Les Olympiades Suisses de Mathématiques - Schweizer Mathematik ...

Les Olympiades Suisses
de Mathématiques
Bulletin Annuel 2008

Contact
Olympiades Suisses de Mathématiques
Daniel Sprecher
Geibelstrasse 47
8037 Zürich
daniel@imosuisse.ch
079 795 0416
www.imosuisse.ch

Editorial
Ma troisième année en tant que président
d’imosuisse, l’association responsable
de l’organisation des Olympiades
Suisses de Mathématiques (OSM), vient
de toucher à sa fin. Le système de compétition
à trois tours que nous avons
introduit en 2003-04 continue à faire
ses preuves. Nous donnons à un public
composé d’élèves motivés un premier
aperçu de nombreux domaines
exigeants des mathématiques et nous
proposons aux plus talentueux d’entre
eux un programme intéressant et instructif.
Un de nos points forts est la préparation
très personnelle de nos participants
aux compétitions internationales.
Je suis convaincu qu’avec ceci l’OSM
a une place solide dans le paysage suisse
et qu’elle remplit une tâche importante
puisque la promotion des élèves
doués en mathématiques n’est que peu
assurée.
Il est venu pour moi le temps de laisser
ma place à un successeur. Il existe
encore beaucoup de domaines où de
nouvelles idées seront les bienvenues
pour continuer à faire avancer l’OSM.
L’élection du nouveau président aura lieu
Contenu
4 Olympiades Suisses de Mathématiques
13 Sélection OIM
en janvier 2009 et Julian Kellerhals va s’y
présenter en tant que candidat proposé
par le comité. Depuis 2002, l’année où il
a réussi de se qualifier pour l’OIM lors de
sa toute première tentative, il participe
de près aux activités de l’association.
Je suis d’avis qu’en tant que président il
va également faire preuve de beaucoup
de talent.
Je profite de l’occasion pour remercier
chaleureusement au nom du comité
toutes les personnes qui nous ont apporté
leur aide au cours de l’année, en
particulier Claudia Appenzeller, Rahel
Gimmel, Oliver Prosperi, Andreas Steiger,
Petra Tappe, Prof. Anna Beliakova,
ainsi que les autres membres de notre
association Nicla Bernasconi, Dima
Nikolenkov, Rafael Guglielmetti, Tobias
Krähenmann, Tu Nguyen, Lorenz Reichel
et Elias Weber. Leur engagement a été un
ingrédient essentiel à la réalisation de la
dernière édition de l’OSM.
17 Olympiades Internationales de Mathématiques
24 Olympiades Mathématiques d’Europe Centrale
30 Organisation
34 Perspectives pour l‘OSM 2009
Daniel Sprecher

Qu’est-ce que l’OSM?
L‘OSM (Olympiades Suisses de Mathématiques)
est un concours pour les
gymnasiens âgés de moins de 20 ans.
Il s‘adresse à des élèves talentueux qui
cherchent des défis supplémentaires en
dehors de la matière scolaire. Aux séances
de préparation et lors du camp, les
participants abordent de nouveaux sujets
et s‘exercent à élaborer des preuves par
eux-mêmes. Ceci leur permet de découvrir
leurs limites d‘une manière peu connue
au gymnase. A l‘OSM, on décerne
des prix au niveau national et six se
qualifient pour les Olympiades Internationales
de Mathématiques (OIM) et six
autres pour les Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale (OMEC).
Pour les séances d‘entraînement et pour
les tests, nous posons des exercices
concernant l‘algèbre, la géométrie, la
combinatoire et la théorie des nombres.
Nous choisissons surtout des exercices
qui nécessitent peu de connaissances
mais plutôt de bonnes idées et une
grande habilité mathématique. Pour résoudre
un exercice il faut être créatif,
courageux et ouvert à toute sorte de solution.
Ce sont des capacités extrêmement
utiles en mathématiques et dans
beaucoup d‘autres branches.
Notre objectif principal est d‘arriver
au meilleur résultat possible lors de
l‘OIM. C‘est dans cette optique que
nous avons mis sur pied un concours
national au cours de ces dernières années.
Il est très important pour nous
d‘encourager les jeunes talents mathématiques.
Nous aimerions leur donner
la possibilité d‘exploiter leurs capacités
et de les mesurer au niveau national et
international. De plus, il s‘agit pour eux
d‘une occasion unique de rencontrer
beaucoup d‘autres jeunes avec qui partager
le plaisir des mathématiques.
Olympiades Suisses de Mathématiques

Olympiades Suisses de Mathématiques
Le déroulement
Le tour préliminaire: Le tour préliminaire
consiste en deux rencontres de
préparation qui ont lieu en parallèle à
Lausanne et à Zurich jusqu‘à mi-décembre.
Lors de ces rencontres, les participants
voient des introductions à quatre
sujets différents. On leur présente des
exemples intéressants et ils ont aussi
l‘occasion de résoudre des problèmes
par eux-mêmes. Mi-janvier il y a un examen
préliminaire et les 25 meilleurs participants
se qualifient pour le tour final.
Le tour final: Les 25 finalistes du tour final
participent à un week-end de mathématiques
où ils apprennent à mieux se
connaître et résolvent des exercices en
groupes. Une seconde réunion sert de
préparation au camp d‘une semaine qui
se déroule en mars. Celui-ci constitue
l‘apothéose de l‘OSM et il se termine par
l‘examen du tour final.
La journée OSM: Peu après le camp a
lieu la remise des médailles de l‘OSM
à l‘EPFZ. Les 25 finalistes reçoivent un
certificat et les douze meilleurs du tour
final se voient décerner des médailles.
La manifestation est complétée par un
exposé intéressant après que quelques
participants présentent leurs solutions
d‘exercices OSM devant l‘assemblée.
La sélection OIM: La sélection des six
membres de l’équipe suisse se fait parmi
ceux qui ont passé avec succès le cap
du tour final de l’OSM. Certains thèmes
sont alors approfondis afin d’optimiser
leur préparation pour l’OIM. Les examens
de sélection se déroulent dans
le style des examens de l‘OIM. Ils permettent
également de déterminer quelles
seront les six participants qui représenteront
la Suisse aux Olympiades Mathématiques
de l’Europe Centrale.

Par Elias Weber
Elias a participé à l’OSM
en 2006 et il organise
désormais la partie
nationale du concours
Das SMO-Lager 2008
Eine knappe Woche vor dem Lager
klingelte bei mir das Telefon und Daniel
fragte mich kurzfristig, ob ich die
„Lagerleitung“ übernehmen wolle, da
er montags bis mittwochs abwesend sei.
Nach kürzerem Zögern und Abwägen,
ob da nicht zu viel Verantwortung auf mir
lastet, sagte ich zu. Meine Aufgabe war
es, in diesen Tagen ein bisschen Chef zu
spielen und zu schauen, dass das Lager
wunschgemäss abläuft.
Da organisatorisch alles schon von
Daniel vorbereitet worden war und mir
Lorenz als erfahrener SMOler zur Seite
stand, hatte ich diesbezüglich nicht viel
zu tun. Ebenso hatte Thomas akademisch
alles im Griff. Es lief rund im Leiterteam:
Der Unterricht - nach gleichem Lehrplan
wie in den Vorjahren - war abwechslungsreich,
da jeder Leiter irgendetwas
unterrichten durfte und auch wollte.
Prüfungsaufgaben wurden reichlich erfunden
und von den anderen Leitern
darauf fleissig gelöst. Die Durchführung
und Korrektur der Prüfungen lief ebenso
reibungslos ab.
Von Sonntag Nachmittag bis Donnerstag
Morgen war Unterrichtszeit. Wir
unterrichteten jeweils von neun bis zwölf
und von 14 bis 18 Uhr. Der Donnerstag
Nachmittag war frei und am Freitag und
Samstag fanden die beiden vier Stunden
dauernden SMO-Prüfungen statt.
Mathematisch gesehen waren die Teilnehmer
mindestens so motiviert, wie
man es von Mathematikolympiadeteilnehmern
erwarten darf. Das obligatorische
Programm war ziemlich voll und
fordernd, daher war es verständlich,
dass sie am Abend zu einem grossen
Teil lieber eine Runde Tichu oder Tabu
spielten, als weiter zu lernen. Allerdings
fanden sich immer wieder einige Mathematikhungrige
bis spät in die Nacht beim
Aufgabentüfteln im Seminarraum.
Ulrich präsentiert unter dem prüfenden
Blick von Markus seine Lösung
Bei den Prüfungen konnten sich die
Favoriten durchsetzten: Dimitri Wyss und
Eben Freeman sicherten sich als letztjährige
IMO-Teilnehmer die beiden Goldmedaillen
mit 45 beziehungsweise 42
Olympiades Suisses de Mathématiques

Olympiades Suisses de Mathématiques
von 70 möglichen Punkten. Allerdings
konnten sich auch neue Qualifikanten
beweisen; so sicherte sich beispielsweise
Clemens Pohle eine gute Silbermedaille.
Notwendig für eine Bronzemedaille und
die Qualifikation für die nächste Runde,
waren 28 Punkte, was vier gelösten
Aufgaben (von zehn) entspricht. Dabei
wurde die zweite Prüfung um einiges
besser gelöst als die erste, was aber im
Nachhinein verständlich scheint, da die
Aufgaben der ersten doch etwas schwieriger
ausgefallen waren.
Ich persönlich glaube, dass dies insgesamt
eine durchschnittliche bis gute
SMO-Leistung ist. Allerdings ist es immer
schwierig abzuschätzen, wie eine Prüfung
im Vergleich zu den vorjährigen war.
Was aber absolut bemerkenswert ist, ist
die sehr freundschaftliche und gemütliche
Atmosphäre, die während dem
ganzen Lager geherrscht hat. Niemand
wurde ausgeschlossen und alle kamen
gut miteinander aus. Die gesprächigeren
und älteren Teilnehmer respektierten die
stilleren und jüngeren und integrierten
diese gerne – egal ob bei der Zimmerverteilung,
im Seminarraum, am Esstisch
oder bei den allabendlichen Spielrunden.
Auch das Verhältnis zwischen den
Leitern und den Teilnehmern war sehr
freundschaftlich – die Disziplin und der
Arbeitswille bei dem Ausüben der Ämtli
von Seiten der Teilnehmer war gross.
Das sympatische Küchenteam, bestehend
aus Oli, Tu und Raphael, unterstrich
die gute Atmosphäre mit feinen
Die Warteschlange für das hervorragende
Essen reicht bis zum Gang
und ausgiebigen Mahlzeiten – vom breiten
Frühstücksbuffet über die warmen
Mittag- und Abendessen mit Desserts
bis zu den willkommenen Zwischenverpflegungen
während den Arbeitsphasen,
gab es alles, was sich die Leiter und Teilnehmenden
wünschen konnten.
Ein besonderer Höhepunkt des gelungenen
Lagers war aus meiner Sicht
der Vortrag von Dimitri Wyss über
seine Maturarbeit: „Das Paradoxon
von Banach-Tarsky“. Diesen hielt er
am Dienstag Abend und obwohl das
Zuhören freiwillig war, fanden sich nach
dem Abendessen alle Teilnehmer, alle

anwesenden Leiter und sogar unser
Chefkoch Oli im Seminarraum ein, um
gebannt dem komplizierten aber interessant
vorgetragenen und ziemlich verblüffenden
Thema zuzuhören. Die ganze
Woche war es nie so still wie bei diesem
Vortrag. Dies zeugt einerseits von der
Freundschaft die unter den Teilnehmern
herrschte und andererseits von ihrem
grossen mathematischen Interesse.
In diesem Sinn war es für mich – und so
glaube ich auch für alle anderen Leiter
und Teilnehmer – eine bereichernde
und sehr schöne Woche gewesen. Eine
Woche die wir bestimmt alle in guter
Erinnerung behalten werden.
Ein entsprechend freudiges Wiedersehen
gab es dann zwei Wochen später am
SMO-Tag an der ETH Zürich, wo den Teilnehmern
ihre verdienten Medaillen und
Auszeichnungen überreicht wurden. Um
den Gästen auch etwas Mathematisches
bieten zu können, hielt Anna Beliakova
- eine Dozentin der Universität Zürich
- ein sehr engagiertes und interessantes
Gastreferat über die Knotentheorie. Sie
war als Schülerin in Weissrussland selbst
mal Teilnehmerin an einer Mathematikolympiade
und ist seither begeistert von
der Welt der Mathematik. Ich hoffe, dass
auch unsere Olympiade einigen diesen
Weg eröffnen kann!
Gruppenfoto im SMO-Lager im März 2008 in Schönenberg
Olympiades Suisses de Mathématiques

Olympiades Suisses de Mathématiques
OSM - Tour préliminaire
Lausanne, Zurich - 12 janvier 2008
Durée: 3 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
1. Soit cinq diviseurs positifs de 10 2008 donnés. Montrer qu’il y en a toujours deux dont
le produit est un carré.
2. Un chemin dans le plan mène du point (0, 0) au point (6, 6) en se déplaçant à chaque
pas soit de 1 à droite soit de 1 vers le haut. Combien de tels chemins y a-t-il qui ne
passent ni par le point (2, 2) ni par le point (4, 4)?
3. Soit ABCD un quadrilatère inscrit avec CD < AD et CD < BC. Les diagonales AC et
BD s’intersectent en S. Soit e la réflexion de la droite AB à AC et soit f la réflexion
de la droite AB à BD. La droite CD intersecte e et f en E et F , respectivement.
Montrer que le triangle SEF est isocèle.
4. Trouver tous les nombres naturels n tels que le nombre de diviseurs positifs de n est
égal au troisième plus petit diviseur positif de n.
5. Un damier est composé de 2n × 2n cases. Nous voulons colorier n de ces cases de telle
manière à ce qu’il n’y en ait pas deux qui se trouvent dans la même ligne ou dans
des lignes voisines et qu’il n’y en ait pas non plus deux qui se trouvent dans la même
colonne ou dans des colonnes voisines. Combien de manières à procéder y a-t-il?
Eben Freeman de Soleure a obtenu le score maximal de 35 points. Pour une
qualification directe 21 points étaient nécassaires.
Moyenne des points obtenus (70 candidats):
Bonne chance!
Exercice: 1 2 3 4 5 Total
Points: 4.0 2.8 2.3 1.6 1.0 11.6
Les solutions des exercices se trouvent sur www.imosuisse.ch dans les archives.

OSM Tour final 2008
Premier examen - 14 mars OSM Tour final 2008
OSM Tour final 2008
Premier examen - 14 mars 2008
Durée: 4 heures
Premier examen - 14 mars 2008
Chaque exercice vaut 7 points.
Durée: 4 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
Durée: 4 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
1. Soit ABC un triangle avec

11 OSM tour final 2008
Olympiades Suisses de Mathématiques
Deuxième examen - 15 mars 2008
OSM tour final 2008
OSM tour final 2008
Deuxième examen - 15 mars 2008
Durée: 4 heures
Chaque exercice vaut 7 points. Deuxième examen - 15 mars 2008
Durée: 4 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
Durée: 4 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
6. Déterminer tous les nombres naturels impairs de la forme
p + q
6. Déterminer tous les nombres naturels impairs p − q de la forme
6. Déterminer où p > q sont tous desles nombres premiers. naturels impairs p + q de la forme
p +
−
q
7. Un où p rectangle > q sont8×11 des nombres est coupé premiers. en 21 morceaux p − qde telle manière à ce que chaque morceau
soit connexe et constitué de carrés unités. Montrer qu’au moins deux de ces morceaux
où ontp la> même q sontforme, des nombres à rotations premiers. et symétries près.
7. Un rectangle 8×11 est coupé en 21 morceaux de telle manière à ce que chaque morceau
soit connexe et constitué de carrés unités. Montrer qu’au moins deux de ces morceaux
7. 8. Un Soitrectangle ABCDEF 8×11 unest hexagone coupé enayant 21 morceaux un cercledecirconscrit. telle manière Montrer à ce que que chaque les diagonales morceau
ont la même forme, à rotations et symétries près.
soit AD, connexe BE et CF et constitué s’intersectent de carrés en ununités. point Montrer si et seulement qu’au moins si on adeux de ces morceaux
ont la même forme, à rotations et symétries près.
8. Soit ABCDEF un hexagone ayant AB un
BC · CD cercle
DE · EF circonscrit.
F A = 1. Montrer que les diagonales
AD, BE et CF s’intersectent en un point si et seulement si on a
8. Soit ABCDEF un hexagone ayant un cercle circonscrit. Montrer que les diagonales
AD, BE et CF s’intersectent en AB un point
9. On considère sept droites distinctes BC · CD si
dans DE · EF et seulement
leFplan. A = 1.
si on a
AB
Un point est appelé gentil s’il se
trouve sur au moins trois de ces BC droites. · CD
DE · EF
Déterminer F A = 1. le nombre maximal de points
gentils.
9. On considère sept droites distinctes dans le plan. Un point est appelé gentil s’il se
trouve sur au moins trois de ces droites. Déterminer le nombre maximal de points
10. 9. On Trouver considère toutessept les droites paires (α, distinctes β) de nombres dans le plan. réels positifs Un point
gentils.
satisfaisant est appeléles gentil conditions s’il se
trouve suivantes: sur au moins trois de ces droites. Déterminer le nombre maximal de points
gentils.
10. Trouver (a) Pour toutes tous lesnombres paires (α, réels β) positifs de nombres x, y, z, réels w onpositifs a satisfaisant les conditions
suivantes:
10. Trouver toutes les paires (α, β) x + de y 2 nombres + z 3 + wréels 6 ≥ α(xyzw) positifs β satisfaisant . les conditions
suivantes: (a) Pour tous les nombres réels positifs x, y, z, w on a
(b)
(a) Pour
Il existe
tous
un
les
quadruple
nombres
(x,
réels
y, z, w) de nombres réels positifs, tel que dans (a) on a
égalité.
x +
positifs
y 2 + z 3 x,
+
y,
w
z, 6 ≥
w
α(xyzw)
on a β .
Le nombre maximal de points obtenus x était + y 2 45 + z(sur 3 + 70). w 6 ≥Pour α(xyzw) une médaille β . d'or 42, pour une
médaille (b) d'argent Il existe 32, unpour quadruple une médaille (x, y, z, de w) bronze de nombres 28 points réels étaient positifs, nécessaires. tel que dans (a) on a
Moyenne (b) des Il
égalité.
existe points un obtenus quadruple (25 candidats): (x, y, z, w) de nombres réels positifs, tel que dans (a) on a
égalité.
Exercice: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Points: 3.8 2.3 3.0 0.8 0.1 5.9 5.1 3.0 2.1 0.5 26.5
Les solutions des exercices se trouvent sur www.imosuisse.ch dans les archives.

Les résultats de l‘OSM 2008
Dans le tableau se trouvent les gagnants de l‘OSM 2008. Nous les félicitons de
leur succès. Le nombre de points correspond à l‘examen du tour final (maximum
de points: 70).
Médaille Nom Ecole Points
Or Dimitri Wyss Kantonsschule Solothurn 45
Eben Freeman Hohe Promenade, Zürich 42
Argent Raphael Steiner Gymnasium Laufen 40
Clemens Pohle Kantonsschule Wettingen 36
Bernhard Brodowsky Kantonsschule Schaffhausen 35
Georg Balmer Kollegium Spiritus Sanctus Brig 32
Bronze Hrvoje Dujmovic Kantonsschule Wettingen 32
Johannes Josi Gymnasium Kirchenfeld, Bern 32
Cyril Lagger Collège de l‘Abbaye, Saint-Maurice 31
Lucas Dahinden KS Zürcher Oberland, Wetzikon 30
Michael Liu Kantonsschule Baden 29
Pascal Wild Kantonsschule Wettingen 28
Les treize élèves suivants se sont également qualifiés pour le tour final:
Jürg Bachmann
Ulrich Brodowsky
Lukas Brun
Titus Cieslewski
Adrien de Gottrau
Marina Ernst
Patrizia Hählen
Levy Jäger
Raphael Schumacher
Louis Soares Correia
Pascal Su
Christian Weymann
Philipp Wirth
KS Zürcher Oberland, Wetzikon
Sekundarschule Gega, Schaffhausen
Kantonsschule Alpenquai, Luzern
Kollegium Spiritus Sanctus Brig
Collège Sainte Croix, Fribourg
Kantonsschule Im Lee, Winterthur
Gymnasium Thun-Schadau
Stiftsschule Einsiedeln
KS am Burggraben, St. Gallen
Kantonsschule Reussbühl
Alte Kantonsschule Aarau
Collège de Genève
Gymnasium St. Antonius, Appenzell
Olympiades Suisses de Mathématiques
12

13 Sélection OIM
Préparations à la sélection OIM
Moins de deux semaines se sont écoulées depuis la journée OSM quand nous
avons retrouvé les médaillés du tour final. Le 11 et 25 avril, ainsi que le 9 mai le
but des rencontres se déroulant à l’ETH Zurich était de préparer les participants aux
quatre derniers tests de sélection. Le 25 mai le suspense a finalement touché à sa
fin: à la fin de la quatrième épreuve, les noms de ceux qui allaient représenter la
suisse aux Olympiades Internationales et aux Olympiades de l’Europe Centrale ont
été révélés.
Les candidats pour la sélection OIM (de g. à d.)
A l‘arrière plan : Bernhard Brodowsky, Eben Freeman, Georg Balmer,
Cyril Lagger et Florian Meier (LIE)
Au deuxième rang : Pascal Su, Jürg Bachmann, Hrvoje Dujmovic,
Clemens Pohle et Johannes Josi
Au premier rang : Ricarda Gassner (LIE), Lucas Dahinden, Dimitri
Wyss, Titus Cieslewski et Raphael Steiner
Pas sur la photo : Michael Liu et Pascal Wild

Sélection OIM 2008
Sélection
Sélection
OIM
OIM
2008
2007
Zurich - 17/18 mai et 24/25 mai
Zurich - 5/6 mai et Lausanne - 19/20 mai
Zurich - 17/18 mai et 24/25 mai
Durée: 4.5 heures à chaque jour
Chaque Durée: 4.5 exercice heures vaut à chaque 7 points. jour
Durée: Chaque4.5 exercice heuresvaut à chaque 7 points. jour
Chaque exercice vaut 7 points.
Premier jour, le 17 mai 2008
Premier jour, le 5 mai 2007
Premier 1. Trouver jour, tous les triples 17 mai (a, b, 2008
c) de nombres naturels tels que
1. Soit ABCD un trapèze avec AB CD et AB > CD. Les points K et L se trouvent
1. Trouver sur le côté tous AB, les respectivement triples a (a, | bc b, −c) 1, de CDnombres tels b | ca que −naturels 1, AK/KB c tels | ab = que
−DL/LC. 1. Les points P et Q
se trouvent sur le segment KL tels que
2. Soient m, n des nombres
a ∠AP B
naturels.
| bc − 1,
= ∠BCD
Considérons
b | ca − 1,
et
une
∠CQD
grille
c | ab
=
quadratique
− 1.
∠ABC.
de points, composée
de (2m + 1) × (2n + 1) points dans le plan. Un ensemble de rectangles s’appelle
2. bon Soient Montrer si les m, que n conditions des lesnombres points suivantes P, naturels. Q, B sont et CConsidérons satisfaites sont sur le : une même grille cercle. quadratique de points, composée
de (2m + 1) × (2n + 1) points dans le plan. Un ensemble de rectangles s’appelle
2. bon Déterminer (a) si Les les sommets conditions les deux suivantes chaque plus petits rectangle sont nombres satisfaites se trouvent naturels :
sur que lesl’on points peut deécrire la grille sous et les la forme
côtés
7m 2 − sont 11n parallèles 2 avec m aux et n côtés des nombres de la grille. naturels.
(a) Les sommets de chaque rectangle se trouvent sur les points de la grille et les côtés
3. On (b) appelle Il n’y adeux pas deux personnes rectangles un couple ayantd’amis un sommet si elles commun.
sont parallèles aux côtés de la grille.
se connaissent entre elles et on
les appelle un couple d’inconnus si elles ne se connaissent pas (se connaître ou ne pas
Déterminer (b) Il n’y alapas plus deux grande rectangles valeurayant que laun sommet des commun. aires des rectangles se trouvant
dans
se connaître un bon
ne ensemble
peut être peut
que prendre.
mutuel). Soient m, n des nombres naturels. Trouver le
Déterminer plus petit nombre la plusnaturel grandekvaleur satisfaisant que la lasomme propriété dessuivante aires des: dans rectangles chaque segroupe trouvant de
3. Soit dans k personnes ABC un bon unil ensemble existe triangle toujours peut avec prendre.
∠ABC 2m personnes = ∠BCA. formant Le cercle m couples inscritdisjoints k du triangle d’amis, ABC ou il
est existe tangente 2n personnes aux côtés formant BC, CA n couples resp. AB disjoints aux points d’inconnus.
D, E resp. F . Le segment AD
3. Soit coupeABC k uneun deuxième triangle fois avec en∠ABC P . Soit = Q∠BCA. le pointLe d’intersection cercle inscrit dek EF du triangle avec la droite ABC
est Deuxième perpendiculaire tangente aux
jour, àcôtés leAD 6 mai passant BC, CA
2007 par resp. P . AB Soitaux X, resp. pointsY D, le Epoint resp. d’intersection F . Le segment de AD AQ
avec coupe DE, k une resp. deuxième DF . Montrer fois en que P . Soit A estQ le le milieu point du d’intersection segment XY de . EF avec la droite
4. perpendiculaire Un couple (r, s) de à AD nombres passant naturels par P est . Soit appelé X, resp. bon s’il Y existe le point und’intersection polynôme P avec de AQ des
avec coefficients DE, resp. entiers DF et . Montrer des nombres que Aentiers est ledeux milieuà deux du segment distincts XY a 1 ., . . . , a r et b 1 , . . . , b
Deuxième jour, le 18 mai 2008
s
tels que
Deuxième 4. cercles P (a 1 ) jour, k 1 et
= P (ale k 2 2 ) = 18 se coupent . . . mai = P (a2008
en A et en B. Soit r une droite passant par B, coupant
r ) = 2 et P (b 1 ) = P (b 2 ) = . . . = P (b s ) = 5.
k 1 en C et k 2 en D, telle que B se trouve entre C et D. Soit s la droite parallèle à AD
4. Deux qui (a) est Montrer
cercles tangente k
que 1 et à k
pour 2 1
se encoupent tout E etbon qui en
couple seA trouve et en
(r,
B. às) distance Soit
on a
r
r,
une
s minimale ≤
droite
3.
passant de AD. par LaB, droite coupant
AE
coupe k 1 en C k (b) Déterminer 2
etenk 2 F en. Soit D, telle t laque droite B se tangente trouve entre à k tous les bons couples. 2
Cpassant et D. Soit par F s . laMontrer droite parallèle les assertions à AD
suivantes qui est tangente : à k 1 en E et qui se trouve à distance minimale de AD. La droite AE
5.
coupe
Soient
k
n 2 >
en
1
F
et
. Soit
m des
t la
nombres
droite tangente
naturels.
à
Un
k 2 parlement
passant par
est
F
composé
. Montrer
de
les
mn
assertions
députés
suivantes (a) La droite t est parallèle à AC.
qui ont formé
:
2n commissions selon les règles suivantes :
(b) Les droites r, s et t se coupent en un point.
(a) (i) La Chaque droitecommission t est parallèle est àcomposée AC. de m députés.
5. Soient (b) (ii) Les Chaque a, droites b, c des député r, nombres s fait et t partie se réels coupent positifs. d’exactement en un Montrer point. deux l’inégalité commissions. suivante :
(iii) Deux commissions ont toujours au plus un membre commun.
a
b
c
5. Soient a, b,
√
c des nombres réels
+ √
positifs. Montrer
+ √
l’inégalité suivante
≤ √ 1 √ a : + b + c.
Déterminer en 3a
fonction + 2b + c
de n la 3b
plus + 2c
grande + a
valeur 3c + 2a
possible + b
de 2
a
b
c
m qui rend la construction
possible. √ + √ + √ ≤ 1 √
√ a + b + c.
6. Un 2008-gone 3a régulier + 2b + c est découpé 3b + 2c + en a triangles 3c + à 2a l’aide + b de 2005 2 diagonales qui ne
6. s’intersectent Soient a, b, c des pas. nombres Déterminer réels lepositifs nombretels maximal que a + deb triangles + c ≥ abc. isocèles Montrer auquel qu’au onmoins
peut
6. parvenir Un
deux
2008-gone
des dans trois une inégalités
régulier telle est décomposition.
suivantes
découpé
sont
en
justes
triangles
:
à l’aide de 2005 diagonales qui ne
s’intersectent pas. Déterminer
2
a + 3 b + 6 le nombre
c ≥ 6, 2
b + 3 maximal
c + 6 de triangles
a ≥ 6, 2
c + 3 isocèles
a + 6 auquel on peut
parvenir dans une telle décomposition.
b ≥ 6.
Sélection OIM
14

15 Sélection OIM
Troisième jour, le 24 mai 2008
7. Soient a, b des nombres naturels. Montrer que l’on peut colorier les nombres entiers
avec trois couleurs de façon à ce que deux entiers dont la différence vaut a ou b soient
toujours de couleurs différentes.
8. Soit ABC un triangle et D un point sur le segment BC. Soit X un point à l’intérieur
du segment BD et soit Y le point d’intersection de AX avec le cercle circonscrit de
ABC. Soit P le deuxième point d’intersection des cercles circonscrits de ABC et de
DXY . Montrer que P est indépendant du choix de X.
9. Soit R + l’ensemble des nombres réels positifs. Déterminer toutes les fonctions f :
R + → R + telles que pour x, y > 0 on a
Quatrième jour, le 25 mai 2008
f(x + f(y)) = f(x + y) + f(y).
10. Soit P (x) = x 4 − 2x 3 + px + q un polynôme à coefficients réels dont toutes les racines
sont des nombres réels. Montrer que la plus grande racine se trouve dans l’intervalle
[1, 2].
11. Soit A = (a 1 , a 2 , . . . , a n ) une suite de nombres entiers. Le successeur de A est la suite
A = (a 1, a 2, . . . , a n) avec
a k = |{i < k | a i < a k }| − |{i > k | a i > a k }|.
Soit A 0 une suite finie de nombres entiers et pour k ≥ 0 soit A k+1 = A k le successeur
de A k . Montrer qu’il existe un nombre naturel m avec A m = A m+1 .
12. Soient x, y, n des nombres naturels avec x ≥ 3, n ≥ 2 et
x 2 + 5 = y n .
Montrer que tout diviseur p de n satisfait la relation de congruence p ≡ 1 (mod 4).
Le nombre maximal de points obtenus était 56 (sur 84). Pour la qualification 28 points étaient
nécessaires.
Moyenne des points obtenus (15 candidats):
Exercise: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total
Points: 3.7 4.0 0.3 2.9 2.3 1.0 3.7 2.0 0.5 3.4 1.5 0.5 27.0
Les solutions des exercices se trouvent sur www.imosuisse.ch dans les archives.

Les résultats de la sélection OIM
L'équipe à l‘OIM à Madrid (de g. à d.)
Eben Freeman, Michael Liu, Raphael Steiner, Dimitri Wyss, Johannes Josi,
Florian Meier (LIE), Ricarda Gassner (LIE) et Georg Balmer
Rang Nom Localité Points
1. Dimitri Wyss Solothurn SO 56
2. Johannes Josi Unterseen BE 38
3. Raphael Steiner Meltingen SO 37
4. Georg Balmer Visp VS 33
5. Michael Liu Fislisbach AG 30
6. Eben Freeman Männedorf ZH 28
Lors de la sélection aux OMEC la limite d’âge des participants est plus basse d’une
année que pour l’OIM. Les participants suivants se sont qualifiés pour l’OMEC:
Pascal Su
Cyril Lagger
Titus Cieslewski
Hrvoje Dujmovic
Clemens Pohle
Jürg Bachmann
Sélection OIM
16

17
Olympiades Internationales
de Mathématiques
L‘OIM
A l‘OIM plus de 500 élèves venus
d‘environ 90 pays se retrouvent pour résoudre
les exercices du concours, mais
aussi pour vivre ensemble une aventure
formidable. L‘OIM a lieu chaque année
depuis 1959 dans un pays différent. En
juillet 2008 il s’est déroulé à Madrid sur
une durée de presque deux semaines.
Les deux examens ont lieu pendant deux
jours consécutifs et durent chacun quatre
heures et demi. Chaque jour les participants
doivent résoudre trois nouveaux
problèmes. Au plus six élèves par pays
peuvent participer. Les meilleures équipes
viennent souvent de Chine ou des
États-Unis où il y a une longue tradition
des Olympiades nationales.
La moitié des participants gagne une
médaille. Le rapport entre médailles
d‘or, médailles d‘argent et médailles
de bronze est 1:2:3. La suisse participe
depuis 1991 quand Bea Wollenmann
a participé et gagné une medaille de
bronze. Depuis la Suisse a gagné 1 médaille
d‘or, 7 médailles d‘argent et 18
médailles de bronze. Cette année une
médaille d’argent et une médaille de
bronze supplémentaire se sont ajoutées
à la liste.
Scène tirée de la cérémonie d’ouverture de l’OIM 2008 où des élèves
venus de 97 pays différents se sont rencontrés

Par Dimitri Wyss
Dimitri a participé
à l’OIM pour la
deuxième fois
en 2008
Die IMO in Madrid
Für unser Team begann das Abenteuer
IMO schon ein paar Tage vor der eigentlichen
Olympiade, als wir am 11. Juli in
den Flieger Richtung Barcelona stiegen.
Wir waren alle der Ansicht, dass uns ein
bisschen Ablenkung vor den Tests ganz
gut tun würde. In der Tat fühlten wir uns
alle nach drei Tagen Barcelona bereit
für die Olympiade, auch wenn das mit
dem Ablenken nicht wirklich funktioniert
hatte. Denn obwohl die Stadt mit ihrer
eindrücklichen Architektur, ihrem Strand
und den vielen Geschäften einiges zu
bieten hatte, kam eigentlich niemand
darum herum, ab und zu Stift und Block
zur Hand zu nehmen und sich alten IMO-
Aufgaben zu widmen.
Rasend schnell ging danach unsere Reise
weiter. Mit dem neuen Hochgeschwindigkeitszug
zwischen Barcelona und Madrid
erreichten wir unser Ziel in gerade
mal dreieinhalb Stunden!
Mit Spannung erwarteten wir die erste
Begegnung mit unserem Guide, der die
kommenden Tage ständig an unserer
Seite sein würde, damit wir alles unbeschadet
überstehen. Als uns dann am
Bahnsteig der quirlige Àlvaro erwartete,
waren wir uns eigentlich einig, dass die
IMO mit ihm eine lustige Zeit werden
würde.
Doch zuerst ging es nun per Bus zu unserer
Unterkunft, ein Universitätscampus
im Westen der Stadt. Aus finanziellen
Gründen konnten die spanischen Organisatoren
nicht alle Teilnehmer zusammen
unterbringen, was sehr schade war,
da das Kennenlernen von Jugendlichen
aus aller Welt eigentlich ein Highlight
der Olympiade ist. Zudem wurden die
einzelnen Nationen systematisch so auf
die einzelnen Gebäude aufgeteilt, dass
wir fast nur mit Europäern zusammen
waren.
Abendessen in der Stierkampfarena
von Toledo
Olympiades Internationales
de Mathématiques
18

19
Olympiades Internationales
de Mathématiques
15. Juli, Eröffnung
Nachdem wir am Morgen genug Zeit
hatten die nähere Umgebung zu erkunden,
ging es gegen Mittag dann zur Eröffnungszeremonie.
Diese fand im Zirkus
Price Theater statt, welches, wie es der
Name schon sagt, eigentlich ein Zirkus
war, aber eben nicht in einem Zelt sondern
in einem Gebäude. Dort kamen
wir dann auch zum ersten Mal mit allen
Teilnehmern zusammen und damit ging
die IMO für mich nun richtig los: Wiedersehen
mit Teilnehmern vom letzten Jahr,
Geschenke aus den verschiedensten
Ländern erhalten und sich mit allen möglichen
Leuten auf Fotos quetschen.
Der eigentliche Anfang bildete dann aber
der Einlauf der einzelnen Nationen und
die anschliessenden Reden von Organisatoren
und Lokalpolitikern, das übliche
Programm halt. Danach aber folgte eine
imposante Vorstellung des Zirkus, welche
auch den letzten Teilnehmer wachrüttelte,
so dass nun definitiv alle an der
Olympiade angekommen waren.
16. und 17. Juli, Wettbewerb
Ungeachtet der Resultate waren diese
zwei Tage wohl für alle die Intensivsten
und auf eine gewisse Weise auch die Unangenehmsten
der ganzen IMO. Denn
man stand nun eigentlich bis zum Ende
Sorgten während zehn Tagen für gute Stimmung: die Spanischen Guides

der zweiten Prüfung unter einer gewissen
Spannung. Am Morgen versuchte man
so schnell wie möglich wach zu werden,
sei es mit Kaffee, Morgenfitness oder einfach
einer kalten Dusche. Danach ging
es per Bus zur Prüfung, die Anspannung
stieg. Dort angekommen begann dann
das Warten, die letzten zehn Minuten vor
schienen länger als die viereinhalb Stunden
während der Prüfung. Danach kam
die grosse Besprechung untereinander.
Aufgaben und Lösungen wurden kritisch
diskutiert, manche bekamen die Bestätigung,
dass sie die Aufgabe wohl gelöst
haben, anderen wurde ein Fehler in der
Argumentation aufgezeigt, womit von
einem Moment auf den anderen sieben
Punkte weg waren. Nach zwei solchen
Tagen war dann alles vorbei und jeder,
ob erfolgreich oder nicht, freute sich nun
auf das Programm der folgenden Tage.
17. – 20. Juli, Rahmenprogramm
Dieses begann gleich am Abend nach
der Prüfung mit einem Nachtessen und
anschliessendem Konzert in einem Park
in Madrid. Nach zwei Tagen vollster Konzentration
war dies nun der Moment, wo
man sich endlich entspannen konnte.
Dementsprechend wurde viel getanzt
und gesungen, bis wir dann gegen Mitternacht
wieder zurück zum Campus
gingen.
In den kommenden Tagen wurde uns ein
abwechslungsreiches Programm geboten:
neben einigen Sehenswürdigkeiten
in und um Madrid (El Escorial, Toledo,
Prado Museum etc.) gab es auch einen
freien Nachmittag auf einem Sportgelände,
sowie ein Gymkana (eine Art
Orientierungslauf) im Retiro Park. Alle
Exkursionen waren von einer guten Organisation
und einer ordentlichen Portion
Sonne geprägt. Die Organisation
zeichnete sich zum einen durch das permanente
Bereitstellen von Wasser aus,
zum anderen durch die äusserst motivierten
Guides. Diese erfüllten nicht nur
ihre Aufgaben als Teambetreuer, sondern
sorgten mit verschiedenen Liedern und
Tänzen auch für gute Stimmung auf allen
Exkursionen.
21. Juli, Schlusszeremonie
Ich denke, ich spreche für alle, wenn ich
sage, dass wir diesen letzten Abend mit
gemischten Gefühlen erlebten. Denn obwohl
unser Team zwei Medaillen und drei
Honourable Mentions zu feiern hatte und
der Spanische Kronprinz Felipe persönlich
anwesend war, so war es doch der
letzte Abend in Spanien, die IMO neigte
sich dem Ende zu.
Aber die Organisatoren gaben sich noch
einmal richtig Mühe. Nach der Medaillenübergabe
wurden wir in einen riesigen
Innenhof eines Restaurants geführt,
wo wir unter freiem Himmel das letzte
Mal gemeinsam assen. Anschliessend
wurden noch die letzten Fotos gemacht,
Geschenke und Adressen ausgetauscht
und schliesslich kam dann der Zeitpunkt,
wo man endgültig Abschied nehmen
musste.
Olympiades Internationales
de Mathématiques
20

21
Olympiades Internationales
de Mathématiques
Das Schweizer Team kurz vor der Schlusszeremonie
Das Fazit dieses zehntägigen Abenteuers
ist eigentlich durchwegs positiv. Ausser
die erwähnte Aufteilung der Teilnehmer
auf verschiedene Hotels und das etwas
eintönige Essen (Fleisch mit Pommes
Frites, zweimal täglich), könnte ich höchstens
noch mein persönliches Resultat
bemängeln, aber dafür kann ich ja nicht
der IMO die Schuld geben. Ansonsten
bleiben mir nur die Gastfreundschaft,
das schöne Wetter und viele neue Bekanntschaften
in Erinnerung.

49e OIM 2008
Madrid - 16/17 juillet 2008 Mercredi 16 juillet 2008
Problème 1. Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus, et soit H son orthocentre. Le cercle
passant par H et dont le centre est le milieu de [BC] coupe la droite (BC) en A 1 et A 2 . De même,
le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [CA] coupe la droite (CA) en B 1 et B 2 , et
le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [AB] coupe la droite (AB) en C 1 et C 2 .
Montrer que A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , C 1 , C 2 sont cocycliques.
Problème 2.
49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD
MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008
(a) Montrer que
Language: French Day: 2
x 2
(x − 1) + y 2
2 (y − 1) + z 2
2 (z − 1) 2 1
49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD
MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008
pour tous nombres réels x, y, z, différents de 1 et vérifiant xyz = 1.
(b) Montrer qu’il existe une infinité de triplets de nombres rationnels x, y, z, différents de 1 et
vérifiant xyz = 1, pour lesquels l’inégalité ci-dessus est une égalité.
Problème 3. Montrer qu’il existe une infinité d’entiers strictement positifs n tels que n 2 +1 possède
un diviseur premier strictement supérieur à 2n + √ 2n.
Jeudi 17 juillet 2008
Problème 4.
Trouver toutes les fonctions f de ]0, +∞[ dans ]0, +∞[ telles que
f(w)
2
+
f(x)
2
f(y 2 ) + f(z 2 )
= w2 + x 2
y 2 + z 2
pour tous nombres réels strictement positifs w, x, y, z, vérifiant wx = yz.
Problème 5. Soient n et k des entiers strictement positifs tels que k n et k − n est pair.
On suppose données 2n lampes numérotées de 1 à 2n ; chacune peut être allumée ou éteinte.
Au début, toutes les lampes sont éteintes.
Une opération consiste à allumer une lampe éteinte ou bien à éteindre une lampe allumée. On
considère des séquences constituées d’opérations successives.
Soit N le nombre de séquences constituées de k opérations et aboutissant à l’état où les lampes
de 1 à n sont allumées et les lampes de n + 1 à 2n sont éteintes.
Soit M le nombre de séquences constituées de k opérations et aboutissant à l’état où les lampes
de 1 à n sont allumées et les lampes de n + 1 à 2n sont éteintes, mais où les lampes de n + 1 à 2n
n’ont jamais été allumées.
Déterminer le rapport N/M.
Problème 6. Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que BA = BC. Les cercles inscrits dans les
triangles ABC et ADC sont notés respectivement ω 1 et ω 2 . On suppose qu’il existe un cercle ω qui
est tangent à la demi-droite [BA) au-delà de A, tangent à la demi-droite [BC) au-delà de C, et qui
est aussi tangent aux droites (AD) et (CD).
Language : French
Durée : 4 heures 30 minutes
Montrer que les tangentes communes extérieures à ω 1 et à ω 2 se coupent en un point de ω.
Chaque problème vaut 7 points
Olympiades Internationales
de Mathématiques
22

23
Olympiades Internationales
de Mathématiques
Résultats de l’équipe de Suisse à l‘OIM
Les deux médaillés suisses Eben Freeman (à gauche) et
Johannes Josi
1 2 3 4 5 6 Total Distinction
Georg Balmer 0 2 0 7 0 0 9 HM
Eben Freeman 7 2 0 7 0 0 16 Bronze
Johannes Josi 7 1 0 7 7 0 22 Argent
Michael Liu 1 1 0 1 0 0 3
Raphael Steiner 1 1 0 4 0 0 6
Dimitri Wyss 7 5 0 0 0 0 12 HM
23 12 0 26 7 0 68
Comme Johannes a réussi à se classer dans le premier quart du tableau des participants
(sur un total de 535), il a remporté une médaille d’argent. Eben a laissé derrière
lui plus que la moitié de ses concurrent, ce qui lui a valu une médaille de bronze.
Une mention honorable (HM) récompense un exercice parfaitement résolu.

L‘OMEC
La première équipe de Suisse à l‘OMEC (de g. à d.)
A l’arrière plan : Markus Sprecher (Leader), Hrvoje Dujmovic,
Jürg Bachmann et Reto Locher (Deputy Leader)
Au premier rang : Titus Cieslewski, Pascal Su, Clemens Pohle
et Cyril Lagger
En plus de l’OIM, en 2007 la Suisse
a aussi pu participer à un deuxième
concours international pour la première
fois. Les organisateurs de l’ Austrian-Polish
Mathematics Competition
ont décidé d’inviter d’autres pays à la
compétition, créant ainsi les Olympiades
Mathématiques de l’Europe Centrale
(OMEC). Nous nous réjouissons
de pouvoir désormais envoyer chaque
année six participants supplémentaires
à une compétition internationale. Cette
année neuf pays ont participé à l’OMEC
à Olomouc en Tchéquie. Les jeunes qui
peuvent se présenter à ce concours sont
ceux qui n’ont pas participé à l’OIM la
même année et qui peuvent y tenter leur
chance l’année suivante. L’OMEC est
une bonne occasion pour eux de gagner
plus d’expérience au niveau international.
Une particularité de l’OMEC est
qu’en dehors du concours individuel, un
concours par équipes a également lieu.
Les exercices du concours par équipes
sont un peu plus difficiles que les exercices
du concours individuel.
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
24

25
Par Clemens Pohle
Clemens s’est qualifié
d’emblée pour l’OMEC
cette année
MEMO 2008 in Olomouc
03.09.08 Am späten Abend des 3.
Septembers traf sich das MEMO-Team
am Zürcher Hauptbahnhof. Fit, motiviert
und mit vollen Koffern bestiegen wir
den Nachtzug nach Wien, von wo aus
wir dann weiter nach Olomouc fahren
wollten. Bevor sich alle schlafen legten,
wurden noch einige Runden Tichu
(DAS Spiel der Schweizer Mathematiker)
gespielt.
04.09.08 Doch es war eine kurze Nacht,
denn wir waren schon bald in Wien und
mussten aussteigen, was jedoch nicht
alle vom Team rechtzeitig schafften. Zum
Glück fand sich das Team aber schon
bald wieder zusammen, und so konnte
es weiter nach Olomouc gehen, allerdings
mussten wir einen späteren Zug
nehmen, denn wir hatten durch diesen
kleinen Zwischenfall den eigentlich geplanten
Zug verpasst.
So kamen wir schliesslich mit Verspätung
in Olomouc an – und hatten keine
Ahnung, wohin es nun gehen sollte. Eigentlich
hätten wir ja abgeholt werden
sollen, aber zu der Zeit, zu der wir auch
eigentlich hätten ankommen sollen. Da
wir keine Nummer hatten, bei der wir hätten
anrufen können, mussten wir noch im
Bahnhof warten. Die Zeit wurde dazu genutzt,
Franken oder Euros in tschechische
Kronen (1000er-Noten sind ja so etwas
von cool!) umzutauschen oder etwas zu
Essen zu kaufen. Eine Stunde nach unserer
Ankunft wurden wir dann aber doch
noch abgeholt und in unsere Unterkunft,
ein Studentenheim, gebracht.
Während dem restlichen Tag lernten wir
beim Fussball, Tischtennis oder Kartenspielen
bereits Teilnehmer aus anderen
Ländern kennen.
05.09.08 Am Freitagmorgen stand
schon der erste Ausflug an, ein Trip
ins Kloster „Svatý Kopeček“, eingebunden
zwischen zwei langen Busfahrten,
während wir am Nachmittag ein Sightseeing
von Olomouc machen durften
(Olomouc hat unter anderem sechs
Springbrunnen und ein Denkmal mit einem
Loch).
Am Abend fand noch die Eröffnungszeremonie
statt. Die ersten Länder, die sich
vorstellen, hatten zufälligerweise alle ihre
Landesflaggen dabei, und da aber auch
die anderen Teams eine Flagge zeigen
wollten, auch wenn sie selber keine dabei
hatten, bekamen wir mehrmals menschliche
Flaggen oder die etwas umgestaltete
österreichische Flagge zu sehen.
Wir persönlich hatten auch keine Flagge
im Gepäck, und so mussten sich die
anderen Teilnehmer mit dem Schweizerkreuz
auf Titus‘ Taschenmesser zufrieden
geben.
06.09.08 Einzelwettbewerb. Fünf Stunden
Zeit für vier Aufgaben. Bei uns lief
es eigentlich fast allen recht gut. Gross
war die Überraschung, als wir merkten,
dass die meisten von uns ein oder zwei
Aufgaben lösen konnten, hatte es doch
an der letzten MEMO für nur eine gelöste
Aufgabe schon Bronze gegeben.

Nach dem Verteilen der Schweizerkappen
07.09.08 Teamwettbewerb. Wieder fünf
Stunden Zeit für vier Aufgaben. Es war
ziemlich lustig, die Aufgaben zusammen
zu lösen, und obwohl nicht immer alle
ganz bei der Sache waren, konnten wir
drei ganze Aufgaben lösen (oder hatten
zumindest das Gefühl, dies getan
zu haben).
08.09.08 Für die Teilnehmenden war
der Prüfungsstress nun vorbei, und sie
durften sich an einem freien Morgen
nach Belieben beschäftigen, während
die Team-Leader zu einem Jury-Meeting
mussten.
Am Nachmittag gab es wieder eine kleine
Reise, und zwar nach Kremsier. Dort
erlebten wir eines der grossen MEMO-
Highlights (welches in unseren Köpfen
nun für immer an den Namen Sissi
geknüpft sein wird), als wir während dem
Burgbesuch spezielle Latschen über die
Schuhe ziehen mussten, um dem Parkett
nicht zu schaden, und ein Österreicher
dies einfach nur „zum Kotzen“ fand.
Oder wie es Deputy-Leader Reto passend
ausdrückte: „Ein starker Moment.“
09.09.08 Den Tag über gab es wieder
verschiedene Ausflüge und lange Busfahrten,
und am Abend dann die lang
erwartete Schlusszeremonie mit der Medaillenverleihung.
Beim Einzelwettwerb
wurden die drei Aargauer Pascal, Hrvoje
und ich allesamt mit Bronze ausgezeichnet,
während sich Jürg und Titus jeweils
eine Honourable Mention ergattern
konnten. Cyril, den wir im Vorfeld alle
für unseren „Champ“ gehalten hatten,
ging leider leer aus. Das Ergebnis des
Einzelwettbewerbs war eigentlich recht
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
26

27
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
zufriedenstellend. Beim Teamwettbewerb
hatten wir unser Ziel jedoch verfehlt: Wir
blieben zwei Punkte hinter den Österreichern
zurück. Bei der Funktionalgleichung,
welche wir richtig zu gelöst gemeint
hatten, hatten wir etwas vergessen
und dafür drei Punkte Abzug bekommen.
Hätten wir diese Aufgabe also richtig
gelöst gehabt, wären wir einen Punkt vor
den Österreichern gewesen und hätten
unser Ziel erreicht. So aber landeten wir
hinter unserem grössten Konkurrenten.
Die Medaillen beim Teamwettbewerb
teilten Ungarn, Polen und Deutschland
unter sich auf, denn sie hatten allesamt
alle Aufgaben lösen können.
10.09.08 Kaum hatte die MEMO begonnen,
war sie also schon wieder zu
Ende und wir mussten uns verabschieden.
Da unser Nachtzug in Wien erst
am späten Abend startete, nutzten wir
noch den Tag dazu, uns Wien ein wenig
genauer anzuschauen. Wir erkundeten
das Zentrum, schleckten zusammen ein
Eis und erholten uns im Park und im
Prater, dem Wiener Vergnügungspark.
Doch dann wartete der Nachtzug auf
uns und wir mussten uns auch von Wien
verabschieden. Im Zug wurde dann noch
das bereits begonnene Tichu-Turnier
beendet.
11.09.08 Frühmorgens um 06:20 Uhr
kamen wir (völlig übermüdet) im Zürcher
Hauptbahnhof an. Auf uns wartete bereits
wieder die Schule und der (langweilige)
Alltag. Doch ich bin mir sicher: Die
MEMO war für alle Beteiligten ein super
Erlebnis, und wir werden uns noch lange
an die vielen tollen Momente erinnern
können.
Das Team erholt sich im Wiener Park

M
SECOND
OLYMPIAD
OLOMOUC
CZECH REPUBLIC 2008
Le concours individuel
ICAL
2nd Middle European Mathematical Olympiad
Olomouc, Czech Republic
I NDI VI DUAL Competition, 6th September 2008
SECOND
MIDDLE
EUROPEAN
MATHEMATICAL
OLYMPIAD
Exer ci ce I –1
Language: German
Soit (a n ) ∞ n=1 une suite d’entiers positifs telle que a n < a n+1 pour tout n ≥ 1. On
suppose que pour tout quadruple d’indices (i, j, k, l) satisfaisant 1 ≤ i < j ≤ k < l et
2nd Middle European Mathematical Olympiad
i + l = j + k, l’inégalité a i + a l > a j + a k est satisfaite. Déterminer la valeur minimale
possible de a 2008 Olomouc, . Czech Republic
OLOMOUC Exer ci ce I –2
CZECH REPUBLIC 2008
I NDI VI DUAL Competition, 6th September 2008
Soit un échiquier n × n avec n > 1 entier. Combien de possibilités y a-t-il de
distribuer 2n − 2 pierres identiques sur l’échiquier (au plus une pierre par case)
de telle manière á ce qu’il n’y ait pas deux pierres qui se trouvent sur une même
Au fgabe I –1
diagonale?
(Deux pierres se trouvent sur une même diagonale si la droite passant par les
Sei (a n ) ∞ n=1 eine Folge positiver centres ganzer des deux Zahlen cases mit occupées a n < a
est n+1 für alle n ≥ 1. Für
parallèle á une des diagonales du carré n ×n.)
alle Quadrupel (i, j, k, l) von I ndizes, so dass 1 ≤ i < j ≤ k < l und i + l = j + k, gelte
die Ungleichung a i + a l > a
Exer j + a
ci k .
ce I –3
Man bestimme den kleinstmöglichen Wert von a 2008 .
Soit ABC un triangle isocèle avec AC = BC et dont le cercle inscrit touche AB
Au fgabe I –2
et BC en D et E respectivement. Une droite (différente de AE) passe par A et
intersecte le cercle inscrit en F et G. La droite AB intersecte les droites EF et EG
Betrachtet wird ein n × n Schachbrett, wobei n > 1 eine natürliche Zahl ist.
en K et L respectivement. Montrer que DK = DL.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, 2n − 2 identische Steine auf dem Schachbrett zu
platzieren (jeden auf ein
Exer
anderes
ci ce
Feld),
I –4
so dass keine zwei Steine auf der selben
Schachbrettdiagonale liegen?
(Von zwei Steinen sagt man, Déterminer dass sietous auf der lesselben entiersSchachbrettdiagonale k tels que les nombresliegen,
4n + 1 et kn + 1 sont premiers
wenn die Verbindungsstrecke entre eux der pour Mittelpunkte tout entier n. der entsprechenden Felder
parallel zu einer der Diagonalen des n × n Quadrates ist.)
Au Chaque fgabe I –3 exercice vaut 8 points. Les exercice ne sont pas ordonnés par difficulté, mais
par branches. Temps disponible: 5 heures
Lors du concours individuel les participants suisses ont obtenu les scores suivants :
Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit AC = BC. Sein I nkreis berührt AB in
D und BC in E. Eine von AE verschiedene Gerade geht durch A und schneidet
den I nkreis in F und G. Chaque Die Gerade exercice AB schneidet vaut 8 points. die Geraden EF und EG in K
beziehungsweise L. ManLes beweise, exercice dass neDK sont = pas DL gilt.
1 2ordonnés 3 par 4 difficulté, Totalmais Distinction
par branches.
Temps disponible: 5 heures.
Au fgabe I –4
Toute question doit être posée dans les premières 45 minutes.
Jürg Bachmann 3 8 0 0 11 HM
Man bestimme alle ganzen Zahlen k, so dass für jede ganze Zahl n die beiden
Zahlen 4n + 1 und kn + 1 teilerfremd sind.
Titus Cieslewski 6 8 0 0 14 HM
Hrvoje Dujmovic 8 8 0 6 22 Bronze
Cyril Lagger 1 0 1 1 3
Clemens Pohle 8 0 0 8 16 Bronze
Bei jeder Aufgabe können 8 Punkte erreicht werden.
Die Aufgaben sind nicht nach Schwierigkeitsgrad, sondern nach Gebieten
geordnet.
Arbeitszeit: 5 Stunden
Zeit für Fragen: 45 Minuten 34 32 1 22 89
Pascal Su 8 8 0 7 23 Bronze
Les trois Argoviens Hrvoje, Clemens et Pascal se sont hissés dans la première moitié
du tableau des participants (sur un total de 52), ce qui leur a permis d’obtenir une
médaille de bronze. Une mention honorable (HM) récompense un exercice parfaitement
résolu.
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
28

SECOND
MIDDLE
EUROPEAN
MATHEMATICAL
OLYMPIAD
29
SECOND
MIDDLE
EUROPEAN
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
2nd Middle European Mathematical Olympiad
MATHEMATICAL
OLYMPIAD
OLOMOUC
CZECH REPUBLIC 2008
Le concours par équipes
Exer ci ce T–1
Language: French
Olomouc, Czech Republic
TEAM Competition, 7th September 2008
Language: German
Déterminer toutes les fonctions f : R → R telles que pour tout x, y ∈ R on a
2nd Middle European Mathematical Olympiad
xf (x + xy) = xf (x) + f (x 2 )f (y)
Olomouc, Czech Republic
Exer ci ce T–2
OLOMOUC
CZECH REPUBLIC 2008
I NDI VI DUAL Competition, 6th September 2008
Soit un entier n ≥ 2. Sur un tableau-noir n entiers positifs sont écrits. On
peut maintenant effectuer l’opération suivante: on choisit deux nombres du
tableau-noir et on en remplace chacun par leur somme. Déterminer toutes les
valeurs de n telles qu’il est toujours possible d’atteindre n nombres identiques
Au fgabe I –1
après un nombre fini d’opérations.
Sei (a n ) ∞ n=1 eine Folge positiver ganzer Zahlen mit a n < a n+1 für alle n ≥ 1. Für
alle Quadrupel (i, j, k, l) von Exer I ndizes, ci ce T–3 so dass 1 ≤ i < j ≤ k < l und i + l = j + k, gelte
die Ungleichung a i + a l > a j + a k .
Soit un triangle aigu ABC donné. Soit E un point tel que B et E se trouvent sur
Man bestimme den kleinstmöglichen Wert von a 2008 .
différents côtés de la droite AC et soit D un point intérieur du segment AE. On
suppose que ADB = CDE, BAD = ECD et ACB = EBA. Montrer que B, C
Au fgabe I –2
et E sont colinéaires.
Betrachtet wird ein n × n Schachbrett, wobei n > 1 eine natürliche Zahl ist.
Wieviele Möglichkeiten gibt Exeres, ci ce 2n T–4 − 2 identische Steine auf dem Schachbrett zu
platzieren (jeden auf ein anderes Feld), so dass keine zwei Steine auf der selben
Soit n un entier positif. Montrer que si la somme de tous les diviseurs positifs
Schachbrettdiagonale liegen?
de n est une puissance de 2, alors le nombre de ces diviseurs est également une
(Von zwei Steinen sagt man, dass sie auf der selben Schachbrettdiagonale liegen,
puissance de 2.
wenn die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der entsprechenden Felder
parallel zu einer der Diagonalen des n × n Quadrates ist.)
Les exercices I-2 et T-1 ont été proposés par Markus, leader de l’équipe suisse. Voici
Au fgabe I –3
le classement par équipes :
Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit AC = BC. Sein I nkreis berührt AB in
D und BC in E. Eine von AE verschiedene Gerade geht durch A und schneidet
den I nkreis in F und Rang G. Die Gerade Pays AB schneidet die Geraden 1 2 EF und 3 EG4 in KTotal
Chaque exercice vaut 8 points.
beziehungsweise L. Man beweise, dass DK = DL gilt.
1
Les exercice
Allemagne sont pas ordonnés
8
par
8difficulté, 8
mais
8
par32
branches.
Temps disponible: 5 heures.
Au fgabe I –4
1 ToutePologne question doit être posée 8dans les 8 premières 8 845 minutes. 32
Man bestimme alle ganzen Zahlen k, so dass für jede ganze Zahl n die beiden
Zahlen 4n + 1 und kn + 1 teilerfremd sind.
1 Hongrie 8 8 8 8 32
4 Autriche 8 2 8 8 26
5 Slovaquie 6 3 8 8 25
Bei jeder Aufgabe können 8 Punkte erreicht werden.
Die Aufgaben sind nicht nach Schwierigkeitsgrad, sondern nach Gebieten
geordnet.
Arbeitszeit: 5 Stunden
Zeit für Fragen: 45 Minuten
6 Suisse 5 3 8 8 24
7 Tchèquie 8 6 0 8 22
8 Croatie 3 2 8 8 21
9 Slovénie 3 2 4 0 9

Les organisateurs de l’OSM
L’OSM et la participation de la Suisse
aux olympiades internationales de mathématiques
est organisée et réalisée par
l‘association imosuisse. Le comité et la
plupart des membres sont étudiants ou
doctorants à l’EPFL ou à l’EPFZ. Ils ont
participé à l‘OIM pendant leurs années
scolaires et transmettent maintenant leur
connaissances aux plus jeunes.
Le nombre des membres de l’association
s’est élevé à 15 en 2008. Nous sommes
heureux de pouvoir désormais compter
trois participants de cette année, Adrien
de Gottrau, Philipp Wirth et Dimitri
Wyss parmi nos rangs. Nous les saluons
chaleureusement et nous nous réjouissons
de pouvoir travailler avec eux
à l’avenir.
Le comité de l’assotiation imosuisse (de g. à d.)
Reto Locher, Daniel Sprecher, Anna Devic, Lorenz Reichel (ancien), Thomas
Huber et Markus Sprecher
Pas sur la photo : Julian Kellerhals
Organisation
30

31 Organisation
AOSS Partenaires 2008
L’Association des Olympiades Scientifiques
Suisses est l’association-mère des
cinq olympiades scientifiques.
Biologie
Association des Olympiades
Scientifiques Suisses
Chimie
Informatique
Mathématique
Physique
Un poste de responsable en gestion
est financé par un contrat de prestation
avec le secrétariat d’Etat à la formation
et à la recherche. Elle s’occupe du
management, des relations publiques et
de l’administration.
Cette association est notre plateforme
pour :
• échange des expériences
• l’utilisation de synergies
• l‘optimisation des processus par une
comparaison (Benchmarking)
• la mise en oeuvre d‘opérations
nationales et internationales
• le contact avec des autorités
cantonales et fédérales
• sponsors communs
Nous sommes heureux que Reto Locher,
membre de longue date de notre comité
ait été élu président de l’AOSS. Nous
lui souhaitons bonne chance pour ce
nouveau défi.
Nous remercions cordialement les organisations
et entreprises suivantes pour
leur soutien. Sans elles l‘OSM ne pourrait
pas exister.
Soutient académique
• Département de mathématique de
l'ETH Zurich (avec un merci tout
particulier au professeur émérite
Max-Albert Knus et au directeur du
département Hans-Rudolf Künsch)
• Département de mathématique de
l'EPF Lausanne
• Fondation pour la promotion des
mathématiques en Suisse
• La Commission Romande de
Mathématique et la "Deutschschweizerische
Mathematikkommission“ de
la Société Suisse des Professeurs de
Mathématique et Physique
Partenaire d‘or (dès 12‘000 frs)
• Swiss Life
Partenaire d‘argent (dès 4‘000 frs)
• Fondation Ernst Göhner Zug
• Fondation Hasler
• Fondation Metrohm
• Les entreprises de la KGF (Kontaktgruppe
für Forschungsfragen) Ciba
Specialty Chemicals, Novartis,
F. Hoffmann-La Roche, Serono et
Syngenta.
Partenaire de bronze (dès 1‘000 frs)
• Fondation Claude & Giuliana
• Fondation Jacobs

Finances
Voici un tableau récapitulatif des dépenses de l’association imosuisse en 2008.
Dépenses
en frs
Transport national participants 1‘890.10
Transport national organisateurs 1‘126.55
Transport OIM 3‘480.60
Transport OMEC 2‘638.00
Tour préliminaire 205.60
Week-end de mathématiques 1‘998.95
Camp OSM 8‘063.50
Journée OSM 707.95
Autres rencontres de préparation 191.45
Participation OMEC 1’581.90
T-shirts 934.00
Impression de matériel publicitaire 4‘917.20
Frais internet 178.40
Envoi documents 600.35
Gestion de compte 2.35
Frais divers 2‘256.60
Fonds Préparation OMEC 3‘000.00
Fonds Réalisation OMEC 15‘000.00
Dépenses totales 48‘773.50
Avec des recettes de sponsoring de 50’530 frs , de cotisations de 75 frs et d’intérêts
de 15.45 frs , il en résulte un bénéfice de 1’846.95 frs. La fortune de l’association
vaut en ce moment 19’621 frs.
Organisation
32

33
Organisation
Soutien financier
D’un point de vue financier nous terminons
l’année 2008 sur une note très
positive. Grâce au soutien généreux de
diverses entreprises et fondations il nous
a été possible de créer deux fonds en
plus de couvrir nos dépenses régulières.
Les deux ont pour but de nous aider financièrement
lors de l’organisation des
Olympiades Mathématiques de l’Europe
Centrale (OMEC) en Suisse. Il a déjà
été confirmé que nous allons organiser
l’OMEC en 2011 ou en 2012. L’argent
des “Fonds de Préparation OMEC” servira
à couvrir les premières préparations.
Les “Fonds d’Organisation OMEC” aideront
à couvrir les frais d’hébergement,
d’alimentation et d’excursion pour les
quelque 60 participants de la compétition.
En dehors de modestes frais
d’inscription, l’OMEC devrait être gratuit
pour tout le monde.
En 2009 nos dépenses seront d’un ordre
de grandeur similaire à 2008. Pour
garantir la participation gratuite à toutes
nous manifestations aux élèves, nous aurons
de nouveau besoin d’aide externe.
Nous planifions également de continuer
à argandir nos réserves en vue de
l’organisation imminente de l’OMEC.
Nous aimerions remercier chaleureusement
nos partenaires (voir la dernière
page de la brochure) et nous espérons
pouvoir compter sur leur confiance à
l’avenir également.
Le concept de soutien de l‘OSM
Nos partenaires privés sont séparés en trois catégories :
• Avec un montant jusqu’à 1‘000 frs, le donneur appartient à la catégorie des
donateurs. On le remercie pour son engagement dans le rapport annuel.
• A partir d‘un montant de 1‘000 frs, un donneur fait partie des
partenaires de bronze.
• Les partenaires d‘argent nous soutiennent avec un montant d‘au moins
4‘000 frs.
• Un partenair est considéré comme un partenair d‘or à partir d‘un montant de
12‘000 frs.
Les partenaires d’or, d’argent et de bronze seront mentionnées, avec une visibilité
en fonction de leur statut, à travers le placement de leurs enseignes sur
les publications imprimées et sur notre site web (sans lien direct), ainsi que
lors de toutes nos manifestations publiques.

Olympiades Suisses de Mathématiques
Perspectives pour l‘OSM 2009
Nous avons pris la décision d’organiser le concours selon le même système que
l’année précédente. Il y a donc de nouveau un concours national composé de
deux tours, suivi de la sélections des équipes pour les deux concours internationaux,
l’OIM et l’OMEC.
Date
Sam, 22 novembre 2008
Sam, 6 décembre 2008
Sam, 10 janvier 2009
Ven, 23 – Dim, 25.1.2009
Sam, 21 février 2009
Dim, 8 – Dim, 15.3.2009
Sam, 28 mars 2009
Avril 2008
Mai 2008
Juin 2009
Débout juillet 2009
Evènement
1 er Rencontre à Zürich, Lausanne et Bellinzona
2 e Rencontre à Zürich, Lausanne und Bellinzona
Examen du tour préliminaire
Week-end de mathématiques à Zurich
Une journée de préparation
Camp OSM et examen du tour final
Journée OSM à l’EPFZ (Aula Semper)
Rencontres de préparation pour la sélection OIM
Quatre examens de sélection pour l‘OIM et l‘OMEC
Rencontres de préparations avec les deux équipes
Préparation OIM avec l’équipe slovène à Bled
10 - 22 juillet 2009 50 e OIM à Brême, Allemagne
24 - 29 septembre 2009 3 e OMEC à Bielsko-Biała, Pologne
Perspectives pour l‘OSM 2009
34

Sites web
www.imosuisse.ch
Olympiades Suisses de Mathématiques
www.olympiads.ch
Association des Olympiades
Scientifiques Suisses
www.ibosuisse.ch
Olympiades Suisses de Biologie
www.icho.ch
Olympiades Suisses de Chimie
www.soi.ch
Olympiades Suisses d‘Informatique
www.swisspho.ch
Olympiades Suisses de Physique
Contact
Olympiades Suisses de Mathématiques
Daniel Sprecher
Geibelstrasse 47
8037 Zürich
daniel@imosuisse.ch
079 795 0416
Impressum
Concept: Daniel Sprecher,
Claudia Appenzeller, AOSS
Layout: Daniel Sprecher
Logo OSM: Alfons Gschwend
Texte (en allemand): Daniel Sprecher,
Thomas Huber
Traduction: Anna Devic
Photos: Claudia Appenzeller, Marina Ernst,
Clemens Pohle, Daniel Sprecher, Dimitri Wyss
© imosuisse Zurich, novembre 2009

Fondation Ernst Göhner Zug
Fondation pour la
promotion des mathématiques
en Suisse
www.imosuisse.ch