Evaluation et analyse des performances d'une ligne de production ...

Evaluation et analyse des performances d’une ligne de
production avec machines non fiables
Yassine Ouazene, Alice Yalaoui, Hicham Chehade et Farouk Yalaoui
Laboratoire d’Optimisation des Systèmes Industriels (STMR-UMR-CNRS 6279)
Université de Technologie de Troyes, 12 rue Marie Curie, 10010 Troyes
{yassine.ouazene, alice.yalaoui, hicham.chehade, farouk.yalaoui}@utt.fr
Mots-clés : Lignes de production, Analyse de performances, Processus stochastiques
1 Introduction
Les systèmes de production en série sont très répandus dans la production de masse. Elles
permettent généralement la fabrication d’un seul type de produit ou d’une famille de produits
de même gamme. Les stocks intermédiaires entre les machines sont sensés améliorer la productivité
de la ligne en diminuant l’effet des indisponibilités dues aux pannes des machines
ainsi qu’aux temps d’exécution variables sur les machines. Ces modèles permettent d’optimiser
le fonctionnement et de tester les différentes alternatives lors de la phase de conception.
Li et al. [1] ont présenté une intéressante revue de la littérature dans laquelle ils résument
les études récentes consacrées au développement des méthodes analytiques pour l’analyse des
performances des systèmes de production. La plupart de ces méthodes sont basées sur des techniques
d’agrégation ou de décomposition. Pour la méthode d’agrégation, il s’agit de remplacer,
de manière récursive, chaque deux machines avec une machine équivalente qui a le même taux
de production. Pour la méthode de décomposition, elle consiste à remplacer une ligne de production
à M machines et (M − 1) buffers par (M − 1) systèmes à deux machines et un buffer.
Plus précisément, on considère un ensemble de lignes à deux pseudo-machines. Les paramètres
de ces pseudo-machines sont calculés en se basant sur des équations de conservation des flux.
Une méthode de décomposition bien connue est celle proposée par Gershwin [2] pour l’analyse
d’un cas discret d’une ligne de production homogène. Une autre version améliorée de cette
méthode a été introduite par Dallery et al. [3].
Nous proposons une nouvelle méthode basée sur l’analyse des différents états de chaque stock
intermédiaire en utilisant un processus Markovien de naissance et de mort. Ensuite, chaque
machine est remplacée par une machine équivalente (voir [4] et [5] pour les détails). Enfin le
taux production de la machine est défini comme étant le goulet d’étranglement en taux de
production effectifs des ces machines équivalentes.
2 Formulation et analyse du problème
Nous considérons une ligne de production composée de K machines séparées par (K − 1)
stocks intermédiaires. Le système est sujet à des indisponibilités en raison de la capacité limitée
des stocks intermédiaires ou/et la défaillance et la réparation des machines. Les temps
de défaillance et de réparation sont supposés être statistiquement indépendants et distribués
suivant une loi exponentielle. Nous supposons aussi que les durées opératoires des tâches sont
déterministes et pas forcément identiques. L’état de panne des machines dépend des opérations.
En fin, une machine ne peut tomber en panne si elle est affamée ou bloquée. Nous adoptons
aussi les notations suivantes :

Ni la taille du stock intermédiaire i
λj le taux de défaillance de la machine Mj
µj le taux de réparation de la machine Mj
ωj la capacité de production de la machine Mj
αj le rapport des capacités de production relatif au stock i
La probabilité d’avoir t produits dans le stock i à l’état stationnaire
ψ le taux de production du système
P t
i
Le système est modélisé par une superposition de (k − 1) processus de naissance et de mort.
Une étude de l’état stationnaire du fonctionnement du système permet de calculer les diffé-
rentes probabilités pour chaque état de chaque stock. En réalité, uniquement les probabilités
d’avoir les stocks vides (P 0
i ) ou pleins (P Ni
i ) nous intéressent. Le taux de production effectif
de chaque machine équivalante i est exprimé en fonction de la disponibilité asymptotique de
la machine ainsi que les probabilités que la machine soit bloquée ou affamée. La méthode pro-
posée ⎧ dite de machines équivalentes est décrite par le modèle non linéaire suivant :
∀j = 1...K, ∀i = 1...K − 1
⎪⎨
⎪⎩
P 0
i = 1−αi
1−α N i +1
i
P Ni
i
= αN i
i ×(1−αi)
1−α N i +1
i
ρj = ωj × µj×(1−P Ni i )×(1−P 0 i+1 )
µj+(1−P Ni i )×(1−P 0 i+1 )×λj
αi = ωi×(1−P 0 i−1 )
ωi+1×(1−P Ni i+1 )
ψ = min ρj, j = 1...K
3 Evaluation de la méthode et conclusion
En se basant sur six cas d’application présentés dans [6], nous avons évalué l’efficacité de la
méthode proposée par rapport aux modèles existants dans la littérature ainsi qu’un modèle de
simulation. Cette nouvelle méthode obtient les meilleurs résultats pour quatre configurations
sur six. Pour les deux autres cas, les écarts relatifs par rapport à la simulation sont respectivement
de 0.84% et 0.56%. D’autres tests numériques confirment l’efficacité de la nouvelle
méthode dont l’avantage est la simplicité de la résolution. En effet, pour une ligne de production
à K machines, il s’agit de résoudre un système à (4K − 3) équations non linéaires.
Références
[1] J. Li, D.E. Blumenfeld, N. Huang and J.M Alden. Throughput analysis of production systems : recent
advances and future topics.International Journal of Production Research, 47(14):3823–3851, 2009.
[2] S.B. Gershwin. An efficient decomposition method for the approximate evaluation of tandem queues with
finite storage space and blocking. Operations Research, 35(2):291–305, 1987.
[3] Y. Dallery, R. David and X. Xie. An efficient algorithm for analysis of transfer lines with unreliable
machines and finite buffers. IIE Transactions, 20(3):280–283, 1988.
[4] Y. Ouazene, A. Yalaoui and H. Chehade. Throughput analysis of two-machine-one buffer line model : a
comparative study. In Uncertainty Modeling in Knowledge Engineering and Decision Making, Proceeding
of the 10th International FLINS Conference, ed. C. Kahraman, E. Etienne and F.T. Bozbura, 1281-1286,
World Scientific, 2012.
[5] Y. Ouazene, H. Chehade and A. Yalaoui. New restricted enumeration method for production line design
optimization. Proceedings INCOM’2012, 14th IFAC Symposium on Information Control Problems in
Manufacturing, 14(1):1347–1352, 2012.
[6] M. Colledani and S.B. Gershwin. A Decomposition Method for Approximate Evaluation of Continuous
Flow Multi-stage Lines with General Markovian Machines. Annals of Operations Research,:1–36, DOI
10.1007/s10479-011-0961-9, 2011.