Les carrés magiques - Numilog
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A - <strong>Les</strong> carrés <strong>magiques</strong><br />
1. Définitions<br />
<strong>Les</strong> carrés <strong>magiques</strong> sont des assemblages des éléments d’une suite<br />
de nombres limitée distribués sur un graphe de forme carrée. ils ont la<br />
propriété de donner :<br />
- des lignes ;<br />
- des colonnes ;<br />
- deux diagonales<br />
ayant toutes la même valeur.<br />
On appelle somme magique la somme des nombres disposés sur<br />
une même ligne, colonne ou diagonale.<br />
Exemple. Le carré magique de 3.<br />
La somme des nombres disposés dans<br />
chaque colonne, chaque ligne ou chaque<br />
diagonale donne la valeur 15.<br />
On remarquera le positionnement<br />
particulier des nombres pairs et des nombres<br />
impairs et l’on retiendra que les<br />
difficultés de positionnement de ces<br />
nombres impairs sont souvent la cause<br />
principale des impossibilités auxquelles<br />
on se heurte.<br />
Exemple. Le carré magique de 4.<br />
La valeur magique est égale à 34. On<br />
remarquera également la disposition<br />
symétrique des nombres impairs.<br />
Là encore, on remarquera que les<br />
nombres impairs sont placés de manière<br />
symétrique par rapport à un axe horizontal.<br />
EXERCICE. Avec ces mêmes nombres, tenter<br />
de réaliser un autre carré magique de<br />
3 ou un carré ayant une autre valeur magique.<br />
Expliquer pourquoi cela vous est<br />
tout à fait impossible.<br />
<strong>Les</strong> carrés <strong>magiques</strong> 5
EXERCICE. Avec les nombres de la série î à 16, réaliser par tâtonnement un<br />
premier carré magique de 4, puis un autre carré de 4 ayant une autre valeur<br />
magique.<br />
EXERCICE. Essayer d‘esquisser une théorie de la distribution des nombres.<br />
EXERCICE. Essayer de réaliser un carré magique de 4 ayant une valeur<br />
magique de 25, et expliquer pourquoi c’est impossible.<br />
2. Historique<br />
<strong>Les</strong> carrés <strong>magiques</strong> ont une longue histoire, puisqu’elle remonte aux<br />
Chinois et aux Hindous, puis aux Arabes du neuvième siècle.<br />
La première étude logique concernant ces carrés semble avoir été<br />
donnée au quatorzième siècle par un moine grec du nom de Moscopule ou<br />
Moschopulos Manuel qui publia à Constantinople un traité sur les carrés<br />
<strong>magiques</strong> traduit en latin et lu par le mathématicien La Hire à l’Académie<br />
des Sciences en 1691. (Voir en annexe la notice biographique).<br />
Tous les grands esprits ont été préoccupés par la science des nombres,<br />
et en premier lieu les mathématiciens Stifel, Sauveur, Bachet de Méziriac,<br />
Fermat, La Hire, Euler, etc.’<br />
D’autres comme Gaffare12 (le bibliothécaire de Richelieu), voyaient<br />
dans ces assemblages de nombres des particularités <strong>magiques</strong> ou plutôt<br />
cabalistiques propres à frapper les imaginations ; en effet, certaines<br />
Si Stifel est peu connu, Sauveur (1 653-1 71 6) fut un brillant titulaire de la chaire de<br />
mathématiques au Collège de France. Commensal de la maison de Condé, il entra à<br />
l’Académie des sciences en 1696.<br />
Bachet de Méziriac (1 581-1 638) a laissé une réputation de savant, mais surtout de<br />
grammairien, d’helléniste et de philosophe.11 fut membre de l’Académie française en<br />
1635. Son principal ouvrage est intitulé Problèmes plaisants et délectables qui se<br />
font par les nombres.<br />
Pierre de Fermat (1 601.-1665) conseiller au parlement deToulouse, ne s’occupait de<br />
sciences et de mathématiques que dans ses moments de loisirs. II est l’auteur d’un<br />
fameux théorème dont on a oublié la démonstration. II a aussi réalisé un cube magique<br />
de 4.<br />
Philippe de La Hire (1640-1718) est un mathématicien réputé pour ses études sur<br />
les coniques, son travail de cartographe et ses connaissances en astronomie. II entra<br />
à l’Académie en 1678.<br />
Leonhard Euler (1 707-1 783) est un puissant mathématicien qui s’est illustré dans<br />
tous les domaines de la science. II professa à St-Pétersbourg, appelé par Catherine II.<br />
II s’est aussi préoccupé de physique et de philosophie. II est le précurseur du calcul<br />
sur les séries et du calcul différentiel et intégral.<br />
Jacques Gaffarel (1601-1681) était docteur en théologie et en droit canon. II<br />
connaissait les langues orientales et les sciences dites cabalistiques. il écrivit un<br />
ouvrage en 1629 Curiosités inouïes qui fut condamné par la Sorbonne et dont il dut<br />
rétracter certaines propositions considérées comme entachées de magie.<br />
Jeux numériques et <strong>magiques</strong>
dispositions de nombres ont des propriétés troublantes, mais qui viennent<br />
seulement de la méthode de numération, et non d‘une influence cabalistique.<br />
Afin de rappeler l’importance que l’on<br />
accordait à ces études de carrés <strong>magiques</strong>,<br />
autrefois interprétés comme <strong>magiques</strong> ou<br />
divinatoires, citons la gravure d’Albrecht<br />
Dürer, exécutée sur cuivre au début du<br />
xvie siècle et intitulée (( la mélancolie ». II<br />
4 15 14 1<br />
porte en exergue un petit carré magique<br />
de 4, image destinée à renforcer le<br />
concept de magie ou de culture magique<br />
du tableau.<br />
Là encore, nous remarquerons le<br />
positionnement symétrique des nombres<br />
impairs, toujours par rapport à un axe<br />
horizontal (mais qui peut être rendu vertical<br />
par simple pivotement).<br />
3. Propriétés des carrés <strong>magiques</strong><br />
Homogénéité -ez*<br />
<strong>Les</strong> carrés <strong>magiques</strong> sont des graphes homogènes puisqu’ils sont constitués<br />
d’un même nombre de cases sur chaque ligne, colonne ou diagonale.<br />
Cette particularité entraîne les propriétés suivantes :<br />
On peut augmenter ou diminuer d‘une même valeur chacun des éléments<br />
du carré : il restera magique.<br />
On peut multiplier par un même nombre chacun des éléments du carré : il<br />
restera magique.<br />
On peut ajouter ou retrancher les éléments correspondants de deux carrés<br />
<strong>magiques</strong> : le carré obtenu restera magique. Notons en passant que cette<br />
propriété sera mise à profit par la méthode préconisée par La Hire pour la<br />
résolution des carrés impairs.<br />
On ne pourra pratiquement pas interchanger deux cases d’un carré magique<br />
sans intervenir également sur les cases correspondantes de la ligne, de<br />
la colonne ou de la diagonale.<br />
Valeur magique<br />
Par ailleurs, un carré magique ne peut admettre qu’une seule valeur<br />
magique. On dit qu’il est unisérié ou univoque.<br />
3.1<br />
-cI>vI*”II1*I> i ‘6<br />
3.1.1 -<br />
3.1.2 -<br />
3.1.3 -<br />
3.1.4 -<br />
3.2<br />
~ _>- *i<br />
*/ x- d<br />
<strong>Les</strong> carrés <strong>magiques</strong> 7