développement d'un code d'hydrodynamique radiative 2d - LUTh ...

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION 

DÉVELOPPEMENT D’UN CODE 

D’HYDRODYNAMIQUE RADIATIVE 2D 

H. C. NGUYEN 

Mathématiques Appliquées 

Directeurs de thèse: Laurent Di Menza et Claire Michaut 

Université Paris-Sud 11 / Observatoire de Paris-Meudon 

17 mars 2008 

H. C. NGUYEN MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES DIRECTEURS DE THÈSE: LAURENT DÉVELOPPEMENT DI MENZA ET CLAIRE D’UN CODE MICHAUT D’HYDRODYNAMIQUE UNIVERSITÉ PARIS-SUD RADIATIVE 11 / OBSERVATO 2D


1 Introduction 

Contexte 

Résumé 

2 Hydrodynamique 

Méthode numérique 

Parallélisation du code 

3 Transfert radiatif 

4 Couplage 

Les modèles différents 

Le modèle M1-mutigroupe 

5 Conclusion 



Contexte 

Hydrodynamique radiative 

En 1D, le couplage CLAW1D [LeVeque, 2002] + modèle M1 par 

L. Boireau (le choc radiatif). 

En 2D, CLAW2D ne fonctionne pas correctement (dans notre cas 

dont le nombre de Mach est grand). 

Mon travail : méthodes numériques, le modèle du rayonnement, 

développement du code d’hydrodynamique radiative 2D. 



Contexte 










Contexte 










Contexte 










Code d’hydrodynamique 2D : HYDRO-MUSCL [Nguyen, 2007]. 

Parallélisation du code HYDRO-MUSCL : en collaboration avec 

F. ROY. 

Choix du modèle pour le transfert radiatif : M1-mutigroupe 

[Turpault, 2003]. 

Calcul des opacités : en collaboration avec C. Blancard 

(CEA/DIF/DPTA, associé au LUTH). 

Couplage entre hydrodynamique et rayonnement 

[Lowrie et al., 1999]. 





F. ROY. 











F. ROY. 











F. ROY. 











F. ROY. 









Équations d’hydrodynamique 

⎧ 

⎪⎨ 

∂tρ + ∇ · (ρV) = 0 , 

∂t(ρV) + ∇ · (ρV ⊗ V + pI) = 0 , 

⎪⎩ ∂tE + ∇ · [V(E + p)] = 0 , 

 

1 

L’énergie totale : E = ρ 

2 V2 

+ e , V2 = V · V = u2 + v 2 + w 2 , 

Dans notre cas, le fluide est parfait, alors : 

p = (γ − 1)ρe , 

avec γ l’indice polytropique du gaz parfait. 



Schéma du type MUSCL-Hancock 

Références : [Toro, 1999, Berthon, 2005] 

On suppose que U ≡ Ui est linéaire sur Ii. 

Ui(x) = U n x − xi 

i + 

∆x ∆i , x ∈ [0, ∆x] , 

où ∆i est un vecteur choisi après qui est dit la pente dans Ii. 

 

 

Ui−1(x) 

 

 

 

 

 

Ui(x) 

 

 

 

 

 

 

Ii−1 Ii 

Ii+1 

 

 

 

 

Ui+1(x) 



Schéma du type MUSCL-Hancock 

Reconstruction des données, valeurs aux extrémités : 

Évolution de U L i et UR i 

U K i = UK i 

U L i = Ui(0) = U n i − 1 

2 ∆i , 

U R i = Ui(∆x) = U n i + 1 

2 ∆i . 

par un temps 1 

2 ∆t 

∆t 

− 

2∆x [F(UR i ) − F(UL i )] , K = L, R . 

Résolution du problème de Riemann PR( UR i , UL i+1 ) 

⎧ 

⎪⎨ 

Ut + F(U)x = 0 , 

⎧ 

⎨U 

⎪⎩ 

U(x, 0) = 

⎩ 

R i si x < 0 

U L i+1 si x > 0 

Schéma de Godunov 



Solveur de Riemann du type HLLC 

xL 

SL 

 

TSL 

UL 

U∗L 

t 

T 

 

0 

 

S∗ 

U∗R 

TS∗ 

UR 

(voir [Toro, 1999]) 

H. C. NGUYEN MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES DIRECTEURS DE THÈSE: LAURENT DÉVELOPPEMENT DI MENZA ET CLAIRE D’UN CODE MICHAUT D’HYDRODYNAMIQUE UNIVERSITÉ PARIS-SUD RADIATIVE 11 / OBSERVATO 2D 

TSR 

 

xR 

SR 

x


Solveur de Riemann du type HLLC 

En utilisant les conditions de Rankine-Hugoniot, nous avons : 

U∗K = 

⎡ 

⎤ 

ρK 

⎢ 

⎥ 

SK − uK 

⎢ 

ρK u∗ 

⎥ 

⎢ 

⎥ 

⎢ 

⎥ 

SK − u∗ 

⎢ 

ρK vK 

⎥ , 

⎢ 

⎣ 

u∗ − uK 

 

⎥ 

⎦ 

EK + ρK u∗(u∗ − uK) + 

pK 

SK − uK 

F hllc 

i+ 1 

⎧ 

FL 

si 0 SL 

⎪⎨ F∗L 

= 

2 

⎪⎩ 

= FL + SL(U∗L − UL) si SL 0 S∗ 

F∗R = FR + SR(U∗R − UR) si S∗ 0 SR 

si 0 SR . 

FR 



Cas-test : Problème de Sedov 

FIG.: Supernova Kepler c○NASA-HST 




10 

5 

0 

 

 

 

y 

ρout 

uout 

vout 

pout 

 

 

 

ρin 

uin 

vin 


5 

pin 

 

 

10 

x



FIG.: Profil de densité au temps final t = 3.0 avec un maillage 400 × 400 




FIG.: Découpage de la densité par le plan xOz (y = 5.0) 




FIG.: Profil de densité au temps final t = 0.35, Ein = 10 5 (400 × 400) 



Problème de Sedov 

FIG.: Profil 3D de densité au temps final t = 0.35, Ein = 10 5 (400 × 400) 



Évolution du rayon de choc 

Le rayon du choc 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

Courbe theorique 

Courbe numerique 

0.5 1 1.5 

Le temps t 

2 2.5 3 

FIG.: Courbe de rayon du choc de Sedov en fonction du temps 



Jet d’étoile jeune 

FIG.: Jet astrophysique c○NASA-HST 



Jet d’étoiles jeunes 

0.36 

uin 

 

 

 

0 

r 

ρin 

pin 

vin 

 

ρout 

uout 

vout 

pout 


1 

 

 

z


Simulation du jet 

y 

0.4 

0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

q(1) at time 0.0100 

0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

x 

0.6 0.7 0.8 0.9 1 


1.6 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2


Parallélisation du code : pourquoi ? 

Diminuer le temps de calcul. 

Permettre de calculer avec un maillage fin : Etude des instabilités 

comme Vishniac (Cécile en parlera). 

Le calcul du couplage hydro rad est coûteux : réduire le temps 

de calcul. 

=⇒Quelques possibilités de parallélisation. 








de calcul. 









de calcul. 









de calcul. 




Modèles différents pour le transfert radiatif 

Modèle P1 (équilibre radiatif), 

Modèle cinétique [Turpault, 2002], 

Modèle M1-gris [Dubroca, 2000], 

Modèle M1-multigroupe [Turpault, 2002], 

Modèle demi-M1 gris [Dubroca and Klar, 2002], 

Modèle demi-M1 multigroupe [Turpault et al., 2003]. 
















































Equation du transfert radiatif 

On note ∇ ≡ ∇x. 

( 1 

c ∂t+Ω·∇)I(ν, Ω) = κ(ν)B(ν, T)−χ(ν)I(ν)+ σ(ν) 

 

4π S2 pν(Ω ′ ·Ω)I(ν, Ω ′ )dΩ ′ 

Les 3 moments de l’intensité I(ν, Ω) : 

E(ν) = 1 

 

c S2 I(ν, Ω)dΩ 

F(ν) = 1 

 

c S2 cΩI(ν, Ω)dΩ 

P(ν) = 1 

 

c S2 (Ω ⊗ Ω)I(ν, Ω)dΩ 



Équations aux moments 

où 

1 

∂tE(ν) + ∇ · F(ν) = κ(ν) 4πB(ν, T) − cE(ν) 

c ∂tF(ν) + c∇ · P(ν) = − κ(ν) + σ(ν)(1 − g(ν)) F(ν) 

Ω ′ g(ν) = 1 

 

4π S2 Ωpν(Ω ′ · Ω)dΩ. 



Modèle M1-multigroupe 

Fréquence : 

ν 1 q− tels que ν 1 = 0 et ν 1 

2 q=1,...,Q+1 2 

Q+ = +∞. 

2 

Définition 

νq+ 1 

2 

Eq = 

ν 

q− 1 

2 

νq+ 1 

2 

Fq = 

ν 

q− 1 

2 

νq+ 1 

2 

Pq = 

ν 

q− 1 

2 

E(ν)dν, ∀q 

F(ν)dν, ∀q 

P(ν)dν, ∀q 

⎧ 

⎪⎨ ∂tEq + ∇ · Fq = c 

⎪⎩ 

σe qaθ4 (T) − σa 

qEq , ∀q 

1 

c ∂tFq + c∇ · Pq = − σf q + σd q (1 − ˜gq) Fq, ∀q 



Quelques propriétés 

Le système n’est pas fermé =⇒ Choix de la fermeture : 

minimiser l’entropie radiative. 

Existence et unicité de la fermeture. 

La fermeture est isotrope dans les directions orthogonales au 

flux =⇒ favoriser le calcul. 



















Opacités 

σ e q = 

< · >q= 1 

 

c S2 νq+ 1 

2 

·dνdΩ 

ν 

q− 1 

2 

< κB(T) >q 

, σ a q = < κI >q 

, σ f q = < κΩI >q 

. 

aθ 4 q 

En collaboration avec C. Blancard (CEA/DIF/DPTA, associé au 

LUTH). 

La base de données qui s’appelle Alamos et qui est dispo : 

tableaux des opacités de Rosseland et de Planck, dépendent de 

la densité et de la température. 

Choix de la méthode d’interpolation raisonnable des opacités. 


Eq 

Fq


Opacités 

σ e q = 

< · >q= 1 

 

c S2 νq+ 1 

2 

·dνdΩ 

ν 

q− 1 

2 

< κB(T) >q 

, σ a q = < κI >q 

, σ f q = < κΩI >q 

. 

aθ 4 q 


LUTH). 






Eq 

Fq


Opacités 

σ e q = 

< · >q= 1 

 

c S2 νq+ 1 

2 

·dνdΩ 

ν 

q− 1 

2 

< κB(T) >q 

, σ a q = < κI >q 

, σ f q = < κΩI >q 

. 

aθ 4 q 


LUTH). 






Eq 

Fq


Méthode numérique pour le rayonnement 

La méthode HLLE (Harten-Lax-van Leer-Eidicht) [Audit et al., 2002] 

avec 

U = 

 

Eq 

Fq 

 

U n+1 

i 

∆t 

, F = 

− Un i 

 

Fq 

+ 

c 2 Pq 

et le flux numérique donné par : 

 

Fn i+ 1 − F 

2 

n 

i− 1 

2 = C(U 

∆x 

n i ) 

, C = 

 

cσ a q(aθ 4 q − Eq) 

−c(σ f q + (1 − gqσ d q )Fq 

F n 

i+ 1 = 

2 

b+ Fn i − b−Fn i+1 

b + − b− + b+ b− b + − b−(Un i+1 − U n i ). 

La condition CFL : c ∆t 

∆x + c∆t(σa q + (1 − gqσ d q) 1. 




Ici : 

⎧ 

∂tρ + ∇ · (ρV) = 0 , 

∂t(ρV) + ∇ · (ρV ⊗ V + pI) = −SF , 

⎪⎨ 

∂tE + ∇ · [V(E + p)] = −SE , 

∂tEq + ∇ · Fq = c 

⎪⎩ 

σe qaθ4 (T) − σa 

qEq , ∀q 

1 

c ∂tFq + c∇ · Pq = − σf q + σd q (1 − ˜gq) Fq, ∀q 

SE = c 

SF = − 1 

c 

q 

e 

σqaθ 4 (T) − σ a qEq 

f 

σq + σ d q (1 − ˜gq) Fq 

q 



Conclusion 

Code HYDRO-MUSCL et sa version de parallélisation. 

Choix du modèle M1-multigroupe pour le transfert radiatif. 

Choix de la méthode numérique pour M1-multigroupe. 

Développement du code de rayonnement. 

Couplage des deux codes. 



Audit, E., Charrier, P., Chièze, J. ., and Dubroca, B. (2002). 

A radiation-hydrodynamics scheme valid from the transport to the 

diffusion limit. 

ArXiv Astrophysics e-prints. 

Berthon, C. (2005). 

Stability of the muscl schemes for the euler equations. 

COMM. MATH. SCI, 3(2) :133–157. 

Dubroca, B. (2000). 

Modèle m1-gris. 

Dubroca, B. and Klar, A. (2002). 

Half-Moment Closure for Radiative Transfer Equations. 

Journal of Computational Physics, 180 :584–596. 

LeVeque, R. J. (2002). 

Finite Volume Methods for Hyperbolic Systems. 

Cambridge University Press. 



Lowrie, R. B., Morel, J. E., and Hittinger, J. A. (1999). 

The coupling of radiation and hydrodynamics. 

The Astrophysical Journal, 521(1) :432–450. 

Nguyen, H. C. (2007). 

Implémentation d’un schéma du type muscl et d’un solveur hllc 

pour le code claw. 

Master’s thesis, Université Paris-Sud 11. 

Toro, E. F. (1999). 

Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics : A 

Practical Introduction. 

Springer. 

Turpault, R. (2002). 

Construction d’un modèle m1-multigroupe pour les équations du 

transfert radiatif. 

C. R. Acad. Sci. Paris, 334 :1–6. 



Turpault, R. (2003). 

Modélisation, approximation numérique et applications du 

transfert radiatif en déséquilibre spectral couplé avec 

l’hydrodynamqie. 

PhD thesis, Université de Nantes. 

Turpault, R., Dubroca, B., Frank, M., and Klar, A. (2003). 

Multigroup half space moment approximations to the radiative 

heat transfer equations. 

J. Comp. Phys.

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