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1 - IREM de Grenoble - Université Joseph Fourier

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JOURNAL POUR LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES ET DE<br />

SCIENCES PHYSIQUES DU PREMIER CYCLE<br />

DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE<br />

petit x<br />

1990-1991 nO 27<br />

Comité <strong>de</strong> rédaction<br />

Antoine Bodin<br />

Collège d'Ornans<br />

I.R.E.M. <strong>de</strong> Besançon<br />

Bernard Capponi<br />

Collège «le Vergeron», Moirans<br />

I.R.E.M. <strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong><br />

François Conne<br />

Chercheur en didactique <strong>de</strong>s mathématiques<br />

La Romanèche<br />

Etoy (Suisse)<br />

Régis Gras<br />

Mathématiques et Informatique<br />

Université 1 <strong>de</strong> Rennes<br />

Denise Grenier<br />

Equipe <strong>de</strong> Recherche en Didactique<br />

<strong>de</strong>s Mathématiques et <strong>de</strong> l'Informatique<br />

Université J. <strong>Fourier</strong> <strong>Grenoble</strong><br />

Rirette Guillennard<br />

Ecole normale<br />

Nice<br />

Colette Labor<strong>de</strong><br />

Equipe <strong>de</strong> Recherche en Didactique<br />

<strong>de</strong>s Mathématiques et <strong>de</strong> l'Informatique<br />

Université J. <strong>Fourier</strong> <strong>Grenoble</strong><br />

Alain Mercier<br />

Lycée technique


!rem <strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong> Abonnement: année 90-91<br />

BP41<br />

38402 Saint-Martin-d'Hères ce<strong>de</strong>x<br />

FRANCE<br />

(l'abonnement est désonnais par année scolaire)<br />

Une revue pour les professeurs<br />

<strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> physique <strong>de</strong>s collèges<br />

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Dans l'académie <strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong><br />

nous expédierons à votre<br />

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SOMMAIRE<br />

De la figure vers la démonstration (D. Bergue, l. Borreani, B, Poulain)<br />

5<br />

Activité Cercle et parallélogramme (Ph. Oapponi) 40<br />

Autour <strong>de</strong> l'enseignement <strong>de</strong> la géométrie - première partie<br />

(Y. Chevallard, M. lullien)<br />

41<br />

Activité Fractions dans un carré (Ph. Clapponi) 77<br />

Cabriole<br />

78


4<br />

UN JOURNAL POUR LE PREMIER CYCLE.<br />

Le journal «petit x» a été créé par l'I.R.E.M. <strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong> pour favoriser la diffusion <strong>de</strong>s réflexions,<br />

<strong>de</strong>s comptes rendus <strong>de</strong> travaux et d'activités réalisés dans les classes. Ses principaux objectifs sont:<br />

- <strong>de</strong> constituer, en ouvrant largement les pages du journal à <strong>de</strong>s approches diverses, un lieu d'échanges<br />

et <strong>de</strong> débats sur les problèmes soulevés par l'apprentissage et l'enseignement <strong>de</strong>s sciences au premier<br />

cycle;<br />

- d'ajouter un moyen nouveau <strong>de</strong> formation continue à ceux déjà utilisés par1'I.R.E.M. ou l'I.R.E.S.P.<br />

un complément aux stages <strong>de</strong> formation géographiquement et quantitativement limités et à la<br />

publication <strong>de</strong> brochures spécialisées;<br />

- enfin, alors que se développent largement les recherches sur l'enseignement en en particulier les<br />

recherches en Didactique <strong>de</strong>s Mathématiques et en Didactique <strong>de</strong> la Physique, «petit x» souhaite<br />

constituer un lieu <strong>de</strong> rencontre pour les enseignants et les chercheurs.<br />

Les articles publiés dans «petit x» sont pour l'essentiel d'un <strong>de</strong>s types suivants :<br />

- Vécu dans les classes: il s'agit <strong>de</strong> la présentation et <strong>de</strong> la <strong>de</strong>scription <strong>de</strong> séquences d'enseignement<br />

effectivement réalisées dans une <strong>de</strong>s classes du premier cycle.<br />

- Outils et documents: proposition d'outils ou <strong>de</strong> documents d'enseignement<br />

- Recherches et réflexions: comptes rendus <strong>de</strong> travaux portant sur <strong>de</strong>s problèmes d'enseignement ou<br />

d'apprentissage en mathématiques, physique, chimie, informatique.<br />

- Mathématiques, Physique: articles sur <strong>de</strong>s q.Jestions <strong>de</strong> mathématique ou <strong>de</strong> physique étroitement<br />

liées aux sujets abordés au niveau du premier cycle.<br />

POUR PROPOSER UN ARTICLE•••<br />

Pourproposer un articlepourpublication dans «petit x» nous vous <strong>de</strong>mandons <strong>de</strong> l'envoyer, si possible<br />

dactylographié, à :<br />

I.R.E.M. <strong>de</strong> GRENOBLE «petit x»<br />

B.P. 41· 38402 Saint-Martin-d'Hères ce<strong>de</strong>x<br />

Indiquer si l'article a déjà été publié, ou est soumis pour publication dans une autre revue.<br />

Les articles soumis sont lus attentivement par quatre collègues membres du comité <strong>de</strong> rédaction <strong>de</strong><br />

«petit x» qui en font un compte rendu. Après discussion, le comité <strong>de</strong> rédaction prend une décision <strong>de</strong><br />

publication avec éventuellement une <strong>de</strong>man<strong>de</strong> <strong>de</strong> modification (Les manuscrits ne sontpas renvoyés).<br />

Copyright:<br />

Le «copy right» <strong>de</strong>larevue estdétenupar l'<strong>IREM</strong><strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong> qui accor<strong>de</strong>racependant aux auteurs, sur<strong>de</strong>man<strong>de</strong><br />

et sans frais, l'autorisation <strong>de</strong> faire ré-imprimer leurs articles. lis <strong>de</strong>vront mentionner «petit x» pour première<br />

publication, ainsi que le fait que c'est l'<strong>IREM</strong> <strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong> qui détient le Copyright.


DE LA FIGURE VERS LA DEMONSTRATION<br />

D. BERGUE, J. BORREANI, B. POULAIN<br />

Groupe didactique, IREN <strong>de</strong> Rouen<br />

Introduction<br />

Le raisonnement déductif et l'apprentissage <strong>de</strong> la démonstration sont, dans les<br />

nouveaux programmes, <strong>de</strong>s objectifs <strong>de</strong> l'enseignement <strong>de</strong>s mathématiques dans le 1 er<br />

cycle.<br />

"L'approfondissement <strong>de</strong>s notions déjà acquises, l'entraînement au<br />

raisonnement déductif sont conduits dans l'esprit <strong>de</strong>s classes antérieures, sans<br />

reconstruction systématique et à propos <strong>de</strong> situations nouvelles, <strong>de</strong> façon à développer<br />

les capacités <strong>de</strong> découverte et <strong>de</strong> conjecture autant que <strong>de</strong> démonstration".<br />

Commentaires <strong>de</strong>s programmes <strong>de</strong> 3ème B.D. nO 12 - 23 Nov. 89.<br />

Le raisonnement ne s'applique pas seulement à la démarche <strong>de</strong> résolution <strong>de</strong><br />

problèmes <strong>de</strong> géométrie mais il "mérite d'être poursuivi comme l'un <strong>de</strong>s objectifs <strong>de</strong> la<br />

géométrie" (pluvinage, 1989).<br />

Les exigences dans ces nouveaux programmes ont été réduites, mais par rapport<br />

au raisonnement les difficultés restent nombreuses.<br />

Elles sont liées :<br />

- aux obstacles épistémologiques et didactiques. Par exemple la confusion entre<br />

droite et segment est commune dans le 1 er cycle;<br />

- à l'hétérogénéité <strong>de</strong>s élèves. Beaucoup n'ont pas atteint un sta<strong>de</strong> d'abstraction<br />

nécessaire. Ils utilisent les connaissances empiriques qu'ils ont <strong>de</strong> l'espace et<br />

s'écartent difficilement du domaine physique. Or l'idéalisation <strong>de</strong>s objets<br />

mathématiques est nécessaire à la démonstration ;<br />

- à l'usage du français. Un prerPier obstacle se situe au niveau <strong>de</strong> la lecture<br />

(vocabulaire, compréhension d'un texte), un autre au niveau <strong>de</strong> la rédaction<br />

(argumentation, utilisation <strong>de</strong> la langue usuelle ou formalisée).<br />

Souvent les résolutions <strong>de</strong> problèmes <strong>de</strong> géométrie sont proposées par le<br />

professeur sous forme d'exposé corrigé, <strong>de</strong> guidage par questions ou dialogue. Les<br />

élèves sont ensuite appelés à imiter ces métho<strong>de</strong>s. Or l'apprentissage par mimétisme<br />

n'a rien d'évi<strong>de</strong>nt: "on cache aux élèves la partie heuristique du travail en ne restituant<br />

que le produit final rédigé alors que l'essentiel <strong>de</strong>s difficultés se situe en amont <strong>de</strong> cette<br />

tâche" (Mesquita in "sur une approche d'apprentissage à la démonstration").<br />

«petit x» nO 27 pp. 5 à 39. 1990-1991


6<br />

Actuellement beaucoup d'enseignants se préoccupent <strong>de</strong> mieux comprendre les<br />

étapes <strong>de</strong> l'apprentissage du raisonnement en géométrie et <strong>de</strong> mettre en place les outils<br />

qui lui sont nécessaires.<br />

Dans cet apprentissage, le rôle <strong>de</strong> la figure nous paraît essentiel. Une première<br />

étape est la prise en compte du <strong>de</strong>ssin réalisé par l'élève comme figure générique<br />

("primauté <strong>de</strong> l'appréhension perceptive sur l'interprétation figurale" mise en évi<strong>de</strong>nce<br />

par Duval, 1988).<br />

Ensuite la perception <strong>de</strong> la figure intervient dans l'approche plus ou moins<br />

immédiate <strong>de</strong> résolution <strong>de</strong> problèmes et (ou) induit <strong>de</strong>s formes <strong>de</strong> raisonnement.<br />

L'élaboration <strong>de</strong> la figure peut être congruente ou non à la démarche <strong>de</strong> résolution:<br />

figures et discours peuvent (ou non) utiliser les mêmes objets géométriques. En outre<br />

la figure risque <strong>de</strong> masquer <strong>de</strong>s propriétés utiles à la recherche.<br />

Notre façon d'envisager l'apprentissage s'avère proche <strong>de</strong> celle exprimée par<br />

l'<strong>IREM</strong> <strong>de</strong> Strasbourg dans la synthèse sur "le développement <strong>de</strong> compétences pour la<br />

géométrie" publiée dans le suivi scientifique 5ème.<br />

Nous avons choisi:<br />

- <strong>de</strong> travailler sur le statut <strong>de</strong> la figure ;<br />

- d'observer son évolution dans les démarches <strong>de</strong> nos élèves;<br />

- d'évaluer l'influence <strong>de</strong> cette évolution sur leur méthodologie <strong>de</strong><br />

raisonnement.<br />

Pour le niveau 5ème - 4ème nous indiquons diverses situations permettant <strong>de</strong><br />

faire prendre conscience <strong>de</strong> la différence entre <strong>de</strong>ssin et figure et <strong>de</strong> la nécessité <strong>de</strong><br />

justifier ses constructions. Nous analysons <strong>de</strong>s difficultés liées à la résolution <strong>de</strong><br />

problèmes <strong>de</strong> géométrie. Et nous proposons, pour ai<strong>de</strong>r à la mise en place <strong>de</strong><br />

méthodologie <strong>de</strong> recherche, <strong>de</strong>ux situations utilisant un outil peu usité dans le 1er cycle<br />

(les tangentes à un cercle), nécessitant en première partie un raisonnement simple mais<br />

dont les résultats ne sont pas évi<strong>de</strong>nts pour les élèves du 1er cycle, permettant <strong>de</strong><br />

distinguer les aspects heuristiques et discursifs dans le travail <strong>de</strong>s élèves.<br />

1 - Quelques remarques épistémologiques<br />

Les mathématiques se sont dégagées peu à peu d'activités pratiques (contrôles<br />

d'aires, <strong>de</strong> volumes, d'échanges commerciaux) pour aboutir à une pensée logique<br />

rationnelle. Un <strong>de</strong>s premiers documents c:onnus, le papyrus Rhind, écrit par le scribe<br />

égyptien Ahmes vers le XVIIlème siècle avant J-C., est une compilation <strong>de</strong><br />

problèmes: surfaces <strong>de</strong> rectangle, disque, triangle, trapèze.<br />

A une époque antérieure au Vlème siècle avant J-C. en Grèce antique, seuls <strong>de</strong>s<br />

constructions, <strong>de</strong>s pavages, <strong>de</strong>s décors (poteries, murs...) ont pu inspirer le géomètre.<br />

A partir du Vlème siècle avant J-C, une pensée logique se développe, le raisonnement<br />

<strong>de</strong>vient prépondérant et peut même être considéré comme un "acte social" : il faut<br />

convaincre l'autre. Pour Aristote "connaître, c'est connaître par le moyen <strong>de</strong> la<br />

démonstration".


7<br />

C'est dans l'ouvrage <strong>de</strong> référence les "ELEMENTS" d'Eucli<strong>de</strong> que l'on<br />

rencontre les premiers "rituels" d'une démonstration :<br />

- la proposition : c'est l'énoncé en général <strong>de</strong> ce qu'il faut démontrer;<br />

- l'exposition (ou ecthèse) : c'est la construction <strong>de</strong> la figure;<br />

- la détermination : c'est l'explication <strong>de</strong> l'énoncé sur la figure avec<br />

éventuellement <strong>de</strong>s constructions auxiliaires;<br />

- la démonstration proprement dite;<br />

- la conclusion: c'est la refonnulation <strong>de</strong> la proposition comme résultat général.<br />

La géométrie a un but, un objet, un sens différent <strong>de</strong> ceux <strong>de</strong> la géométrie<br />

pratique (problèmes d'arpentage, <strong>de</strong> toisé, d'architecture qui obligent à "carrer", à<br />

construire <strong>de</strong>s lignes données). Cette opposition entre concret et abstrait continuera à<br />

jouer un rôle important en mathématiques. Pour Platon, la mathématique travaille sur<br />

<strong>de</strong>s concepts abstraits: "Si la géométrie oblige à contempler l'essence, elle nous<br />

convient .. si elle se borne à ce qui naît, elle ne nous convient pas."<br />

A la base du platonisme ("Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre") , il Y a la<br />

dichotomie entre savoir et savoir-faire, la distinction entre le mon<strong>de</strong> <strong>de</strong>s objets<br />

sensibles, imparfaits, changeants et le mon<strong>de</strong> <strong>de</strong>s Idées, modèles parfaits, éternels,<br />

immuables. Le mathématicien qui a une réflexion sur le domaine <strong>de</strong>s Idées oppose<br />

démonstration et procédés d'obtention <strong>de</strong>s figures. Les figures sont le résultat <strong>de</strong><br />

procédés <strong>de</strong> construction liés au sujet qui les produit. Pour le mathématicien, lorsqu'il<br />

envisage une figure géométrique qu'il <strong>de</strong>ssine, ce n'est pas le support imparfait qu'il<br />

considère, mais l'objet idéal, celui qui est issu <strong>de</strong> la défmition :<br />

"... Tu sais aussi qu'ils se servent <strong>de</strong> figures visibles et qu'ils raisonnent sur ces<br />

figures, quoique ce ne soit point à elles qu'ils pensent, mais à d'autres auxquelles<br />

celles-ci ressemblent. Par exemple, c'est du carré en soi, <strong>de</strong> la diagonale en soi qu'ils<br />

raisonnent, et non <strong>de</strong> la diagonale telle qu'ils la tracent, et il faut en dire autant <strong>de</strong><br />

toutes les autres figures".<br />

La république, livre VI.<br />

La construction d'une figure, support matériel, n'est alors qu'un symbolisme<br />

opératoire.<br />

"Tu n'ignores pas, je pense. que ceux qui s'occupent <strong>de</strong> géométrie,<br />

d'aritJunétique et autres sciences du même genre supposent le pair et l'impair, les<br />

figures, trois espèces d'angles et d'autres choses analogues suivant l'objet <strong>de</strong> leur<br />

recherche .. qu'ils les traitent comme choses connues, et que, quand ils en ontfait <strong>de</strong>s<br />

hypothèses, ils estiment qu'ils n'ont plus à en rendre aucun compte ni à eux-mêmes ni<br />

aux autres, attendu qu'elles sont évi<strong>de</strong>ntes à tous les esprits .. qu'enfin partant <strong>de</strong> ces<br />

hypothèses et passant par tous les échelons, ils aboutissent par voie <strong>de</strong> conséquence à<br />

la démonstration qu'ils s'étaient mis en tête <strong>de</strong> chercher".<br />

Ibi<strong>de</strong>m<br />

Les hypothèses posées, le raisonnement peut alors s'enchaîner sans plus faire<br />

appel au mon<strong>de</strong> sensible. Il n'en est pas moins vrai que le géomètre s'écarte <strong>de</strong><br />

l'énoncé abstrait pour élaborer une figure et appuyer son raisonnement sur les<br />

propriétés intuitives <strong>de</strong> l'espace (voir la 1ère proposition d'Eucli<strong>de</strong> - construction d'un<br />

triangle équilatéral, <strong>de</strong>ux arcs <strong>de</strong> cercle étant supposés se couper).


8<br />

Cette rupture entre géométrie d'observation (tracés <strong>de</strong> figures, usage<br />

d'instruments) et géométrie <strong>de</strong> déduction a pris naissance en Grèce. Dans les<br />

civilisations hindoues, égyptiennes, chinoises, la preuve s'appuie sur la figure.<br />

J<br />

B<br />

J<br />

J<br />

b<br />

Calcul du côté du carré inscrit dans un triangle rectangle (Liu Hui,<br />

IIIème siècle <strong>de</strong> notre ère) : assemblant comme en (b) les pièces correspondant à <strong>de</strong>ux<br />

exemplaires du triangle rectangle initial (a), on fonne un rectangle <strong>de</strong> longueur<br />

AB + AC et d'aire S. Comme l'aire totale <strong>de</strong> toutes ces pièces n'a pas changé en<br />

passant <strong>de</strong> (a) à (b) et qu'au départ S = AB x AC, on trouve que le côté du carré est<br />

égal à (AB x AC)/(AB + AC). Nous avons noté J, R, B ces pièces car Liu Hui utilise<br />

<strong>de</strong>s figures colorées en jaune, rouge et bleu.<br />

Le matin <strong>de</strong>s mathématiciens - Martzloff - Belin<br />

Le Moyen-Age qui vit paraître <strong>de</strong>s traductions latines <strong>de</strong>s oeuvres grecques fut<br />

fasciné par leur contenu philosophique. Avec les premières critiques <strong>de</strong>s<br />

démonstrations d'Eucli<strong>de</strong>, la soif d'inventer se substitue au souci <strong>de</strong> convaincre. A la<br />

suite <strong>de</strong> bouleversements religieux scientifiques, véritable révolution intellectuelle, une<br />

autre conception <strong>de</strong> l'Univers se fait jour. L'utilité pratique <strong>de</strong>s mathématiques et le<br />

mon<strong>de</strong> <strong>de</strong>s Idées évoqué par Platon s'y rejoignent. Guidobaldo (1545-1607), maître<br />

<strong>de</strong> Galilée, publie en 1600 six livres <strong>de</strong> perspective qui constituent un lien entre la<br />

pratique professionnelle <strong>de</strong>s architectes et la représentation <strong>de</strong> l'espace. Les<br />

constructions ne sont plus <strong>de</strong>s recettes mais <strong>de</strong> véritables démonstrations géométriques<br />

justifiées en vue d'applications pratiques. Galilée s'intéresse plus à la mesure et au<br />

fonctionnement <strong>de</strong>s phénomènes qu'à leur explication.<br />

Dans "Le discours <strong>de</strong> la métlwcJe", Descartes va aboutir à une algébrisation <strong>de</strong> la<br />

géométrie. La géométrie <strong>de</strong> la règle et du compas perd sa première place au bénéfice<br />

d'une géométrie analytique.<br />

La géométrie analytique s'appuie sur le mesurable; la mesure s'éliminera<br />

progressivement pour tendre vers une étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> configuration au cours du XIXème<br />

siècle avec la géométrie projective. Un précurseur, Dürer, théoricien <strong>de</strong> l'Art <strong>de</strong> la<br />

Renaissance, est directement marqué par la conception platonicienne. A la pratique <strong>de</strong><br />

la peinture et <strong>de</strong> la gravure il a voulu donner une base rigoureuse <strong>de</strong> tracés. Dans son<br />

ouvrage <strong>de</strong> géométrie pratique (Un<strong>de</strong>rweysung <strong>de</strong>r Messung), les objets sont étudiés<br />

sous l'angle <strong>de</strong> leur nature physique avec proposition <strong>de</strong> constructions. Ce problème


9<br />

<strong>de</strong> la représentation <strong>de</strong>s objets soli<strong>de</strong>s par <strong>de</strong>s figures planes constitue une étape<br />

importante dans la recherche géométrique.<br />

A partir <strong>de</strong> la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> double projection <strong>de</strong> Desargues, Monge développe la<br />

géométrie <strong>de</strong>scriptive, qui reste encore une géométrie <strong>de</strong> l'espace physique.<br />

"La géométrie <strong>de</strong>scriptive a <strong>de</strong>ux objets: le premier, <strong>de</strong> donner les métho<strong>de</strong>s<br />

pour représenter sur une feuille <strong>de</strong> <strong>de</strong>ssin qui n'a que <strong>de</strong>ux dimensions, savoir,<br />

longueur et largeur et profon<strong>de</strong>ur, pourvu néanmoins que ces corps puissent être<br />

définis rigoureusement.<br />

Le second objet est <strong>de</strong> donner la manière <strong>de</strong> reconnaître, d'après une <strong>de</strong>scription<br />

exacte, les formes <strong>de</strong>s corps, et d'en déduire toutes les vérités qui résultent et <strong>de</strong> leur<br />

forme et <strong>de</strong> leurs positions respectives".<br />

Géométrie <strong>de</strong>scriptive, 1799.<br />

La recherche par Poncelet d'une métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> validation du raisonnement, <strong>de</strong><br />

métho<strong>de</strong>s générales et non plus <strong>de</strong> démonstrations particulières à chaque figure est<br />

proche <strong>de</strong> l'idée <strong>de</strong> Descartes.<br />

La géométrie projective, opère elle sur <strong>de</strong>s figures <strong>de</strong> l'espace, tout introduisant<br />

<strong>de</strong>s éléments idéaux : éléments imaginaires ou à l'infini. Cette exposition <strong>de</strong> la<br />

métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s transfonnations, se trouve dans l"'aperçu historique sur l'origine et le<br />

développement <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s en géométrie" écrit par Chasles en 1837 :<br />

"Qu'on prenne une figure quelconque dans l'espace, et l'une <strong>de</strong> ses propriétés<br />

connues: qu'on applique à cettefigure l'un <strong>de</strong> ces mo<strong>de</strong>s <strong>de</strong> transformation, et qu'on<br />

suive les diverses modifications ou transformations qu'éprouve le théorème qui<br />

exprime cette propriété, on aura une nouvelle figure, et une propriété <strong>de</strong> cette figure,<br />

qui correspondra à celle <strong>de</strong> la première".<br />

Dans les écrits <strong>de</strong> Chasles, on a pu distinguer <strong>de</strong>ux types <strong>de</strong> propriétés<br />

géométriques <strong>de</strong>s figures :<br />

-les propriétés métriques (dépen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong>s graIl:<strong>de</strong>urs) ;<br />

-les propriétés <strong>de</strong>scriptives (dépen<strong>de</strong>nt <strong>de</strong>s fonnes, <strong>de</strong>s situations) ;<br />

Chasles écrit dans "Traité <strong>de</strong> géométrie supérieure" (1880) :<br />

"Certaines parties d'une figure considérée dans un état général <strong>de</strong> construction,<br />

peuvent être réelles ou imaginaires, indifféremment... Quand ces parties sont réelles,<br />

nous dirons que le fait <strong>de</strong> leur existence est une propriété contingente <strong>de</strong> la figure, et,<br />

pour distinguer ces parties elles-mêmes <strong>de</strong> celles qui sont absolues ou permanentes,<br />

nous les appellerons parties contingentes.<br />

Cela posé, il arrive souvent que ces parties contingentes (c'est-à-dire qui peuvent<br />

être indifféremment réelles ou imaginaires) servent utilement, dans le cas <strong>de</strong> la réalité,<br />

pour la démonstration d'un théorème, et que cette démonstration n'ait plus lieu quand<br />

ces mêmes parties <strong>de</strong>viennent imaginaires. Alors on dit qu'en vertu du principe <strong>de</strong><br />

continuité le théorème démontré dans le premier cas s'étend au second, et on<br />

l'énoncera d'une manière générale.<br />

Quelquefois le contraire a lieu, et c'est quand certaines parties d'une figure sont<br />

imaginaires que l'on y trouve les éléments d'une démonstration facile, dont on


10<br />

applique ensuite les conséquences, en vertu du principe <strong>de</strong> continuité au cas où ces<br />

mêmes parties sont réelles et où la démonstration n'existe plus".<br />

La véritable rupture n'interviendra qu'au XIXème siècle: c'est le raisonnement<br />

formel qui permet <strong>de</strong> défmir l'objet géométrique. Cependant, il est remarquable <strong>de</strong> voir<br />

que Gauss et Lobatchevski ont une démarche euclidienne dans leur métho<strong>de</strong>:<br />

raisonnement appuyé sur les figures tout en essayant <strong>de</strong> se dégager <strong>de</strong> l'intuition. En<br />

1838, Lobatchevski écrivait dans les "Nouveaux Principes <strong>de</strong> la Géométrie":<br />

"En réalité, dans la nature, nous ne connaissons que le mouvement, c'est lui qui<br />

rend possibles les perceptions <strong>de</strong>s sens. Tous les autres concepts, par exemple ceux <strong>de</strong><br />

la géométrie, sont produits artificiellement par notre esprit et tirés <strong>de</strong>s propriétés du<br />

mouvement, et pour cette raison, l'espace lui-même, pris à part, n'existe pas pour<br />

nous. Cela étant, notre esprit ne trouve aucune contradiction à admettre que certaines<br />

formes <strong>de</strong> la nature suivent une géométrie, et d'autres, leur géométrie propre...<br />

Les surfaces, les lignes, les points, comme la géométrie les définit, n'existent<br />

que dans notre imagination, tandis que nous mesurons les surfaces et les lignes en<br />

recourant aux corps".<br />

Même s'il s'agit <strong>de</strong> dépasser l'intuition, les constructions géométriques<br />

abstraites jouent le rôle <strong>de</strong> possible pour représenter le réel. C'est ce qui permet à<br />

Riemann <strong>de</strong> définir "la vraie géométrie" comme un cas particulier parmi les espaces<br />

abstraits. Dans le programme d'Erlangen (1872), la vision physique <strong>de</strong> l'espace<br />

s'élargit avec une formalisation <strong>de</strong>s concepts. Avec la théorie <strong>de</strong>s groupes <strong>de</strong><br />

transformations, Félix Klein va dégager <strong>de</strong>s structures et transformer le point <strong>de</strong> vue.<br />

Il n'y a plus une géométrie, mais <strong>de</strong>s géométries et c'est la structure du groupe qui<br />

caractérise une géométrie.<br />

Jusqu'au XIXème siècle, la géométrie a reposé sur l'intuition. Avec<br />

l'introduction <strong>de</strong>s structures, les objets mathématiques (figures, nombres, fonctions)<br />

sont écartés au profit <strong>de</strong>s relations entre les objets. C'est sur ces relations que va porter<br />

le raisonnement. En principe, les propriétés <strong>de</strong>s figures et leurs utilisations sont<br />

exclues <strong>de</strong>s démonstrations <strong>de</strong>s mathématiques actuelles. "Aujourd'hui comme en 250<br />

avant J-C, le mathématicien ne peut s'empêcher <strong>de</strong> tracer <strong>de</strong>s figures (fût-ce<br />

discrètement, dans un petit coin <strong>de</strong> tableau), <strong>de</strong> raisonner sur <strong>de</strong>s diagrammes et <strong>de</strong><br />

spatialiser les relations les plus abstraites (surface <strong>de</strong> Riemann, graphes associés à <strong>de</strong>s<br />

groupes)".<br />

F. <strong>de</strong> Gandt - Actes <strong>de</strong> l'Université d'été sur l'Histoire <strong>de</strong>s Mathématiques, juillet<br />

1984.<br />

Avec le formalisme, le statut d'axiome change et cela pose le problème <strong>de</strong><br />

démonstration sur le plan didactique. La connaissance <strong>de</strong>s cheminements essaiserreurs<br />

qui ont été nécessaires à l'élaboration <strong>de</strong> notions mathématiques permettent une<br />

analyse <strong>de</strong>s étapes d'apprentissage nécess~ires à nos élèves et à la compréhension <strong>de</strong>s<br />

obstacles auxquels ils se heurtent<br />

Si l'épistémologie permet <strong>de</strong> retrouver du sens et peut être une ai<strong>de</strong> à la<br />

compréhension <strong>de</strong>s difficultés, néanmoins "le développement (cognitif) d'individu<br />

n'est pas le calque en réduction du développement <strong>de</strong> l'espèce humaine (G Brousseau<br />

dans Le Dire et Le Faire).


11<br />

II - Parallélogrammes et triangles<br />

1 - REFLEXIONS PREALABLES<br />

En début d'année, au travers d'exercices <strong>de</strong> constructions ou <strong>de</strong> lecture <strong>de</strong><br />

<strong>de</strong>ssins nous avons examiné la manière dont la figure était utilisée concrètement dans<br />

nos classes <strong>de</strong> 4ème. Quelles démarches met "naturellement" en oeuvre un élève <strong>de</strong><br />

4ème avant tout apprentissage <strong>de</strong> la démonstration?<br />

Nous pouvons dégager les remarques suivantes :<br />

1) Une figure construite pennet d'effectuer <strong>de</strong>s mesures qui aux yeux <strong>de</strong>s élèves<br />

sont forcément exactes. Il n'y a pas pour eux <strong>de</strong> problème d'approximation. Ces<br />

mesures sont en elles-mêmes une preuve.<br />

Exemple: "Je mesure: AC = 4 cm et AB = 4 cm sur mon <strong>de</strong>ssin donc AB = AC<br />

et le triangle ABC est isocèle."<br />

De plus pour beaucoup, les seuls nombres qui existent, sont, comme pour les<br />

Grecs, les nombres entiers ou les rapports <strong>de</strong> nombres entiers.<br />

2) La simple observation <strong>de</strong> la figure construite constitue en soit une réponse.<br />

Exemple : "Le triangle est équilatéral, je le vois sur mon <strong>de</strong>ssin."<br />

3) La vision du <strong>de</strong>ssin est globale.<br />

o<br />

AL---+--~------ c<br />

Dans cette figure", <strong>de</strong> nombreux élèves<br />

restent bloqués ou donnent pour les<br />

angles <strong>de</strong>s valeurs qui paraissent<br />

aléatoires. Ils cherchent, semble-t-il une<br />

réponse globale en refusant <strong>de</strong> "séparer"<br />

les triangles.<br />

Nous pouvons aussi remarquer que la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> construction d'une figure peut<br />

induire la nécessité <strong>de</strong> répondre implicitement à la question qui sera posée ensuite.<br />

Exemple: "Construire l'image C du point D dans la translation tAi. Que peut-on<br />

dire du quadrilatère ABCD ?". La construction sous-entend que l'élève sait déjà que<br />

ABCD est un parallélogramme. Quel sens peut-il donner à la question?<br />

Au travers <strong>de</strong>s divers exemples ci-<strong>de</strong>ssus, on se rend compte que les<br />

renseignements fournis par l'observation d'une figure peuvent en fait induire un<br />

blocage dans l'évolution du raisonnement <strong>de</strong> l'élève et s'opposer à la recherche<br />

d'autres outils <strong>de</strong> preuve.<br />

La construction <strong>de</strong>s diverses séquences est le reflet <strong>de</strong> quelques options quant à<br />

la manière <strong>de</strong> faire travailler nos élèves:


12<br />

- nous souhaitons les sécuriser: en effet, l'accessibilité d'un concept n'est<br />

possible que si les outils nécessaires à sa construction sont familiers. L'élève peut<br />

s'approprier les situations proposées, s'il rle se sent pas "agressé par un milieu" qui lui<br />

resterait extérieur; .<br />

- nous acceptons et valorisons l'ensemble <strong>de</strong>s productions d'un élève : son<br />

travail - indépendamment <strong>de</strong> son adéquation au problème posé - est respectable. Ce<br />

respect entraîne une réaction immédiate et visible, un souci d'une présentation plus<br />

soignée, et plus important, beaucoup d'élèves cherchent à mener une réflexion plus<br />

approfondie;<br />

- nous voulons aussi favoriser une meilleure mémorisation par la création<br />

d'images mentales. La mémorisation passe par la formation d'images mentales<br />

associées aux objets, concepts, idées. Les différents domaines sensoriels, auditif,<br />

visuel, kinesthésique doivent être mobilisés (effet <strong>de</strong> synergie possible).<br />

Nous pensons qu'en mathématique cette mémorisation ne se fait ni par dressage,<br />

ni facilement. Il faut du temps. C'est pourquoi nous choisissons par exemple <strong>de</strong> faire<br />

fabriquer <strong>de</strong>s fiches en géométrie sur lesquelles chaque propriété est associée à un petit<br />

<strong>de</strong>ssin (fiches à la disposition <strong>de</strong>s apprenants à tout moment qui seront lues et relues<br />

au cours <strong>de</strong>s activités réactivant ainsi la mémoire sous toutes ses formes).<br />

2 - DEMARCHE MISE EN PLACE<br />

Nous avons donc pensé qu'il fallait dès la 6ème - 5ème proposer <strong>de</strong>s exercices<br />

qui, sans parler <strong>de</strong> démonstration, fassent évoluer progressivement le statut <strong>de</strong> la<br />

figure <strong>de</strong> façon qu'à l'entrée en 4ème celle-ci ne soit plus un obstacle à l'apprentissage<br />

<strong>de</strong> la démonstration. Si beaucoup d'élèves <strong>de</strong> 4ème n'osent plus faire état <strong>de</strong>s<br />

"évi<strong>de</strong>nces" qu'ils voient sur la figure, car ils savent que le professeur attend d'eux<br />

qu'ils écrivent <strong>de</strong>s propriétés, ils ne peuvent pour autant amorcer un raisonnement car<br />

leur vision est incomplète et faussée.<br />

Au travers d'activités centrées sur les thèmes parallélogrammes et droites<br />

remarquables d'un triangle· :<br />

1) Nous avons présenté la ou les notions qui ont été ensuite institutionnalisées:<br />

- centre <strong>de</strong> symétrie d'un parallélogramme;<br />

- propriété du parallélogramme (Annexe 1) ;<br />

- droites dans le triangle (par pliage puis par construction) ;<br />

- somme <strong>de</strong>s angles d'un triangle.<br />

2) Nous avons ensuite fait fonctionner ces notions <strong>de</strong> manière implicite:<br />

- dans <strong>de</strong>s constructions à réaliser;<br />

exemple: reproduire en vraie gran<strong>de</strong>ur.<br />

Pi<br />

A:--_f<br />

é<br />

• Les séquences sont décrites dans "De la figure vers la démonstration 1" <strong>IREM</strong> <strong>de</strong> Rouen. La séquence<br />

parallélogramme n02 est partiellement présentée en annexe.


13<br />

Une rédaction <strong>de</strong> la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> construction est ensuite <strong>de</strong>mandée avec mise en<br />

évi<strong>de</strong>nce <strong>de</strong> la propriété utilisée (un pas vers l'explicitation est ici fait).<br />

Remarque: Suivant le niveau d'abstraction atteint par les élèves, il semble que<br />

l'ordre <strong>de</strong> construction <strong>de</strong>s points soit important. Des élèves sont persuadés obtenir<br />

<strong>de</strong>s résultats différents suivant le point <strong>de</strong> départ. Seule la confrontation <strong>de</strong>s différents<br />

<strong>de</strong>ssins obtenus les convaincra <strong>de</strong> l'unicité <strong>de</strong> la figure.<br />

- dans <strong>de</strong>s exercices comme celui-ci (à partir d'un exercice proposé dans le<br />

"Suivi scientifique 5ème" par l'<strong>IREM</strong> <strong>de</strong> Strasbourg)<br />

ABCD est un parallélogramme.<br />

On mène par C, la parallèle à la diagonale DB.<br />

Cette parallèle coupe en E la droite AB.<br />

Placer les lettres sur la figure ci-contre.<br />

Le <strong>de</strong>ssin est donné aux élèves. La consigne est: "ne pas effectuer soi-même la<br />

construction mais placer les lettres pour que la figure correspon<strong>de</strong> au texte".<br />

Au travers <strong>de</strong> ces exercices nous avons cherché à montrer:<br />

- la différence entre <strong>de</strong>ssin et figure ;<br />

- le rôle que les figures peuvent jouer dans l'explicitation <strong>de</strong> propriétés.<br />

3) Nous avons enfin proposé <strong>de</strong>s exercices nécessitant dans leur réalisation une<br />

explicitation (<strong>de</strong>scription ou approche <strong>de</strong> raisonnement). Les données <strong>de</strong> départ n'étant<br />

plus seulement un <strong>de</strong>ssin, mais pouvant être un petit texte.<br />

exemple 1 : Droites particulières du triangle.<br />

A partir d'une activité proposée nar l'APM en 1985 (repris dans Pythagore 5ème<br />

p. 169) les élèves réalisent les constructions, indiquent à l'ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> symboles les<br />

"caractéristiques" <strong>de</strong> chaque droite, décrivent leur construction, et récrivent les<br />

défmitions à leur manière.<br />

exemple 2 :<br />

(AB)// (OC)<br />

Calculer les mesures <strong>de</strong> tous les angles et<br />

les justifier.<br />

exemple 3 : Sur une droite (0), marquer <strong>de</strong>ux points A et B. Prendre un point 0<br />

extérieur à la droite. Construire les symétriques A' et B' <strong>de</strong> A et B par rapport à O.<br />

Expliquer votre construction. Que peut-on dire <strong>de</strong>s droites A'B' et AB?<br />

Dans cette partie, les diverses notions ne sont pas objet d'étu<strong>de</strong> et fonctionnent<br />

en tant qu'outil permettant <strong>de</strong>s constructions (outil implicite) ou <strong>de</strong>s justifications <strong>de</strong><br />

propriétés (outil explicité par écrit ou oralement).


14<br />

3· CONCLUSION<br />

Au tenne <strong>de</strong> ce travail, les élèves <strong>de</strong> 5ème font encore une gran<strong>de</strong> confusion<br />

entre <strong>de</strong>scription d'une figure ou d'une construction et justification <strong>de</strong> la construction.<br />

Autrement dit malgré les thèmes étudiés il semble bien qu'en 5ème (même avec <strong>de</strong>s<br />

élèves plus âgés ce qui est le cas dans les cycles en 3 ans) on ait du mal à faire<br />

dépasser le premier sta<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>scription et <strong>de</strong> reconnaissance <strong>de</strong> structures d'une<br />

figure-<strong>de</strong>ssin.<br />

Le <strong>de</strong>uxième sta<strong>de</strong> <strong>de</strong> fonnulation <strong>de</strong> preuves, beaucoup plus difficile même<br />

sans formalisme excessif, n'est abordé que pour environ un quart <strong>de</strong>s élèves (mais pas<br />

toujours maîtrisé). Est-ce utile <strong>de</strong> souligner que ce sont ceux dont les résultats<br />

généraux sont satisfaisants ? Fonctionnant avec <strong>de</strong>s élèves pleins <strong>de</strong> bonne volonté<br />

mais ayant <strong>de</strong>s difficultés d'apprentissage, un environnement peu favorable, peut-être<br />

après tout qu'un tel résultat est un encoura~ement à approfondir ce travail.<br />

III - A partir d'une proposition d'Eucli<strong>de</strong> : activités en<br />

4ème<br />

Dans les programmes <strong>de</strong> 4ème l'accent est mis sur "l'entraînement au<br />

raisonnement déductif tout en évitant les exigences prématurées <strong>de</strong> fonnulation. La<br />

<strong>de</strong>scription et la représentation d'objets géométriques usuels du plan <strong>de</strong>meurent <strong>de</strong>s<br />

objectifs fondamentaux".<br />

Parmi ces objets, la bissectrice reliée à la notion d'équidistance présente bien <strong>de</strong>s<br />

difficultés pour les élèves <strong>de</strong> 4ème - 3ème. Elle est perçue comme divisant un angle en<br />

<strong>de</strong>ux angles <strong>de</strong> même mesure. Cette vision prégnante, issue <strong>de</strong> l'école primaire,<br />

masque la propriété d'axe <strong>de</strong> symétrie ou d'ensemble <strong>de</strong> points équidistants <strong>de</strong>s côtés<br />

<strong>de</strong> l'angle <strong>de</strong> la bissectrice. La construction traditionnelle au compas est bien réalisée la<br />

plupart du temps mais son sens se trouve perdu lors d'applications.<br />

Nous avons cherché <strong>de</strong>s problèmes d'inscription <strong>de</strong> figures régulières dans un<br />

cercle où cette construction <strong>de</strong> la bissectrice est un outil performant, l'utilisation <strong>de</strong><br />

l'équidistance étant souvent nécessaire à l'explicitation <strong>de</strong> la preuve.<br />

On trouve dans les "éléments" d'Eucli<strong>de</strong> Livres III et IV <strong>de</strong>s propositions<br />

concernant le cercle et les figures planes régulières circonscrites à un cercle. En<br />

particulier la proposition III du livre IV : .<br />

PROPOSITION III.<br />

A ua cercle dOllné 1 clrcon.crlre un Irillllllo équlaDsle; nec UI1 Irillllsle<br />

donllé.<br />

Soit ABr 10 cercle donné, et AU Ici trinnsle dOllné 1 Il.faul au cercle Ailr cir·'<br />

cOlucriro UD nianslo équiilnsle ·nec le 1riaosle 6EZ.


15<br />

Prolongeons la droile n <strong>de</strong> parI Cl d'nUIre "en le. pOiDlS H, a (ùem., ) , prenoe.<br />

le cenlre K ùu cercle Aur (1.3), menons d'une maDière quelconque la<br />

tlroile xu, l',i,ons 'ur J, droite ICI, el au poilil le <strong>de</strong> celle droite, un an~le IKA<br />

ésal1l j'ansle 6EH, Cl 1"lIgle 11er égnl ~ J'angle ua ('3. ,)., pnl' les poiuts A, 1, r<br />

lDenOlllJ le. uroiles /\AM, MON, Nr ... tangenle' au cercle' Asr ('7.3).<br />

Puisque les droiles AM, MN, 'N... loucllenl le cercle Aor aux poinrs A,<br />

l, r, et que )'OD a jOiDt KA, KB, xr, les angles au," points ... , B, r .eront<br />

dl'oie. (18. 3). Et pui'que les quatre anlllea du quadrilatèro AMlle. lon~<br />

égau," à quatro augles tlroie. (3'. 1), car le quaul'illltèro AMU pe\ll .e di­<br />

'Viser eD <strong>de</strong>ux lriangles; mai. porinl ICI angles <strong>de</strong> ce quad.rilatère, les Ingle.<br />

MA", KSM .one ,droits 1 donc les ansles restnnLS AU 1 AMB sont égaux 1\<br />

cleu," clroiLS. Mais les an ((les 6EH, 6ft .onl élloUX 11 <strong>de</strong>ux tlroilS (13. 1);<br />

l\onc les angles AXB, AMB ,ont égalll allX onglcs 6EH, 6F.t; mois l'angle AKB<br />

est clg,l h J'angle 6EH; tloilc j'o"lIle' rc"talll AMI eSI ~Ilul ~ 1'''''Ale r.CSlanl<br />

.t.EI. Nou. démonlrerons semblablemenl qlle j'anRle "'NM eSl égal h l'MuRln<br />

6Z!i; docc 'l'acgle restant MAN esl élluJ à 1ansle reSlanl EU (3•. 1). Donc le<br />

Iriangle, AMN elt équiangle nec le lriangle 6EZ, el il eH circllllscril au cercle<br />

ABr (oH. 4.4).<br />

Do.lc un triansle équi.ngic avec un triangle dllnné a été circollscril b ue<br />

cercle donné. Ce qu'il f.ll,it faire.<br />

D'un point <strong>de</strong> vue mathématique la résolution du problème se base chez Eucli<strong>de</strong><br />

sur:<br />

- le concept <strong>de</strong> géométrie du mouvement (report d'angles égaux) ;<br />

- les constructions et propriétés <strong>de</strong> perpendicularité d'une tangente;<br />

- la théorie <strong>de</strong>s parallèles et son application à la somme <strong>de</strong>s angles d'un triangle<br />

et d'un quadrilatère;<br />

- l'application d'un axiome (en soustrayant <strong>de</strong>s quantités égales à <strong>de</strong>s quantités<br />

égales, on obtient <strong>de</strong>s quantités égales) ;<br />

- la défmition <strong>de</strong> figure circonscrite à un cercle.<br />

La multiplicité <strong>de</strong>s tâches, l'introduction d'éléments supplémentaires<br />

(définitions, propriétés, théorèmes) complexifient les démarches heuristiques et les<br />

démarches <strong>de</strong> preuve <strong>de</strong> façon trop importante pour <strong>de</strong>s élèves <strong>de</strong> 4ème - 3ème.<br />

Nous avons donc proposé aux élèves une première activité qui les conduise à<br />

travailler dans une recomposition progressive <strong>de</strong> la figure: "inscrire un cercle dans un<br />

trizlJ.gle donné" (proposition IV livre IV).<br />

Pour faire émerger la richesse <strong>de</strong>s stratégies possibles, la consigne donnée aux<br />

élèves a pris fmalement la forme suivante:<br />

Construire:<br />

* <strong>de</strong>s cercles tangents à une droite;<br />

* <strong>de</strong>s cercles tangents à <strong>de</strong>ux droites ;<br />

* <strong>de</strong>s cercles tangents à trois droites ;<br />

pour chaque cas .'<br />

* écrire une <strong>de</strong>scription <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s en justifiant si possible par <strong>de</strong>s<br />

propriétés ;<br />

* écrire une conclusion.


16<br />

Après un passage dans une classe <strong>de</strong> 4ème nous avons noté pour que la quasi<br />

totalité <strong>de</strong>s élèves :<br />

- Pour une droite, il existe une infinité <strong>de</strong> cerele tangents mais à rayon constant.<br />

- Pour <strong>de</strong>ux droites, l'ordre <strong>de</strong>s constructions est: ·1ère droite, cercles, 2ème<br />

droite.<br />

Les élèves rajoutent <strong>de</strong>s contraintes qui induisent <strong>de</strong>s cas particuliers en<br />

transformant le texte <strong>de</strong> la consigne. Pour pallier ces difficultés la première partie <strong>de</strong> la<br />

consigne a été modifiée comme suit:<br />

Construire:<br />

* une droite et <strong>de</strong>s cercles tangents à cette droite ;<br />

* <strong>de</strong>ux droites et <strong>de</strong>s cercles tangents à ces 2 droites ;<br />

* trois droites et <strong>de</strong>s cercles tangents à ces 3 droites'<br />

Cette première activité permet:<br />

- une pratique <strong>de</strong>s tracés <strong>de</strong> figure mettant en jeu <strong>de</strong>s triangles et <strong>de</strong>s cercles<br />

- une explicitation <strong>de</strong>s outils que l'on manipule (la réalisation <strong>de</strong> la figure peut<br />

être l'occasion d'un raisonnement explicite).<br />

Elle va être une préparation à la recherche <strong>de</strong> la proposition III livre IV <strong>de</strong>s<br />

Elements d'Eucli<strong>de</strong> que nous proposons aux élèves sous la formulation suivante:<br />

Voici un cercle <strong>de</strong> centre 0, on veut l'inscrire dans un triangle ABC dont les<br />

angles mesurent A = 40°B =60° C = 80° ;<br />

* Comment construire un triangle ABC ;<br />

* Ecrire les étapes <strong>de</strong> la construction en justifiant au fur et à mesure par <strong>de</strong>s<br />

propriétés.<br />

A - activité droites et cercles<br />

1 - METHODOLOGIE<br />

L'activité a été proposée à <strong>de</strong>s élèves en groupe <strong>de</strong> 2, 3 ou 4 :<br />

* Avec la première formulation <strong>de</strong> la consigne (consigne 1) dans une classe <strong>de</strong><br />

4ème-3ème en 3 ans (2ème année du cycle) <strong>de</strong> 15 élèves répartis en 4 groupes.<br />

* Avec la consigne modifiée (consigne 2) dans 2 classes <strong>de</strong> 4ème <strong>de</strong> 18 élèves<br />

chacune, l'une d'un niveau correct (5 groupes et un élève qui a travaillé<br />

individuellement), l'autre d'un niveau beancoup plus faible (5 groupes) .<br />

Les élèves ont travaillé 2 heures sur l'activité. Certains groupes étaient observés,<br />

les observateurs ayant une grille d'observation et <strong>de</strong>s conseils d'intervention pour<br />

éviter certains blocages ou encourager <strong>de</strong>s recherches plus approfondies.<br />

Tous les travaux <strong>de</strong>s élèves ont été relevés (brouillons compris). Des feuilles<br />

blanches ont été fournies pour réaliser les constructions et rédiger les conclusions, les<br />

explications, les validations.


17<br />

2 - ANALYSE A PRIORI<br />

2.1 Prérequis<br />

Les élèves connaissent et ont écrit dans leur cours la définition <strong>de</strong> la tangente à<br />

un cercle ainsi que la définition <strong>de</strong> la bissectrice comme ensemble <strong>de</strong> points<br />

équidistants <strong>de</strong>s côtés d'un angle. Ils connaissent aussi la propriété d'axe <strong>de</strong> symétrie<br />

<strong>de</strong> la bissectrice d'un angle.<br />

2.2 Analyse <strong>de</strong> la tâche<br />

Cette activité est fondée sur la perception <strong>de</strong> la figure. Isoler un morceau <strong>de</strong><br />

figure puis le réintroduire dans l'ensemble est une stratégie <strong>de</strong> recherche. La<br />

formulation <strong>de</strong> la consigne <strong>de</strong>vrait amener les élèves à travailler ainsi.<br />

Les stratégies envisagées sont:<br />

a) découverte <strong>de</strong> centres convenant par tâtonnement, puis la construction étant<br />

réalisée retour sur une validation à l'ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> propriétés;<br />

b) En partant <strong>de</strong> la définition <strong>de</strong> la tangente, construction <strong>de</strong> perpendiculaires à<br />

une droite, puis <strong>de</strong>ux droites, puis trois droites, découverte <strong>de</strong> l'alignement <strong>de</strong>s<br />

centres, puis utilisation <strong>de</strong> l'équidistance.<br />

/<br />

c) Utilisation directe <strong>de</strong>s bissectrices dans la construction ou bien après<br />

tâtonnement reconnaissance <strong>de</strong> la nécessité d'utiliser une bissectrice.<br />

d) Réalisation <strong>de</strong> la construction à l'envers : cercle puis droites. Prise <strong>de</strong><br />

conscience d'avoir traité le problème à l'envers - Analyse <strong>de</strong> la construction réalisée en<br />

supposant le problème résolu. Mise en évi<strong>de</strong>nce <strong>de</strong> la ou <strong>de</strong>s bissectrices et utilisation<br />

<strong>de</strong> cet outil pour obtenir une construction correcte.<br />

Les outils utilisés seront:<br />

- la tangente à un cercle<br />

-la bissectrice (dont la constructlon se fera au compas ou au rapporteur).<br />

A chaque étape <strong>de</strong> la consigne, la manière dont est obtenue le premier cercle est<br />

déterminante pour l'évolution <strong>de</strong> la figure. Si les élèves privilégient une certaine<br />

habilité visuelle (tâtonnement), le temps d'apparition <strong>de</strong>s autres cercles (et même le fait


18<br />

d'envisager leur existence) montre le passage à une construction raisonnée. En effet<br />

l'alignement <strong>de</strong>s centres entraîne l'utilisation <strong>de</strong> perpendiculaires (dans le cas d'une<br />

droite) pensé comme ensemble <strong>de</strong> tous les centres <strong>de</strong> cercles tangents à la droite<br />

donnée. La bissectrice peut jouer le même rôle dans le cas <strong>de</strong> 2 et 3 droites.<br />

On peut aussi voir si d'une étape à l'autre il y a réinvestissement dans le cas où il<br />

y a eu mise en place d'une métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> construction: le cas <strong>de</strong> 3 droites sera-t-il<br />

partagé en sous-figure qui seront ensuite recombinées?<br />

Dans ce cas, la vision du triangle qui est "dominante" dans la figure<br />

empêche-t-elle l'utilisation <strong>de</strong> la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> construction pour obtenir les cercles<br />

exinscrits ?<br />

Toutes les positions <strong>de</strong>s droites sont-elles envisagées? Pour que les élèves ne<br />

restent pas bloqués, les observateurs peuvent poser la question êtes-vous sûrs qu'il<br />

n'yen a pas d'autres possibles ?"<br />

Dans le cas <strong>de</strong> trois droites concourantes les élèves se posent-ils la question <strong>de</strong><br />

l'existence d'un cercle point?<br />

3 • ANALYSE DES DEMARCHES<br />

3.1 Cas d'une droite:<br />

Avec la consigne 1 : Dans la classe <strong>de</strong> 4ème - 3ème en 3 ans, tous les élèves<br />

construisent une droite, puis les cercles dont les centres sont alignés sur une parallèle:<br />

ils ajoutent une consigne supplémentaire, le rayon est fixe. La validation se fait par la<br />

propriété <strong>de</strong> la tangente.<br />

Un seul cercle avait été tracé dans le cours, peut-être est-ce cela qui induit la<br />

construction à rayon constant.<br />

Avec la consigne 2 : Dans les 2 autres classes <strong>de</strong> 4ème, le "théorème élève"<br />

rayon constant, n'est plus vérifié. La majorité <strong>de</strong>s élèves construit <strong>de</strong>s cercles <strong>de</strong><br />

chaque côté <strong>de</strong> la droite avec <strong>de</strong>s rayons différents. La validation se fait également par<br />

la propriété <strong>de</strong> la tangente. L'apparition d~ cercles <strong>de</strong> rayons différents est sans doute<br />

liée avec une situation étudiée précé<strong>de</strong>mment : ensemble <strong>de</strong> points situés à distance<br />

donnée d'une droite donnée.<br />

Les élèves qui ont construit le cercle tangent par tâtonnement n'ont pas réussi à<br />

fournir une justification <strong>de</strong> leurs résultats.<br />

En conclusion :1) Certains élèves ne tracent qu'un seul cercle et veulent passer<br />

immédiatement à l'étape suivante avec <strong>de</strong>ux droites. Pour inciter l'élève à davantage <strong>de</strong><br />

réflexion, l'observateur a la consigne d'intervenir en posant la question: "êtes - vous<br />

sûr qu'il n'yen a pas d'autres possibles ?".<br />

2) L'influence <strong>de</strong> l'évolution <strong>de</strong> la consigne n'est pas visible dans ce cas. Les<br />

élèves ont tous construit une droite puis un ou <strong>de</strong>s cercles tangents.


19<br />

3.2 Cas <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux droites :<br />

Avec la consigne 1 : Dans la classe <strong>de</strong> 4ème-3ème en 3 ans, on retrouve la<br />

contrainte d'un rayon constant ajoutée par les élèves à la première question.<br />

Deux groupes n'envisagent au départ que <strong>de</strong>s droites parallèles. Quand sur<br />

l'insistance <strong>de</strong> l'observateur ils envisagent une autre position <strong>de</strong>s droites: elles sont<br />

perpendiculaires avec <strong>de</strong>s cercles tangents dont les centres sont les sommets d'un carré.<br />

Les <strong>de</strong>ux autres groupes envisagent 2 droites sécantes non perpendiculaires.<br />

Avec la consigne 2 : Dans la classe <strong>de</strong> 4ème <strong>de</strong> niveau faible, un groupe d'élèves<br />

a d'abord tracé un cercle puis construit les 2 tangentes à ce cercle issues d'un même<br />

point. Ces élèves ont sans doute voulu réinvestir cette construction réalisée en classe<br />

précé<strong>de</strong>mment.<br />

Pour les droites sécantes, l'influence <strong>de</strong>s<br />

activités <strong>de</strong> la recherche précé<strong>de</strong>nte se fait<br />

également sentir dans les 2 classes <strong>de</strong><br />

4ème. La notion <strong>de</strong> bissectrice d'un angle<br />

a été abordée par construction <strong>de</strong><br />

l'ensemble <strong>de</strong>s points équidistants à 2<br />

droites données. Une gran<strong>de</strong> partie <strong>de</strong>s<br />

élèves retrouve les centres <strong>de</strong>s cercles<br />

tangents par construction <strong>de</strong> 2<br />

perpendiculaires.<br />

Dans 3 groupes on voit apparaître une<br />

erreur <strong>de</strong> construction : les pieds <strong>de</strong>s 2<br />

perpendiculaires aux 2 droites sécantes ne<br />

sont pas situées à égale distance du point<br />

d"intersection <strong>de</strong>s 2 droites. On obtient<br />

alors un cercle tangent à une droite et un<br />

cercle tangent à l'autre droite <strong>de</strong> rayons<br />

différents.


20<br />

D'autre part, si la construction classique <strong>de</strong> la bissectrice est amorcée au compas<br />

avec construction d'arcs <strong>de</strong> cercles sécant.s, la bissectrice elle-même n'est pas tracée.<br />

C'est le seul point d'intersection <strong>de</strong>s 2 arcs <strong>de</strong> cercles qui est pris comme centre du<br />

cercle tangent. Les autres centres <strong>de</strong>s cercles tangents sont obtenus par la même<br />

construction réitérée plusieurs fois.<br />

Les élèves font fonctionner l'outil bissectrice <strong>de</strong> manière implicite mais il semble<br />

qu'ils n'utilisent que les points construits sans envisager la bissectrice comme<br />

ensemble <strong>de</strong> points équidistants aux <strong>de</strong>ux côtés <strong>de</strong> l'angle.<br />

En conclusion:<br />

1) La plupart <strong>de</strong>s élèves ayant envisagé une seule position, ont eu du mal à<br />

accepter d'imaginer d'autres situations possibles. Pour essayer <strong>de</strong> les faire apparaître,<br />

l'observateur est intervenu en posant la question: "y a-t-il d'autres positions <strong>de</strong>s<br />

droites 1".<br />

L'ordre d'apparition <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ssins successifs est le suivant:<br />

- il est toujours <strong>de</strong>ssiné en premier <strong>de</strong>ux droites parallèles. Cela est<br />

compréhensible pour les élèves qui n'avaient que <strong>de</strong>s cercles <strong>de</strong> même rayon dans le<br />

cas d'une droite, mais la priorité <strong>de</strong> ce choix pour tous les autres groupes est<br />

surprenante<br />

- en second apparaît souvent pour les sécantes la position <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux droites<br />

perpendiculaires particulièrement dans les <strong>de</strong>ux classes <strong>de</strong> niveau plus faible<br />

- enfin la construction <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux droites sécantes quelconques apparemment plus<br />

facile à tracer, n'est envisagée que sous l'influence <strong>de</strong> l'intervention <strong>de</strong> l'observateur<br />

pour la plupart <strong>de</strong>s groupes, particulièrement dans les <strong>de</strong>ux classes <strong>de</strong> niveau plus<br />

faible.<br />

2) C'est dans cette <strong>de</strong>uxième partie que les <strong>de</strong>ssins à main levée commencent à<br />

apparaître sur les brouillons et montrent que <strong>de</strong>s élèves sans arriver à une construction<br />

correcte envisagent bien plusieurs positions possibles <strong>de</strong>s droites et <strong>de</strong>s cercles. Le<br />

passage du <strong>de</strong>ssin "exact" à la figure représentant l'objet géométrique a été fait par ces<br />

élèves qui peuvent raisonner sur leurs <strong>de</strong>ssins à main levée.<br />

cas.<br />

3) L'influence du changement <strong>de</strong> la consigne est plus notable dans ce <strong>de</strong>uxième<br />

Avec la consigne 1 on obtient <strong>de</strong>s stratégies <strong>de</strong> types:


21<br />

Dans le cas <strong>de</strong> la consigne 2 les droites sont toujours tracées en premier (sauf<br />

pour un élève). On voit alors <strong>de</strong> réels problèmes <strong>de</strong> construction se poser nécessitant<br />

l'utilisation <strong>de</strong> propriétés d'équidistance.<br />

3.3 Cas <strong>de</strong> trois droites :<br />

Avec la consigne 1 : Dans la classe <strong>de</strong> 4ème -3ème<br />

- La position la plus souvent envisagée est celle <strong>de</strong> 2 droites parallèles<br />

perpendiculaires à une même troisième - on retrouve encore le rayon constant.<br />

Le fait <strong>de</strong> ne trouver que 2 cercles seulement gêne les élèves qui pour en trouver<br />

d'autres oublient la condition <strong>de</strong>s 3 droites tangentes et tracent <strong>de</strong>s cercles extérieurs<br />

tangents à 1 ou 2 droites seulement.<br />

- Si 3 droites sécantes quelconques sont envisagées, alors les élèves trouvent<br />

qu'un triangle équilatéral simplifie la question. Ils n'arrivent que dans un seul cas à<br />

envisager non seulement le cercle intérieur mais aussi les cercles extérieurs au triangle :<br />

un élève trouve, essaie <strong>de</strong> vali<strong>de</strong>r en cherchant une "espèce <strong>de</strong> symétrie" du centre du<br />

cercle intérieur et d'un <strong>de</strong>s cercles extérieurs.<br />

Avec la Consigne 2 : Dans les 2 autres classes on trouve les même types <strong>de</strong><br />

construction.<br />

On rencontre <strong>de</strong> plus :<br />

* 3 droites parallèles entre elles, cette construction envisagée au brouillon est<br />

très rapi<strong>de</strong>ment abandonnée, après s'être fait préciser auprès du professeur que les<br />

cercles doivent être tangents simultanément aux trois droites.


22<br />

* 3 droites, considérées comme <strong>de</strong>s segments perpendiculaires 2 à 2, les élèves<br />

obtiennent alors un seul cercle.<br />

\<br />

* 2 droites parallèles et une sécante (non perpendiculaire), la construction <strong>de</strong> la<br />

bissectrice est alors bien réinvestie.<br />

* Droites sécantes, le triangle obtenu est quelconque et 2 bissectrices seulement<br />

sont tracées pour obtenir le cercle intérieur tangent<br />

* Dans 2 groupes, le centre du cercle intérieur se construit avec <strong>de</strong>s droites<br />

perpendiculaires comme dans la figure 2.<br />

* Dans 3 groupes, en fait le triangle n'apparaît pas et les 2 bissectrices<br />

construites sont les bissectrices extérieures du triangle.<br />

60>'0. ~u-' ~ ~3im'~~ ou. ~.. o.rn~~~I:ltl. 0 \co.\ca-.."tW.t.~<br />

~ 0.. ~.: Q Cb'f\~ 0..... Cu Se. ÇO-'"<br />

~ ':> k~ sc:*~ ~~~ 6M ~<br />

Le cas <strong>de</strong> cercles tangents extérieurement a été envisagé dans <strong>de</strong> nombreux<br />

groupes, soit dans <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ssins à main levée, soit avec une construction <strong>de</strong>s<br />

bissectrices.<br />

Les 3 droites concourantes sont apparues dans 2 groupes sans provoquer <strong>de</strong><br />

discussion quant à l'existence du cercle réduit à un point. Cette position n'est pas<br />

étudiée par les élèves.


23<br />

Les constructions menées le sonr sans validation (un groupe a même obtenu les<br />

cercles par tâtonnement en imaginant visuellement le tracé <strong>de</strong>s bissectrices).<br />

Les élèves bien que gênés par le manque <strong>de</strong> temps envisagent <strong>de</strong>s positions<br />

variées pour les 3 droites. Les observateurs n'auront pas à intervenir.<br />

L'ordre d'apparition <strong>de</strong>s figures est différent selon les groupes.<br />

En conclusion:<br />

Dans ce cas plus difficile, la consigne 2 a permis encore d'éviter la construction<br />

<strong>de</strong>s cercles avant celle <strong>de</strong>s tangentes. Il faut noter cependant que les élèves souvent<br />

choisissent <strong>de</strong>s positions particulières <strong>de</strong>s 3 droites. (triangle équilatéral, <strong>de</strong>ux<br />

parallèles et une perpendiculaire, <strong>de</strong>ux parallèles et une sécante).<br />

Dans la classe <strong>de</strong> 4ème-3ème en 3 ans un groupe sur quatre et dans chacune <strong>de</strong>s<br />

2 autres classes <strong>de</strong> 4ème, la moitié <strong>de</strong>s groupes ont envisagé une construction <strong>de</strong><br />

cercles tangents à 3 droites dans le cas plus général.<br />

4 - CONCLUSION<br />

Les élèves ont été très actifs dans ce travail. A l'aise dans le maniement <strong>de</strong>s<br />

divers outils, ils ont l'impression <strong>de</strong> bien maîtriser l'évolution du problème.<br />

Les notions à utiliser (tangente, bissectrice) sont bien apparues, mais pour<br />

beaucoup <strong>de</strong> groupes, seuls <strong>de</strong>s cas particuliers <strong>de</strong> positions <strong>de</strong>s droites ont été<br />

envisagés. Pour que toutes les positions soient envisagées, peut-être faut-il modifier la<br />

consigne en parlant <strong>de</strong> "cercles aussi variés que possibles" cela pourrait éviter que les<br />

élèves ajoutent d'eux-mêmes <strong>de</strong>s contraintes qui les bloquent dans leur recherche.<br />

On retrouve ici <strong>de</strong>s fonctionnements qui entraînent dans <strong>de</strong>s problèmes<br />

<strong>de</strong> géométrie la construction <strong>de</strong> figures particulières et qui introduisent <strong>de</strong>s erreurs<br />

dans la recherche <strong>de</strong>s solutions. Par <strong>de</strong>s activités avec constructions <strong>de</strong> diverses<br />

figures pour un même texte on peut conduire les élèves à discerner les contraintes <strong>de</strong> la<br />

figure, <strong>de</strong>s contraintes qu'ils se créent.<br />

Par ailleurs les observateurs ont pu noter que <strong>de</strong> nombreuses fois la consigne<br />

n'était pas respectée: les élèves traçaient le cercle avant la ou les tangentes. Cela s'était<br />

produit avec la première consigne, et sa modification n'a pas entraîné un changement<br />

réel <strong>de</strong> comportement. Les élèves n'ont pas compris que l'ordre <strong>de</strong> la construction<br />

"droite et cercle" était fixé, et introduisant une notion <strong>de</strong> succession. Pour eux, la<br />

figure fmalement construite dans un ordre ou dans l'autre est la même.<br />

L'analyse <strong>de</strong> la figure obtenue dans "le mauvais sens" pour remettre le<br />

programme <strong>de</strong> construction dans "le bon sens" n'est pas faite. Les élèves s'arrêtent à<br />

la construction estimant avoir répondu à la question. Ceux qui réalisent <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ssins à<br />

main levée ont eu, dans tous les cas, davantage tendance à se poser <strong>de</strong>s questions <strong>de</strong><br />

réalisation avec les instruments <strong>de</strong> géométrie.<br />

Nous pensions que d'une étape à l'autre (1, 2 puis 3 droites) il y aurait<br />

réinvestissement <strong>de</strong>s résultats. Or chaque problème est pratiquement traité


24<br />

indépendamment: il y a juxtaposition. Ceci est particulièrement visible dans le cas <strong>de</strong> 3<br />

droites. Si pour 2 droites, <strong>de</strong>s élèves ont fini par utiliser les bissectrices, ils n'ont pas<br />

pensé que 3 droites conduisent à utiliser 3 fois cette construction. Ils ont construit une<br />

première bissectrice, puis ont cherché le centre du cercle tangent par tâtonnement.<br />

Cette activité permet également <strong>de</strong> voir comment la représentation que les élèves<br />

ont d'un outil, favorise ou non leur démarche heuristique. A chaque étape, la<br />

découverte <strong>de</strong> la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> construction cofuci<strong>de</strong> avec la démarche <strong>de</strong> validation. Or,<br />

suivant la représentation que les élèves ont <strong>de</strong> la bissectrice, l'émergence d'un procédé<br />

a été plus ou moins aisé. La bissectrice axe <strong>de</strong> symétrie est un concept trop peu<br />

opérationnel en 4ème pour que les élèves qui l'utilisent procè<strong>de</strong>nt autrement que par<br />

tâtonnement. Par contre la bissectrice ensemble <strong>de</strong> points équidistants entraîne la<br />

construction <strong>de</strong> perpendiculaires et le lien "visuel" avec la tangente se fait plus<br />

aisément.<br />

Enfm ce travail est aussi le moyen <strong>de</strong> mettre en oeuvre une certaine méthodologie<br />

<strong>de</strong> recherche. Observer et analyser une figure par morceaux et non dans sa globalité est<br />

souvent nécessaire pour orienter la recherche d'une question.<br />

Ici le problème proposé se complexifie au fur et à mesure et permet <strong>de</strong> montrer<br />

aux élèves l'intérêt d'une telle analyse <strong>de</strong>s figures (même si ici la figure globale<br />

n'apparait qu'à la fin).<br />

B - Activité Cercles et Triangles<br />

1- METHODOLOGIE<br />

Les 3 mêmes classes ont travaillé en groupe pendant 2 heures.<br />

La consigne a été dans les 3 classes :<br />

Voici un cercle <strong>de</strong> centre 0, on veut l'inscrire dans un triangle ABC dont les<br />

angles mesurent A=40°, B=60° et C=SO°<br />

* comment construire un triangle ABC<br />

* écrire les étapes <strong>de</strong> la construction en justifiant au fur et à mesure par <strong>de</strong>s<br />

propriétés.<br />

La plupart <strong>de</strong>s groupes ont été observés. Les observateurs avaient une grille<br />

d'observation et <strong>de</strong>s consignes d'intervention pour éviter certains blocages.<br />

Par groupe on a fourni 1 feuille avec le texte <strong>de</strong> consigne, 2 feuilles avec le<br />

cercle et <strong>de</strong>s feuilles blanches pour le compte rendu.<br />

Le <strong>de</strong>ssin final a été exigé sur une <strong>de</strong>s feuilles distribuées pour éviter la<br />

construction d'un triangle puis celle du cercle.<br />

Tous les travaux d'élèves ont été relevés, brouillons compris.


25<br />

2- ANALYSE A PRIORI<br />

2.1 Prérequis<br />

Quelques jours avant, un rappel <strong>de</strong> la 1ère situation a été fait sous la fonne<br />

suivante:<br />

- pour chacun <strong>de</strong>s 3 cas (cercles tangents à 1 droite, à 2 droites, à 3 droites) une<br />

figure a été affichée au tableau.(annexe 2)<br />

- une liste <strong>de</strong>s propriétés utiles à la justification <strong>de</strong>s constructions a été élaborée<br />

avec les élèves et écrite dans le cahier. A l'occasion du travail sur la figure n03 (annexe<br />

2), <strong>de</strong>s quadrilatères apparaissent. La propriété concernant la somme <strong>de</strong>s angles d'un<br />

quadrilatère qui peut être utilisée dans une <strong>de</strong>s stratégies a été rappelée et notée.<br />

2.2 Analyse <strong>de</strong> la tâche<br />

Trouver l'adéquation entre un cercle <strong>de</strong> rayon donné et un triangle dont les<br />

mesures <strong>de</strong>s angles sont connues ne semble pas a priori évi<strong>de</strong>nt.<br />

Une variable <strong>de</strong> cette situation se situe au niveau <strong>de</strong> la taille du cercle et du<br />

triangle. Pour éviter <strong>de</strong>s schémas trop petits (tendance manifeste pour une moitié <strong>de</strong><br />

nos élèves) ou qui induisent <strong>de</strong>s particularités, nous avons choisi <strong>de</strong>s angles <strong>de</strong> 40°,<br />

60°, 80° et le cercle a été donné (le même pour tous).<br />

Les stratégies envisagées sont:<br />

a) Construction à l'envers.<br />

1) tracé d'un triangle par tâtonnement<br />

2) tracé <strong>de</strong>s bissectrices<br />

3) tracé <strong>de</strong>s rayons perpendiculaires aux<br />

côtés.<br />

On peut penser que <strong>de</strong>s élèves estiment avoir répondu sans s'inquiéter <strong>de</strong> la<br />

validité <strong>de</strong> la construction ni <strong>de</strong> sa justification.<br />

b) Une autre démarche suppose le problème résolu, en raisonnant sur une figure<br />

"fausse" mais complète faisant apparaître tangentes et rayons.<br />

Le programme <strong>de</strong> construction peut être le suivant:


26<br />

.1) tracé d'une tangente<br />

2) construction <strong>de</strong> 3 angles <strong>de</strong> centre 0<br />

(1800 - 40°)<br />

(1800 - 60°)<br />

(1800 - 80°)<br />

3) construction <strong>de</strong>s perpendiculaires aux<br />

points d'intersections <strong>de</strong>s côtés <strong>de</strong>s<br />

angles avec le cercle.<br />

Le quadrilatère qui est construit alors et la formulation <strong>de</strong> la consigne attire<br />

l'attention sur les angles.<br />

Cette phase d'appropriation <strong>de</strong> la figure et d'analyse <strong>de</strong> la situation risque <strong>de</strong> ne<br />

pas apparaître.<br />

c) Une démarche qui donne la solution et peut la justifier repose sur la<br />

construction d'une part d'un triangle répondant à la question et d'autre part <strong>de</strong> droites<br />

parallèles aux côtés du triangle et tangentes au cercle.<br />

1) tracé d'une tangente<br />

2) construction d'un triangle semblable<br />

3) construction <strong>de</strong> perpendiculaires au<br />

2ème côté <strong>de</strong>s angles<br />

4) construction <strong>de</strong>s parallèles tangentes<br />

au cercle.<br />

La figure <strong>de</strong>mandée se constitue par tâtonnement divers (glissement <strong>de</strong> règles et<br />

équerre, ...) pour obtenir les droites parallèles et les tangentes au cercle.<br />

Les éléments à prendre en compte pour la justification (droites parallèles et<br />

angles correspondants) sont visibles sur la figure, mais il faut que l'attention se<br />

déplace <strong>de</strong>s parallèles aux angles correspondants égaux.<br />

Les outils nécessaires à la justification sont :<br />

* tangentes àun cercle<br />

* angles correspondants<br />

* dr~ites perpendiculaires à une même troisième.


27<br />

d) Une vision plus partielle <strong>de</strong> la figure conduit à une construction proche <strong>de</strong> la<br />

précé<strong>de</strong>nte.<br />

1) tracé d'une tangente<br />

2) construction d'un angle <strong>de</strong> 40°, ayant<br />

comme côté cette tangente<br />

3) construction <strong>de</strong> la parallèle à ce côté,<br />

tangente au cercle.<br />

Les outils nécessaires sont les mêmes que pour c).<br />

e) L'activité "droites et cercles" peut être réinvestie en utilisant le centre du<br />

cercle comme point <strong>de</strong> concours <strong>de</strong>s bissectrices <strong>de</strong>s angles du triangle.<br />

Deux programmes <strong>de</strong> construction peuvent être envisagés:<br />

1erprogramme<br />

1) tracé d'un diamètre<br />

Les outils nécessaires à la justification sont ici :<br />

* droites perpendiculaires à une même troisième<br />

* centre du cercle point d'intersection <strong>de</strong>s bissectrices<br />

* tangentes à un cercle. .<br />

2ème programme<br />

2) tracé <strong>de</strong> l'angle moitié (40°/2 par<br />

exemple), un côté est le diamètre<br />

3) tracé <strong>de</strong> la perpendiculaire au 2ème<br />

côté<br />

4) construction <strong>de</strong> la parallèle tangente au<br />

cercle.<br />

1) tracé d'un angle au centre (90° - 40°/2)<br />

2) tracé d'une tangente perpendiculaire à<br />

un <strong>de</strong>s côtés<br />

3) tracé du symétrique <strong>de</strong> l'angle par<br />

rapport à l'autre côté<br />

4) tracé d'une <strong>de</strong>uxième tangente<br />

5) tracé d'un <strong>de</strong>uxième angle au centre<br />

(90° - fiJo/2) adjacent au premier<br />

6) tracé d'une troisième tangente.<br />

Les outils nécessaires à la justification sont:<br />

* bissectrice :<br />

- angles <strong>de</strong> même mesure<br />

- équidistance<br />

* tangente à un cercle.


28<br />

Selon que l'élève va privilégier les tangentes ou les angles, son approche sera<br />

différente: perception globale <strong>de</strong> la figure et <strong>de</strong> ses propriétés (c), perception <strong>de</strong> sousfigure<br />

avec calculs d'angles (b et e) ou alors utilisation <strong>de</strong> constructions intermédiaires<br />

(d).<br />

3 - ANALYSE DES DEMARCHES<br />

3.1 La répartition <strong>de</strong>s démarches utilisées par les élèves est la<br />

suivante<br />

type <strong>de</strong> stratégies a b c d e<br />

avec ai<strong>de</strong> 2 1 8<br />

sans ai<strong>de</strong> 3 1 1<br />

Les élèves dits "aidés" le sont par l'intermédiaire d'une fiche (annexe 3). Elle est<br />

conçue au départ pour les groupes n'ayant pas <strong>de</strong> production écrite au bout <strong>de</strong> 40mn.<br />

Nous souhaitons en effet amener le maximum d'élèves à <strong>de</strong>s démarches <strong>de</strong><br />

raisonnement et à <strong>de</strong>s formalisations écrites.<br />

En fait, la fiche a été utilisée comme prévu par un seul groupe d'élèves. Les<br />

autres élèves, ou groupes d'élèves, avaient déjà <strong>de</strong>s éléments <strong>de</strong> <strong>de</strong>ssin et/ou <strong>de</strong><br />

justification mais n'arrivaient pas à écrire leur raisonnement.<br />

La fiche d'ai<strong>de</strong> élaborée n'est pas satisfaisante. Elle induit l'utilisation d'une<br />

stratégie <strong>de</strong> type c (8 groupes sur 11), mais le principe d'une telle fiche est à<br />

conserver.<br />

3.2 Sur les différents <strong>de</strong>ssins construits par les élèves, les étapes<br />

<strong>de</strong> la construction sont apparentes ou non.<br />

Particulièrement, pour celles liées à la stratégie c, nous avons observé <strong>de</strong>s élèves<br />

déplaçant le rapporteur jusqu'à obtenir une droite tangente au cercle.<br />

cl 1,;. IrtJ~~. un f1.~on._._ .. ..<br />

.J"di ~d'e- "'('~_/:;'''''.IU1.~e.o_e.ro" ~~\S3DL\a_ . .L_<br />

: -- :Y,3j- 9 \ISJé ':"f'\n.a~~~n._~_\êt ~~~Te. _..<br />

~ . .k ~;.s pdC\.Kœ. du.~.l~-t._ cl.' ;r\h~JI.s~h~,"" <strong>de</strong> l~<br />

~ ~c:n\-c:;.. c~ du. Q.ôy~C') .. ~c:~. \S~~\.s: _..<strong>de</strong>.JrC\..ô::.t'f\­<br />

:. .J./ ài 3\i~é Je. ntl?txnr~.~~ntte Ç~.\"Lc::..-7juS.C\."/~ .<br />

. ce. q\Je. '-.LQ.:.\ ~\-. 0 ~ so~cm\-.._s~\~. c..e.nc.\.~._- ..<br />

J / â\ hz..:ac:.é \a. dno\ te.. ...--.-=..... - _.._-_.._ .. ,<br />

i<br />

e.-~,,~ 'hr(),",~ \C\.1)c:.~ \e ct~oo .._l à \a._bo~ef'\'\e.. ­<br />

_:vr~ jhld'\S_~e~'t- _~\~~é~~n.app~.s~jc1. -1~~<br />

't Cl 1_ . .- .Q h·~· '. - 1<br />

. t\.~ eI"\.~ a.,,~~ f\S. . .a..r()("') s. ~ ~\, .:;;Z:WiC ~--Î' ~- c:<br />

.bll . ~~S(t'J /.ël.~.c..e_ c(uc:....-()n-O\>henne....__~~-::--.c...\-: ()~..


29<br />

Est-ce une construction d'angles correspondants? Ou plutôt une construction<br />

intuitive <strong>de</strong> parallèles par analogie avec le glissement <strong>de</strong> l'équerre le long d'une règle.<br />

Quelle que soit la stratégie utilisée, les élèves, pour lesquels la construction est visible,<br />

ont tous écrit une justification complète ou non (nous n'appelons pas justification la<br />

seule <strong>de</strong>scription du programme <strong>de</strong> construction).<br />

absence <strong>de</strong><br />

justifications<br />

justifications<br />

straté~jes a b c d e<br />

constructions<br />

visibles<br />

constructions<br />

invisibles 2 5<br />

justifications<br />

complètes 3 1<br />

justifications<br />

incomplètes 1 3 1<br />

La majorité <strong>de</strong>s justifications apparaissent dans les cas b et c. TI est à remarquer<br />

que pour les huit groupes d'élèves qui ont reçu la fiche d'ai<strong>de</strong> dans le cas c, cinq<br />

d'entre eux n'ont pas réussi à écrire une justification et elle est restée incomplète pour<br />

les trois autres.<br />

Ce n'est pas vrai pour la stratégie b où le groupe "aidé" a fourni une justification<br />

complète.<br />

3.3 La consigne est déformée al' départ par trois groupes, avec une confusion<br />

entre cercle inscrit et circonscrit. L'un a rectifié <strong>de</strong> lui-même et <strong>de</strong>ux autres après<br />

intervention <strong>de</strong>s observateurs, <strong>de</strong>mandant <strong>de</strong> relire la consigne. Lors <strong>de</strong> la<br />

construction, la confusion bissectrice - médiatrice persiste dans l'esprit <strong>de</strong> ces élèves.<br />

Ils utilisent le mot médiatrice pour caractériser la bissectrice, ce n'est qu'un problème<br />

<strong>de</strong> confusion du vocabulaire.<br />

Par contre, pour <strong>de</strong>ux élèves la confusion<br />

se fait non seulement au niveau du<br />

vocabulaire mais aussi du codage et donc<br />

<strong>de</strong>s propriétés.


30<br />

Pour commencer tous les groupes ont construit un triangle, par tâtonnement,<br />

répondant à la consigne. Les angles ne correspon<strong>de</strong>nt pas forcément aux valeurs<br />

données. On obtient <strong>de</strong>s réflexions du type :<br />

"j'ai pris les droites tangentes au cercle et ce n'est pas bon"<br />

"39° ... un <strong>de</strong>gré ça peut aller"<br />

"là ilfaut 40 0, là ilfaut 60 0, ben oui mais pas au pif! "<br />

''j'ai regardé 30°etj'ai ajusté"<br />

Certains groupes ne trouvent pas d'autres stratégies et donc n'ont pas <strong>de</strong><br />

justification écrite. Pourtant pour se persua<strong>de</strong>r que leur construction convient ils la<br />

re<strong>de</strong>ssinent plusieurs fois. A chaque construction, se rappelant <strong>de</strong> la propriété du<br />

centre du cercle inscrit, ils tracent les bissectrices pour vérifier que leur point <strong>de</strong><br />

concours coïnci<strong>de</strong> avec le centre du cercl,~ donné. Ils font autant <strong>de</strong> constructions que<br />

nécessaire en les affinant, obtenant successivement 'une puis <strong>de</strong>ux, puis trois<br />

bissectrices qui passent enfin par le centre. Une élève écrit "pour me rassurer j'ai tracé<br />

les bissectrices qui se sont coupées en un point 0 le centre du cercle".<br />

Les élèves ont employé majoritairement la stratégie c. C'est aussi celle pour<br />

laquelle l'existence et la formalisation d'une justification sont les moins réussies.<br />

En effet, il n'est pas nécessaire<br />

d'expliciter la notion d'angles correspondants<br />

qui permet <strong>de</strong> justifier la<br />

construction <strong>de</strong> parallèles pour réaliser la<br />

figure.<br />

De même la construction <strong>de</strong> tangentes se<br />

fait par tâtonnement même si le concept<br />

<strong>de</strong> droite perpendiculaire au rayon est<br />

sous-jacent.<br />

Le rayon est souvent tracé a posteriori et<br />

l'angle droit marqué (même si ce n'est<br />

pas toujours exact).<br />

En ce qui concerne la stratégie b, les constructions et les justifications sont bien<br />

structurées.<br />

Pourquoi cette différence?<br />

Après avoir <strong>de</strong>ssiné la 1ère tangente, il<br />

faut construire un angle au centre dont la<br />

mesure n'est connue que lorsque le<br />

quadrilatère est envisagé. La justification<br />

est alors concomitante à la construction.<br />

Pourtant ce raisonnement n'est pas<br />

facilement accepté par les élèves.


31<br />

Diverses réflexions apparaissent:<br />

"on n'a pas les angles làl()() 0 -120 0 -140 0 on les a trouvé avec la construction."<br />

"où il est l'angle <strong>de</strong> 140 0 ? il n'est pas dans le texte".<br />

D'autres élèves veulent nommer le quadrilatère, mais "a-t-on le droit <strong>de</strong> mettre<br />

<strong>de</strong>s lettres à <strong>de</strong>s points qui ne sont pas encore placés? ". Cette stratégie supposait le<br />

problème résolu, méthodologie peu utilisée dans le premier cycle.<br />

Voici dans ce cas une utilisation particulière du rapporteur qui conduit à<br />

l'apparition d'un raisonnement.<br />

Pour construire, une élève utilise son<br />

rapporteur <strong>de</strong> la façon ci-contre en<br />

mesurant un angle <strong>de</strong> 40°. Puis elle<br />

construit la <strong>de</strong>uxième tangente et avec la<br />

même démarche termine correctement le<br />

triangle.<br />

Lorsqu'elle veut expliquer à ses camara<strong>de</strong>s son travail, elle dit ''j'ai posé mon<br />

rapponeur et j'ai mesuré pas du bon côté - Ah en fait au lieu <strong>de</strong> prendre 40 0 c'est 140 0 ­<br />

Alors pour 60 0 j'ai pris" et une autre COlllplète en disant "120°'.<br />

C'est le calcul <strong>de</strong> la valeur <strong>de</strong> 140° qui leur permettra d'écrire un début <strong>de</strong><br />

raisonnement correct<br />

Un élève n'arrive pas à formaliser, il est gêné par la non-existence <strong>de</strong>s angles <strong>de</strong><br />

140°, 100°, 120° dans le texte et refuse <strong>de</strong> les utiliser. TI va choisir comme outils la<br />

bissectrice et la somme <strong>de</strong>s angles d'un triangle.


32<br />

L'angle <strong>de</strong> 20° se déduit plus facilement<br />

du texte car dans une construction<br />

précé<strong>de</strong>nte, la bissectrice a été utilisée<br />

comme axe <strong>de</strong> symétrie. C'est cette<br />

propriété qu'il utilise pour compléter la<br />

figure et écrire sa justification.<br />

3.4 Nous avons plusieurs fois constaté que bien qu'ayant sous les yeux les<br />

outils nécessaires pour écrire la justification, les appliquer à la situation pose problème<br />

aux élèves. Il ne suffit pas <strong>de</strong> connaître les propriétés pour savoir quand et comment<br />

les utiliser li ..,<br />

Lorsque les groupes n'arrivent plus à avancer dans la situation, ils vont<br />

systématiquement feuilleter livres et cahiers, même si c'est au hasard.<br />

4- CONCLUSION<br />

Dans cette <strong>de</strong>uxième partie, les élèves ont été moins à l'aise. Les outils à utiliser<br />

(cercle inscrit dans un triangle, bissectrice, tangentes, angles correspondants, somme<br />

<strong>de</strong>s angles d'un quadrilatère...) sont plus nombreux. La situation n'est plus<br />

complexifiée au fur et à mesure, mais d'emblée complexe.<br />

La plupart <strong>de</strong>s groupes procè<strong>de</strong>nt au départ par tâtonnement, puis apparait la<br />

construction <strong>de</strong> tangente à un cercle (sa propriété d'être perpendiculaire au rayon au<br />

point <strong>de</strong> tangence étant connue <strong>de</strong> tous les élèves).<br />

Le travail heuristique nécessite la construction <strong>de</strong> figures fausses mais complètes<br />

pour analyser "ses propriétés". Lorsque cette phase n'a pas eu lieu, les élèves ont<br />

construit la figure par tâtonnement.


33<br />

Dans l'analyse, a priori, nous pensions que les élèves réinvestiraient facilement<br />

la figure obtenue en fin <strong>de</strong> l'activité "Droites-Cercles". Or les groupes ont rarement<br />

utilisé le fait que le centre du cercle inscrit est le point <strong>de</strong> concours <strong>de</strong>s bissectrices. Ils<br />

ont préféré utiliser les angles <strong>de</strong>s 3 quadrilatères (dans ce cas la justification <strong>de</strong> la<br />

construction étant souvent très correcte), ou la construction <strong>de</strong> parallèles et la propriété<br />

<strong>de</strong>s angles correspondants (cette solution étant orientée par l'exercice d'ai<strong>de</strong> fourni).<br />

Là encore la conception que les élèves ont <strong>de</strong> la tangente a favorisé ou non leur<br />

démarche heuristique:<br />

a) droite perpendiculaire au rayon.<br />

Cela va pennettre (plus ou moins facilement) une justification correcte du calcul<br />

<strong>de</strong>s angles du quadrilatère, puis <strong>de</strong> la mesure <strong>de</strong> l'angle au centre.<br />

Cela pennet aussi une construction justifiée <strong>de</strong> la tangente parallèle à une droite<br />

donnée pour ceux qui utilisent les angles correspondants.<br />

b) droite ayant un point commun avec le cercle.<br />

Cela entraîne une construction par tâtonnement et non justifiée.<br />

Le réinvestissement <strong>de</strong> métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> recherche; travail par essais - erreurs,<br />

analyse <strong>de</strong> la figure en supposant le problème résolu, semble se faire plus facilement<br />

que celui <strong>de</strong> l'utilisation <strong>de</strong>s propriétés. Dans ce type <strong>de</strong> travail, les élèves qui sont en<br />

échec scolaire s'investissent d'emblée dans la situation. Ils n'ont plus le réflexe <strong>de</strong><br />

<strong>de</strong>man<strong>de</strong>r <strong>de</strong>s explications avant <strong>de</strong> commencer le travail.<br />

Les observations nous ont permis <strong>de</strong> mettre en évi<strong>de</strong>nce la variété <strong>de</strong>s rôles dans<br />

le groupe. Il y a <strong>de</strong>s élèves qui "trouvent <strong>de</strong>s idées", ceux qui les "exploitent", ceux<br />

qui les "rédigent", les rôles n'étant ni figés, ni dissociés.<br />

Conclusion<br />

Au travers <strong>de</strong>s différentes séque:nces nous avons mis en place une progression<br />

qui pennet aux élèves d'apprendre à évoluer d'un type d'activités à un autre:<br />

- Constructions <strong>de</strong> figures à partir d'un texte<br />

- Explications <strong>de</strong>s étapes <strong>de</strong> la construction<br />

- Enoncés <strong>de</strong>s propriétés utilisées à l'oral puis à l'écrit.<br />

L'élève est mis en situation <strong>de</strong> prendre conscience du passage du raisonnement<br />

implicite au raisonnement explicite et <strong>de</strong> l'intérêt <strong>de</strong> cette démarche. L'acquisition<br />

simultanée <strong>de</strong>s concepts étudiés et <strong>de</strong> la démarche <strong>de</strong> raisonnement est alors possible.<br />

Les propriétés du parallélogramme et les diverses notions liées au triangle ont été<br />

utilisées dans une gran<strong>de</strong> diversité d'exercices toujours liés au <strong>de</strong>ssin. L'apparition ou<br />

l'utilisation <strong>de</strong> mêmes propriétés dans <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ssins différents favorise la prise <strong>de</strong><br />

conscience <strong>de</strong> la valeur générale <strong>de</strong> ces propriétés.<br />

L'apprentissage du raisonnement se fait en géométrie au travers <strong>de</strong> différentes<br />

tâches sollicitant <strong>de</strong>s activités <strong>de</strong> tracés puis (et) <strong>de</strong>s activités "langagières". La<br />

démonstration prend ses origines dans <strong>de</strong>s actes <strong>de</strong> communication, dans le but <strong>de</strong><br />

convaincre. D'où l'intérêt d'instaurer dans les classes un débat. Le type <strong>de</strong> métho<strong>de</strong>s<br />

<strong>de</strong> travail utilisé lors <strong>de</strong> la communication <strong>de</strong>s résultats (réalisation <strong>de</strong> fiches,


34<br />

d'affiches, présentation par groupe) permet la confrontation <strong>de</strong> plusieurs "mêmes"<br />

<strong>de</strong>ssins, <strong>de</strong> plusieurs démarches. Les constantes caractérisant la figure peuvent alors<br />

apparaître: le <strong>de</strong>ssin passe du cas particulier au cas général. Les mesures n'ont plus<br />

raison d'être: c'est à ce moment que l'utillsation <strong>de</strong>s propriétés (énonciation écrite ou<br />

orale) apparaît. L'explicite n'est plus seulement <strong>de</strong>mandé par le professeur, il <strong>de</strong>vient<br />

nécessaire pour se comprendre.<br />

Les démarches adoptées par les élèves font référence à un ensemble <strong>de</strong><br />

définitions et théorèmes souvent compris mais ils éprouvent <strong>de</strong>s difficultés à mettre ces<br />

outils en adéquation aussi bien avec la solution qu'ils ont pressentie qu'avec la<br />

justification du problème. Ceux qui ont produit un raisonnement en restent souvent à<br />

la compilation <strong>de</strong>s énoncés. Quand ils dépassent ce sta<strong>de</strong>, l'écriture d'une démarche<br />

déductive vient alors comme réorganisation <strong>de</strong>s démarches heuristiques.<br />

TI faut souligner que les activités choisies favorisaient particulièrement les étapes<br />

<strong>de</strong> construction et <strong>de</strong> recherche <strong>de</strong> solutions plus que <strong>de</strong> formalisation d'un<br />

raisonnement. Dans ces situations, la figure permet d'appréhen<strong>de</strong>r le problème et<br />

suggère le raisonnement. Les élèves ont pris conscience <strong>de</strong> son intérêt dans l'analyse<br />

d'une situation. Par contre la prégnance <strong>de</strong> la figure a masqué l'intérêt, la nécessité <strong>de</strong><br />

la rédaction.<br />

Pourtant même si certains exercices utilisés ne nous semblent pas après coup<br />

satisfaisants (figure trop "pauvre", donc propriétés trop évi<strong>de</strong>ntes et manque d'enjeu),<br />

cela nous permet, quand même, d'affirmer qu'il n'est pas aisé pour un élève <strong>de</strong> passer<br />

du sta<strong>de</strong> du <strong>de</strong>ssin particulier à la figure "générale" et que cela prend du temps. Cette<br />

évolution est absolument nécessaire à la compréhension <strong>de</strong> ce qu'on attend <strong>de</strong> lui dans<br />

les activités <strong>de</strong> raisonnement puis dans la rédaction <strong>de</strong>s démonstrations. Le passage <strong>de</strong><br />

la construction implicite à son explication qu'elle soit écrite ou orale est une étape<br />

importante. Il <strong>de</strong>vrait être plus structuré et prendre beaucoup plus <strong>de</strong> temps dans les<br />

activités proposées à la classe.<br />

Bibliographie<br />

Actes <strong>de</strong> l'université d'été sur l'histoire <strong>de</strong>s Mathématiques, 6 - 13 Juillet 1984,<br />

Université du Maine.<br />

BARBIN Evelyne, La démonstration mathématique: significations épistémologiques<br />

et questions didactiques, in Bulletin APM nO 366, déc. 88.<br />

DAHAN-DALMEDICO Amy - PEIFFER Jeanne, Routes et Dédales, Etu<strong>de</strong>s vivantes,<br />

1982.<br />

DHOMBRES Jean, Nombre mesure et continu, Cedic-Nathan, 1978.<br />

Mathématiques au fil <strong>de</strong>s âges, [REM groupe épistémologie et histoire <strong>de</strong>s<br />

mathématiques, Gauthier-Villars, 1987.<br />

Le matin <strong>de</strong>s mathématiciens, France culture, Belin, 1985.


35<br />

Oeuvres (les) d'Eucli<strong>de</strong>. Trad.F.Peyrard, Paris, Blanchard, 1966.<br />

La Rigueur et le Calcul, groupe inter-<strong>IREM</strong> épistémologie et histoire <strong>de</strong>s<br />

mathématiques, Cedic, 1982.<br />

ARSAC G., L'origine <strong>de</strong> la démonstration. Essai d'épistémologie didactique.in :<br />

Recherches en didactique <strong>de</strong>s mathématiques, vol. 813, 1987.<br />

BARTH B.M., L'apprentissage <strong>de</strong> l'abstraction, Retz, 1987.<br />

Didactique <strong>de</strong>s mathématiques. Le Dire et le Faire, sous la dir..d'Alain Bouvier.<br />

Cédic-Nathan, 1986.<br />

DUVAL R., Pour une approche cognitive <strong>de</strong>s problèmes <strong>de</strong> géométrie en termes <strong>de</strong><br />

congruence. In : Annales <strong>de</strong> didactique et <strong>de</strong> sciences cognitives, vol.1, 1988<br />

DUVAL R., EGRET M.A., L'organisation déductive du discours: interaction entre<br />

structure profon<strong>de</strong> et structure <strong>de</strong> surface dans l'accès à la démonstration. In: Annales<br />

<strong>de</strong> didactique et <strong>de</strong> sciences cognitives, vol2, 1989<br />

EGRET M.A, DUVAL R., Comment une classe <strong>de</strong> 4ème a pris conscience <strong>de</strong> ce<br />

qu'est une démarche <strong>de</strong> démonstration. ln : Annales <strong>de</strong> didactiques et <strong>de</strong> sciences<br />

cognitives, vol.2, 1989.<br />

GAUD D., GUICHARD I.P, Géométrie 4ème, fasc.l Initiation à la démonstration<br />

Poitiers, <strong>IREM</strong>, 1988.<br />

MESQUITA A.L., RAUSCHER J.C., Sur une approche d'apprentissage <strong>de</strong> la<br />

démonstration. ln : Annales <strong>de</strong> didactiques et <strong>de</strong> sciences cognitives voU, 1988.<br />

PLUVINAGE F., Aspects multidimensionnels du raisonnement en géométrie./n :<br />

Annales <strong>de</strong> didactique et <strong>de</strong> sciences cognitives vol2, 1989.<br />

Suivi scientifique. Nouveaux programmes <strong>de</strong> cinquième, 1986-87. Bulletin lnter­<br />

<strong>IREM</strong>, premier cycle, rééd. 1989.<br />

Suivi scientifique. Nouveaux programmes <strong>de</strong> quatrième, 1987-88. Bulletin Inter­<br />

<strong>IREM</strong> premier cycle, rééd.1989.<br />

TROCME-FABRE H., J'apprends, donc je suis. Introduction à la neuropédagogie.<br />

Ed. d'organisation, 1987


36<br />

Annexe 1 : PARALLELOGRAMME Séquence 2<br />

Objectifs: Mettre en évi<strong>de</strong>nce les propriétés du parallélogramme autres que le<br />

parallélisme <strong>de</strong>s côtés, propriétés <strong>de</strong>s longueurs <strong>de</strong>s côtés, du point <strong>de</strong> concours <strong>de</strong>s<br />

diagonales, <strong>de</strong>s angles.<br />

Savoir prendre en compte ces propriétés (savoir quelle propriété est la plus<br />

"efficace" et fonctionne dans tel type <strong>de</strong> constructions et d'exercices).<br />

Utiliser les instruments règle, équerre, compas, rapporteur.<br />

Savoir se faire comprendre et convaincre.<br />

Propriétés à connaître :<br />

S (A) =A'<br />

S (B) =B', le symétrique <strong>de</strong> [AB] est [A'B']<br />

o 0<br />

Si 2 segments [AB] et [A'B'] sont symétriques par rapport à un point alors<br />

AB = A'B'.<br />

Angles opposés par le sommet, alternes internes.<br />

Déroulement et commentaires :<br />

Durée 2 h.<br />

A partir <strong>de</strong> l'activité sur les propriétés d'un parallélogramme (Mathématique 5°<br />

Collection Pythagore - ED. Ratier p. 159), les élèves ont fabriqué une affiche. Chaque<br />

affiche, élaborée par un groupe <strong>de</strong> 3 à 4 élèves, doit expliciter le déroulement <strong>de</strong> la<br />

métho<strong>de</strong> suivie, et donner une justification <strong>de</strong> chaque résultat trouvé. Pour chaque<br />

groupe, un rapporteur présente à la classe l'affiche établie en commun et expose ses<br />

conclusions. Par le jeu <strong>de</strong> questions-réponses, la classe fait préciser au rapporteur ses<br />

explications et les résultats écrits sur l'affiche.<br />

il est intéressant <strong>de</strong> voir l'application <strong>de</strong>s élèves pour présenter une affiche claire<br />

et correctement argumentée. Leur curiosité est vive et le <strong>de</strong>gré <strong>de</strong> "critiques" est à<br />

remarquer. La <strong>de</strong>man<strong>de</strong> <strong>de</strong> précision et <strong>de</strong> rigueur est quelquefois plus exigeante <strong>de</strong> la<br />

part <strong>de</strong>s élèves que du professeur. Le plaisir <strong>de</strong> parler <strong>de</strong> certains semble évi<strong>de</strong>nt. Au<br />

cours <strong>de</strong> la discussion d'autres solutions ou cheminements ont émergé.<br />

Quelques démarches<br />

- 4 groupes ont travaillé sur les angles :<br />

* 1 groupe s'est interdit les mesures et en privilégiant les angles alternes<br />

internes ou opposés par le sommet, a mis en évi<strong>de</strong>nce tous les angles égaux du<br />

parallélogramme<br />

* 3 groupes ont utilisé une mesure d'angle particulière et ont calculé et justifié la<br />

mesure <strong>de</strong> l'angle consécutif.<br />

Pour l'explication, 1 groupe a utilisé les angles correspondants. Les <strong>de</strong>ux autres<br />

ont fait reposer leur "raisonnement" sur la propriété <strong>de</strong> la somme <strong>de</strong>s ~ angles d'un<br />

quadrilatère et sur les angles opposés égaux d'un parallélogramme.<br />

Un seule maladresse est à noter, un groupe écrit 80 - 360 = 240<br />

- un groupe a calqué sa démonstration sur celle du livre en changeant le nom <strong>de</strong>s<br />

côtés pour prouver que 2 côtés opposés ont même longueur<br />

- un groupe a montré que le centre <strong>de</strong> symétrie est le milieu d'une diagonale.<br />

Aucune ai<strong>de</strong> n'a été fournie par le professeur et chaque groupe a travaillé <strong>de</strong><br />

façon autonome en utilisant au maximum les renseignements fournis par le livre et les<br />

énoncés déjà écrits sur les fiches répertoires.<br />

A la fin <strong>de</strong> l'exposé <strong>de</strong> toutes les affiches, les propriétés du parallélogramme ont<br />

été rédigées en commun et écrites sur le cahier pour institutionnalisation.<br />

Applications: divers exercices <strong>de</strong> construction ont été proposés.


37<br />

A~NEXE<br />

2<br />

\<br />

1 /<br />

,. 1 1<br />

"'\ 1 *" \<br />

\ Il 1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1


i .<br />

/ .<br />

38<br />

-----­ "1<br />

\<br />

----~--<br />

1"<br />

1 --~-- _:::-~<br />

/<br />

/<br />

/<br />

/<br />

/


39<br />

A l'ai<strong>de</strong> <strong>de</strong>s indications portées sur le <strong>de</strong>ssin, répondre aux questions<br />

suivantes:<br />

1) Que représentent les <strong>de</strong>mi-droites [AD) et [BD) ? Pourquoi? (nommez la<br />

propriété).<br />

2) Que pouvez-vous dire <strong>de</strong>s droites (AB) et (EID1) ? Pourquoi?<br />

3) Comparez les angles D E B et ABC, E D C et BAC. Justifiez votre réponse.<br />

1 1 1 1<br />

4) Construire <strong>de</strong>s parallèles à


40<br />

ACTIVITE... CERCLE ET PARALLELOGRAMME<br />

Philibert CLAPPONI<br />

<strong>IREM</strong> <strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong><br />

1 ABCD est un parallélogramme <strong>de</strong> centre I. Le cercle a pour diamètre AC.<br />

s<br />

D<br />

1. Pourquoi peux-tu être sûr que le symétrique <strong>de</strong> M par rapport à 1 est sur la<br />

droite (CD) ? Et aussi sur le cercle?<br />

2. Pourquoi peux-tu être sûr que 1 est le milieu <strong>de</strong> [NS] ?<br />

3. Quel est la nature <strong>de</strong> MNRS ?<br />

2 ABCD est un parallélogramme <strong>de</strong> centre I. Le cercle est <strong>de</strong> centre I.<br />

Pourquoi peux-tu être sûr que RSTU et VWXY sont <strong>de</strong>s rectangles.<br />

«petit x» nO 27 p. 40, 1990-1991


AUTOUR DE L'ENSEIGNEMENT<br />

DE LA GEOMETRIE AU COLLEGE<br />

Première partie<br />

Yves CHEVALLARD<br />

Michel JULLIEN<br />

<strong>IREM</strong> d'Aix-Marseille<br />

Le lecteur trouvera ci-après la première partie d'un dossier élaboré à l'occasion et<br />

dans le cadre d'un stage <strong>de</strong> fonnation continue <strong>de</strong> quatre jours, réalisé, sous l'égi<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

la MAFPEN <strong>de</strong> l'Académie d'Aix-Marseille, et à l'intention <strong>de</strong> professeurs <strong>de</strong> Collège<br />

confrontés à la mise en oeuvre <strong>de</strong> nouveaux programmes, par une équipe <strong>de</strong> l'<strong>IREM</strong><br />

d'Aix-Marseille constituée d'Yves Chevallard, Michel Jullien, Alain Mercier et<br />

Jacques Tonnelle.<br />

Le texte qui suit se compose <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux sections assez différentes d'allure.<br />

La première, intitulée La géométrie et son enseignement comme<br />

problèmes, constitue une manière <strong>de</strong> « leçon inaugurale» qui tente d'esquisser un<br />

questionnement à notre avis fondamental.<br />

La secon<strong>de</strong>, La notion <strong>de</strong> construction géométrique comme problème,<br />

est d'aspect plus technique, et se veut une illustration du phénomène, sur lequel on ne<br />

saurait, nous semble-t-il, trop insister, <strong>de</strong> l'intrication du didactique et du<br />

mathématique.<br />

Soulignons que les analyses proposées ci-après étaient accompagnées <strong>de</strong><br />

nombreux documents illustratifs, que nous avons dû renoncer à présenter ici. Enfin<br />

ajoutons que ces textes ne se veulent nullement ouverts à une lecture cursive et<br />

indolente: faits pour l'étu<strong>de</strong>, ils appellent l'étu<strong>de</strong>...<br />

A. LA GEOMETRIE ET SON ENSEIGNEMENT COMME PROBLEMES<br />

1. Didactique et formation<br />

1.1. Qu'est-ce que la didactique <strong>de</strong>s mathématiques?<br />

La didactique <strong>de</strong>s mathématiques est un champ scientifique relativement récentune<br />

trentaine d'années tout au plus - dont l'objet peut être décrit d'abord, <strong>de</strong> manière<br />

(apparemment) naïve, comme l'étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>sfaits d'enseignement <strong>de</strong>s mathématiques.<br />

Cette étu<strong>de</strong> peut être résumée (ou présentée), au moins partiellement, par une<br />

liste - a priori illimitée - <strong>de</strong> questions, dont les objets peuvent être fort divers, macroobjets<br />

comme micro-objets.<br />

«petit x» nO 27 pp. 41 à 76, 1990-1991


42<br />

Par exemple le didacticien <strong>de</strong>s mathématiques pourra se poser aussi bien la<br />

question « Pourquoi existe-t-il, dans notre enseignement général <strong>de</strong>s collèges et <strong>de</strong>s<br />

lycées, un enseignement <strong>de</strong> mathématiques? » que la question « Pourquoi nombre<br />

d'élèves s'obstinent-ils à écrire <strong>de</strong>s égalités du type (a+b)2 =a2 + b2 ? »<br />

1.2. Pourquoi doit-on se <strong>de</strong>man<strong>de</strong>r si la didactique <strong>de</strong>s mathématiques peut<br />

intéresser les enseignants?<br />

Les enseignants <strong>de</strong> mathématiques sont les acteurs d'un système, le système<br />

d'enseignement <strong>de</strong>s mathématiques. (Nous verrons plus loin qu'ils sont, plus<br />

particulièrement, <strong>de</strong>s agents <strong>de</strong> l'institution où ils interviennent comme acteurs; les<br />

élèves sont, eux, <strong>de</strong>s acteurs sans être <strong>de</strong>s agents <strong>de</strong> l'institution.)<br />

Tout acteur d'un système va y vivre différents types <strong>de</strong> situations, en lesquelles<br />

il va rencontrer <strong>de</strong>sfaits, se trouver confronté à <strong>de</strong>s faits. Par exemple les enseignants<br />

<strong>de</strong> mathématiques <strong>de</strong>s collèges sont confrontés au fait suivant: les programmes <strong>de</strong><br />

mathématiques <strong>de</strong>s classes <strong>de</strong> collège changent<br />

Pendant que l'enseignant-acteur vit <strong>de</strong>s faits à l'intérieur du système, le<br />

didacticien, qui observe et analyse le système, s'intéresse à ces faits (et à d'autres, que<br />

l'acteur ne perçoit peut-être pas) pour découvrir, <strong>de</strong>rrière eux, <strong>de</strong>s phénomènes.<br />

Une pierre qui tombe est un fait; mais le physicien étudie, quant à lui, le<br />

phénomène <strong>de</strong> la chute <strong>de</strong>s corps. Dans cette étu<strong>de</strong>, il peut être amené à considérer <strong>de</strong>s<br />

faits dont le lien n'est pas immédiat, pour l'acteur <strong>de</strong> la vie quotidienne dans le mon<strong>de</strong><br />

sensible (lequel par exemple voudra simplement éviter <strong>de</strong> recevoir, un jour <strong>de</strong> grand<br />

vent, une tuile sur la tête...) avec ce qu'il i<strong>de</strong>ntifie comme un « type» <strong>de</strong> faits, la<br />

chute d'objets. Par exemple, le physicien fera rouler <strong>de</strong>s billes sur un plan incliné, ce<br />

qui, en tant que fait, n'a rien à voir avec la chute d'un objet que l'on lâche dans le<br />

vi<strong>de</strong>, mais relève pourtant, du point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong> la physique, <strong>de</strong> la même classe <strong>de</strong><br />

phénomènes.<br />

Le point <strong>de</strong> vue du didacticien et le point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong> l'enseignant sont donc a<br />

priori distincts. Le point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong> l'enseignant intéresse certainement le didacticien :<br />

il entre dans la catégorie <strong>de</strong> ces faits <strong>de</strong>rrière lesquels le didacticien voudra saisir <strong>de</strong>s<br />

phénomènes didactiques. Mais en quoi le point <strong>de</strong> vue du didacticien peut-il intéresser<br />

l'enseignant? Telle est la question que nous examinerons maintenant.<br />

13. En quoi le point <strong>de</strong> vue du didacticien peut-il intéresser l'enseignant ?<br />

Pour commencer <strong>de</strong> répondre à cette question, nous utiliserons une image.<br />

L'enseignant, avons-nous dit, est un acteur, c'est-à-dire qu'il agit. Son action, peut-on<br />

dire maintenant, consiste à jouer une pièce. C'est une pièce qu'il n'a pas écrite luimême;<br />

mais c'est aussi une pièce dont le texte intégral ne lui est pas communiqué.<br />

Pour jouer son rôle, il dispose d'abord d'un simple canevas, celui que lui fournit le<br />

programme officiel. Il dispose en outre <strong>de</strong> commentaires et d'instructions, en principe<br />

tout aussi officiels. Enfin, il a à sa disposition, <strong>de</strong> manière moins officielle mais<br />

banalisée par la tradition, un ou <strong>de</strong>s manuels. Ceux-ci lui fournissent « du texte»<br />

censé lui permettre <strong>de</strong> remplir, selon les principes directeurs que les commentaires et<br />

instruction~apportent, le canevas que le programme impose.<br />

Tout cela constitue un ensemble <strong>de</strong> contraintes sur l'action, imposées au libre jeu<br />

<strong>de</strong> l'enseignant Mais il ne faut pas se méprendre sur le mot <strong>de</strong> contrainte. Si, en effet,<br />

ces contraintes contraignent l'enseignant dans son jeu, elles <strong>de</strong>ssinent en même temps


43<br />

pour lui un espace <strong>de</strong> liberté ou - ce qui revient au même, mais en négatif - un espace<br />

d'incenitu<strong>de</strong>.<br />

L'acte d'enseignement va mettre en oeuvre cette liberté sous contraintes, et<br />

annuler cette incertitu<strong>de</strong>, en se réalisant Parmi l'ensemble <strong>de</strong>s enseignements effectifs<br />

a priori possibles, l'un, et l'un seulement, va être réalisé - un peu comme si<br />

l'enseignant effectuait un choix. (Notons ici, sans nous y arrêter, que l'étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<br />

« textes officiels» <strong>de</strong>vrait pennettre <strong>de</strong> dégager ce que sont les divers choix a priori<br />

possibles: mais la didactique <strong>de</strong>s mathématiques n'est aujourd'hui que très<br />

partiellement capable <strong>de</strong> mener à bien une telle étu<strong>de</strong>.)<br />

L'idée d'un choix, libre et véritable, <strong>de</strong> l'enseignant est pourtant très hautement<br />

contestable. Il est bien certain que, d'un enseignement à l'autre, il y a <strong>de</strong>s variations :<br />

chaque enseignant peut s'en assurer, ne serait-ce qu'en observant l'enseignement<br />

effectivement prodigué par tel ou tel <strong>de</strong> ses collègues enseignant dans <strong>de</strong>s classes <strong>de</strong><br />

même niveau. Mais l'enseignant est soumis, le plus souvent à son insu, à bien<br />

d'autres ensembles <strong>de</strong> contraintes que ceux énumérés plus haut<br />

Les contraintes auxquelles on a fait allusion, en effet, méconnaissent le détail <strong>de</strong>s<br />

faits qui surviendront dans la classe. Ainsi leur fonnulation ne prend-elle pas en<br />

compte nombre <strong>de</strong> contraintes « internes », imposées à l'enseignant par le jeu effectif<br />

<strong>de</strong> la classe, par le comportement d~s élèves, leurs conduites dans telle ou telle<br />

situation, etc. De même, sera négligé fréquemment le poids du «métier» <strong>de</strong><br />

l'enseignant, <strong>de</strong> ses habitu<strong>de</strong>s, <strong>de</strong> ses manières <strong>de</strong> faire ou <strong>de</strong> réagir. Ou, du moins,<br />

ainsi qu'on le verra, seuls certains aspects, relativement généraux, en seront retenus.<br />

On notera ici le paradoxe qui prési<strong>de</strong> à l'organisation <strong>de</strong> l'enseignement tel que<br />

nous le connaissons. Si l'on croit suffisant <strong>de</strong> n'indiquer aux enseignants que les<br />

gran<strong>de</strong>s lignes <strong>de</strong> la pièce qu'ils <strong>de</strong>vront jouer, c'est parce qu'on pense que<br />

l'enseignant, tel un comédien, a« du métier », et que cela lui pennettra <strong>de</strong> combler<br />

les lacunes, <strong>de</strong> régler les détails <strong>de</strong> l'organisation didactique"qui a été préparée à son<br />

intention. Mais, en même temps, son métier - c'est-à-dire une certaine manière,<br />

acquise et « indurée », <strong>de</strong> voir et <strong>de</strong> faire - pourra gêner sa mise en scène· et son<br />

interprétation <strong>de</strong> la pièce qu'il lui échoit <strong>de</strong> jouer. N'importe quel acteur, aussi<br />

chevronné soit-il, n'est pas également à l'aise dans toutes les pièces et dans tous les<br />

styles <strong>de</strong> jeu: <strong>de</strong> même pour l'enseignant.<br />

C'est ici que la didactique peut intervenir par le biais <strong>de</strong> la fonnation <strong>de</strong>s<br />

enseignants. (Elle peut intervenir en d'autres points du processus qui conduit à la<br />

réalisation d'un enseignement effectif: mais nous ne considérerons ici que ce point<br />

d'impact-là.) Elle peut fournir une vision claire <strong>de</strong>s contraintes qui pèsent sur l'acte<br />

d'enseignement. Elle peut, au <strong>de</strong>là, pennettre <strong>de</strong> faire « bouger» ces contraintes, en<br />

les faisant apparaître comme <strong>de</strong> simples conditions panni tout une gamme <strong>de</strong><br />

conditions, entre lesquelles l'enseignant fera un choix plus libre, et davantage<br />

raisonné.<br />

Un tel travail, soulignons-le, peut être amorcé dans le cadre d'un stage <strong>de</strong><br />

fonnation ; mais il ne peut être mené à bien entièrement, car il ne prend ses effets que<br />

dans le cadre <strong>de</strong> l'action, du «jeu », <strong>de</strong> l'enseignant. Aussi doit-il exister <strong>de</strong>s aller et<br />

retour entre la fonnation et l'action. La fonnation est le prélu<strong>de</strong> à l'action; en retour,<br />

elle prend sa signification d'avoir été éprouvée comme besoin dans le cadre <strong>de</strong><br />

l'action. Il y a ainsi une dialectique entre action et formation.


44<br />

2. Formation et géométrie<br />

2.1. Pourquoi poser la question «Qu'est-ce que la géométrie? »<br />

Dans les pério<strong>de</strong>s « normales» - c'est-à-dire non critiques - <strong>de</strong> son activité,<br />

l'enseignant est peu enclin à se poser une telle question. Enseignant les mathématiques<br />

au Collège, il est, du point <strong>de</strong> vue du système, du point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong> l'institution dont il<br />

est un agent, censé connaître ce qu'il a mission d'enseigner. Aussi est-il peu probable<br />

qu'il se pose <strong>de</strong>s questions telles les suivantes: qu'est-ce qu'une construction<br />

géométrique? Qu'est-ce qu'une transformation géométrique? Qu'est-ce qu'une<br />

démonstration? Ou, encore, s'agissant d'autres secteurs mathématiques qu'il<br />

enseigne: qu'est-ce qu'un nombre? Qu'est-ce qu'un nombre relatif? Qu'est-ce<br />

qu'un calcul? Etc.<br />

Ce n'est pas que <strong>de</strong> telles questions ne se posent pas. (Nous verrons plus loin<br />

que ces questions, et bien d'autres, sonten permanence <strong>de</strong>s questions vives, sinon<br />

pour l'enseignant, du moins pour le didacUcien.) Mais, étant assujetti, par sa position<br />

dans le système, à la croyance qu'il sait ce qu'est la géométrie, une construction<br />

géométrique, une transformation, une démonstration, un nombre, un nombre relatif,<br />

un calcul, ete., l'enseignant ne formulera ces questions que travesties - et il pourra le<br />

faire, alors, avec une certaine obstination: qu'est-ce que je dois faire aux élèves en<br />

géométrie? Qu'est-ce que je dois faire aux élèves en matière <strong>de</strong> constructions<br />

géométriques? Qu'est-ce que je dois faire aux élèves en ce qui concerne les<br />

transformations géométriques? Qu'est-ce que je dois faire aux élèves à propos <strong>de</strong>s<br />

démonstrations en géométrie? Etc.<br />

En d'autres termes, il ne formulera <strong>de</strong> question à propos du savoir à enseigner<br />

qu'en mettant entre parenthèses la question du savoir et <strong>de</strong> son propre rapport au<br />

savoir; ou, du moins, en la relativisant. Cette question ne se poserait que parce qu'il<br />

y a <strong>de</strong>s élèves, et qu'il faut (les) enseigner. Supprimez les élèves et l'enseignement, la<br />

question cesse d'exister. Ou bien elle <strong>de</strong>vient une question «purement<br />

philosophique» - sous entendu: qui ne m'intéresse pas; voire, qu'il est ridicule et<br />

vain <strong>de</strong> se poser.<br />

Cette manière <strong>de</strong> réagir permet d'ignorer un problème fondamental <strong>de</strong><br />

l'enseignement: en en permettant l'évitement elle en permet la dénégation. C'est un<br />

problème que nous formulerons plus loin, mais dont on peut dire déjà qu'il se posera<br />

plus douloureusement dans les pério<strong>de</strong>s critiques <strong>de</strong> l'activité <strong>de</strong> l'enseignant - par<br />

opposition aux pério<strong>de</strong>s que nous avons appelées normales. Ces pério<strong>de</strong>s critiques, ce<br />

sont, en gros, les pério<strong>de</strong>s <strong>de</strong> changement <strong>de</strong> programmes. Comme on peut aisément<br />

l'observer, c'est alors que <strong>de</strong>s questions du type « Que dois-je faire à propos<br />

<strong>de</strong>... ? » vont être posées avec le plus <strong>de</strong> force et d'opiniâtreté par les enseignants.<br />

De telles pério<strong>de</strong>s, par définition, voient un changement <strong>de</strong> l'activité <strong>de</strong><br />

l'enseignant. Le contenu <strong>de</strong> l'enseignement et la manière <strong>de</strong> l'enseigner y subissent<br />

fréquemment <strong>de</strong>s altérations plus ou moins profon<strong>de</strong>s. Parfois même, <strong>de</strong> nouveaux<br />

secteurs entiers apparaissent: c'est le cas, aujourd'hui, avec la rubrique Organisation<br />

et gestion <strong>de</strong> données par exemple. Mais même dans <strong>de</strong> tels cas, l'enseignant sera<br />

plutôt enclin à <strong>de</strong>man<strong>de</strong>r« Qu'est-ce que je dois leur faire à ce propos? » plutôt que<br />

« Qu'est-ce que c'est? ». C'est-à-dire qu'il sera porté à penser, restrictivement, son<br />

rapport au savoir à enseigner comme rapport au rapport <strong>de</strong>s élèves à ce savoir.


45<br />

Cette conduite <strong>de</strong> l'enseignant masque pourtant une réalité incontournable. Un<br />

changement <strong>de</strong> programme peut constituer pour lui la source d'une véritable<br />

commotion. S'agissant <strong>de</strong> géométrie par exemple, il a, <strong>de</strong> manière implicite, ou plutôt,<br />

en acte, une conception <strong>de</strong> ce qu'est la géométrie - une conception qui s'est imprimée<br />

en lui dans l'exercice <strong>de</strong> son métier d'enseignant. Il enseignait « la géométrie» ;<br />

voici aujourd'hui que l'institution qui l'emploie lui enjoint, non plus exactement<br />

d'enseigner la géométrie, mais <strong>de</strong> faire faire aux élèves <strong>de</strong>s travaux géométriques. A<br />

travers ce changement, qui se présente comme affectant l'enseignement, c'est la<br />

conception <strong>de</strong> la géométrie sur laquelle il a vécu son métier d'enseignant qui se trouve<br />

aussi, nécessairement, mise en questiol).<br />

Tout changement du programme d'enseignement porte en lui nécessairement, .<br />

une critique plus ou moins douloureuse <strong>de</strong>s conceptions épistémologiques, <strong>de</strong><br />

l'épistémologie « spontanée» <strong>de</strong> l'enseignant. A cet égard, la formation doit tenter <strong>de</strong><br />

repérer le surgissement, fût-ce sous un certain travestissement, <strong>de</strong> la question<br />

« Qu'est ce que la géométrie? », et tenter, à partir <strong>de</strong> là, d'amener l'enseignant à en<br />

déchiffrer la signification et à reconnaître l'existence d'une pluralité <strong>de</strong> réponses<br />

possibles.<br />

2.2. Que signifie la question « Qu'est-ce que la géométrie? » ?<br />

La géométrie, comme l'arithmétique, l'algèbre, les mathématiques, l'art, la<br />

peinture, la littérature, le cinéma, etc., sont ce que nous appelons <strong>de</strong>s objets culturels.<br />

Cela signifie d'abord que ce sont <strong>de</strong>s entités reçues par la culture courante, et connues,<br />

en un certain sens, par ceux qui lui sont soumis - chacun <strong>de</strong> nous, ou presque. Mais<br />

ce sont en plus <strong>de</strong>s objets culturels « sensibles », en ce sens qu'ils sont l'enjeu <strong>de</strong><br />

débats visant précisément à les définir. Cela s'exprimera, dans le cadre même <strong>de</strong>s<br />

conversations <strong>de</strong> la vie quotidienne, par <strong>de</strong>s déclarations du type : « Ce n'est pas <strong>de</strong><br />

la peinture, ça! Du barbouillage, oui! ». Ou bien encore: « Ce n'est pas ça que<br />

j'appelle du cinéma, moi! Dans un filrh, il faut d'abord qu'il y ait une histoire, que ça<br />

ne soit pas n'importe quoi» (par exemple: « comme dans les films <strong>de</strong> Jean-Luc<br />

Godard»). Et aussi: « Vous appelez ça <strong>de</strong> la littérature! De la littérature <strong>de</strong> gare,<br />

oui! Et encore! ». Etc.<br />

S'agissant <strong>de</strong>s mathématiques, le débat « définitionnel» existe <strong>de</strong>puis<br />

l'Antiquité. Dans La République (VII, 525e), Platon (v. 428-v. 348 av. J.-C.)<br />

exprime son mépris pour la « logistique» <strong>de</strong>s calculateurs qui, utilisant les nombres<br />

dans <strong>de</strong>s tâches indignes du philosophe, se livrent sur eux à <strong>de</strong>s manipulations<br />

inacceptables: pour vérifier par exemple - horribile dietu! - que les rapports<br />

d'entiers a/b et cid sont égaux, ils diviseront a par b et c par d. Il loue en revanche la<br />

science <strong>de</strong>s nombres, l'arithmétique chère aux vrais amants <strong>de</strong> la sagesse qui, à<br />

rebours <strong>de</strong> l'art <strong>de</strong>s calculateurs, conduira, pour comparer a/b et cid, à multiplier a par<br />

d et c par b, sans jamais diviser. (On reconnaîtra là, au passage, une opposition que<br />

l'enseignant vit encore dans sa classe aujourd'hui: à l'élève <strong>de</strong> quatrième qui<br />

prétendra comparer les fractions 5/6 et 6n en effectuant les divisions à l'ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> sa<br />

calculette et en comparant leurs « valeurs décimales », il fera entendre que ce genre <strong>de</strong><br />

manipulation n'a guère sa place dans la classe <strong>de</strong> mathématiques - même si l'élève<br />

peut être amené à le faire en classe ~e sciences physiques par exemple -, et qu'il<br />

convient, ici, <strong>de</strong> comparer les produits 5x7 et 6x6...)


46<br />

De la même façon, à côté d'une géométrie savante, spéculative - celle qui, bien<br />

évi<strong>de</strong>mment, avait les faveurs <strong>de</strong> Platon et dont les Eléments d'Eucli<strong>de</strong> (v. 300 av.<br />

J.-C.) ont constitué, quasiment jusqu'au XIXe siècle, l'exposé fondament~l -, il a<br />

toujours existé une géométrie pratique, laquelle, soulignons-le, démarque dans une<br />

large mesure la géométrie savante.<br />

En fait, plus généralement, l'histoire <strong>de</strong> la géométrie montrerait une suite <strong>de</strong><br />

conflits autour <strong>de</strong> la définition <strong>de</strong> « ce que c'est que la géométrie ». Une querelle <strong>de</strong>s<br />

plus célèbres, qui allait un temps diviser les mathématiciens, naquit ainsi au XIXe<br />

siècle entre les tenants <strong>de</strong> la géométrie pure (ou synthétique) et ceux - les plus<br />

nombreux au <strong>de</strong>meurant - qui acceptaient. sans condition la géométrie « analytique»<br />

issue <strong>de</strong>s travaux <strong>de</strong> Descartes (1596-1650) <strong>de</strong>ux siècles auparavant. (Michel Chasles<br />

(1793-1880), par exemple, pensait que les métho<strong>de</strong>s analytiques introduisaient une<br />

trop gran<strong>de</strong> facilité en géométrie, à ce point que n'importe qui, désormais, pourrait<br />

établir <strong>de</strong>s théorèmes <strong>de</strong> géométrie par le seul usage <strong>de</strong> ces métho<strong>de</strong>s...)<br />

D'une manière plus générale, <strong>de</strong> multiples groupes sociaux, qui agissent alors<br />

comme autant <strong>de</strong> groupes <strong>de</strong> pression, tentent d'imposer, au sein <strong>de</strong> l'institution<br />

scolaire, leur propre définition <strong>de</strong> ce que c'est que la géométrie. (Il en est <strong>de</strong> même<br />

bien entendu pour la plupart <strong>de</strong>s matières enseignées.) Le processus d'élaboration <strong>de</strong>s<br />

programmes, qui va proposer aux enseignants concernés une définition au moins<br />

partielle <strong>de</strong> ce qu'est la géométrie, doit composer avec l'ensemble <strong>de</strong> ces pressions.<br />

Ces pressions sont autant <strong>de</strong> contraintes sur l'élaboration <strong>de</strong>s programmes.<br />

Pour décrire un peu plus précisément ce phénomène <strong>de</strong> production sous<br />

contraintes <strong>de</strong>s programmes, il faut introduire ici une notion importante, celle <strong>de</strong><br />

noosphère. La noosphère est constituée <strong>de</strong> l'ensemble <strong>de</strong>s gens qui s'« activent »<br />

autour <strong>de</strong> l'enseignement (<strong>de</strong>s mathématiques, en ce qui nous concerne) ; qui, d'une<br />

manière ou d'une autre, s'en préoccupent; qui réfléchissent, pensent à son sujet; qui<br />

ont <strong>de</strong>s idées à son propos ; qui avancent <strong>de</strong>s propositions pour le modifier en tel ou<br />

tel sens ; etc.<br />

Ainsi, en France, les <strong>IREM</strong>, l'APMEP sont <strong>de</strong>s composantes importantes <strong>de</strong> la<br />

noosphère <strong>de</strong> l'enseignement <strong>de</strong>s mathématiques, qui en compte pourtant bien<br />

d'autres, <strong>de</strong>puis les Inspections pédagogiques régionales ou l'Inspection Générale<br />

jusqu'aux syndicats d'enseignants ou aux associations pédagogiques.<br />

Quel rôle joue la noosphère, globalement, dans la production <strong>de</strong>s programmes ?<br />

Un rôle qu'il faut situer bien en.amont <strong>de</strong> la stricte rédaction <strong>de</strong>s programmes. C'est la<br />

noosphère qui doit en quelque sorte « trfliter » les pressions, les exigences qui ont<br />

leur origine dans les divers groupes sociaux dont nous avons évoqué l'existence. Son<br />

rôle essentiel est, à cet égard, une fonction <strong>de</strong> régulation <strong>de</strong>s exigences qui s'exercent<br />

sur le système d'enseignement. Sans cela, l'acte d'enseignement, en butte à <strong>de</strong>s<br />

critiques violentes et incessantes, <strong>de</strong>viendrait quasiment impossible. La noosphère doit<br />

permettre notamment <strong>de</strong> produire <strong>de</strong>s programmes censés mieux satisfaire les<br />

contraintes dont elle a à connaître. L'élaboration <strong>de</strong> programmes « adaptés» à<br />

l'ensemble <strong>de</strong>s pressions auxquelles le système d'enseignement est en proie est un<br />

élément important, ou jugé tel, <strong>de</strong> la réponse que le système d'enseignement doit<br />

avancer pour satisfaire ces pressions.<br />

Dans les pério<strong>de</strong>s dites normales, les programmes en vigueur fournissent en acte<br />

une réponse satisfaisante. Mais vient le moment où la réponse « traditionnelle» cesse<br />

<strong>de</strong> contenir les critiques. Une autre réponse doit être donnée. La noosphère joue son<br />

rôle régulateur en soumettant les multiples contraintes, plus ou moins affirmées, que


47<br />

subit le système d'enseignement, à un double processus <strong>de</strong> globalisation et <strong>de</strong><br />

réduction. Elle <strong>de</strong>ssine un type <strong>de</strong> solution fondé généralement sur quelques principes<br />

explicites simples. Pour les actuels « nouveaux programmes» du Collège par<br />

exemple, ce seront, notamment, le thème <strong>de</strong> la continuité <strong>de</strong>s programmes <strong>de</strong> la<br />

sixième à la troisième, et celui <strong>de</strong> l'activité <strong>de</strong> l'élève.<br />

Ce <strong>de</strong>rnier point mérite d'être quelque peu commenté. Formellement, la notion<br />

d'activité, après avoir circulé dans la noosphère (une collection <strong>de</strong> manuels s'intitule<br />

<strong>de</strong>puis plusieurs années Faire <strong>de</strong>s mathématiques, par exemple), vient aujourd'hui<br />

trouver sa place dans les textes officiels. En outre, elle se relie immédiatement à<br />

l'expression <strong>de</strong> travaux géométriques (ou numériques), qui figure dans l'intitulé <strong>de</strong>s<br />

rubriques <strong>de</strong>s programmes. La définition <strong>de</strong> la géométrie qui en résulte - elle tient en<br />

une formule: savoir <strong>de</strong> la géométrie c'est savoir « faire» <strong>de</strong> la géométrie - est cellelà<br />

même que les enseignants doivent aujourd'hui défendre et illustrer dans leur<br />

enseignement. Mais, en cette notion d'~ctivité, il faut voir plus largement une réponse<br />

à tout un faisceau d'exigences, <strong>de</strong> critiques proférées, parfois sour<strong>de</strong>ment mais <strong>de</strong><br />

manière insistante, à l'encontre du système d'enseignement: que celui-ci prodigue un<br />

enseignement inintéressant, coupé <strong>de</strong> la vie, démotivant, engendrant l'échec et le<br />

refus, etc. Autant d'exigences - non nécessairement cohérentes entre elles - que la<br />

réponse avancée tente <strong>de</strong> globaliser et <strong>de</strong> réduire, <strong>de</strong> fondre ensemble poUr rétablir la<br />

légitimité et l'autonomie menacées <strong>de</strong> l'acte d'enseignement.<br />

La réponse qu'esquissent les programmes, et que l'enseignant <strong>de</strong>vra élaborer en<br />

tous ses détails concrets dans le cadre <strong>de</strong> la classe, apparaît ainsi comme une solution<br />

optimale par rapport à un certain nombre <strong>de</strong> contraintes, au problème que l'on peut<br />

formuler ainsi: «Comment enseigner la géométrie <strong>de</strong> façon à satisfaire ces<br />

contraintes? »<br />

En tentant <strong>de</strong> répondre à cette question, la noosphère d'abord, l'administration<br />

ensuite avancent du même coup une réponse, ou du moins un schéma <strong>de</strong> réponse, à la<br />

question «Qu'est-ce que la géométrie? » elle-même. On rencontre là le principe<br />

même <strong>de</strong> la transposition didactique: les mathématiques sont« manipulées» afin <strong>de</strong><br />

pouvoir être enseignées dans une conjoncture donnée - soit sous un ensemble donné<br />

<strong>de</strong> contraintes.<br />

Un tel schéma <strong>de</strong> réponse est ainsi déterminé par les contraintes qu'il doit tenter<br />

<strong>de</strong> satisfaire. Pour cela, il apparaîtra bientôt, à ceux qui en seront les « agents<br />

d'exécution », comme nécessaire et allant <strong>de</strong> soi. Mais, dans un premier temps, en<br />

cette pério<strong>de</strong> critique où les programmes changent, pour l'enseignant qui vit, <strong>de</strong> par sa<br />

pratique antérieure <strong>de</strong> l'enseignement (qui est aussi la pratique d'un état antérieur <strong>de</strong><br />

l'enseignement), une autre conception <strong>de</strong> la géométrie et <strong>de</strong> son enseignement, et qui<br />

vit sur cette conception, il apparaît comme au moins différent, et peut-être même<br />

arbitraire. L'enseignant est ainsi pris, alors, entre (au moins) <strong>de</strong>ux «définitions» <strong>de</strong><br />

la géométrie et <strong>de</strong> son enseignement. Il peut avoir l'impression d'être le jouet <strong>de</strong><br />

changements, aussi mystérieux qu'arbitraires d'ailleurs, dont sa vie d'enseignant va<br />

dépendre jour après jour.<br />

Ce sentiment a quelque chose <strong>de</strong> profond et <strong>de</strong> nécessaire. Toute définition <strong>de</strong> la<br />

géométrie à travers la définition d'un enseignement <strong>de</strong> la géométrie est en un sens<br />

arbitraire. Dans la mesure où elle est détenninée par les contraintes prévalentes elle est,<br />

certes, déterminée par une nécessité sur laquelle l'enseignant n'a guère <strong>de</strong> prises. Mais<br />

que changent les contraintes ; ou, encore, que les contraintes réduites par la noosphère<br />

dans son action régulatrice viennent à réapparaître et à s'imposer: et une autre


48<br />

définition <strong>de</strong> la géométrie <strong>de</strong>vra être mise en avant par la noosphère, pour être<br />

officialisée <strong>de</strong>main par <strong>de</strong> nouveaux «n9uveaux programmes »...<br />

En un peu plus <strong>de</strong> quinze ans, les enseignants <strong>de</strong>s collèges auront ainsi connu au<br />

moins <strong>de</strong>ux grands changements. A la commotion <strong>de</strong> la réforme <strong>de</strong>s mathématiques<br />

mo<strong>de</strong>rnes autour <strong>de</strong>s années soixante-dix - l'un <strong>de</strong>s bouleversements les plus radicaux<br />

sans doute <strong>de</strong> l'histoire <strong>de</strong> l'enseignement <strong>de</strong>s mathématiques - succè<strong>de</strong> aujourd'hui<br />

après une pério<strong>de</strong> transitoire d'une dizaine d'années, une évolution, plus douce<br />

d'apparence, mais qui s'éloigne tout aussi résolument et <strong>de</strong> l'état antérieur à la<br />

Réforme, et <strong>de</strong> celui que cette <strong>de</strong>rnière eut l'ambition <strong>de</strong> promouvoir.<br />

Rien ne nous assure d'ailleurs que l'on en restera là, que le nouveau curriculum<br />

<strong>de</strong>s collèges se révèlera, à l'usage, d'une stabilité supérieure à ceux qui l'ont<br />

immédiatement précédé. Le changement réalisé - qui porte sur la géométrie et sur bien<br />

d'autres secteurs <strong>de</strong>s programmes - n'est pas le premier que les enseignants aient eu à<br />

vivre. Tout donne à penser qu'il ne sera pas le <strong>de</strong>rnier. Et cela, pas seulement parce<br />

que, comme on le dit légèrement, il y a <strong>de</strong>s ministres, et qui veulent laisser leur nom à<br />

une «réforme ».<br />

Ce changement doit être regardé, bien plutôt, comme l'un <strong>de</strong> ces épiso<strong>de</strong>s<br />

« normalement critiques », si l'on peut dire, qui viennent régulièrement rétablir la<br />

compatibilité entre le geste <strong>de</strong> l'enseignant dans sa classe et l'ensemble <strong>de</strong>s contraintes<br />

sous lesquelles son activité, dans une société donnée, doit s'exercer.<br />

La formation <strong>de</strong>s enseignants, à cet ~gard, est sans doute d'abord une formation<br />

à analyser le changement, ses enjeux, sej significations et ses implications. Elle doit<br />

ai<strong>de</strong>r l'agent du système d'enseignement qu'il est à explorer, <strong>de</strong> manière approfondie,<br />

le nouvel espace <strong>de</strong> liberté sous contraintes qu'ouvre le changement, autant qu'à<br />

réduire l'incertitu<strong>de</strong> qu'il ne peut manquer d'engendrer.<br />

2.3. Pourquoi la question «Qu'est-ce que la géométrie? » n'est-elle pas<br />

ordinairement posée ?<br />

Le changement du curriculum n'est qu'amorcé par le changement officiel <strong>de</strong>s<br />

programmes. Il appartient à l'enseignant <strong>de</strong> le rendre effectif. L'institution qui<br />

l'emploie ne voit en lui qu'un agent d'exécution du changement inscrit dans les<br />

nouveaux programmes alors qu'il est, objectivement, un agent <strong>de</strong> production du<br />

nouveau curriculum.<br />

C'est parce qu'il est - qu'il le veuille, en ait conscience, ou non - un agent <strong>de</strong><br />

production du curriculum que l'enseignant doit - s'il veut faire un usage effectif <strong>de</strong> la<br />

liberté que les programmes lui offrent réellement - se poser la question « Qu'est-ce<br />

que la géométrie? ». Mais c'est parce que l'institution qu'il sert le considère comme<br />

un simple agent d'exécution - dans le <strong>de</strong>ssein <strong>de</strong> maîtriser, plus ou moins<br />

imaginairement, le processus <strong>de</strong> changement, en diminuant le nombre <strong>de</strong>s paramètres<br />

dont ce processus dépend - que cette question n'est pas posée officiellement La place<br />

<strong>de</strong> l'enseignant, ici, n'est souvent reconnue que négativement. On ne se <strong>de</strong>man<strong>de</strong>ra<br />

pas si l'enseignant est « capable» ou non <strong>de</strong> créer le curriculum (au sens strict du<br />

verbe créer, comme au sens où l'on « crée» une pièce), mais seulement s'il est<br />

capable ou non <strong>de</strong> « mettre en oeuvre », en « application », les programmes. Dans<br />

cette perspective, la formation <strong>de</strong>s enseignants apparaîtra restrictivement comme une<br />

manière <strong>de</strong> les rendre capables d'appliquer « correctement» les programmes.


3. Géométrie et enseignement<br />

49<br />

3.1. Peut-on répondre autrement à la question «Qu'est-ce que la<br />

géométrie? » ?<br />

Répondre à la question «Qu'est-ce que la géométrie?» apparaît<br />

démesurément ambitieux si on l'entend au sens <strong>de</strong> la « polémique culturelle» que<br />

nous avons évoquée plus haut, c'est-à-dire si on la considère dans cette problématique<br />

normative où <strong>de</strong>s questions telles que Qu'est-ce que la géométrie? ou Qu'est-ce que<br />

le cinéma ? <strong>de</strong>viennent quasi synonymes <strong>de</strong>s formulations plus explicitement<br />

prescriptives : que doit être [à votre (mon) avis] la géométrie? Que doit être [à votre<br />

(mon) avis] la littérature? Que doit être [à votre (mon) avis] le cinéma? Ete.<br />

Une autre approche peut être tentée, que nous adopterons ici: elle consiste à<br />

construire une image objective - par opposition aux images culturellement déformées<br />

que promeuvent les divers groupes sociaux - <strong>de</strong> ce qu'est, dans la réalité historicoculturelle,<br />

la géométrie.<br />

Un tel portrait ne peut sans doute se soustraire d'emblée à la polémique:<br />

membres d'une société et <strong>de</strong> ses institutions - notamment <strong>de</strong> l'Ecole - nous sommes<br />

tributaires <strong>de</strong>s débats qu'elles abritent et qui nous sont imposés, souvent à notre insu.<br />

Mais l'ambition <strong>de</strong> construire une telle image peut être considérée: elle est celle <strong>de</strong><br />

toute science, et n'est pas plus irréalisable, ni plus facile au <strong>de</strong>meurant, que celle que<br />

toute science forme à l'endroit <strong>de</strong>s «réalités» qu'elle vise. En vérité, dans son<br />

registre propre, un tel projet n'est pas moins ambitieux que la perspective normativiste<br />

précé<strong>de</strong>mment écartée. fi équivaut, somme toute, à un immense travail d'épistémologie<br />

historique, culturelle et sociale, qu'il ne nous est guère permis d'accomplir ici et<br />

maintenant, ni, <strong>de</strong> toute façon, en une seule fois.<br />

Car il est <strong>de</strong> la nature <strong>de</strong> la connaissance objective d'être une connaissance<br />

approchée, une connaissance qui, ainsi que le disait Gaston Bachelard, n'est que <strong>de</strong><br />

l'erreur rectifiée. Un tel point <strong>de</strong> vue sur les choses du mon<strong>de</strong> importe moins - pour le<br />

dire rapi<strong>de</strong>ment - par la « vérité» qu'il nous assure que par 1'« erreur» qu'il permet<br />

<strong>de</strong> dénoncer. Or, c'est là exactement ce dont nous avons besoin dans le travail sur<br />

notre rapport à l'enseignement <strong>de</strong> la géométrie qu'il s'agit d'amorcer ici.<br />

C'est un travail que l'on peut résumer par une formule: il s'agit <strong>de</strong> laisserflotter<br />

la norme, afin même <strong>de</strong> pouvoir repérer la multiplicité <strong>de</strong>s normes et d'apprécier les<br />

effets <strong>de</strong> la normativité - sur l'enseignement, sur les enseignants, sur les enseignés.<br />

C'est à un travail <strong>de</strong> cette sorte que nous nous risquerons ci-après, par le<br />

moyen <strong>de</strong> quelques analyses forcément incomplètes, courtes même, et toujours à<br />

reprendre.<br />

32. Quel est l'objet <strong>de</strong> la géométrie?<br />

A lire les dictionnaires - lesquels définissent généralement la géométrie comme<br />

la « science <strong>de</strong> l'espace» -, on peut répondre que la géométrie a pour objet l'espace.<br />

Science <strong>de</strong> l'espace, ou <strong>de</strong>s « objets» <strong>de</strong> l'espace? Se référant tacitement à<br />

l'étymologie, Littré définit la géométrie comme étant la « science qui a pour but la<br />

mesure <strong>de</strong>s lignes, <strong>de</strong>s surfaces et <strong>de</strong>s volumes ». La géométrie s'intéresserait donc<br />

aux objets qui sont dans l'espace.<br />

Il s'agit-là d'une première ligne <strong>de</strong> clivage, qui court jusqu'à nos jours. La<br />

géométrie « tridimensionnelle» est ainsi appelée tantôt « géométrie dans l'espace »,


50<br />

tantôt « géométrie <strong>de</strong> l'espace» - mais il n'y a là d'abord qu'un simple indice <strong>de</strong><br />

quelque chose <strong>de</strong> plus profond. La conception euclidienne semble surtout concernée,<br />

non pas par l'espace, mais par les « objets» <strong>de</strong> l'espace (qu'elle rend par <strong>de</strong>s figures)<br />

et par les propriétés (


51<br />

ses propriétés. Soit à mesurer la profon<strong>de</strong>ur d'un puits ou la hauteur d'une tour ­<br />

problème classique <strong>de</strong> géométrie pratique, dont le prototype nous est fourni par<br />

Thalès mesurant la hauteur <strong>de</strong>s pyrami<strong>de</strong>s. La tour ou le puits sont certes <strong>de</strong>s objets<br />

existant dans l'espace. Mais la détermination <strong>de</strong> la longueur cherchée suppose une<br />

figure qui réduit l'objet à un segment (sous-figure) et l'augmente <strong>de</strong> tracés<br />

intermédiaires, telle rayon visuel que l'on voit tracé dans les anciens manuels <strong>de</strong><br />

géométrie pratique (sur-figure).<br />

Ainsi la connaissance géométrique <strong>de</strong>s objets <strong>de</strong> l'espace prend appui sur l'étu<strong>de</strong><br />

d'une figure - d'un ensemble <strong>de</strong> points - <strong>de</strong> l'espace qu'on pourrait appeler, plus<br />

généralement, une « sur-sous-figure» - par rapport à la figure constituée <strong>de</strong>s points<br />

qu'occupe l'objet matériel. C'est cette figure qui est effectivement étudiée, pour en<br />

faire dériver une connaissance relative à l'objet matériel. Elle n'est pas donnée avec<br />

l'objet matériel: elle doit être construite par le géomètre.<br />

Ce fonctionnement <strong>de</strong> la géométrie comme mo<strong>de</strong> <strong>de</strong> production <strong>de</strong> connaissances<br />

relatives aux objets matériels <strong>de</strong> l'espace se retrouve, bien entendu, dans les classes<br />

<strong>de</strong>s collèges. Le profil en coupe d'un certain objet a la forme d'un trapèze rectangle<br />

ABCD.<br />

A<br />

B<br />

D<br />

c<br />

On a : AB =6, AD =3, DC = 10. On désire calculer Be. On considère - on<br />

trace - pour cela la hauteur [BH], c'çst-à-dire que l'on passe à une sur-figure <strong>de</strong><br />

l'espace, qui n'a a priori aucune contrepartie dans l'objet matériel lui-même.<br />

A<br />

I-----JL<br />

D H c<br />

B<br />

Cela fait, on considère alors la sous-figure ABHD, dont on établit qu'elle est un<br />

rectangle, ce qui entraîne que DH =,AB =6. Passant à la sous-figure formée <strong>de</strong>s<br />

points alignés D, H et C, on établit alors que HC = 10 - 6 =4. Enfin on considère<br />

la sous-figure BHC, triangle rectangle en H dans lequel, par application <strong>de</strong> la relation<br />

<strong>de</strong> Pythagore, on obtient ce qui était cherché: BC = (4 2 + 3 2 )1/ 2 = 5.<br />

Il est facile <strong>de</strong> voir en cet exemple le paradigme du «jeu» géométrique que<br />

l'élève va <strong>de</strong>voir apprendre à maîtriser: manipuler avec pertinence les sur- et sousfigures.<br />

Or la conception <strong>de</strong>s figures comme représentations d'objets <strong>de</strong> l'espace est<br />

un obstacle à ce libre jeu avec les figures comme ensemble <strong>de</strong> points <strong>de</strong> l'espace, qui<br />

fait la fécondité <strong>de</strong> la géométrie.


52<br />

3.3. Qu'est-ce que l'espace?<br />

Dans ce qui précè<strong>de</strong> on a parlé, sans détour, <strong>de</strong> « l'espace ». De quel espace<br />

s'agit-il? On a parlé, encore, <strong>de</strong> «points ». Qu'appelle-t-on points? L'espace dont<br />

il faut partir est ce qu'on appelle l'espace sensible, cet espace contenant <strong>de</strong>s objets, et<br />

qui nous est accessible par le biais <strong>de</strong>s sens. Est-ce là l'espace <strong>de</strong> la géométrie?<br />

L'espace sensible, notons-le d'abord, ne peut être égalé à ce que l'on appelle<br />

l'espace physique (et qu'on pourrait appeler plus justement l'espace <strong>de</strong> la physique).<br />

La physique en effet décrit un univers où il est question <strong>de</strong> «masses», <strong>de</strong><br />

« forces», <strong>de</strong> «quantités <strong>de</strong> mouvement», etc. : toutes choses étrangères à la<br />

perception non physicienne <strong>de</strong> l'espace sensible. L'espace <strong>de</strong> la physique est ainsi un<br />

espace construit, peuplé <strong>de</strong> réalités que l'espace sensible n'ignore pas entièrement,<br />

mais qu'il méconnaît: nous rencontrons ainsi <strong>de</strong>s «corpS», <strong>de</strong>s objets, non <strong>de</strong>s<br />

masses; <strong>de</strong>s corps en mouvement, non <strong>de</strong>s quantités <strong>de</strong> mouvement; etc.<br />

L'espace dont nous parlions n'est pas encore l'espace <strong>de</strong> la physique<br />

(classique). Mais il en est, si l'on peut dire, le substrat, le cadre, où la physique<br />

installera ses masses et ses forces. Cet espace <strong>de</strong> la géométrie ne contient pas encore<br />

<strong>de</strong> masses ni <strong>de</strong> forces; mais il contient <strong>de</strong>s points, il est fait <strong>de</strong> points. Pas plus que<br />

la masse pourtant, le point n'appartient à l'espace sensible. Il en est <strong>de</strong> même <strong>de</strong> la<br />

droite, du cercle, etc. Toutes ces réalités sont <strong>de</strong>s «idéalités», que l'intuition<br />

sensible nous apporte mais qui échappent à son emprise immédiate.<br />

« Le point, écrit Eucli<strong>de</strong> (traduction Peyrard), est ce dont la partie est nulle ».<br />

Les « définitions» euclidiennes <strong>de</strong> la ligne (« une ligne est une longueur sans<br />

largeur») ou <strong>de</strong> la droite (« la ligne droite est celle qui est également placée entre ses<br />

points») semblent ne pas être plus précis~s. Elles ont pourtant une vertu essentielle :<br />

celle <strong>de</strong> nous rappeler que, si on peut bien concevoir <strong>de</strong> telles réalités, elles ne sont pas<br />

cependant <strong>de</strong> notre mon<strong>de</strong> sensible où rien ne saurait être « sans partie » ou « sans<br />

épaisseur» ; ou, encore, comme la droite <strong>de</strong> l'espace <strong>de</strong> la géométrie, être « infinie<br />

dans les <strong>de</strong>ux sens ». Au <strong>de</strong>meurant, il est possible <strong>de</strong> fon<strong>de</strong>r la géométrie sur<br />

d'autres termes primitifs que ceux-là: non sur la rectilinéarité, par exemple, mais sur<br />

la circularité (ou sur la sphéricité, dans l'espace à trois dimensions) ; non sur le point,<br />

mais sur la notion <strong>de</strong> volume; etc.<br />

La doctrine platonicienne voyait en toutes ces entités les éléments d'un mon<strong>de</strong><br />

d'idées, d'un mon<strong>de</strong> idéel, distinct du mon<strong>de</strong> sensible; et les Grecs pensaient, plus<br />

généralement, que notre mon<strong>de</strong> sensible, fruit <strong>de</strong> la chute <strong>de</strong>s idées dans le sensible, ce<br />

qu'Aristote (384-322 av. J.-C.) nommait encore le mon<strong>de</strong> sublunaire, ne se prêtait<br />

pas aux considérations <strong>de</strong> la géométrie, dont pouvait par ailleurs relever le mon<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<br />

astres, celui <strong>de</strong> la voûte étoilée: manière philosophiquement et culturellement<br />

déterminée <strong>de</strong> dire essentiellement la même chose.<br />

Nous dirons aujourd'hui que la géométrie part du mon<strong>de</strong> sensible pour le<br />

constituer en mon<strong>de</strong> géométrique, celui <strong>de</strong>s points, <strong>de</strong>s droites, <strong>de</strong>s cercles, <strong>de</strong>s<br />

sphères, <strong>de</strong>s courbes <strong>de</strong>s surfaces et <strong>de</strong>s volumes, etc., <strong>de</strong> la même façon que, plus<br />

largement, la physique part du mon<strong>de</strong> sensible pour le constituer en mon<strong>de</strong> physique.<br />

La relation, épistémologiquement si difficile, entre la réalité sensible et la réalité<br />

théorique (géométrique, physique) par laquelle on essaie alors <strong>de</strong> rendre raison du<br />

sensible (non sans y parvenir fréquemment), est un <strong>de</strong>s points fondamentaux <strong>de</strong> tout<br />

enseignement <strong>de</strong>s sciences. Sa prise en charge par l'enseignement <strong>de</strong> la géométrie


53<br />

(dans <strong>de</strong>s formes qui restent pour le moment indéterminées) est un autre point <strong>de</strong><br />

clivage.<br />

A cet égard, on observera une évolution nette <strong>de</strong> cet enseignement sur une<br />

pério<strong>de</strong> <strong>de</strong> quelques décennies. Alors en effet que l'enseignement « prémo<strong>de</strong>rne »<br />

(antérieur à la réforme <strong>de</strong>s mathématiques mo<strong>de</strong>rnes) se référait encore, grosso modo,<br />

aux définitions euclidiennes évoquées précé<strong>de</strong>mment, la solution « mo<strong>de</strong>rne »,<br />

promue dès la fin <strong>de</strong>s années 1960, a rendu illégitime une telle référence. (Cette<br />

illégitimation était présente, dans la sphère savante puis dans la noosphère, <strong>de</strong>puis<br />

longtemps déjà: c'est un leitmotiv <strong>de</strong> toute présentation <strong>de</strong> l'exposé axiomatique <strong>de</strong> la<br />

géométrie que <strong>de</strong> prendre pour repoussoir les définitions d'Eucli<strong>de</strong> que nous avons<br />

mentionnées...) La solution géométrique «mo<strong>de</strong>rne» - à base axiomatique - a, dans<br />

un premier temps, résolu par le vi<strong>de</strong> le problème <strong>de</strong>s rapports entre le géométrique et le<br />

sensible, en installant d'emblée l'espaée géométrique comme en-soi. Au passage, on<br />

comprendra mieux pourquoi ce type d'exposé s'est flatté parfois <strong>de</strong> pouvoir se passer<br />

<strong>de</strong> figures (i.e. <strong>de</strong> tracés) : dans la mesure en effet où l'espace géométrique ne contient<br />

pas d'objets matériels (lesquels relèvent <strong>de</strong> l'univers sensible), dans la mesure où les<br />

tracés <strong>de</strong> la géométrie ten<strong>de</strong>nt, culturellement, à se confondre avec la représentation<br />

<strong>de</strong>s objets <strong>de</strong> l'espace sensible (et non <strong>de</strong>s figures <strong>de</strong> l'espace géométrique), les tracés<br />

n'avaient plus lieu d'être... L'espace géométrique y <strong>de</strong>venait un espace « abstrait »,<br />

si l'on peut dire, mais un espace qui n'était abstrait <strong>de</strong> rien du tout.<br />

Dépassant cet épiso<strong>de</strong> somme toute bref, il est plus important encore <strong>de</strong><br />

souligner le legs - en forme d'interdit - que l'enseignement mo<strong>de</strong>rne a fait à<br />

l'enseignement « postmo<strong>de</strong>rne », sur lequel nous vivons aujourd'hui. Cet héritage en<br />

effet rendait désormais impossible un traitement du problème <strong>de</strong>s relations entre<br />

sensible et géométrique à la manière euclidienne, c'est-à-dire semi-implicite, et<br />

s'explicitant en <strong>de</strong>s formulations (les « définitions») qui sont plus <strong>de</strong>s commentaires<br />

épimathématiques que <strong>de</strong>s définitions mathématiques - quoi qu'elles aient reçu ce<br />

<strong>de</strong>rnier statut chez Eucli<strong>de</strong> et dans tout l'enseignement classique.<br />

Alors que, sous la pression <strong>de</strong> contraintes qui venaient refouler le théoricisme<br />

mo<strong>de</strong>rniste, l'enseignement postmoqerne redécouvrait le sensible - un sensible<br />

d'opérette, à la vérité -, il se trouvait en même temps fort démuni pour indiquer<br />

adéquatement le rapport entre sensible et géométrique, et laissait fleurir la solution<br />

empiriste (qui feint d'ignorer le décalage entre droite géométrique et droite sensible,<br />

par exemple), solution virtuellement (ou même réellement) présente dans la solution<br />

mo<strong>de</strong>rne dont il héritait<br />

3.4. Comment s'organisent nos connaissances relatives à l'espace ?<br />

La <strong>de</strong>scription <strong>de</strong> la manière dont s'organisent nos connaissances relatives à<br />

l'espace est très semblable, dans son principe, à la <strong>de</strong>scription qu'on pourrait donner<br />

<strong>de</strong> l'organisation <strong>de</strong>s connaissances relatives à l'objet <strong>de</strong> n'importe quelle science.<br />

Mais ce fait a été recouvert par certains traits <strong>de</strong> la situation, historique et théorique, <strong>de</strong><br />

la géométrie, qui en dissimule l'évi<strong>de</strong>nce.<br />

Les connaissances relatives à un objet d'étu<strong>de</strong>, en effet, s'organisent en un<br />

savoir qui, matériellement, se présente comme un ensemble, plus ou moins structuré,<br />

<strong>de</strong> discours. En toute science, cet ensemble <strong>de</strong> discours prend d'abord la forme d'une<br />

multiplicité <strong>de</strong> fragments discursifs, relatifs à <strong>de</strong>s « objets partiels », c'est-à-dire à


54<br />

une certaine espèce, reconnue pour homogène, <strong>de</strong> phénomènes. Tels sont, en<br />

physique, les phénomènes relatifs aux« corps flottants» (étudiés par Archimè<strong>de</strong>) ou<br />

ceux relatifs à la « chute <strong>de</strong>s graves» (explorés par Galilée). Même situation en<br />

mathématiques, si l'on considère par exemple ces ilôts discursifs dont le noyau dur est<br />

constitué du théorème <strong>de</strong> Pythagore, ou, encore, du théorème <strong>de</strong> Thalès.<br />

Les mathématiques grecques, pourtant, passent d'emblée <strong>de</strong> ce sta<strong>de</strong> à un état<br />

d'avancement qui n'est généralement atteint que lentement par les autres sciences.<br />

D'une part, elles structurent fortement les fragments discursifs qui font leur trésor, par<br />

le biais <strong>de</strong> l'enchaînement démonstratif - que l'Aristote <strong>de</strong>s Seconds Analytiques tenait<br />

pour la caractéristique du savoir. En cela, elles réduisent au minimum la dialectique (<strong>de</strong><br />

type expérimental) avec l'espace sensible; elles autonomisent le discours<br />

géométrique, qui semblera bientôt pouvoir vivre dans une autarcie parfaite, une fois<br />

donné l'élan initial qu'apportent axiomes et postulats. D'autre part, elles organisent<br />

leurs fragments discursifs - fruits d'une longue genèse historique - en ce qu'on peut<br />

appeler une théorie d'ensemble - ou encore, selon l'expression utilisée en physique<br />

aujourd'hui, une « théorie unitaire» <strong>de</strong>s phénomènes géométriques.<br />

Cette synthèse, la première <strong>de</strong> notre histoire en son genre, recueillie dans les<br />

Eléments d'Eucli<strong>de</strong>, et qui fait passer d'un savoir local à un savoir global, va<br />

constituer, dans l'histoire occi<strong>de</strong>ntale, une source intellectuelle jamais tarie, fertilisant<br />

les domaines apparemment les plus éloignés par leur objet, qui reprendront souvent les<br />

exigences formelles auxquelles elles faisaient droit <strong>de</strong> si heureuse manière. (Les<br />

philosophes, les savants <strong>de</strong> toute espèce, ambitionneront explicitement <strong>de</strong> procé<strong>de</strong>r<br />

more geometrico, à la façon <strong>de</strong>s géomètres.)<br />

La mélodie si plaisante venait faire oublier les paroles. La théorie géométrique<br />

allait faire oublier, dans une certaine mesure, l'objet <strong>de</strong> la théorie - l'espace et la<br />

connaissance <strong>de</strong> l'espace. La géométrie, culturellement, tendait à n'être plus que<br />

résiduellement une théorie (explicite) <strong>de</strong> l'espace; pendant <strong>de</strong>s siècles, elle jouera le<br />

rôle d'une théorie (en acte) <strong>de</strong> la rationalité. Elle apparaissait ainsi comme une<br />

indépassable propé<strong>de</strong>utique intellectuelle (fort différente, en cela, <strong>de</strong> l'algèbre par<br />

exemple). L'enseignement <strong>de</strong> la géométrie n'échappera pas à cette double sollicitation.<br />

Pendant toute la longue pério<strong>de</strong> classiqu~ (à laquelle la réforme <strong>de</strong>s mathématiques<br />

mo<strong>de</strong>rnes mettra un point final), sa préférence va essentiellement à la géométrie<br />

comme théorie <strong>de</strong> la rationalité - non sans tiraillements d'ailleurs, comme l'illustrera<br />

par exemple l'action <strong>de</strong> A.-C. Clairaut (1713-1765) en faveur d'une autre conception<br />

<strong>de</strong> cet enseignement.<br />

Dans la sphère savante, une double rupture se produit à partir <strong>de</strong> la première<br />

moitié du XIXe siècle (avec les travaux <strong>de</strong> Riemann, Lobatchevski, Bolyai<br />

notamment) et s'approfondit jusqu'aux premières décennies du XXe siècle. En<br />

premier lieu, l'acceptation multiséculaire <strong>de</strong> la théorie euclidienne comme théorie <strong>de</strong><br />

l'espace va être contestée, et sera finalement rejetée, sous les coups <strong>de</strong> boutoir <strong>de</strong> la<br />

théorie <strong>de</strong> la relativité. Dès 1817, Gauss (1777-1855) écrit prémonitoirement (dans<br />

une lettre adressée à Olbers) :<br />

Je suis <strong>de</strong> plus en plus convaincu que l'on ne peut<br />

démontrer par le seul raisonnement la nécessité <strong>de</strong> la géométrie<br />

euclidienne. Il est possible que dans l'avenir nous puissions<br />

avoir <strong>de</strong>s idées sur la nature <strong>de</strong> l'espace qui aujourd'hui nous<br />

sont inaccessibles. Ainsi, la géométrie ne peut être mise à côté


55<br />

<strong>de</strong> l'arithmétique, qui est <strong>de</strong> nature a priori, mais plutôt à côté<br />

<strong>de</strong> la mécanique.<br />

On passait ainsi <strong>de</strong> l'idée <strong>de</strong> la géométrie (en fait, <strong>de</strong> l'euclidienne) à l'idée d'une<br />

pluralité <strong>de</strong> théories géométriques (on dira plus simplement: <strong>de</strong> géométries), toutes<br />

formellement cohérentes, mais dont, en tant que « théories physiques », l'adéquation<br />

avec l'espace sensible restait à vérifier. Le problème <strong>de</strong> l'adéquation re<strong>de</strong>venait ainsi<br />

l'un <strong>de</strong>s thèmes directeurs <strong>de</strong> la réflexion. La géométrie pouvait re<strong>de</strong>venir une théorie<br />

physique, établie sur une base expérimentale. L'épistémologue Ferdinand Gonseth<br />

écrivait en 1939 (dans sa Philosophie mathématique) :<br />

C'est la volonté d'im:trumenter les phénomènes qui fait<br />

s'éloigner la spécificité <strong>de</strong> la physique <strong>de</strong> celle <strong>de</strong>s<br />

mathématiques. Et cependant cette volonté n'est point absente<br />

<strong>de</strong> la géométrie élémentaire, la pratique <strong>de</strong> la règle et du<br />

compas dépasse et prolonge instrumentalement nos facultés<br />

naturelles quant à la mesure et à la localisation <strong>de</strong>s objets;<br />

c'est un authentique chapitre <strong>de</strong> la physique.<br />

Mais, dans le même temps à peu près - dans les <strong>de</strong>rnières décennies du XIXe<br />

siècle -, une autre évolution se faisait jour: le réexamen du corpus euclidien selon <strong>de</strong>s<br />

normes <strong>de</strong> rigueur renouvelées conduisait à la notion <strong>de</strong> théorie axiomatique. Cette<br />

évolution <strong>de</strong>vait se révéler ambiguë. D'une part, en séparant la théorie formelle <strong>de</strong> son<br />

ou ses domaines <strong>de</strong> validité, en explicitant ses propriétés <strong>de</strong> consistance et autres<br />

caractéristiques logiques comme indépendantes <strong>de</strong> toute adéquation au sensible, elle<br />

permettait <strong>de</strong> poser plus clairement le problème du rapport entre théories géométriques<br />

et espace sensible et redonnait du sens à la question - longuement oubliée parce que,<br />

croyait-on résolue - <strong>de</strong>s rapports entre géométrie et réalité extramathématique. Mais,<br />

d'autre part, elle permettait aussi <strong>de</strong> penser la théorie géométrique (euclidienne ou non)<br />

comme théorie mathématique pure, dont la portée et la signification pouvaient être<br />

appréciées pour elles-mêmes et en elles·mêmes.<br />

On s'aperçut ainsi que l'axiomatique issue du corpus euclidien pouvait recevoir<br />

un sens « concret» à l'intérieur même <strong>de</strong>s mathématiques - sans qu'il fût besoin<br />

d'aller chasser sur les terres <strong>de</strong>s physiciens. Un point pouvait ainsi s'interpréter ­<br />

pouvait être défini - comme un triplet <strong>de</strong> nombres (x,y,z); un plan, comme<br />

l'ensemble <strong>de</strong>s triplets <strong>de</strong> nombres (x,y,z) vérifiant une relation numérique<br />

ax+by+cz = 0; etc. Bref, la géométrie s'arithmétisait. La connaissance <strong>de</strong>s<br />

phénomènes <strong>de</strong> «l'espace géométrique» n'était plus nécessairement - et, au regard<br />

<strong>de</strong>s théories physiques les plus récentes, n'était qu'imparfaitement - le moyen <strong>de</strong> la<br />

connaissance <strong>de</strong> l'espace sensible (que la physique mo<strong>de</strong>rne appréhendait avec<br />

d'autres «géométries»).<br />

Cette voie possible <strong>de</strong> développement fut celle que tenta <strong>de</strong> promouvoir la<br />

réforme <strong>de</strong>s mathématiques mo<strong>de</strong>rnes, ainsi qu'en témoigne (dans la noosphère) le<br />

livre <strong>de</strong> Jean Dieudonné publié en 1964 : un livre au titre bien significatif - Algèbre<br />

linéaire et géométrie élémentaire - qui valait défense et illustration <strong>de</strong> la résorption sans<br />

reste <strong>de</strong> la « géométrie élémentaire» dans l'algèbre linéaire. Ce mouvement pourtant<br />

buta très vite sur <strong>de</strong>s contraintes qui, au même moment, se faisaient entendre <strong>de</strong><br />

manière <strong>de</strong> plus en plus bruyante - le retour au sensible, au concret, à la vie<br />

quotidienne, au real world comme le disent encore aujourd'hui nombre <strong>de</strong>


56<br />

noosphériens anglo-américains. La Réforme apparaît à cet égard, rétrospectivement,<br />

sinon comme une affaire <strong>de</strong> dupes, du moins comme un malentendu radical - même<br />

s'il est possible <strong>de</strong> montrer que cette révolution <strong>de</strong> notre enseignement avait un<br />

caractère nécessaire. Le désenchantement fut rapi<strong>de</strong> et vif.<br />

Nous voudrions souligner ici une autre contrainte encore, interne au jeu<br />

didactique celle-là. L'approche axiomatique mo<strong>de</strong>rne exigeait que soit présentée une<br />

axiomatique. Or l'une <strong>de</strong>s marques usuelles <strong>de</strong> la transposition didactique est bien un<br />

processus par lequel le savoir savant est réduit, miniaturisé, selon un mouvement <strong>de</strong><br />

décomposition, prélu<strong>de</strong> quasi obligé à une recomposition didactique. Que pouvait être<br />

alors la « réduction» ou la « miniaturisation» d'une axiomatique? L'idée même,<br />

en vérité, est une contradiction dans les termes. Pourtant cette réduction était ici<br />

éminemment nécessaire. Contrairement à l'axiomatique <strong>de</strong> la théorie <strong>de</strong>s groupes, par<br />

exemple, toute axiomatique <strong>de</strong> la géométrie plane est en effet d'emblée très lour<strong>de</strong>.<br />

Pis, la plupart supposent «connus» les nombres - les nombres réels ou un<br />

succédané d'iceux. (Celles qui ne le font pas, en utilisant le calcul segmentaire <strong>de</strong><br />

Hilbert, par exemple, sont plus lour<strong>de</strong>s encore.) Or, c'est l'une <strong>de</strong>s tâches du Collège<br />

que d'enseigner, concurremment avec la géométrie euclidienne, les nombres (relatifs,<br />

décimaux, rationnels, «réels»). Il Y avait donc là un ensemble <strong>de</strong> contraintes<br />

rédhibitoires, que seule une construction très - trop - exigeante pouvait satisfaire. Elle<br />

fut courageusement tentée, avec l'insuccès que l'on sail Cet échec redonna <strong>de</strong> l'intérêt<br />

à l'idée d'une organisation locale du savoir géométrique enseigné, idée aujourd'hui<br />

retenue <strong>de</strong> facto, sans gran<strong>de</strong> rigueur au <strong>de</strong>meurant.<br />

35. Comment se construit le savoir géométrique ?<br />

Nous avons présenté plus haut l'organisation du savoir géométrique, telle que la<br />

sphère savante la propose, comme déterminée à partir <strong>de</strong> ce « premier moteur» que<br />

constitueraient les axiomes. Mais la production <strong>de</strong>s connaissances géométriques ­<br />

cette matière qui peut alors être organisée au sein du savoir géométrique -, suppose,<br />

si l'on peut dire, en chaque cas un second moteur. Partons d'un exemple. En 1899,<br />

alors que l'on peut croire avoir tiré <strong>de</strong> la géométrie élémentaire tout ce qu'elle pouvait<br />

donner, un professeur <strong>de</strong> mathématiques à l'Université John Hopkins, Frank Morley,<br />

découvre un nouveau théorème <strong>de</strong> cette sorte. Le théorème <strong>de</strong> Morley dit que, étant<br />

donné un triangle quelconque, les points d'intersection <strong>de</strong>s trisectrices adjacentes <strong>de</strong>s<br />

angles du triangle forment un triangle équilatéral. Plusieurs démonstrations du<br />

théorème <strong>de</strong> Morley furent données dans les années qui suivirent sa découverte<br />

(notamment par le mathématicien françai~ Raoul Bricard, en 1922). Certaines d'entre<br />

elles sont très élémentaires. Formellement, donc, ce théorème « existait» comme tel,<br />

virtuellement, dès lors que l'on avait posé une axiomatique - à l'ancienne, ou<br />

mo<strong>de</strong>rne, formelle - <strong>de</strong> la géométrie du plan. Encore pourtant fallait-il le<br />

« produire» : ce qui ne fut fait, dans le cas d'espèce, que relativement tard - eu<br />

égard à cette longue aventure <strong>de</strong> la géométrie qui commença plusieurs siècles avant<br />

notre ère.<br />

Là encore, il faut répéter que, dans son principe, le travail géométrique ne di.fIere<br />

pas essentiellement du travail en un quelconque domaine <strong>de</strong> la physique (ou, en fait,<br />

<strong>de</strong>s mathématiques). Schématiquement sans doute, mais non sans vraisemblance, on<br />

pourra se le représenter ainsi: sur la base du savoir géométrique organisé,<br />

l'exploration d'un domaine <strong>de</strong> phénomènes géométriques conduit à formuler <strong>de</strong>s<br />

conjectures, qui fournissent autant et plus <strong>de</strong> problèmes <strong>de</strong> géométrie, qu'il s'agit <strong>de</strong>


57<br />

résoudre, soit dans le cadre <strong>de</strong> la théorie existante, soit - plus rarement - par un<br />

développement adéquat <strong>de</strong> la théorie existante. (C'est ainsi par exemple que l'on est<br />

passé, au XVIlle siècle, <strong>de</strong> la géométrie élémentaire à la géométrie différentielle.)<br />

Comment se fait classiquement cette phase du travail que nous avons appelée<br />

l'exploration <strong>de</strong> phénomènes? fi s'agit avant tout d'une phase expérimentale, qui met<br />

en rapport la théorie avec l'espace sensible, par le biais d'un montage expérimental. En<br />

géométrie, le montage expérimental est réalisé avec <strong>de</strong>s moyens qui sont <strong>de</strong>meurés<br />

essentiellement inchangés sur plusieurs millénaires. L'expérience est ici une<br />

expérience graphique, qui suppose seulement un support et <strong>de</strong>s instruments <strong>de</strong> tracé.<br />

La qualité du matériel employé dans le montage <strong>de</strong> l'expérience graphique a pu<br />

évoluer: les supports et les instruments utilisés par les premiers « expérimentateursgéomètres»<br />

ne permettaient sans doute qu'une précision fort réduite (et on comprend<br />

qu'il leur ait fallu apprendre « à raisonner juste sur <strong>de</strong>s figures fausses »). Mais quel<br />

qu'ait été le support - courte étendue bien plane <strong>de</strong> sable tamisé par exemple, ou<br />

feuille <strong>de</strong> papier comme aujourd'hui -, le montage permettait <strong>de</strong> donner aux notions <strong>de</strong><br />

la théorie une contrepartie sensible, nécessairement approchée - à moins que l'on ne<br />

considère que ce sont les réalités senr.ibles qui sont seulement approchées par leur<br />

<strong>de</strong>scription théorique en tennes <strong>de</strong> points, <strong>de</strong> droites, ete.<br />

On soulignera ici un fait peu remarqué nous semble-t-il, mais qui se déduit<br />

pourtant immédiatement <strong>de</strong>s conceptions mo<strong>de</strong>rnes <strong>de</strong> la géométrie comme théorie<br />

mathématique. La notion <strong>de</strong> «droite sensible », à laquelle nous lions assez<br />

spontanément la notion <strong>de</strong> droite géométrique (celle que définit par exemple telle ou<br />

telle axiomatique <strong>de</strong> la géométrie), n'est en rien contenue dans la géométrie comme<br />

théorie mathématique. Un petit raisonnement mathématique le fera voir. I<strong>de</strong>ntifions le<br />

plan géométrique (euclidien) à l'espace R 2 muni <strong>de</strong> sa structure euclidienne usuelle et<br />

canonique. Nous avons l'habitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> représenter les droite~ <strong>de</strong> R 2 , sur la feuille <strong>de</strong><br />

papier qui nous sert <strong>de</strong> support graphique, par <strong>de</strong>s droites sensibles (tracées à l'ai<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

la règle). Considérons alors une bijection f <strong>de</strong> R 2 : cette bijection pe11Det <strong>de</strong><br />

transporter la structure euclidienne canonique <strong>de</strong> R 2 sur lui-même. Le nouvel<br />

« espace» ainsi obtenu contient <strong>de</strong>s droites, qui sont les ensembles <strong>de</strong> points f(D),<br />

où D est une droite «canonique» (représentée figurativement par une droite<br />

sensible). Ces droites f(D) vérifient toutes les propriétés que la théorie attribue<br />

idéalement aux droites sensibles: par exemple, <strong>de</strong>ux telles droites, soit ne se coupent<br />

pas (elles sont strictement parallèles), soit se coupent en un point et un seul, soit sont<br />

confondues. Mais, si l'on tient à représenter sur la feuille <strong>de</strong> papier les droites D par<br />

<strong>de</strong>s droites sensibles, les droites f(D) ne seront pas représentées par <strong>de</strong>s droites<br />

sensibles. Par exemple, si la bijection f est définie par x'= xl/ 3 et y'= y, les droites D<br />

parallèles à l'axe <strong>de</strong>s abscisses ou à l'axe <strong>de</strong>s ordonnées resteront inchangées, mais les<br />

droites d'équation y = ax+b, avec a non nul, <strong>de</strong>viendront les « droites» d'équation<br />

y'= ax,3+b, c'est-à-dire <strong>de</strong>s cubiques par rapport à la structure euclidienne canonique.<br />

En d'autres termes, il n'est pas possible <strong>de</strong> définir mathématiquement la notion<br />

<strong>de</strong> droite sensible (ou la notion sensible <strong>de</strong> droite). Notons encore qu'il n'est pas<br />

davantage possible <strong>de</strong> définir mathématiquement la notion sensible <strong>de</strong> perpendicularité.<br />

Choisissons dans le plan R 2 <strong>de</strong>ux vecteurs linéairement indépendants, et définissons<br />

sur R 2 la structure euclidienne pour laquelle ces <strong>de</strong>ux vecteurs sont orthogonaux et<br />

nonnés. On obtient ainsi une notion <strong>de</strong> perpendicularité ayant toutes les propriétés<br />

attribuées par la géométrie euclidienne à la notion sensible <strong>de</strong> perpendicularité, mais<br />

qui en est toute différente en sa traduction sensible. (Un problème intéressant <strong>de</strong>


58<br />

construction géométrique est alors le suivant: soient trois points non alignés A, B et<br />

C; ces points définissent une métrique euclidienne pour laquelle les vecteurs<br />

d'extrémités A et B d'une part et d'extrFmités A et C d'autre part sont nonnés et<br />

perpendiculaires; comment alors construire, à la règle et au compas, la<br />

perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné, au sens <strong>de</strong> cette<br />

métrique ?)<br />

La manière dont la tradition euclidienne a assumé le rapport <strong>de</strong> la· théorie à<br />

l'espace sensible - par le biais d'un support graphique d'étendue nécessairement<br />

limitée - ne va pas a priori sans faire difficulté. Il y a, en fait, plusieurs types <strong>de</strong><br />

difficulté. Le premier est <strong>de</strong> nature théorique: comment est-il possible <strong>de</strong> saisir<br />

expérimentalement l'espace sensible en n'~xpérimentant que sur une portion limitée <strong>de</strong><br />

cet espace - celui que limite la feuille <strong>de</strong> papier sur laquelle sera réalisée l'expérience<br />

graphique? La chose nous semble aller <strong>de</strong> soi. Elle est pourtant étrange. Pourrait-on<br />

par exemple étudier les océans en n'ayant accès qu'à l'étendue d'un petit bassin d'eau<br />

<strong>de</strong> mer? Ou, <strong>de</strong> même, envisagerait-on d'étudier le ciel en n'observant qu'une mince<br />

portion <strong>de</strong> l'infinité céleste ?<br />

La raison <strong>de</strong> cette anomalie fructueuse n'est apparue en réalité qu'assez tard dans<br />

l'histoire <strong>de</strong> la géométrie. Les multiples tentatives qui se sont succédé, dès l'antiquité<br />

gréco-latine, pour tirer au clair le statut du postulat d'Eucli<strong>de</strong> ont en effet amené les<br />

mathématiciens à multiplier les énoncés équivalents à ce postulat. Parmi ceux-ci, un<br />

énoncé, dû au mathématicien anglais John Wallis (1616-1703), allait apporter la<br />

lumière sur le point que nous examinons: Wallis montrait en effet que le postulat<br />

d'Eucli<strong>de</strong> est équivalent à celui affirmant que, étant donnée une figure quelconque, il<br />

existe une figure semblable <strong>de</strong> taille arbitraire (c'est-à-dire arbitrairement gran<strong>de</strong> ou<br />

arbitrairement petite). Ultérieurement, Carnot (1753-1823) et Laplace (1749-1827)<br />

allaient revenir sur ce principe d'invariance <strong>de</strong> la structure <strong>de</strong> l'espace par homothétie,<br />

montrant notamment son lien fondamental avec le fait que les lois physiques (que nous<br />

dirions classiques) n'impliquent aucune unité <strong>de</strong> mesure absolue (l'univers physique<br />

est défini globalement à une homothétie près). Mais, contrairement à nombre <strong>de</strong><br />

phénomènes physiques pour lesquels un système n'est pas nécessairement équivalent<br />

à un système homothétique (effet d'allométrie), tout système géométrique est réputé<br />

être le siège <strong>de</strong> phénomènes géométriques i<strong>de</strong>ntiques quelle que soit l'échelle.<br />

Par le biais du postulat d'Eucli<strong>de</strong>, on postulait donc en même temps que tout<br />

phénomène géométrique qui peut se produire dans l'univers sensible, quelle que soit<br />

l'étendue <strong>de</strong> la« figure» lui correspondant, pouvait être recréé à l'i<strong>de</strong>ntique - la taille<br />

exceptée - dans le cadre d'une simple feuille <strong>de</strong> papier. En ne travaillant qu'à l'échelle<br />

<strong>de</strong> ce que nous nommerons, avec Guy Brousseau, le micro-espace, on pouvait<br />

atteindre et connaître l'infinité du macro-espace. Toute la géométrie <strong>de</strong> la réalité<br />

sensible étudiée pouvait être enfermée dans les limites d'une feuille <strong>de</strong> papier...<br />

La théorie euclidienne définissait du même coup, on le voit, les limites <strong>de</strong>s<br />

exigences <strong>de</strong> sa méthodologie expérimentale spécifique. L'expérimentation<br />

géométrique engageait ainsi tous ses moyens dans une seule forme d'expérimentation,<br />

l'expérimentation graphique. Cette normalisation inaugurale <strong>de</strong> l'expérimentation en<br />

géométrie atténuait un peu plus encore - en association avec le rôle majeur <strong>de</strong><br />

l'enchaînement démonstratif, déjà souligné - le caractère expérimental et physique <strong>de</strong><br />

la géométrie. Elle créait en même temps <strong>de</strong>s difficultés d'une autre nature, sur<br />

lesquelles nous dirons maintènant quelques mots.


59<br />

La feuille <strong>de</strong> papier dont nous avons parlé intervient d'au moins <strong>de</strong>ux façons<br />

dans le travail géométrique. La première manière est commune au géomètre et, disons,<br />

au physicien. Celui-ci peut, sur une fetIille <strong>de</strong> papier, tracer un schéma d'un montage<br />

expérimental: la dispersion <strong>de</strong> la lumlère par le prisme, le mouvement d'un pendule<br />

simple, ete. De tels schémas peuvent être tracés approximativement, à main levée, <strong>de</strong><br />

manière suffisamment réaliste pour soutenir le raisonnement. Le schéma, ici,<br />

clairement, n'est pas l'expérience (physique) à laquelle il renvoie en la représentant<br />

figurativement (et schématiquement). Tout <strong>de</strong> même, en géométrie, on pourra utiliser<br />

<strong>de</strong>s schémas, grossièrement tracés, pour représenter <strong>de</strong>s expériences graphiques: à<br />

l'énoncé du théorème <strong>de</strong> Morley, je pourrai tracer à main levée un triangle<br />

(suffisamment) quelconque; puis, toujours approximativement, les trisectrices (qui,<br />

<strong>de</strong> toute façon, ne sont pas constructibles à l'ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> la règle et du compas), afin <strong>de</strong><br />

reconnaître déjà <strong>de</strong> quel phénomène géométrique'me parle l'énoncé.<br />

La difficulté tient alors à ce fait qu'une longue tradition, prolongée jusque dans<br />

nos actuelles classes <strong>de</strong> Collège, a plus ou moins confondu le schéma <strong>de</strong> l'expérience<br />

graphique avec la réalisation effective <strong>de</strong> l'expérience graphique (aboutissant à ce<br />

qu'on peut appeler une épure), confusion qui n'est évi<strong>de</strong>mment guère possible en<br />

matières d'expériences physiques, dès lors que l'expérience et la représentation<br />

graphique <strong>de</strong> l'expérience se situent dans <strong>de</strong>s plans <strong>de</strong> réalité nettement distincts(1).<br />

Un <strong>de</strong>s facteurs <strong>de</strong> cette confusion a été sans nul doute l'effet <strong>de</strong> nonnalisation<br />

graphique opéré par le passage historique (à partir <strong>de</strong> la fin du XVe siècle) du<br />

manuscrit à l'imprimé. Aujourd'hui encore, un simple schéma, volontairement tracé à<br />

main levé par ce <strong>de</strong>ssinateur profane qu'est en général l'auteur, se transfonnera, sauf à<br />

dépenser beaucoup d'énergie pour contrecarrer ce funeste <strong>de</strong>stin, en une impeccable<br />

épure confiée (par l'éditeur ou l'imprimeur) à la main experte d'un homme <strong>de</strong> l'art...<br />

Mais, du point <strong>de</strong> vue didactique, d'autres facteurs ont dû jouer aussi, jusqu'à<br />

aujourd'hui, pour confinner cette méprise: le rabattement <strong>de</strong> l'activité géométrique<br />

sur une activité <strong>de</strong> pur <strong>de</strong>ssin (dans les petites classes du Collège) - phénomène qu'au<br />

<strong>de</strong>meurant les actuels nouveaux programmes ne font qu'amplifier -, <strong>de</strong> même que le<br />

désir d'éduquer à la propreté qui imprègne une certaine version moralisante <strong>de</strong><br />

l'enseignement, sont certainement à compter parmi eux. Quoi qu'il en soit, la<br />

confusion a <strong>de</strong>s effets détenninés dans l'enseignement passé et contemporain <strong>de</strong> la<br />

géométrie.<br />

3.6. Comment se sert-on du savoir géométrique ?<br />

Le savoir géométrique - « la géométrie» - a été associé <strong>de</strong>puis ses origines à<br />

l'aventure <strong>de</strong> la civilisation occi<strong>de</strong>ntale. Dans cette entreprise, il a joué constamment un<br />

double rôle. D'une part, la géométrie s'est constituée comme une science <strong>de</strong> l'espace,<br />

se fixant ses propres valeurs, ses propres enjeux, ses propres problèmes, et ayant<br />

pour cela un développement partiellement autonome. Socialement, elle a constitué <strong>de</strong><br />

ce point <strong>de</strong> vue un savoir savant, proposé en modèle à tous les autres (quand elle<br />

n'était pas en conflit avec eux - comme ce fut le cas avec la rhétorique, dans l'Europe<br />

<strong>de</strong>s XVIIe et XVIDe siècles). Dans le même temps, regardée culturellement comme<br />

théorie en acte <strong>de</strong> la rationalité, elle a, comme on l'a déjà souligné, joué un rôle majeur<br />

dans la fonnation intellectuelle et culturelle <strong>de</strong>s hommes - dans certaines couches<br />

1. On pourra noter, au passage, s'agissant <strong>de</strong> l'expérience graphique correspondant au théorème <strong>de</strong><br />

Morley: a) que celle-ci peut être réalisée à la règle et au compas - même si les trisectrices d'un angle<br />

donné ne sont pas constructibles avec ces instruments; b) qu'elle est d'une réalisation délicate.


60<br />

sociales du moins. On pourra. à cet égard. se référer à l'appréciation <strong>de</strong> Pascal telle<br />

qu'il l'exprime dans De l'esprit géométrique (1657).<br />

Mais. d'autre part. quelque savante qu'ait été son organisation. la géométrie n'a<br />

jamais cessé <strong>de</strong> jouer le rôle <strong>de</strong> technologie <strong>de</strong> l'espace. <strong>de</strong> théorie <strong>de</strong> la maîtrise<br />

pratique <strong>de</strong> l'espace. li s'agit-là d'une fonction sociale attestée dès la plus haute<br />

antiquité et dont même la tradition savante nous a rapporté l'existence à travers<br />

quelques épiso<strong>de</strong>s mémorables - Thalès et les pyrami<strong>de</strong>s ou. plus près <strong>de</strong> nous.<br />

Archimè<strong>de</strong> et ses «méchaniques·». A cet égard. si on la considère comme l'une <strong>de</strong>s<br />

branches <strong>de</strong> la physique. la géométrie est une physique efficace - une physique qui<br />

« s'applique» - alors même que les chapitres les plus classiques <strong>de</strong> la physique<br />

(statique <strong>de</strong>s soli<strong>de</strong>s. hydrostatique. dynamique <strong>de</strong>s soli<strong>de</strong>s. ete.) n'existent encore<br />

qu'à l'état <strong>de</strong> germes peu opérants. Ce rôle social ne laisse pourtant pas <strong>de</strong> poser <strong>de</strong><br />

nombreux problèmes. qui trouvent un écho indéfiniment répété dans notre<br />

enseignement <strong>de</strong> la géométrie.<br />

Tout d'abord. l'usage <strong>de</strong> la géométrie comme technologie <strong>de</strong> l'espace apparaît.<br />

dès l'antiquité et <strong>de</strong> manière étonnamment pérenne. comme un ensemble <strong>de</strong> pratiques<br />

sociales culturellement dominées. (Le récit que nous a laissé Plutarque dans sa Vie <strong>de</strong>s<br />

hommes illustres. à propos <strong>de</strong>s travaux mécaniques d'Archimè<strong>de</strong> - dont il parle dans<br />

la Vie <strong>de</strong> Marcellus - est bien caractéristique <strong>de</strong> cet état <strong>de</strong>s choses.) Si. dans la sphère<br />

didactique. les <strong>de</strong>ux tendances - savante et technique - seront. à <strong>de</strong>s <strong>de</strong>grés divers.<br />

toujours coprésentes. les proportions respectives <strong>de</strong> l'une et <strong>de</strong> l'autre seront aussi. du<br />

moins dans l'enseignement général. un effet et un indice d'une différenciation<br />

culturelle fréquemment associée à une différenciation sociale - la prépondérance <strong>de</strong><br />

l'option technologique étant la conséquence et le signe d'un profIl culturel et social<br />

« bas ». Le problème didactique du traitement <strong>de</strong> la géométrie comme technologie <strong>de</strong><br />

l'espace est. malgré qu'on en ait. un problème à résoudre. aujourd'hui encore. sous<br />

cette contrainte culturelle - que les sociétés mo<strong>de</strong>rnes n'ont pas vu. à ce jour.<br />

s'effacer.<br />

Mais une autre gran<strong>de</strong> difficulté surgit encore. Alors que la gestion savante <strong>de</strong> la<br />

géométrie aboutit - par nature pourrait-on dire - à une organisation intégrée (ou du<br />

moins qui vise constamment à l'intégration). la géométrie comme technologie <strong>de</strong><br />

l'espace va refléter la diffraction sociale. la diversité <strong>de</strong>s pratiques <strong>de</strong> manipulation <strong>de</strong><br />

l'espace. Les techniques <strong>de</strong> maîtrise <strong>de</strong> l'espace se présentent ainsi comme une série <strong>de</strong><br />

corps <strong>de</strong> principes d'action. <strong>de</strong> métho<strong>de</strong>s. voire <strong>de</strong> tours <strong>de</strong> main. spécifiques <strong>de</strong> tel ou<br />

tel domaine <strong>de</strong> gestion efficace <strong>de</strong> la «spatialité ». Cette pluralité technique<br />

correspond à une pluralité d'organisations techniques et instrumentales qu'il est<br />

difficile <strong>de</strong> maîtriser comme un tout cohérent - en partie sans doute parce que l'effort<br />

intellectuel et culturel historiquement nécessaire. tenté non sans succès au Siècle <strong>de</strong>s<br />

Lumières. n'a pas été suffisant pour vaincre l'opacité. la parcellisation et<br />

l'hétérogénéité <strong>de</strong>s pratiques sociales effectives.<br />

Nous éclairerons ces considérations d'un exemple simple. celui d'un problème<br />

relativement classique <strong>de</strong> repérage. Je me tiens en un point A <strong>de</strong> l'espace. que je<br />

voudrais situer sur une carte <strong>de</strong> la région où je me trouve. De A j'aperçois trois points<br />

remarquables. trois repères B. Cet D. matérialisés d'une certaine manière (le sommet<br />

d'une tour. la flèche d'une église. l'antenne installée sur une hauteur) et repérés sur la<br />

carte dont je dispose. Muni d'un instrument adéquat (théodolite. etc.) je peux relever<br />

les mesures u et v <strong>de</strong>s angles BAC et CAD. Cela fait. muni maintenant d'autres<br />

instruments (la règle. le compas. etc.). je peux me proposer <strong>de</strong> construire. sur la carte.<br />

le point correspondant à ma position. à partir <strong>de</strong>s données que constituent les mesures


61<br />

d'angle u et v (et les points B', C' et D' <strong>de</strong> la carte correspondant respectivement à B,<br />

C et D). Je suis alors confronté à un problème géométrique « microspatial », un<br />

problème <strong>de</strong> constructibilité (par exemple: est-il possible <strong>de</strong> construire le point<br />

cherché à la règle et au compas, à partir <strong>de</strong>s données que je me suis rendues<br />

disponibles?) et un problème <strong>de</strong> construction (s'il en est bien ainsi, comment<br />

construire le point en question ?). Le point cherché, on le sait, est l'intersection (autre<br />

que C') <strong>de</strong>s arcs capables sous lesquels on voit les segments [B 'C'] et [C'D']<br />

respectivement sous <strong>de</strong>s angles <strong>de</strong> mesure u et v.<br />

La technologie <strong>de</strong> l'espace mise en oeuvre ici passe, comme toute technologie <strong>de</strong><br />

l'espace, par la mise en relation d'une partie <strong>de</strong> l'espace sensible - ici le macro- .<br />

espace - avec le micro-espace, l'espace <strong>de</strong> la feuille <strong>de</strong> papier, ici celui <strong>de</strong> la carte:<br />

elle passe, dirons-nous, par une modélisation graphique. Mais les traitements <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux<br />

types d'espace sont manifestement différents: dans le macro-espace, ce qui est<br />

possible et, si l'on peut dire, peu coûteux, c'est la mesure <strong>de</strong>s angles - et non la<br />

mesure directe <strong>de</strong>s distances, souvent difficile ou impossible. La notion d'angle est<br />

une notion pleinement instrumentale <strong>de</strong> la technologie du macro-espace, que le savoir<br />

géométrique, technologie du micro-espace, enregistre d'abord à ce titre. (Si la<br />

géométrie ne <strong>de</strong>vait servir qu'à la technologie du micro-espace, elle pourrait fort bien<br />

faire l'économie <strong>de</strong> la notion d'angle: ce fut là le choix <strong>de</strong>s précé<strong>de</strong>nts programmes<br />

du Collège, un fait bien significatif du repliement <strong>de</strong> la géométrie enseignée sur la<br />

« science» géométrique et, corrélativement, sur le micro-espace.)<br />

Le problème précé<strong>de</strong>nt appartient au vaste domaine <strong>de</strong>s problèmes <strong>de</strong><br />

représentation plane <strong>de</strong>s figures <strong>de</strong> l'espace. De la représentation artistique à la<br />

représentation technique - plus exactement: à telle ou telle représentation technique-,<br />

il y a une continuité où s'inscrit l'unité d'un même principe qui, on l'a dit, fon<strong>de</strong> la<br />

géométrie euclidienne (et qui, en cela, n'est sans doute que la continuation d'un<br />

schème culturel présent dès les premie;rs graphismes représentatifs que l'Homme s'est<br />

donnés) : la réduction, dans l'étendue limitée d'un support quelconque, <strong>de</strong>s figures<br />

d'un espace d'extension indéfinie. Dans cet immense travail <strong>de</strong> mise en représentation<br />

<strong>de</strong> l'espace sensible et <strong>de</strong> ses figures par l'Homme, tout un ensemble <strong>de</strong> technologies<br />

<strong>de</strong> l'espace vont naître au fil <strong>de</strong>s siècles, qui seront autant <strong>de</strong> corps <strong>de</strong> savoirs<br />

ordonnés à la maîtrise d'un certain usage <strong>de</strong> l'espace.<br />

Ces savoirs géométriques mettront souvent du temps à s'intégrer au corpus<br />

principal (celui, en gros, <strong>de</strong> la géofi1.étrie <strong>de</strong>s Eléments). Eucli<strong>de</strong>, qui abor<strong>de</strong> le<br />

problème, le fait dans son Optique. Vitruve (au premier siècle avant Jésus-Christ),<br />

d'un point <strong>de</strong> vue différent, le traitera dans Les dix livres d'architecture. Les théories<br />

<strong>de</strong> la perspective (qui concernent peintres et architectes) entraîneront, à la Renaissance,<br />

un printemps <strong>de</strong> la réflexion. La géométrie projective en découlera. Le <strong>de</strong>ssin<br />

technique, celui <strong>de</strong> l'ingénieur militaire d'abord, sera fécondé par le génie <strong>de</strong> l'espace<br />

d'un Gaspard Monge (1746-1818) -l'inventeur <strong>de</strong> la géométrie <strong>de</strong>scriptive. Et, <strong>de</strong><br />

nos jours, dans la plus récente pério<strong>de</strong>, le problème <strong>de</strong> la représentation a été posé en<br />

<strong>de</strong>s termes renouvelés par l'apparition du micro-ordinateur, dont l'écran constitue un<br />

nouveau support, d'une autre nature, et dont l'utilisation (en matière <strong>de</strong> D.A.O. et <strong>de</strong><br />

C.A.O.) a engendré ce corps <strong>de</strong> savoir géométrique appelé infographie.<br />

Il y a en tout cela une diversification du savoir géométrique, qui ne trouve son<br />

unité <strong>de</strong> principe qu'au plus haut niveau d'intégration théorique. Le technicien reste<br />

proche <strong>de</strong> sa technique - quand même se sera-t-il frotté à la technologie qui la ressaisit<br />

théoriquement. Dans l'attrait que l'enseignement <strong>de</strong> la géométrie peut éprouver pour


62<br />

<strong>de</strong>s technologies <strong>de</strong> l'espace, sous l'influence <strong>de</strong> contraintes hostiles à « l'abstraction<br />

théorique », il y a un risque majeur face auquel, croyons-nous, la didactique <strong>de</strong>s<br />

mathématiques est encore démunie: que l'ambition démesurée qui en peut naître ne<br />

cè<strong>de</strong> la place - subrepticement - à la naïveté et au malentendu; que, par exemple, la<br />

représentation graphique (qui n'est nullement, en elle-même, « <strong>de</strong> la géométrie») ne<br />

se substitue, comme valeur, but <strong>de</strong> l'enseignement et source <strong>de</strong> son inspiration, à la<br />

technique <strong>de</strong> représentation; et celle-ci, à son tour, à la technologie qui la fon<strong>de</strong> et en<br />

rend raison.<br />

La représentation désirée, quelles qu'en soient les spécifications, n'est rien<br />

d'autre que le produit d'un geste technique que le savoir géométrique doit diriger. Elle<br />

n'est, à cet égard, que fort peu différente - n'était la nature du produit: l'un<br />

graphique, l'autre numérique - d'un résultat <strong>de</strong> calcul qu'il faut obtenir. Elle constitue<br />

la fin pragmatique d'une recherche dont le nerf est un certain corps <strong>de</strong> savoir<br />

géométrique. Cette recherche pourra pas~er par un ou <strong>de</strong>s schémas, par <strong>de</strong>s calculs<br />

que ces schémas gui<strong>de</strong>ront, par d'autres types <strong>de</strong> représentation même. En fin <strong>de</strong><br />

compte, elle est toute semblable, par sa fonction, à tout ce qui la prépare. Et à tout ce<br />

qui la suit: car, <strong>de</strong> même que l'architecte doit restituer dans l'espace, en vraie<br />

gran<strong>de</strong>ur, les représentations planes à quoi il aura préalablement ramené l'espace<br />

sensible pour en mo<strong>de</strong>ler les figures à sa guise, <strong>de</strong> mêm~, plus généralement, tout<br />

« technicien» <strong>de</strong> l'espace ne recherche la représentation que pour revenir à l'espace,<br />

et en maîtriser les figures. Toute représentation graphique est ainsi un moment, une<br />

forme déterminée (et variable), d'une modélisation <strong>de</strong> l'espace, moyen <strong>de</strong> production<br />

<strong>de</strong> connaissances que comman<strong>de</strong> le savoir géométrique et qui comman<strong>de</strong> l'action sur le<br />

sensible. C'est à cetre notion que l'on <strong>de</strong>vra tenter <strong>de</strong> rapporter ce que tout<br />

enseignement <strong>de</strong> la géo.nétrie, quel qu'il soit, propose.<br />

B. LA NOTION DE CONSTRUCTION GEOMETRIQUE COMME<br />

PROBLEME<br />

1. Constructibilité et construction<br />

Pour abor<strong>de</strong>r la notion <strong>de</strong> construction géométrique, nous <strong>de</strong>vons nous situer<br />

d'emblée en <strong>de</strong>hors <strong>de</strong> la problématique <strong>de</strong> l'enseignant dans sa classe, afin <strong>de</strong><br />

pennettre le détour théorique nécessaire.<br />

On s'appuiera tout d'abord sur la notion préconstruite (naïve, pourrait-on dire)<br />

<strong>de</strong> construction géométrique dans le plan, à la règle et au compas, sans préciser<br />

davantage ce que l'on peut entendre par là. Et c'est à la suite <strong>de</strong>s difficUltés rencontrées<br />

que nous serons amenés à préciser la notion.<br />

1.1. Un exemple<br />

Nous montrerons d'abord que la notion <strong>de</strong> construction géométrique n'est pas<br />

aussi transparen~ que l'on pourrait penser. Nous mettrons pour cela en évi<strong>de</strong>nce, sur<br />

un exemple, le décalage qui peut exister entre la simplicité apparente <strong>de</strong> la solution<br />

classique à un problème <strong>de</strong> construction donné - solution qui donne <strong>de</strong> manière<br />

évi<strong>de</strong>nte la bonne réponse -, et la difficulté relative <strong>de</strong> la réalisation effective du<br />

procédé <strong>de</strong> construction contenu dans cette solution.


63<br />

L'exemple choisi est le suivant (2) :<br />

Trouver la bissectrice <strong>de</strong> l'angle formé par <strong>de</strong>ux droites (AB) et<br />

(CD) qu'on ne peut pas prolonger jusqu'à leur point d'intersection.<br />

Voici la solution proposée par les auteurs <strong>de</strong> l'ouvrage:<br />

On mène une perpendiculaire quelconque (EP) sur (AB) et une<br />

perpendiculaire (FQ) SW' (CD). Sur ces perpendiculaires, on prend <strong>de</strong>ux<br />

longueurs égales HF et GE; puis, par H, on mène une parallèle à (CD),<br />

et, par G, une parallèle à (AB) ,. le point <strong>de</strong> rencontre M <strong>de</strong> ces <strong>de</strong>ux<br />

lignes est un point <strong>de</strong> la bissectrice cherchée. En effet, ce point M est à<br />

<strong>de</strong>s distances GE et HF <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux droites proposées. En prenant <strong>de</strong>ux<br />

autres longueW's égales sur (EP) et (FQ), on obtiendrait un second point<br />

M' <strong>de</strong> la bissectrice, et il ne resterait plus qu'à tirer (MM').<br />

La simplicité <strong>de</strong> cette solution est telle que les auteurs ne prennent qu'une ligne<br />

pour la justifier tant il leur paraît clair que la construction proposée donne bien ce<br />

qu'elle prétend. Mais à cette simplicité s'oppose une difficulté lorsqu'il s'agit <strong>de</strong><br />

réaliser effectivement la construction correspondante à la règle et au compas. 11 suffit<br />

<strong>de</strong> s'y essayer pour en être convaincu. Il est en effet nécessaire <strong>de</strong> tracer <strong>de</strong>ux<br />

perpendiculaires à une droite donnée sur lesquelles on prend <strong>de</strong>s longueurs égales,<br />

puis <strong>de</strong>ux parallèles à une droite donnée passant par un point donné. On obtient un<br />

premier point <strong>de</strong> la bissectrice cherchée. Il faut alors recommencer le même travail<br />

pour obtenir un second point, et, enfin, tracer la bissectrice...<br />

Cet exemple montre que la solution fournie par les auteurs répond plutôt à la<br />

question<br />

Est-il possible <strong>de</strong> construire à la règle et au compas la bissectrice<br />

<strong>de</strong>...?<br />

qu'à la question<br />

Comment faire pour tracer à la règle et au compas la bissectrice<br />

<strong>de</strong>...?<br />

Autrement dit, cette solution constitue davantage une preuve <strong>de</strong> constructibilité à<br />

la règle et au compas <strong>de</strong> cette bissectrice plutôt qu'un « bon » algorithme <strong>de</strong><br />

construction permettant <strong>de</strong> construire effectivement cette bissectrice (3). Il est clair<br />

que la donnée d'un algorithme <strong>de</strong> construction, quel qu'il soit - pourvu, bien sûr,<br />

2. Ce problème provient d'un manuel <strong>de</strong> géométrie qui fut longuement en usage au XIXe et au<br />

début du XXe siècles: Rouché E. & <strong>de</strong> Comberousse Ch., Traité <strong>de</strong> Géométrie, géométrie plane,<br />

huitième édition, Gauthier-Villars, Paris, 1912.<br />

3. Nous préciserons plus loin ce que l'on peut entendre par un «bon» algorithme <strong>de</strong><br />

construction.


64<br />

qu'il soit accompagné <strong>de</strong> la preuve qu'il donne bien ce qu'il prétend -, fournit par la<br />

même occasion une preuve <strong>de</strong> constructibilité.<br />

On peut mieux voir encore les <strong>de</strong>ux sens contenus dans le mot <strong>de</strong> construction<br />

si, toujours à propos du même exemple, on propose la solution suivante:<br />

Soit un cercle <strong>de</strong> centre A qui coupe (AB) en E et (CD) en F. Le<br />

cercle <strong>de</strong> centre F et <strong>de</strong> rayon AE coupe (CD) en G. Le cercle <strong>de</strong> centre E<br />

et <strong>de</strong> rayon AE coupe le cercle précé<strong>de</strong>nt du même côté <strong>de</strong> (AB) que F en<br />

un point H. La droite (HG) coupe (AB) en 1. Il suffit alors <strong>de</strong> tracer la<br />

médiatrice du segment [Gll : c'est la droite cherchée.<br />

Si cette construction est plus simple du point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong> sa réalisation effective<br />

(elle nécessite le tracé <strong>de</strong> 5 cercles et 2 droites seulement), en revanche il est moins<br />

évi<strong>de</strong>nt que c'est bien la bissectrice <strong>de</strong>s droites (AB) et (CD) que l'on obtient en fm <strong>de</strong><br />

compte! (Nous laissons au lecteur le soin <strong>de</strong> fournir une démonstration.) On voit<br />

bien, dans cet exemple encore, les <strong>de</strong>ux notions s'opposer: d'un côté un algorithme<br />

<strong>de</strong> construction donnant un moyen (plus pu moins simple) d'obtenir effectivement la<br />

figure annoncée, et, d'un autre côté, le souci <strong>de</strong> montrer qu'il est possible <strong>de</strong> réaliser<br />

une telle figure sans nécessairement se préoccuper <strong>de</strong>s moyens <strong>de</strong> sa réalisation<br />

effective. On peut reconnaître, dans ce <strong>de</strong>uxième aspect, les préoccupations <strong>de</strong>s<br />

mathématiciens <strong>de</strong>puis Eucli<strong>de</strong>.<br />

Pour s'en convaincre, on peut signaler tout d'abord que les figures <strong>de</strong>s<br />

manuscrits <strong>de</strong> mathématiques antiques comportent presque toujours <strong>de</strong>s figures tracées<br />

à main levée (sauf les cercles) : ces figures sont donc <strong>de</strong>s schémas venant soutenir<br />

visuellement le raisonnement. Ce sont les normes graphiques imposées par<br />

l'imprimerie qui vont transformer ces schémas en épures et ainsi jeter un doute sur ce<br />

qui intéresse le mathématicien.<br />

12. Les constructions dans les Eléments d'Eucli<strong>de</strong><br />

C'est en se penchant sur le détail <strong>de</strong>s propositions euclidiennes que l'on peut<br />

mieux voir quelles sont les préoccupations <strong>de</strong> son auteur. Considérons par exemple la<br />

proposition X du Livre 1 (4) :<br />

Panager une droite donnée etfinie en <strong>de</strong>ux panies égales.<br />

Autrement dit, il s'agit <strong>de</strong> la constluction du milieu d'un segment et, comme<br />

toutes les constructions euclidiennes, en utilisant seulement la règle "et le compas. La<br />

construction donnée n'est pas du tout celle enseignée classiquement au Collège et nous<br />

paraît beaucoup plus sophistiquée (5) :<br />

Soit donnée une droite finie AB ,. il faut partager la droite finie AB<br />

en <strong>de</strong>ux parties égales.<br />

4. Dans tout ce qui suit nous nous référons aux Oeuvres d'Eucli<strong>de</strong> dans la traduction <strong>de</strong> F. Peyrard<br />

(réédition, Librairie A. Blanchard, Paris, 1966) : la proposition X se trouve à la page 10 <strong>de</strong> cet<br />

ouvrage.<br />

5. Op. cit., p.lO.


65<br />

Construisons sur cette droite un triangle équilatéral ABC, et<br />

partageons l'angle ACB en <strong>de</strong>ux parties égales par la droite CD ,. je dis<br />

que la droite AB est partagée en <strong>de</strong>ux parties égales au point D.<br />

Suit alors la démonstration. Si on détaille cette construction en remontant aux<br />

propositions 1 et 9 qui donnent respectivement une construction d'un triangle<br />

équilatéral sur un segment donné et une construction <strong>de</strong> la bissectrice d'un angle<br />

donné, on obtient l'algorithme suivant:<br />

1. Sur [AB} construire un triangle équilatéral ABC, soit<br />

1.1. Tracer le cercle <strong>de</strong> centre A et <strong>de</strong> rayon AB ,.<br />

1.2. Tracer le cercle <strong>de</strong> centre B et <strong>de</strong> rayon AB ,.<br />

13. Choisir l'un <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux points d'intersections <strong>de</strong>s cercles,<br />

C ,.<br />

1.4. Tracer [AC} et [BC}.<br />

2. Déterminer la bissectrice <strong>de</strong> l'angle ACB, soit<br />

2.1. Prendre sur [CA} un point A' ,.<br />

2.2. Prendre sur [CB} le point B' tefque CB' =CA' ,.<br />

2.3. Tracer [A'B'} ,.<br />

2.4. Sur [A 'B'] tracer un triangle équilatéral, soit<br />

2.4.1. Tracer le cercle <strong>de</strong> centre A'et <strong>de</strong> rayon A'B' ,.<br />

2.4.2. Tracer le cercle <strong>de</strong> centre B' et <strong>de</strong> rayon A'B' ,.<br />

2.4.3. Ces <strong>de</strong>ux cercles se coupent en C et en un autre point<br />

C' ,.<br />

2.4.4. Tracer [A 'C'] et [B'C'] ,.<br />

2.5. Tracer (CC'). Le milieu est le point d'intersection <strong>de</strong>s<br />

droites (AB) et (CC').<br />

On ne peut saisir l'intérêt <strong>de</strong> cette construction que si l'on prend en compte le fait<br />

que le point <strong>de</strong> vue d'Eucli<strong>de</strong> est, avant tout, celui <strong>de</strong> la constructibilité: il montre, par<br />

un enchaînement logique <strong>de</strong> propositions - en ne se permettant donc d'utiliser que <strong>de</strong>s<br />

propositions déjà établies -, que le milieu d'un segment est constructible à la règle et<br />

au compas. La construction euclidienne est donc celle d'une certaine rationalité...<br />

Cette idée éclaire à bien <strong>de</strong>s égards la lecture <strong>de</strong> cette partie <strong>de</strong> l'oeuvre<br />

géométrique d'Eucli<strong>de</strong>. Cependant, la proposition II ne se laisse pas facilement<br />

interpréter. TI s'agit <strong>de</strong> la construction suivante (6) :<br />

A un point donné, tracer une droite égale à une droite donnée<br />

Sans examiner la solution proposée par Eucli<strong>de</strong>, on voit tout <strong>de</strong> suite une<br />

réponse (trop) simple à ce problème: il suffIrait <strong>de</strong> « transporter la distance », à<br />

l'ai<strong>de</strong> d'un compas, au point considéré. Or, la solution euclidienne (7) nous apparaît<br />

6. Ibid., pA. La proposition suivante se traduit en langage contemporain par: étant donnés un<br />

segment [AB] et un point C, construire un seg,ment [CD] tel que CD =AB.<br />

7. La solution est la suivante (ibid., pA): soit A le point donné, et [BC] le segment donné.<br />

Tracer un biangle équilatéral ABD. Tracer le cercle <strong>de</strong> centre B passant par C ; on appelle E le point


66<br />

d'une complexité sans rapport avec la simplicité du problème posé. C'est que, pour<br />

comprendre l'intérêt <strong>de</strong> cette proposition, il est nécessaire <strong>de</strong> savoir ce qu'est le<br />

compas d'Eucli<strong>de</strong>. C'est un instrument idéal (ou idéel) qui trace les cercles <strong>de</strong> centre<br />

donné passant par un point donné... et ne réalise pas d'autre construction. En<br />

particulier, il ne peut transporter les distances comme le ferait un compas banal; on<br />

peut imaginer qu'il se referme dès que ses <strong>de</strong>ux pointes quittent le papier: d'où le<br />

nom <strong>de</strong> collapsible compass que lui donnent les Anglo-saxons. Dans ces conditions, la<br />

proposition II apparaît comme fondamentale puisqu'elle montre que le compas<br />

« traceur <strong>de</strong> cercles» permet théoriquet~ent <strong>de</strong> transporter les distances. Par suite,<br />

dès la proposition Ill, l'instrument théorique d'Eucli<strong>de</strong> peut être matérialisé par notre<br />

compas courant qui permet, et le tracé <strong>de</strong> cercles connaissant le centre et un point, et le<br />

transport <strong>de</strong> distances. Ce détail montre encore une fois que le souci d'Eucli<strong>de</strong> n'est<br />

nullement la réalisation effective <strong>de</strong>s constructions: il serait incongru <strong>de</strong> réaliser la<br />

construction indiquée à la proposition II chaque fois que l'on veut transporter une<br />

distance!<br />

2. Les procédés <strong>de</strong> construction<br />

2.1. Un point singulier dans l'histoire <strong>de</strong>s mathématiques, la géométrographie<br />

Après avoir montré, dans le paragraphe précé<strong>de</strong>nt, que les problèmes <strong>de</strong><br />

construction sont, pour les mathématiciens, <strong>de</strong>s problèmes <strong>de</strong> constructibilité, il s'agit<br />

<strong>de</strong> renforcer cette idée en étudiant un point singulier <strong>de</strong> l'histoire <strong>de</strong>s mathématiques<br />

(ou, au moins, <strong>de</strong> leur enseignement) : la géométrographie. Dans l'ouvrage déjà cité<br />

<strong>de</strong> Rouché et <strong>de</strong> Comberousse se trouve une note, due à E. Lemoine (8), intitulée Sur<br />

la géométrographie, ou Art <strong>de</strong>s constructions géométriques. Comme l'indique son<br />

auteur, cet « art » a un quadruple objet:<br />

- chiffrer, <strong>de</strong> manière conventionnelle, la simplicité et l'exactitu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<br />

constructions géométriques - ce qui permettra leur comparaison;<br />

- trouver <strong>de</strong>s «procédés pour effectuer, le plus simplement possible, une<br />

construction déterminée indiquée par la Géométrie» ;<br />

- discuter une construction donnée pour en trouver une plus simple;<br />

- enfin, déterminer parmi toutes les constructions possibles d'un même objet<br />

celle qui est la plus simple et que l'on nommera alors la construction<br />

géométrographique.<br />

On voit donc que la géométrographie s'intéresse aux procédés <strong>de</strong> construction<br />

eux-mêmes, en se proposant <strong>de</strong> les comparer afin <strong>de</strong> trouver les plus simples, selon<br />

<strong>de</strong>s critères déterminés. La singularité même <strong>de</strong> cette façon d'envisager l'étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<br />

procédés <strong>de</strong> construction - et, déjà, d'envisager que l'on puisse les étudier pour euxmêmes<br />

- et le peu <strong>de</strong> succès qu'elle a rencontré montre, a contrario, l'omniprésence<br />

<strong>de</strong>s problèmes <strong>de</strong> constructibilité en mathématiques et met en évi<strong>de</strong>nce <strong>de</strong> nouveau, et<br />

d'intersection <strong>de</strong> ce cercle et <strong>de</strong> la droite (BD). Tr.:~cer le cercle <strong>de</strong> centre D passant par E ; on appelle F<br />

le point d'intersection <strong>de</strong> ce cercle avec la droite (AD). Le segment [AF] répond à la question.<br />

8. Ibid., note IV, pp.515-546.


67<br />

<strong>de</strong> manière plus précise encore, la distinction entre démonstration <strong>de</strong> constructibilité et<br />

algorithme <strong>de</strong> construction.<br />

Examinons <strong>de</strong> plus près le travail <strong>de</strong> Lemoine. Il définit d'abord <strong>de</strong>s<br />

« opérations élémentaires <strong>de</strong> construction» <strong>de</strong> la façon suivante:<br />

- faire passer le bord d'une règle par un point est l'opération notée RI ;<br />

- tracer une ligne en suivant le bord <strong>de</strong> la règle est l'opération notée Rz ;<br />

- poser une pointe <strong>de</strong> compas enun point est l'opération Cl ;<br />

- poser une pointe <strong>de</strong> compas en lm point indéterminé d'une ligne est l'opération<br />

- enfin, tracer un cercle est l'opération C3.<br />

Ainsi, par exemple, prendre la distance <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux points donnés sera noté « op.:<br />

(2CI) » ; tracer la droite passant par <strong>de</strong>ux points donnés «op.: (2RI+Rz) ». Pour<br />

chaque procédé <strong>de</strong> construction, moyennant un certain nombre <strong>de</strong> conventions (9), on<br />

sera ainsi en mesure <strong>de</strong> donner un symbole du type<br />

obtenu en faisant la somme <strong>de</strong> chacune <strong>de</strong>s opérations élémentaires. Dans ces<br />

conditions, le nombre 11+lz+ml+mz+m3 sera le coefficient <strong>de</strong> simplicité, le nombre<br />

ll+ml+mzle coefficient d'exactitu<strong>de</strong>, tandis que les nombres 1z et m3 indiqueront<br />

respectivement le nombre <strong>de</strong> droites et <strong>de</strong> cercles tracés.<br />

La construction usuelle <strong>de</strong> la médiatrice d'un segment [AB] obtient le symbole<br />

op.: (2RI+Rz+2CI+2C3) puisqu'elle nécessite le tracé d'un cercle <strong>de</strong> centre A, soit<br />

op.: (CI+C3), du cercle <strong>de</strong> centre B et <strong>de</strong> même rayon, soit encore op.: (CI+C3), et du<br />

r<br />

tracé <strong>de</strong> la droite joignant les points d'intersections, soit op.: (2RI +Rz). Elle a donc<br />

une simplicité <strong>de</strong> 7, une exactitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> 4 et utilise le tracé d'une droite et <strong>de</strong> 2 cercles.<br />

Bien qu'il mentionne quelques constructions utilisant l'équerre (avec, dans ce<br />

cas, d'autres opérations élémentaires), la plupart <strong>de</strong>s constructions étudiées se font à la<br />

règle et au compas: « A la Géométrie canonique <strong>de</strong>s Grecs, qui n'admet que les<br />

solutions par la droite et le cercle, correspondra la Géométrographie canonique qui<br />

admettra seulement la règle et le compas comme instruments <strong>de</strong> construction. » (10).<br />

Le cadre théorique étant dressé, l'auteur étudie par ce moyen un certain nombre<br />

<strong>de</strong> constructions classiques (que l'on trouve usuellement dans les manuels) et montre<br />

qu'en général, non seulement ce ne sont pas <strong>de</strong>s constructions géométrographiques,<br />

mais qu'en plus elles obtiennent souvent <strong>de</strong>s scores élevés, aussi bien en simplicité ­<br />

ce qui, avec la convention adoptée, signifie qu'elles en manquent! - qu'en<br />

exactitu<strong>de</strong> (même remarque) ou en nombre <strong>de</strong> droites et <strong>de</strong> cercles à tracer. Entre<br />

autres, il s'intéresse à la solution proposée par Rouché et <strong>de</strong> Comberousse au<br />

9. Il est par exemple convenu que toute droite tracée et tout cercle tracé le sont en entier, ou encore<br />

que la feuille <strong>de</strong> <strong>de</strong>ssin est aussi gran<strong>de</strong> qu'on le désire, ete. (ibid., pp.515-516).<br />

10. Ibid., p.516. Il est à noter que Lemoine ne cite pas le mot « instrument» à propos <strong>de</strong> la<br />

géométrie grecque, mais parle <strong>de</strong>« solutions par la droite et le cercle ».


68<br />

problème du tracé <strong>de</strong> la bissectrice d'un angle dont on ne connaît pas le sommet Cette<br />

construction obtient le symbole<br />

soit une simplicité <strong>de</strong> 91, une exactitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> 54, avec 9 droites et 28 cercles tracés. Il<br />

propose alors sa construction géométrographique (indiquée ci-<strong>de</strong>ssus), qui, elle,<br />

obtient une simplicité <strong>de</strong> 16, une exactitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> 9, avec 2 droites et 5 cercles (11).<br />

La preuve est là : du point <strong>de</strong> vue du procédé <strong>de</strong> construction, les solutions<br />

proposées par les mathématiciens sont (souvent) <strong>de</strong> mauvaises solutions. Certes,<br />

Lemoine ne fait pas encore siennes les préoccupations du <strong>de</strong>ssinateur, dont le métier<br />

est <strong>de</strong> réaliser <strong>de</strong>s constructions géométriques - certaines contraintes, comme la<br />

précision relative <strong>de</strong>s instruments ou même leur taille, ne sont pas prises en compte -,<br />

mais déjà il s'en rapproche. On pourrait dire qu'il fournit une théorie <strong>de</strong> la pratique du<br />

<strong>de</strong>ssinateur.<br />

A la lumière <strong>de</strong> ce qui précè<strong>de</strong>, on peut alors analyser la solution d'un problème<br />

<strong>de</strong> construction géométrique selon quatre exigences:<br />

1. elle doit fournir une preuve <strong>de</strong> l'existence <strong>de</strong> « l'objet» à construire;<br />

2. elle doit fournir une preuve <strong>de</strong> sa constructibilité;<br />

3. elle doit fournir un algorithme <strong>de</strong> construction;<br />

4. éventuellement, elle peut fournir la construction géométrographique.<br />

Ces exigences sont évi<strong>de</strong>mment « emboîtées» les unes dans les autres,<br />

c'est-à-dire que la satisfaction <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rnière entraîne la satisfaction <strong>de</strong>s trois autres, la<br />

satisfaction <strong>de</strong> l'avant-<strong>de</strong>rnière celle <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux précé<strong>de</strong>ntes, et ainsi <strong>de</strong> suite. Le<br />

problème que l'on se propose d'étudier maintenant a pour but <strong>de</strong> tenter <strong>de</strong> faire vivre<br />

sur un exemple le schéma décrit précé<strong>de</strong>mment<br />

2.2. Etu<strong>de</strong> d'un problème <strong>de</strong> géométrie<br />

Considérons le problème suivant :<br />

Etant donné un triangle ABC, existe-t-i/ une droite perpendiculaire au côté [BCJ<br />

qui partage ce triangle en <strong>de</strong>ux polygones <strong>de</strong> même aire?<br />

Si l'on suit le plan proposé, la première étape consiste donc à prouver l'existence<br />

d'une telle droite. Pour ce faire on peut envisager, par exemple, un raisonnement du<br />

type suivant: imaginons que la droite s~ déplace, <strong>de</strong> manière continue, du point B<br />

vers le point C (en <strong>de</strong>meurant perpendiculaire à [BC]) ; à l'une <strong>de</strong>s extrémités, B, elle<br />

découpe d'un côté un polygone d'aire nulle, soit 0% <strong>de</strong> l'aire du triangle, et <strong>de</strong> l'autre<br />

tout le triangle, soit 100% <strong>de</strong> l'aire du triangle; à l'autre extrémité, C, la situation est<br />

évi<strong>de</strong>mment inversée (100% d'un côté, 0% <strong>de</strong> l'autre) ; ce qui permet <strong>de</strong> conclure<br />

qu'il y a bien un endroit, entre B et C, où l'aire <strong>de</strong> la portion <strong>de</strong> triangle découpée par<br />

11. Son symbole est op.: (4R1+2R2+4C1+C2+5C3), et Lemoine conclut: «De 91 opérations<br />

élémentaires à 16 avec la Géométrographie canonique (...), telles sont les réductions que la<br />

géométrographie conduit à opérer dans la construction <strong>de</strong> ce très simple problème. »


69<br />

la droite, d'un côté comme <strong>de</strong> l'autre <strong>de</strong> celle-ci, est égale à 50% <strong>de</strong> l'aire du triangle.<br />

Sur cette idée-là, il est bien sûr possible <strong>de</strong> bâtir une démonstration rigoureuse, en<br />

utilisant la propriété <strong>de</strong>s valeurs intermédiaires que possè<strong>de</strong>, comme fonction continue,<br />

la fonction qui associe, à la distance <strong>de</strong> la droite au point B, l'aire <strong>de</strong> la portion <strong>de</strong><br />

triangle du côté <strong>de</strong> B.<br />

Admettons donc l'existence d'une position <strong>de</strong> cette droite partageant le triangle<br />

en <strong>de</strong>ux polygones <strong>de</strong> même aire. La question qui vient alors est celle <strong>de</strong> sa<br />

constructibilité à la règle et au compas.<br />

Le problème est résolu si l'on prouve que le point M, en lequel elle coupe [Bc],<br />

est lui-même constructible. Par un calcul simple, on démontre que, si on appelle H le<br />

pied <strong>de</strong> la hauteur issue <strong>de</strong> A et I le milieu <strong>de</strong> [BC], on a l'égalité<br />

2<br />

CM =CH.CI,<br />

<<br />

ce qui signifie donc que la distance <strong>de</strong> C à M est la moyenne proportionnelle <strong>de</strong>s<br />

distances CH et CI. Or, la moyenne proportionnelle <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux distances données est<br />

constructible à la règle et au compas (12). La droite cherchée est donc elle-même<br />

constructible.<br />

On a ainsi fourni une preuve d'existence et une preuve <strong>de</strong> constructibilité sans<br />

fournir aucun procédé effectif d'obtention <strong>de</strong> cette droite. L'étape suivante consisterait<br />

donc à obtenir un algorithme <strong>de</strong> construction puis, éventuellement, à chercher la<br />

construction géométrographique <strong>de</strong> çette droite. On a ainsi, <strong>de</strong> manière un peu<br />

artificielle et à propos d'un problème précis, accentué les différences <strong>de</strong> point <strong>de</strong> vue<br />

entre les questions <strong>de</strong> constructibilité et les questions <strong>de</strong> construction.<br />

3. La notion <strong>de</strong> constructibilité<br />

3.1. Trois problèmes célèbres<br />

Nous avons vu qu'une notion importante <strong>de</strong> la mathématique grecque est celle <strong>de</strong><br />

constructibilité à la règle et au compas. Or trois problèmes se révélèrent rapi<strong>de</strong>ment<br />

« intraitables» :<br />

- la quadrature du cercle, soit la construction, à la règle et au compas, d'un carré<br />

d'aire égale à celle d'un cercle donné;<br />

-la duplication du cube, soit la construction, à la règle et au compas, d'un cube<br />

<strong>de</strong> volume double d'un cube donné;<br />

- la trisection <strong>de</strong> l'angle, soit la construction, à la règle et au compas, <strong>de</strong>s <strong>de</strong>midroites<br />

partageant un angle en trois angles égaux (13).<br />

12. Pour une preuve <strong>de</strong> cette constructibilité, voir par exemple la proposition XIV du livre II <strong>de</strong>s<br />

Eléments d'Eucli<strong>de</strong>.<br />

13. Un quatrième problème, sur lequel nous ne nous attar<strong>de</strong>rons pas, a lui aussi résisté durant <strong>de</strong>s<br />

siècles: il s'agit <strong>de</strong> la construction à la règle et au compas <strong>de</strong>s polygones réguliers ayant un nombre<br />

<strong>de</strong> côtés quelconque (supérieur ou égal à 3).


70<br />

Chacun <strong>de</strong> ces problèmes a, durant quelque 24 siècles, défié les mathématiciens.<br />

De nombreuses solutions ont été proposé~s, les unes approchées (celle, par exemple,<br />

d'Hippocrate <strong>de</strong> Chios, au V e siècle avant J.-c., ou encore, plus près <strong>de</strong> nous, en<br />

1913, celle <strong>de</strong> Srinivasa Ramanujan, toutes <strong>de</strong>ux concernant la quadrature du cercle),<br />

d'autres nécessitant, en plus <strong>de</strong> la règle et du compas, une courbe auxiliaire tracée dans<br />

le plan. C'est ainsi que, par exemple, la conchoï<strong>de</strong> <strong>de</strong> Nicomè<strong>de</strong> permet la trisection <strong>de</strong><br />

l'angle (et aussi la duplication du cube) ; les coniques <strong>de</strong> Menechme, la duplication du<br />

cube; et la quadratrice <strong>de</strong> Dinostrate, la quadrature du cercle (ainsi que la trisection <strong>de</strong><br />

l'angle).<br />

En réalité, ce <strong>de</strong>uxième type <strong>de</strong> solution était considéré par les Grecs comme tout<br />

aussi approché. En effet, si la courbe peut être construite point par point à la règle et au<br />

compas (14), on ne peut cependant construire qu'un nombre fini <strong>de</strong> points. Il faut<br />

donc, à la main, compléter la courbe par un trait continu, et on comprend alors que les<br />

Grecs n'aient attribué qu'un caractère approché aux constructions qu'on pouvait en<br />

tirer. De telles solutions sont appelées <strong>de</strong>s solutions graphiques.<br />

Il pouvait exister aussi un procédé mécanique permettant <strong>de</strong> tracer la courbe <strong>de</strong><br />

manière continue: on appelait mécaniques les solutions ainsi obtenues. Bien qu'il en<br />

soit ainsi pour le tracé <strong>de</strong>s cercles et <strong>de</strong>s droites (pour lesquels le compas et la règle<br />

sont les procédés mécaniques), l'emploi <strong>de</strong> tels procédés était perçu comme« altérant<br />

la pureté <strong>de</strong> la géométrie». Nous laisserons <strong>de</strong> côté l'examen <strong>de</strong>s raisons expliquant<br />

cette répugnance pour les solutions mécaniques ou graphiques. Signalons seulement<br />

qu'en 1775 l'Académie <strong>de</strong>s Sciences <strong>de</strong> Paris, « submergée par les manuscrits <strong>de</strong><br />

trisecteurs, duplicateurs et quadrateurs <strong>de</strong> toutes sortes, refuse désormais <strong>de</strong> lire ce<br />

genre <strong>de</strong> travaux. » (15).<br />

Ces trois problèmes résistent donc, et il faudra, pour parvenir à les résoudre,<br />

donner une meilleure définition <strong>de</strong> ce que l'on peut entendre par « point constructible<br />

à la règle et au compas ». En fait, on sait, <strong>de</strong>puis Descartes, que toute longueur<br />

obtenue comme expression algébrique <strong>de</strong> longueurs données ne contenant que <strong>de</strong>s<br />

radicaux carrés est constructible à la règle et au compas. Mais cet énoncé est encore<br />

trop vague. fi faudra attendre le XIX e siècle pour que ces notions soient précisées.<br />

32. Points et nombres constructibles<br />

Etant donné un ensemble fini <strong>de</strong> points, que l'on appellera les points <strong>de</strong> base, on<br />

dira qu'un point est constructible à la règle et au compas s'il peut être obtenu comme<br />

l'intersection <strong>de</strong> droites et <strong>de</strong> cercles eux-mêmes constructibles, c'est-à-dire définis à<br />

partir <strong>de</strong>s points <strong>de</strong> base et <strong>de</strong>s points déjà construits. Une droite est réputée<br />

constructible quand <strong>de</strong>ux <strong>de</strong> ses points le sont; un cercle, quand son centre et l'un <strong>de</strong><br />

14. Il faut noter ici que, contrairement à la conchoï<strong>de</strong> <strong>de</strong> Nicomè<strong>de</strong> et aux coniques <strong>de</strong> Menechme,<br />

la quadratrice <strong>de</strong> Dinostrate ne peut pas être construite point par point à la règle et au compas: on ne<br />

peut en obtenir qu'un certain nombre (infmi) d'entre eux.<br />

15. Extrait <strong>de</strong> Carrega 1981. Dans tout ce chapitre nous avons beaucoup emprunté à cet ouvrage,<br />

ainsi qu'à Lebesgue 1949. On s'y reportera avec profit pour davantage d'éclaircissements.


71<br />

ses points sont constructibles (16). Dans tout ce qui suit, nous prendrons <strong>de</strong>ux<br />

points, 0 et l, pour seuls points <strong>de</strong> base.<br />

On démontre qu'à partir <strong>de</strong> ces <strong>de</strong>ux points, on peut construire un repère<br />

orthonormé (0,1)) et l'on peut donc considérer les coordonnées, dans ce repère, <strong>de</strong>s<br />

points constructibles. On dira alors qu'un nombre est constructible s'il est l'une <strong>de</strong>s<br />

coordonnées dans le repère (0,1)) d'un point constructible.<br />

C'est l'étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> l'ensemble <strong>de</strong>s nombres constructibles, au sens donné ci<strong>de</strong>ssus,<br />

qui permettra <strong>de</strong> résoudre les problèmes précé<strong>de</strong>nts. Appelons W cet<br />

ensemble. Nous savons déjà que cet ensemble contient 0 et 1 (puisque ce sont les<br />

abscisses <strong>de</strong>s points <strong>de</strong> base 0 et 1). En fait, on démontre le résultat suivant:<br />

l'ensemble West un sous-corps <strong>de</strong> R, stable par racine carrée. n suffit <strong>de</strong> démontrer<br />

que la somme et le produit <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux nombres constructibles sont constructibles, que<br />

l'opposé et l'inverse d'un nombre constructible sont constructibles et, enfin, que la<br />

racine carrée d'un nombre constructibl~ positif ou nul est constructible (17).<br />

Ce résultat nous permet <strong>de</strong> prouver que tout nombre rationnel est constructible,<br />

puisque Q est le plus petit sous-corps <strong>de</strong> R et que la racine carrée <strong>de</strong> tout nombre<br />

rationnel est aussi constructible (par exemple, le nombre (2 + ..J3 + ..J5)1..J3 est donc<br />

constructible (18)).<br />

3.3. Le résultat <strong>de</strong> Wantzel<br />

Afm <strong>de</strong> mieux caractériser les nombres constructibles, il est nécessaire d'utiliser<br />

certaines notions <strong>de</strong> la théorie <strong>de</strong>s extensions <strong>de</strong> corps. On rappelle que l'on note<br />

Q(al,a2'...,an) le plus petit sous-corps <strong>de</strong> R contenant al' a2,... , an, c'est-à-dire<br />

l'intersection <strong>de</strong> tous les sous-corps <strong>de</strong> R contenant al' a2,... , an. D'une manière<br />

générale, si K et L sont <strong>de</strong>ux corps tels que K est inclus dans L, on dit que L est une<br />

extension <strong>de</strong> K. Ainsi, par exemple, le corps <strong>de</strong>s nombres complexes est une<br />

extension du corps <strong>de</strong>s nombres réels.<br />

Si L est une extension du corps K, alors L peut être considéré comme un espace<br />

vectoriel sur le corps K ; la dimension <strong>de</strong> cet espace vectoriel est appelée le <strong>de</strong>gré <strong>de</strong><br />

l'extension. D'autre part, si a appartient à L, on dit que a est algébrique sur K s'il<br />

existe un polynôme (non nul) à coefficients dans K dont a est un zéro (si a n'est pas<br />

16. Définir un cercle par son centre et l'un <strong>de</strong> ses points revient à considérer le compas comme un<br />

simple traceur <strong>de</strong> cercles. Si l'on veut qu'il soit aussi un transporteur <strong>de</strong> distances, on peut alors défmir<br />

un cercle par la donnée <strong>de</strong> son centre et <strong>de</strong> la distance <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux points <strong>de</strong> base ou déjà construits. En fait,<br />

comme nous l'avons déjà vu, un traceur <strong>de</strong> cercle est aussi un transporteur <strong>de</strong> distances. En effet, pour<br />

construire le cercle <strong>de</strong> centre A et <strong>de</strong> rayon ~C il suffit <strong>de</strong> construire la médiatrice <strong>de</strong> [AB], puis le<br />

symétrique C' <strong>de</strong> C par rapport à cette médiatrice (constructions qui se font toutes <strong>de</strong>ux avec un traceur<br />

<strong>de</strong> cercles) : le cercle cherché est le cercle <strong>de</strong> centre A passant par C'.<br />

17. Pour cette <strong>de</strong>rnière démonstration par exemple, on produit un algorithme <strong>de</strong> construction qui<br />

consiste à tracer un <strong>de</strong>mi-cercle <strong>de</strong> diamètre [AB] où AB =AH+HB (avec H appartenant à [AB],<br />

AH =a (a positif ou nul) et HB =1), puis <strong>de</strong> considérer le segment [HM] où M est l'intersection <strong>de</strong><br />

ce <strong>de</strong>mi-cercle avec la perpendiculaire à [AB] en H : on démontre alors que HM = ..Ja.<br />

18. Au passage on retrouve cette idée qu'une chose est <strong>de</strong> savoir si tel objet (point, nombre,<br />

figure) est constructible, autre chose d'être capable d'en donner une construction!


72<br />

algébrique, il est dit transcendant sur K). Par exemple, le nombre i est algébrique sur<br />

Q puisqu'il est un zéro du polynôme x2+1 dont les coefficients (1,0,1) appartiennent à<br />

Q. Parmi tous les polynômes à coefficients dans K admettant le nombre algébrique a<br />

comme zéro, il en existe un (et un seul) possédant les caractéristiques suivantes:<br />

- il est irréductible dans K[X] ;<br />

- son terme <strong>de</strong> plus haut <strong>de</strong>gré est 1 (unité <strong>de</strong> K).<br />

On l'appelle le polynôme minimal <strong>de</strong> a sur K. Si n est le <strong>de</strong>gré du polynôme<br />

minimal du nombre a sur K, on dit que a est algébrique <strong>de</strong> <strong>de</strong>gré n sur K. Ainsi, par<br />

exemple, le nombre i est algébrique <strong>de</strong> <strong>de</strong>gré 2 sur Q (on démontre que x 2 +1 est son<br />

polynôme minimal).<br />

Moyennant ces considérations, on peut alors démontrer un résultat décisif pour<br />

la résolution <strong>de</strong> nos trois problèmes, résultat obtenu en 1837 par un répétiteur à l'Ecole<br />

Polytechnique, Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848) : tout nombre constructible est<br />

algébrique sur Q et son <strong>de</strong>gré est une puissance <strong>de</strong> 2. Le corps <strong>de</strong>s nombres<br />

constructibles est donc inclus dans le corps <strong>de</strong>s nombres algébriques et l'inclusion est<br />

stricte. Ce résultat, dont la réciproque est fausse, ne caractérise pas entièrement les<br />

nombres constructibles mais est particulièrement utile pour prouver que <strong>de</strong>s nombres<br />

ne sont pas constructibles. C'est <strong>de</strong> cette manière que nous allons l'utiliser.<br />

3.4. La réponse aux trois problèmes<br />

Le nombre 7t, qui n'est pas algébrique sur Q (19), n'est donc pas constructible.<br />

Si en effet la quadrature du cercle était possible, on pourrait construire un carré <strong>de</strong> côté<br />

-V7t, donc le nombre -V7t serait constructible et il en serait <strong>de</strong> même <strong>de</strong> 7t (puisqu'il est<br />

égal au carré <strong>de</strong> -V7t). Ceci fournit donc la preuve <strong>de</strong> l'impossibilité <strong>de</strong> la quadrature du<br />

cercle.<br />

De la même manière, si la duplication du cube (d'arête 1) était possible, la racine<br />

cubique <strong>de</strong> 2 serait un nombre constructible. Or, son polynôme minimal est<br />

évi<strong>de</strong>mment X3-2. Son <strong>de</strong>gré est donc 3, qui n'est pas une puissance <strong>de</strong> 2. D'après le<br />

résultat <strong>de</strong> Wantzel, il n'est pas constructible. D'où l'impossibilité <strong>de</strong> la duplication du<br />

cube.<br />

En ce qui concerne la trisection <strong>de</strong> l'angle, le problème est un peu plus délicat. Il<br />

s'agit <strong>de</strong> prouver qu'il y a <strong>de</strong>s angles non trisectables. (On sait évi<strong>de</strong>mment trisecter<br />

certains angles, ne serait-ce que, par exemple, l'angle droit, puisque l'angle 7t/6 est<br />

constructible.) Nous allons montrer que l'angle 7t/3 n'est pas trisectable, et pour ce<br />

faire, nous allons montrer que l'angle 7t/9 n'est pas constructible. S'il l'était,<br />

l'intersection M du cercle <strong>de</strong> centre 0 passant par 1 et <strong>de</strong> la <strong>de</strong>mi-droite [OA) telle que<br />

l'angle (IOA) ait pour mesure 7t/9 serait un point constructible et donc le nombre<br />

cos(7t/9) serait un nombre constructible en tant qu'abscisse d'un point constructible, le<br />

point M. Il nous suffit alors <strong>de</strong> prouver qu'en fait le nombre cos(7t/9) n'est pas<br />

19. Ce résultat sera en fait établi plus tard, en 1882, par Ferdinand Lin<strong>de</strong>nmann (1852-1939) et<br />

mettra ainsi un point [mal - négativement - à la fameuse question <strong>de</strong> la quadrature du cercle.


73<br />

constructible. La formule classique cost = 4cos3(t/3)-3cos(t/3) montre que cos(1t/9)<br />

est racine du polynôme<br />

P(X) = 4X3-3X-1/2<br />

et il suffit <strong>de</strong> prouver que le polynôme P(X)/4 est son polynôme minimal. Soit p/q un<br />

rationnel irréductible racine <strong>de</strong> P(X). On a (en multipliant par 2q3)<br />

8p3-6pq2_q3 = 0<br />

soit encore 8p3-6pq2 = q3. Ainsi, p divise q3 et, puisque ces nombres sont premiers<br />

entre eux, il vient p = 1 ou P =-1. E~Jécrivant maintenant l'égalité ci-<strong>de</strong>ssus sous la<br />

forme 8p3 = q3+6pq2, on voit que q dtvise 8p3 et que, par conséquent q peut prendre<br />

l'une quelconque <strong>de</strong>s valeurs 1, -1, 2, -2. D'où les quatre valeurs possibles <strong>de</strong> p/q :<br />

1, -1, 1/2, -1/2. On vérifie qu'aucune d'entre elles n'est racine <strong>de</strong> P(X). Ainsi le<br />

nombre cos(1t/9) est algébrique sur Q et <strong>de</strong> <strong>de</strong>gré 3. TI n'est donc pas constructible, et<br />

il en est alors <strong>de</strong> même <strong>de</strong> l'angle 1t/9. Il en résulte que l'angle 1t/3 n'est pas<br />

trisectable.<br />

3.5. Systèmes d'instruments<br />

La caractérisation <strong>de</strong>s nombres constructibles pennet en outre <strong>de</strong> faire varier le<br />

système d'« instruments », ou, plus exactement, <strong>de</strong> donner une caractérisation <strong>de</strong>s<br />

nombres constructibles avec d'autres instruments que la règle et le compas. En<br />

particulier, on pourra dire que <strong>de</strong>ux systèmes sont équivalents s'ils définissent le<br />

même ensemble <strong>de</strong> nombres constructibles. Il faut aussi rappeler ce que l'on entend<br />

par «règle» - instrument à un seul bord rectiligne, supposé illimité et sans<br />

graduation ni marque -, et par « compas» - instrument permettant <strong>de</strong> tracer le cercle<br />

<strong>de</strong> centre donné passant par un point donné (mais ne permettant pas le transport <strong>de</strong><br />

distances).<br />

La première idée qui vient à l'e$prit est d'essayer <strong>de</strong> faire « aussi bien» mais<br />

avec le moins possible d'instruments. bue se passe-t-il si l'on supprime la règle? Si<br />

l'on convient <strong>de</strong> dire qu'une droite est construite lorsque sont construits <strong>de</strong>ux <strong>de</strong> ses<br />

points, alors tout ce qui est constructible à la règle et au compas l'est aussi à l'ai<strong>de</strong> du<br />

compas seul. Autrement dit, les systèmes « règle et compas» et « compas» sont<br />

équivalents. Cela signifie donc que tout point obtenu comme intersection d'une droite<br />

et d'un cercle, ou d'une droite et d'une droite, ou d'un cercle et d'un cercle, peut être<br />

obtenu comme intersection <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux cercles. Cela signifie encore que, pour toute<br />

construction obtenue àla règle et au compas, il existe un algorithme réalisant la même<br />

construction mais utilisant le compas seulement. Si dans certains cas, comme la<br />

construction <strong>de</strong> la médiatrice d'un segment ou <strong>de</strong> la bissectrice d'un angle, le résultat<br />

semble trivial, il n'en est pas toujours ainsi: que l'on songe par exemple à la<br />

construction du centre (que l'on aurait perdu) d'un cercle donné (20).<br />

Cette « géométrie du compas» avait été étudiée par le Danois Georg Mohr dans<br />

un ouvrage, publié en 1672, et intitulé Eucli<strong>de</strong>s Danicus. Mais le travail <strong>de</strong> Mohr resta<br />

20. Ce problème - construire le centre d'un cercle donné avec le compas seulement - est resté<br />

célèbre sous le nom <strong>de</strong> problème <strong>de</strong> Napoléon.


14<br />

longtemps ignoré. Quelque 125 ans plus tard, le géomètre italien Mascheroni écrivit<br />

une Geometria <strong>de</strong>i Compasso qui <strong>de</strong>vait attirer l'attention sur ces problèmes.<br />

La question <strong>de</strong> la suppression du compas est, elle, beaucoup plus délicate. Avant<br />

<strong>de</strong> l'abor<strong>de</strong>r, voyons ce que l'on peut faire avec une règle et un compas... rouillé,<br />

c'est-à-dire, un compas qui ne peut tracer que <strong>de</strong>s cercles <strong>de</strong> même rayon (seul le<br />

centre pouvant varier). On démontre que ce système est, en fait, équivalent au système<br />

«règle et compas». Ainsi ne perd-on rien, si l'on peut dire, en remplaçant le compas<br />

par un compas rouillé (21) !<br />

Supprimons maintenant le compas et remplaçons-le par un cercle <strong>de</strong>ssiné dans le<br />

plan avec son centre. Là encore, on ne perd rien, c'est-à-dire que ce système est<br />

équivalent lui aussi au système «règle et compas ». Supprimons complètement le<br />

compas et « enrichissons» notre règle en lui ajoutant un <strong>de</strong>uxième bord rectiligne,<br />

parallèle ou non au premier: le système obtenu est encore équivalent au système<br />

« règle et compas ».<br />

Ce n'est que si l'on considère la règle seule que l'on obtient un système<br />

strictement plus faible. On démontre en effet que le corps <strong>de</strong>s nombres constructibles à<br />

la règle seule est le plus petit sous-corps 4e R, soit le corps Q <strong>de</strong>s nombres rationnels.<br />

Bien d'autres systèmes d'instruments peuvent être utilisés et étudiés dans cette<br />

perspective. On citera, par exemple, le transporteur <strong>de</strong> distances (compas à pointes<br />

sèches) ou le bissecteur (tout appareil permettant <strong>de</strong> bissecter les angles) : les<br />

systèmes que chacun <strong>de</strong> ces instruments forme en association avec la règle sont<br />

strictement plus faibles que le système « règle et compas ». Mentionnons aussi les<br />

pliages, ainsi que la règle marquée (c'est-à-dire comportant <strong>de</strong>ux marques fixes), qui<br />

permet <strong>de</strong> trisecter les angles.<br />

On voit donc que la notion <strong>de</strong> constructibilité, dominante en mathématique, est<br />

mathématiquement bien définie; et qu'elle l'est indépendamment <strong>de</strong> toute référence à<br />

<strong>de</strong>s algorithmes <strong>de</strong> construction particuliers. Mais ces considérations ne permettent pas<br />

encore <strong>de</strong> prendre en compte le passage effectif au <strong>de</strong>ssin sur papier, c'est-à-dire à ce<br />

que nous appellerons les procédés <strong>de</strong> tracé.<br />

La confusion essentielle à cet égard semble bien se situer dans le fait que<br />

« constructibilité à la règle et au compas» - expression qui désigne une certaine<br />

classe <strong>de</strong> problèmes - a pris subrepticement le sens <strong>de</strong> « tracé avec les instrwnents<br />

que sont la règle et le compas ». Or, comme nous l'avons vu chez Eucli<strong>de</strong>, les figures<br />

sont <strong>de</strong>s idéalités, <strong>de</strong>s entités immatérielles, et la « règle» et le « compas» sont, <strong>de</strong><br />

même, <strong>de</strong>s instruments idéels: la règle est illimitée, sans marque aucune et n'a qu'un<br />

seul bord; le compas est un collapsible compass et ne permet donc que le tracé <strong>de</strong><br />

cercles. De plus, les <strong>de</strong>ssins n'y sont que <strong>de</strong>s représentations - nécessairement<br />

imparfaites - <strong>de</strong> ces idéalités et ne sont là que pour ai<strong>de</strong>r le raisonnement. On<br />

comprend alors que traduire les problèmes euclidiens <strong>de</strong> constructions à la règle et au<br />

compas en termes <strong>de</strong> « tracés n'utilisant comme seuls instruments <strong>de</strong> <strong>de</strong>ssin que la<br />

règle et le compas» constitue un changement <strong>de</strong> problématique et le passage du point<br />

<strong>de</strong> vue du mathématicien à un/aux point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong> <strong>de</strong>ssinateur - faux, puisque c'est là<br />

introduire <strong>de</strong>s contraintes étrangères à son art.<br />

21. L'idée, qui peut paraître saugrenue, <strong>de</strong> remplacer le compas par un compas rouillé, est pourtant<br />

très ancienne: on la trouve en 980 chez le géomètre arabe Abu! Wafa (Coolidge 1948, p.57).


75<br />

4. Constructions et procédés <strong>de</strong> tracé<br />

Les liens entre construction et constructibilité en géométrie euclidienne sont<br />

maintenant suffisamment clairs pour que nous puissions interroger les « pratiques <strong>de</strong><br />

tracés graphiques ou géométriques ». Notre but est, dans un premier temps, d'en<br />

repérer les caractères originaux et <strong>de</strong> les situer clairement par rapport aux constructions<br />

et aux problèmes <strong>de</strong> constructibilité.<br />

Afin que ce texte prenne tout son sens pour le lecteur, il est nécessaire que celuici<br />

accepte <strong>de</strong> se laisser gui<strong>de</strong>r pas à pas sur les chemins qu'il propose...<br />

4.1. Un tracé précis n'est pas une construction<br />

Soit à résoudre le problème suivant : tracer un triangle ABC dont on connaît les<br />

longueurs a, b et c <strong>de</strong>s trois côtés, à l'ai<strong>de</strong> d'une règle et d'un transporteur <strong>de</strong><br />

distances (une ban<strong>de</strong> <strong>de</strong> papier marquée aux trois longueurs, par exemple). Voici le<br />

procédé que nous considèrerons :<br />

si a est la plus gran<strong>de</strong> <strong>de</strong>s trois longueurs, placer <strong>de</strong>ux points B et<br />

C tels que BC =a ,. dans une direction quelconque, placer un point Al<br />

à la distance c du point B, puis vérifier que AlC = b. Si c'est le cas, le<br />

triangle est tracé,. sinon, placer A2 sur la <strong>de</strong>mi-droite [CAl) tel que<br />

A2C = b,. vérifier que A2B = c ,. si ce n'est pas le cas, placer, sur la<br />

<strong>de</strong>mi-droite [BA3), le point A3 tel que A3B =c. On réitère le procédé<br />

jusqu'à ce que les points An et An-1 ne soient matériellement plus<br />

distinguables.<br />

En pratique, le triangle est tracé en quelques itérations avec une précision telle<br />

qu'il n'est pas possible <strong>de</strong> contester graphiquement le tracé obtenu. Les élèves <strong>de</strong><br />

Collège qui ont oublié leur compas l'utilisent assez fréquemment « en cachette du<br />

professeur» - quitte à augmenter le tracé <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux « croisillons » passant par A, afin<br />

d'ajouter à la mystification.<br />

Il est clair que cette solution n'est pas une ~onstruction exacte: construction<br />

approchée, elle résulte d'une suite infmie <strong>de</strong> tracés... dont il faudrait encore montrer la<br />

« convergence ». L'existence d'une solution n'est donc pas réglée par ce procédé<br />

qui, en l'état, fournit une solution prat~que... quand il en fournit une! (Il peut ne pas<br />

exister <strong>de</strong> triangle correspondant aux trois longueurs données.) C'est là le principal<br />

reproche que l'on peut faire à ce procédé: n'offrant pas la possibilité <strong>de</strong> prévoir<br />

l'éventuelle inexistence du triangle, il ne permet pas non plus <strong>de</strong> réaliser une<br />

« expérience» ni d'interpréter son échec éventuel. La connaissance du rôle <strong>de</strong><br />

l'inégalité triangulaire est ici aussi peu pertinente que l'est la connaissance <strong>de</strong>s notions<br />

d'abaque circulaire et <strong>de</strong> graphe d'un homomorphisme bilinéaire pour lire la balance <strong>de</strong><br />

l'épicier lorsque le prix unitaire ne figure pas sur l'aiguille indicatrice. Le procédé<br />

présenté s'apparente alors à une pratique quotidienne non réfléchie qui ne fournit pas<br />

les outils <strong>de</strong> modélisation adéquats.


76<br />

42. Construction exacte et tracé approché<br />

Considérons le problème suivant : étant données <strong>de</strong>ux droites D et D' parallèles<br />

et un point A extérieur à ces <strong>de</strong>ux droites, on veut tracer à la règle seule la parallèle aux<br />

<strong>de</strong>ux droites passant par A. On trouvera une réponse à ce problème en consultant la<br />

figure ci-<strong>de</strong>ssous.<br />

En comparant ce type <strong>de</strong> procédé à celui que nous avons examme<br />

précé<strong>de</strong>mment, nous pouvons dire que le premier est théoriquement approché mais<br />

qu'il est techniquement tout à fait acceptable; et que le second, quoique théoriquement<br />

exact, ne donne que très approximativement ce qu'il prétend fournir. Ainsi, le premier<br />

satisferait pleinement le <strong>de</strong>ssinateur mais serait rejeté par le mathématicien : les points<br />

<strong>de</strong> vue seraient inversés en ce qui concerne le second type <strong>de</strong> procédé.<br />

Ce clivage est patent dès lors que l'on a affaire à un cas <strong>de</strong> non constructibilité.<br />

Pour le <strong>de</strong>ssinateur il existe toujours un algorithme <strong>de</strong> construction, exact ou<br />

approché, nécessitant tels ou tels instruments, lui permettant <strong>de</strong> réaliser son projet. La<br />

notion <strong>de</strong> non constructibilité - et, par suite, celle <strong>de</strong> constructibilité - <strong>de</strong>vient, en<br />

conséquence, caduque <strong>de</strong> son point <strong>de</strong> vue. Elle n'a guère <strong>de</strong> pertinence graphique ;<br />

elle conserve pourtant toute sa pertinence mathématique.<br />

Une bibliographie relative aux thèmes traités dans cette partie sera fournie au lecteur avec la<br />

<strong>de</strong>uxième partie du travail présenté.<br />

1


77<br />

ACTIVITE... FRACTIONS DANS UN CARRE<br />

Philibert CLAPPONT<br />

<strong>IREM</strong> <strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong><br />

•<br />

Quelle fraction du carré représente la partie coloriée?<br />

«petit x~ nO 27 p. 77, 1990-1991


78<br />

Bientôt "Cabriole"<br />

le journal <strong>de</strong>s utilisateurs <strong>de</strong> CABRI-GEOMETRE<br />

Depuis près <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux ans qu'il est diffusé largement, le logiciel CABRI-Géomètre ("LE GEOMETRE"<br />

sur PC) a séduit beaucoup <strong>de</strong> mon<strong>de</strong> en France comme dans <strong>de</strong> nombreux pays.<br />

Son caractère "ouvert" permet chaque jour à <strong>de</strong> simples utilisateurs <strong>de</strong> découvrir <strong>de</strong>s applications<br />

originales auxquelles ses concepteurs n'avaient pas songé.<br />

Il est temps <strong>de</strong> coordonner les idées et les initiatives gran<strong>de</strong>s et petites, <strong>de</strong> tous les passionnés <strong>de</strong><br />

Cabri, dans une sorte <strong>de</strong> "fan club" animé par une revue que nous proposons d'appeler "Cabriole".<br />

La revue s'adressera à un public très large: tout enseignant utilisateur du logiciel pourra y trouver <strong>de</strong>s<br />

exemples d'application en classe pouvant lui servir au quotidien. Tous sont dès maintenant invités à<br />

nous adresser <strong>de</strong>s contributions même mo<strong>de</strong>stes.<br />

Voici, à titre indicatif quelques exemples <strong>de</strong> rubriques :<br />

- Cabri en classe<br />

Propositions d'activités, <strong>de</strong>scription d'utilisation en classe, bilan d'expériences, débat<br />

pédagogique.<br />

- Dialogue avec les concepteurs<br />

Bugs et <strong>de</strong>bugs, suggestions, informations sur les nouvelles versions...<br />

- Comment faire •••?<br />

Réponses techniques, "astuces" à dévoiler...<br />

- Cabri dans l'actualité<br />

Information rapi<strong>de</strong> sur la diffusion, les manifestations, publications... concernant Cabri.<br />

Le but <strong>de</strong> cette feuille d'information est <strong>de</strong> structurer un groupement d'intérêt en recueillant et en<br />

diffusant <strong>de</strong>s idées d'utilisation en coordination avec les concepteurs <strong>de</strong> CABRI.<br />

Le comité <strong>de</strong> rédaction mis en place pour lancer "Cabriole" attend vos réactions, vos propositions<br />

d'articles ou <strong>de</strong> "nouvelles brèves". Adressez-nous si possible <strong>de</strong>s disquettes (MAC ou PC) sous Word<br />

ou Works (et Cabri) en même temps qu'un tirage écrit<br />

Le premier numéro sortira début octobre<br />

A vos Cabris, claviers et souris !<br />

Comité <strong>de</strong> rédaction <strong>de</strong> "Cabriole" :<br />

Bernard CAPPONI (LSD2 - IMAG)1 ; Gilles MOUNIER (CIAP)2 ; Gérard VNIER (<strong>IREM</strong>)3<br />

Ecrire à : "CABRIOLE"<br />

ClAP<br />

Université <strong>Joseph</strong> <strong>Fourier</strong><br />

B.P. 53 X<br />

38041 <strong>Grenoble</strong> ce<strong>de</strong>x<br />

"Cabriole" sera envoyé 'gratuitement à tous ceux<br />

qui en feront la <strong>de</strong>man<strong>de</strong>.<br />

1 LSD2 : Laboratoire <strong>de</strong> Structures Discrètes et <strong>de</strong> Didactique (lMAG)<br />

2 ClAP: Centre Informatique et Applications Pédagogiques (UJF)<br />

3 <strong>IREM</strong> : Institut <strong>de</strong> Recherche sur l'Enseignement <strong>de</strong>s Mathématiques (UJF)<br />

«petit X~ nO 27 p. 78, 1990-1991


79<br />

PUBLICATIONS<br />

DE L'<strong>IREM</strong> DE GRENOBLE<br />

POUR LE PREMIER CYCLE.<br />

ACTIVITES MATHEMATIQUES AU PREMIER CYCLE<br />

• Le nombre décimal en 6ème<br />

• Arithmétiques au collège<br />

• Activités géométriques en 6ème-Sème<br />

• Introduction à la géométrie dans l'espace - Activité pour la Sème<br />

4S F<br />

43 F<br />

48 F<br />

38 F<br />

MATCHINETTES<br />

• Matchinettes 1 et 3 (les <strong>de</strong>ux)<br />

22 F<br />

JEOMATRI<br />

• Mathématiques en 6ème - <strong>IREM</strong> <strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong> et éditions Ophrys (1986)*<br />

• Mathématiques en Sème - <strong>IREM</strong> <strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong> et éditions Ophrys (1987)*<br />

• Mathématiques en 4ème - éditions Ophrys - Gap (1979)*<br />

• Mathématiques en 3ème - éditions Ophrys - Gap (1980)*<br />

NOUVEAUTES<br />

• Calcul mental <strong>de</strong> 10 à 90 ans. J. Kuntzmann<br />

• Disquette mathématiques collège version 2.0<br />

• Syrnreflo (+ disquette)<br />

• Dessine-moi un vecteur...<br />

• LOGO pour les petits et les grands<br />

• Jeux-réfléchis (+ disquette)<br />

38 F<br />

60 F<br />

48 F<br />

67 F<br />

67 F<br />

SO F<br />

Adresser vos comman<strong>de</strong>s à<br />

I.R.E.M. <strong>de</strong> <strong>Grenoble</strong><br />

B.P. 41<br />

38402 Saint-Martin-d'Hères<br />

* Pour ces publications s'adresser à : éditions OPHRYS - 05002 GAP


80<br />

LISTE DES AUTEURS AYANT PARTICIPE A CE NUMERO<br />

Danielle BERGUE<br />

Groupe didactique<br />

<strong>IREM</strong> <strong>de</strong> Rouen<br />

B.P. 27<br />

76130 MONT SAINT AIGNAN<br />

Jacqueline BORREANI<br />

Groupe didactique<br />

<strong>IREM</strong> <strong>de</strong> Rouen<br />

B.P.27<br />

76130 MONT SAINT AIGNAN<br />

Yves CHEVALLARD<br />

<strong>IREM</strong> d'Aix-Marseille<br />

70, route Léon Lachamp, case 901<br />

13288 MARSEILLE-CEDEX<br />

Michel JULLIEN<br />

<strong>IREM</strong> d'Aix-Marseille<br />

70, route Léon Lachamp, case 901<br />

13288 MARSEILLE-CEDEX<br />

Brigitte POULAIN<br />

Groupe didactique<br />

<strong>IREM</strong> <strong>de</strong> Rouen<br />

B.P.27<br />

76130 MONT SAINT AIGNAN<br />

LOUIS-JEAN<br />

avenue d'Embrun, 05003 GAP ce<strong>de</strong>x<br />

Tél. : 92.53.17.00<br />

Dépôt légal: 479 - Juin 1991<br />

Imprimé en France

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