Jahresbericht 2011 - Schweizer Mathematik-Olympiade

Les Olympiades Suisses
de Mathématiques
Jahresbericht 2011

Contact
Olympiades Suisses de Mathématiques
Julian Kellerhals
Montolivet 1
1006 Lausanne
julian@imosuisse.ch
076 392 3141
www.imosuisse.ch

3
Editorial
L’édition 2011 des Olympiades Suisses
de Mathématiques est arrivée à
son terme et il est donc temps d’en
faire le bilan. Ce fut une année réussie
tant au niveau national qu’international.
L’équipe suisse a réussi à
dépasser les excellents résultats des
années précédentes aux Olympiades
Internationales à Amsterdam avec
deux médailles d’argent et une médaille
de bronze
J’aimerais ici remercier toutes les personnes
qui nous ont apporté leur aide
au cours de l’année. En particulier
Nicolas Monod, Oliver Prosperi, Damien
Engels, Marlis Zbinden et toute
l’équipe d’imosuisse. Leur engagement
est un ingrédient essentiel à la
réalisation de l’OSM.
Die Ausgabe 2011 der Schweizer Mathematik-Olympiade
ist zu Ende und
der Moment gekommen, eine Bilanz zu
ziehen. Es war ein erfolgreiches Jahr,
sowohl auf nationaler Ebene mit einem
hochstehenden Wettbewerb, als auch
auf internationaler Ebene. Das Schweizer
Team hat es mit zwei Silber- und einer
Bronzemedaille an der Internationalen
Olympiade in Amsterdam geschafft,
die ausgezeichneten Resultate der Vorjahre
noch zu übertreffen.
Ich möchte mich ganz herzlich bei allen
Leuten bedanken, die uns in diesem
Jahr mit ihrem Einsatz zur Seite standen.
Insbesondere Nicolas Monod, Oliver
Prosperi, Damien Engels, Marlis Zbinden
und das Team von imosuisse. Bei
der Durchführung der SMO sind wir auf
so engagierte Leute angewiesen.
Julian Kellerhals
Contenu
4 OSM
9 Séléction OIM
12 OIM
20 OMEC
22 Organisation
26 Calendrier 2011
Inhalt
SMO 6
IMO-Selektion 9
IMO 11
MEMO 20
Organisation 22
Kalender 2011 26

Qu’est-ce que l’OSM?
L‘OSM (Olympiades Suisses de Mathématiques)
est un concours pour les
gymnasiens âgés de moins de 20
ans. Il s‘adresse à des élèves talentueux
qui cherchent des défis supplémentaires
en dehors de la matière
scolaire. Aux séances de préparation
et lors du camp, les participants abordent
de nouveaux sujets et s‘exercent
à élaborer des preuves par euxmêmes.
Ceci leur permet de découvrir
leurs limites d‘une manière peu connue
au gymnase. A l‘OSM, on décerne
des prix au niveau national et six se
qualifient pour les Olympiades Internationales
de Mathématiques (OIM) et six
autres pour les Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale (OMEC).
Pour les séances d‘entraînement et
pour les tests, nous posons des exercices
concernant l‘algèbre, la géométrie,
la combinatoire et la théorie des
nombres. Nous choisissons surtout
des exercices qui nécessitent peu de
connaissances mais plutôt de bonnes
idées et une grande habilité mathématique.
Pour résoudre un exercice il
faut être créatif, courageux et ouvert à
toute sorte de solution. Ce sont des capacités
extrêmement utiles en mathématiques
et dans beaucoup d‘autres
branches.
Notre objectif principal est d‘arriver
au meilleur résultat possible lors de
l‘OIM. C‘est dans cette optique que
nous avons mis sur pied un concours
national au cours de ces dernières années.
Il est très important pour nous
d‘encourager les jeunes talents mathématiques.
Nous aimerions leur donner
la possibilité d‘exploiter leurs capacités
et de les mesurer au niveau national
et international. De plus, il s‘agit pour
eux d‘une occasion unique de rencontrer
beaucoup d‘autres jeunes avec qui
partager le plaisir des mathématiques.
Olympiades Suisses de Mathématiques
4

5
Olympiades Suisses de Mathématiques
Le déroulement
Le tour préliminaire: Le tour préliminaire
consiste en deux rencontres de
préparation qui ont lieu en parallèle
à Lausanne et à Zurich jusqu‘à midécembre.
Lors de ces rencontres,
les participants voient des introductions
à quatre sujets différents. On leur
présente des exemples intéressants et
ils ont aussi l‘occasion de résoudre des
problèmes par eux-mêmes. Mi-janvier
il y a un examen préliminaire et les 25
meilleurs participants se qualifient pour
le tour final.
Le tour final: Les 25 finalistes du tour final
participent à un week-end de mathématiques
où ils apprennent à mieux se
connaître et résolvent des exercices en
groupes. Une seconde réunion sert de
préparation au camp d‘une semaine qui
se déroule en mars. Celui-ci constitue
l‘apothéose de l‘OSM et il se termine
par l‘examen du tour final.
La journée OSM: Peu après le camp a
lieu la remise des médailles de l‘OSM
à l‘EPFZ. Les 25 finalistes reçoivent un
certificat et les douze meilleurs du tour
final se voient décerner des médailles.
Quelques participants présentent
également leur solution d’exercices
OSM devant l’assemblée, avant que la
manifestation soit complétée par un exposé
intéressant.
La sélection OIM: La sélection des six
membres de l’équipe suisse se fait
parmi ceux qui ont passé avec succès
le cap du tour final de l’OSM. Certains
thèmes sont alors approfondis afin
d’optimiser leur préparation pour l’OIM.
Les examens de sélection se déroulent
dans le style des examens de l‘OIM. Ils
permettent également de déterminer
quels seront les six participants qui
représenteront la Suisse aux Olympiades
Mathématiques de l’Europe Centrale.

Was ist die SMO?
Die Schweizer Mathematik-Olympiade
(SMO) ist ein Wettbewerb für
Jugendliche unter 20 Jahren. Die
Olympiade richtet sich an begabte
Schülerinnen und Schüler, die ergänzend
zum Schulstoff weitere Herausforderungen
suchen. An den Vorbereitungstreffen
und im Lager werden
die Teilnehmenden an neue Themengebiete
herangeführt und üben sich im
Entwickeln von eigenen Beweisen. Dabei
stossen sie auch an ihre eigenen
Grenzen, in einer Art wie sie es sich
von der Mittelschule her meist nicht gewohnt
sind. An der SMO werden nationale
Auszeichnungen verliehen und es
qualifizieren sich je sechs für die Internationale
Mathematik-Olympiade (IMO)
und die Mitteleuropäische Mathematik-
Olympiade (MEMO).
Beim Training und an den Prüfungen
werden Aufgaben aus den Themenbereichen
Algebra, Geometrie, Kombinatorik
und Zahlentheorie gestellt. Es
werden gezielt Probleme ausgewählt,
für deren Lösung kein grosses Vorwissen,
sondern gute Ideen und mathematisches
Geschick benötigt werden.
Dadurch wird Kreativität, Mut und Offenheit
beim Finden von Lösungsansätzen
gefördert. Die so erworbenen
Fähigkeiten sind später neben der Mathematik
auch in vielen anderen Studienrichtungen
und Forschungsgebieten
von grossem Nutzen.
Unser eigentliches Ziel ist es, ein möglichst
gutes Resultat an der IMO zu
erreichen. Aus diesen Bestrebungen
heraus ist in den letzten Jahren ein nationaler
Wettbewerb entstanden. Es ist
uns ein grosses Anliegen, junge, mathematisch
begabte Schülerinnen und
Schüler zu fördern. Wir wollen ihnen
die Möglichkeit geben, ihr Talent zu
nutzen und sich national und international
mit Gleichgesinnten zu messen.
Ausserdem lernen sie an den Anlässen
viele andere Jugendliche kennen, mit
denen sie ihre Freude an der Mathematik
teilen.
Schweizer Mathematik-Olympiade
6

7 Schweizer Mathematik-Olympiade
Ablauf
Die Vorrunde: Die SMO ist in zwei Runden
aufgeteilt. Die Vorrunde besteht
aus zwei Treffen, die Ende November
bis Mitte Dezember jeweils an einem
Samstag parallel in Zürich und Lausanne
stattfinden. An diesen Treffen
erhalten die Teilnehmerinnen und Teilnehmer
eine Einführung in vier verschiedene
Themengebiete. Wir besprechen
jeweils einige interessante Beispiele
und die Teilnehmer bekommen Gelegenheit,
sich selbst an den Aufgaben zu
versuchen. Mitte Januar findet die Vorrundenprüfung
statt, an welcher sich
die besten 25 Schülerinnen und Schüler
für die Finalrunde qualifizieren.
Die Finalrunde: Als erstes findet in der
Finalrunde ein Mathematik-Wochenende
statt, wo sich die Teilnehmer besser
kennen lernen und gemeinsam Aufgaben
lösen. Ein weiteres Treffen dient
zur Vorbereitung auf das abschliessende
Lager im März. Dieses bildet den
Höhepunkt der SMO und endet mit der
Finalrundenprüfung.
Der SMO-Tag: Kurze Zeit nach dem
Lager führen wir an der ETH Zürich die
Medaillenvergabe der SMO durch. Alle
25 Finalisten erhalten Diplome und die
besten zwölf Teilnehmer der Finalrunde
werden mit Medaillen ausgezeichnet.
Zu der Veranstaltung gehört auch ein
interessanter Vortrag und einige Teilnehmer
präsentieren ihre Lösungen zu
den SMO-Aufgaben.
IMO-Qualifikation: Die Auswahl des
sechsköpfigen Schweizer Teams aus
den Besten der Finalrunde erfolgt im Anschluss
an die SMO. Dazu vertiefen wir
einige Themen, um eine optimale Vorbereitung
für die IMO zu erreichen. Die vier
Selektionsprüfungen sind im Stil einer
IMO-Prüfung. Die sechs weiteren Teilnehmerinnen
und Teilnehmer, welche
die Schweiz an der Mitteleuropäischen
Mathematik-Olympiade vertreten, werden
ebenfalls anhand dieser Prüfung
ausgewählt.

Die Resultate der SMO 2011
In der Tabelle sind die Medaillengewinnerinnen und -gewinner der SMO 2011 aufgelistet.
Wir gratulieren allen zu ihrem Erfolg. Die Punktzahlen beziehen sich auf
die Finalrundenprüfung (Maximum: 70 Punkte).
Medaille Name Schule Punkte
Gold Laura Gremion Collège du Sud, Bulle 52
Nikola Djokic Kantonsschule Alpenquai Luzern 49
Silber Cyril Frei Kantonsschule Baden 42
Alain Rossier Collège de l‘Abbaye St-Maurice 41
Hayley Ross Kantonsschule Wettingen 40
Ulrich Brodowsky Kantonsschule Schaffhausen 39
Bronze Louis Hainaut Collège Claparède 35
Viviane Kehl MNG Rämibühl 27
Johannes Kapfhammer Gymnasium Münchenstein 25
Cédric Heimhofer Kantonsschule Beromünster 24
Fabian Keller Kantonsschule Trogen 24
Jerome Wettstein Kantonsschule Wetzikon 23
Ebenfalls für die Finalrunde qualifiziert haben sich :
Kevin Burri
Jana Cslovjecsek
Kevin Huguenin
Sebastian Käser
Jonas Kühne
Thomas Leu
Paolo Minelli
Fabian Rohr
Christoph Schildknecht
Ludovic Scyboz
Michael Sommerhalder
Léonard Truscello
Lycée Denis-de-Rougemont
Kantonsschule Solothurn
Kantonsschule Glattal
Gymnasium Schadau Thun
Kantonsschule Trogen
Kantonsschule Trogen
Liceo Diocesano Breganzona
Neue Kantonsschule Aarau
Kantonsschule Musegg
Collège du Sud, Bulle
Kantonsschule Baden
Collège Calvin
Schweizer Mathematik-Olympiade
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Sélection OIM
Préparations à la sélection OIM
Nous avons retrouvé les médaillés du tour final peu après la journée OSM. Le but
des rencontres se déroulant à l’ETH Zurich et à l’EPF Lausanne était de préparer
les participants aux quatre derniers tests de sélection. Le 22 mai le suspense a
finalement touché à sa fin: à la fin de la quatrième épreuve, les noms de ceux qui
allaient représenter la suisse aux Olympiades Internationales et aux Olympiades
de l’Europe Centrale ont été révélés.
Les candidats pour la séléction OIM (de g. à d.)
Arrière plan : Fabian, Hayley, Johannes, Viviane, Kevin, Nikola.
Premier rang : Jonas, Alain, Ulrich, Cyril, Robert, Laura, Louis.

Das Resultat der IMO-Selektion
Das Schweizer Team vor der Eröffnungszeremonie
Rang Name Wohnort Punkte
1. Nikola Djokic Luzern 57
2. Cyril Frei Tägerig 46
3. Laura Gremion La Tour-de-Trême 37
4. Ulrich Brodowsky Schaffhausen 29
5. Louis Hainaut Thônex 24
6. Johannes Kapfhammer Münchenstein 22
Bei der Selektion für die MEMO muss zusätzlich beachtet werden, dass das
Höchstalter ein Jahr niedriger ist als bei der IMO. Für die MEMO qualifiziert haben
sich:
Viviane Kehl
Fabian Keller
Jonas Kühne
Hayley Ross
Alain Rossier
Jerome Wettstein
Olympiades Internationales
de Mathématiques
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11
Internationale Mathematik-Olympiade
Die IMO
An der IMO treffen sich jedes Jahr rund
500 Schülerinnen und Schüler aus ungefähr
100 Ländern, um einerseits natürlich
die gestellten Aufgaben zu lösen,
andererseits aber auch um sich
auszutauschen, Kontakte zu knüpfen
und etwas miteinander zu erleben. Die
IMO findet seit 1959 jedes Jahr in einem
anderen Land statt. Die 52. IMO
im Sommer 2011 wurde in der niederländischen
Hauptstadt Amsterdam
ausgetragen und dauerte fast zwei
Wochen.
Die beiden Prüfungen finden an zwei
aufeinanderfolgenden Tagen statt und
dauern je viereinhalb Stunden. An jedem
Tag werden drei bis dahin unbekannte
Probleme gestellt. Pro Land
sind bis zu sechs Teilnehmer zugelassen.
Die besten Teams stellen in der
Regel Länder wie China oder die USA,
wo nationale Olympiaden eine lange
Tradition haben.
Die Hälfte der Teilnehmenden wird mit
Medaillen ausgezeichnet. Dabei verhält
sich die Anzahl Gold- zu Silber- zu
Bronzemedaillen wie 1:2:3. Die Schweiz
beteiligte sich 1991 das erste Mal, als
Bea Wollenmann aus eigener Initiative
an der IMO teilnahm und eine Bronzemedaille
gewann. Seither verbuchte
die Schweiz insgesamt 1 Gold-, 10 Silber-
und 26 Bronzemedaillen. In diesem
Jahr kamen zwei Silber- und eine Bronzemedaille
hinzu.
An der IMO 2011 in Amsterdam nahmen Teams aus 101 Ländern teil.

L‘OIM
A l‘OIM plus de 500 élèves venus
d‘environ 100 pays se retrouvent pour
résoudre les exercices du concours,
mais aussi pour vivre ensemble une
aventure formidable. L‘OIM a lieu
chaque année depuis 1959 dans un
pays différent. En juillet 2011 il s’est
déroulé dans la capitale néerlandaise
Amasterdam sur une durée de presque
deux semaines.
Les deux examens ont lieu pendant
deux jours consécutifs et durent chacun
quatre heures et demi. Chaque
jour les participants doivent résoudre
trois nouveaux problèmes. Au plus six
élèves par pays peuvent participer. Les
meilleures équipes viennent souvent de
Chine ou des États-Unis où il y a une
longue tradition des Olympiades nationales.
La moitié des participants gagne une
médaille. Le rapport entre médailles
d‘or, médailles d‘argent et médailles
de bronze est 1:2:3. La suisse participe
depuis 1991 quand Bea Wollenmann
a participé et gagné une médaille de
bronze. Depuis la Suisse a gagné 1 médaille
d‘or, 10 médailles d‘argent et 26
médailles de bronze. Cette année deux
médailles d’argent et une médaille de
bronze se sont ajoutées à la liste.
Une photo de groupe avec une partie des 101 équipes participantes.
Olympiades Internationales
de Mathématiques
12

13 Internationale Mathematik-Olympiade
Von Ulrich Brodowsky
Ulrich nahm 2011
zum ersten Mal
an der IMO teil
Die IMO in Amsterdam
Am Sonntag den 17.Juli fing die IMO
offiziell an. Für uns als Schweizer Team
hat die IMO jedoch eigentlich schon etwas
früher angefangen, etwas genauer:
Mit der Vorbereitung für die IMO in Zürich.
Diese fing eine Woche früher an.
Diese Vorbereitung haben wir mit dem
liechtensteinischen und dem slowenischen
Team zusammen gemacht.
Am Samstag, bevor die IMO offiziell
begann, war dann die Anreise. Wir drei
Teams sind zusammen mit dem Zug
nach Amsterdam gefahren. Unterwegs
haben wir noch das deutsche Team getroffen.
In demselben Zug waren einige
Leute, die so ausgelassen feierten, als
wollten sie, dass der Rest des Zuges
mit feiert. Endlich angekommen im
Bahnhof fanden wir auch bald unseren
Guide. Der Guide, Jens, war jedoch
kein Niederländer, wie man erwarten
müsste sondern ein ehemaliger deutscher
IMO-Teilnehmer.
Am Sonntag war dann endlich die Opening-Ceremony.
Alle die schon bei anderen
IMOs dabei waren erzählten uns,
dass diese langweilig werden könne. Es
mussten alle Teams ein Mal über die
Bühne laufen. Künstler sorgten in den
Pausen dazwischen für eine gute Stim-
Das Team an der Eröffnungszeremonie.

meung. Einige Teams warfen Dinge ins
Publikum. Am Meisten Applaus haben
Teams mit nur einem Teilnehmer gekriegt.
Das Liechtensteinischen Team,
bestehend aus Robert, hatte die Ehre
zu dieser Gruppe zu gehören. Neben
dem Vorstellen gab es noch einige
Reden, die von verschiedenen Leuten
gehalten wurden. Am Ende der
Opening-Cermony konnten wir unsere
Leader das erste Mal seit Beginn der
IMO sehen.
Am Montag und am Dienstag waren
dann die Prüfungen. Es ist nicht verwunderlich,
dass die Fahrt zur Turnhalle
etwas länger ging. Über 500 Leute zu
transportieren ist nicht unbedingt einfach.
Danach mussten wir in langen
Schlangen warten, denn alle Teilnehmer
mussten vorzeigen, was sie mitnehmen
wollen. Danach kamen wir in die riesige
Turnhalle und mussten erst einmal
warten, bis jeder an seiem Platz war
und die Prüfungen verteilt waren. Dann
ging sie endlich los, die Prüfung. Nach
4.5 Stunden Arbeit waren wir alle etwas
müde. Wir sprachen über die Aufgaben
und deckten Fehler auf oder bestätigten
Lösungsideen. Das Wetter hatte
sich verschlechtert, es regnete. Leider
hatte es wie schon bei der Hinfahrt zu
wenige Busse und so mussten wir unter
einem kleinen Dach warten, bis die
Busse zurück kamen. Danach hatten
wir Freizeit. Der zweite Prüfungstag lief
ähnlich ab, wie der erste.
Am Abend des zweiten Tages haben
wir uns noch ein wenig Amsterdam
angeschaut. Danach hiess es Warten.
Aber während die Leiter die Prüfungen
korrigierten, durften wir Teilnehmer auf
Exkursionen gehen. Wir mussten uns
für zwei von vier Exkursionen entscheiden.
Es gab zur Auswahl: Segeln, The
Hague besichtigen, 20 km Radtour
machen und an einem Sportturnier teilnehmen.
Die Reihenfolge war ganz klar.
In der Reihe, wie die Exkursionen auf-
Olympiades Internationales
de Mathématiques
14

15
Internationale Mathematik-Olympiade
geschrieben waren. Wir durften dann
auch tatsächlich nach The Hague und
Segeln. Zuerst gingen wir Segeln. Wir
mussten ein zwei Segel hissen und
durften ansonsten die Fahrt geniessen.
Leider fuhr das Schiff dennoch mit Motor,
da fast kein Wind da war. Wir haben
uns ein Fischerdorf angeschaut. Auf der
Rückfahrt gingen einige Leute baden.
Leider hatten nicht alle die Badesachen
dabei. Das hiess entweder auf die Badegelegenheit
zu verzichten oder mit
Kleidern baden zu gehen. Dann kamen
wir auch schon zum Hotel zurück. Nun
hiess es Abschied nehmen. Jedoch
nicht von der IMO sondern von Nikola
und Cyril. Denn bald schon begann
die IOI für welche sich Cyril und Nikola
ebenfalls qualifiziert hatten.
Am nächsten Tag gingen wir nach The
Hague. Dort gingen wir in den Peace
Palace und besuchten zwei andere Museen.
Die Führung des Peace Palaces
lässt sich einfach beschreiben: Überall
prunkvolle Gegenstände und die Führerin,
die jeweils erzählt hat, wer es geschenkt
habe. Das Museum welches
mir am besser gefallen hat war eines
über Escher. Die schönsten Bilder von
ihm kannte ich jedoch vorher schon.
Am dritten Tag nach den Prüfungen
haben wir eine Exkursion nach Amsterdam
gemacht. Wir erfuhren unter ande-
Das Scheizer IMO-Team mit Guide.

em, dass Amsterdam mehr Kanäle hat
als Venedig. Am Abend sind wir noch in
ein Technikmuseum gegangen.
Während wir Teilnehmer auf Exkursionen
waren, haben unsere Leader die
Prüfungen korrigiert. Es gab eine ständig
projizierte Punkteliste aller Teilnehmer.
Eine Aufgabe war jeweils zensiert,
damit man nicht die cuts der Medaillen
ausrechnen konnte. Während die meissten
Aufgaben relativ bald korrigiert waren,
sorgte Nikolas Lösung der Aufgabe
5 für längere Diskussionen. Es zeichnete
sich bald etwa ab wie wir standen.
Bei Nikola hofften die Leiter auf Gold,
wärend ich wahrscheinlich Silber kriegen
würde und Cyril Bronze.
Dann standen endlich alle Punkte fest.
Louis bekam noch eine Honorable
Mention, Cyril kriegte Bronze, ich Silber
und Nikola bekam leider nur Silber.
Am bessten war es jedoch für
Laura ausgegangen, denn sie durfte
die Medaillen von Cyril und Nikola mitnehmen.
Die Leiter meinten, ich sei die
grösste Überraschung gewesen. Was
sich auch noch sagen lässt, ist, dass
wir die Aufgabe 2, nach Singapur, am
zweitbesten gelöst hatten. Insgesamt
hatte die Schweiz Medaillenmässig relativ
gut im Vergleich zu anderen Jahren
abgeschnitten und auch der Rang war
nicht schlecht. Ihm fehlte nur ein Punkt
für Gold. Und nun kam schon die Closing-Cermony.
Jeder bekam seine Medaillen
überreicht und es wurden einige
Vorträge gehalten. Am meisten geehrt
wurde Lisa Sauermann vom deutschen
Team, da sie als Frau einen neuen Medaillenrekord
aufgestellt hatte und als
einzige Perfect Score geschafft hatte.
Danach war die IMO leider schon fast
zu Ende. Es wurde nur noch auf die
IMO 2012 aufmerksam gemacht.
Nach der IMO ging das schweizer und
das liechtensteinsche Team wieder
nach Hause. Nicht ganz, denn Laura
war die Einzige vom Schweizer Team,
die wirklich nach Hause ging. Alle anderen
sind von Amsterdam aus weiter
gereist.
Olympiades Internationales
de Mathématiques
16

17 Internationale Mathematik-Olympiade
Resultat des Schweizer Teams an der IMO
Schweiz und Liechtenstein. V.l.n.r: Philipp, Robert, Florian, Johannes,
Raphael, Ulrich, Clemens, Laura, Dimitri, Louis, Julian
1 2 3 4 5 6 Total Ausz.
Nikola Djokic 7 7 0 7 6 0 27 Silber
Ulrich Brodowsky 3 7 0 7 7 0 24 Silber
Cyril Frei 7 1 0 6 2 0 16 Bronze
Louis Hainaut 7 1 0 1 2 0 11 HM
Laura Gremion 2 1 0 2 1 0 6
Johannes Kapfhammer 1 1 0 2 0 0 4
27 18 0 25 18 0 88
Nikola und Ulrich waren im ersten Viertel der Rangliste platziert und gewannen
damit Silber. Cyril liess über die Hälfte der weltweiten Konkurrenz hinter sich und
gewann somit eine Bronzemedaille. Eine Honourable Mention (HM) wird für eine
vollständig gelöste Aufgabe vergeben.

L‘OMEC 2011 avait lieu à Varazdin en Croatie.
L‘OMEC
En plus de l’OIM, depuis 2007 la Suisse
participe à un deuxième concours
international: aux Olympiades Mathématiques
de l’Europe Centrale (OMEC).
Nous nous réjouissons de pouvoir envoyer
chaque année des élèves à une
compétition internationale. Les jeunes
qui peuvent se présenter à ce concours
sont ceux qui n’ont pas participé
à l’OIM la même année et qui peuvent
y tenter leur chance l’année suivante.
L’OMEC est une bonne occasion
pour eux de gagner plus d’expérience
au niveau international. Une particularité
de l’OMEC est qu’en dehors du
concours individuel, un concours par
équipes a également lieu. Les exercices
du concours par équipes sont un
peu plus difficiles que les exercices du
concours individuel. Cette année dix
pays ont participé à l’OMEC à Varazdin
en Croatie.
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
18

19
Mitteleuropäische Mathematik-Olympiade
Resultat des MEMO Einzelwettbewerbs
L’équipe suisse (de g. à dr.) : Jonas Kühne, Hayley Ross, Viviane Kehl,
Fabian Keller, Jerome Wettstein, Alain Rossier.
1 2 3 4 Total Ausz.
Viviane Kehl 1 0 2 0 3
Fabian Keller 0 3 0 0 3
Jonas Kühne 1 4 0 0 5
Hayley Ross 0 0 1 0 1
Alain Rossier 8 0 1 8 17 Bronze
Jerome Wettstein 0 0 0 2 2
10 8 3 10 31

Von Viviane Kehl
Viviane nahm 2011
zum ersten Mal
an der MEMO teil
Die MEMO in Varaždin
Nach einer langen Zugfahrt kamen wir
am Donnerstagnachmittag in Varaždin
an. Langsam gewöhnten wir uns an die
Hitze und die riesigen Portionen bei den
Mahlzeiten. Wir lernten unseren Guide
kennen, der uns die ganze Woche umsorgte.
Herzlichen Dank dafür!
Am nächsten Morgen war Varaždin-
Sightseeing angesagt: In länderdurchmischten
Gruppen bekamen wir Fotos
von Sehenswürdigkeiten, die wir suchen
und uns zusammen mit den
Motiven fotografieren mussten. Abends
fand noch die Opening Ceremony statt,
bei der sich alle Teams kurz vorstellten.
Dann waren schon die Prüfungen. Am
ersten Nachmittag nach der Prüfung
spielten die meisten von uns TICHU gegen
Österreicher und Deutsche, wobei
unsere Teams punkteten, am zweiten
Nachmittag spielte die Hälfte Fussball,
das Schweiz-Ungarn-Team gewann
hier sogar. Dies möchte ich besonders
erwähnen, da wir beim Wettbewerb der
Schweizer Tradition folgten und mit einer
Ausnahme hintere Plätze belegten.
Das Schweizer Team an der MEMO
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
20

21 Mitteleuropäische Mathematik-Olympiade
Die beiden letzten Tage gingen wir noch
auf Ausflüge. Wir konnten uns in einem
Schwimmbad erholen und minigolfen,
danach fuhren wir weiter nach Zagreb,
wo wir durch die Stadt geführt wurden
und noch etwas freie Zeit hatten.
Ebenfalls besuchten wir das Trakošćan
Schloss und schauten uns das Neandertalermuseum
in Krapina an.
Abends bei der Closing Ceremony
wurde Alain Rossier mit einer Bronzemedaille
ausgezeichnet! Am nächsten
Morgen machten wir uns schon wieder
auf den Heimweg. Obwohl wir fünf
Stunden Aufenthalt in Zagreb hatten,
mussten wir uns schlussendlich doch
sehr beeilen, um den Nachtzug zu
erwischen. Die Woche war jedenfalls
Hammer!

Les organisateurs de l’OSM
L’OSM et la participation de la Suisse
aux olympiades internationales de mathématiques
est organisée et réalisée
par l‘association imosuisse. Le comité
et la plupart des membres sont étudiants
ou doctorants à l’EPFL ou à
l’EPFZ. Ils ont participé à l‘OIM pendant
leurs années scolaires et transmettent
maintenant leur connaissances
aux plus jeunes. Le nombre des membres
de l’association s’est élevé à 21
en 2011. Nous sommes heureux de
pouvoir désormais compter sur Sabine
Lang. Nous la saluons chaleureusement
et nous nous réjouissons de pouvoir
travailler avec elle à l’avenir.
Le comité de l’assotiation imosuisse (de g. à d.)
Dimitri Wyss, Florian Meier, Clemens Pohle, Raphael Steiner, Pascal Su,
Philipp Wirth, Hansjürg Stocker, Cyril Lagger, Julian Kellerhals
Organisation
22

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Organisation
VSWO Partenaires 2011
Der Verband Schweizer Wissenschafts-
Olympiaden (VSWO) ist der nationale
Dachverband der fünf Wissenschafts-
Olympiaden.
Nous remercions cordialement les organisations
et entreprises suivantes
pour leur soutien. Sans elles l‘OSM ne
pourrait pas exister.
Biologie
Association des Olympiades
Scientifiques Suisses
Chimie
Informatique
Mathématique
Physique
Seine Geschäftsstelle wird durch
einen Leistungsvertrag mit dem
Staatssekratariat für Bildung und
Forschung finanziert. Sie nimmt
Aufgaben im Bereich Management, PR
und Administration wahr.
Der Verband ist unsere Plattform für
• den Austausch von Erfahrungen
• die Nutzung von Synergien
• die Optimierung von Prozessen
durch Vergleich (Benchmarking)
• die Durchführung nationaler und
internationaler Anlässe
• den Kontakt mit kantonalen und
eidgenössischen Behörden
• gemeinsamen Sponsoren
Soutient académique
• Département de mathématique de
l'ETH Zurich
• Département de mathématique de
l'EPF Lausanne
• Fondation pour la promotion des
mathématiques en Suisse
• Liceo cantonale di Lugano I
Partenaire d‘or (dès 12‘000 frs)
Partenaire d‘argent (dès 4‘000 frs)
• Fondation Ernst Göhner Zug
• Fondation Hasler
• Fondation Metrohm
• Les entreprises de la KGF (Kontaktgruppe
für Forschungsfragen) Ciba
Specialty Chemicals, Novartis,
F. Hoffmann-La Roche, Serono et
Syngenta.
• Swiss Life
• Crédit Suisse
• Fondation Claude & Giuliana
• Deutschschweizerische
Mathematik-Kommission
Partenaire de bronze (dès 1‘000 frs)

Finances
Voici un tableau récapitulatif des dépenses de l’association imosuisse en 2011.
Dépenses
en frs
Transport national participants 2‘707.20
Transport national organisateurs 886.70
Transport et participation OIM 2‘405.00
Observateurs OIM 3‘560.50
Transport OMEC 1‘806.00
Rencontres de préparation 245.55
Week-end de mathématiques 1‘341.05
Camp OSM 9‘309.95
Journée OSM 536.70
Camp de préparation OIM 4‘886.65
Participation OMEC 1‘236.25
T-Shirts 708.00
Impression & envoi de documents 1‘776.80
Bons cadeau exercice du mois 404.70
Frais internet 255.85
Gestion de compte 160.00
Provisions MEMO 2012 10‘000.00
Frais divers 1‘354.00
Total dépenses 43‘580.9
Avec des recettes de sponsoring de 46‘932.00 frs, de cotisations de 130.- et
d‘intérêts de 80.80 frs il en résulte un bénéfice de 3’562.20 frs. La fortune de
l‘association vaut en ce moment 23’613.28 frs.
Organisation
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25
Organisation
Unterstützen
Finanziell konnten wir das Jahr 2011
dank der grosszügigen Unterstützung
von verschiedenen Unternehmen und
Stiftungen positiv abschliessen. Zusätzlich
fielen die Reisekosten an die
IMO in Amsterdam vergleichsweise
gering aus.
Im Jahr 2012 werden die Reisekosten
wieder höher liegen. Um sämtliche Anlässe
der für die teilnehmenden Schülerinnen
und Schüler kostenlos anbieten
zu können, sind wir also weiterhin auf
Drittmittel angewiesen.
Wir planen ebenfalls den Fonds zur
Durchführung der MEMO im September
2012 in der Schweiz weiter aufzustocken.
Die MEMO 2012 wird aus
auch aus finanzieller Hinsicht eine Herausforderung
für den Verein. Damit
dieser Anlass mit ungefähr 100 Teilnehmenden
aus 10 Ländern bis auf eine
geringe Anmeldegebühr kostenlos angeboten
werden kann, werden wir noch
weitere Reserven benötigen.
Wir möchten uns bei unseren Partnern
(siehe Rückseite der Broschüre)
herzlich für die bisherige Unterstützung
bedanken und hoffen, dass wir auch
weiterhin mit ihrem Vertrauen rechnen
dürfen.
Le concept de soutien de l‘OSM
Nos partenaires privés sont séparés en trois catégories :
• Avec un montant jusqu’à 1‘000 frs, le donneur appartient à la catégorie
des donateurs. On le remercie pour son engagement dans le rapport annuel.
• A partir d‘un montant de 1‘000 frs, un donneur fait partie des
partenaires de bronze.
• Les partenaires d‘argent nous soutiennent avec un montant d‘au moins
4‘000 frs.
• Un partenair est considéré comme un partenair d‘or à partir d‘un montant de
12‘000 frs.
Les partenaires d’or, d’argent et de bronze seront mentionnées, avec une visibilité
en fonction de leur statut, à travers le placement de leurs enseignes sur
les publications imprimées et sur notre site web (sans lien direct), ainsi que
lors de toutes nos manifestations publiques.

Olympiades Suisses de Mathématiques
Perspectives pour l‘OSM 2012
Nous avons pris la décision d’organiser le concours selon le même système que
l’année précédente. Il y a donc de nouveau un concours national composé de
deux tours, suivi de la sélections des équipes pour les deux concours internationaux,
l’OIM et l’OMEC.
Date
Evènement
Sam, 12 novembre 2011
Sam, 10 décembre 2011
Sam, 14 janvier 2012
Ven, 3 – Dim, 5.2.2012
Sam, 18 février 2012
Dim, 4 – Dim, 11.3.2012
Sam, 24 mars 2012
1 e rencontre à Zürich, Lausanne et Bellinzona
2 e rencontre à Zürich, Lausanne und Bellinzona
Examen du tour préliminaire
Week-end de mathématiques à Zurich
Une journée de préparation
Camp OSM et examen du tour final
Journée OSM à l’EPFZ (Aula Semper)
28/29 Avril, 12/13 Mai 2012 Rencontres de préparation pour la sélection OIM
Mai 2012
Juin 2012
Début juillet 2012
Quatre examens de sélection pour l‘OIM et l‘OMEC
Rencontres de préparations avec les deux équipes
Préparation OIM avec l’équipe slovène
12 - 24 juillet 2012 53 e OIM à Mar del Plata, Argentine
Septembre 2012
6 e OMEC en Suisse
Perspectives pour l‘OSM 2012
26

Sites web
www.imosuisse.ch
Olympiades Suisses de Mathématiques
www.olympiads.ch
Association des Olympiades
Scientifiques Suisses
www.ibosuisse.ch
Olympiades Suisses de Biologie
www.icho.ch
Olympiades Suisses de Chimie
www.soi.ch
Olympiades Suisses d‘Informatique
www.swisspho.ch
Olympiades Suisses de Physique
Contact
Olympiades Suisses de Mathématiques
Julian Kellerhals
Montolivet 1
1006 Lausanne
julian@imosuisse.ch
076 392 31 41
Impressum
Concept: Daniel Sprecher,
Claudia Appenzeller, AOSS
Layout: Daniel Sprecher
Logo OSM: Alfons Gschwend
Texte: Daniel Sprecher, Thomas Huber,
Julian Kellerhals
Traduction: Anna Devic
Photos: Claudia Appenzeller, Lukas Brun,
Julian Kellerhals, Clemens Pohle, Oliver
Prosperi, Jonas Kühne, Laura Gremion, Louis
Hainaut.
© imosuisse Zurich, décembre 2011

Fondation Ernst Göhner Zug
Fondation pour la
promotion des mathématiques
en Suisse
www.imosuisse.ch

Die Schweizer Mathematik-Olympiade
Examens 2011

Schweizer Mathematik-Olympiade
2

3
Olympiades Suisses de Mathématiques

SMO Finalrunde 2011
erste Prüfung - 11. März 2011
Zeit: 4 Stunden
Jede Aufgabe ist 7 Punkte wert.
1. An einer Party sitzen 2011 Leute mit je einem Glas Sirup in der Hand an einem runden Tisch.
Zu jedem Zeitpunkt wird unter Beachtung der folgenden Regeln angestossen:
(a) Es wird nicht übers Kreuz angestossen.
(b) Jeder kann zu jedem Zeitpunkt nur mit jemandem anstossen.
Wieviele Zeitpunkte vergehen mindestens, bis jeder mit jedem angestossen hat?
2. Sei ABC ein spitzwinkliges Dreieck. Seien D, E bzw. F Punkte auf BC, CA bzw. AB, sodass
gilt:
∠AF E = ∠BFD, ∠BDF = ∠CDE, ∠CED = ∠AEF
Zeige, dass D, E und F die Fusspunkte der Höhen sind.
3. Finde den kleinstmöglichen Wert, den der Ausdruck
∣2011 m − 45 n ∣
für natürliche Zahlen m und n annehmen kann.
4. Finde alle Funktionen f : R + → R + , sodass für alle a, b, c, d > 0 mit abcd = 1 gilt:
(f(a)+f(b))(f(c)+f(d)) = (a + b)(c + d)
5. Die Tangenten in A und B an den Umkreis des Dreiecks ABC schneiden sich im Punkt T .Der
Kreis durch die Punkte A, B und T schneidet BC und AC nochmals in D bzw. E und CT
schneidet BE in F . Nehme an, dass D der Mittelpunkt von BC ist. Berechne das Verhältnis
BF : FE.
Viel Glück !
Schweizer Mathematik-Olympiade
4

5
Olympiades Suisses de Mathématiques
OSM Tour final 2011
premier examen - le 11 mars 2011
Durée : 4 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
1. Lors d’une fête, 2011 personnes sont assises à une table ronde avec un verre de sirop à la
menthe sucrée dans la main. Pendant chaque unité de temps, un nombre quelconque de
personnes fait santé en respectant les règles suivantes :
(a) Pendant une unité de temps, chacun ne peut faire santé qu’avec une autre personne.
(b) On ne croise pas en faisant santé.
Combien d’unités de temps sont nécessaires, au minimum, pour que tout le monde aie fait
santé avec tout le monde ?
2. Soit ABC un triangle aigu. Soient D, E et F des points sur BC, CA et AB, telsque:
∠AF E = ∠BFD, ∠BDF = ∠CDE, ∠CED = ∠AEF
Montrer que D, E et F sont les pieds des hauteurs du triangle.
3. Trouver la plus petite valeur de l’expression
pour des nombres naturels m et n.
∣2011 m − 45 n ∣
4. Trouver toutes les fonctions f : R + → R + telles que pour tout a, b, c, d > 0 avec abcd = 1 on
a:
(f(a)+f(b))(f(c)+f(d)) = (a + b)(c + d)
5. Les tangentes en A et B du cercle circonscrit du triangle ABC se coupent en T . Le cercle
passant par A, B et T recoupe BC et AC en D et E. CT coupe BE en F . On suppose que
D est le milieu de BC. Calculer le rapport BF : FE.
Bonne chance !

SMO Finalrunde 2011
zweite Prüfung - 12. März 2011
Zeit: 4 Stunden
Jede Aufgabe ist 7 Punkte wert.
6. Seien a, b, c, d > 0 positive reelle Zahlen mit a + b + c + d = 1. Zeige, dass gilt:
2
(a + b)(c + d) ≤ √ 1 + √ 1
ab cd
7. Finde alle ganzen Zahlen z ∈ Z, sodass
wobei r ∈ Q eine rationale Zahl ist.
2 z +2=r 2
8. Sei ABCD ein Parallelogramm und H der Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC. Die Parallele
zu AB durch H schneidet BC in P und AD in Q. Die Parallele zu BC durch H schneidet
AB in R und CD in S. Zeige, dass P , Q, R und S auf einem Kreis liegen.
9. Sei n eine natürliche Zahl. Sei f(n) die Anzahl Teiler von n, die mit der Ziffer 1 oder 9 enden
und sei g(n) die Anzahl Teiler von n die mit der Ziffer 3 oder 7 enden. Zeige, dass f(n) ≥ g(n)
für alle n ∈ N.
10. Auf jedem Feld eines Schachbretts sitzen zwei Kakerlaken. Jede Kakerlake kriecht auf ein
benachbartes Feld. Dabei kriechen die Kakerlaken, die auf dem gleichen Feld waren, auf
verschiedene Felder. Welches ist die maximale Anzahl Felder, die frei werden kann?
Viel Glück !
Schweizer Mathematik-Olympiade
6

7
Olympiades Suisses de Mathématiques
OSM Tour final 2011
deuxième examen - le 12 mars 2011
Durée: 4 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
6. Soient a, b, c, d > 0 des nombres réels positifs avec a + b + c + d = 1. Montrer que
2
(a + b)(c + d) ≤ √ 1 + √ 1 .
ab cd
7. Trouver tous les nombres z ∈ Z, telsque
où r ∈ Q est un nombre rationel.
2 z +2=r 2
8. Soit ABCD un parallélogramme et H l’orthocentre du triangle ABC. La parallèle à AB
passant par H coupe BC en P et AD en Q. La parallèle à BC passant par H coupe AB en
R et CD en S. Montrer que P , Q, R et S sont sur un cercle.
9. Soit n un nombre naturel. Soit f(n) le nombre de diviseurs de n qui se terminent par le chiffre
1 ou 9 et soit g(n) le nombre de diviseurs de n qui se terminent avec le chiffre 3 ou 7. Montrer
que f(n) ≥ g(n) pour tout n ∈ N.
10. Sur chaque case d’un échiquier, il y a deux punaises. Chaque punaise se déplace sur une
case adjacente. Deux punaises qui se trouvent sur la même case se déplacent sur deux cases
distinctes. Quel est le nombre maximal de cases qui peuvent être vide après le déplacement?
Bonne chance !

IMO Selektion 2011
erste Prüfung - 7. Mai 2011
Zeit: 4.5 Stunden
Jede Aufgabe ist 7 Punkte wert.
IMO Selektion 2011
erste Prüfung - 7. Mai 2011
1. Finde alle Paare von Primzahlen (p, q) mit 3 ̸ |p + 1 so dass
Zeit: 4.5 Stunden
Jede Aufgabe ist 7 Punkte wert.
p 3 +1
q
das Quadrat einer natürlichen Zahl ist.
1. Finde alle Paare von Primzahlen (p, q) mit 3 ̸ |p + 1 so dass
2. Die Gerade g schneide den Kreis k in den Punkten A und B. DieMittelsenkrechtederStrecke
AB schneide k noch einmal in C und D. SeinunP
p 3 ein weiterer Punkt auf g, der ausserhalb
+1
von k liegt. Die Parallelen zu CA und CB durch P schneiden die Geraden CB und CA in
den Punkten X und Y . Beweise, IMOdass Selektion XY senkrecht
q 2011 auf PD steht.
das Quadrat einer natürlichen zweite Zahl Prüfung ist. - 8. Mai 2011
3. Betrachte ein Spielbrett mit ungeraden Seitenlängen, das in Einheitsquadrate aufgeteilt ist.
Das Brett ohne ein Eckfeld wird irgendwie mit Dominos bedeckt. Man kann nun in einem
Zeit: 2. 4.5 Zug DieStunden
Gerade ein Domino g schneide in Längsrichtung den Kreis k in umden eins Punkten verschieben, A undsodass B. DieMittelsenkrechtederStrecke
das vorher leere Feld bedeckt
Jede Aufgabe wird, AB schneide dafür ist 7ein kPunkte noch neues einmal wert. (zwei Felder in C und davon D. entfernt) SeinunPfrei einwird. weiterer Beweise, Punkt dass aufdas g, der leere ausserhalb Feld mit
einer von kFolge liegt. von DieZügen Parallelen in jede zu beliebige CA und CB Eckedurch des Brettes P schneiden verschoben die Geraden werden kann. CB und CA in
Bemerkung: den PunktenEin X und Domino Y . Beweise, besteht aus dass aus XY zwei senkrecht Einheitsquadraten auf PD steht. mit einer gemeinsamen Seite.
IMO Selektion 2011
zweite Prüfung - 8. Mai 2011
3. Betrachte ein Spielbrett mit ungeraden Seitenlängen, das in Einheitsquadrate aufgeteilt ist.
4. Sei n ein natürliche Zahl. In einem Affenkäfig mit n Affen stehen n Kletterstangen. Damit die
Das Brett ohne ein Eckfeld wird irgendwie mit Dominos bedeckt. Man kann nun in einem
Affen etwas Bewegung bekommen platzieren
Zug ein Domino in Längsrichtung umViel einsGlück die
verschieben, !
Wärter zur Fütterung jeweils eine Banane
sodass das vorher leere Feld bedeckt
Zeit: 4.5 oben
wird, Stunden an jeder Stange. Zusätzlich verbinden sie die Stangen mit einer endlichen Anzahl Seile,
dafür ein neues (zwei Felder davon entfernt) frei wird. Beweise, dass das leere Feld mit
Jede Aufgabe sodass zwei
einer Folge ist von 7verschiedene Punkte Zügenwert.
Seilenden an verschiedenen Punkten festgemacht werden. Wenn ein
in jede beliebige Ecke des Brettes verschoben werden kann.
Affe eine Stange hochklettert und ein Seil findet, kann er nicht widerstehen und wird sich
Bemerkung: Ein Domino besteht aus aus zwei Einheitsquadraten mit einer gemeinsamen Seite.
über das Seil hangeln bevor er seinen Aufstieg fortsetzt. Jeder Affe startet bei einer anderen
Stange. Zeige, dass jeder Affe einen Banane kriegt.
4. Sei n ein natürliche Zahl. In einem Affenkäfig mit n Affen stehen n Kletterstangen. Damit die
5. Affen Finde etwas natürliche Bewegung Zahlenbekommen a, b, c, so dass platzieren Viel
die Quersumme
Glück die!
Wärter vonzur a+b, Fütterung b+c undjeweils c+a jeweils eine Banane kleiner
oben als 5 ist, an jeder die Quersumme Stange. Zusätzlich von a + verbinden b + c abersie grösser die Stangen als 50. mit einer endlichen Anzahl Seile,
sodass zwei verschiedene Seilenden an verschiedenen Punkten festgemacht werden. Wenn ein
Affe eine Stange hochklettert und ein Seil findet, kann er nicht widerstehen und wird sich
über das Seil hangeln bevor er seinen Aufstieg fortsetzt. Jeder Affe startet bei einer anderen
6. Stange. Finde alle Zeige, Funktionen dass jeder f Affe : Q + einen → Q + Banane so dass kriegt. für alle positiven rationalen Zahlen x, y gilt
f(f(x) 2 y)=x 3 f(xy).
5. Finde natürliche Zahlen a, b, c, so dass die Quersumme von a+b, b+c und c+a jeweils kleiner
als 5 ist, die Quersumme von a + b + c aber grösser als 50.
Viel Glück !
IMO-Selektion
6. Finde alle Funktionen f : Q + → Q + so dass für alle positiven rationalen Zahlen x, y gilt
8
f(f(x) 2 y)=x 3 f(xy).

Durée : 4.5 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
Sélection OIM 2011
9 Sélection OIM
Premier examen - 7 mai 2011
Sélection OIM 2011
Premier examen - 7 mai 2011
1. Trouver toutes les paires (p, q) de nombres premiers telles que 3 ̸
∣ p +1et
Durée : 4.5 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
est le carré d’un nombre naturel.
p 3 +1
q
1. 2. Trouver La droitetoutes g coupe les le paires cercle (p, kq) aux de points nombres A premiers et B. La telles médiatrice que 3du ̸ ∣ p segment +1et AB coupe k aux
points C et D. Soit P un point de g qui se trouve en dehors du cercle k. Les parallèles à CA
et CP passant par P coupent CB et CA aux p 3 +1 points X et Y , respectivement. Montrer que
XY et DP sont perpendiculaires.
q
est le carré d’un nombre naturel.
Sélection OIM 2011
3. On considère un plateau de Deuxième jeu dont les examen côtés sont - 8 mai de longueur 2011 impaire et qui est découpé en
carrés unité. Le plateau est recouvert de dominos de sorte que seul une case dans un angle
2. La
reste
droite
libre.
g
A
coupe
chaque
le cercle
mouvement
k aux points
on peut
A
glisser
et B. La
un
médiatrice
domino dans
du segment
le sens longitudinal
AB coupe k
pour
aux
points
qu’il recouvre
C et D.
la
Soit
case
P
libre
un point
auparavant.
de g qui
Ainsi
se trouve
une nouvelle
en dehors
case
du
(deux
cercle
cases
k. Les
plus
parallèles
loin) se libère.
à CA
Durée
Montrer
et : 4.5 CPheures
passant
qu’il existe
par P
des
coupent
suites de
CB
mouvements
et CA aux
qui
points
permettent
X et Y ,
de
respectivement.
déplacer la case
Montrer
libre dans
que
Chaque XY
n’importe
exercice et DP
quelle
vaut sont 7perpendiculaires.
case
points.
angulaire.
Remarque : Un domino recouvre exactement deux carrés unité qui ont un côté en commun.
Sélection OIM 2011
3. On considère un plateau de Deuxième jeu dont les examen côtés sont - 8 mai de longueur 2011 impaire et qui est découpé en
carrés unité. Le plateau est recouvert de dominos de sorte que seul une case dans un angle
4. Soit n un nombre naturel. Dans une cage de singes se trouvent n singes et n perches. Pour
reste libre. A chaque mouvement on peut glisser un domino dans le sens longitudinal pour
que les singes se bougent un peu, lesBonne gardiens chance placent ! une banane en haut de chaque perche.
qu’il recouvre la case libre auparavant. Ainsi une nouvelle case (deux cases plus loin) se libère.
Durée De : 4.5 plus, heures ils relient les perches avec un nombre fini de cordes, de sorte que deux extrémités de
Montrer qu’il existe des suites de mouvements qui permettent de déplacer la case libre dans
Chaque corde exercice sont toujours vaut 7 points. fixés à des points distincts. Quand un singe grimpe une perche et trouve
n’importe quelle case angulaire.
une corde, il ne peut pas résister à la tentation de suivre la corde pour arriver à une autre
Remarque : Un domino recouvre exactement deux carrés unité qui ont un côté en commun.
perche avant de continuer son ascension. Chaque singe commence à une perche différente.
Montrer que chaque singe trouvera une banane.
4. Soit n un nombre naturel. Dans une cage de singes se trouvent n singes et n perches. Pour
que les singes se bougent un peu, lesBonne gardiens chance placent ! une banane en haut de chaque perche.
5. Montrer qu’il existe des nombres naturels a, b, c tels que la somme des chiffres de a + b, b + c
De plus, ils relient les perches avec un nombre fini de cordes, de sorte que deux extrémités de
et c + a est plus petite que 5 mais la somme des chiffres de a + b + c est supérieure à 50.
corde sont toujours fixés à des points distincts. Quand un singe grimpe une perche et trouve
une corde, il ne peut pas résister à la tentation de suivre la corde pour arriver à une autre
perche avant de continuer son ascension. Chaque singe commence à une perche différente.
6. Trouver toutes les fonctions f : Q
Montrer que chaque singe trouvera + −→ Q
une banane.
+ telles que pour tous les nombres rationnels positifs
x et y on a
5. Montrer qu’il existe des nombres naturels
f(f(x) 2 a,
y)=x
b, c tels 3 f(xy).
que la somme des chiffres de a + b, b + c
et c + a est plus petite que 5 mais la somme des chiffres de a + b + c est supérieure à 50.
Bonne chance !
6. Trouver toutes les fonctions f : Q + −→ Q + telles que pour tous les nombres rationnels positifs
x et y on a
f(f(x) 2 y)=x 3 f(xy).

IMO Selektion 2011
dritte Prüfung - 21. Mai 2011
Zeit: 4.5 Stunden
Jede Aufgabe ist 7 Punkte wert.
IMO Selektion 2011
dritte Prüfung - 21. Mai 2011
7. Finde alle Polynome P ≠ 0 mit reellen Koeffizienten, welche die folgende Bedingung erfüllen:
Zeit: 4.5 Stunden
P (P (k)) = P (k) 2 für k =0, 1, 2,...,(deg P ) 2
Jede Aufgabe ist 7 Punkte wert.
8. Zeige, dass es mehr als 10 13 Möglichkeiten gibt, 81 Könige so auf einem 18 × 18 Schachbrett
zu platzieren, dass sich keine IMO zwei Könige Selektion attackieren. 2011
7. Finde Bemerkung: alle Polynome Zwei Könige P ≠ 0können mit reellen Koeffizienten, welche die folgende Bedingung erfüllen:
vierte
sich
Prüfung
attackieren,
- 22. Mai
falls
2011
die Felder, auf denen sie stehen, eine
gemeinsame Seite oder eine gemeinsame Ecke besitzen.
P (P (k)) = P (k) 2 für k =0, 1, 2,...,(deg P ) 2
Zeit: 4.5 Stunden
9. In einem Dreieck ABC mit AB ≠ AC sei D die Projektion von A auf BC. FernerseienE,F
Jede Aufgabe ist 7 Punkte wert.
die Mittelpunkte der Strecken
8. Zeige, dass es mehr als 10 13 AD bzw. BC und G die Projektion von B auf AF . Zeige, dass
Möglichkeiten gibt, 81 Könige so auf einem 18 × 18 Schachbrett
die Gerade EF die Tangente
zu platzieren, dass sich keine
IMO im Punkt
zwei Könige
Selektion F an den Umkreis
attackieren.
2011des Dreiecks GF C ist.
Bemerkung: Zwei Könige können viertesich Prüfung attackieren, - 22. Mai falls 2011 die Felder, auf denen sie stehen, eine
gemeinsame Seite oder eine gemeinsame Ecke besitzen.
10. Sei ABCD ein Quadrat und M ein Punkt Viel Glück im Innern ! der Strecke BC. Die Winkelhalbierende
des Winkels ∠BAM schneide die Strecke BC im Punkt E. Ferner schneide die Winkelhalbierende
Stunden des Winkels ∠MAD die Gerade CD im Punkt F . Zeige, dass AM und EF senkrecht
Zeit: 4.5
Jede 9. Aufgabe In einemist Dreieck 7 Punkte ABCwert.
mit AB ≠ AC sei D die Projektion von A auf BC. FernerseienE,F
aufeinander stehen.
die Mittelpunkte der Strecken AD bzw. BC und G die Projektion von B auf AF . Zeige, dass
die Gerade EF die Tangente im Punkt F an den Umkreis des Dreiecks GF C ist.
11. Seien x 1 ,...,x 8 ≥ 0 reelle Zahlen, sodass für i =1,...,8 gilt x i + x i+1 + x i+2 ≤ 1, wobei
10. Sei x 9 = ABCD x 1 undein x 10 Quadrat = x 2 . Beweise und M die einUngleichung
Punkt
Viel Glück
im Innern
!
der Strecke BC. Die Winkelhalbierende
des Winkels ∠BAM schneide die Strecke BC im Punkt E. Ferner schneide die Winkelhalbierende
des Winkels ∠MAD die Gerade CDxim i x i+2
8∑
Punkt ≤ 1 F . Zeige, dass AM und EF senkrecht
aufeinander stehen.
i=1
und finde alle Fälle in denen Gleichheit herrscht.
11. Seien x 1 ,...,x 8 ≥ 0 reelle Zahlen, sodass für i =1,...,8 gilt x i + x i+1 + x i+2 ≤ 1, wobei
x 9 = x 1 und x 10 = x 2 . Beweise die Ungleichung
12. Sei a>1 eine natürliche Zahl und seien f und g Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.
Angenommen es gibt eine natürliche Zahl 8∑ n 0 , so dass g(n) > 0für alle n ≥ n 0 und
x i x i+2 ≤ 1
f(n) | a g(n) i=1 − 1 für alle n ≥ n 0 .
und finde alle Fälle in denen Gleichheit herrscht.
Zeige, dass dann f konstant sein muss.
12. Sei a>1 eine natürliche Zahl und seien f und g Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.
Angenommen es gibt eine natürliche Zahl Viel IMO-Selektion
Glück n 0 , so ! dass g(n) > 0für alle n ≥ n 0 und
f(n) | a g(n) − 1 für alle n ≥ n 0 .
Zeige, dass dann f konstant sein muss.
10

Bonne chance !
Durée : 4.5 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
Sélection OIM 2011
11 Sélection OIM
Troisième examen - 21 mai 2011
Sélection OIM 2011
Troisième examen - 21 mai 2011
7. Trouver tous les polynômes P ≠0àcoefficients réels, satisfaisant les conditions suivantes :
Durée : 4.5 heures
P (P (k)) = P (k) 2 pour k =0, 1, 2,...,(deg P ) 2
Chaque exercice vaut 7 points.
8. Montrer qu’il y a plus de 10 13 possibilités de placer 81 rois sur un échiquier 18 × 18 de telle
sorte que aucun roi ne peut attaquer un autre.
7. Trouver Remarque tous : Un lesroi polynômes peut attaquer P ≠0àcoefficients un autre roi, si réels, les cases satisfaisant qu’ils occupent les conditions ont unsuivantes côté ou : un
coin en commun. Sélection OIM 2011
P (P Quatrième (k)) = P (k) examen 2 pour k - 22 =0, mai 1, 2,...,(deg 2011 P ) 2
9. Dans un triangle ABC avec AB ≠ AC, soit D la projection de A sur BC. De plus soient E
et F les centres des segments
8. Montrer qu’il y a plus de 10 13 AD et BC respectivement et soit G la projection de B sur AF .
Durée
Montrer
: 4.5 heures
que la droite EF est la
possibilités
tangente au
de
point
placer
F
81
au
rois
cercle
sur
circonscrit
un échiquier
du
18
triangle
× 18 de
GF
telle
C.
Chaque sorte exercice que aucun vaut 7roi points. ne peut attaquer un autre.
Remarque : Un roi peut attaquer un autre roi, si les cases qu’ils occupent ont un côté ou un
Sélection OIM 2011
coin en commun.
Bonne chance !
Quatrième examen - 22 mai 2011
10. Soit ABCD un carré et M un point à l’intérieur du segment BC. La bissectrice de l’angle
9. Dans un triangle ABC avec AB ≠ AC, soit D la projection de A sur BC. De plus soient E
∠BAM coupe le segment BC au point E. De plus la bissectrice de l’angle ∠MAD coupe la
et F les centres des segments AD et BC respectivement et soit G la projection de B sur AF .
Durée droite : 4.5 heures CD au point F . Montrer que AM et EF sont perpendiculaires.
Montrer que la droite EF est la tangente au point F au cercle circonscrit du triangle GF C.
Chaque exercice vaut 7 points.
11. Soient x 1 ,...,x 8 ≥ 0 des nombres réels tels que pour i =1,...,8 on a x i + x i+1 + x i+2 ≤ 1,
où x
Bonne chance !
9 = x 1 et x 10 = x 2 . Montrer l’inéquation
10. Soit ABCD un carré et M un point à l’intérieur 8∑ du segment BC. La bissectrice de l’angle
∠BAM coupe le segment BC au point E. xDe i x i+2 plus ≤la 1 bissectrice de l’angle ∠MAD coupe la
droite CD au point F . Montrer que AMi=1et EF sont perpendiculaires.
et trouver tous les cas d’égalité.
11. Soient x 1 ,...,x 8 ≥ 0 des nombres réels tels que pour i =1,...,8 on a x i + x i+1 + x i+2 ≤ 1,
où x 9 = x 1 et x 10 = x 2 . Montrer l’inéquation
12. Soit a>1 un nombre naturel et soient f et g des polynômes à coefficients entiers. Supposons
qu’il existe un nombre naturel n 0 tel que8∑
g(n) > 0 pour tout n ≥ n 0 et
x i x i+2 ≤ 1
f(n) | a g(n) − 1 pour tout n ≥ n 0 .
et Montrer trouver que tous f est les constant. cas d’égalité.
i=1
12. Soit a>1 un nombre naturel et soient Bonne f etchance g des polynômes ! à coefficients entiers. Supposons
qu’il existe un nombre naturel n 0 tel que g(n) > 0 pour tout n ≥ n 0 et
f(n) | a g(n) − 1 pour tout n ≥ n 0 .
Montrer que f est constant.

Montag, 18. Juli 2011
Aufgabe 1. Für jede Menge A = {a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 } von vier paarweise verschiedenen positiven ganzen
Zahlen, deren Summe a 1 + a 2 + a 3 + a 4 mit s A bezeichnet werde, sei n A die Anzahl der Paare (i, j)
mit 1 ≤ i0 eine ganze Zahl. Gegeben seien eine Balkenwaage und n Gewichtsstücke mit
den Gewichten 2 0 , 2 1 ,...,2 n−1 . Wir sollen jedes der n Gewichtsstücke, eines nach dem anderen, so
auf die Waage legen, dass die rechte Schale zu keinem Zeitpunkt schwerer als die linke ist. In jedem
Zug wählen wir ein Gewichtsstück aus, das zu diesem Zeitpunkt noch nicht auf die Waage gelegt
wurde und legen es entweder auf die linke oder die rechte Schale bis alle Gewichtsstücke verwendet
worden sind.
Man bestimme die Anzahl derartiger Folgen mit n Zügen.
Aufgabe 5. Sei f eine Funktion, die die Menge der ganzen Zahlen in die Menge der positiven
ganzen Zahlen abbildet. Für je zwei ganze Zahlen m und n sei die Differenz f(m) − f(n) durch
f(m − n) teilbar.
Man beweise für alle ganzen Zahlen m, n mit f(m) ≤ f(n), dass f(n) durch f(m) teilbar ist.
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Olympiades Internationales
de Mathématiques
Lundi 18 juillet 2011
Problème 1. Pour tout ensemble A = {a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 } de quatre entiers strictement positifs deux à
deux distincts, on note s A la somme a 1 + a 2 + a 3 + a 4 et on note n A le nombre de couples (i, j), avec
1 i

44 a
a 1 a 2 a 3 a 4
1
(a 4 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) 44 a
44 a
30 n =4 (a a 30
1 a 2 a 3 a 4
1b 1 (a ,b 2 ,...,b n
4 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) a
30 =4
b 2 30
1 + b 2 2 + ...+ b 2 30 n =4 30
n
b ,b ,...,b ≥ 2011 .
1 ,b 2 ,...,b n
n
b 2 ...+ 1 + b 2 2 + ...+ b 2 n
2011 ≥ 2011 .
n
n ≥ 3
n
1, 2,...,n
n
n ≥ 3
− 3
1, 2,...,n n
n
1, 2,...,n
1
n
S n − 2
n − 3
n
S
1
S
S
S n − 2
S
S
S
K 1 K 2 I 1 I 2
A B ∠I 1 AI 2 K 1 A K 2
C K A K 1 D K 3
1 K 2 I 1 I 2
BCD ∠I E AI CD A B ∠I 3
1 AI 2 K 1 A K 2
B AC AD K 3 K L
C K 2 A K 1 D K 3
AE BCD KL
BCD E
CD
CD K 3
B
AC
AC
AD
AD K 3 K L
AE
AE
KL
KL
k m k>m km(k 2 − m 2 ) k 3 − m 3
(k − m) 3 > 3km
k m
k>m
k>m
km(k
km(k 2 − m 2 ) k 3 − m 3
(k
(k −
m)
m) 3 >
3km
3km
Mitteleuropäische Mathematik-Olympiade
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15 Olympiades Mathématiques d’Europe Centrale
language : French
5. Olympiade de Mathématiques d’Europe Centrale
5. Olympiade deCompétition Mathématiques individuelle d’Europe Centrale
3. Septembre 2011
Compétition individuelle
3. Septembre 2011
language : French
Problème I-1.
Initialement, seul l’entier 44 est écrit sur un tableau. Un entier a, écrit sur ce tableau, peut
être Problème remplacé I-1. par quatre entiers différents a 1 , a 2 , a 3 , a 4 tels que la moyenne arithmétique
1
Initialement, (a 4 1 + a 2 + aseul 3 + al’entier 4 ) des quatres 44 est nouveaux écrit sur un entiers tableau. est égale Un entier au nombre a, écrit a. Une sur ce étape tableau, consiste peut à
remplacer être remplacé simultanément par quatretous entiers les entiers différents écrits a 1 sur , a 2 le , atableau 3 , a 4 tels selon que la méthode la moyenne décrite arithmétique ci-dessus.
Après
1
(a 30 étapes, on s’arrête avec n =4 30 b 1 ,b 2 ,...,b n sur le tableau. Prouver que
4 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) des quatres nouveaux entiers est égale au nombre a. Une étape consiste à
remplacer simultanément tous les entiers b 2 1 + b 2 écrits
2 + ...+ surb 2 le tableau selon la méthode décrite ci-dessus.
n
Après 30 étapes, on s’arrête avec n =4 30 entiers ≥ 2011 .
n
b 1 ,b 2 ,...,b n sur le tableau. Prouver que
b 2 1 + b 2 2 + ...+ b 2 n
≥ 2011 .
Problème I-2.
n
Soit n ≥ 3 un entier. Jean et Marie jouent au jeu suivant. Au début, Jean numérote les côtés
d’un Problème n-goneI-2.
régulier avec les nombres 1, 2,...,n dans l’ordre qu’il veut, en utilisant chaque
Soit nombre n ≥exactement 3 un entier. une Jean fois. etEnsuite Marie jouent Marie au découpe jeu suivant. ce n-gone Au en début, triangles, Jean numérote en dessinant les ncôtés
− 3
d’un diagonales n-gone qui régulier ne se coupent avec lespas nombres l’une l’autre 1, 2,...,n à l’intérieur dans l’ordre du n-gone. qu’il Toutes veut, en cesutilisant diagonales chaque sont
nombre numérotées exactement par le nombre une fois. 1. Ensuite A l’intérieur Mariededécoupe chaquece triangle, n-gone on en écrit triangles, produit en dessinant nombres n − 3
situés diagonales sur les quicôtés ne sede coupent ce triangle. pas l’une Soitl’autre S la somme à l’intérieur de cesdu n −n-gone. 2 produits. Toutes ces diagonales sont
numérotées
Déterminer
par
la valeur
le nombre
de S
1.
si Marie
A l’intérieur
veut que
de
le
chaque
nombre
triangle,
S soit
on
le plut
écrit
petit
le produit
possible
des
et
nombres
si Jean
situés
veut que
sur
S
les
soit
côtés
le plus
de ce
grand
triangle.
possible
Soit
et
S
s’ils
la somme
font tous
de ces
les
n
deux
− 2
les
produits.
meilleurs choix possibles.
Déterminer la valeur de S si Marie veut que le nombre S soit le plut petit possible et si Jean
veut que S soit le plus grand possible et s’ils font tous les deux les meilleurs choix possibles.
Problème I-3.
Dans un plan, les cercles K 1 et K 2 de centre I 1 et I 2 , respectivement, se coupent en deux points
AProblème et B. On I-3. suppose que ∠I 1 AI 2 est obtu. La tangente à K 1 en A coupe K 2 une deuxième fois
en Dans C et unlaplan, tangente les cercles à K 2 en K 1 Aetcoupe K 2 deKcentre 1 une Ideuxième 1 et I 2 , respectivement, fois en D. Soit se K 3 coupent le cercleencirconscrit deux points au
Atriangle et B. BCD. On suppose Soit Eque le milieu ∠I 1 AIde 2 est l’arc obtu. CD La de Ktangente 3 qui contient à K 1 en B. ALes coupe droites K 2 AC uneetdeuxième AD coupent fois
Ken 3 Cune et deuxième la tangente fois à Ken 2 Ken et A coupe L, respectivement. K 1 une deuxième Prouver fois que en D. la Soit droite K 3 AE le cercle est perpendiculaire
circonscrit au
àtriangle la droite BCD. KL. Soit E le milieu de l’arc CD de K 3 qui contient B. Les droites AC et AD coupent
K 3 une deuxième fois en K et L, respectivement. Prouver que la droite AE est perpendiculaire
à la droite KL.
Problème I-4.
Soit k et m, avec k>m, deux entiers positifs tels que le nombre km(k 2 − m 2 ) est divisible par
Problème k 3 − m 3 . Prouver I-4. que (k − m) 3 > 3km.
Soit k et m, avec k>m, deux entiers positifs tels que le nombre km(k 2 − m 2 ) est divisible par
Durée: k 3 − m 3 5. heures Prouver que (k − m) 3 > 3km.
Temps pour les questions: 45 min
Chaque Durée: 5problème heures vaut 8 points.
L’ordre Temps pour des problèmes les questions: ne dépend 45 minpas de leur difficulté.
Chaque problème vaut 8 points.
L’ordre des problèmes ne dépend pas de leur difficulté.

44 f : R → R
a
y 2 f(x)+x 2 a
f(y)+xy 1 a 2 a 3 a
= xyf(x 4
1
(a + y)+x 2 + y 2
4 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) f : R → R a
x, y ∈ R R
30 n =4 30
b y 2 f(x)+x 2 f(y)+xy = xyf(x + y)+x 2 + y 2
1 ,b 2 ,...,b n
a b
x, y ∈ R R
c
b 2 1 + b 2 2 + ...+ b 2 n
n
≥ 2011 .
n ≥a 3b
n − 3
c
S
a
1+a + b
1+b + c
1+c =2.
n
a
1+a b
1,
1+b + c
2,...,n
√ √ √
1+c =2.
a + b + c
√ 1 + √ 1 + 1 n
n√ 1 2
a b c
√ √ √ a + b +
S c
√ 1 + √ 1 + √ 1 n − 2
S 2
a b c S
n ≥ 3 M {(x, y) | x, y ∈ Z, 1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ n}
Z
n ≥ 3 M K 1 K 2 {(x, y) | x, y ∈ Z, I 1 ≤S x⊆≤ IM
n, 2 1 ≤ y ≤ n}
A B Z ∠I 1 AI 2 K 1 A K 2
C K 2 A K 1
S ⊆ M
D K 3
BCD E CD K 3
B AC AD K 3 K L
AE
KL
Mitteleuropäische Mathematik-Olympiade
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k m k>m km(k 2 − m 2 ) k 3 − m 3
(k − m) 3 > 3km

17 Olympiades Mathématiques d’Europe Centrale
language : French
language : French
5. Olympiade de Mathématiques d’Europe Centrale
5. Olympiade de Mathématiques d’Europe Centrale
Compétition par équipe
4. Septembre 2011
Compétition par équipe
4. Septembre 2011
Problème T-1.
Trouver toutes les fonctions f : 44 R → R telles que : a
Problème T-1. y 2 f(x)+x 2 a
f(y)+xy 1 a 2 a 3 a
= 4
1
Trouver (a xyf(x + y)+x 2 + y 2
4 toutes 1 + a 2 les + afonctions 3 + a 4 ) f : R → R telles a que :
pour tout x, y ∈ R, oùR est l’ensemble des nombres
30
réels.
n =4 30
b y 2 f(x)+x 2 f(y)+xy = xyf(x + y)+x 2 + y 2
1 ,b 2 ,...,b n
b
pour tout x, y ∈ R, oùR est l’ensemble 2 1 + b 2 2 + ...+ b
Problème T-2.
des nombres 2 n
≥ réels. 2011 .
n
Soit a, b, c des nombres réels positifs tels que
Problème T-2.
a
Soit a, b, c des nombres réels positifs 1+a tels + b
que 1+b + c
n ≥ 3
1+c =2.
n
a
1+a b
1,
1+b + c
2,...,n
Prouver que
√ √ √
1+c =2.
a + b + c
√ 1 + √ 1 + 1 n
n − 3
n √ .
Prouver que
1 2
a b c
√ √ √ a + b +
S c
√ 1 + √ 1 n
+ √ 1 − 2
.
S 2
a b c S
Problème T-3.
S
Pour un entier n ≥ 3, soit M l’ensemble {(x, y) | x, y ∈ Z, 1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ n} formé de
points du plan. (Z est l’ensemble des entiers.)
Problème T-3.
Pour Quel est un entier le nombre n ≥maximal 3, soit Mde l’ensemble points que{(x, peut y) posséder | x, y ∈ Z, un1 sous-ensemble ≤ x ≤ n, 1 ≤ yS≤ ⊆n} Mformé qui de ne
points contient dupas plan. trois (Zpoints est l’ensemble distincts des formant K 1 entiers.) Kles 2
sommêts d’un triangle I 1
rectangle I 2
?
Quel est le nombre
A B
maximal de points
∠I 1 AI
que 2
peut posséder un sous-ensemble
K 1
S
A
⊆ M qui
K
ne 2
contient pas trois
C
points distincts formant
K
les 2
sommêts
A
d’un
K
triangle 1
rectangle ?
D K 3
BCD E CD K 3
B AC AD K 3 K L
AE
KL
k m k>m km(k 2 − m 2 ) k 3 − m 3
(k − m) 3 > 3km

n ≥ 3
n
⌉
3n
⌈ 2n
9
⌈x⌉
x
ABCDE
AD EC S ∠ASE =60 ◦ ABCDE
ABC B 0 C 0 B
C X ABC BX
AXC 0 CX AXB 0
AX
BC
A B A ∪ B = {1, 2, 3,...,10}
a ∈ A b ∈ B a 3 + ab 2 + b 3 11
n a b c
n =ggT(b, c) · ggT(a, bc) + ggT(c, a) · ggT(b, ca) + ggT(a, b) · ggT(c, ab)
2011
ggT(m, n) m n
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Problème T-4.
Soit n ≥ 3 un entier. Dans une compétition semblable à la MEMO, il y a 3n participants, il y
a n langues parlées, et chaque participant parle exactement trois langues différentes.
⌈ ⌉ 2n
Prouver qu’au moins des langues parlées peuvent être choisies de manière à ce qu’aucun
9
participant ne parle plus que deux des langues choisies.
(⌈x⌉ est le plus petit entier supérieur ou égal à x.)
Problème T-5.
Soit ABCDE un pentagone convexe dont les cinq côtés ont la même longueur. Les diagonales
AD et EC se coupent en S et on suppose ∠ASE =60 ◦ . Prouver que ABCDE possède une
paire de côtés parallèles.
Problème T-6.
Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus. Soit B 0 et C 0 les pieds des hauteurs issues
de B et C, respectivement. Soit X un point à l’intérieur du triangle ABC tel que la droite BX
soit tangente au cercle circonscrit du triangle AXC 0 et la droite CX soit tangente au cercle
circonscrit du triangle AXB 0 . Montrer que la droite AX est perpendiculaire à la droite BC.
Problème T-7.
Soit A et B des ensembles disjoints non-vides tels que A ∪ B = {1, 2, 3,...,10}. Montrer qu’il
existe des éléments a ∈ A et b ∈ B tels que le nombre a 3 + ab 2 + b 3 est divisible par 11.
Problème T-8.
Un entier positif n est appelé surprenant s’il existe des entiers positifs a, b, c tels que l’égalité
suivante est satisfaite :
n =(b, c)(a, bc)+(c, a)(b, ca)+(a, b)(c, ab)
Prouver qu’il existe 2011 entiers positifs consécutifs qui sont surprenants.
( (m, n) représente le plus grand diviseur commun des entiers positifs m et n.)
Durée: 5 heures
Temps pour les questions: 45 min
Chaque problème vaut 8 points.
L’ordre des problèmes ne dépend pas de leur difficulté.

www.imosuisse.ch