Percolation de premier passage et Coloriages ... - Normalesup.org

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Chapitre 1 Percolation de premier passage Nous dénissons au cours de ce chapitre le modèle de percolation de premier passage sur Z d , d ≥ 2, faisons le lien avec celui des coloriages aléatoires, et démontrons les théorèmes généraux d'existence des constantes de temps et de forme asymptotique. Nous nissons ce chapitre en donnant (sans démonstration) le théorème de continuité de la constante de temps dans le cas standard. 1.1 Modèle général La percolation de premier passage a été introduite en 1965 par J. M. Hammersley et D. J. A. Welsh pour modéliser la propagation d'un uide à travers un matériau poreux. Le matériau est modélisé par un graphe dont les arêtes nécessitent plus ou moins de temps pour être traversées par le uide. Deux questions se posent alors : Quand un sommet donné sera-t-il atteint? et Comment évolue la zone imprégnée?. Ici, on considère le graphe (Z d , E d ) dont les sommets sont les points de Z d et dont l'ensemble d'arêtes est E d := { (u, v) ∈ Z d × Z d ; |u − v| = 1 } , où | · | est la norme 1 de R d (pour x = (x 1 , x 2 , . . . , x d ) ∈ R d , |x| := ∑ d i=1 |x i|). Le cas d = 1 ne présentant pas beaucoup d'intérêt, on ne considérera dans ce rapport que le cas d ≥ 2. À chaque arête e ∈ E d , on associe un temps aléatoire positif t(e), appelé temps d'arête, qui représente le temps mis par le uide pour la traverser. Dénition 1.1.1 Soient u et v deux points de Z d . Un chemin de u à v est une suite (e 1 , e 2 , . . . , e n ) d'arêtes telle que u ∈ e 1 , v ∈ e n , et pour tout i ∈ 1, n − 1, e i et e i+1 ont (au moins) un sommet en commun. Si Γ est un chemin de u à v, on note u Γ v. v u v u Figure 1.1 Représentation de u Γ v et exemple de chemin non auto-évitant 2
Dénition 1.1.2 Un chemin (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est dit auto-évitant si : pour tout 1 ≤ i ≤ n − 1, e i et e i+1 n'ont qu'un sommet en commun, pour 1 ≤ i ≤ n − 2 et 3 ≤ j ≤ n tels que |j − i| > 1, e i et e j n'ont aucun sommet en commun. Si Γ est un chemin auto-évitant de u à v, on notera u v. Soit Γ = (e 1 , e 2 , . . . , e n ) un chemin, on lui associe le temps de passage T (Γ) := Γ ⌢ n∑ t(e i ), qui représente le temps mis par le uide pour parcourir ce chemin. Enn, pour u et v des points de Z d , on dénit le temps de voyage de u à v par i=1 T (u, v) := inf T (Γ) = inf uv Γ Γ ⌢ uv T (Γ). C'est le temps nécessaire au uide pour se propager de u à v. Dénition 1.1.3 Si un chemin u Γ v vérie on dit que c'est une route de u à v. T (Γ) = T (u, v), Pour simplier certains résultats, on étend la notion de temps de voyage à R d tout entier. Pour cela, on associe de façon déterministe à tout point x ∈ R d un point x ∗ ∈ Z d qui minimise la distance |x − x ∗ |. En d'autres termes, on associe à x le point de Z d le plus proche, avec des règles déterministes pour départager en cas d'égalité. Ensuite, on dénit naturellement, pour x, y ∈ R d , T (x, y) := T (x ∗ , y ∗ ). On a alors la proposition suivante, simple mais très utile. Proposition 1.1.4 (Inégalité triangulaire) Quels que soient x, y, z dans R d , on a l'inégalité : Preuve. On a T (x, z) ≤ T (x, y) + T (y, z). T (x, z) = T (x ∗ , z ∗ ) = inf {T } (Γ) | x ∗ Γ z ∗ { ≤ inf T (Γ) | x ∗ = inf } Γ z ∗ , y ∗ ∈ Γ { } T (Γ 1 · Γ 2 ) | x ∗ Γ 1 y ∗ , y ∗ Γ 2 z ∗ { } = inf T (Γ 1 ) + T (Γ 2 ) | x ∗ Γ 1 y ∗ , y ∗ Γ 2 z ∗ { } { } = inf T (Γ 1 ) | x ∗ Γ 1 y ∗ + inf T (Γ 2 ) | y ∗ Γ 2 z ∗ = T (x ∗ , y ∗ ) + T (y ∗ , z ∗ ) = T (x, y) + T (y, z), où on a noté Γ 1 · Γ 2 la concaténation des chemins Γ 1 et Γ 2 , c'est-à-dire que si Γ 1 = (e 1 , . . . , e k ), Γ 2 = (f 1 , . . . , f l ), alors Γ 1 · Γ 2 := (e 1 , . . . , e k , f 1 , . . . , f l ). Bien sûr, Γ 1 · Γ 2 ne peut exister que s'il existe u, v, w ∈ Z d tels que u Γ 1 v et v Γ 2 w comme c'est le cas ici. □ 3
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