MECANIQUE DES FLUIDES La calculatrice et le formulaire sont ...

UNIVERSITE D'ANGERS Epreuve de
Année 2000-2001
MECANIQUE DES FLUIDES
CONTROLE CONTINU
Licence de Physique et Applications
Mardi 21 novembre 2000
Durée : 2h30
S. Chaussedent
La calculatrice et le formulaire sont autorisés
PROBLEME 1 : VANNE A REGULATION DE NIVEAUX
(barème indicatif : 9 pts)
Une vanne rectangulaire de largeur unité (∆y = 1), de longueur OB = d et de masse m,
peut pivoter autour de l’axe Oy et permet de retenir le liquide d’un réservoir. La hauteur H de
liquide est repérée par rapport à l’axe Oy. l est la hauteur de l’ouverture pratiquée dans la
paroi du réservoir dans laquelle repose la vanne (voir figure 1). On supposera négligeable
l’épaisseur de la vanne, et son centre de masse G situé au milieu de OB. Le liquide sera
supposé incompressible et de masse volumique ρ.
1. Calculer la force de pression hydrostatique F r s’exerçant sur la vanne.
2. Déterminer le point d’application A de cette force F r .
3. Calculer le moment de la force F r par rapport à l’axe de pivotement, ainsi que celui du
poids de la vanne, également par rapport à l’axe de pivotement.
4. En déduire la hauteur H de liquide à partir de laquelle la vanne s’ouvre automatiquement
(exprimer H en fonction de m, d, l et ρ).
5. On souhaite utiliser cette même vanne pour séparer deux réservoirs contenant les hauteurs
H 1 et H 2 d’un même liquide de masse volumique ρ (voir figure 2). Déterminer les forces
F r 1
et F r 2
qu’exercent respectivement le liquide du réservoir 1 et celui du réservoir 2 sur la
vanne. Après avoir déterminé les points d’application A 1 et A 2 de F r 1
et F r 2
, en suivant la
même démarche que précédemment, exprimer la différence de niveau ∆H = H 1 -H 2 que
cette vanne permet de maintenir constante.
H
H 1
O
O
H 2
l
B
z
y ⊗ x
l
B
- figure 1 - - figure 2 -

PROBLEME 2 : ECOULEMENT AUTOUR D’UN MAT
(barème indicatif : 7 pts)
On souhaite modéliser et caractériser l’écoulement de l’air autour d’un mât
cylindrique. Dans ce but, on considérera l’air comme un fluide incompressible s’écoulant
dans un plan perpendiculaire à l’axe du mât. Dans ces conditions, on peut décrire
p 1
l’écoulement à l’aide de la superposition d’un dipôle de potentiel complexe : et d’un
2π z
écoulement uniforme : Uz, où p et U sont des constantes réelles positives représentant
respectivement la vitesse du vent (loin du mât) et le moment dipolaire.
1. Donner la raison pour laquelle il est possible de créer un écoulement résultant de la
superposition de ces deux écoulements élémentaires par simple addition de leurs
formulations complexes.
2. Après avoir exprimé et développé la forme complexe f(z) de l’écoulement résultant, en
déduire la fonction de courant et le potentiel des vitesses.
3. Déterminer le champ de vecteurs vitesse.
4. Montrer qu’il existe deux points d’arrêt et donner leurs coordonnées.
5. Quelles sont les lignes de courant passant par ces points d’arrêt ?
6. Tracer de façon schématique quelques lignes de courant, et plus particulièrement celles
passant par les points d’arrêt.
7. Quelle valeur doit-on attribuer au moment dipolaire p pour modéliser l’écoulement d’un
vent de vitesse U = 10 m.s -1 autour d’un mât de rayon R = 20 cm ?
8. Déterminer la vitesse de l’air en contact avec le mât. En quels points celle-ci est-elle
maximale ? Que vaut cette vitesse maximale ?
9. Déterminer l’accélération normale et tangentielle de l’air en contact avec le mât. En quels
points ces deux composantes sont-elles maximales ?
PROBLEME 3 : PRESSION DE L’ATMOSPHERE
(barème indicatif : 4 pts)
On souhaite caractériser la loi de variation de pression de l’atmosphère terrestre en
fonction de l’altitude. Pour cela, on considérera l’air comme un gaz parfait vérifiant
l’équation d’état : PV = nRT.
1. Montrer que dans ces conditions, la masse volumique est fonction de la pression et
M
s’exprime comme : ρ = p , où M est la masse molaire du gaz.
RT
2. En supposant que l’atmosphère est adiabatique, on peut montrer que la température est
(γ−1)
γ
également fonction de la pression et en dépend selon la loi : T = α p , où γ = 1,4 est
le coefficient polytropique de l’air, et α une constante que l’on peut déterminer en
considérant qu’à l’altitude z = 0, la pression vaut p 0 pour une température T 0 . Poser
l’équation fondamentale de la statique des fluides et en déduire la loi de variation de la
pression p en fonction de l’altitude z.
3. En déduire qu’il existe une altitude maximale au-delà de laquelle il n’y a plus d’air.
Exprimer cette altitude maximale en fonction de γ, R, M, de l’accélération de la pesanteur
g et de la température T 0 à l’altitude z = 0. Application numérique : R = 8,31 J.K -1 .mol -1 ,
M = 30 g.mol -1 , g = 9,8 m.s -2 et T 0 = 300 K.
4. Quelle est la loi de variation de la température en fonction de l’altitude ? Quelle
température règne-t-il à 10 000 m d’altitude ?