Horloge géodésique de Marzke-Wheeler - LUTH - Observatoire de ...

Géométrisation du critère de simultanéité d’Einstein
Mesure des temps et des distances
Eric Gourgoulhon
Laboratoire Univers et Théories (LUTH)
CNRS / Observatoire de Paris / Université Paris Diderot
F-92195 Meudon, France
eric.gourgoulhon@obspm.fr
http://www.luth.obspm.fr/ ∼ luthier/gourgoulhon/
Journée sur la mesure en physique
LUTH, Meudon, 23 novembre 2007
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 1 / 16

Avertissement
Je ne suis pas historien
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 2 / 16

Avertissement
Je ne suis pas historien
Il n’y a rien d’original dans ce qui suit
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 2 / 16

Avertissement
Je ne suis pas historien
Il n’y a rien d’original dans ce qui suit
On continue quand même ?
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 2 / 16

Notion d’espace-temps et de ligne d’univers
L’ensemble E des événements est un continuum à 4 dimensions:
théorie newtonienne: E = espace affine sur R
relativité restreinte: E = espace affine sur R
relativité générale: E = variété différentiable
Un “point matériel” (particule) décrit
une ligne d’univers dans E
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 3 / 16

Mesure du temps le long d’une ligne d’univers
Temps propre le long d’une ligne d’univers:
dτ = 1
−g(dx, dx)
c
g = tenseur métrique :
forme bilinéaire non-dégénérée de signature (−, +, +, +)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 4 / 16

Mesure du temps le long d’une ligne d’univers
Temps propre le long d’une ligne d’univers:
dτ = 1
−g(dx, dx)
c
g = tenseur métrique :
forme bilinéaire non-dégénérée de signature (−, +, +, +)
Géométrisation du principe de constance de la vitesse de
la lumière:
les lignes d’univers des photons sont les lignes isotropes
de g (vecteur tangent v / g(v, v) = 0)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 4 / 16

Mesure du temps le long d’une ligne d’univers
Temps propre le long d’une ligne d’univers:
dτ = 1
−g(dx, dx)
c
g = tenseur métrique :
forme bilinéaire non-dégénérée de signature (−, +, +, +)
Géométrisation du principe de constance de la vitesse de
la lumière:
les lignes d’univers des photons sont les lignes isotropes
de g (vecteur tangent v / g(v, v) = 0)
Espace-temps relativiste: (E , g)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 4 / 16

Mesure du temps le long d’une ligne d’univers
Temps propre le long d’une ligne d’univers:
dτ = 1
−g(dx, dx)
c
g = tenseur métrique :
forme bilinéaire non-dégénérée de signature (−, +, +, +)
Géométrisation du principe de constance de la vitesse de
la lumière:
les lignes d’univers des photons sont les lignes isotropes
de g (vecteur tangent v / g(v, v) = 0)
Espace-temps relativiste: (E , g)
4-vitesse u = vecteur tangent unitaire à la ligne
d’univers:
u := 1 dx
, g(u, u) = −1
c dτ
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 4 / 16

Datation des événements distants: le problème
temps
absolu
newtonien
Espace-temps newtonien Espace-temps relativiste
A M A M
t t A tM= tA A tM= ?
0 0
a b
problème de la définition de la simultanéité
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 5 / 16

Datation des événements distants: la solution
Poincaré (1898): nous n’avons pas d’intuition directe de la simultanéité de
deux événements distants, ni même de leur ordre d’occurrence.
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 6 / 16

Datation des événements distants: la solution
Poincaré (1898): nous n’avons pas d’intuition directe de la simultanéité de
deux événements distants, ni même de leur ordre d’occurrence.
Poincaré (1900): méthode de synchronisation des horloges par échange de
signaux lumineux → temps local de Lorentz (au premier ordre en v/c)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 6 / 16

t 1
Datation des événements distants: la solution
t
0
t 2
Poincaré (1898): nous n’avons pas d’intuition directe de la simultanéité de
deux événements distants, ni même de leur ordre d’occurrence.
Poincaré (1900): méthode de synchronisation des horloges par échange de
signaux lumineux → temps local de Lorentz (au premier ordre en v/c)
Einstein (1905):
A
A 1
A 2
M
M est simultané à A pour l’observateur O ssi
t = 1
2 (t1 + t2)
où t1 est le temps propre (vis-à-vis de O) d’émission par
O d’un photon qui atteint l’événement M et est réfléchi
(sans délai) en M pour atteindre de nouveau
l’observateur O au temps propre t2.
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 6 / 16

t 2
t 1
Simultanéité et orthogonalité à la ligne d’univers
t
0
A
A 2
A 1
B
B proche de L0 (L0 ∼ droite) :
−−→
A1A = c(t − t1)u et −−→
A2A = c(t − t2)u
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 7 / 16

t 2
t 1
Simultanéité et orthogonalité à la ligne d’univers
t
0
A
A 2
A 1
B
B proche de L0 (L0 ∼ droite) :
−−→
A1A = c(t − t1)u et −−→
A2A = c(t − t2)u
−−−→
A1B genre lumière ⇐⇒ g( −−−→
A1B, −−−→
A1B) = 0
⇐⇒ g( −−→
A1A + −−→
AB, −−−→
A1B + −−→
AB) = 0
⇐⇒ g( −−→
A1A, −−→
A1A) + 2g( −−→
A1A, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0
⇐⇒ −c 2 (t − t1) 2 + 2c(t − t1) g(u, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0 (1)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 7 / 16

t 2
t 1
Simultanéité et orthogonalité à la ligne d’univers
t
0
A
A 2
A 1
B
B proche de L0 (L0 ∼ droite) :
−−→
A1A = c(t − t1)u et −−→
A2A = c(t − t2)u
−−−→
A1B genre lumière ⇐⇒ g( −−−→
A1B, −−−→
A1B) = 0
⇐⇒ g( −−→
A1A + −−→
AB, −−−→
A1B + −−→
AB) = 0
⇐⇒ g( −−→
A1A, −−→
A1A) + 2g( −−→
A1A, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0
⇐⇒ −c 2 (t − t1) 2 + 2c(t − t1) g(u, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0 (1)
De même, −−−→
A2B genre lumière
⇐⇒ −c 2 (t − t2) 2 + 2c(t − t2) g(u, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0 (2)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 7 / 16

t 2
t 1
Simultanéité et orthogonalité à la ligne d’univers
t
0
A
A 2
A 1
B
B proche de L0 (L0 ∼ droite) :
−−→
A1A = c(t − t1)u et −−→
A2A = c(t − t2)u
−−−→
A1B genre lumière ⇐⇒ g( −−−→
A1B, −−−→
A1B) = 0
⇐⇒ g( −−→
A1A + −−→
AB, −−−→
A1B + −−→
AB) = 0
⇐⇒ g( −−→
A1A, −−→
A1A) + 2g( −−→
A1A, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0
⇐⇒ −c 2 (t − t1) 2 + 2c(t − t1) g(u, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0 (1)
De même, −−−→
A2B genre lumière
⇐⇒ −c 2 (t − t2) 2 + 2c(t − t2) g(u, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0 (2)
Solution du système (1)+(2) pour t, t1 et t2 fixés:
g(u, −−→
AB) = c t − 1
2 (t1
+ t2) (3)
g( −−→
AB, −−→
AB) = c 2 (t − t1)(t2 − t) (4)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 7 / 16

t 2
t 1
Simultanéité et orthogonalité à la ligne d’univers
t
0
A
A 2
A 1
B
B proche de L0 (L0 ∼ droite) :
−−→
A1A = c(t − t1)u et −−→
A2A = c(t − t2)u
−−−→
A1B genre lumière ⇐⇒ g( −−−→
A1B, −−−→
A1B) = 0
⇐⇒ g( −−→
A1A + −−→
AB, −−−→
A1B + −−→
AB) = 0
⇐⇒ g( −−→
A1A, −−→
A1A) + 2g( −−→
A1A, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0
⇐⇒ −c 2 (t − t1) 2 + 2c(t − t1) g(u, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0 (1)
De même, −−−→
A2B genre lumière
⇐⇒ −c 2 (t − t2) 2 + 2c(t − t2) g(u, −−→
AB) + g( −−→
AB, −−→
AB) = 0 (2)
Solution du système (1)+(2) pour t, t1 et t2 fixés:
g(u, −−→
AB) = c t − 1
2 (t1
+ t2) (3)
g( −−→
AB, −−→
AB) = c 2 (t − t1)(t2 − t) (4)
Ainsi le critère de simultanéité d’Einstein devient
t = 1
2 (t1 + t2) ⇐⇒ g(u, −−→
AB) = 0 ⇐⇒ −−→
AB orthogonal à L0
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 7 / 16

Espace local de simultanéité
t 2
t’ 2
t’ 1
t 1
0
A
Σ (A)
Ensemble des événements simultanés avec A pour l’obs. O : hypersurface Σu(A)
Espace tangent à Σu(A) en A: hyperplan Eu(A) = espace local de simultanéité
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 8 / 16
(A)

Relativité de la simultanéité
t A= t B t’ A
t’ B
A B
Les événements A et B
sont simultanés pour
l’observateur O, mais
pas pour l’observateur
O ′ .
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 9 / 16

a c t
Horizon de Rindler
4
3
2
1
0
-1
A
∆
τ=1.5(ca) -1
(ξ=-a −1 )
ξ=-0.5a -1 ξ=0.5a -1
L
(ξ=0)
ξ=a -1
R τ
τ=(ca) -1
τ=0.5(ca) -1
ξ=1.5a -1
τ=0
-2
-2 -1 0 1 2 3 4
a x
Observateur accéléré
a = 1 du
c dτ (4-accélér.)
t < 0 : a = 0 (mvmt. inertiel)
t ≥ 0 : a · a = a 2 = const
accélération / obs. inertiel:
γ = ac 2 1 + (act) 2 −3/2
Les espaces locaux de
simultanéité se recoupent pour
des distances ∼ a −1
Pour γ = 10 m s −2 , a −1
9 × 10 15 m 1 année-lumière !
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 10 / 16

t 2
t 1
Mesure chronométrique des distances
t
0
A
A 2
A 1
B
La distance entre deux événements A et B séparés spatialement
est donnée par le tenseur métrique: dAB = g( −−→
AB, −−→
AB)
D’après le résultat (4) :
dAB = c (t − t1)(t2 − t)
Robb (1936), Synge (1956)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 11 / 16

t 2
t 1
Mesure chronométrique des distances
t
0
A
A 2
A 1
B
La distance entre deux événements A et B séparés spatialement
est donnée par le tenseur métrique: dAB = g( −−→
AB, −−→
AB)
D’après le résultat (4) :
dAB = c (t − t1)(t2 − t)
Robb (1936), Synge (1956)
Si −−→
AB est orthogonal à la ligne d’univers, alors t = (t1 + t2)/2 et
la formule ci-dessus se simplifie en
dAB = 1
2 c(t2 − t1)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 11 / 16

t 2
t 1
Mesure chronométrique des distances
t
0
A
A 2
A 1
B
La distance entre deux événements A et B séparés spatialement
est donnée par le tenseur métrique: dAB = g( −−→
AB, −−→
AB)
D’après le résultat (4) :
dAB = c (t − t1)(t2 − t)
Robb (1936), Synge (1956)
Si −−→
AB est orthogonal à la ligne d’univers, alors t = (t1 + t2)/2 et
la formule ci-dessus se simplifie en
dAB = 1
2 c(t2 − t1)
⇒ pas besoin de règle !
les photons suffisent
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 11 / 16

Pas besoin d’horloges atomiques non plus !
Des photons et des particules libres suffisent pour mesurer des temps propres, et
définir ainsi une
horloge géodésique
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 12 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
2 Particule P2, rencontre P1 en l’événement A2
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
2 Particule P2, rencontre P1 en l’événement A2
3 Émission par P1 d’un rayon lumineux en A1
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
2 Particule P2, rencontre P1 en l’événement A2
3 Émission par P1 d’un rayon lumineux en A1
4 Réflexion par P2 en B
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
2 Particule P2, rencontre P1 en l’événement A2
3 Émission par P1 d’un rayon lumineux en A1
4 Réflexion par P2 en B
5 Particule P3, qui a rencontré P1 en A1
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
2 Particule P2, rencontre P1 en l’événement A2
3 Émission par P1 d’un rayon lumineux en A1
4 Réflexion par P2 en B
5 Particule P3, qui a rencontré P1 en A1
6 Par essai...
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
2 Particule P2, rencontre P1 en l’événement A2
3 Émission par P1 d’un rayon lumineux en A1
4 Réflexion par P2 en B
5 Particule P3, qui a rencontré P1 en A1
6 Par essai...
7 ... et erreur
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
2 Particule P2, rencontre P1 en l’événement A2
3 Émission par P1 d’un rayon lumineux en A1
4 Réflexion par P2 en B
5 Particule P3, qui a rencontré P1 en A1
6 Par essai...
7 ... et erreur
8 P1 envoie un signal lumineux qui, une fois réfléchi
en C par P3, retourne vers P1 en A2
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
2 Particule P2, rencontre P1 en l’événement A2
3 Émission par P1 d’un rayon lumineux en A1
4 Réflexion par P2 en B
5 Particule P3, qui a rencontré P1 en A1
6 Par essai...
7 ... et erreur
8 P1 envoie un signal lumineux qui, une fois réfléchi
en C par P3, retourne vers P1 en A2
9 D1 = rencontre de P3 et du rayon réfléchi en B;
D2 = rencontre de P2 et du rayon qui part vers C
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
2 Particule P2, rencontre P1 en l’événement A2
3 Émission par P1 d’un rayon lumineux en A1
4 Réflexion par P2 en B
5 Particule P3, qui a rencontré P1 en A1
6 Par essai...
7 ... et erreur
8 P1 envoie un signal lumineux qui, une fois réfléchi
en C par P3, retourne vers P1 en A2
9 D1 = rencontre de P3 et du rayon réfléchi en B;
D2 = rencontre de P2 et du rayon qui part vers C
10 La ligne d’univers D1D2 est parallèle à A1A2
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Horloge géodésique de Marzke-Wheeler
Construction de Marzke & Wheeler (1964)
1 Ligne d’univers de la particule P1 (base de l’horloge)
2 Particule P2, rencontre P1 en l’événement A2
3 Émission par P1 d’un rayon lumineux en A1
4 Réflexion par P2 en B
5 Particule P3, qui a rencontré P1 en A1
6 Par essai...
7 ... et erreur
8 P1 envoie un signal lumineux qui, une fois réfléchi
en C par P3, retourne vers P1 en A2
9 D1 = rencontre de P3 et du rayon réfléchi en B;
D2 = rencontre de P2 et du rayon qui part vers C
10 La ligne d’univers D1D2 est parallèle à A1A2
11 Horloge de lumière entre ces deux lignes d’univers
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 13 / 16

Notion d’observateur
d ℓi = dℓi ei
d ℓij = d ℓj − d ℓi
Définition géométrique
Ligne d’univers L0, munie en chaque
point O(t) d’une tétrade orthonormale
(e0, e1, e2, e3) telle que e0 = u
(e1, e2, e3) est alors une base
orthonormale de l’espace local de
simultanéité Eu(t)
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 14 / 16

Notion d’observateur
d ℓi = dℓi ei
d ℓij = d ℓj − d ℓi
Définition géométrique
Ligne d’univers L0, munie en chaque
point O(t) d’une tétrade orthonormale
(e0, e1, e2, e3) telle que e0 = u
(e1, e2, e3) est alors une base
orthonormale de l’espace local de
simultanéité Eu(t)
Réalisation physique
4 lignes d’univers L0, L1, L2, L3,
munis d’horloges standard, ainsi que
d’un système d’émission et de réception
de photons
Triade (ei) définie par Pythagore:
g(d ℓij, d ℓij) = g(d ℓi, d ℓi) + g(d ℓj, d ℓj)
chaque longueur étant évaluée par la
formule de Robb-Synge
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 14 / 16

Espace (tridimensionnel) de référence d’un observateur
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 15 / 16

Références
Einstein A., 1905, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik
17, 891-921.
Poincaré H., 1898, La mesure du temps, Revue de Métaphysique et de
Morale 6, 1.
Poincaré H., 1900, La théorie de Lorentz et le principe de la réaction, dans
Recueil de travaux offerts par les auteurs à H.A. Lorentz à l’occasion du
25ème anniversaire de son doctorat le 11 décembre 1900, Archives
néerlandaises des sciences exactes et naturelles 5, 252.
Marzke R.F. & Wheeler J.A., 1964, Gravitation as geometry, I, dans
Gravitation and Relativity, H.Y. Chiu & W.F. Hoffmann (eds.), Benjamin
(New York).
Robb A.A., 1936, Geometry of Space and Time, Cambridge University Press
(Cambridge).
Synge J.L., 1956, Relativity: the Special Theory, North-Holland
(Amsterdam).
Eric Gourgoulhon (LUTH) Géométrisation du critère de simultanéité Meudon, 23 novembre 2007 16 / 16