TD n°2 : la fonction logarithme népérien

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES_SEQ2
TD n°2 : la fonction logarithme népérien
Exercice 1 D’après bac pro hygiène et environnement
1- On considère la fonction f définie sur l’intervalle I = [0,2 ; 1] par : f(x) = - 8 310 ln x.
a. Déterminer la fonction dérivée f ‘ de la fonction f.
b. Etudier le signe de la fonction dérivée sur l’intervalle I.
c. En déduire le tableau de variations de la fonction f.
d. Construire la courbe C dans le repère ci-dessous.
2- Tant qu’un organisme est vivant, la quantité de carbone 14 qu’il contient est constante. Après la
mort de l’organisme, cette quantité de carbone 14 diminue. On appelle x, la fraction de carbone 14
restant dans l’organisme fossilisé. La modélisation mathématique permet d’établir que :
f(x) = - 8 310 ln x
Cette expression donne l’âge f(x) en années d’un fossile en fonction de x.
a. Trouver graphiquement l’âge x d’un fossile qui contient encore
de son carbone 14.
b. Retrouver ce résultat par le calcul. Le résultat sera arrondi au centième.
14000
13000
12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Partie TD (M)/TD2_ln 1/3 18/09/2010

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES_SEQ2
Exercice 2 Sachant que ln 2 = 0,693 ; ln 3 = 1,099 et ln 5 = 1,609, calculer sans calculatrice la valeur
de :
Développement des calculs !
ln 6 = ……………………………………………………………
ln 10 = ……………………………………………………………
ln
= ……………………………………………………………
ln
= ……………………………………………………………
ln 300 = ……………………………………………………………
ln
= ……………………………………………………………
Exercice 3 D’après bac pro productique mécanique
Afin d’optimiser l’usinage d’une came, on désire utiliseer une vitesse de coupe économique. Après essai
d’usinage, on a obtenu les résultats suivants :
V (vitesse en m/min) T(temps en min)
221 15
168 45
Le coefficient de Taylor n est le nombre réel tel que V.T n est constant.
1- Exprimer le produit V.T n de deux manières différentes.
2- Montrer que le nombre n vérifie la relation :
Exercice 4
n(ln 45 – ln 15) = ln 221 – ln 168
Lors de la transmission d’un signal le long d’une fibre optique, ce signal subit une perte de puissance,
c’est-à-dire une atténuation, qui dépend de la nature et de de la longueur de la fibre optique. On utilise
une fibre optique dont l’atténuation est 0,4 dB/km. La longueur L (en km) de la fibre permettant de
recevoir un signal de puissance PS = 5 µW est alors liée à la puissance du signal émis Pe (en W) par la
relation L = 10,86 ln Pe + 132,5 où ln est le logarithme népérien.
1- Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0,01 ;1] par f(x) = 10,86 ln x + 132,5.
2-
a. Calculer f ’(x) où f ’ est la dérivée de la fonction f.
b. Donner le signe de f ’(x) sur l’intervalle [0,01 ;1].
c. En déduire le sens de variations de f sur l’intervalle [0,01 ;1].
Partie TD (M)/TD2_ln 2/3 18/09/2010

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES_SEQ2
a. Compléter le tableau de valeur ci-dessous ; Arrondir les résultats à l’unité.
b. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère
orthogonal (abscisse : 1 cm pour 0,1 unité ; ordonnées : 1 cm pour 10 unités)
3- Déterminer graphiquement la puissance du signal émis Pe permettant d’obtenir un signal de
puissance PS = 5 µW à la sortie de la fibre optique dans le cas où celle-ci à une longueur L = 120
km.
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4
Partie TD (M)/TD2_ln 3/3 18/09/2010