Transparents Cours2

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Transparents Cours2

Master SdI – Spécialité E.E. UPMC, année 2011/2012







Physique de la conduction




Guillaume Legros - Maître de Conférences à lUniversité Paris VI

email: guillaume.legros@upmc.fr

tél: 01 30 85 48 84

1


OBJECTIFS

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Comprendre et analyser les réponses

aux excitations thermiques

1. 1 ères limitations: système matériel

immobile

indéformable

Mur fini

2. Intérêts: - solutions analytiques accessibles

- étude des sensibilités aux paramètres du

problème

- cadre pour la validation des modèles

2

G. Legros – Sept. 2011


FORMULATION

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Bilan local d’énergie:

Comment relier flux et température?

Mur fini

Loi de Fourier:

hypothèse: milieu isotrope

hypothèse: réponse instantanée

du milieu

Milieu transparent:

ou opaque…: = 0

3

G. Legros – Sept. 2011


FORMULATION

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Mur fini

Bilan local d’énergie:

La distribution de températures au sein d’un tel milieu est

définie par:

1. cette équation parabolique aux dérivées partielles

2. les conditions aux limites (conductives/

convectives/radiatives)

3. la distribution initiale en température

Hypothèse supplémentaire:

propriétés du milieu constante et uniforme

avec

diffusivité thermique

4

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Configuration 1D:

?

~

Mur fini

Distribution initiale en température:

Condition aux limites 1 (inertie thermique infinie):

5

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Configuration 1D:

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

et

Mur fini

Distribution initiale en température:

Condition aux limites 1 (inertie thermique infinie):

Condition aux limites 2 = type de perturbation

?

6

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une perturbation brutale (marche)

Condition aux limites 2 :

Résolution

Adimensionnement :

Mur fini

longueur caractéristique de

la conduction

Dégénérescence en équation différentielle

Dégénérescence des conditions aux limites:

7

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Mur fini

Réponse suite à une perturbation brutale (marche)

Condition aux limites 2 :

Résolution

On résoud en Θ:

Solution générale:

Avec conditions aux limites:

8

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une perturbation brutale (marche)

Condition aux limites 2 :

Résolution

Avec conditions aux limites:

Mur fini

fonction erreur (tabulée)

9

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une perturbation brutale (marche)

Condition aux limites 2 :

Résolution

Mur fini

En χ=0,5 donc en , la perturbation

thermique a induit la moitié de son effet

10

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Mur fini

Réponse suite à une perturbation brutale (marche)

Condition aux limites 2 :

~

si

11

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une perturbation brutale (marche)

Condition aux limites 2 : exemple d’un mur de béton

20 °C

0,5m

Mur fini

G. Legros – Sept. 2011

Exemple obtenu avec appli1.m

12


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une perturbation brutale (marche)

Condition aux limites 2 : exemple d’un mur de béton

20 °C

0,5m

Mur fini

G. Legros – Sept. 2011

Exemple obtenu avec appli1.m

13


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une perturbation brutale (marche)

Condition aux limites 2 : exemple d’un mur de béton

20 °C

0,5m

Mur fini

G. Legros – Sept. 2011

Exemple obtenu avec appli1.m

14


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Mur fini

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 :

Résolution

On cherche une solution du type :

T = T 1 + T 2

solution à l’excitation marche

solution au régime forcé

15

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 :

Solution au régime forcé

On injecte dans le système à résoudre

une solution du type :

Mur fini

16

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 :

Solution au régime forcé

On cherche une solution θ 2 du type:

Mur fini

Avec les conditions aux limites:

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G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 :

Solution au régime forcé

Mur fini

Le phénomène de diffusion a dégénéré en phénomène de

propagation vers les x positifs.

Célérité v:

milieu dispersif

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G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 :

Solution au régime forcé

Mur fini

Une sollicitation composée de plusieurs fréquences verra

son spectre déformé selon l’endroit de l’observation.

Facteur d’atténuation:

G. Legros – Sept. 2011

Les HF se propagent plus rapidement mais sont amorties 19

à plus courte échelle.


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 :

Solution au régime forcé

Mur fini

Une sollicitation composée de plusieurs fréquences verra

son spectre déformé selon l’endroit de l’observation.

Facteur d’atténuation:

Profondeur de pénétration:

20

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 : exemple d’un mur en béton

excitation en x=0:

variation sinusoïdale: amplitude 20°C / période 1 jour

+ variation sinusoïdale: amplitude 2°C / période 1 heure

Mur fini

G. Legros – Sept. 2011

Exemple obtenu avec appli2.m

21


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 : exemple d’un mur en béton

excitation en x=0:

variation sinusoïdale: amplitude 20°C / période 1 jour

+ variation sinusoïdale: amplitude 2°C / période 1 heure

Mur fini

G. Legros – Sept. 2011

Exemple obtenu avec appli2.m

22


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 : exemple d’un mur en béton

excitation en x=0:

variation sinusoïdale: amplitude 20°C / période 1 jour

+ variation sinusoïdale: amplitude 2°C / période 1 heure

période =1 jour

Mur fini

période =1 heure

G. Legros – Sept. 2011

Une sollicitation composée de plusieurs fréquences verra

23

son spectre déformé selon l’endroit de l’observation.


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 : exemple d’un mur en béton

excitation en x=0:

variation sinusoïdale: amplitude 20°C / période 1 jour

+ variation sinusoïdale: amplitude 2°C / période 1 heure

Mur fini

période 1 jour

période 1 heure

G. Legros – Sept. 2011

Une sollicitation composée de plusieurs fréquences verra

24

son spectre déformé selon l’endroit de l’observation.


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 :

Solution à l’excitation marche

Par un raisonnement analogue

(mais en formulation φ )

Mur fini

Par intégration:

fonction tabulée

25

G. Legros – Sept. 2011


MUR SEMI-INFINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Configuration

Perturbation

marche

Sollicitation

périodique

Réponse suite à une sollicitation périodique (jour/nuit)

Condition aux limites 2 :

Résolution

On recompose la solution :

T = T 1 + T 2

Mur fini

~

si

26

G. Legros – Sept. 2011


MUR FINI

Objectifs

Formulation du

système

Mur semi-infini

Mur fini

A vous de le découvrir

au travers de la réalisation du code numérique

en TD…

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