Fonction - LaLIC

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Fonction - LaLIC

Le texte mathématique

matique -

analyse en diachronie de

la notion de fonction

Jean-Pierre Desclés, s, Université de Paris IV-

Sorbonne, LALICC, Paris

Anca Pascu, Université de Bretagne Occidentale,

LALICC, Brest

Les Nouvelles Journées de l'ERLA

N° 7, Brest, 2006

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Introduction

• Cette analyse porte sur une notion cruciale en

mathématique, matique, notion qui était importée e et utilisée e par

un nombre de domaines dans la modélisation de leurs

théories :

• Physique

• Sciences cognitives

• Linguistique

• Sociologie

• Psychologie

la notion de fonction

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Introduction

• Nous allons réaliser r

notre analyser selon deux points

de vue :

• Le contenu de la notion de fonction en mathématique matique et

philosophie du langage

• La forme linguistique de quelques textes qui parlent de la

fonction, dans l’histoire l

des mathématiques.

matiques.

• Nous proposons une méthode m

automatique de

« fouille de textes » pour la notion de fonction, basée

sur l’exploration contextuelle (Desclés s 1996).

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• La notion de fonction :

Plan

• La vision ensembliste : la fonction comme un triplet de

deux ensembles et une relation

• La vision fonctionnelle : la fonction comme un opérateur

• La vision constructiviste : la fonction comme une

procédure

• Textes mathématiques matiques qui relèvent de ces trois points

de vue :

• Théorie générale g

des fonctions, Paul du Boid-Reymond

• Ecrits logiques et philosophiques-Fonction et concept,

G.Frege,

• Combinatory Logic, H.B.Curry

• Langages applicatifs, langues naturelles et cognition, J.-P.

Desclés

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Plan

• L’exploration contextuelle (EC) appliquée à la

fouille des textes mathématiques matiques sur la

fonction.

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Fonction -ensembliste

• L’origine de la notion de fonction

• Descartes, GéomG

ométrie (Leyde 1637)

• Samuel de Fermat, Varia Opera math (Toulouse

1679)

• (x,y); y est une fonction de x

(Encyclopédie des Sciences Mathématiques, Edition française,

aise,

rédigée e et publiée e d’aprd

après s l’él

’édition allemande sous la direction

de Jules Molk professeur à l’Université de Nancy, Gauthier

Villard, 1904, Jacques Gabay, 1991).

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Fonction -ensembliste

• On exprime la dépendance d

de l’abscisse l

variable x dans

laquelle la courbe ( C ) met

ainsi l’ordonnl

ordonnée e variable y,

en disant que y est fonction

de la variable indépendante

x.

• (Encyclopédie des Sciences

Mathématiques, Edition française,

aise,

rédigée e et publiée e d’aprd

après

l’édition allemande sous la

direction de Jules Molk professeur

à l’Université de Nancy, Gauthier

Villard, 1904, Jacques Gabay,

1991).

450

400

350

300

250

200

150

100

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50

0

1 1

10 100

20 400

courbe

1 10 20

abscisse

Série2

7


Fonction -ensembliste

• Jusqu’à

la fin de 17ème siècle, le besoin d’un d

terme spécial pour désigner d

les « fonctions »

ne s’est s

pas fait sentir.

• I. Newton, Methodus fluxionum, 1671 :

« relata quantitas »

• G.W. Leibniz, Lettre de Leibniz à Jean

Bernoulli, 1694 : « quantitas formata »

• Leibniz et Bernoulli, correspondance, 1697 :

« fonction »

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Fonction -ensembliste

• J.Bernoulli, 1701, Mémoire M moire sur le problème

d’isopérimètres (en français) ais) : « quantités

composées de quelques manière que ce soit de

cette grandeur variable et de constantes ».

• L. Euler, 1750 : « une fonction d’une d

quantité

variable est une expression

analytique

composée e de quantités s vartiables et de

quantités s constantes (nombres)

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Fonction -ensembliste

• L. Euler, Introduction à l’analise infinitésimale,

Lausanne, 1748 :

• « Si deux variables x et y sont liées par une équation

algébrique de la forme :

∑ ∑ a μ,ν x μ y ν = 0

chacune des deux variables est une fonction algébrique

de l’autre. l

»

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Fonction -ensembliste

• G. Lejeune Dirichlet dans un mémoire m moire sur les séries s

trigonométriques triques :

« Une quantité y est une fonction (univoque) d’une d

quantité x, , dans un intervalle donné

a ≤ x ≤ b

quand à chaque valeur attribuée à x dans cet intervalle

correspond une valeur unique et détermind

terminée e de y, sans

rien spécifier sur la façon dont les diverses valeurs de

y s’enchas

enchaînent nent les unes aux autres. »

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Fonction -ensembliste

• (f, A, B), f ⊂A × B

- (∀ x), x ∈ A, (∃(

y), y ∈ B, tel que

(x,y) ∈ f

- si (∃(

y 1 , y 2 ) tels que (x, y 1 ) ∈ f ,

(x, y 2 ) ∈ f, alors y 1 = y 2

• Notation f : A → B

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Fonction -ensembliste

• L’enchaînement nement des valeurs :

• discrète

te-continuum

• continuité-discontinuit

discontinuité

• convergence-divergence, limite

• Le graphique d’une d

fonction :

• La notion de « couple » (paire ordonnée)

• G f = { (x,y) / x ∈ A, y ∈ B, (x,y) ∈ f }

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Fonction -ensembliste

• Paul Du Bois-Reymond, Théorie générale g

des

fonctions, Berlin, 1887 :

« La théorie générale g

des fonctions embrasse, à mon

avis, tout ce qui se rattache à l’idée e la plus générale g

de fonction : en tête je place la métaphysique m

des

concepts de grandeur et de limite, comme servant de

base à la théorie de l’argument, l

de la fonction, et de

la condition commune de convergence et de

divergence des différentes opérations infinies. »

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Fonction -ensembliste

• La notion de fonction reliée e aux notions de :

• Grandeur, nombre

• Limite

• Convergence

« Il y a, pour l’esprit, l

deux manières toute-à-fait

distinctes de saisir les choses, qui ont un droit égal

à

être prises pour l’intuition l

fondamentale de la science

exacte, parce que aucune des deux n’apporte n

des

résultats absurdes, du moins tant qu’il s’agit s

des

mathématiques matiques pures : idéalisme et empirisme »

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Fonction -ensembliste

• Idéalisme : on accepte des objets mathématiques

matiques

comme représentations des entités s abstraites, dont on

peut prouver l’existence. l

• Empirisme : on n’accepte n

que les objets qui peuvent

être perçus (construits)

• Donner une preuve vs. Construire ?

• Quelle est la preuve de l’existence l

du nombre π,

quelle est la construction effective du π.


Fonction calculable

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Fonction-paradigme issu de

l’analyse du langage-Frege

Fonction - Objet. (G. Frege, Fonction et concept,

Ecrits logiques et philosophiques, traduction et

introduction de C. Imbert, Editions du Seuil, Paris

1971)

• Objet - entité saturé

Fonction - entité non-satur

saturé (elle peut être saturée e par

un objet, en obtenant un nouveau objet.

• Changement de paradigme : on passe de la variation

et du lien entre x et y à l’opposition saturé - non

saturé

• Jean court - (courir x) - (f x)

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Fonction-paradigme issu de

l’analyse du langage-Frege

• Concept - opérateur qui s’applique s

à un objet et qui

rend comme résultat r

une de deux valeurs de véritv

rité :

T « vrai », ⊥ « faux ».

• non-saturation (applicabilité)

• valeur de véritv

rité.

• (G. Frege, Concept et objet, Ecrits logiques et

philosophiques, traduction et introduction de C.

Imbert, Editions du Seuil, Paris 1971)

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Fonction-paradigme issu de

l’analyse du langage-Frege

Fonction et parcours de valeurs (Werthverlauf-

course-of

of-values); Concept et extension.

• « The issues involved in the distinction between

fonction and course of values, concept and extension

are the most difficult in Frege’s s work and the most

widely misundertstood »

G.Frege, 1893, Grundgesetze der Arithmetik,

begriffsschriftlich abgeleitet, Translated and edited with an

introduction by Montgomery Furth : Basic Laws of Arithmetic

(exposition of the system), University of California Press,

1967)

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Fonction-paradigme issu de

l’analyse du langage-Frege

• Range, value-range = codomaine

• Pour Frege le parcours de valeurs englobe,

l’idée e de graphe, mais d’une d

certaine manière

dynamique, c’estc

est-à-dire la construction de y à

partir de x, sans donner une construction

effective.

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Fonction-paradigme issu de

l’analyse du langage-Husserl

• L’idée e est formulée e par Husserl

(E. Husserl, Recherches logiques : Recherches pour la phénom

noménologie nologie et

la théorie de la connaissance, titre original : Logische Untersuchungen n ;

Untersuchungen zur Phänomenologie und Theorie der Erkenntnis, publié

par M. Niemeyer à Halle en 1913, traduit par H. Elie, A. Kelkel et R.

Scherer, volume2, Presses Universitaires de France, Paris1969.)

dans l’opposition l

:

• Catégor

gorèmes

- Syncatégor

gorèmes

• Cette idée e fait la transition vers

Opérateur

- Opérande

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Fonction-paradigme fonctionnel

• H.B.Curry :

• Système formel, système applicatif, application

• Application d’un d

opérateur

à un opérande

• Opérateur : entité qui agit

• Opérande : entité qui subit une action

f

a

(f a)

• Les combinateurs sont des opérateurs de

compositions

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• Curry :

Fonction-paradigme

fonctionnelle

Fonctionality in Combinatory Logic, Proceedings of

Natural Academy of Sciences USA, 1934.

• Outlines of Formalist Philosophy of Mathematics, North

Holland, 1958

• Combinatory Logic, North Holland, 1958.

• Le point tournant : l’accent l

est mis sur l’idl

idée

d’opérateur

- agir - action.

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Λ-calcul : (Λ(

x . f(x))

Λ-notationnotation

(A. Church The Calculi of Lambda Conversion,

Princeton Univ.Press, 1941)

(Λ x . f(x)) désigne d

la « fonction en soi »

f(x) désigne d

la valeur de la fonction pour

l’argument x

Λ est l’abstracteurl

Λ x est l’opl

opérateur d’abstractiond

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Desclés

• Opérateur

rateur-opérande

• Intension-extension

extension

• Objet plus ou moins détermind

terminé

• Le statut de la variable.

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Desclés

• J.-P. Desclés, s, Langage et cognition, RSSI,

Association Canadienne de Sémiotique, S

1988

• J.-P. Desclés, s, Langages applicatifs, langagues

naturelles et cognition, Hermès, 1990

• J.-P. Desclés s et K-S. K

Cheong, Analyse critique de la

notion de variable (points de vue sémiotique s

et

formel), Mathématiques et Sciences Humaines, 2005

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Desclés

• La combinaison de certains opérateurs vus comme

primitifs (primitives de cognition) pour modéliser le

« sens » dans les langues naturelles.

• Exemple : le temps et l’aspect. l

• A1- opérateur lié à la signification du verbe

• A2 - opérateur lié à la relation entre le prédicat et ses

arguments

• A3 - opérateur lié à l’organisation de la relation prédicative

• T - opérateur de temporalité

• E - opérateur de l’él

’énonciation.

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Desclés

• L’aspectualité dépasse le verbe.

• Elle est représent

sentée e par une composition

d’opérateurs dont le marqueurs se trouvent au

niveau de :

• Verbe

• Prédicat

• Proposition

• Phrase

• Contexte

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Point de vue de l’informatiquel

• La fonction comme procédure.

• Procédure

- algorithme

• Calculabilité

• Compléxit

xité des algorithmes

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Analyse automatique des textes

• La réalisation r alisation d ’une base de données de textes

sur la notion de fonction.

• Chercher des marqueurs pour la définition d finition de

la « fonction ».

• Appliquer l’exploration l

contextuelle pour

trouver des définitions d finitions de la notion de

fonction.

• Indexation et réalisation r alisation d’une d

base de données

de textes qui portent sur la notion de fonction.

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Analyse automatique des textes

• Marqueurs et éléments discursifs qui peuvent

repérer rer la notion de fonction.

• J.-P. Desclés,

s, Contextual Exploration Processing for

Discourse Automatic Annotations of Texts", FLAIRS

2006, Melbourne, Floride, 11-13 13 mai, 2006

• J.-P. Desclés, s, Systèmes d'exploration contextuelle", Table

ronde sur le Contexte in "Exploration Contextuelle, Recueil

de textes", CAMS-LaLIC

LaLIC, , Caen, avril 1996.

• J.-P. Desclés, s, Exploration Contextuelle, Sorbonne, 2003.

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Conclusion

Fonction - trois étapes

• Système complexe ⇒ Composition d’opd

opérateurs

• Différents domaines d’applications d

se focalisent

sur :

Action,

Calculabilité

• Compositionnalité (partout)

• Complexité (de plus en plus maintenant)

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Nous vous

remercions pour

votre attention !

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