Logique des relations - Index of

Logique des relations
Aurélien Bénel
Systèmes d'information, management des connaissances
et communication, Bureau T107
aurelien.benel @ utt.fr
Outils mathématiques pour la modélisation, Université de technologie de Troyes, Automne 2007

Logique des relations
� II°s.
� Galien (Pergame)
� XVII°-XVIII°s.
� Leibniz (Leibzig)
� Fin XIX° s.
� De Morgan (Inde, Cambridge GB, Londres)
� Peirce (Cambridge US)
� Peano (Piémont)
� Fin XX°s
� John F. Sowa (Cambridge US)
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Premiers pas vers des « syllogismes de la relation »
(Galien, II° s. ap. J.C.)
« Sophronisque est le père de Socrate,
donc Socrate est le fils de Sophronisque »
« Théon possède deux fois plus que Dion,
Philon deux fois plus que Théon,
Donc Philon possède quatre fois plus que Dion »
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Pour sauver les ensembles… (Leibniz, XVII°-XVIII°)
« Pâris aime Hélène»
« Pâris EST amoureux d’Hélène »
« Pâris EST amant
EN TANT QU’Hélène EST aimée »
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Propriétés des relations (De Morgan, 1860)
RELATION
est égal à
est plus grand que
est cause de
est le père de
…
TRANSI
TIVE ?
X
X
X
RELATION
CONVERSE
est égal à
est plus petit que
est conséquence de
est l’enfant de
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Propositions (De Morgan , 1860)
Soit L la relation « aime »
et M la relation « est le maître de »
� X aime Y
� X..LY
� X est aimé de Y
� X..L -1 Y
� X n’aime pas Y
� X..lY
� X aime le maître de Y
� X..LMY
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Quelques syllogismes de la relation (De Morgan, 1860)
� X..LY
� Y..MZ
� X..LMZ
� Y..LX
� Y..mZ
� X..L -1 mZ
� X..lY
� Z..MY
� X..lM -1 Z
� Y..lX
� Z..mY
� X..l -1 m -1 Z
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Quand la sémiotique s’en mêle (Peirce)
« une pensée mathématique, c’est-à-dire diagrammatique ou iconique »
« la déduction consiste à construire une icône ou un diagramme
dont les relations entre les parties présentent une analogie complète
avec les relations entre les parties de l’objet de raisonnement, puis à
expérimenter sur cette image dans l’imagination, et à observer le
résultat, de façon à découvrir entre les parties des relations jusque-là
inaperçues. »
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Au delà de De Morgan et de Boole (Peirce, 1880-1885)
� Au delà de De Morgan…
� i achète j à k
� a ijk
� Au delà de Boole…
� cat a cat b cat c …
� ∏ i cat i
� Pour tout i, i est un chat
� cat a + cat b + cat c + …
� ∑ i cat i
� Il existe i, tel que i est un chat
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Pour axiomatiser l’arithmétique… (Peano, 1889)
� Nécessité de distinguer les opérateurs
� Il existe i
� (∃i) Aujourd’hui : (∃i)
� Pour tout i
� (i) Aujourd’hui : (∀i)
� a a pour conséquence b
� a ⊃ b Aujourd’hui : a → b
� a ou b
� a ∪ b Aujourd’hui : a ∨ b
� a et b
� a ∩ b Aujourd’hui : a ∧ b
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Graphes relationnels (Peirce ,1882)
est un Stagirite
est le précepteur de
est un disciple de
est un opposant de
est un Macédonien
conquiert le Monde
est un philosophe admiré
par les Pères de l’Eglise
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Puissant, mais…
� Besoin de bien connaître la logique formelle
pour interpréter :
� Les quantificateurs universels
� Les implications
� L’essence comme un prédicat ordinaire
(est_un_animal, est_un_mammifère…).
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Graphes conceptuels (J. F. Sowa, 1976-1984)
Animal
Allaite
Géniteur de
Implique
Mammifère
T
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Graphes conceptuels (J. F. Sowa, 1976-1984)
Stagirite: #1
Opposant de
Disciple de
Précepteur de
Macédonien: #2
Philosophe admiré par les Pères de l’Église: #3
Conquérant du Monde
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Graphes conceptuels (J. F. Sowa, 1976-1984)
Stagirite: Aristote
Opposant de
Disciple de
Précepteur de
Philosophe admiré par les Pères de l’Église: Platon
Conquérant du Monde
Macédonien: Alexandre le Grand
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Application à la recherche de documents
(Mechkour et al., 1995 ; Martin, 1996 ; Genest, 2000)
Chaque livre est indexé par un graphe conceptuel
Timbres amphoriques thasiens
Timbre
Sur
Amphore
Trouvé dans
Île : Thasos
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Application à la recherche de documents
(Mechkour et al., 1995 ; Martin, 1996 ; Genest, 2000)
Chaque requête prend la forme d’un graphe conceptuel
Qu’avez-vous sur les découvertes
archéologiques en Grèce ?
Vestige Trouvé dans Pays : Grèce
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Application à la recherche de documents
(Mechkour et al., 1995 ; Martin, 1996 ; Genest, 2000)
Les « autorités » prennent la forme d’un ensemble de graphes conceptuels
Pays : Grèce
Partie de
Île : Thasos
Vestige
Subsume
Timbre
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En résumé
� Galien : Exemples de syllogismes de la relation
� De Morgan : Syllogismes de la relation
� Peirce : Relations plurales, Quantificateurs
� Peano : Opérateurs spécifiques
� Logique des prédicats
� Peirce : Graphes relationnels
� Peirce : Graphes existentiels
� Sowa : Graphes conceptuels
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Pour aller plus loin…
� BLANCHÉ R., La logique et son histoire, Paris : Armand
Colin, 2002. (Note : Edition originale publiée en 1970, revue et
complétée en 1996).
� SOWA J.F., Knowledge Representation: Logical,
Philosophical and Computational Foundations, Pacific
Grove: Brooks/Cole, 2000.
� SOWA J.F., Semantic networks, In: L. Nadel (Ed.),
Encyclopedia of cognitive science, Mac Millan, 2002.
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