Probabilités et Mod`eles Aléatoires” UPMC Brochure 2011–2012 30 ...

MASTER 2
spécialité :
”Probabilités et Modèles Aléatoires”
UPMC
Brochure 2011–2012
30/09/2011
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OBJECTIFS
L’objectif de la spécialité “PROBABILITÉS ET MODELES ALEATOIRES”
de la seconde année du Master de l’UPMC, est de délivrer une formation de haut niveau
en probabilités théoriques et appliquées.
En fonction des cours spécialisés suivis et du sujet de mémoire ou de stage choisi
par l’étudiant, deux orientations sont possibles : l’une plus centrée sur la Théorie des
Processus Stochastiques, l’autre sur les Probabilités Appliquées.
CO-HABILITATIONS
Le master est co-habilité avec l’école Polytechnique et l’Ecole Normale Supérieure de
Paris.
CRITÈRES DE SÉLÉCTION
Le principal critère de séléction est un prérequis solide en théorie de la mesure et de
l’intégration, en calcul des probabilités et en mathématiques générales.
Cette spécialité s’adresse aux étudiants provenant du M1 de mathématiques et aux
titulaires d’une maîtrise de Mathématiques, de Mathématiques Appliquées, ou d’Ingénierie
Mathématique. Elle est également ouverte aux titulaires d’une maîtrise M.A.S.S., ou d’un
diplôme d’ingénieur (ou éventuellement de deux ans d’études dans une école d’ingénieurs),
sous réserve d’une formation suffisante en mathématiques, et notamment en
probabilités.
PREREQUIS POUR LES ETUDIANTS DE L’UPMC
Pour les étudiants de l’UPMC il est indispensable d’avoir validé pour de bonnes
notes
• Les cours Intégration I et II en L3 LM364 et LM365.
et
• Le cours ”Probabilités de Base” LM390 au second semestre de L3 et le cours ”Probabilités
Approfondies” MM011 au premier semestre de M1.
Il est possible d’être admis à titre exceptionnel après avoir validé
• au lieu des cours LM390 et MM011, le cours ”Probabilités de Base” MM010 au
premier semestre de M1. Cette admission se fait d’après la recommendation personnelle
du professeur du cours MM010 et du chargé de TD.
Il est indispensable d’avoir validé pour de bonnes notes d’autres modules de mathématiques
pour avoir une culture large et solide.
Il est très désirable d’avoir validé un cours de statistiques mathématiques, par exemple
MM051 ”Introduction à la statistique”.
Par contre, d’autres cours en probabilités ne sont pas indispensables (le cours ”Modèles
stochastiques, applications à la finance” MM054 ou le cours ”Programmation en C et
C++” MM056 ou autres).
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TÉLÉ-ENSEIGNEMENT
Les étudiants salariés peuvent préparer le Master 2 ”Probabilités et Modèles
Aléatoires” en télé-enseignement. Pour cela, vous devez vous connecter sur le site du
télé-enseignement : http://tele6.upmc.fr afin de pouvoir télécharger la fiche correspondante.
La liste de cours proposés en télé-enseignement est donnée dans la brochure de cette
année, elle est restreinte par rapport à la liste de cours en enseignement en classe.
Les critères de séléction sont les mêmes qu’en enseignement en classe.
DÉBOUCHÉS
La vocation principale de la spécialité est de former de futurs chercheurs en calcul de
probabilités. Pour cette raison, la majorité des étudiants qui réussissent cette spécialité
s’orientent ensuite vers le Doctorat, troisième composante du LMD en préparant une
thèse.
La thèse peut être préparée après l’obtention du Master en s’inscrivant en Doctorat
pour une durée de 2 à 4 ans en principe. Cette inscription est subordonnée à l’acceptation
de l’étudiant par un “ directeur de thèse”.
Des allocations de recherche sont attribuées aux étudiants en thèse, sur critères pédagogiques.
La plupart des étudiants préparent une thèse au sein du Laboratoire de Probabilités
et Modèles Aléatoires. Ce laboratoire des Universités Pierre et Marie Curie et Denis
Diderot, associé au C.N.R.S., assure la maîtrise d’oeuvre de la spécialité. Il est l’un des
centres de recherche les plus actifs dans le monde dans le domaine des probabilités et des
processus stochastiques. Le Laboratoire regroupe environ 60 enseignants et chercheurs,
sans compter les nombreux étudiants en thèse. Les thèmes de recherche principaux sont
les suivants :
- étude fine du mouvement brownien
- calcul stochastique et processus de Markov
- optimisation stochastique
- modélisation stochastique
- mathématiques financières
- statistique non-paramétrique
- théorèmes limites
- théorie ergodique et systèmes dynamiques
Les étudiants peuvent aussi péparer une thèse au sein d’autres laboratoires de recherche
(universitaires ou de grandes écoles) ainsi que dans des instituts de recherche (l’INRIA,
l’INRA, CEA et autres) en France et à l’étranger, et également en entreprise sous la forme
de contrats CIFFRE (EDF, CEA...).
Cette formation fournit aussi des débouchés professionnels immédiats dans des
entreprises, notamment dans des banques, des sociétés d’assurance, ou des organismes
financiers.
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ORGANISATION DE L’ANNÉE : Cours, stage, mémoire
L’année commence par deux cours intensifs lors de la prerentrée pendant deux
semaines en septembre : ”Probabilités” et ”Statistiques mathématiques”. L’objectif du
premier cours est de faire un point sur les connaissances en probabilités acquises en M1
qui seront constamment utilisées en M2. Le deuxième cours vise à consolider et à enrichir
le bagage en statistiques mathématiques que doit posséder tout probabiliste. Ces deux
cours sont obligatoires mais ne donnent pas lieu à un examen.
Au premier semestre (Octobre-Janvier) tous les étudiants suivent trois cours :
• ”Processus de Markov”,
• ”Mouvement Brownien et Calcul Stochastique”,
• ”Théorèmes Limites et Grandes Déviations”.
Ces cours présentent les aspects fondamentaux du domaine et forment la base sur laquelle
s’appuient les cours spécialisés du second semestre. Chaque cours dure 4 heures par
semaine.
Au deuxième semestre de (Février-Mai), les étudiants ont un large choix de cours
spécialisés (envrion une douzaine de cours) qui sont renouvelés fréquemment. Ces cours
présentent plusieurs domaines à la pointe de la recherche en Probabilités Théoriques et
Appliquées. Ils durent 2 heures par semaine pendant 12 ou 6 semaines.
Le contenu de chacun des cours de cette année est décrit dans la brochure.
Les cours du second semestre conduisent les étudiants à une première confrontation
avec la recherche sous la forme d’un mémoire ou d’un stage. Le mémoire consiste en
général en la lecture approfondie d’un ou plusieurs articles de recherches récents, sous
la direction d’un membre du Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires ou d’un
enseignant de la spécialité. Il doit être redigé en Latex et soutenu devant un jury.
Le mémoire peut-être remplacé par un rapport de stage. Le stage s’effectue dans un
organisme de recherche ou un bureau d’études, sous la direction conjointe d’un ingénieur
de l’organisme d’accueil et d’un enseignant de la spécialité.
CONDITIONS D’OBTENTION
Chacun des trois cours du premier semestre ”Processus de Markov”, ”Mouvement
Brownien et Calcul Stochastique” et ”Théorèmes Limites et Grandes Déviations” vaut 9
ECTS.
Les cours spécialisés du second semestre valent 6 ECTS ou 3 ECTS en fonction de
leur durée.
Le mémoire ou le stage s’effectuent au 2ème semestre et valent 30 ECTS.
Pour obtenir le diplôme du Master 2 de la spécialité, il suffit de valider 30 ECTS de
cours et 30 ECTS de mémoire ou de stage.
Néanmoins, pour les étudiants souhaitant préparer un doctorant, il est recommandé
d’assister aux trois cours à 9 ECTS et d’en valider au moins 2, et il est indispensable de
valider au moins 12 ECTS parmi les cours à 3 ou 6 ECTS du second semestre.
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RESPONSABLES
Responsable pédagogique : Madame Irina KOURKOVA,
professeur du laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
de l’Université P. et M. Curie
Responsable administrative : Madame Josette SAMAN
Avant le déménagement : 4ème étage, plateau E, bureau 4E08
175, rue de Chevaleret, 75013 Paris
Après le déménagement : Couloir 16–26, 1er étage, bureau 08
Campus Jussieu, Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
Université Pierre et Marie Curie
B.C. 188
4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05.
Son bureau est ouvert le lundi, mardi (fermé le mercredi) jeudi, vendredi, de 10 h – 12 h,
14 h –17 h.
Tél : (33/0) 1 44 27 53 20
Fax : (33/0) 1 44 27 76 50
E-mail : deaproba@proba.jussieu.fr
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COMMENT POSTULER ?
1. Faire acte de candidature sur le site de la scolarité de l’UPMC à partir du mois
d’avril jusqu’à la date limite d’inscription (voir Calendrier 2011–2012) :
http://www.upmc.fr/fr/formations/inscriptions scolarite.html
afin de vous procurer un numéro d’étudiant et un mot de passe.
2. Télécharger la fiche d’inscription pédagogique sur le site
http://www.proba.jussieu.fr/master2/master2.html
et la remplir soigneuseument avec tous les détails démandés. Chaque case doit
être renseignée. Les renvois au rélévés des notes et les omissions sont inacceptables.
3. Composer le dossier d’inscription pédagogique :
(a) Acte de candidature (obligatoire !) obtenu à l’étape 1.
(b) Fiche d’inscription pédagogique remplie à l’étape 2.
(c) Curriculum Vitae
(d) Photocopies de diplômes et/ou de relevés de notes de Licence et Master 1 (ou
équivalents) et des écoles d’ingénieurs confirmant les renseignements remplis
dans la fiche pédagogique.
(e) Une photo d’identité
(f) Une lettre de motivation n’est pas obligatoire. Il est conseillé de l’écrire uniquement
si vous avez des renseignements particuliers à communiquer.
(g) Deux enveloppes timbrées (11cm × 22 cm) avec votre nom et adresse.
Prière de ne pas joindre vos résultats au BAC, ni en classes préparatoires, ni en
Licence 1.
4. Envoyer ce dossier d’inscription pédagogique à l’adresse :
Madame Josette Saman
Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
B.C. 188
Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05
FRANCE
ou le déposer le lundi, mardi, (fermé le mercredi) jeudi, vendredi, de 10h – 12h, 14h
–17h à
Madame Josette Saman
Couloir 16–26, 1er étage, bureau 08,
campus Jussieu,
Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
B.C. 188
Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05.
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5. La réponse va vous être envoyée par courrier dans l’enveloppe timbrée jointe au
dossier.
Vous pourrez également la consulter sur le site de la scolarité de l’UPMC, où vous
devez vous connecter en utilisant votre numéro d’étudiant et votre mot de passe.
6. En cas de réponse positive, il est indispensable de valider votre voeu sur le site :
http://www.upmc.fr/fr/formations/inscriptions scolarite.html
en utilisant votre numéro d’étudiant et votre mot de passe.
Attention aux candidats étrangers hors union européen ayant besoin d’un
titre de séjour pour arriver en France!!
La procedure pour votre titre de séjour a changé cette année. Une note concernant la
nouvelle procedure sera bientôt affichée sur la page web.
Néanmoins pour que votre candidature soit prise en considération par le résponsable
du master, il est indispensable de passer par les étapes 2–5 ci-dessus : c’est-à-dire l’envoi
de votre dossier par la poste, avec la fiche d’inscription dûment remplie et signée.
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CALENDRIER 2011–2012.
• Inscription administrative sur le site de la scolarité de l’Université Paris P. et M.
Curie : d’Avril 2011 à Juillet 2011.
• Une réunion d’information se tiendra le 27 Mai 2011 à 17 heures dans la salle 104,
1er étage dans le couloir entre les tours 15–25, au campus Jussieu (4, place Jussieu)
à Paris. Tous les candidats sont invités.
• La date limite de depôts des dossiers d’inscription pédagogique est fixée au 02
septembre 2011, le cachet de la poste faisant foi.
Néanmoins, pour avoir la réponse au mois de juillet, il est indispensable que votre
dossier parvienne au secrétariat avant le 12 Juillet 2011.
La réponse aux candidats faisant parvenir leur dossier à partir du 12 Juillet 2011
sera donnée entre le 05 et le 09 Septembre 2011.
• Les cours intensifs de la prerentrée auront lieu le 12,13,14,15,16, et le 19,20,21,22,23
Septembre 2011.
• Le premier Semestre démarre le 26 septembre 2011 et se termine debut janvier 2012.
• Les examens des cours du premier semestre auront lieu lors de la deuxième moitié
du mois de Janvier 2012.
• Une réunion d’information sur les cours du second semestre aura lieu à la fin du
mois de Janvier 2012.
• Le deuxième semestre commencera en Février 2012 et se terminera en Mai 2012.
Une pause de deux semaines est prévue pendant les vacances de Pacques.
• Les examens des cours du second semestre auront lieu lors de la première moitié du
mois de Juin 2012.
• Les examens de rattrapage pour tous les cours auront lieu lors de la deuxième moitié
du mois de Juin.
• Pour les étudiants désirant valider le Master en Juillet, le mémoire (ou le stage) doit
être soutenu au plus tard le 30 Juin 2012.
• Pour les étudiants désirant valider le Master en Octobre, le mémoire (ou le stage)
doit être soutenu au plus tard le 30 Septembre 2012.
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Cours préliminiares :
COURS
T. DUQUESNE : Rappels de probabilités
L. BIRGÉ : Elements de statistiques mathématiques
Cours fondamentaux du premier semestre :
Z. SHI : Mouvement brownien et calcul stochastique (9 E.C.T.S)
I. KOURKOVA : Processus de Markov (9 E.C.T.S)
L. ZAMBOTTI : Théorèmes Limites et Grandes Déviations. (9 E.C.T.S)
Cours spécialisés du deuxième semestre
J. BERTOIN : Processus de Lévy (3 E.C.T.S)
J. BERESTYCKI : Marches aléatoires branchantes et l’équation F-
KPP (6 E.C.T.S.)
Ph. BIANE : Permutations aléatoires et Matrices aléatoires (6 E.C.T.S)
C. BOUTILLIER : Dimères et pavages aléatoires(6 E.C.T.S.)
P. BRÉMAUD, B. BLASZCZYSZYN et L. MASSOULIÉ : Processus
ponctuels, graphes aléatoires et géométrie stochastique (6 E.C.T.S)
F. COMETS, G. GIACOMIN : Modèles et méthodes de la mécanique
statistique : les polymères aléatoires (6 E.C.T.S)
R. KRIKORIAN : Introduction à la théorie ergodique (6. E.C.T.S.)
S. MÉLÉARD, C. VIET TRAN, V. BANSAYE : Modèles aléatoires en
Ecologie (6 E.C.T.S)
G. PAGÈS : Arrêt optimal : théorie, méthodes numériques et applications
(6 E.C.T.S)
Ph. ROBERT
: Analyse probabiliste d’algorithmes (6 E.C.T.S)
M. ROSENBAUM : Théorèmes limites pour les semi-martingales,
application à la statistique des données haute fréquence en finance (6
E.C.T.S)
D. TALAY, M. BOSSY : Analyse probabiliste de conditions au bord
et méthodes particulaires stochastiques pour équations aux dérivées
partielles (6 E.C.T.S).
dont
– Analyse probabiliste de conditions au bord pour équations aux dérivées
partielles paraboliques et elliptiques (D. TALAY) (3 E.C.T.S)
– Approximation particulaire de diffusions non linéaires (M. BOSSY) (3
E.C.T.S)
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M. THIEULLEN : Modèles probabilistes en neurosciences (6 E.C.T.S)
A. TSYBAKOV : Estimation non-paramétrique (6 E.C.T.S)
M. YOR : Temps locaux, excursions, et points multiples du mouvement
brownien plan (6 E.C.T.S)
M. YOR : Exponentielles de processus de Lévy (3 E.C.T.S)
COURS en TELE-ENSEIGNEMENT en 2011-2012
Z. SHI : Mouvement brownien et calcul stochastique (9 E.C.T.S)
I. KOURKOVA : Processus de Markov (9 E.C.T.S)
R. KRIKORIAN : Introduction à la théorie ergodique (6. E.C.T.S.)
Ph. ROBERT
: Analyse probabiliste d’algorithmes (6 E.C.T.S)
M. THIEULLEN : Modèles probabilistes en neurosciences (6 E.C.T.S)
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Cours préliminaire
Rappels de Probabilités
T. Duquesne
Ce cours préliminaire est destiné à faire le point sur des notions fondamentales de
Probabilités abordées en M1 et utilisées systématiquement par la suite dans les cours du
M2. Parmi ces notions on peut citer :
- le conditionnement
- les différentes notions de convergence
- les martingales à temps discret.
Le cours sera complété par des séances d’exercices et une bibliographie pouvant servir de
référence tout au long de l’année de M2.
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Éléments de statistiques
L. Birgé
Le but de ce cours, qui sera délivré de manière intensive en début d’année, est
d’introduire ou de rappeler les principes et outils fondamentaux de la Statistique Mathématique.
On supposera que les auditeurs ont une bonne connaissance des Probabilités classiques.
On expliquera d’abord, à partir d’exemples simples, quelles sont les problématiques
fondamentales de la Statistique ainsi que leur dualité avec celles des Probabilités. On
donnera ensuite des éléments sur la Théorie de la décision statistique (y compris la perspective
bayésienne), le modèle linéaire gaussien, les méthodes classiques d’estimation,
. . . . On s’efforcera aussi de mettre en relief les problèmes liés aux choix de modèles :
relations paramétrique, non-paramétrique, sélection de variables, tests, . . .
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Mouvement brownien et calcul stochastique
Z. Shi
(M2-S3,
9 ECTS)
Ce cours a lieu d’Octobre à Janvier, 4 heures par semaine
1) Mouvement brownien linéaire et propriétés principales.
2) Martingales à temps continu.
3) Intégrale stochastique par rapport à une semi-martingale à temps continu.
4) Formule d’Itô et applications. Théorème de Girsanov.
5) Equations différentielles stochastiques d’Itô. Existence et unicité. Solutions faibles et
solutions fortes.
Un polycopié sera disponible pendant le déroulement du cours.
Références
K.L. Chung, R.J. Williams : Introduction to Stochastic Integration. Birkhäuser (2e
édition, 1990).
C. Dellacherie, P.-A. Meyer : Probabilités et Potentiel, Vol. II, Théorie des Martingales.
Hermann (1980).
R. Durrett : Brownian Motion and Martingales in Analysis. Wadsworth (1984).
N. Ikeda, S. Watanabe : Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes.
North Holland (2e édition, 1988).
I. Karatzas, S. Shreve : Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer (2e édition
corrigée, 1994).
D. Revuz, M. Yor : Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer (3e
édition, 1999).
L.C.G. Rogers, D. Williams : Diffusions, Markov Processes and Martingales, Vol. II,
Itô Calculus. Wiley (1987).
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Processus de Markov
I. Kourkova
(M2-S3,
9 ECTS)
Ce cours a lieu d’Octobre à Janvier, 4 heures par semaine
Partie I : Chaînes de Markov sur un espace d’états dénombrable : classification,
mesures invariantes, comportement limite, théorèmes ergodiques. On considèrera des
chaînes de Markov apparaissant en biologie (modèles de Wright-Fisher, de Moran), en
dynamique des population (chaîne de naissance et de mort, modèle de Galton-Watson) et
en mécanique statistique.
Partie II : Processus de Markov de saut pur (Chaînes de Markov sur un espace
dénombrable en temps continu.), leur matrice d’intensité, les équations de Kolomogrov,
le phénomène d’explosion, le comportement limite, la réversibilité. On consdèrera des
applications en biologie et des modèles de files d’attente et réseaux stochastiques.
Partie III : Processus de Markov sur un espace mesurable général, les notions de
semi-groupe, de génŕateur et de résolvante. Générateur du mouvement Brownien. Calcul
de la mesure invariante et de lois de fonctionnelles d’un processus de Markov à partir de
son générateur. Solutions des équations différentielles stochastiques en tant que processus
de Markov. Leurs générateurs. Leurs fonctionnelles ”arrêtées”. Liens avec les équations
aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques avec de différentes conditions au bord.
Le cours est accompagné d’un polycopié. Chaque section du polycopié est accompagnée
d’exercices pour assimiler son contenu. La correction des exercices est donnée à
la fin de chaque chapitre.
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Théorèmes limites et grandes déviations
L. Zambotti
(M2-S3,
9 ECTS)
Ce cours a lieu d’Octobre à Janvier, 4 heures par semaine
I. Théorèmes limites
Convergence des mesures :
Tension, Théorème de Prokhorov, représentation de Skorokhod. Théorème de Donsker.
Convergence fonctionnelle des processus continus, et applications.
Topologie de Skorokhod et converge des processus trajectoires cdlg ; critère d’Aldous.
II. Grandes déviations
Transformation de Laplace, Théorème de Cramer, extensions et applications (tension exponentielle,
théorème de Gärtner-Ellis, théorèmes de Sanov et de Donsker-Varadhan).
Grandes déviations pour le mouvement brownien (théorème de Fernique et de Schilder).
Transformations (principe de contraction, de transfert, lemme de Varadhan, ...)
Quelques références:
Billingsley : Convergence of probability measures. Wiley (1969).
Dembo et Zeitouni : Deviations techniques and applications. Second edition. Applications
of Mathematics (New York), 38. Springer-Verlag, New York, 1998.
Deuschel et Stroock : Large Deviations. Academic Press Inc., 1989.
Ethier et Kurtz : Markov processes. Characterization and convergence. Wiley (1986).
Jacod et Shiryaev : Limit theorems for stochastic processes. Springer (1987).
den Hollander : Large deviations. AMS (2000).
Parthasarathy : Probability measures on metric spaces. Academic Press (1967).
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Processus de Lévy
J. Bertoin
(M2-S3,
3 ECTS)
Ce cours a lieu de Février à Mars
Le cours présente une introduction au calcul stochastique discontinu, en traitant
comme exemple principal les processus de Lévy, qui sont de plus en plus souvent utilisés
comme modèles en finance.
Une bibliographie sera donnée pendant le déroulement du cours.
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Marches aléatoires branchantes,
et l’équation F-KPP
J. Bérestycki
(M2-S3,
6 ECTS)
Ce cours a lieu de Février à Juin, 2 heures par semaine.
L’étude des processus de branchement et de leurs variantes est un champ important
de la théories des probabilité dont on peut faire remonter la généalogie aux travaux de
Galton et Watson et reste encore aujourd’hui un champs d’investigation extrêmement
actif.
Ces modèles trouvent de nombreuses applications importantes en biologie, en génétique
des populations, en physique statistique ou dans l’étude des processus de réaction-diffusion
pour n’en citer que quelque-unes. Dans ce cours nous nous intéresserons particulièrement
à des processus de branchement discrets ayant une dimensions spatiale (e.g. mouvement
brownien branchant ou marches aléatoires branchantes).
La première partie du cours sera destinée à introduire et à développer un outil moderne
et extrêmement puissant dans l’étude de ces processus : la décomposition en épine dorsale.
Nous commencerons par présenter ces techniques dans le cadre simplifié des arbres de
Galton-Watson avant de l’appliquer à l’étude de différents aspects des marches aléatoires
branchantes.
La seconde partie de ce cours sera consacrée au lien profond qui relie l’étude de ces
processus à une classe d’équations aux dérivés partielles (la célèbre équation de Fischer
Kolmogorov-Petrovski-Piskunov) qui décrivent les propagations de fronts dans des milieux
instables. Nous montrerons en particulier comment l’étude de la particule la plus à droite
permet de prouver des résultats d’existence et d’unicité pour la solution de cette EDP,
et à l’inverse comment les techniques déterministes nous informent sur le comportement
stochastique du processus.
Enfin, nous présenterons des résultats plus récents qui concernent les processus de
branchements avec absorption. Ce questions sont au coeur de travaux récents de physiciens
(Bernard Derrida, Eric Brunet et Damien Simon) et sont encore largement ouvertes.
Prérequis : cours du premier semestre (Calcul stochastique, Processus de Markov et
Théorèmes limites)
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Permutations aléatoires et matrices aléatoires
Ph. Biane
Ce cours a lieu de Février à Juin, 2 heures par semaine
Résumé
Il y a des liens profonds entre les permutations aléatoires et les matrices aléatoires,
que l’on explorera dans le cours. En particulier je considérerai : permutations aléatoires :
distribution des cycles, des inversions, plus longue sous-suite croissante matrices aléatoires:
GUE et CUE, statistiques linéaires, processus déterminantaux.
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Processus ponctuels, graphes aléatoires et
géométrie stochastique
P. Brémaud, B. Blaszczyszyn et L. Massoulié
Ce cours a lieu de Février à Juin, 2 heures par semaine
Le cours introduira d’abord les bases de la théorie des processus ponctuels et de
celle des graphes aléatoires. Dans un deuxième temps, il se concentrera sur les objets
fondamentaux de la géométrie stochastique et sur les propriétés des processus ponctuels
et des graphes aléatoires qui sont associées à ces objets.
Les illustrations seront principalement issues de problèmes de modélisation probabiliste
des réseaux de communication.
PROCESSUS PONCTUELS ET MESURE DE PALM : On donnera les définitions
et propriétés de base des processus ponctuels stationnaires de l’espace euclidien et de leurs
mesures de Palm: formule de Campbell, principe de conservation, formule d’échange. On
établira aussi les relations entre les mesures de Palm et l’intensité stochastique (théorèmes
de Papangelou et de Watanabe).
Dans le cas de dimension 1, on donnera des applications à la théorie des files d’attente
(formule de Little, construction de Loynes, etc.). Dans le cas de dimension quelconque,
on donnera la construction et les propriétés des processus de Poisson (fonctionnelle de
Laplace, théorème de Slivnyak).
GRAPHES ALÉATOIRES : On introduira deux modèles classiques de la théorie
des graphes aléatoires: graphes à la Erdos-Renyi et graphes ”petits mondes”. Pour les
premiers, on montrera les conditions d’existence d’une composante connectée géante et
on donnera une évaluation du diamètre du graphe. Pour les seconds, on étudiera les
propriétés de connectivité et de navigabilité.
On montrera des applications aux problèmes de diffusion et de parcours optimal dans
les réseaux de communication.
GÉOMÉTRIE STOCHASTIQUE : On introduira des modèles classiques de géométrie
stochastique associés à des processus ponctuels de l’espace euclidien, notamment la mosaïque
de Voronoï, le graphe de Delaunay, les processus de couverture et de shot noise. On montrera
comment calculer les lois dans des cadres simples comme celui des processus de
Poisson. On étudiera les propriétés de percolation de certains graphes aléatoires associés,
notamment le graphe géométrique.
On donnera des applications dans le domaine des communications sans fil.
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Modèles et méthodes de la mécanique statistique :
les polymères aléatoires
(M2-S3, 6 ECTS)
F. Comets et G. Giacomin
Ce cours a lieu de Février à Avril - 3 heures par semaine
Le but de ce cours est d’introduire et étudier une classe de modèles de polymères en
interaction avec un environnement ou en interaction avec d’autres polymères. Il s’agit de
modèles désordonnés de la mécanique statistique, et le cours est aussi une introduction à
ce domaine de recherche.
Les outils mathématiques fondamentaux sont la théorie des mesures de Gibbs, des
grandes déviations, du renouvellement, les martingales, la percolation et la concentration
de la mesure. Ces outils seront développés pendant le cours et seulement des connaissances
préalables des probabilités de base, niveau M1, seront nécessaires.
Les polymères dirigés peuvent être décrits comme une chaîne homogène placée dans un milieu
aléatoire dont les maillons interagissent avec l’aléa du milieu: le modèle consiste en une marche
aléatoire simple dans un potentiel dépendant du temps, donné par des v.a.i.i.d. indépendantes
en temps et en espace. Si le potentiel est fort, le polymère adopte un comportement totalement
différent de celui de la marche aléatoire simple. En particulier, on s’attend à observer
de grandes excursions du polymère (régime super-diffusif) afin d’atteindre des régions atypiques
de l’environnement favorables au polymère. À température nulle, on peut identifier ce
modèle avec la percolation de dernier passage. L’enjeu est de déterminer les configurations à
l’équilibre et leurs propriétés caractéristiques comme les exposants critiques associés aux fluctuations
du polymère: l’exposant décrivant les excursions et celui pour associé aux fonctions
thermodynamiques. En fait, ce modèle peut être défini en dimension quelconque, et présente
une dépendance remarquable dans la dimension: le polymère est diffusif en grande dimension à
basse température, et la transition entre les phases localisée et délocalisé est de grand intérêt.
Les modèles de polymères dirigés sont au coeur de la classe d’universalité KPZ et pour cette
raison ils constituent un objet d’étude privilégié.
Références : Polycopié et
G. Giacomin, Random Polymer Models, World Scientific 2007
R. Durrett, Lecture notes on particle systems and percolation. Wadsworth and Brooks/Cole
Advanced Books and Software, Pacific Grove, CA, 1988
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Introduction à la théorie ergodique
R. Krikorian
(M2-S3,
6 ECTS)
Ce cours au deuxime semestre, 2 heures par semaine
I) Systèmes dynamiques topologiques : récurrence, transitivité, minimalité, mélange
topologique, application au théorème de Van der Waerden ; systèmes dynamiques mesurables
: mesures invariantes, récurrence (théorème de Poincaré) ; mesures ergodiques, Théorèmes
ergodiques (Von Neuman, Birkhoff, théorème maximal ergodique).
II) Théorie Spectrale : théorie spectrale des opérateurs unitaires, invariants spectraux
des systèmes dynamiques, théorème de Halmos-Von Neuman (spectre pp), mélange,
mélange faible, multiplicité spectrale et théorème spectral.
III) Exemples
a) en dimension 1 : rotations, échange d’intervalles (ergodicité, finitude du nb de mesures
ergodiques...), homéomorphismes du cercle, applications dilatantes
b) Rôle de l’hyperbolicité
c) Propriétés ergodiques des flots géodésiques et horocycliques
IV) Entropie métrique, théorème de Shannon-Mc Millan-Breiman, entropie des shifts
de Bernoulli, Markov ; K-systèmes ;
Entropie topologique et principe variationnel
Retour sur les exemples de III)
V) Produits-croisés, théorème de Rokhlin, existence de systémes minimaux mais non
uniquement ergodiques, théorème ergodique multiplicatif, exposants de Lyapunov, théorème
d’Oseledec ; exposants de Lyapunov des produits aléatoires de matrices (théorème de
Furstenberg). Equations cohomologiques: théorème de Livsic, obstruction cohomologique
et décroissance des corrélations. Cocycles de Schrödinger et nature du spectre de l’équation
de Schrödinger (cas aléatoire et quasi-périodique)
Ouvrages recommandés
Arnold, Avez : Ergodic problems of classical mechanics
Halmos : Lectures on ergodic theory.
Katok, Hasselblat : Modern theory of Dynamical systems.
Parry : Topics in ergodic theory.
Sinai : Topics in ergodic theory.
Walters : Introduction to ergodic theory.
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Modèles Aléatoires en Écologie
S. Méléard - C. Viet Tran - V. Bansaye
(M2-S3,
6 ECTS)
Ce cours a lieu de Février à Avril, 3 heures par semaine sur 8 semaines
Nous étudions dans ce cours des modèles aléatoires motivés par l’étude de systèmes
vivants en interaction et centrés sur les dynamiques individuelles. Les individus naissent
et meurent et sont caractérisés par différents types qui influent sur leur comportement,
ou sur leurs capacités reproductives ou de survie, et peuvent être transmis dans la reproduction.
Les interactions peuvent être de différentes natures: partage des ressources,
proies-prédateurs, hôtes-parasites.
Nous illustrerons tout d’abord cette approche en modélisant par un processus de naissance
et mort la dynamique d’une population non structurée et montrerons comment
suivant les échelles choisies, ce processus peut-être approché par une équation logistique
déterministe ou une équation de Feller logistique.
Nous associerons ensuite un type à chaque individu: caractères génétiques, âge ou
quantité de parasites. La dynamique de la population sera alors décrite par un processus
(de naissance et mort) à valeurs mesures ponctuelles dont les atomes représentent les
états des individus. Ce modèle est une première étape pour modéliser une dynamique
darwinienne, décrivant une population capable de générer et de sélectionner sa propre
diversité. Nous étudierons diverses approximations macroscopiques de ce modèle, en
grande population, conduisant soit à des équations aux dérivées partielles non linéaires
(intégro-différentielle ou de réaction-diffusion), soit à un processus à valeurs mesures de
type super-processus non linéaire. Dans chaque cas, nous étudierons les propriétés du
modèle limite en insistant sur les techniques propres à chaque type.
L’introduction d’une structure d’âge permet de prendre en compte l’histoire passée des
individus pour décrire des phénomènes de sénescence par exemple. Il y a un phénomène
de renouvellement lors des naissances, et nous pouvons établir un nouveau théorème limite
mettant en évidence deux échelles de temps : celle de l’individu et celle de la population.
Nous étudions également un modèle hôte-parasite qui peut être représenté par une
diffusion de Feller branchante. A partir de l’étude de l’évolution des parasites le long
d’une lignée généalogique, des théorèmes limites concernant la fraction d’hôtes parasités
sont établis. En particulier, les critères séparant les différents scénarii (cas sur ou souscritiques)
sont donnés.
Prérequis : cours du premier semestre (Calcul stochastique, Processus de Markov et
Théorèmes limites)
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Arrêt optimal : théorie, méthodes numériques et
applications
G. Pagès
Ce cours a lieu de Janvier à Février, 3 heures par semaine
Arrêt optimal : théorie, méthodes numériques et applications
• Arrêt optimal en temps continu (cas régulier) : rappels sur les supremum essentiels,
les surmartingales et martingales en temps continu (régularisation, décomposition
de Doob-Meyer ...).
• Enveloppe de Snell, caractérisation des temps d’arrêt optimaux, plus petit et plus
grand temps d’arrêt optimal, formulation duale de l’enveloppe Snell.
• Introduction la théorie de l’AOA sur les marchés financiers (complets).
• Valorisation d’options américaines en marché complet (marché brownien avec actifs
multidimensionnels sous forme de processus d’Itô) : lien avec l’arrêt optimal en
temps continu, portefeuille de réplication, stratégie de couverture.
• Formulations duales (Rogers 2002 ; Haugh-Kogan 2002 ; Jamshidian 2005).
• Etude analytique du prix de l’option américaine dans le cadre du modèle de Black-
Scholes : propriété de continuité, de monotonie, de convexité, inéquations variationnelles,
fronti`re libre, formule semi-fermée vi la frontière libre, smooth-fit.
• Étude d’exemples. Méthodes numériques (éléments)
Description et analyse succincte de quelques méthodes numériques de valorisation et
de couverture pour les options américaiens via des approximations bermudéennes.
• Itération sur les fonctions valeurs: régression non paramétrique (Carrière 1996),
maillage aléatoire (Broadie-Glasserman 1997), quantification optimale (Bally-Pagès
2001), calcul de Malliavin (Lions-Régnier 2001).
• Itération sur les temps d’arrêt: approximation de la valeur de continuation par
projection L 2 (Longstaff-Schwartz 2001).
• Calcul des couvertures: méthode de flot (Piterbarg 2002), méthodes de projection,
de régression.
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Analyse Probabiliste d’Algorithmes
Ph. Robert
(M2-S3,
6 ECTS)
Ce cours a lieu de Février à Juin, 2 heures par semaine
Programme
L’objet de ce cours est de présenter des méthodes probabilistes pour l’analyse d’algorithmes
classiques utilisés en informatique et dans les réseaux de communication. L’accent est mis
sur
1. Rappels et compléments.
Stabilité des Chaînes de Markov. Théorèmes de Renouvellement. Notions de théorie
ergodique.
2. Algorithmes en Arbre.
Accès concurrent à un canal de communication. Structures “tries” pour le stockage
de données. Étude asymptotique de l’algorithme sans arrivées, avec arrivées. Étude
du cas stationnaire.
3. Allocation de Ressources dans les Réseaux.
Réseaux Stochastiques avec Perte. Mesure d’équilibre et Asymptotiques.
l’algorithme du chemin alternatif.
Étude de
4. Diffusion de l’Information dans les Réseaux Aléatoires.
Représentations probabilistes des graphes aléatoires. Phénomènes épidémiques.
Des notes seront distribuées en cours.
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Théorèmes limites pour les semi-martingales,
application à la statistique des données haute
fréquence en finance
M. Rosenbaum
(M2-S3,
6 ECTS)
La disponibilité de données haute fréquence ainsi qu’une compréhension de plus en plus
fine des phénomènes de microstructure ont ouvert de nouvelles perspectives en finance
de marché. En particulier, le trading haute fréquence est né de la volonté d’optimiser
les transactions en profitant de ce nouveau contexte. Son essor récent a nécessité le
développement de méthodes originales de mathématiques financières et de statistique des
processus. Un nombre grandissant d’équipes de trading propriétaires, de salles de marchés
et de hedge funds y ont aujourd’hui constamment recours.
Le cours se déroulera en deux parties. Dans la première, on mettra en place des techniques
probabilistes associées aux processus de type semi-martingale. En effet, ces processus sont
non seulement au coeur des mathématiques financières usuelles (car ils sont essentiellement
les seuls compatibles avec la propriété de non arbitrage) mais ils représentent aussi un
outil de modélisation puissant dans le cadre haute fréquence. Dans la seconde partie du
cours, on s’intéressera plus précisément à la modélisation financière haute fréquence ainsi
qu’à l’estimation des quantités statistiques pertinentes pour le trading.
Plan :
Partie I :
I.1) Rappels sur la théorie des processus
I.2) Semi-martingales
I.3) Convergences fonctionnelles et théorèmes limites
I.4) Application: Estimation de la volatilité d’une semi-martingale, problématique des
sauts
Partie II :
II.1) Qu’est-ce qu’un bon modèle haute fréquence ?
II.2) Modèles usuels de microstructure et estimateurs associés: erreur additive et erreur
d’arrondi
II.3) Modèle avec zones d’incertitude
II.4) Corrélations asynchrones et effet lead-lag
II.5) Couverture haute fréquence optimale de produit dérivés
Quelques éléments de bibliographie (d’autres références seront données pendant le
cours):
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Almgren, R. F., Chriss, N. : Optimal execution of portfolio transactions, Journal of Risk
(2000), 3, 5-39.
Bouchaud, J.P., Potters, M. : Theory of Financial Risk and Derivate Pricing, Cambridge
University Press.
Hayashi T., Yoshida N. : On covariance estimation of non-synchronously observed diffusion
processes, Bernoulli (2005), 11,359-379.
Jacod J. : Asymptotic properties of realized power variations and related functionals of
semimartingales, Stochastic Processes and Their Applications (2008), 118, 517-559.
Jacod J., Shriyaev A. : Limit Theorem for Stochastic Processes, Springer.
Robert, C., Rosenbaum, M. : A new approach for the dynamics of ultra high frequency
data: the model with uncertainty zones, Journal of Financial Econometrics (2011), 9,
344-366.
Zhang L., Mykland P., At-Sahalia, Y. : A tale of two time scales : Determining integrated
volatility with noisy high frequency data, JASA (2005), 100, 1394-1411.
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Analyse probabiliste de conditions au bord
et méthodes particulaires stochastiques pour équations
aux dérivées partielles
D.Talay et M. Bossy
Analyse probabiliste de conditions au bord pour équations aux dérivées partielles
paraboliques et elliptiques (Denis Talay). L’objectif de cette partie du cours
est d’établir des représentations probabilistes de solutions d’équations aux dérivées partielles
paraboliques ou elliptiques avec condition au bord du domaine de type Dirichlet
ou Neumannn.
On commencera par montrer quelques propriétés du temps d’atteinte du bord d’un
domaine par la solution d’une équation différentielle stochastique. On montrera ensuite la
formule d’Itô–Tanaka et on étudiera le temps local d’un processus de diffusion au bord d’un
domaine régulier. Ensuite, on étudiera finement les solutions d’équations différentielles
stochastiques arrêtées au bord d’un domaine et on établira des résultats d’existence et
unicité pour des équations différentielles stochastiques réfléchies. On montrera que ces
objets probabilistes permettent de construire des solutions régulières à des équations aux
dérivées partielles paraboliques ou elliptiques avec condition frontière de type Dirichlet
ou Neumannn.
On traitera une application particulière : la localisation dans des domaines bornés de
problèmes elliptiques ou paraboliques posés dans tout l’espace.
Enfin, on établira des résultats de vitesse de convergence pour des schémas d’approximation
de processus de diffusions arrêtés ou réfléchis.
Approximation particulaire de diffusions non linéaires(Mireille Bossy). Ce
cours est une introduction aux systèmes de particules pour des équations différentielles
stochastiques non linéaires de type McKean. Des familles entières de modèles stochastiques
issus de la physique se présentent sous la forme d’équations différentielles stochastiques
dont les coefficients dépendent (de façon plus ou moins faible) de la loi du processus
solution.
On détaillera les systèmes de particules pour l’approximation d’équations aux dérivées
partielles de type McKean–Vlasov (particules en interaction champ moyen, propriété de
propagation du chaos, convergence, méthodes de simulation numérique et leurs vitesses
de convergence, exemples).
A titre d’exemple d’application en mécanique des fluides, encore peu explorée sur le
plan mathematique, on abordera les méthodes particulaires dans les approches lagrangiennes
en mécanique des fluides, la hiérarchie des modèles, particules et maillages, les
couplages EDP et EDS, et les modèles hybrides.
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Modèles Probabilistes en Neurosciences
M. Thieullen
Ce cours a lieu de Février à Juin, 2 heures par semaine
Résumé
Les phénomènes biophysiques observés en neurosciences sont d’une grande complexité.
Pendant de nombreuses années leur modélisation a reposé sur des modèles déterministes,
mais il est maintenant bien établi que les modèles stochastiques sont indispensables pour
décrire avec précision certains phénomènes. Dans ce cours nous décrirons les grands types
de modèles stochastiques existants. Pour chaque type nous identifierons les questions
probabilistes soulèvées et les outils nécessaires de la théorie des probabilités seront introduits.
On abordera par exemple les questions suivantes: premier temps de passage,
systèmes lents-rapides, applications des grandes déviations, comportement stationnaire,
approximation diffusion. Le lien avec certaines équations aux dérivées partielles sera
souligné sur des exemples.
Prérequis: il est souhaitable d’avoir suivi un cours de calcul stochastique.
Une bibliographie sera donnée au fur et à mesure de l’ avancement du cours.
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Estimation non-paramétrique
A. Tsybakov
durée: 24 heures.
L’objet de ce cours est de présenter quelques méthodes classiques de l’estimation nonparamétrique
et d’estimation statistique en grande dimension (16 heures de cours et 8
heures de travaux pratiques sur l’ordinateur). Les thèmes suivants seront abordés:
• Estimateurs à noyaux et par projection d’une densité. Validation croisée. Vitesses
de convergence et inégalités d’oracle.
• Estimation non-paramétrique de la fonction de régression. Estimateurs par polynômes
locaux, par projection et par la méthode de splines. Vitesses de convergence,
inégalités d’oracle et adaptation.
• Overfitting et régularisation. Procédures de seuillage. Méthodes pénalisées, BIC et
Lasso. Estimation statistique en grande dimension, sélection de variables et sparsité.
Compressed sensing.
Références
A.B.Tsybakov: Introduction to Nonparametric Estimation. Springer, New York, 2009.
A.B.Tsybakov: Apprentissage statistique et estimation non-paramétrique. Polycopié de
l’Ecole Polytechnique, 2010.
L. Wasserman: All of Nonparametric Statistics. Springer, New York, 2006.
P.J. Green, B.W. Silverman: Nonparametric Regression and Generalized Linear Models.
Chapman and Hall, London, 1994.
L. Devroye: A Course in Density Estimation. Birkhäuser, Boston, 1987.
A.Nemirovski: Topics in non-parametric statistics. Ecole d’Eté de Probabilités de
Saint-Flour XXVIII - 1998. Lecture Notes in Mathematics, v. 1738. Springer, 2000.
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Temps locaux, excursions, et points
multiples du mouvement brownien plan
M. Yor
(M2-S3,
6 ECTS)
Ce cours a lieu de Février à Juin, 2 heures par semaine
Pour de nombreux processus (X t , t ≥ 0) , dont les semimartingales, il existe, pour
tout niveau a donné, un processus croissant qui mesure le temps infinitésimal passé en a
par X. On appelle L a temps local de X au niveau a. On montrera, à l’aide du calcul
stochastique, l’existence et les principales propriétés de ces temps locaux. D’autre part,
le théorème d’Itô (1971) selon lequel le processus des excursions browniennes hors de 0
est un processus de Poisson ponctuel est à la fois d’une grande simplicité, et d’une grande
efficacité dans l’étude de nombreux problèmes concernant le mouvement brownien réel,
et mettant en jeu d’une façon plus ou moins explicite le point 0 (ou toute autre valeur),
par exemple : loi de l’arc sinus, valeurs principales, etc...
Après avoir démontré les principales caractérisations de la mesure d’intensité de ce processus
de Poisson ponctuel, on développera de nombreuses applications, parmi lesquelles
quelques propriétés asymptotiques du mouvement brownien plan, mettant en jeu les temps
locaux de la partie radiale de ce mouvement brownien plan.
Une dernière partie du cours sera consacrée à l’étude des points multiples du mouvement
brownien plan. De nombreux résultats les concernant peuvent être obtenus à l’aide
des temps locaux d’intersection, dont on donnera différentes constructions. Un texte de
référence est le cours de Saint-Flour de J.-F. Le Gall.
Il est souhaitable que les auditeurs de ce cours aient suivi le cours du premier semestre
sur le calcul stochastique.
Références
K. Itô : Poisson point processes attached to Markov processes. Proc. 6 th Berkeley, Symp.
Math. Stat. Prob., vol. 3, Univ. of California Press, 1971, p. 225-240.
J.-F. Le Gall : Some properties of planar Brownian motion.
In : XXème Ecole d’Eté de probabilités de Saint Flour. Springer (1992).
P.A. Meyer : Processus de Poisson ponctuels, d’après K. Itô. Sém. Prob. V. Lect.
Notes in Maths., vol. 191. Springer (1971), p. 177-190.
D. Revuz, M. Yor : Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer - 3ème
ed. 1998.
L.C.G. Rogers, D. Williams : Diffusions, Markov processes and Martingales. Tome
II, Wiley (1987).
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Exponentielles de processus
de Lévy
M. Yor
(M2-S3,
3 ECTS)
Ce cours a lieu de Février à Mars
L’étude - importante du point de vue des mathématiques financières - des mouvements
browniens géométriques est prise comme point de départ de développements plus généraux
concernant en particulier les changements de : temps, espace, probabilités, filtrations, qui
interviennent constamment dans toutes les études de diffusions, et plus généralement de
processus de Markov, en particulier des processus de Lévy.
Références
A. N. Borodin et P. Salminen (2002) : Handbook of Brownian motion and formulae.
Birkhäuser.
M. Yor (éditeur) (1997) : Exponential functionals and principal values related to
Brownian motion. Biblioteca de la revista Ibero-Americana.
M. Yor (1992) : On some exponential functionals of Brownian motion. Advances Appl.
Prob. 24, 509-531.
Articles de Paulsen, Nilsen, Gjessing sur les fonctionnelles exponentielles de processus
de Lévy.
Une bibliographie plus large sera distribuée au début du cours.
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