ponctuelle), on retrouve bien les résultats de la
F. Coulouvrat et R. Marchiano 41

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 42
a
Va
Fig. 3.1 – Sphère pulsante
partie précédente comme cas limite. On considère une sphère pulsante de rayon a (Figure 3.1)
animée d’un mouvement radial périodique dont on connait la vitesse : Va(t) = −Va exp(−iωt).
On suppose que les ondes émises par la sphère pulsante ne rencontrent aucun obstacle :
rayonnement en champ libre. En dehors de la sphère (pour r > a), on a vu que la solution du
problème s’écrit :
p(r, t) = A
r ei(kr−ωt) = ˆpa(r, ω)e −iωt ,
où A est une amplitude complexe qui dépend en particulier de la vitesse radiale de la sphère.
Pour déterminer A, on utilise la condition de continuité des vitesses normales à l’interface
sphère pulsante/ milieu de propagation, on trouve alors :
→ v a (r = a, t). → er= −Vae −iωt
On utilise ensuite l’équation d’Euler linéarisée en r = a, projetée sur → er, pour trouver une
relation entre A et Va :
−A ikA
iωρ0Va = − + e
a2 a
ika , (3.17)
d’où la relation :
A = −iωρ0Vae ika
2 a
. (3.18)
ika − 1
La pression acoustique rayonnée au point r par une sphère pulsante de rayon a s’écrit finalement
:
ika 2
−iωρ0Vae a
ˆpa(r, ω) = e
r ika − 1
ikr . (3.19)
F. Coulouvrat et R. Marchiano 42

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 43
Supposons maintenant que les dimensions de la sphère soient petites devant la longueur
d’onde acoustique, alors on a : ka

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 44
Alors, le théorème de Kirchhoff stipule que le champ de pression au point → x et à l’instant t
est donné par la relation :
pa( → x, t) =
+
+
T
T
1
D c2 0
∂D
∂pa( → x 0,t0)
G
∂t0
→x, t, → x0, t0
G
→x,
→
t, x0, t0 − pa( → x0, t0) ∂G
“
→x
”
→
,t, x 0,t0
∂t0
→
∂pa( x 0,t0)
∂n0
− pa( → x0, t0) ∂G
“
→x
”
→
,t, x 0,t0
∂n0
D q(→ x 0, t0)G( → x, t, → x 0, t0)d → x 0 dt0.
d →
x 0
t0=ti
dS0dt
(3.25)
Le théorème de Kirchhoff montre que le champ de pression en un point d’observation → x et
à un instant t donnés est entièrement déterminé par :
1. les valeurs initiales du champ de pression et de sa dérivée par rapport au temps sur tout le
1
domaine ( terme D c2
→
∂pa( x 0,t0) →x,
→
G t, x0, t0 − pa(
0
t0
→ x0, t0) ∂G
“
→x
”
→
,t, x 0,t0
d ∂t0
→
x 0
) ;
t0=ti
2. les valeurs
de la pression et de sa dérivée normale sur les bords du domaine ( terme
→x,
→ → ∂pa( x 0,t0)
G t, x0, t0 − pa( → x0, t0) ∂G
“
→x
”
→
,t, x 0,t0
dS0dt) ;
T
∂D
∂n0
3. la donnée de la source volumique (terme
Démonstration
T
∂n0
D q(→ x 0, t0)G( → x, t, → x 0, t0)d → x 0 dt0).
Multiplions l’équation 3.23 par G( → x 0, t0, → x, t) (attention à la permutation des variables !)
et intégrons sur le domaine D et sur un intervalle de temps T = [t1, t2]. Il vient :
0 =
=
+
−
T
T
T
T
D
1 ∂2pa( → x, t)
− ∆pa( → x, t) − q( →
x, t) G( → x0, t0, → x, t)d → x dt
D c2 0
D
D
c 2 0
∂t 2
1 ∂ ∂pa(
∂t
→ x, t)
∂t
G(→x 0, t0, →
∂pa(
x, t) −
→ x, t) ∂G(
∂t
→ x0, t0, →
x, t)
d
∂t
→ x dt
− →
∇ . G( → x0, t0, → x, t) →
∇ pa( →
x, t) + →
∇ pa( →
x, t) . →
∇ G( → x0, t0, →
x, t) d → x dt
q( → x, t)G( → x 0, t0, → x, t)d → x dt.
En intégrant explicitement la première intégrale dans le temps, et en appliquant le théorème
F. Coulouvrat et R. Marchiano 44

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 45
de la divergence, on a :
0 =
1
D c2
∂pa(
0
→ x, t)
∂t
G(→x 0, t0, → t2 x, t) d
t1
→ +
x
1
T D c2
−
0
∂
pa(
∂t
→ x, t) ∂G(→x 0, t0, →
x, t)
+ pa(
∂t
→ x, t) ∂2G( → x0, t0, → x, t)
∂t2
d → −
x dt
G(
T ∂D
→ x0, t0, → x, t) →
∇ pa( →
x, t) . → n dSdt
+
→
∇ . pa(
T D
→ x, t) →
∇ G( → x0, t0, →
x, t) − pa( →
→x0,
x, t)∆G t0, →
x, t d → x dt
−
q( →
→x0,
x, t)G t0, →
x, t d → x dt
T
D
La surface délimitant le domaine D est notée ∂D le vecteur unitaire normale à cette surface
est noté quant à lui → n. En renouvelant l’opération une seconde fois, on fait apparaître l’équation
des ondes portant maintenant sur la fonction de Green :
0 =
+
+
−
T
1
D c2 0
T ∂D T
D
⎡
⎣ ∂pa( → x, t)
∂t
G
→x0,
t0, →
x, t − pa( → ∂G
x, t)
pa( → x, t)
⎛
⎝ 1
c 2 0
−G( → x 0, t0, → x, t) →
D
∂2
→x0,
G t0, →
x, t
∂t 2
∇
q( →
→x0,
x, t)G t0, →
x, t d → x dt
pa( →
x, t) + pa( → x, t) →
∇
→x0,
t0, → ⎤
x, t
⎦
∂t
t2
t1
d → x
→x0,
− ∆G t0, →
x, t
⎞
⎠ d → x dt
G( → x0, t0, →
x, t) . → n dSdt
→x,
→
On rappelle que la fonction de Green G t, x0, t0 (Eq. 3.14) satisfait l’équation des
ondes avec au second membre une source ponctuelle impulsionnelle (Eq. 3.24), par conséquent :
1
4π|| → x − → x0 || δ′′
t − t0 − || → x − →
x0 ||
1
− ∆
c0
4π|| → x − → x0 || δ
t − t0 − || → x − →
x0 ||
c0
→x
→
= δ(t − t0)δ − x0
→x0,
Il est aisé de vérifier alors que la fonction de Green G t0, →
x, t satisfait :
1
c2 ∂
0
2
→x0,
− ∆ G t0,
∂t2 →
x, t
1
=
4π|| → x − → x0 || δ′′
t0 − t − || → x − →
x0 ||
1
− ∆
c0
4π|| → x − → x0 || δ
t0 − t − || → x − →
x0 ||
c0
→x
→
= δ(t0 − t)δ − x0
F. Coulouvrat et R. Marchiano 45

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 46
En conséquence, on a :
et donc :
=
=
=
pa( → x 0, t0) =
T
T
T
T
D
D
pa( → x, t)
⎛
⎝ 1
c 2 0
∂2
→x0,
G t0, →
x, t
∂t 2
pa( → x, t)δ(t0 − t)δ( → x − → x 0)d → x dt
pa( → x 0, t)δ(t0 − t)dt
pa( → x 0, t0 − u)δ(u)du
→x0,
− ∆G t0, →
x, t
⎞
⎠ d → x dt
= pa( → x 0, t0) (3.26)
+
+
1
D c2 0
T ∂D T
⎡
⎣pa( → x, t)
→x0,
∂G t0, →
x, t
∂t
→x0,
G t0, → →
x, t ∇
− ∂pa( → x, t)
∂t
G
→x0,
t0, → x, t
pa( →
x, t) − pa( → x, t) →
∇
G
⎤
⎦
t2
t1
d → x
→x0,
t0, →
x, t . → n dSdt
q( →
→x0,
x, t)G t0, →
x, t d → x dt. (3.27)
Permutons maintenant les notations → x↔ → x0 et t ↔ t0. On a :
pa( → x, t) =
1
D c2 ⎡
⎣pa(
0
→
→x,
→
∂G t, x0, t0
x0, t0)
−
∂t0
∂pa( → x0, t0)
→x,
→
G t, x0, t0
∂t0
⎤t0=t2
⎦ d
t0=t1
→ +
x0 ⎛
⎝G
→x,
→ ∂pa(
t, x0, t0
T ∂D
→ x0, t0)
− pa(
∂n0
→ +
→x,
→ ⎞
∂G t, x0, t0
x0, t)
⎠ dS0dt0
∂n0
q( →
→x,
→
x0, t0)G t, x0, t0 d → x0 dt0.
T
Choisissons t1 = ti l’instant initial et t2 = t + . Comme G( → x, t, → x 0, t0) = 0 si t < t0 (principe
de causalité : on ne peut observer nulle part de signal à l’instant t avant qu’il n’ait été émis à
l’instant t0), on retrouve bien le théorème de Kirchhoff tel qu’énoncé au début de cette partie
F. Coulouvrat et R. Marchiano 46

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 47
(Eq. 3.25) :
pa( → x, t) =
+
+
1
D c2 ⎛
⎝
0
∂pa( → x0, t0)
→x,
→
G t, x0, t0 − pa(
∂t0
→
→x,
→ ⎞
∂G t, x0, t0
x0, t0)
⎠ d
∂t0
→
x 0
t0=ti
⎛
⎝G
→x,
→ ∂pa(
t, x0, t0
T ∂D
→ x0, t0)
− pa(
∂n0
→
→x,
→ ⎞
∂G t, x0, t0
x0, t0)
⎠ dS0dt
∂n0
q( → x0, t0)G( → x, t, → x0, t0)d → x0 dt0.
T
D
3.2.2 Le théorème de Kirchhoff en régime fréquentiel
Soit l’équation de Helmholtz avec un terme source satisfaite par le champ de pression dans
un domaine D de l’espace :
2
∆ + k ˆpa( → x) = ˆq( → x). (3.28)
Soit ˆ
→x,
→
G x0 une fonction de Green solution de l’équation de Helmholtz avec une source
ponctuelle :
2
∆ + k
Gˆ
→x,
→
x0 = δ( → x − → x0). (3.29)
En procédant de manière analogue à la section 3.2.1 (on multiplie Eq. 3.28) par ˆ G, on intègre
sur le domaine D, on « rentre » ˆ G dans la divergence et on applique deux fois le théorème de
la divergence), on aboutit au théorème de Kirchhoff en régime fréquentiel :
ˆpa( →
x) =
∂D
ˆpa( → x0) ∂ ˆ “
→x
”
→
G , x 0
− ∂n0
ˆ
→x,
→ → ∂ ˆpa( x 0)
G x0
∂n0
dS0 + D ˆq(→ x0) ˆ
→x,
→
G x0 d → x0 (3.30)
C’est le théorème de Kirchhoff qui montre que le champ de pression fréquentiel en un point
d’observation → x donné est entièrement déterminé par :
1. les valeurs
de la pression et de sa dérivée normale sur les bords du domaine ( terme
ˆpa( ∂D
→ x0) ∂ ˆ “
→x
”
→
G , x 0
− ∂n0
ˆ
→x,
→ → ∂ ˆpa( x 0)
G x0 dS0) ;
∂n0
2. la donnée de la source volumique (terme D ˆq(→ x0) ˆ
→x,
→
G x0 d → x0). 3.3 Sources acoustiques de type 1 : rayonnement des
surfaces planes
3.3.1 L’intégrale de Rayleigh
Le but de cette partie est de déterminer le champ rayonné par une surface plane S0 dont on
connaît la vitesse normale de vibration qu’on suppose harmonique : V ( → x 0, t) = ˆ V0( → x 0)e −iωt .
La surface rayonnante est située en z = 0, et coïncide avec le plan (x, y). En outre, il n’y a
F. Coulouvrat et R. Marchiano 47

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 48
pas de source volumique dans le demi espace z > 0. Plaçons-nous dans l’espace fréquentiel (la
vitesse de la surface plane est décrite par ˆ V0( → x0)), le théorème de Kirchhoff s’écrit alors (Eq.
3.30) :
ˆpa( →
x) =
S0
⎛
⎝ˆpa( → x 0)
∂ ˆ
→x,
→
G x0
∂n
− ˆ
→x, →
G x0
∂ ˆpa( → ⎞
x0) ⎠ dS0
∂n
(3.31)
La condition cinématique de continuité des vitesses normales à l’interface surface plane/fluide
impose la condition suivante sur la vitesse des particules de fluide en z = 0 :
ˆ→
v a( → x 0). → z = ˆ V0( → x 0) (3.32)
En projetant l’équation d’Euler linéarisée (Eq. 1.11) sur l’axe z, on peut alors relier la dérivée
normale de la pression à la vitesse normale de la surface S0 :
∂ ˆpa
∂z
= ∂ ˆpa
∂n = iωρ0 ˆ V0( → x 0) (3.33)
La dérivée normale de la pression est imposée par le mouvement de la surface. En revanche,
dans ce cas, la pression à la surface n’est pas connue, si bien que l’utilisation du théorème de
Kirchhoff (Eq. 3.31) avec la fonction de Green en espace libre (3.16) ne permet pas d’expliciter
le champ. La solution consiste à utiliser une autre fonction de Green dont la dérivée normale
est nulle. Ainsi, la seule donnée de la vitesse normale suffira à conduire le calcul de la pression
en un point → x à un instant t. Pour cela, cherchons la fonction de Green décrivant le champ
rayonné par une source ponctuelle située en → x 1= (x1, y1, z1) en présence d’une surface rigide
parfaitement réfléchissante située en z = 0. La méthode des images permet de construire la
fonction de Green satisfaisant ce problème. En effet, en présence d’une surface plane parfaitement
réfléchissante, on sait que le champ total résulte du champ en l’absence de la surface
et de celui émis par la source image symétrique de la source réelle par rapport à la surface.
En introduisant le point → x 2= (x1, y1, −z1), symétrique du point → x 1 par rapport au plan (x, y),
on construit la nouvelle fonction de Green reliant la source (i.e. les deux sources ponctuelles
situées en → x 1 et → x 2, repérée par → x S) au point courant → x :
ˆG( → x, → x S) =
−1
4π|| → x − → x1 || eik||→ x − → x −1
1||
+
4π|| → x − → x2 || eik||→ x − → x 2||
(3.34)
Dans notre cas, piston plan bafflé, la source est située en z = 0, on calcule la dérivée de
l’équation 3.34 et on fait tendre z1 → 0, on trouve alors que la dérivée normale de la nouvelle
fonction de Green est nulle :
∂ ˆ G( → x, → x0) = 0, (3.35)
∂z
En faisant la même opération (z1 → 0), la fonction de Green se réduit à :
et sa dérivée normale :
ˆG( → x, → x 0) =
F. Coulouvrat et R. Marchiano 48
−1
2π|| → x − → x 0 || eik||→ x − → x 0|| , (3.36)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 49
a
φ
piston
baffle
O
y
Φ
P
r
x
θ
Fig. 3.2 – Piston circulaire plan bafflé
En utilisant cette fonction de Green ainsi que l’expression de la dérivée normale de la
pression (Eq. 3.33), l’équation 3.31 devient :
ˆpa( → x) = iωρ0
2π
S0
R
e ik||→ x − → x 0||
|| → x − → ˆV0(
x0 ||
→ x0)dS0 M
z
(3.37)
Cette relation est connue sous le nom d’intégrale de Rayleigh. Rappelons qu’elle permet
de calculer le champ de pression acoustique rayonné par une surface plane dont on connaît
uniquement la vitesse normale.
3.3.2 Rayonnement d’un piston plan bafflé
Un cas particulier, très important en acoustique, de rayonnement de surface plane et le
cas du piston plan bafflé (Fig. 3.2). En effet, de nombreuses sources acoustiques peuvent être
modélisées comme des pistons plans (ex : le haut-parleur). Nous allons dans cette partie nous
intéresser au cas des sources circulaires (de rayon a) vibrant de manière uniforme en mode «
piston » et placée dans un écran rigide infini. La vitesse normale de la surface plane s’écrit
alors :
ˆV0( → x 0) =
0 si || → x 0 || > a,
ˆV0 si || → x 0 || ≤ a.
(3.38)
On note → x 0= (r cos φ, r sin φ, 0) les coordonnées d’un point courant à la surface du piston
et → x= (R cos Φ sin θ, R sin Φ sin θ, R cos θ) les coordonnées du point d’observation M. Dans ce
F. Coulouvrat et R. Marchiano 49

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 50
cas, l’intégrale de Rayleigh(Eq. 3.37) s’écrit :
ˆpa( → x) = iωρ0 ˆ V0
2π
2π
0
a
e
0
ik||→x − → x 0||
|| → x − → rdrdφ. (3.39)
x0 ||
Le problème étant axisymétrique, on fait les calculs pour Φ = 0 sans pour autant perdre en
généralité (axisymétrique = même calcul quel que soit Φ) :
|| → x − → x 0 || = (R sin θ − r cos φ) 2 + r 2 sin 2 φ + R 2 cos 2 θ 1/2
= R 2 sin 2 θ + r 2 cos 2 φ − 2Rr sin θ cos φ + r 2 sin 2 φ + R 2 cos 2 θ 1/2
= R 2 + r 2 − 2Rr sin θ cos φ 1/2
La pression au point d’observation M devient :
ˆpa( → x) = iωρ0 ˆ 2π a
V0 exp ik (R
2π 0 0
2 + r2 − 2Rr sin θ cos φ) 1/2
(R2 + r2 − 2Rr sin θ cos φ) 1/2 rdrdφ. (3.40)
Cette intégrale ne peut pas être évaluée analytiquement dans le cas général, mais il est possible
de l’évaluer exactement sur l’axe du piston et de manière approchée en champ lointain.
Champ rayonné sur l’axe du piston
Si le point d’observation est situé sur l’axe du piston (M = (0, 0, z) ou de manière
équivalente θ = 0), le champ de pression s’écrit :
ˆpa(0, 0, R) = iωρ0 ˆ 2π a
V0 exp ik (R
2π 0 0
2 + r2 ) 1/2
(R2 + r2 ) 1/2 rdrdφ. (3.41)
en posant u = √ R 2 + r 2 (du = rdr/ √ R 2 + r 2 ), il vient :
ˆpa(0, 0, R) = iωρ0 ˆ V0
2π
2π
0
dφ
√ R 2 +a 2
cette expression s’intègre directement, on obtient ainsi :
ˆpa(0, 0, R) = ρ0c0 ˆ
V0 exp ik √ R2 + a2
R
exp (iku) du. (3.42)
− exp (ikR) . (3.43)
En remarquant que ρ0c0 ˆ V0 = ˆ P0 est une quantité homogène à une pression, le champ de
pression au point M, à l’instant t, s’écrit finalement :
pa(0, 0, R, t) = ˆ P0
exp
i
k √ R 2 + a 2 − ωt
− exp (i (kR − ωt)) . (3.44)
Le champ rayonné par le piston sur l’axe est la superposition de deux ondes, l’une provenant
directement du piston (terme exp (i (kR − ωt))) et l’autre provenant du bord du piston (terme
exp i k √ R 2 + a 2 − ωt ). Ces deux ondes interagissent pour former le champ acoustique au
point M si bien que le module de l’amplitude du champ, normalisé par ˆ P0, oscille entre 0 et 2.
Le champ de pression rayonné sur l’axe pour un piston dont la largeur a = 5λ (soit ka = 10π)
est présenté sur la figure 3.3d, on constate les nombreuses oscillations entre les valeurs 0 et 2
entre le piston et une certaine distance (la distance de Fresnel) dont nous parlerons dans la
suite. La position des zéros et des maxima de pression se déterminent assez facilement :
F. Coulouvrat et R. Marchiano 50

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 51
p/P 0
p/P 0
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0 0.5 1 1.5
R/R
0
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
R/R
0
1.2 1.4 1.6 1.8 2
p/P 0
p/P 0
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
R/R
0
1.2 1.4 1.6 1.8 2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
R/R
0
1.2 1.4 1.6 1.8 2
Fig. 3.3 – module du champ de pression sur l’axe du piston pour les configurations suivantes :
(a) a/λ = 0.2, (b) a/λ = 1, (c) a/λ = 1 et (d) a/λ = 10
F. Coulouvrat et R. Marchiano 51

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 52
– pour que les interférences soit destructives, il faut que les arguments des exponentielles
soient égaux (à 2π près) :
k √ R 2 + a 2 = kR + nπ,
avec n un nombre entier pair ;
– pour que les interférences soit constructives, il faut que les exponentielles soient en
opposition de phase (décalage de π (à 2π) près des arguments) :
k √ R 2 + a 2 = kR + nπ,
avec n un nombre entier impair ;
Ainsi, la position des minima et des maxima est donnée par la formule :
R = k2 a 2 − n 2 π 2
2knπ
(3.45)
pour laquelle n pair donne la position d’un minima et n impair celle d’un maxima. On constate
ainsi que le premier maximum (n = 1) ne peut avoir lieu que si :
k 2 a 2 − π 2 ≥ 0
c’est à dire à la condition que le rayon du piston soit supérieur à une demi longueur d’onde :
a ≥ λ
2 .
Dans le cas contraire, la valeur 2 n’est jamais atteinte comme l’illustre la figure 3.3 (a). Le
premier zéro (n = 2), quant à lui, ne peut avoir lieu que si le rayon du piston est supérieur à
une longueur d’onde :
a ≥ λ.
Si le rayon du piston ne remplit pas ce critère, le champ n’est jamais nul sur l’axe. La figure
3.3 (b) illustre le cas limite pour lequel a = λ, on observe un maximum et l’apparition d’un
zéro d’amplitude situé en R = 0.
Pour un piston dont la largeur est plus grande que la longueur d’onde (2a ≥ λ), la zone
d’oscillations correspond à la distance entre le piston et le dernier maxima (obtenu pour
n = 1) :
R0 = a2 λ
− , (3.46)
λ
pour les pistons dont le rayon est grand devant la longueur d’onde (a >> λ), cette distance
vaut approximativement :
. (3.47)
λ
Cette distance est appelée distance de Fresnel. Elle correspond à la limite entre le champ proche
du piston (zone où l’amplitude oscille) et le champ lointain. L’axe des abscisses des différents
champs présentés à la figure 3.3 est normalisé par la distance de Fresnel (Eq. ??), ainsi sur ces
figures la zone d’oscillation est comprise entre 0 et 1. En champ lointain, R > R0 = a2 /λ >> a
par conséquent, on peut faire un développement de la phase :
R0 ≈ a2
4
√ a
R2 + a2 = R(1 + 2
R2 )1/2 ≈ R(1 + a2 a2
) = R + . (3.48)
2R2 2R
F. Coulouvrat et R. Marchiano 52

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 53
la pression sur l’axe s’écrit alors :
ˆpa(0, 0, R >> a) = ρ0c0 ˆ
V exp ik R + a2
=
− exp (ikR) .
2R
ρ0c0 ˆ =
2
2
ika ika
V exp (ikR) exp exp − 1
4R 4R
2iρ0c0 ˆ
V0 exp ikR + ika2
2 ka
sin
4R 4R
(3.49)
comme R > R0 l’argument du sinus est compris entre 0 et π,
ainsi l’expression ci-dessus ne
2
peut pas s’annuler, ce qui est cohérent avec ce qui précède.
Si le point d’observation est située très au-delà de la distance de Fresnel, alors R >> R0 =
a2λ, et la pression peut s’écrire :
ˆpa(0, 0, R >> R0) = ika2
2R ρ0c0 ˆ V0 exp (ikR) , (3.50)
On constate que l’amplitude du champ de pression sur l’axe en champ lointain décroît en 1/r
comme une onde sphérique : le point d’observation est suffisamment loin pour que le piston
puisse être vu comme une source ponctuelle.
Champ lointain - Directivité du piston
On s’intéresse dans cette partie au champ rayonné par le piston hors de l’axe mais loin du
piston (R >> a). Dans ce cas, le terme de phase dans l’équation 3.40 peut être approché par :
R 2 + r 2 − 2Rr sin θ cos φ 1/2 = R 1 + r 2 /R 2 − 2r/R sin θ cos φ 1/2
Ainsi, la pression loin du piston peut s’écrire 2 :
ˆpa( → x) = iωρ0 ˆ V0
2πR
2π
exp (ikR)
0
≈ R − r sin θ cos φ (3.51)
a
exp (−ikr sin θ cos φ) rdrdφ. (3.52)
Evaluons l’intégrale portant sur l’angle φ, pour cela on fait d’abord le changement de variables
φ ′ = φ − π :
I =
2π
0 π
0
exp (−ikr sin θ cos φ) dφ
= exp (ikr sin θ cos φ
−π
′ ) dφ ′
π
= 2 exp (ikr sin θ cos φ ′ ) dφ ′
0
= 2πJ0 (kr sin θ) (3.53)
2 la phase et l’amplitude ne sont pas développées au même ordre car l’amplitude varie plus lentement que
la phase, l’ordre 0 suffit pour l’amplitude alors qu’il faut aller à l’ordre 1 pour la phase.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 53

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 54
où J0(z) est la fonction de Bessel d’ordre 0 défini par :
J0(z) = 1
π
cos (z sin φ) dφ =
π
1
π
exp (iz cos φ) dφ (3.54)
π
La pression hors de l’axe est donc :
0
ˆpa( → x) = iωρ0 ˆ V0
R
0
a
exp (ikR) J0(kr sin θ)rdr. (3.55)
Introduisons la fonction de Bessel du premier ordre :
J1(z) = 1
π
cos (z sin φ − φ) dφ =
π
1
π
exp (iz cos φ) cos(φ)dφ. (3.56)
iπ
0
Les fonctions de Bessel sont reliées par la propriété suivante :
0
0
J ′ 1(z) = J0(z) − J1(z)
, (3.57)
z
qui se met aussi sous la forme :
dzJ1(z)
= zJ0(z). (3.58)
z
Cette dernière relation permet d’exprimer le champ de pression en fonction de la fonction de
Bessel d’ordre 1 :
ˆpa( → x) = iaρ0c0 ˆ J1(ka sin θ) exp (ikR)
V0
. (3.59)
sin θ R
En champ lointain l’amplitude décroît en 1/R comme pour une onde sphérique. Cependant,
l’amplitude n’est pas la même dans toutes les directions de l’espace mais il existe une fonction
de directivité décrivant la manière dont l’amplitude est modulée dans l’espace :
D(θ) = 2J1(ka sin θ)
ka sin θ
(3.60)
La courbe représentative de la fonction J1(z)/z est donnée à la figure 3.4 pour z ∈ [−20 : 20],
et on note que J1(z = 0)/(z = 0) = 0.5.
ˆpa( → x) = ika 2 ρ0c0 ˆ V0D(θ)
exp (ikR)
. (3.61)
2R
Le diagramme de rayonnement dépend donc de la valeur ka. Si cette valeur est très petite
(si la taille de la source est petite devant la longueur d’onde) alors D(θ) ≈ 1, il n’y a pas de
directivité, le rayonnement est le même dans toutes les directions de l’espace : la source se
comporte comme une source ponctuelle (ce qui est en accord avec le fait que les dimensions
de la source soient petites devant la longueur d’onde). Si la valeur de ka augmente, alors, la
fonction de directivité peut s’annuler comme le montre la figure 3.4. Il existe ainsi des zones
de l’espace où le piston ne rayonne pas tandis qu’il rayonne dans d’autres régions. La figure
3.5 illustre ce phénomène d’interférences. On voit sur cette figure, que plus la valeur de ka
augmente et plus il apparaît de lobes secondaires sur le diagramme de directivité. Le lobe
principal est lui de plus en plus directif.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 54

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 55
J 1 (z)/z
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
!0.1
!20 !15 !10 !5 0
z
5 10 15 20
Fig. 3.4 – Courbe représentative de la fonction J1(z)/z
3.3.3 Rayonnement d’une coupelle
Considérons maintenant le rayonnement d’une coupelle sphérique, inscrite dans une sphère
de rayon R0 et de rayon a, correspondant à un demi-angle au sommet Ω = arcsin(a/R0), et
placée dans un écran rigide infini (Figure 3.6). On suppose que la coupelle vibre avec une
vitesse uniforme. Dans ce cas, la fonction de Green correspondant aux conditions aux limites
imposées n’est pas connue explicitement. Toutefois, lorsque la profondeur de la coupelle est
faible Ω

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 56
angle θ
angle θ
150
100
50
0
!50
!100
!150
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
20
15
10
5
0
!5
!10
!15
|D(θ)|
!20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
|D(θ)|
angle θ
angle θ
40
30
20
10
0
!10
!20
!30
!40
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
8
6
4
2
0
!2
!4
!6
|D(θ)|
!8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Fig. 3.5 – Diagramme de directivité pour différents pistons : (a) a/λ = 0.2, (b) a/λ = 1, (c)
a/λ = 2, (d) a/λ = 5
F. Coulouvrat et R. Marchiano 56
|D(θ)|

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 57
R0
M
a
"
!
Fig. 3.6 – Vue en coupe de la coupelle sphérique dans le plan (Oxz, i.e. pour φ = 0)
Au point focal (au centre de la sphère R = 0), on a simplement :
x
O
R
#
P
ˆpa( → x) = ρ0c0 ˆ V0R0(ikR0) exp(ikR0)(1 − cos Ω). (3.64)
Sur l’axe acoustique et après le point focal (θ = 0), il vient :
ˆpa( → x) = −iωρ0 ˆ V0R0
R
= −ρ0c0 ˆ V0R0
R
√ R 2 0 +R22+2RR0 cos Ω
R0+R
exp
ik
exp(iku)du
R2 0 + R2
− 2RR0 cos Ω
− exp (ik(R0 − R))
z
(3.65)
Un exemple de champ axial est illustré par la figure 3.7. On remarque l’amplification du
champ au voisinage du point focal (légèrement avant celui-ci). On notera notamment d’après
la formule 3.64 que l’amplitude maximale sera d’autant plus élevée que la fréquence est élevée
et la surface de la coupelle est grande.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 57

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 58
Fig. 3.7 – Rayonnement d’une coupelle sphérique en vibration uniforme dans un écran infini
- amplitude du champ de pression normalisé le long de l’axe en fonction de la distance (
kR0=100, Ω =30 o )
F. Coulouvrat et R. Marchiano 58

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 59
3.4 Introduction à l’aéroacoustique : analogie de Lighthill
et bruit de jet
3.4.1 Analogie aéroacoustique de Lighthill
Considérons un fluide parfait en écoulement, qui satisfait les équations de conservation
d’Euler (écrites ici sous forme conservative) :
∂ρ
∂t
pour l’équation de bilan de la masse et
∂ρvi
∂t
+ ∂ρvi
∂xi
+ ∂ρvivj
∂xj
= 0 (3.66)
= − ∂p
∂xi
(3.67)
pour l’équation de bilan de la conservation de quantité de mouvement.
Prenons la dérivée partielle par rapport au temps de l’équation de conservation de la masse
et retranchons lui la divergence de l’équation de conservation de la quantité de mouvement.
Ceci permet d’éliminer entre les deux le terme ρvi . Il vient :
∂ρ
∂t
− ∂ρvivj
∂xixj
= − ∂p
∂xi∂xi
(3.68)
En divisant par la vitesse du son et en retranchant le laplacien de la densité, on voit de la
sorte qu’il est possible d’écrire les équations d’Euler exactes, sans linéarisation, sous la forme
d’une équation des ondes (portant sur la densité plutôt que la pression) avec un « second
membre » sous la forme suivante :
1
c 2 0
∂ 2 ρ
∂t 2 − ∆ρ = ∂2 Tij
∂xi∂xj
(3.69)
avec :
Tij = 1
c2
ρvivj + (p − c
0
2
0ρ)δij
(3.70)
où δij est le symbole de Kronecker.
Dans l’équation ci-dessus, on observe donc que tout écoulement apparaît lui même comme
source acoustique potentielle, à travers le terme dit « quadripolaire » (dénommé ainsi à cause
de la double dérivée). Ce terme que l’on identifie comme terme source, fait apparaître le
tenseur de Reynolds Tij intervenant en turbulence. Dans l’approximation linéarisée, il s’annule
car la composante est quadratique (donc négligée pendant la linéarisation), tandis que le
développement de Taylor de l’équation d’état donne :
p − c 2 0ρ = p0 + c 2 0(ρ − ρ0) + O((ρ − ρ0) 2 ) − c 2 0ρ0 − c 2 0(ρ − ρ0) = p0 − c 2 0ρ0 + O((ρ − ρ0) 2 ) (3.71)
le premier terme au membre de droite de l’équation ci-dessus étant constant, donc ne
contribuant pas aux termes sources, tandis que le second est quadratique donc est négligé. On
retrouve donc bien que, dans l’approximation linéaire, le champ satisfait l’équation des ondes.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 59

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 60
Ce n’est plus le cas lorsque l’on considère les termes non linéaires. En particulier, même pour
un écoulement lent, quasi incompressible, on voit que le tenseur de Reynolds va contribuer au
terme source. C’est l’analogie aéroacoustique de Lighthill, qui identifie le terme ∂2Tij ∂xi∂xj comme
un terme source de l’équation des ondes et calculé indépendamment du champ acoustique
(par une simulation numérique en mécanique des fluides par exemple). L’équation de Lighthill
devient alors :
1
c2 ∂
0
2ρa ∂t2 − ∆ρa = ∂2Tij (3.72)
∂xi∂xj
où le membre de gauche fait intervenir le champ acoustique supposé inconnu ρa, tandis
que, au membre de droite, le tenseur de Reynolds est supposé déterminé au préalable et
indépendamment du champ acoustique.
Supposant connu le terme source, l’équation peut être résolue en faisant la remarque suivante
: si l’on note fij la solution de 1
c2 ∂
0
2fij ∂t2 −∆fij = Tij, il est aisé de voir que ∂2fij est solution
∂xi∂xj
de Eq.3.72. D’après le théorème de Kirchhoff dans le cas de sources volumiques, celle-ci est
donc donnée par :
ρa(x, t) = 1 ∂
4π
2
Tij(x0, t − |x0 − x|/c0)
dx0
(3.73)
∂xi∂xj
|x0 − x|
3.4.2 Bruit de jet
D
En suivant le principe de l’analogie de Lighthill, il est possible d’estimer de manière simple
le bruit produit par un jet subsonique de vitesse U et de diamètre D.
Les paramètres du jet sont essentiellement contrôlés par la dimension D de celui-ci et la
vitesse d’éjection. On peut donc estimer que les plus grosses structures turbulentes du jet sont
de taille D, et fluctuent sur une durée temporelle T = D/U (seule grandeur temporelle que
l’on peut construire avec les données du jet). En conséquence, on s’attend à ce que l’essentiel
de l’énergie acoustique rayonnée par le jet soit dans des fréquences de l’ordre de f = U/D,
ce qui correspond à des longueurs d’onde λ = c0/f = D/M où l’on a introduit le nombre de
Mach du jet M = U/c0. Pour un jet subsonique, la longueur d’onde sera donc grande devant
D. Dans l’estimation des fluctuations acoustiques produites par le jet :
ρa(x, t) = 1
4π
∂ 2
∂xi∂xj
D
Tij(x0, t − |x0 − x|/c0)
dx0
|x0 − x|
(3.74)
le tenseur Tij est d’ordre ρ0U 2 /c 2 0 , déterminé par le tenseur de Reynolds (le jet étant subsonique,
on peut négliger les effets de la compressibilité sur celui-ci, l’influence des variations de
densité est donc négligeable, et, d’après le théorème de Bernoulli, les fluctuations de pression
sont d’ordre ρ0U 2 ). Si le point d’observation est situé à une distance r >> λ >> D, le terme
sous l’intégrale est d’ordre ρ0U 2 /c 2 0r . La dérivée première par rapport aux variables d’espace
du terme Tij(x0, t − |x0 − x|/c0) va donner lieu à des termes d’ordre ρ0U 2 /c 2 0λ, puisque λ est
la longueur d’onde correspondante. Au contraire la dérivée par rapport aux variables d’espace
du terme en 1/|x0 − x| va donner lieu à des termes d’ordre 1/r 2 , négligeables par rapport
aux précédents dans l’hypothèse de champ lointain. En conséquence, la dérivée seconde donnera
lieu aux termes dominants ρ0U 2 /(rc 2 0λ 2 ). Le domaine d’intégration sera nécessairement
d’ordre D dans les trois directions de l’espace (les contributions de fluctuations éloignées de
F. Coulouvrat et R. Marchiano 60

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 61
plus de D seront décorrélées spatialement et donc temporellement, et donc ne contribueront
pas significativement au bruit). Au total, on estime donc que les fluctuations de densité seront
proportionnelles à ρ0U 2D3 /(rc2 0λ2 4 D
) soit ρa ∝ ρ0M . Le champ lointain décroissant comme
r
une onde sphérique, les fluctuations de pression sont donc pa ∝ ρ0c2 4 D
0M et celles de vitesse
r
4 D
|va| ∝ c0M r . L’intensité acoustique totale du jet varie donc comme | Ia| = |pava| ∝ ρ0c3 8 D2
0M r2 et la puissance totale du jet comme P ∝ ρ0c3 0M 8D2 (unité : Watt). C’est la loi de Lighthill, suivant
laquelle la puissance acoustique rayonnnée par un jet turbulent subsonique varie comme
la puissance huit du nombre de Mach associé à ce jet. Cette loi a été à la base de la réduction
du bruit de jet produit par les avions subsoniques à réaction. En effet, pour réduire le bruit,
il convient de diminuer le nombre de Mach, tout en conservant la puissance mécanique du
moteur. La pression dans le fluide résultant du jet étant d’ordre ρ0U 2 (d’après Bernoulli), la
force exercée par le jet est donc d’ordre ρ0U 2D2 (pression X surface) et la puissance mécanique
(force X vitesse) d’ordre ρ0U 2D2 . Le rapport puissance acoustique sur puissance mécanique est
donc proportionnel au nombre de Mach à la puissance 5. Une réduction de la vitesse d’éjection
sera donc particulièrement efficace pour la diminution du bruit rayonné, mais devra s’accompagner
d’une augmentation de la dimension du jet pour conserver la puissance mécanique
constante. Ainsi une réduction de 20% de la vitesse réduira la puissance acoustique rayonnée
de 67% mais conduira à une augmentation de la taille du réacteur de 40%.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 61

Chapitre 4
Guides d’ondes
4.1 Guides d’ondes bi-dimensionels
4.1.1 Problème
On s’intéresse à un guide d’ondes bi-dimensionnel d’axe → z , de largeur L (cf. Fig. ??). On
suppose que les parois du guide, situées en x = 0 et x = L sont parfaitement rigides. Ceci
signifie que la vitesse normale aux parois est nulle. En outre, on connaît la pression à l’entrée
du guide que l’on note :
pa(x, z = 0, t) = F0(x)e −iωt
(4.1)
Dans ce chapitre, on se propose de calculer la pression à une distance z quelconque de l’entrée
du guide.
4.1.2 Résolution - Solution à variables séparées
A l’intérieur du guide, la pression acoustique doit satisfaire l’équation des ondes :
∆pa − 1
c 2 0
∂2pa = 0
∂t2 La pression imposée à l’entrée du guide est harmonique, le système étant linéaire, la pression
s’écrit :
pa(x, z, t) = ˆpa(x, z)e −iωt
(4.2)
Remarquons que si la pression imposée à l’entrée n’est pas une fonction harmonique, on
peut toujours la décomposer comme une somme de fonctions harmoniques en utilisant le
formalisme des transformées de Fourier.
En injectant la relation 4.2 dans l’équation des ondes, on trouve que ˆpa(x, z) doit satisfaire
l’équation de Helmoltz :
∆ˆpa + k 2 ˆpa = 0 (4.3)
où k est le nombre d’onde (k = ω/c0).
Cherchons les solutions de cette équation sous forme d’une solution à variables séparées :
ˆpa(x, z) = F (x)G(z). (4.4)
62

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 63
En injectant cette solution dans l’équation de Helmoltz, on trouve :
G(z) d2 F
dx 2 + F (x)d2 G
dz 2 + k2 F (x)G(Z) = 0. (4.5)
Cette dernière expression peut se mettre sous la forme :
1 d
F (x)
2F 1 d
+
dx2 G(z)
2G dz2 + k2 = 0. (4.6)
En dérivant cette expression par rapport à x, on obtient la relation :
d 1 d
dx F (x)
2F dx2
= 0, (4.7)
qui s’intègre facilement :
1 d
F (x)
2F dx2 = −k2 x. (4.8)
où kx, est une constante. Remarquons que le signe de la constante n’est pas fortuit, il sera
justifié ultérieurement.
La relation ainsi trouvée est une équation différentielle du second ordre à coefficients
constants :
d 2 F
dx 2 = −k2 xF (x) (4.9)
La solution de cette équation est de la forme :
F (x) = Ae −ikxx + Be ikxx , (4.10)
Les coefficients A et B peuvent être déterminés en utilisant les conditions aux limites imposées
par le guide. La vitesse normale aux parois étant nulle, on peut écrire :
et
→ v a (x = 0, z, t). → x= ˆva(x = 0, z)e −iωt . → x= 0, (4.11)
→ v a (x = L, z, t). → x= ˆva(x = L, z)e −iωt . → x= 0. (4.12)
D’après la relation d’Euler linéarisée, on a donc :
dF
(x = 0) = 0, (4.13)
dx
et
dF
(x = L) = 0.
dx
(4.14)
En injectant ces conditions dans l’équation 4.25, on trouve :
F. Coulouvrat et R. Marchiano 63
dF
dx (x = 0) = −ikxA + ikxB = 0, (4.15)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 64
donc A = B, de plus :
dF
dx (x = 0) = −ikxAe −ikxL + ikxBe ikxL = 2iA sin(kxL) = 0, (4.16)
Pour que la solution du problème ne soit pas nulle, il faut que :
c’est à dire que la quantité kx soit quantifiée :
Finalement, on trouve que la solution en x est de la forme :
sin(kxL) = 0, (4.17)
kx = nπ
, n ∈ N. (4.18)
L
F (x) = A cos( nπ
x). (4.19)
L
Pour déterminer la fonction G(z), on procède de la même manière. Tout d’abord, on dérive
l’équation 4.6 par rapport à z :
d 1 d
dz G(z)
2G dz2
= 0, (4.20)
relation qui s’intègre facilement et donne :
1 d
G(x)
2G dz2 = −k2 z. (4.21)
où kz est une constante. Là aussi, le signe de la constante n’est pas fortuit.
On peut obtenir l’expression de la constante kz en remarquant que la somme des équations
portant sur F et sur G (eqs. 4.8 et 4.21) :
1
F (x)
d2F 1 d
+
dx2 G(z)
2G dz2 + k2 x + k 2 z = 0, (4.22)
doit être compatible avec l’équation de départ (Eq. 4.6). Ainsi, les constantes kx et kz doivent
vérifier la relation :
k 2 x + k 2 z = k 2 , (4.23)
ce qui permet d’obtenir kz en fonction de k, le nombre d’onde et kx, constante calculée
précédemment.
L’équation que doit satisfaire G(z) est une équation différentielle du second ordre à coefficients
constants :
d 2 G
dz 2 = −k2 zG(z) (4.24)
La solution de cette équation est de la forme :
G(z) = Ce −ikzz + De ikzz , (4.25)
On voit que la solution est la superposition d’une onde se propageant vers les z décroissants
(premier terme) et d’une onde se propageant vers les z croissants. Or, nous ne nous intéressons
F. Coulouvrat et R. Marchiano 64

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 65
dans ce propblème qu’à la propagation d’ondes générées en z = 0 et se propageant vers les
z croissants. Pour cette raison, on choisit de poser C = 0. La constante D se détermine en
utilisant la condition à la source. Cela sera l’objet du paragraphe 4.1.4.
Finalement, une solution de l’équation de Helmoltz s’écrit :
ˆp n a(x, z) = An cos( nπ
L x)eikzz . (4.26)
Cette solution est appelée mode n du guide d’onde. Remarquons que le mode n = 0 corresponde
à une onde plane se propageant vers les z croissants. La solution générale du problème
s’obtient en superposant tous les modes :
ˆpa(x, z) =
∞
ˆp n a(x, z) =
4.1.3 Modes propagatifs - Modes évanescents
Fréquence de coupure
n=0
∞
n=0
Introduisons la fréquence f n c définie par la relation :
An cos( nπ
L x)eikzz . (4.27)
f n c = nc0
, (4.28)
2L
et exprimons kz = k2 − k2 x, en fonction de cette fréquence f n c :
2πf 2
n 2
1/2
2πfc kz = −
. (4.29)
Cette expression peut se mettre sous la forme :
f
c0
kz = 2πf n c
c0
f n c
2
c0
− 1
1/2
Ainsi on constate que la fréquence f n c délimite deux régimes :
– si f > f n c , alors kz = 2πf n c f
c0 f n
2
1/2
− 1
c
mode n s’écrit :
le mode est alors dit propagatif ;
– si f < f n c alors kz = i 2πf n c
c0
associée au mode n s’écrit :
, (4.30)
est un nombre réel, et la pression associée au
ˆp n a(x, z) = An cos( nπ
L x)eikzz ,
1 − f
f n c
2 1/2
ˆp n a(x, z) = An cos( nπ
L x)e−
est un nombre imaginaire pur, et la pression
2πf n c
c 0
» “
1− f
fn ” – !
2 1/2
z
c
,
cette dernière expression montre que l’onde n’est alors plus propagative mais exponentiellement
décroissante. Le mode est dit evanescent.
La fréquence f n c est appelée fréquence de coupure : en dessous de cette fréquence les modes
ne sont plus propagatifs.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 65

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 66
Vitesse de phase - vitesse de groupe
Vitesse de phase
La vitesse de phase suivant l’axe du guide est définie par la relation :
En injectant l’expression de kz, on trouve que :
cφ = c0
cφ = ω
. (4.31)
1 −
kz
f n c
f
2 −1/2
(4.32)
L’expression ci-dessus montre que la vitesse de phase dépend de la fréquence. Une onde à la
fréquence f1 se déplace à une vitesse différente d’une onde à une autre fréquence f2. Ainsi si la
source à l’entrée du guide émet un paquet d’ondes composé de plusieurs fréquences, l’enveloppe
de ce paquet d’ondes va se déformer au cours de la propagation (puisque chaque fréquence se
déplace à sa vitesse propre). On dit alors que les ondes sont dispersives. Ce comportement est
radicalement différent de celui des ondes acoustiques en champ libre pour lesquelles la vitesse
de phase est indépendante de la fréquence (cf chapitre 1). Si f >> f n c , alors la valeur de la
vitesse de phase tend vers celle de la vitesse du son en champ libre. En effet, si la fréquence est
grande, la longueur d’onde est courte, et les ondes ”voient ” moins les effets de bord dus au
guide. Si f = f n c , alors la vitesse de phase tend vers l’infini, ce qui n’est bien sûr pas acceptable
(la vitesse de propagation est nécessairement inférieure à une limite finie). La vitesse de phase
n’est pas la grandeur pertinente pour mesurer la vitesse de propagation des ondes acoustiques
dans le guide.
Vitesse de groupe
Il est possible de définir une ”autre” vitesse que la vitesse de phase. Cette vitesse est la
vitesse de groupe :
vg = dω
, (4.33)
dkz
Cette quantité peut être identifiée à la vitesse de propagation de l’énergie dans le cas d’ondes
acoustiques se propageant dans un guide d’ondes (la démonstration de ce résultat n’est pas
donnée dans ce document, le lecteur est invité à consulter d’autres ouvrages).
En injectant la valeur de kz, on trouve que la vitesse de groupe s’exprime par :
vg = c0
1 −
f n c
f
2 1/2
. (4.34)
Si f >> f n c alors la valeur de la vitesse de groupe tend vers celle de la vitesse du son en espace
libre. Si f = f n c alors, la vitesse de groupe tend vers zéro. On retrouve alors le caractère non
propagatif des ondes dans le guide d’ondes.
Interpretation geométrique
La pression associée au mode n (Eq. 4.26) peut s’écrire :
F. Coulouvrat et R. Marchiano 66
ˆp n a(x, z) = An/2 e i(kxx+kzz) + e i(−kxx+kzz) , (4.35)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 67
Ainsi, le mode n peut être vu comme la superposition de deux ondes planes ayant comme vecteurs
d’onde respectivement →
k +
= (kx, kz) et →
k −
= (−kx, kz). Le quantités kx et kz représentent
respectivement la projection du vecteur d’onde sur → x et sur → z . En introduisant l’angle θ, angle
formé par les vecteurs → z et →
k +
, on a kz = k cos θ = ω/c0 cos θ. Ainsi la vitesse de phase suivant
l’axe du guide peut s’exprimer à partir de l’angle θ :
La vitesse de groupe vaut quant à elle :
4.1.4 Conditions à la source
On a montré que la solution générale (Eq. 4.27) s’écrit :
ˆpa(x, z) =
cφ = c0
. (4.36)
cos θ
cg = c0 cos θ. (4.37)
∞
n=0
An cos( nπ
L x)eikzz .
Pour déterminer les coefficients An, on utilise la pression imposée en z = 0 que l’on suppose
connue :
∞
ˆpa(x, z = 0) = F0(x) = An cos( nπ
x).
L
(4.38)
Les coefficients An se déterminent en remarquant que l’expression ci-dessus peut être identifiée
à un développement en série de Fourier d’une fonction périodique paire de période 2L. On a
alors :
et,
An = 1
2L
A0 = 1
L
L
0
n=0
L
F0(x)dx, (4.39)
0
F0(x) cos( nπx
)dx. (4.40)
L
La distribution spatiale de la source se décompose en une infinité de modes. Cependant, comme
on l’a vu, les modes ayant un n élevé (tels que f < f n c ) ne se propagent pas dans le mode. Le
guide d’ondes va donc agir comme un filtre sur la propagation des modes et va sélectionner
uniquement certains modes.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 67

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 68
4.2 Guide d’onde cylindrique rigide avec écoulement
uniforme
4.2.1 L’équation des ondes dans un milieu avec écoulement uniforme
On considère un fluide parfait, compressible et homogène, de densité ρ0 et de vitesse du
son c0, en écoulement uniforme dans la direction axiale z à la vitesse V0. On note M0 = V0/c0
le nombre de Mach l’écoulement qui sera supposé subsonique (M0 < 1). Les équations d’Euler
linéarisées dans ce cas deviennent, avec les notations du chapitre 1 :
ρ0
∂ρa
∂t
∂va
∂t
∂ρa
+ V0
∂z + ρ0div.va = 0 (4.41)
+ V0
∂va
∂z
+ −−→
gradpa = 0, (4.42)
l’équation d’état restant pa = c 2 0ρa. On élimine la vitesse acoustique entre les deux équations
de bilan ci-dessus en prenant la divergence de l’équation de la quantité de mouvement et la
dérivée convective ∂/∂t + V0∂/∂z de l’équation de la masse. En soustrayant, on obtient alors
l’équation des ondes dans un milieu avec écoulement uniforme :
∂
∂t
∂
+ V0
∂z
2
∂ 2 pa
pa − c 2 0∆pa = ∂2pa + 2V0
∂t2 ∂t∂z
+ (V 2
0 − c 2 0) ∂2 pa
∂z 2 − c2 0∆⊥pa = 0 (4.43)
où ∆⊥ désigne le Laplacien transverse dans le plan xy orthogonal à la direction axiale z,
qui s’exprime en coordonnées cartésiennes ou cylindriques par :
∆⊥pa = ∂2pa ∂x2 + ∂2pa ∂y2 ∆⊥pa = 1
r
∂
∂r
r ∂pa
∂r
+ 1
r2 ∂2pa ∂θ2 (4.44)
(4.45)
les coordonnées cylindriques étant définies par x = r cos θ et y = r sin θ (Fig.4.1).
Une solution sous la forme d’une onde plane se propageant à la vitesse de phase cφ peut
être recherchée sous la forme pa = f(t − x.n ) où n est un vecteur unitaire. En substituant dans
cφ
Eq.(4.43), il vient les deux solutions :
cφ = c0 + V0.n ou cφ = −c0 + V0.n (4.46)
La deuxième solution se déduit de la première en changeant le sens de la propagation
n → −n. On peut donc se restreindre à la première expression : les ondes se propageant dans
le sens de l’écoulement sont accélérées par celui-ci, tandis que celles se propageant en sens
contraire sont ralenties. La propagation des ondes en milieu avec écoulement uniforme est
donc non dispersive (la vitesse de phase est indépendante de la fréquence) mais anisotrope :
la vitesse de phase dépend de la direction de propagation.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 68

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 69
O
y
r
!
Fig. 4.1 – Coordonnées cartésiennes et cylindriques
4.2.2 Relation de dispersion de l’équation des ondes
On calcule la relation de dispersion d’une onde plane sous la forme :
pa = A exp[i(kzz + k⊥.x⊥ − ωt)]. (4.47)
avec ω la pulsation, x⊥ = (x, y) le vecteur position dans le plan transverse, kz le nombre
d’onde axial, k⊥ = (kx, ky) le vecteur d’onde transverse, son amplitude k⊥ = | k⊥| étant le
nombre d’onde transverse, et enfin k = (kx, ky, kz) le vecteur d’onde.
En injectant la solution sous la forme d’une onde plane Eq.(4.47) dans l’équation des ondes
Eq.(4.43), on obtient :
(1 − M 2 0 )k 2 z + 2M0k0kz + k 2 ⊥ − k 2 0 = 0, (4.48)
en notant k0 = ω/c0 le nombre d’onde dans le milieu sans écoulement. Eq.(4.48) est un
polynôme du second degré en kz dont la solution est donnée par :
kz = −M0k0
± k2 0 − (1 − M 2 0 ) k 2 ⊥
1 − M 2 . (4.49)
0
Le signe des solutions est déterminé suivant les cas. Lorsque 0 ≤ k⊥ ≤ k0, le produit
( k 2 ⊥ −k2 0)/(1−M 2 0 ) des racines de Eq.(4.48) est négatif, les deux racines sont de signes opposés,
et comme k − z < k + z , la racine correspondant au signe + est positive et la racine correspondant
au signe − est négative. Lorsque k0 ≤ k⊥ ≤ k0/ 1 − M 2 0 , les deux racines sont du même
F. Coulouvrat et R. Marchiano 69
x
z

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 70
signe, qui est celui de leur somme −2M0k0/(1 − M 2 0 ). Lorsque le nombre de Mach est négatif,
les deux racines sont donc positives, et elles sont négatives lorsque le nombre de Mach est
positif. Enfin, lorsque k⊥ > k0/ 1 − M 2 0 , les deux racines de Eq.(4.49) deviennent complexes
avec une même partie réelle et une partie imaginaire de signe opposé :
kz = −M0k0
± i (1 − M 2 0 ) k 2 ⊥ − k2 0
(4.50)
1 − M 2 0
Le signe + correspond à une partie imaginaire positive et donc à une onde exponentiellement
décroissante lorsque on se propage vers z > 0. On dit alors que l’onde est évanescente.
Le signe − correspond à une partie imaginaire négative et à une onde exponentiellement croissante
lorsque on se propage vers z > 0. La valeur limite k0/ 1 − M 2 0 du nombre d’onde
transverse est appelé coupure : pour des nombres d’onde transverse inférieurs à cette coupure,
l’onde plane reste propagative, tandis que pour des nombres d’onde transverse supérieurs, elle
devient exponentiellement atténuée.
Ces résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous.
0 < k⊥ < k0 k0 < k⊥ < k0/ 1 − M 2 0 k⊥ > k0/ 1 − M 2 0
M0 > 0 k − z < 0 < k + z k − z < 0 et k + z < 0 Im(k − z ) < 0 < Im(k + z )
M0 < 0 k − z < 0 < k + z k − z > 0 et k + z > 0 Im(k − z ) < 0 < Im(k + z )
Tab. 4.1 – Signe des racines de la relation de dispersion d’une onde plane dans un milieu en
écoulement uniforme
4.2.3 Vitesse de phase et anisotropie de la propagation
Dans le plan défini par les deux vecteurs (ez, k⊥) on définit le nombre d’onde k > 0 et l’angle
de propagation par rapport à l’axe z tels que : kz = k cos φ et k⊥ = k sin φ. Le vecteur unitaire
n = (cos φ, sin φ) est le vecteur normal au front d’onde, portant la direction de propagation
de la phase de l’onde. En substituant dans l’équation de dispersion Eq.(4.48), il vient avec ces
notations :
(1 − M 2 0 cos 2 φ)k 2 + 2M0k0 cos φk − k 2 0 = 0. (4.51)
D’après l’expression de la vitesse de phase, on a évidemment que k = k0/(1 + M0 cos φ)
est une solution (toujours positive car M0 < 1). Le produit −k 2 0/(1 − M 2 0 cos 2 φ) des racines
de l’équation Eq.(4.51) étant négatif, c’est donc la seule solution admissible. On en déduit les
expressions suivantes :
k =
kz =
k⊥ =
k0
1 + M0 cos φ
k0 cos φ
1 + M0 cos φ
k0 sin φ
1 + M0 cos φ
F. Coulouvrat et R. Marchiano 70
= ω
cφ
(4.52)
(4.53)
(4.54)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 71
La coupure est définie par k⊥ = k0/ 1 − M 2 0 , ce qui correspond à l’angle critique tel que
φc = − arccos(M0). En substituant Eq.(4.52) dans Eq.(4.49) et en identifiant, on voit que la
branche ”+” correspond aux angles de propagation φ inférieurs à arccos(−M0), et la branche
”-” aux angles de propagation φ supérieurs à arccos(−M0). Cet angle de coupure est donc
inférieur à 90 o pour un nombre de Mach négatif, et supérieur pour un nombre de Mach positif.
Un angle supérieur à 90 o correspond à des modes pour lesquels le nombre d’onde axial k + z est
négatif.
4.2.4 Bilan d’énergie dans un milieu en mouvement - vitesse de
groupe
On voit donc qu’il existe des cas pour lesquels les deux branches ont une vitesse de phase
axiale cφ = ω/kz de même signe. On va néanmoins voir, par des considérations énergétiques,
que ces deux branches correspondent à des directions de propagation de l’énergie du champ
acoustique différentes, la branche ”+” se propageant toujours vers z > 0 et la branche ”-” vers
z < 0.
Comme dans le cas sans écoulement, on peut établir une équation de bilan de l’énergie
acoustique, en multipliant l’équation de conservation de la masse linéarisée par pa/ρ0, et en
y ajoutant le produit scalaire de l’équation de conservation de la quantité de mouvement
linéarisée par va. En recombinant l’ensemble on obtient :
∂
∂t
p 2 a
2ρ0c 2 0
+ ρ0v 2 a
2
+ div. pava +
p 2 a
2ρ0c 2 0
+ ρ0v 2
a
V0ez = 0 (4.55)
2
où ez est le vecteur unitaire dans la direction axiale. Cette équation prend donc la forme
usuelle d’une équation de bilan de l’énergie acoustique (cf chapitre 1) :
∂Ea
∂t + div. Ja = 0 (4.56)
où la densité volumique d’énergie acoustique est inchangée par rapport au cas sans écoulement :
Ea = p2a 2ρ0c2 +
0
ρ0v 2 a
2
En revanche le vecteur flux d’énergie acoustique est modifié et devient :
2 p
Ja
a
= pava + + ρ0v 2
a
V0ez =
2
Ia + Ea V0
2ρ0c 2 0
(4.57)
(4.58)
de telle sorte que, par rapport au cas sans écoulement, l’intensité acoustique Ia = pava est
maintenant augmentée du flux d’énergie acoustique convectée par l’écoulement Ea V0.
Pour un signal périodique, on calcule la vitesse de propagation de l’énergie comme étant
le vecteur :
cg = < Ja >
< Ea >
F. Coulouvrat et R. Marchiano 71
(4.59)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 72
qui détermine la vitesse de propagation moyenne de l’énergie acoustique < Ea > transportée
par le flux < Ja > (on rappelle que le symbole < f > désigne la moyenne temporelle
sur une période d’une fonction f(t)). Cette quantité est appelée vitesse de groupe de
l’onde (par opposition à la vitesse de phase). Calculons la vitesse de groupe d’une onde plane
pa = f(t − x.n
cφ ) et va = g(t − x.n ) dans un milieu en écoulement. L’équation de quantité de
cφ
mouvement linéarisée et la valeur de la vitesse de phase permettent d’établir la relation entre
pression et vitesse acoustique :
va =
pan
ρ0cφ(1 − V0.n/cφ)
pan
= . (4.60)
ρ0c0
On en déduit immédiatement les valeurs moyennes (dans le cas où le vecteur d’onde est
réel c’est-à-dire quand le nombre d’onde transverse est en-deçà de la coupure) :
On obtient alors la vitesse de groupe :
< p 2 a > = < f 2 > (4.61)
< v 2 a > = < f 2 >
ρ2 0c2 0
(4.62)
< Ia > = < f 2 > n
(4.63)
ρ0c0
< Ea > = < f 2 >
ρ0c 2 0
(4.64)
cg = c0n + V0. (4.65)
Dans le cas sans écoulement, on a cg = c0n : la vitesse de propagation de l’énergie d’une
onde plane est égale en module à la vitesse du son, et est portée par la direction de propagation
de l’onde. L’onde acoustique est à la fois non dispersive (car la vitesse de propagation est
indépendante de la fréquence) et isotrope (la vitesse de propagation est indépendante de
la direction). Dans le cas avec écoulement, la propagation d’onde reste non dispersive mais
devient anisotrope. La vitesse de groupe obéit également à une loi de composition des vitesses,
vectorielle cette fois (Fig.(4.2)) : elle est égale à la vitesse de l’énergie de l’onde par rapport
au fluide ambient (soit la vitesse du son portée par le vecteur direction de propagation c0n)
ajoutée à la vitesse du milieu V0. La vitesse de groupe n’est plus égale à la vitesse de phase
et, notamment, la vitesse de groupe est toujours plus élevée que la vitesse de phase. En
particulier, pour la branche ”+” qui est décrite par tous les angles 0 < φ < arccos(−M0),
on a cg.ez = c0(M0 + cos φ) ≥ 0, et, réciproquement pour la branche ”-” qui est décrite par
tous les angles φ > arccos(−M0) cg.ez ≤ 0. On observe ainsi que les branches ”+” et ”-”
correspondent à des ondes planes dont l’énergie se propage respectivement vers les directions
z > 0 et z < 0, et ce même dans le cas où les deux valeurs possibles du nombre d’onde axial kz
ont un signe identique. On peut alors définir un second angle de propagation ψ déterminant
la direction de la vitesse de groupe et tel que cos ψ = cg.ez/|cg|. Avec ce choix, les modes tels
que 0 ≤ |ψ| ≤ π/2 correspondent aux modes dont l’énergie se propage vers les z > 0 (branche
”+”) et ceux tels que π/2 ≤ |ψ| ≤ π correspondent aux modes dont l’énergie se propage vers
les z < 0 (branche ”-”).
F. Coulouvrat et R. Marchiano 72

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 73
L’anisotropie de la propagation dans un milieu en écoulement est illustrée par la figure 4.3
montrant respectivement la vitesse de phase (normalisée par la vitesse du son) en fonction de
l’angle de propagation φ et la vitesse de groupe en fonction de l’angle ψ pour un nombre de
Mach égal à 0.7.
Fig. 4.2 – Loi de composition des vitesses de phase et de groupe et définition des angles
.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 73

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 74
150
210
120
240
90
180 0
Fig. 4.3 – Représentation polaire pour une onde plane dans un écoulement uniforme à nombre
de Mach M0 = 0.7 : 1) de la vitesse de phase (tirets) en fonction de l’angle φ du vecteur
direction de propagation et 2) de la vitesse de groupe (ligne continue) en fonction de l’angle
ψ du vecteur vitesse de groupe. Les points noirs représentent les angles critiques séparant les
branches ”+” (à droite) et ”-” (à gauche)
.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 74
270
1
0.5
2
1.5
60
300
30
330

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 75
4.2.5 Modes guidés en conduit annulaire ou cylindrique à paroi
rigide
On recherche une solution de l’équation des ondes Eq.(4.43) sous la forme de modes guidés.
Pour des solutions à géométrie cylindrique (cas de l’entrée d’air supposée de rayon externe
r = R1 et de rayon interne nul) ou annulaire (cas du conduit d’éjection supposée de rayon
externe r = R1 et de rayon externe r = R2) Fig.(4.4), on peut écrire la solution en coordonnées
cylindriques (z, r, θ, t) où z est la variable axiale, r la variable radiale et θ l’angle azimutal,
sous la forme modale suivante :
pa(z, r, θ, t) = Afm(r) exp [i(kzz + mθ − ωt)] (4.66)
Fig. 4.4 – Géométrie d’un conduit annulaire
Par périodicité angulaire au bout d’un tour θ → θ +2π, le nombre m est nécessairement un
entier (positif ou négatif) décrivant l’ordre azimutal du mode. Pour des solutions sous forme
F. Coulouvrat et R. Marchiano 75

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 76
modale on a évidemment :
∂pa/∂t = −iωpa
∂pa/∂z = ikzpa
∂pa/∂θ = impa
∆⊥pa = 1 ∂pa
r ∂r + ∂2pa 1
+
∂r2 r2 On obtient, pour l’équation des ondes Eq.(4.43)
avec
∂2pa 1 ∂pa
=
∂θ2 r ∂r + ∂2pa ∂r
r
m2
− pa
2 2
(4.67)
2 2 2
m − κ r fm(r) − r dfm
dr − r2 d2fm = 0 (4.68)
dr2 (1 − M 2 0 )k 2 z + 2M0k0kz + κ 2 − k 2 0 = 0 (4.69)
On note que la relation de dispersion Eq.(4.69) entre le nombre d’onde radial transverse κ et
le nombre d’onde axial kz est identique à celle de l’onde plane Eq.(4.48). Par un changement
de variable u = κr, l’équation devient (m2 − u2 ) fm(u) − u dfm
du − u2 d2fm du2 = 0. Les solutions
générales en sont données par :
fm(u) = AmJm(u) + BmYm(u) (4.70)
où Jm(u) et Ym(u) sont les fonctions de Bessel d’ordre m et respectivement de première et
de seconde espèce (Annexe A, et Figs.(4.5-4.6)).
J 0 (z)
J 5 (z)
1
0.5
0
!0.5
0 10 20 30 40 50
z
0.4
0.3
0.2
0.1
0
!0.1
!0.2
!0.3
0 10 20 30 40 50
z
J 1 (z)
J 10 (z)
0.6
0.4
0.2
0
!0.2
!0.4
0 10 20 30 40 50
z
0.4
0.3
0.2
0.1
0
!0.1
!0.2
!0.3
0 10 20 30 40 50
z
J 2 (z)
J 20 (z)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
!0.1
!0.2
!0.3
!0.4
0 10 20 30 40 50
z
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
!0.05
!0.1
!0.15
!0.2
0 10 20 30 40 50
z
Fig. 4.5 – Fonctions de Bessel de première espèce et d’ordre 0, 1, 2, 5, 10 et 20
.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 76

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 77
Y 0 (z)
Y 5 (z)
0.5
0
!0.5
!1
!1.5
0.5
0 10 20 30 40 50
z
0
!0.5
!1
!1.5
0 10 20 30 40 50
z
Y 1 (z)
Y 10 (z)
0.5
0
!0.5
!1
!1.5
0.5
0 10 20 30 40 50
z
0
!0.5
!1
!1.5
0 10 20 30 40 50
z
Y 2 (z)
Y 20 (z)
0.5
0
!0.5
!1
!1.5
0.5
!0.5
!1.5
0 10 20 30 40 50
z
0
!1
0 10 20 30 40 50
z
Fig. 4.6 – Fonctions de Bessel de seconde espèce et d’ordre 0, 1, 2, 5, 10 et 20
.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 77

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 78
4.2.6 Cas du conduit cylindrique
Dans le cas d’un conduit cylindrique, les fonctions de Bessel de seconde espèce Ym étant
non bornées en r = 0, on a nécessairement Bm = 0. Sur la paroi rigide extérieure du cylindre
r = R1 la vitesse normale à la paroi est nulle et donc on doit avoir ∂p/∂r = 0, soit J ′ m(κR1) = 0.
Si l’on note γmn le nième zéro (positif) de la dérivée J ′ mde la fonction de Bessel d’ordre m et
de première espèce, ce zéro définira donc le mode guidé d’ordre azimutal m et d’ordre radial n.
Remarquons que, pour m ≥ 2, 0 est un zéro de J ′ m(x) = 0 mais aussi de Jm(0) = 0. La valeur
γ = 0 correspond donc à une solution uniformément nulle, qui n’est pas un mode. En revanche
0 est bien un zéro de J ′ 0(x) = 0 mais pas de J0(x) = 0 et donc correspond à une solution non
uniformément nulle, qui est d’ailleurs l’onde plane se propageant dans la direction axiale. Les
modes guidés sont donc donnés par :
γmnr
exp(imθ) exp(ikmnz) exp(−iωt) (4.71)
pmn = AmnJm
R1
En inversant la relation entre κmn = γmn/R1 et K, on obtient la relation de dispersion
modale suivante :
kz = kmn = −M0k0 + k2 0 − (1 − M 2 0 )κ2 mn
1 − M 2 (4.72)
0
Cette relation de dispersion modale Eq.(4.72) (équation des ondes) est identique à celles
de l’onde plane pour l’équation Eq.(4.49) en remplaçant le nombre d’onde transverse k⊥ par le
nombre d’onde radial κmn. Ici, on a sélectionné les modes de la branche ”+”, parce qu’ils sont
soit propagatifs (du point de vue énergétique) vers les z > 0, soit exponentiellement atténués
(pour les nombres d’onde transverse plus grands que la coupure).
Les figures (??) et (4.7) montrent le nombre d’onde axial kz = kmn (normalisé par le
nombre d’onde k0) de tous les modes propagatifs pour les modes azimutaux m d’ordre 0, 1, 2,
5, 10 et 20, et ce dans le cas d’un guide de rayon 1.4 m pour une célérité du son de 340 m/s,
un nombre de Mach de + 0.5 (Fig. (??)) ou -0.5 (Fig. (4.7)) et des fréquences de 20 à 2000
Hz. On observe :
– Le mode (m = 0, n = 1) (l’onde plane) est propagatif à toutes les fréquences, à la vitesse
du son convectée par l’écoulement c0(1 + M0) soit ici un nombre d’onde normalisé égal
à 1/1.5 = 0.667... (M0 = 0.5) ou 1/0.5=2 (M0 = −0.5).
√ 1−M 2 0 c0γmn
– Les autres modes n’existent qu’au-delà d’une fréquence de coupure fmn =
.
2πR
En-decà de cette fréquence le mode est non propagatif. A la fréquence de coupure, le
nombre d’onde axial normalisé vaut −M0/(1−M 2 0 ) soit respectivement -0.667 (M0 = 0.5)
et +0.667 (M0 = −0.5).
– En conséquence, un mode d’ordre azimutal m > 0 ne pourra se propager dans le guide
√ 1−M 2 0 c0γm1
en-deçà de la fréquence de coupure fm1 =
. Comme asymptotiquement γm1 =
2πR
m + O(m1 /3) on trouve une expression approchée de la fréquence de coupure des modes
√ 1−M 2 0 c0
d’ordre m fm1 ≈ m
qui est quasiment linéaire avec l’ordre azimutal.
2πR
– Les nombres d’onde axiaux peuvent être négatifs dans le cas M0 > 0 mais ils correspondent
néanmoins à une vitesse de groupe (de l’énergie) axiale positive.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 78

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 79
– Plus la fréquence augmente, plus un mode d’ordre (m, n) donné s’approche de l’onde
plane (car k 2 0 devient dominant devant κ 2 mn dans la racine donnant la relation de dispersion).
Au contraire, à fréquence fixée, plus l’ordre radial n ou azimutal m du mode
augmente, plus celui-ci s’éloigne de l’onde plane et devient dispersif (ie est dépendant
de la fréquence).
Les figures suivantes représentent pour quelques modes guidés dans le même conduit cylindrique
la distribution de pression radiale Jm(κmnr) et la distribution de pression Jm(κmnr) exp(imθ)
dans le plan z = 0.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 79

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 80
k z /k 0
k z /k 0
2.5
2
1.5
1
m=0
k z /k 0
2
1.5
1
m=1
0.5
0 1000
0.5
2000 0 1000
0.5
2000 0 1000 2000
f (Hz)
f (Hz)
f (Hz)
2
1.5
1
m=5
k z /k 0
2
1.5
1
m=10
k z /k 0
2
1.5
1
m=2
0.5
0 1000
0.5
2000 0 1000
0.5
2000 0 1000 2000
f (Hz)
f (Hz)
f (Hz)
Distribution radiale
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
k z /k 0
2
1.5
1
m=20
Fig. 4.7 – Idem que pour figure ?? mais M0=-0.5
f = 1000 Hz ! Mode m = 16 n = 1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
r (m)
Fig. 4.8 – Distribution radiale du mode (16,1)
F. Coulouvrat et R. Marchiano 80

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 81
Fig. 4.9 – Champ de pression dans le plan z=0 du mode (16,1)
Distribution radiale
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
!0.05
!0.1
!0.15
f = 1000 Hz ! Mode m = 18 n = 2
!0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
r (m)
Fig. 4.10 – Distribution radiale du mode (18,2)
F. Coulouvrat et R. Marchiano 81

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 82
Fig. 4.11 – Champ de pression dans le plan z=0 du mode (18,2)
Distribution radiale
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
!0.05
!0.1
!0.15
f = 4000 Hz ! Mode m = 24 n = 3
!0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
r (m)
Fig. 4.12 – Distribution radiale du mode (24,3)
F. Coulouvrat et R. Marchiano 82

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 83
Fig. 4.13 – Champ de pression dans le plan z=0 du mode (24,3)
F. Coulouvrat et R. Marchiano 83

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 84
4.2.7 Cas du conduit annulaire
Dans le cas d’un conduit annulaire, il faut écrire la condition de glissement sur les deux
cylindres intérieur r = R2 et extérieur r = R1, soit le système de deux équations à deux
inconnues :
AmJ ′ m(κR1) + BmY ′ m(κR1) = AmJ ′ m(κR2) + BmY ′ m(κR2) = 0 (4.73)
qui possède une solution non identiquement nulle pourvu que son déterminant soit égal à
zéro, soit la condition :
J ′ m(κR1)Y ′ m(κR2) − J ′ m(κR2)Y ′ m(κR1) = 0 (4.74)
que l’on peut encore écrire, en introduisant le rapport d’aspect du conduit annulaire h =
R2/R1 < 1 et γ = κR1, sous la forme :
J ′ m(γ)Y ′ m(hγ) − J ′ m(hγ)Y ′ m(γ) = 0 (4.75)
De manière analogue au cas du conduit cylindrique, on note γmn le nième zéro (positif) de
l’équation Eq.(4.75) lorsque ces zéros sont classés par ordre croissant. Ce zéro définira donc
le mode guidé d’ordre azimutal m et d’ordre radial n. Les modes s’écrivent finalement sous la
forme :
Jm
pmn = Amn exp(imθ) exp(ikmnz) exp(−iωt)
γmnr
R1
− J ′ m(γmn)Y ′ m(hγmn)+J ′ m(hγmn)Y ′ m(γmn)
2Y ′ m (γmn)Y ′ m (hγmn)
Ym
γmnr
R1
(4.76)
Les relations modales sont encore données par Eq.(4.72) avec toujours κmn = γmn/R1.
Comme précédemment, elles sont identiques à celles de l’onde plane Eq.(4.49) en remplaçant
le nombre d’onde transverse k⊥ par le nombre d’onde radial κmn.
4.3 Guide d’onde cylindrique avec paroi traitée
4.3.1 Impédance à la paroi
Le cas d’une paroi traitée est décrit par la donnée d’une impédance Z à la paroi (ou d’une
admittance A avec Z = 1/A), en général connue sous forme d’une fonction de la fréquence,
qui relie le champ de pression acoustique à la paroi pa à la vitesse normale de celle-ci vs :
vs(x, ω) = pa(x, ω)
Z(ω)
que l’on peut encore écrire en régime temporel
(4.77)
vs(x, t) = A(t) ∗ p(x, t) (4.78)
où ∗ désigne le produit de convolution. Pour une paroi absorbante on a nécessairement
que ℜ(Z) > 0, en revanche le signe de la partie imaginaire de l’impédance de paroi peut être
positif ou négatif.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 84

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 85
La vitesse normale est reliée au déplacement normal de la paroi us par
vs = ∂us
. (4.79)
∂t
Par ailleurs, et toujours à la paroi, on a continuité du déplacement normal de la paroi us
et du déplacement normal du fluide environnant un = us. Dans le cas du fluide, et en présence
d’un écoulement, la vitesse normale vn est égale à la dérivée particulaire du déplacement
normal à la paroi soit :
∂ ∂
vn = + V0 us
(4.80)
∂t ∂z
et en dérivant par rapport au temps :
∂vn
∂t =
∂ ∂ ∂us
+ V0
∂t ∂z ∂t =
∂ ∂
+ V0 vs. (4.81)
∂t ∂z
On a donc au final la relation d’impédance suivante entre vitesse normale du fluide et
pression à la paroi :
∂vn
∂t =
∂ ∂
+ V0 (A ∗ pa). (4.82)
∂t ∂z
En régime harmonique, pour une onde guidée de pulsation ω et de nombre d’onde axial kz
il vient
∂vn
∂t =
1 − M0kz
pa
(4.83)
k0 Z
On va maintenant établir la relation de dispersion des modes guidés dans un cylindre
associée à cette condition aux limites.
4.3.2 Relation de dispersion des modes guidés avec paroi traitée
Pour un guide d’onde à géométrie cylindrique, la vitesse normale est reliée à la pression
par l’équation du mouvement linéarisée et projetée dans la direction radiale :
∂ ∂
ρ0 + V0 vn = −iωρ0 1 −
∂t ∂z
M0kz
vn = − ∂pa
(4.84)
∂r
En substituant, il vient au final la relation suivante entre la pression et sa dérivée normale
sur une paroi cylindrique :
−iωρ0
1 − M0kz
k0
2
k0
pa = −Z ∂pa
∂r
Un mode guidé dans un conduit cylindrique est donné par :
F. Coulouvrat et R. Marchiano 85
(4.85)
pa = CJm(κr) exp(imθ) exp(ikzz) exp(−iωt) (4.86)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 86
avec la relation de dispersion usuelle entre nombre d’onde radial κ et nombre d’onde axial
kz :
kz = −M0k0 + k2 0 − (1 − M 2 0 )κ2 1 − M 2 (4.87)
0
En substituant Eq.(4.86) dans Eq.(4.85), il vient la relation de dispersion satisfaite par le
nombre d’onde radial pour un guide d’onde se propageant dans un cylindre de rayon R1 à
paroi traitée :
soit encore :
−iωρ0
1 − M0kz
k0
2
Jm(κR1) = −ZκJ ′
m(κR1) (4.88)
κJ ′
m(κR1) − ik0A 1 − M0kz(κ)
2 Jm(κR1) = 0 (4.89)
k0
où A = ρ0c0/Z est l’admittance de la paroi, normalisée par l’admittance du fluide. Dans
le cas où l’admittance est faible (paroi quasi rigide), on retrouve la condition de paroi rigide
J ′
m(κR1) = 0 étudiée précédemment. L’admittance normalisée mesure la déviation par rapport
au cas rigide imposée par le traitement de paroi. Toutefois, en présence d’un écoulement,
le terme de dérivée particulaire (au carré) modifie cette admittance et jouera donc un rôle
important lorsque le nombre de Mach n’est pas très petit.
Pour la résolution numérique, on peut encore écrire cette relation sans dimension en posant
X = κ/k0 et Y = kz/k0 ce qui donne :
avec :
En posant :
XJ ′
m(Xk0R1) − iA (1 − M0Y ) 2 Jm(Xk0R1) = 0 (4.90)
Y (X) = −M0 + 1 − (1 − M 2 0 )X2 1 − M 2 . (4.91)
0
Z(X) = Y (X) − Y (0) = −1 + 1 − (1 − M 2 0 )X2 1 − M 2 , (4.92)
0
on obtient une forme équivalente de la relation de dispersion sans dimension :
XJ ′
iA
m(Xk0R1) −
(1 + M0) 2 (1 − M0(1 + M0)Z) 2 Jm(Xk0R1) = 0 (4.93)
C’est sous cette forme que la relation de dispersion est résolue numériquement, suivant un
algorithme que l’on va maintenant préciser.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 86

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 87
4.3.3 Calcul des modes guidés en conduit cylindrique à paroi traité
Dans le cas d’un conduit cylindrique à paroi traitée, la relation de dispersion modale s’écrit
sous la forme générique suivante :
Fm(X, A, M0, k0R1) = XJ ′
m(Xk0R1) − iAC(M0, X)Jm(Xk0R1)
(1 + M0) 2 = 0 (4.94)
où l’inconnue (complexe) est le nombre d’onde radial normalisé X, m est l’ordre azimutal
du mode guidé, Jm la m-ième fonction de Bessel, k0R1 le rayon du conduit normalisé par le
nombre d’onde k0 = ω/c0, M0 le nombre de Mach et A l’admittance normalisée de la paroi. Le
coefficient C(M0, X) est une fonction prenant en compte l’influence de la dérivée particulaire
associée à l’écoulement. Les solutions sont évidemment fonction de l’ensemble des paramètres
intervenant dans l’équation, et sont notées Xmn(A, M0, k0R1), l’indice n servant à indicer les
solutions discrètes par partie réelle croissante.
Le principe de résolution numérique de Eq.(4.94) est le suivant. La solution numérique
de cette équation est connue dans le cas de la paroi rigide (A = 0) et est donnée par
Xmn(A = 0, M0, k0R1) = γmn/(k0R1) (voir section B.1). On part de cette solution considérée
comme condition initiale, et on établit l’équation différentielle satisfaite par la solution lorsque
l’admittance varie comme hA avec h ∈ [0 − 1]. En considérant X(h) comme fonction de h
uniquement, les autres quantités m, n, A, M0 et k0R1 jouant le rôle de paramètre, X(h) est
donc solution de :
Fm(X(h), hA, M0, k0R1) = XJ ′
m(Xk0R1) − ihAC(M0, X)Jm(Xk0R1)
(1 + M0) 2 = 0 (4.95)
et, en différentiant cette relation par rapport à h :
∂
∂X Fm(X(h), hA, M0, k0R1) dX ∂
+ A
dh ∂A Fm(X(h), hA, M0, k0R1) = 0
soit encore l’équation différentielle satisfaite par X(h) :
(4.96)
dX
= −A
dh
(X(h), hA, M0, k0R1). (4.97)
∂Fm
∂A
∂Fm
∂X
Pour une valeur de X donnée, le second membre de l’équation ci-dessus est explicitement
connu car Fm est une fonction anaytique. La solution X(h) étant complexe, en séparant
partie réelle et partie imaginaire de Eq.(4.97), on se ramène de la sorte à un système de 2
équations différentielles ordinaires, à résoudre sur l’intervalle h = [0 − 1] avec la condition
initiale ℜ(X(h = 0)) = γmn/(k0R1) et ℑ(X(h = 0)) = 0. Dans la pratique, un algorithme
classique de Runge-Kutta peut être utilisé pour la résolution de ce système.
Nous présentons pour finir quelques exemples de calcul de nombres d’onde complexes en
milieu avec paroi absorbante. Ces exemples sont calculés dans un cylindre de rayon R=1.4
m, avec un écoulement à Mach -0.5 et à une fréquence f=1000 Hz. Trois cas sont étudiés :
une impédance relative Z/(ρ0c0) = 20(1 + i) (Fig.(4.14)) grande (paroi relativement rigide), et
deux impédances Z/(ρ0c0) = 3(1 + i) (Fig.(4.15)) et Z/(ρ0c0) = 3(1 − i) (Fig.(4.16)) d’ordre
1. On observe :
F. Coulouvrat et R. Marchiano 87

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 88
– Quand la paroi est relativement rigide (grande impédance), l’influence de l’impédance
de paroi est plus faible : la partie réelle reste proche du cas parfaitement rigide, et la
partie imaginaire est plus petite. Quand la paroi est relativement absorbante (faible
impédance), la partie réelle est plus sensiblement modifiée par rapport au cas parfaitement
rigide, et la partie imaginaire est plus grande, donc l’onde plus absorbée.
– A ordre radial n fixé, l’absorption augmente avec le mode azimutal car le mode se
rapproche de la coupure (au-delà de la coupure, tous les modes sont atténués). Pour un
ordre azimutal m élevé, le mode tourne rapidement autour de la paroi et est localisée
près de celle-ci, donc subit plus l’influence de l’impédance.
– En général, à ordre azimutal fixé m, le mode se rapproche de la coupure avec l’ordre
radial et donc l’absorption augmente. Toutefois le mode n = 1 (qui inclut notamment
l’onde plane) peut être fortement atténué lorsque la partie imaginaire de l’impédance est
positive.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 88

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 89
real(k z /k 0 )
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
n=10
0.8
n=7
n=8
n=9
n=6
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
0 5 10 15
m
20 25 30
imag(k z /k 0 )
0.05
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
n=8
n=6
n=9
0.005
n=7
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
0
0 5 10 15
m
20 25 30
Fig. 4.14 – Partie réelle (à gauche) et imaginaire (à droite) du nombre d’onde axial normalisé
kz/k0 en fonction des ordres radiaux n et azimutaux m des modes. Les petits points noirs
correspondent au cas rigide (à gauche). R=1.4 m, f=1000 Hz, c0=340 m/s, Z/(ρ0c0) = 20(1+i)
real(k z /k 0 )
2
1.8
1.6
n=2
n=3
n=4
n=5
1.4 n=6
n=7
n=8
1.2n=9
1
0.8
n=1
0 5 10 15
m
20 25 30
imag(k z /k 0 )
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
n=1
0.1
n=7 n=5
n=2
n=3
0.05 n=8
n=9
n=6 n=4
0
0 5 10 15
m
20 25 30
Fig. 4.15 – Partie réelle (à gauche) et imaginaire (à droite) du nombre d’onde axial normalisé
kz/k0 en fonction des ordres radiaux n et azimutaux m des modes. Les petits points noirs
correspondent au cas rigide (à gauche). R=1.4 m, f=1000 Hz, c0=340 m/s, Z/(ρ0c0) = 3(1+i)
F. Coulouvrat et R. Marchiano 89

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 90
real(k z /k 0 )
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
n=7
n=8
n=9
n=4
n=5
n=6
n=3
n=2
n=1
0 5 10 15
m
20 25 30
imag(k z /k 0 )
0.25
0.2
0.15
0.1
n=9 n=7
0.05 n=8
n=6
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
0
0 5 10 15
m
20 25 30
Fig. 4.16 – Partie réelle (à gauche) et imaginaire (à droite) du nombre d’onde axial normalisé
kz/k0 en fonction des ordres radiaux n et azimutaux m des modes. Les petits points noirs
correspondent au cas rigide (à gauche). R=1.4 m, f=1000 Hz, c0=340 m/s, Z/(ρ0c0) = 3(1−i)
F. Coulouvrat et R. Marchiano 90

Chapitre 5
Introduction à l’acoustique non
linéaire dans les fluides
Ce chapitre est consacré à une première approche de l’acoustique non linéaire. Dans la
première partie, des résultats expérimentaux en désaccord avec les prédictions théoriques des
chapitres précédents sont présentés. Dans la suite du chapitre, un modèle simple (1D) est
développé et confronté aux observations expérimentales.
5.1 Introduction - observations expérimentales
Dans cette première partie, on présente des résultats expérimentaux qui ne sont pas tous
en accord avec les résultats théoriques obtenus dans les chapitres précédents. A partir de
ces observations expérimentales, nous allons essayer d’identifier les mécanismes mise en jeu
permettant d’expliquer les écarts entre l’expérience et la théorie. Dans un premier temps,
l’expérience est décrite, puis les résultats sont présentés et discutés.
5.1.1 Dispositif expérimental
L’expérience que l’on veut mener est une simple expérience de propagation d’onde acoustique
longitudinale à une dimension. Cette expérience nécessite trois éléments essentiels : une
source acoustique, un milieu de propagation et un récepteur mesurant le champ acoustique
dans le milieu de propagation.
– la source acoustique est composée de 256 transducteurs dont la fréquence centrale est
1 MHz. Un transducteur est un composant piézo-électrique permettant d’émettre des
ondes acoustiques à partir d’un signal électrique (un matériau piézo-électrique est un
matériau qui subit une déformation s’il est soumis à une différence de potentiel, et
réciproquement). Chaque transducteur peut être piloté indépendamment des autres et
émettre une onde avec une forme, un amplitude et une phase qui lui est propre. Pour
cela, le réseau de transducteurs est piloté par une électronique multi-voies programmable
permettant d’utiliser des techniques de synthèse de champ. Dans cette expérience, on
utilise la technique de synthèse de champ dite de ’filtre inverse’ afin de s’assurer que les
conditions désirées soient réalisées (pas de diffraction, propagation à 1D).
91

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 92
Electronique
de
Puissance
Onde acoustique
Réseau de transducteurs
60 cm
PC
Hydrophone
Cuve à eau
Oscilloscope
Fig. 5.1 – Schématisation du dispositif expérimental
– le milieu acoustique est l’eau. On rappelle les propriétés suivantes : ρ0 = 1000 kg.m −3 ,
c0 ≈ 1500 m.s −1 . Les transducteurs travaillent à la fréquence f0 = 1Mhz, la longueur
d’onde est par conséquent de λ = c0/f0 = 1.5 mm.
– le récepteur est un hydrophone membrane permettant de mesurer le signal acoustique
dans la gamme de fréquences 1 − 30MHz.
La source émet un signal sinusoïdal à 1MHz. Ce signal se propage dans l’eau et est mesuré à
d = 60 cm de la source (Fig. 5.1). Le seul paramètre que l’on fait varier est l’amplitude du
signal émis. Notons que la fenêtre temporelle de mesure est la même pour toutes les mesures
présentées 1 . Elle est choisie telle que :
t ∈ [t0 + d/c0 : t0 + d/c0 + 1.10 −6 ] (5.1)
où c0 représente la vitesse du son dans l’eau et t0 désigne l’instant où l’onde est émise par le
réseau de transducteurs.
5.1.2 Résultats
On présente ici les résultats issus de 4 expériences différentes dans lesquelles le signal incident
est émis avec une amplitude de 4, 5.10 4 Pa, 13, 5.10 4 Pa, 35.10 4 Pa et 45.10 4 Pa. L’amplitude
mesurée dans la première expérience est présentée à la figure 5.2. La forme temporelle
observée est bien un sinus de fréquence 1MHz comme en témoigne également son spectre (une
seule raie située à 1MHz). L’amplitude de l’onde est sensiblement la même que celle de l’onde
émise. Enfin, la fenêtre de mesure temporelle définie par la formule 5.1 montre que l’onde s’est
1 L’oscilloscope utilise le même trigger.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 92

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 93
56/22789-35:4
&
%
2
1
!
!1
!2
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,-1! &
! !"1 !"2 !"% !"& !"' !"( !") !"* !"+ 1
,-1! !(
./012-324
ˆP (ω)
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x 10 8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10 7
0
Frequence [Hz]
Fig. 5.2 – pression acoustique mesurée à 67 cm et son spectre pour une source d’amplitude
4, 5.10 4 Pa
propagée à la vitesse c0. Toutes ces observations sont en parfait accord avec les prédictions
théoriques du chapitre 1 concernant les ondes progressives.
La situation change pour les mesures suivantes. La figure 5.3 présente les signaux de pression
mesurés pour des amplitudes de l’onde incidente égales à 13, 5.10 4 Pa, 35.10 4 Pa et 45.10 4
Pa. Or, on observe sur les différentes représentations temporelles que l’onde mesurée n’est plus
un ”sinus parfait” mais plutôt un sinus ayant subi une déformation. La partie négative et la
partie positive du sinus semblent se rapprocher l’une de l’autre, et ce d’autant plus que l’amplitude
initiale est grande. Tout se passe comme si les vitesses de propagation des différents
morceaux de l’onde initiale n’étaient pas les mêmes (toutes les parties de l’onde devraient se
propager à une vitesse c0). Les spectres de ces signaux montrent que plus l’amplitude de l’onde
émise est grande, plus le contenu spectral des signaux mesurés est riche. Cette dernière observation
montre qu’on a affaire à un phénomène non linéaire. En effet, la théorie des systèmes
linéaires nous apprend que quand un système est excité à une pulsation ω0, celui-ci répond à la
même pulsation ω0. Or, le système que nous observons (i.e. propagation du signal) ne répond
pas uniquement à la pulsation ω0 mais répond à toutes les pulsations multiples : ω0, 2ω0, 3ω0,
etc...). Ces observations ne corroborent pas les prédictions théoriques du chapitre 1. Remarquons
toutefois qu’elle ne sont pas non plus en totale contradiction, puisque l’amplitude du
signal mesuré a le bon ordre de grandeur et le temps de vol (temps mis par l’onde pour aller
de la source au récepteur) est aussi approximativement celui prédit théoriquement. La théorie
développée au chapitre 1 n’est donc pas à abandonner complètement mais à modifier pour
inclure les phénomènes que nous venons de décrire. Nous retiendrons donc que :
1. l’amplitude du signal semble jouer un rôle crucial,
2. plus l’amplitude du signal incident est forte et plus le signal mesuré est déformé (jusqu’à
devenir discontinu dans la dernière expérience) ;
3. la déformation temporelle se traduit par l’apparition de fréquences multiples de la
fréquence fondamentale sur le spectre des signaux ;
4. nous sommes en présence d’un phénomène non linéaire ;
F. Coulouvrat et R. Marchiano 93

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 94
Pression [Pa]
Pression [Pa]
Pression [Pa]
x 105
1.5
1
0.5
0
!0.5
!1
!2
!1
3
2
1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10 !6
Temps [s]
x 10 5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10 !6
Temps [s]
4
3
2
1
0
!1
!2
!3
x 10 5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10 !6
Temps [s]
ˆP (ω)
ˆP (ω)
ˆP (ω)
15
10
5
x 10 8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10 7
0
Frequence [Hz]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x 10 9
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10 7
0
Frequence [Hz]
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x 10 9
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10 7
0
Frequence [Hz]
Fig. 5.3 – pression acoustique mesurée à 67 cm et son spectre pour des amplitudes à la source
de (a) 13, 5.10 4 Pa, (b) 35.10 4 Pa et (a) 45.10 4 Pa
.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 94

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 95
5. toutes les observations ci-desus sont des corrections de la théorie linéaire développée dans
les chapitres précédents.
5.2 La vitesse du son en acoustique non linéaire
Dans le chapitre consacré à l’obtention de l’équation des ondes, nous avons établi que la
quantité est homogène à une vitesse au carré (Eq. 1.14). Puis, nous avons établi que
∂p
∂ρ
(ρ0,s0)
cette vitesse est la vitesse de propagation des ondes acoustiques dans le cadre de l’acoustique
linéaire :
c 2
∂p
0 =
∂ρ
.
(ρ0,s0)
Cette expression traduit en fait la réponse thermodynamique du milieu : une variation de
masse volumique entraîne une variation de pression qui lui est proportionnelle.
Les observations expérimentales de la première partie de ce chapitre ont mis en évidence
le rôle de l’amplitude de l’onde initiale sur la forme temporelle de l’onde au cours de la
propagation. On peut donc s’interroger sur la pertinence de la définition de la vitesse acoustique
telle que la définit la relation ci-dessus, en effet, cette dernière est à l’ordre 0 en quantité
acoustique :
c 2 0 = pa
.
Introduisons c une nouvelle vitesse de propagation définie par la relation :
∂p
c = (ρ0 + ρa, s0)+
∂ρ
→ v a . → n (5.2)
Le premier terme correspond à la réponse thermodynamique du milieu que l’on va développer
à l’ordre 1 en quantité acoustique (ordre supérieur à celui du premier chapitre). Le deuxième
terme prend en compte l’effet de composition des vitesses dû à la présence de l’onde (son ordre
est cohérent avec ce qui est recherché). On fait ensuite un développement de Taylor du terme
sous la racine carré :
∂p
∂2p c =
+
∂ρ ∂ρ2
ρa + O(ρ2 a)+ → v a . → n (5.3)
ρ0,s0
Le premier terme apparaissant dans la racine carrée est bien sûr la vitesse de propagation
linéaire que l’on peut factoriser :
∂2p ρa
c = c0 1 +
+ O(ρ2 a)+ → v a . → n (5.4)
∂ρ 2
ρ0,s0
En faisant un développement limité de la racine carrée de façon à ne garder que des termes
d’ordre 1 en quantité acoustique, on obtient :
2 ∂ p ρa
c = c0 1 +
+ → v a . → n (5.5)
∂ρ 2
F. Coulouvrat et R. Marchiano 95
ρa
ρ0,s0
c 2 0
2c ρ0,s0
2 0

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 96
A l’ordre 1, on sait que la perturbation acoustique du champ de pression et la perturbation
en masse volumique sont reliées par la relation pa = c2 0ρa. D’autre part, pour une onde plane
on sait que la pression et la vitesse sont reliées par la relation d’impédance (1.35) Ces deux
relations permettent d’obtenir une expression de la vitesse de propagation ne faisant intervenir
que la pression :
2 ∂ p
c = c0 1 +
∂ρ2
pa
+ pa
. (5.6)
ρc0
On introduit alors les coefficients
B
A
= ρ0
c 2 0
2c ρ0,s0
3 0
2 ∂ p
∂ρ 2
ρ0,s0
, (5.7)
et
β = 1 + B
.
2A
(5.8)
La vitesse de propagation c, s’écrit alors :
c = c0 + βpa
. (5.9)
La vitesse du son ainsi définie se compose de deux termes. Le premier terme correspond à
la vitesse du son linéaire, celle du premier chapitre dans lequel la quantité pa était supposée
très petite. Le deuxième terme apparaît ici comme une correction du premier terme (pa étant
toujours petit, on peut supposer que les deux termes ne sont pas de valeur égale comme on
le verra au paragraphe suivant). Ce terme est fonction de la pression acoustique instantanée.
Par conséquent, les compressions (pa > 0) se propagent plus vite que c0 alors que les détentes
(zones où pa < 0) se propagent moins vite que c0. Ainsi, chaque morceau de l’onde se déplace
à une vitesse propre (néanmoins proche de c0) qui dépend de pa. On peut donc s’attendre à ce
que le profil de l’onde se distorde au cours de la propagation conformément aux observations
expérimentales.
Calculons maintenant l’ordre de grandeur du terme correctif sur un exemple concret : la
propagation du bang sonique dans l’air.
ρ0c0
∆c = βpa
ρ0c0
(5.10)
Dans l’air pour le bang sonique les différents paramètres ont les valeurs suivantes :
– pa = 100Pa, (cela correspond à un niveau de Lp = 134 dB)
– ρ0 = 1.2kg.m −3 ,
– c0 ≈ 340 m.s −1 ,
– β = 1 + B/(2A) = (γ + 1)/2 = (1.4 + 1)/2 = 1.2 avec γ le rapport des chaleurs
spécifiques 2 .
2 La démonstration de la relation entre les coefficients thermodynamiques A et B et le rapport des chaleurs
spécifiques n’est pas présentée ici pour alléger le texte, elle peut être trouvée dans les ouvrages spécialisés en
acoustique non linéaire et sera intégrée ultérieurement à un chapitre plus complet sur l’acoustique non linéaire
F. Coulouvrat et R. Marchiano 96

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 97
Ainsi la correction de la vitesse du son est :
par conséquent la correction relative :
∆c ≈ 0, 3m.s −1 , (5.11)
∆c
c0
≈ 8, 7.10 −4 . (5.12)
Il s’agit donc bien d’une correction faible que l’on peut négliger au premier ordre. Pour que
la déformation du profil temporel soit significative, le signal incident doit avoir une forte
amplitude et la distance de propagation doit être grande pour que le phénomène se développe.
En effet, il s’agit d’un mécanisme cumulatif puisque le profil temporel se déforme tout au long
de la propagation.
5.3 L’équation de Burgers
Afin de mettre en lumière les effets dus à la non-linéarité sur la propagation, nous allons
établir dans cette partie l’équation non linéaire la plus simple : l’équation de Burgers. Pour
cela, on part de l’équation des ondes, on remarque que cette équation se factorise en deux
équations de transport :
1
c2 ∂2pa ∂t2 − ∂2pa =
∂x2
1 ∂pa ∂pa
−
c ∂t ∂x
1 ∂pa ∂pa
+ = 0 (5.13)
c ∂t ∂x
Le premier terme (avec le signe -) traduit la propagation vers les x décroissants, tandis que le
deuxième terme (avec le signe +) traduit la propagation vers les x croissants. Si on ne considère
que la propagation vers les x croissants, seul le deuxième terme est à garder. Injectons dans
cette équation l’expression de la vitesse du son obtenue dans la partie précédente :
1
c0 + βpa
ρ0c0
∂pa
∂t
+ ∂pa
∂x
En factorisant par la vitesse du son linéaire, cette équation s’écrit :
c0
1
1 + βpa
ρ0c 2 0
∂pa
∂t
+ ∂pa
∂x
= 0. (5.14)
= 0. (5.15)
Comme il a été montré dans la partie précédente, le terme βpa
ρ0c2 est un terme correctif et est une
0
quantité petite devant 1. Il est par conséquent possible d’effectuer un développement limité :
1
1 −
c0
βpa
ρ0c2
∂pa ∂pa
+ = 0 (5.16)
0 ∂t ∂x
ou encore :
1
c0
∂pa
∂t
+ ∂pa
∂x
F. Coulouvrat et R. Marchiano 97
βpa
−
ρ0c2 ∂pa
0 ∂t
= 0. (5.17)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 98
Cette dernière équation est l’équation de transport non linéaire. Les deux premiers termes sont
identiques à ceux de l’équation linéaire, et le troisième terme est non linéaire (non-linéarité
quadratique en pa).
Pour obtenir l’équation de Burgers, nous allons exprimer cette équation sous sa forme sans
dimension. Pour cela, on introduit les variables sans dimensions suivantes :
– le temps retardé sans dimension :
τ = ω0(t − x/c0), (5.18)
ω0 est la pulsation caractéristique de l’onde ;
– la pression sans dimension :
P = pa/P0, (5.19)
où P0 est la pression caractéristique de l’onde ;
– la distance de propagation sans dimension :
σ = x/L (5.20)
où L est la distance caractéristique des effets non linéaires. Cette distance sera définie
plus loin.
Effectuons le changement de fonction pa(x, t) → P (σ, τ). Pour cela exprimons les dérivées
partielles en fonction des nouvelles variables :
∂pa
∂x
= P0
L
∂P
∂σ
− P0ω0
c0
et
∂pa ∂P
= P0ω0
∂t ∂τ
En appliquant le changement de variables, l’équation 5.17 devient :
On pose alors :
1 ∂P
L ∂σ
L = ρ0c 3 0
βP0ω0
βP0ω0
=
ρ0c3 P
0
∂P
∂τ
= 1
k0βM
∂P
∂τ
avec k0 = ω0/c0 le nombre d’onde caractéristique, et M = P0
ρ0c 2 0
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
le nombre de Mach acoustique
(en effet, d’après la relation d’impédance pour une onde plane : V0 = P0/Z, V0 étant la
vitesse particulaire caractéristique, et par conséquent : M = V0/c0 ce qui correspond plus
à la définition usuelle du nombre de Mach acoustique). La quantité L a bien la dimension
d’une longueur. On trouve ainsi l’équation de Burgers en fluide non dissipatif en variables
sans dimension :
ou encore :
∂P
∂σ
∂P
∂σ
∂P
= P , (5.25)
∂τ
= 1
2
F. Coulouvrat et R. Marchiano 98
∂P 2
. (5.26)
∂τ

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 99
5.4 Solution de l’équation de Burgers
5.4.1 Solution de Poisson
La solution de l’équation de Burgers non dissipative a été proposée par Poisson en 1806
sous la forme implicite suivante :
P (σ, τ) = F (θ)
(5.27)
τ = θ − σF (θ) .
où F (θ) est la pression en σ = 0 : F (θ) = P (σ = 0, τ) = F (τ) qu’on suppose connue.
Vérifions que la solution implicite de Poisson est bien la solution de l’équation de Burgers
non dissipative. Pour cela on calcule les quantités ∂P 1 ∂P et ∂σ 2
2
à partir de la solution 5.27 et
∂τ
on montre qu’elles sont égales :
Pour calculer ∂θ
∂τ
et ∂θ
∂σ
∂τ
∂τ
∂τ
∂σ
1
2
∂P
∂σ
∂P 2
∂τ
=
∂F (θ) ∂F ∂θ ′ ∂θ
= = F ,
∂σ ∂θ ∂σ ∂σ
(5.28)
=
1 ∂F
2
2 1 ∂F
=
∂τ 2
2 ∂θ
.
∂θ ∂τ
(5.29)
on utilise la relation liant τ et θ :
= 1 = ∂θ
∂τ
− σ ∂F
∂τ
= ∂θ
∂τ
∂θ
∂F
= 0 = − F (θ) − σ
∂σ ∂σ
− σF ′ ∂θ
∂τ ,
on déduit de ces expressions les deux égalités suivantes :
∂θ
∂τ =
∂θ
∂σ =
1
,
1 − σF ′
F
1 − σF ′
∂θ
′ ∂θ
= − F (θ) − σF
∂σ ∂σ
En injectant ces deux relations dans les expressions 5.28 et 5.29, on montre que :
∂P
∂σ =
1 ∂P
2
2
∂τ =
F
, (5.30)
1 − σF ′
F
, (5.31)
1 − σF ′
ce qui prouve que la solution de Poisson est bien solution de l’équation de Burgers non dissipative.
La solution implicite de Poisson montre que la pression au point σ et au temps τ est définie
à partir de la pression connue en σ = 0. Pour ce faire, l’axe des temps est changé conformément
à la transformation τ = θ − σF (θ) qui dépend de l’amplitude de chaque morceau de l’onde
initiale. La figure 5.4 présente la solution de Poisson appliquée à une période de sinusoïde
d’amplitude 1 en σ = 0. La solution de Poisson est calculée en σ = 0, 0.5, 1 et 2. On constate
F. Coulouvrat et R. Marchiano 99

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 100
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
!0.2
!0.4
!0.6
!0.8
!1
!4 !3 !2 !1 0
!
1 2 3 4
Fig. 5.4 – Solutions de Poisson pour un signal sinusoïdal en σ = 0 (’o’), σ = 0.5 (’+’), σ = 1(
’’), σ = 2 (’×’)
que la solution à une distance donnée correspond à la solution en σ = 0 déformée conformément
à la solution de Poisson. Ainsi, sur cet exemple, on voit apparaître pour σ > 1 des fonctions
multivaluées (à une valeur du temps correspondent plusieurs valeurs de la pression). Cette
solution valable du point de vue mathématique est un non-sens du point de vue physique. A
un instant τ donné, il ne peut y avoir qu’une et une seule valeur de pression. Cette situation
provient du changement de variables τ ↔ θ qui n’est pas inversible quelle que soit la distance
de propagation σ. Ce changement de variables est inversible si :
∂τ
∂θ
= 0 (5.32)
Calculons la distance pour laquelle ce changement de variables conduit à une solution multivaluée
:
∂τ
′
= 0 = 1 − σF
∂θ
(5.33)
C’est à dire :
σ =
1
max(F ′ )
(5.34)
Reprenons l’exemple d’une période de sinusoïde d’amplitude 1. Pour cette onde, la solution
1
de Poisson est valable jusqu’à la distance σc = max(F ′ = 1. En variables avec dimension cette
)
distance est égale à x = Lσc = L = 1/(k0βM). Que se passe-t-il au-delà de cette distance ? Les
observations expérimentales de la première partie montrent que la solution n’est bien sûr pas
F. Coulouvrat et R. Marchiano 100

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 101
multivaluée mais discontinue. Quand la distance de propagation est supérieure à la distance
L, il y a apparition de choc(s) dans le signal acoustique. Pour cette raison, la distance L est
appelée distance de formation de chocs .
Evaluons la distance de formation de chocs sur un exemple concret. On considère une onde
plane émise dans l’eau avec une amplitude de 5.10 5 Pa à une fréquence de 1MHz. Le coefficient
de non-linéarité dans l’eau vaut β = 3.5, par conséquent :
L = 1
k0βM = ρ0c 2 0
2πf0βP0
=
1000 × 15002 2π1.106 ≈ 30cm.
× 3.5 × 5.105 Cette distance est à comparer à la longueur d’onde λ = 1.5mm. On voit que la distance de
formation de chocs est une distance grande devant la longueur d’onde. Ceci est en accord
avec les remarques de la section 2 concernant les conditions nécessaires à l’observation des
phénomènes non linéaires lors de la propagation.
5.4.2 Déformation temporelle et cascade d’harmoniques : Solution
de Fubini
Reprenons le cas particulier de la sinusoïde d’amplitude unité : F (θ) = sin(θ). On a montré
dans la partie précédente que la prise en compte des non-linéarités engendre une déformation
du profil temporel. Comment cette déformation se traduit-elle sur le spectre ? Il est possible de
calculer le spectre associé à la propagation de cette onde tant que la distance de propagation
est inférieure à la distance de formation de chocs. Pour cela, on écrit le développement en séries
de Fourier de la solution P (σ, τ) supposée être une fonction périodique de moyenne nulle (ce
qui n’est pas en contradiction avec les observations expérimentales). En outre, on suppose que
la solution est impaire (ce qui est aussi en accord avec les observations expérimentales). Sous
ces hypothèses, le développement s’écrit :
P (σ, τ) =
+∞
n=1
Bn(σ)sin(nτ), (5.35)
où Bn(σ) est le coefficient du développement en série de Fourier :
Bn(σ) = 1
=
π
P (σ, τ) sin(nτ)dτ,
π −π
(5.36)
2
π
P (σ, τ) sin(nτ)dτ.
π
(5.37)
Calculons le coefficient Bn(σ)
Bn(σ) = 2
=
π
sin(θ) sin(n(θ − σF (θ)))d(θ − σF (θ)),
π 0
2
π
sin(θ) sin(n(θ − σ sin(θ)))(1 − σ cos(θ))dθ.
π
F. Coulouvrat et R. Marchiano 101
0
0

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 102
En intégrant par parties, il vient :
Bn(σ) = 2
π cos(n(θ − σ sin(θ)))
sin(θ) −
π
−n
0
2
=
π
cos(n(θ − σ sin(θ)))
cos(θ) dθ,
π 0
−n
2
=
π
cos(θ) cos(n(θ − σ sin(θ)))dθ,
nπ 0
−2
=
π
(1 − 1 − σ cos(θ)) cos(n(θ − σ sin(θ)))dθ,
nπσ 0
−2
π
(1 − σ cos(θ)) cos(n(θ − σ sin(θ)))dθ +
nπσ
1
π
cos(n(θ − σ sin(θ)))dθ.
nπσ
0
En intégrant le premier terme, on trouve :
Bn(σ) = −2
π sin(n(θ − σ sin θ))
nπσ n
0
= 2Jn(nσ)
.
nσ
+ 2
π
cos(n(θ − σ sin(θ)))dθ,
nπσ 0
où Jn(σ) est la fonction de Bessel d’ordre n. En résumé, la solution peut s’écrire sous la forme
d’une série de Fourier :
P (σ, τ) =
+∞
n=1
Bn(σ)sin(nτ),
dont les coefficients se calculent à partir des fonctions de Bessel :
Bn(σ) = Jn(nσ)
nσ .
Cette solution est connue sous le nom de solution de Fubini (1935). Physiquement, elle signifie
que partant d’une onde mono-fréquentielle (puisque c’est une sinusoïde pure), on trouve que
la solution à une distance σ est la superposition d’un ensemble de sinusoïdes de fréquences
multiples de la fréquence de la sinusoïde initiale (on parle de fréquence fondamentale). La figure
5.5 montre les coefficients Bn(σ) pour n = (1, 2, 3, 4) au cours d’une propagation de σ = 0 à
σ = 1. On constate que le fondamental (n = 1) décroit au cours de la propagation, tandis que
les harmoniques (n > 1) croissent d’autant plus vite que le numéro de l’harmonique est petit
(B2(σ) > B3(σ)...). Ainsi, le spectre s’enrichit au cours de la propagation, les harmoniques sont
”nourries” et augmentent petit à petit. Notons que ce comportement du spectre correspond
bien à celui observé expérimentalement. On retrouve ici le caractère cumulatif des effets non
linéaires décrit auparavant : les effets non linéaires agissent au cours de la propagation et
nécessitent des distances de propagation importantes pour avoir des effets significatifs.
5.4.3 Théorie des chocs faibles
Si la distance de propagation est supérieure à la distance de formation des chocs, alors la
solution de Poisson (Eq. 5.27) ne suffit pas pour déterminer la solution physique du problème.
On doit alors avoir recourt à la théorie des chocs faibles. Cette théorie, qui dépasse le cadre
F. Coulouvrat et R. Marchiano 102
0

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 103
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
n=1
n=2
n=3
n=4
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
!
0.6 0.7 0.8 0.9 1
Fig. 5.5 – Coefficients Bn(σ) pour n = {1, 2, 3, 4} avec σ ∈ [0, 1]
de cette introduction 3 , permet de retrouver un signal physiquement acceptable à partir de la
solution multivaluée de Poisson en introduisant une discontinuité (un choc) pour raccorder les
différentes parties de l’onde conformément à ce qui a été observé dans la première partie du
chapitre. D’autre part, la théorie des chocs faibles permet de calculer l’évolution de la position
du choc une fois celui-ci formé. En appelant τ c la position du choc, on montre que :
dτ c
dσ = −P (σ, τ + c (σ) + P (σ, τ − c (σ))
2
(5.38)
On constate immédiatement qu’il peut exister des chocs fixes (si le saut de pression est
symétrique par rapport à 0, typiquement une onde en dent de scie) et des chocs dont la
position varie au cours de la propagation (typiquement une onde en N). Dans les deux paragraphes
qui suivent, on applique la théorie des chocs faibles au calcul de l’évolution des profils
d’une dent de scie et d’une onde en N.
Evolution d’un profil en dent de scie
On cherche l’évolution du profil temporel d’une onde en dent de scie (5.6), décrite en σ = 0
par :
⎧
⎨ −(τ + 1) si − 1 < τ < 0,
P (σ = 0, τ) = −(τ + 1)
⎩
0
si 0 < τ < 1,
ailleurs.
(5.39)
3 le lecteur est invité à consulter des ouvrages traitant de l’acoustique non linéaire
F. Coulouvrat et R. Marchiano 103

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 104
Pour cela on utilise la solution de Poisson (Eq. 5.27) :
P (σ, τ) = F (θ)
τ = θ − σF (θ).
D’après la solution de Poisson, si −1 < τ < τ − c alors :
τ = θ + σ(θ + 1) (5.40)
soit encore,
τ − σ
θ = .
1 + σ
(5.41)
Pour −1 < τ < τ − c , la pression à la distance σ et au temps τ, s’écrit donc :
P (σ, τ) =
=
τ − σ
− + 1
1 + σ
τ + 1
−
1 + σ
(5.42)
(5.43)
Pour τ + c < τ < 1, on a
par conséquent,
τ + σ
θ =
1 + σ
et la pression acoustique à la distance σ et au temps τ, s’écrit :
P (σ, τ) =
=
τ + σ
− − 1
1 + σ
τ − 1
−
1 + σ
La solution s’écrit :
τ = θ + σ(θ − 1) (5.44)
⎧
⎨ −
P (σ, τ) =
⎩
τ+1 si − 1 < τ < τ 1+σ
− c ,
−
τ−1 si τ 1+σ
+ c < τ < 1,
0 ailleurs.
(5.45)
(5.46)
(5.47)
(5.48)
Il reste à calculer la position du choc à la distance σ, on le fait en utilisant la relation 5.38 :
dτ c
dσ = −P (σ, τ + c (σ)) + P (σ, τ − c (σ))
2
= −
τ c−1 τ − c+1
1+σ 1+σ
La solution de cette équation différentielle s’écrit :
F. Coulouvrat et R. Marchiano 104
=
2
,
, (5.49)
τ c
. (5.50)
1 + σ
τ c = A(1 + σ) (5.51)

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 105
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
!0.2
!0.4
!0.6
!0.8
!1
!1 !0.8 !0.6 !0.4 !0.2 0
!
0.2 0.4 0.6 0.8 1
" =0
" =1
" =2
Fig. 5.6 – Profils d’une onde en dent de scie en σ = 0, σ = 1 et σ = 2
On détermine la constante d’intégration A grâce à la condition initiale suivante : le choc en
σ = 0 se trouve en 0, ce qui se traduit par la relation : τ c(σ = 0) = 0. Par conséquent, la
constante d’intégration est nulle, A = 0. On trouve ainsi que la position du choc est fixe 4 :
La solution finale s’écrit donc :
⎧
⎨ −
P (σ, τ) =
⎩
τ+1 si − 1 < τ < 0,
1+σ
−
τ−1 si 0 < τ < 1,
1+σ
0 ailleurs.
τ c(σ) = 0. (5.52)
(5.53)
Comme l’illustre la figure 5.6 le profil temporel reste une dent de scie centrée en τ = 0 et
l’amplitude décroît au cours de la propagation.
Evolution d’un profil en N
On cherche l’évolution du profil temporel d’une onde en N (Fig 5.7), décrite en σ = 0 par :
−τ
P (σ = 0, τ) =
−0
si |τ| < 1,
sinon.
(5.54)
Pour cela on utilise la solution de Poisson (Eq. 5.27), si |τ| < τ c alors :
τ = θ + σθ (5.55)
4 En fait le choc se propage à la vitesse c0 car on travaille en temps retardé (cf Eq.5.18)
F. Coulouvrat et R. Marchiano 105

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 106
soit encore,
θ = τ
. (5.56)
1 + σ
La pression à la distance σ et au temps τ, s’écrit donc :
P (σ, τ) =
− τ
1+σ
si |τ| < τ c,
0 sinon.
Déterminons à présent la position des chocs à la distance σ à partir de la relation 5.38 :
dτ c
dσ = −P (σ, τ + c (σ)) + P (σ, τ − c (σ))
2
La solution de cette équation différentielle s’écrit :
=
,
(5.57)
τ c
. (5.58)
2(1 + σ)
τ c(σ) = A(1 + σ) 1/2 , (5.59)
où A est une constante d’intégration que l’on détermine en utilisant la condition initiale
suivante : τ c(σ = 0) = 1, par conséquent la constante d’intégration est A = 1, et la pression :
P (σ, τ) =
− τ
1+σ
si |τ| < √ 1 + σ,
0 sinon.
(5.60)
Au cours de la propagation, le profil de l’onde reste en forme de N. Cependant, il s’élargit de
plus en plus puisque la position des chocs suit la loi τ c(σ) = √ 1 + σ. L’amplitude, elle, décroit
en suivant la loi 1/ √ 1 + σ. La figure 5.7 présente l’évolution du profil temporel d’une onde en
N à différentes distances.
F. Coulouvrat et R. Marchiano 106

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 107
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
!0.2
!0.4
!0.6
!0.8
!1
!2.5 !2 !1.5 !1 !0.5 0
!
0.5 1 1.5 2 2.5
" =0
" =1
" =2
Fig. 5.7 – Profils d’une onde en N en σ = 0, σ = 1 et σ = 2
F. Coulouvrat et R. Marchiano 107

Annexe A
Définitions et propriétés des fonctions
de Bessel
Les fonctions de Bessel d’ordre m de première espèce Jm(x) et de seconde espèce Ym(x)
sont deux solutions linéairement indépendantes de l’équation :
x 2 d2f df
+ x
dx2 dx + (x2 − m 2 )f = 0. (A.1)
Nous étudierons ici uniquement le cas où l’ordre m des fonctions de Bessel est entier. Les
fonctions de Bessel Jm(x) de première espèce sont définies sous forme intégrale :
π
Jm(x) = cos(x sin θ − mθ)dθ (A.2)
ou, sous forme de série entière :
Jm(x) =
0
x
m +∞
2
k=0
1 − 4xk 2
. (A.3)
k!(k + m)!
En particulier, on a J0(0) = 1 et Jm>0(0) = 0.
Les fonctions de Bessel de première espèce sont reliées entre elles par les relations de
récurrence suivantes :
Jm−1(x) + Jm+1(x) = 2m
x Jm(x). (A.4)
La somme des fonctions de Bessel de première espèce d’ordre pair vérifie la propriété
suivante :
1 = J0(x) + 2
+∞
k=0
J2k(x). (A.5)
Enfin, les dérivées des fonctions de Bessel de première espèce satisfont :
dJm(x)
dx = Jm−1(x) − m
x Jm(x) (A.6)
108

Propagation atmosphérique - Notes de Cours Page 109
avec
J ′ 0(x) = −J1(x). (A.7)
La fonction de Bessel de deuxième espèce et d’ordre 0 est liée aux fonctions de Bessel de
première espèce par :
Y0(x) = 2
x
ln + γ J0(x) −
π 2
4
+∞
(−1)
π
k=1
k
J2k(x) . (A.8)
k
Les fonctions de Bessel de première et deuxième espèce sont reliées entre elles par le wronskien
suivant :
Jm+1(x)Ym(x) − Jm(x)Ym+1(x) = 2
. (A.9)
πx
Les fonctions de Bessel de deuxième espèce sont reliées entre elles par les relations de
récurrence suivantes :
Ym−1(x) + Ym+1(x) = 2m
x Ym(x). (A.10)
Enfin, les dérivées des fonctions de Bessel de deuxième espèce satisfont :
avec
F. Coulouvrat et R. Marchiano 109
dYm(x)
dx = Ym−1(x) − m
x Ym(x) (A.11)
Y ′
0(x) = −Y1(x). (A.12)