Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

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4 TABLE DES MATIÈRES 2.6.2 Équation des géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.3 Géodésiques de longueur nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild) 53 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.1 Espace-temps statique et à symétrie sphérique . . . . . . . . . . . . 54 3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.3 Paramètre de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.4 Théorème de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.5 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes . . . . . . . . . 58 3.3 Géodésiques lumière radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1 Recherche des géodésiques lumière radiale . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2 Coordonnées d’Eddington-Finkelstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein) . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.1 Symétries et quantités conservées le long des géodésiques . . . . . . 63 3.4.2 Effet Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.3 Effet Einstein comme dilatation des temps . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.4 Mise en évidence expérimentale et observationnelle . . . . . . . . . 69 3.5 Orbites des corps matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.5.1 Quantités conservées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.5.2 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5.3 Orbites circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.4 Dernière orbite circulaire stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5.5 Autres orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.6 Avance du périastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6 Trajectoires des photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.6.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.6.2 Allure des trajectoires des photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.6.3 Déviation des rayons lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.6.4 Mirages gravitationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.6.5 Retard de la lumière (effet Shapiro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4 Équation d’Einstein 93 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Dérivation covariante (connexion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2.1 Gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2.2 Dérivation covariante d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.3 Extension à tous les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.4 Connexion compatible avec la métrique . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.5 Divergence d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3.1 Transport parallèle non infinitésimal et courbure . . . . . . . . . . . 106
TABLE DES MATIÈRES 5 4.3.2 Propriétés du tenseur de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3.3 Tenseur de Ricci et tenseur d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.4 Tenseur énergie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4.2 Tenseur énergie-impulsion du fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . 113 4.5 Équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5.2 Limite newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.1 Écriture de l’équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.2 Solution de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.6.3 Équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff . . . . . . . . . . . . . . 119 4.6.4 Pour aller plus loin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5 Trous noirs 123 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.2 Singularité de coordonnées et singularité centrale . . . . . . . . . . . . . . 124 5.2.1 Nature de la singularité au rayon de Schwarzschild . . . . . . . . . 124 5.2.2 Singularité centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3 Horizon des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3.2 Genre lumière de l’horizon des événements . . . . . . . . . . . . . . 129 5.4 Effondrement gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.5 Trous noirs en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.5.1 Solution de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.5.2 Théorème d’unicité (absence de chevelure) . . . . . . . . . . . . . . 132 5.5.3 Horizon des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.5.4 Ergosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.6 Mouvement géodésique dans l’espace-temps de Kerr . . . . . . . . . . . . . 135 5.6.1 Quantités conservées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.6.2 Effet Lense-Thirring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.6.3 Orbites circulaires dans l’espace-temps de Kerr . . . . . . . . . . . . 138 5.6.4 Processus d’extraction d’énergie de Penrose . . . . . . . . . . . . . 139 5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6 Ondes gravitationnelles 143 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2 Linéarisation de l’équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2.1 Perturbation de la métrique de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2.2 Équation d’Einstein linéarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3 Jauge de Lorenz et jauge TT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3.1 Changement de coordonnées infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3.2 Point de vue « théorie de jauge » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
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