COURBES

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COURBES
I- ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES
1- Soit (I , F) une courbe paramétrée de IR² ou IR 3 où F est de classe C k sur I, définir
le support de la courbe paramétrée : Γ = {M(t) / OM ( t)
= F(t)}
Lycée Saint Louis-PSI1
un changement de paramétrage admissible : on considère un autre paramétrage (J , G) où G = F o ϕ où la fonction ϕ
est un C k difféomorphisme de J sur I ; dans ce cas les supports des deux courbes paramétrées sont égaux.
même question dans le cas où l'arc est orienté : on se limite dans ce cas aux changements de variables ϕ tels que
ϕ est un C k difféomorphisme de J sur I strictement croissant.
2- Définir M(t0) est un point régulier de la courbe paramétrée ⇔ F '(t0) ≠ 0
Quelle est alors la tangente en M(t0) ? c'est la droite passant par M(t0) et de vecteur directeur F'(t0).
Dans le cas où F : t ֏ f(t) i + g(t) j x − f ( t0 ) f ′ ( t0
)
, équation de la tangente au point régulier M(t0) :
y − g( t ) g′ ( t )
Définir M(t0) est un point stationnaire ou singulier. ssi F'(t0) = 0 .
Définir M(t0) est un point birégulier : ssi la famille (F(t0) , F'(t0)) est une famille libre.
0 0
3- Lorsque M(t0) est un point singulier, donner une condition suffisante pour définir une tangente en M(t0) ?
On note p le plus petit entier strictement supérieur ou égal à 2 (s'il existe) tel que F (p) (t0) ≠ 0 , la tangente en M(t0) est la
droite passant par M(t0) et de vecteur directeur F (p) (t0).
4- Pour une courbe plane définie par : t ֏ f(t) i + g(t) j , et t0 ∈ I, définir les entiers caractéristiques en M(t0):
Sous réserve d'existence, on note p le plus petit entier supérieur ou égal à 1 tel que F (p) (t0) ≠ 0 et q le plus petit entier
strictement supérieur à p tel que la famille (F (p) (t0) , F (q) (t0)) soit une famille libre. On dit que p et q sont les entiers
caractéristiques en t0.
et préciser l'allure de la courbe au voisinage de M(t0) :
On note Δ la tangente en M(t0) soit la droite passant par M(t0) et de vecteur directeur V = F (p) (t0). On note W = F (q) (t0)
p est impair et q est pair : point ordinaire p est impair et q est impair : point d'inflexion
p est pair et q est impair : point de rebroussement de
première espèce
p est pair et q est pair : point de rebroussement de
deuxième espèce
5- En un point birégulier, qu'appelle-t-on concavité d'une courbe paramétrée plane?
Il s'agit du demi plan limité par la droite M(t0) + IR F'(t0) (c'est-à-dire la tangente en M(t0)) et contenant le vecteur F"(t0).
= 0.

6- Que faut-il faire pour déterminer les points d'inflexion d'une courbe paramétrée ?
On détermine l'ensemble des t ∈ d tels que det(F'(t) , F"(t)) = 0.
Puis pour chacune de ses valeurs de t ainsi obtenues, on vérifie si les entiers caractéristiques sont bien tous les deux
impairs (en général p = 1 et q = 3).
7- Soit une courbe plane d'équations paramétriques x = f(t) et y = g(t),
a) propriétés de symétrie de la courbe lorsque
f et g sont paires M(t) = M(– t), la courbe est obtenue pour t ∈ I ∩ IR +
f est impaire et g est paire
f est paire et g est impaire
f et g sont impaires
elle est symétrique par rapport à y' O y
elle est symétrique par rapport à x' O x
elle est symétrique par rapport à O
b) Dans quel cas, la courbe admet-elle une branche infinie lorsque t → t0 ? lorsque |f(t)| + |g(t)| → +∞ si t → t0
Conditions permettant de prouver que le graphe admet
une asymptote d'équation x = x0
lorsque f(t) → x0 et |g(t)| → +∞ en t0
une asymptote d'équation y = y0
lorsque g(t) → y0 et |f(t)| → +∞ en t0
une branche parabolique de direction Ox
une branche parabolique de direction Oy
lorsque |f(t)| → +∞, |g(t)| → +∞ et
lorsque |f(t)| → +∞, |g(t)| → +∞ et
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g( t)
f ( t)
→ 0 en t0
g( t)
→ +∞ en t0
f ( t) une branche parabolique de direction y = a x lorsque |f(t)| → +∞, |g(t)| → +∞ avec de plus,
g( t)
→ a et g(t) – a f(t) → ∞ lorsque t → t0
f ( t) une asymptote d'équation y = a x + b
comment étudier la position de la courbe par rapport à
l'asymptote?
un point limite de coordonnées (α , β)
dans ce cas, comment étudie-t-on la tangente en ce
point limite?
lorsque |f(t)| → +∞, |g(t)| → +∞ et g(t) – a f(t) – b → 0
lorsque t → t0.
Si g(t) – a f(t) – b > 0 la courbe est au dessus de l'asymptote,
sinon elle est en dessous.
lorsque f(t) → α et g(t) → β lorsque t → ∞.
g( t)
− β
On détermine la limite m en ∞ de
f ( t)
− α
si m ∈ IR, m est la pente de la tangente en (α , β)
si m = ∞, la tangente est verticale en (α , β).
8- Déterminer les coordonnées du point double de la courbe paramétrée définie par x = 2 t + t², y = 2 t – 1
.
t²
On cherche t ≠ u tel que x(t) = x(u) et y(t) = y(u) ; on note S = t + u et P = t u.
x(t) = x(u) ⇔ 2 (t – u) + (t² – u²) = 0 ⇔ (t – u)[2 + t + u] = 0 ⇔ t + u = – 2 ⇔ S = – 2 car t ≠ u.
1 1 u² − t²
y(t) = y(u) ⇔ 2 (t – u) = − = ⇔ – 2 =
t² u² u² t²
+ u t
⇔ S = – 2 P².
u² t²
On obtient le système S = – 2 et – 2 = – 2 P² ⇔ P² = 1 et S = – 2.
P = 1 et S = – 2 donnent : t et u racines de X² – S X + P = X² + 2 X + 1 = (X + 1)² = 0 ce qui est impossible car t ≠ u.
P = – 1 et S = – 2 donnent : t et u racines de X² + 2 X – 1 = 0, donc t² + 2 t = 1.
3
2t −1
Alors x(t) = t² + 2 t = 1 et y(t) = =
t²
2 2 1 1
t( − t + ) −
=
t²
4 2 1 − + − ² t t
=
t²
4 − t² − t²
= – 5.
t²
Le point double a pour coordonnées (1 , – 5).
9- Tracer le graphe de la courbe paramétrée dont on donne le tableau de variations et les renseignements cidessous:

x et y sont impaires
y' s'annule en α = ½ 5 − 17 et en β = ½ ½ 5 + 17
x(α) ≈ 0.60 y(α) ≈ 0.34
x(β) ≈ -1.18 y(β) ≈ 4.20
Lorsque t → 1, la droite d'équation y + x = 2 est
asymptote à la courbe et y(t) + x(t) – 2 est du signe de
t – 1.
t t(1 − 2 t²)
il s'agissait de la courbe définie par x = et y = .
1 − t²
1 − t²
II- COURBE EN POLAIRE
t 0 α 1/ 2 1 β +∞
x'(t) 1 + +
x(t) +∞ +∞
2
x(α) x(β)
0 – ∞
y(t) y(α) +∞ +∞
0
0 – ∞ y(β)
y'(t) + 0 – – 0 +
On suppose que le repère ℛ (O , i , j ) est un repère orthonormal direct du plan.
1- Si M a pour coordonnées polaires ρ et θ, donner la valeur de OM ( θ)
= ρ(θ) (cos θ i + sin θ j )
Donner les autres systèmes de coordonnées polaires de M:
il s'agit des points de coordonnées polaires : (ρ , θ + 2 k π) où k ∈ et (– ρ , θ + π + 2 k π) où k ∈ .
2- Soit une courbe Γ d'équation polaire ρ = f(θ), que dire de Γ si pour tout θ ∈ d,
ρ(θ + π) = – ρ(θ)
M(θ + π) = M(θ) . il suffit d'étudier Γ sur d ∩ I où I est un
intervalle de longueur π
ρ(– θ) = ρ(θ) Γ est symétrique par rapport à x' O x, étude sur d ∩ IR + .
ρ(– θ) = – ρ(θ)
Γ est symétrique par rapport à y' O y, étude sur d ∩ IR +
ρ(π – θ) = ρ(θ)
Γ est symétrique par rapport à y' O y
ρ(π – θ) = – ρ(θ)
Γ est symétrique par rapport à x' O x
3- Préciser la tangente en M(θ) lorsque
a) ρ(θ) = 0 C'est la droite passant par O et de vecteur directeur u( θ)
b) ρ(θ) ≠ 0 et ρ'(θ) = 0 C'est la droite passant par M(θ) et orthogonale à (O M(θ))
c) Comment peut-on étudier les points à tangente horizontale ?
• Si ρ(k π) = 0, la tangente est horizontale en O.
• Si ρ'(π/2 + k π) = 0 et ρ(π/2 + k π) ≠ 0, la tangente est horizontale au point de paramètre π/2 + k π.
ρ(
θ)
• Sinon, on détermine tan V = (V est une mesure modulo π de l'angle entre la droite (OM(θ)) et la tangente en M(θ),
ρ'(
θ)
donc V + θ est une mesure modulo π de l'angle entre x' O x et la tangente en M(θ).
Les points à tangente horizontale sont les points tels que tan V = – tan θ.
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d) Déterminer les points à tangente horizontale dans le cas de la cardioïde ρ = a(1 + cos θ) .
ρ(θ) = 0 ⇔ θ = π + 2 k π. La tangente est horizontale au pôle.
ρ'(π/2 + k π) ≠ 0.
ρ( θ)
1+ cos( θ)
1+ cos( θ)
−sin( θ)
tan V = = , tan V = – tan θ ⇔ = ⇔ cos θ + cos² θ = sin² θ ⇔ cos θ + cos² θ = 1 – cos² θ
ρ'( θ)
−sin( θ)
−sin( θ)
cos( θ)
⇔ 2 cos² θ + cos θ – 1 = 0 ⇔ (2 cos θ – 1)(cos θ + 1) = 0 ⇔ cos θ = ½
Il s'agit donc des points de paramètre θ = π/3 et – π/3 (modulo 2 π).
4- Tracer la courbe dont le tableau de variations est donné ci-dessous sachant que ρ est 2π- périodique et
ρ(– θ) = ρ(θ)
θ 0 π/2 2 π/3 π
ρ'(θ) 0 – 0
ρ(θ) 3
1
0
– 1
symétrie de la courbe :
par rapport à x' O x
préciser en particulier la tangente au point de
paramètre :
0
2 π /3
π
tangente verticale
de vecteur directeur u(2 π / 3)
tangente verticale
(il s'agissait de la courbe d'équation polaire ρ = 1 + 2 cos θ).
5- Comment étudier la branche infinie de la courbe d'équation polaire ρ = f(θ) lorsque
On forme Y(θ) = f(θ) sin(θ – θ0).
Si lim
θ→θ Y(θ) = a ∈ IR, la droite d'équation Y = a dans le repère ℛ θ est asymptote à la courbe.
0
0
On étudie la position par rapport à l'asymptote en étudiant le signe de Y(θ) – a.
en particulier si Γ admet une asymptote, en préciser l'équation dans le repère (O, i , j ).
avec les notations précédentes, si
graphe.
lim f(θ) = ∞ .
θ→θ0 lim
θ→θ0 Y(θ) = a ∈ IR, la droite d'équation y sin(θ0) – x cos(θ0) = a est asymptote au
5- Étude de la branche infinie de la courbe d'équation polaire ρ =
Y(θ) = ρ(θ) sin(θ) = 1 + cos θ,
lim
θ→0
1 + cos( θ)
lorsque θ tend vers 0
sin( θ)
Y(θ) = 2, la droite d'équation Y = 2 dans le repère ℛ(O, u (0) , v (0) ) = (O, i , j ).
Comme Y(θ) ≤ 2, la courbe est située à gauche de l'asymptote.
On peut aussi raisonner ainsi :
Les coordonnées cartésiennes de M(θ) sont x(θ) = ρ(θ) cos(θ) et y(θ) = ρ(θ) sin θ = 1 + cos θ.
lim y(θ) = 2 et lim x(θ) = +∞ et lim x(θ) = – ∞.
θ→0
θ→ 0+
θ→0− La courbe admet pour asymptote la droite d'équation y = 2, et comme y(θ) ≤ 2, la courbe est située sous l'asymptote.
6- Reconnaître les courbes d'équations polaires :
• ρ = a il s'agit du cercle de centre o et de rayon |a|.
p
• ρ =
1+ ecos
θ
il s'agit de la conique de foyer O, d'excentricité e, et de directrice d d'équation x = p / e.
1
En particulier équation cartésienne de la courbe d'équation polaire ρ =
1+
cosθ
il s'agit d'une parabole de sommet S (1/2 , 0) (obtenu pour θ = 0) et
sin² θ 1−
cos θ 1+ cosθ 2cos
θ
y² =
= = − = 1 – 2 x.
( 1+ cos θ )² 1+
cos θ 1+ cosθ 1+
cos θ
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• ρ = 2 a cos θ x = 2 a cos² θ = a(1 + cos(2 θ)) et y = 2 a sin θ cos θ = a sin (2 θ) ⇔ (x – a)² + y² = a²
il s'agit du cercle de centre (a , 0) et de rayon |a|
III- COURBE IMPLICITE
Soit une courbe de classe C 1 d'équation f(x , y) = 0 et A(a , b) un point de cette courbe. Dans quel cas, peut-on
affirmer que la courbe est régulière en A ? Dans ce cas, donner une équation de la tangente en (a , b).
La fonction f étant supposée de classe C 1 sur un ouvert U contenant Γ, si de plus grad f(a , b) ≠ 0, la courbe est régulière
en A, la tangente est la droite passant par A et orthogonale à grad f(a , b). Elle a pour équation
(x – a) ∂ f
( a, b)
+ (y – b)
∂ x
∂ f
( a, b)
= 0.
∂ y
IV- CONIQUES
1- Ellipse
x² y²
équation réduite +
a² b ²
= 1 où a > b > 0
paramétrage x = a cos(t) , y = b sin(t)
équation de la tangente en (x0 , y0)
x0x y 0y
+ = 1
a² b ²
sommets du grand axe A(a , 0) et A'(– a , 0)
sommets du petit axe B(0 , b) et B'(0 , – b)
foyers F(c , 0) et F'(– c , 0) avec c = a² − b ²
directrices associées
a²
a²
x = et x = –
c c
excentricité e = c
a .
2- Hyperbole
équation réduite
x² y²
− = 1 avec a > 0 et b > 0
a² b ²
paramétrage x = ε a ch(t) et y = b sh(t) où t ∈ IR et ε = ± 1
équation de la tangente en (x0 , y0)
x0x y0y − = 1
a² b ²
sommets A(a , 0) et A'(-a , 0)
asymptotes y = b x
a et y = – b x
a
foyers F(c , 0) et F'(- c , 0) avec c = a² + b ²
directrices associées
a²
²
x = et x = –
c a
c
excentricité e = c
a
3- Parabole
équation réduite y² = 2 p x (p > 0)
paramétrage y = t et x = t² /(2 p)
équation de la tangente en (x0 , y0) y y0 = p(x + x0)
sommet du grand axe (0 , 0)
foyer et directrice associée (½ p , 0) et droite d'équation x = – ½ p
excentricité 1
4- Définition monofocale d'une conique
Soit F un point donné et d une droite ne passant pas par F, soit e un réel strictement positif.
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d( M, F)
Il s'agit de l'ensemble des points M tels que = e .
d( M, d)
5- Définition bifocale d'une ellipse
Soient F et F' deux points distincts, c'est l'ensemble des points vérifiant M F + M F ' = 2 a où 0 < c < a et d(F , F ') = 2 c.
6- Définition bifocale d'une hyperbole
Soient F et F' deux points distincts, c'est l'ensemble des points vérifiant |M F – M F'| = 2 a où 0 < a < c et d(F , F ') = 2 c.
7- Méthode de réduction de la courbe d'équation a x² + 2 b x y + c y² + 2 d x + 2 e y + f = 0.
a) recherche d'un centre de symétrie lorsque b² – a c ≠ 0
Si l'on note g(x , y) = a x² + 2 b x y + c y² + 2 d x + 2 e y + f , il s'agit du point obtenu lorsque a c – b² ≠ 0 en écrivant que
grad g(x , y) = 0.
b) obtention d'une équation réduite. On note F(x , y) = a x² + 2 b x y + c y² + 2 d x + 2 e y + f.
⎛a b⎞
On introduit A = ⎜ ⎟ , on détermine les valeurs propres de A.
⎝b c ⎠
• Si A est inversible (soit si les valeurs propres sont non nulles), on détermine le centre O' (x0 , y0) de c.
Dans le repère ℛ' (O' , i , j ), c a pour équation t X ' A X ' + F(x0 , y0) = 0
▪ si det(A) > 0, on note λ et µ les valeurs propres avec |λ| < |µ|
▪ si det(A) > 0, on note λ la valeur propre de signe opposé à F(x0 , y0).
λ étant ainsi choisi, on détermine un vecteur u unitaire propre associé à la valeur propre λ.
On introduit une base orthonormale directe ( u , v ) et P la matrice de passage de la base canonique à cette base.
Alors A = P D t P avec D = diag(λ , µ).
En posant X' = t P X, l'équation s'écrit t X' D X' + F(x0 , y0) = 0 soit λ x'² + µ y'² + F(x0 , y0) = 0.
• Si det(A) = 0, on note λ = 0. On détermine un vecteur u unitaire propre associé à la valeur propre λ.
On introduit une base orthonormale directe ( u , v ) et P la matrice de passage de la base canonique à cette base.
Alors A = P D t P avec D = diag(0 , µ).
Puis en notant l'équation sous la forme t X A X + 2 L X + f = 0 avec L = (d , e), on obtient en posant X' = t P X ⇔ X = P X'.
t X' D X' + 2 L P X' + f = 0 ⇔ µ y'² + a' x' + b' y' + f = 0
On termine par un changement d'origine.
c) nature de la conique lorsqu'elle n'est pas dégénérée
si a c – b² > 0, on obtient une ellipse , si a c – b² < 0, on obtient une hyperbole , si a c – b² = 0, on obtient une
parabole.
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