Contrôle vibratoire des planchers - Guide - Infosteel

RFS2-CT-2007-00033
Human induced Vibrations of Steel Structures
Contrôle vibratoire des planchers
Guide

Contrôle vibratoire des planchers
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Table des matières
Contrôle vibratoire des planchers 1
Guide 1
Résumé 3
1. Introduction 4
1.1. Généralités 4
1.2. Domaine d’application 4
1.3. Références 5
1.4. Définitions 5
1.5. Variables, unités et symboles 7
2. Calcul de planchers vis-à-vis des vibrations 8
2.1. Procédure de dimensionnement 8
2.2. Méthodes de dimensionnement connexes 8
2.2.1. Méthode de calcul manuelle avec l’utilisation des mesures 8
2.2.2. Méthode de fonction de transfert 8
2.2.3. Superposition modale 9
3. Classification des vibrations 10
3.1. Quantité d’intérêt 10
3.2. Classes de planchers 10
4. Méthode de calcul manuelle 12
4.1. Détermination de fréquences propres et de masse modale 12
4.1.1. Méthode des éléments finis 12
4.1.2. Formules analytiques 13
4.2. Détermination de l’amortissement 13
4.3. Détermination de la classe du plancher 13
4.3.1. Systèmes avec plusieurs fréquences propres 14
4.4. Diagrammes OS-RMS 90 pour l’oscillateur simple 15
A. Calcul des fréquences propres et de la masse modale des planchers et
d’autres structures 24
A.1. Fréquence propre et masse modale des dalles isotropes 24
A.2. Fréquence propre et masse modale des poutres 26
A.3. Fréquence propre et masse modale des dalles orthotropes 26
A.4. Approche par le poids propre pour la fréquence propre 27
A.5. Méthode de Dunkerley pour la fréquence propre 28
A.6. Approximation de la masse modale 28
B. Exemples numériques 32
B.1. Dalle légère avec poutres cellulaires ACB mixtes (bâtiment de
bureaux) 32
B.1.1. Description du plancher 32
B.1.2. Détermination des caractéristiques dynamiques du plancher 35
B.1.3. Evaluation 36
B.2. Bâtiment de bureaux à 3 niveaux 37
B.2.1. Description du plancher 37
B.2.2. Détermination des caractéristiques dynamiques du plancher 39
B.2.3. Evaluation 40
2

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Résumé
Les planchers modernes, légers et/ou de grande portée, peuvent vibrer dans
les conditions de service. Ce guide présente une méthode avec laquelle de
tels planchers peuvent être facilement dimensionnés pour faire face à ces vibrations.
Le domaine d’utilisation de ce guide comprend les planchers du résidentiel
et/ou du non-résidentiel qui pourraient vibrer sous l’effet d’usagers marchant
normalement et ainsi nuire au confort d’autres usagers. Le but de ce guide
de dimensionnement est d’aider à préciser les exigences de confort pour
usagers et d’effectuer un dimensionnement qui est le garant du confort exigé.
Ce guide est accompagné d’un document de justification qui présente des
voies alternatives et plus générales pour la détermination de la réponse vibratoire
du plancher sous l’action des usagers.
Les méthodes théoriques, présentées ici et dans le document accompagnateur,
ont été élaborées dans le cadre du projet FRCA « Vibrations of Floors ».
Le guide et le document accompagnateur sont disséminés avec le financement
partiel du Fonds de Recherche du Charbon et de l’Acier dans le cadre
du projet « HiVoSS ».
Les indications pour la détermination des caractéristiques vibratoires du
plancher et quelques exemples numériques sont donnés dans les annexes de
ce document.
3

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1. Introduction
1.1. Généralités
Les structures de planchers sont généralement dimensionnées aux Etats Limites
Ultimes (ELU) ainsi qu’aux Etats Limites de Service (ELS) :
• Les Etats Limites Ultimes traitent de la stabilité et de la résistance,
• Les Etats Limites de Service font essentiellement référence aux vibrations
et par conséquent dépendent des raideurs, des masses, de
l’amortissement et des mécanismes d’excitation.
Pour les structures de planchers minces, comme celles en acier ou en mixte,
les critères de Service sont prépondérants dans le dimensionnement.
Ce guide aborde les points suivant :
• Définition des vibrations acceptables par le biais de classe
d’acceptabilité et,
• Evaluation de la réponse vibratoire du plancher aux actions d’origine
humaine en fonction de l’utilisation prévue du bâtiment.
Plusieurs caractéristiques dynamiques du plancher sont nécessaires pour
l’évaluation du comportement vibratoire. Ces caractéristiques et les méthodes
simplifiées pour leur détermination, sont brièvement abordées dans
l’annexe A. L’annexe B reprend des exemples de calcul.
1.2. Domaine d’application
Ce guide propose des méthodes et des recommandations simples pour la détermination
de l’acceptabilité des vibrations provoquées par des personnes
lors d’une utilisation normale. Les mesures réelles effectuées sur site après
construction pourraient différer des valeurs évaluées sans, pour autant, que
ces dernières puissent être remises en cause. Les méthodes de calcul des vibrations
de plancher font référence aux vibrations de résonance d’origine
humaine, provoquées par la marche de personnes lors d’une utilisation normale
du plancher du bâtiment. Les vibrations provoquées par des machines
ou celles provenant d’un trafic de véhicule, ou autre, ne seront pas traitées
dans ce guide.
De même, ce guide ne peut pas être utilisé dans le cas de passerelles pour
piétons ou toute autre structure n’ayant pas de caractéristiques structurelles
ou d’utilisation similaires aux planchers de bâtiment.
Ce guide se concentre sur la prévision et l’évaluation de vibrations au niveau
du dimensionnement.
4

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1.3. Références
[1] European Commission – Technical Steel Research: Generalisation of
criteria for floor vibrations for industrial, office, residential and public building
and gymnastic halls, RFCS Report EUR 21972 EN, ISBN 92-79-01705-5,
2006, http://europa.eu.int
[2] Hugo Bachmann, Walter Ammann. Vibration of Structures induced by
Man and Machines” IABSE-AIPC-IVBH, Zürich 1987, ISBN 3-85748-052-X
[3] Waarts, P. Trillingen van vloeren door lopen: Richtlijn voor het voorspellen,
meten en beoordelen. SBR, September 2005.
[4] Smith, A.L., Hicks, S.J., Devine, P.J. Design of Floors for Vibrations: A
New Approach. SCI Publication P354, Ascot, 2007.
[5] ISO 2631. Mechanical Vibration and Shock, Evaluation of human exposure
to whole-body vibration. International Organization for Standardization.
[6] ISO 10371. Bases for design of structures – Serviceability of buildings
and walkways against vibrations. International Organization for Standardization.
1.4. Définitions
Les définitions ici présentes sont applicables uniquement dans le contexte de
ce guide.
Amortissement D
Masse modale M mod
=
Masse généralisée
L’amortissement est la dissipation d’énergie d’un
système vibrant. L’amortissement total consiste
en :
• L’amortissement dû aux matériaux et à la
structure,
• L’amortissement dû au mobilier et aux finitions
(p.ex. faux-plafond),
• La redistribution de l’énergie dans
l’ensemble du bâtiment.
Dans de nombreux cas, chaque mode d’un système
comportant plusieurs degrés de liberté peut
être assimilé à un système à un seul degré de liberté
:
f
=
1
2π
K
M
mod
mod
où : f
est la fréquence propre du mode considéré,
5

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K mod
est la raideur modale,
M mod est la masse modale.
La masse modale peut donc être interprétée
comme la masse activée dans un mode vibratoire
spécifique.
Fréquence propre f
OS-RMS 90
Chaque structure a son propre comportement dynamique
face à la forme et la durée T[s] d’une
seule oscillation. La fréquence f est l’inverse du
temps d’oscillation ou période T (f=1/T).
La fréquence propre est la fréquence d’un système
libre pouvant osciller sans excitation extérieure
continue.
Toutes les structures ont autant de fréquences
propres et de modes vibratoires (formes
d’oscillation) associés que de degrés de liberté. Elles
se distinguent généralement par les différents
niveaux d’énergie (harmonies) créés par
l’oscillation. La première fréquence propre est celle
qui correspond au niveau d’énergie le plus bas.
C’est donc celle qui sera activée de préférence en
premier.
L’équation de la fréquence propre d’un système
libre à un degré de liberté est :
f
=
1
2π
où : K est la raideur,
M
est la masse.
« OS-RMS 90 » – valeur efficace de l’accélération
sous l’effet de la marche d’une personne, couvrant
90% de personnes marchant normalement.
K
M
OS : « One Step » = pas unique
RMS : « Root mean square » = valeur efficace de
l’accélération a :
a
RMS
T
1
= a(
t)
T
∫
0
dt
≈
a
2 Peak
2
où : T est la période étudiée.
6

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1.5. Variables, unités et symboles
a Accélération [m/s²]
B Largeur [m]
f, f i Fréquence propre considérée [Hz]
δ(x,y) Flèche au point avec les coordonnées x,y [m]
D Amortissement (% de l’amortissement critique) [-]
D 1 Amortissement dû à la structure [-]
D 2 Amortissement dû au mobilier [-]
D 3 Amortissement dû aux finitions [-]
l Longueur [m]
K, k Rigidité, raideur [N/m]
M mod Masse modale [kg]
M total Masse totale [kg]
OS-RMS
Valeur efficace de l’accélération sous l’effet de la
marche d’une personne marchant normalement
[-]
OS-RMS 90 Fractile 90 % des valeurs OS-RMS [-]
T Période (de vibration) [s]
t Temps [s]
p
Charge répartie (par unité de longueur ou unité de
surface)
[kN/m] ou
[kN/m²]
δ Flèche [m]
µ Distribution de la masse par unité de longueur ou
unité de surface)
[kg/m] ou
[kg/m²]
7

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2. Calcul de planchers vis-à-vis des vibrations
2.1. Procédure de dimensionnement
La procédure de dimensionnement décrite dans ce guide est une procédure
simplifiée à trois pas qui sert pour la vérification d’un projet de plancher visà-vis
de vibrations sous l’action des usagers :
1. D’abord, on détermine les caractéristiques du plancher de base.
2. En utilisant ces caractéristiques et une série de diagrammes on peut
obtenir le fractile 90 % de la valeur efficace de l’accélération sous
l’effet de la marche d’une personne marchant normalement, ce qui caractérise
la réponse du plancher sous l’action des usagers.
3. Cette valeur est ensuite comparée aux valeurs recommandées pour les
différentes utilisations du plancher.
Ces trois pas sont visibles à la Figure 1. Cette procédure est assimilée à une
méthode simplifiée de calcul manuelle qui est traitée dans le chapitre 4.
Détermination des caractéristiques dynamiques du plancher :
Fréquence propre
Masse modale
Amortissement
Lecture de la valeur d’OS-RMS 90
Détermination et vérification de la classe d’acceptabilité
Figure 1 :
Procédure de dimensionnement
2.2. Méthodes de dimensionnement connexes
2.2.1. Méthode de calcul manuelle avec l’utilisation des mesures
La méthode de calcul manuelle peut être utilisée aussi dans les cas où les
caractéristiques du plancher ont été déterminées par essais. Pour la détermination
des caractéristiques vibratoires du plancher à partir d’essais, voir
les références [1] et [3].
2.2.2. Méthode de fonction de transfert
Dans la méthode de fonction de transfert, au lieu d’utiliser les paramètres
modaux tels que masse, raideur et amortissement modaux, les caractéristi-
8

Contrôle vibratoire des planchers
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ques du plancher sont décrites en termes d’une fonction de réponse de fréquences
ou fonction de transfert. En partant d’une description statistique de
charges dues aux usagers, une analyse probabiliste est effectuée pour déterminer
la valeur d’OS-RMS 90 du plancher. La méthode est décrite plus dans
le détail dans les références [1] et [3].
Pour la méthode de calcul manuelle qui est une version simplifiée de la méthode
de fonction de transfert, on utilise la fonction de transfert classique
pour un oscillateur simple amorti et on effectue en avant l’analyse probabiliste
pour obtenir la valeur d’OS-RMS 90 .
La méthode de fonction de transfert peut être appliquée dans les cas où la
réponse de plancher est obtenue par des calculs aux éléments finis ou par
des mesures. On utilise alors le jeu de critères d’acceptation décrit dans ce
guide.
2.2.3. Superposition modale
Deux méthodes d’analyse basées sur la superposition modale sont présentées
dans un guide publié par le Steel Construction Institute [4].
La méthode générale consiste en deux pas : on utilise d’abord un logiciel aux
éléments finis pour déterminer les caractéristiques modales du plancher pour
un certain nombre de modes et ensuite on applique au plancher des charges
dues aux usagers pour déterminer la réponse du plancher en terme
d’accélération.
La méthode simplifiée est basée sur une étude paramétrique utilisant une
approche générale et est présentée sous forme de formules analytiques.
Contrairement à la méthode de calcul manuelle, l’approche utilisée pour la
méthode de superposition modale est déterministe et les résultats sont directement
comparables aux limites fournies par les normes internationales
dans les références [5] et [6]. Cette méthode permet aussi de faire la distinction
entre la personne qui marche et provoque les vibrations et celle qui
les subit, ce qui permet de déterminer l’isolation des aires critiques telles que
salles chirurgicales. Des informations approfondies sur cette approche sont
données dans le document accompagnateur.
9

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3. Classification des vibrations
3.1. Quantité d’intérêt
La perception des vibrations par les personnes et le sentiment individuel de
gêne associé dépendent de plusieurs aspects. Les plus importants sont :
• La direction de la vibration, même si dans ce guide la vibration verticale
est uniquement considérée,
• La position des personnes : être debout, allongé ou assis ;
• L’activité dans laquelle la personne se trouve est importante pour sa
perception des vibrations ; une personne travaillant dans une usine de
production perçoit différemment les vibrations que celle assise dans un
bureau,
• L’âge et l’état de santé des personnes affectées sont aussi des facteurs
importants conditionnant le sentiment de gêne causé par les vibrations.
La perception des vibrations est donc un problème individuel qui ne peut être
décrit que d’une façon qui répond aux attentes de confort de la majorité.
Il est à noter que ce guide se penche uniquement sur les vibrations qui touchent
au confort des occupants et non à l’intégrité de la structure.
Afin d’obtenir une procédure de vérification universelle pour les vibrations
d’origine humaine, il est recommandé d’adopter comme mesure la valeur
dite OS-RMS. Cette valeur correspond à l’oscillation harmonique causée par
un pas de référence sur le plancher.
Comme l’effet dynamique de la marche sur un plancher dépend de certaines
conditions comme, par exemple, le poids de la personne, la vitesse de la
marche, le type de chaussures, du revêtement, etc., il est recommandé de
prendre comme valeur de référence 90% d’OS-RMS (OS RMS 90 ). L’indice 90
indique que 90 pour cent de toutes les valeurs OS-RMS sont couvertes par
cette valeur.
3.2. Classes de planchers
Le Tableau 1 répartit les vibrations dans différentes classes (de A à F), en
donnant des recommandations selon l’utilisation du plancher.
10

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Tableau 1 : Classification des planchers et recommandations en fonction de leur
utilisation
OS-RMS 90
Utilisation du plancher
Classe
Limite inférieure
Limite supérieure
Endroit sensible
Santé
Education
Résidentiel
Bureau
Réunion
Commerce
Hôtel
Prison
Industriel
Sport
A 0,0 0,1
B 0,1 0,2
C 0,2 0,8
D 0,8 3,2
E 3,2 12,8
F 12,8 51,2
Recommandé
Critique
Non recommandé
Les limitations concernant les vibrations sont aussi données dans la norme
internationale ISO 10137 [6], référencée dans les Eurocodes. Ces limitations
sont reproduites par le Tableau 2, avec les limites d’OS-RMS 90 équivalentes.
Tableau 2 : Limites de vibrations précisées dans l’ISO 10137 pour les vibrations
continues
Endroit Temps Facteur multiplicateur
OS-RMS 90
équivalente
Espaces de travail critiques (p.ex. Jour 1 0,1
salle d’interventions chirurgicales, Nuit 1 0,1
laboratoires précis, etc.)
Résidentiel (p.ex. appartements, Jour 2 à 4 0,2 à 0,4
maisons, hôpitaux) Nuit 1,4 0,14
Bureau calme, open space Jour 2 0,2
Nuit 2 0,2
Bureau généralisés (p.ex. écoles, Jour 4 0,4
bureaux) Nuit 4 0,4
Ateliers
Jour 8 0,8
Nuit 8 0,8
Il est considéré que ces dernières sont inutilement sévères et les mesures
dans de nombreux cas ont montré que les limites du Tableau 1 sont plus appropriées
(voir [1]).
11

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4. Méthode de calcul manuelle
La méthode de calcul manuelle est basée sur l’hypothèse que la réponse dynamique
d’un plancher peut être représentée par un oscillateur simple. La
fréquence propre, la masse modale et l’amortissement peuvent être obtenus
au préalable, par le calcul, comme exposé dans ce chapitre. Il a été dit précédemment,
dans la section 2.2.1, que ces paramètres modaux peuvent être
obtenus aussi à partir de mesures. Comme ce guide est destiné au dimensionnement
des bâtiments neufs, les procédures d’essais n’y figurent pas.
4.1. Détermination de fréquences propres et de masse modale
En pratique, les caractéristiques des planchers peuvent être déterminées soit
par un simple calcul (formules analytiques) soit par la méthode des éléments
finis (EF).
Pour le calcul des caractéristiques dynamiques du plancher, il est fortement
conseillé d’ajouter une fraction réaliste des charges d’exploitation à la masse
même du plancher. Suivant l’expérience dans les bâtiments résidentiels et
non résidentiels, les valeurs vont de 10 % à 20 % des charges d’exploitation.
Pour les planchers très légers, il est recommandé de prendre aussi en considération
la masse d’une personne. La masse minimale représentative recommandée
est de 30 kg.
4.1.1. Méthode des éléments finis
Sur le marché existent divers logiciels aux éléments finis avec lesquels il est
possible d’effectuer les calculs dynamiques et de déterminer les fréquences
propres. La masse modale peut aussi être obtenue suite à ce calcul des fréquences
propres.
Etant donné que les éléments finis choisis et la modélisation de
l’amortissement peuvent différer d’un logiciel à un autre, quelques informations
générales peuvent seulement être données dans ce guide à ce sujet.
Si un logiciel aux éléments finis est utilisé pour le calcul des vibrations, il est
à noter que le modèle aux éléments finis pour les calculs dynamiques pourrait
être très différent de celui pour les calculs aux États Limites, car seules
les petites déformations sont engendrées par les vibrations.
Un exemple typique est la différence des conditions d’appuis utilisées pour
un calcul dynamique par rapport à celles utilisées pour un calcul aux ELU. Un
appui peut être simple aux ELU alors qu’il peut être considéré comme encastré
lors d’un calcul dynamique.
Le module d’élasticité dynamique du béton devrait être augmenté de 10 %
par rapport au module sécant statique E cm .
12

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4.1.2. Formules analytiques
Les fréquences et les masses modales des plaques isotropes et orthotropes
ainsi que celles des poutres peuvent être calculées à la main par les formules
contenues dans l’annexe A.
4.2. Détermination de l’amortissement
L’amortissement a une influence importante sur le comportement vibratoire
du plancher. La valeur de l’amortissement d’un système en vibration peut
être calculée indépendamment des fréquences et des masses modales, en
considérant les valeurs données dans le Tableau 3. Ces valeurs prennent en
compte l’influence de l’amortissement de la structure en fonction des différents
matériaux, de l’amortissement dû au mobilier et celui dû aux finitions.
L’amortissement D est obtenu par l’addition des valeurs appropriées de D 1 à
D 3 .
Tableau 3 : Calcul de l’amortissement
Type
Amortissement (% de
l’amortissement critique)
Amortissement de la structure D 1
Bois 6%
Béton 2%
Acier 1%
Mixte acier-béton 1%
Amortissement du mobilier D 2
Bureaux avec cloisons de 1 à 3 personnes 2%
Bureaux sans armoires ni étagères 0%
Bureaux ouvert “open space”. 1%
Librairies 1%
Résidentiel 1%
Ecoles 0%
Salles de sport 0%
Amortissement des finitions D 3
Faux-plafond 1%
Faux-plancher 0%
Chape flottante 1%
Amortissement total D = D 1 + D 2 + D 3
4.3. Détermination de la classe du plancher
Lorsque la masse modale et la fréquence propre sont connues, la valeur de
l’OS-RMS 90 et la classe d’acceptabilité du plancher peuvent être déterminées
grâce aux diagrammes donnés à la section 4.4, pour l’oscillateur simple. Le
choix du diagramme dépend de la valeur de l’amortissement du plancher en
condition réelle d’utilisation (finitions et mobilier compris).
13

Contrôle vibratoire des planchers
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Fréquence (Hz)
20
19
2 2
2 1 1 1
0
. . . 1
.
18
6
. 4 . 2 8 4 . 2
6 0 . 5
0 .
0 4 0 0
17
3
1
. . 3 . 2
. 7
6
0 .
0
1
16
.
B
3
4 . 8
2
0
15
2
2
1 . 1 1 1 . 0 .
5
. . . 6 0 0
0 2
8 . 6 . 4 2 8 4 . 2
. 5 . 4
14
. 3
0
13
3
.
1
7
. 6
0
0
12
. 8
. 2
4 3 .
0 0
2
. 0 . 4
0. 3
11
2
1 1 1
6
. . . 8 . 4 .
C
8
2
1
. 5
5
2 . 4 2
2
7
. 86
10
0 .
1
7
0 0 9 6
0 .
.
0
3
4
9
3
1 . . 8 0 . 6
0 . 5
1 1
6
3 2
8
1 1 .
1
3
. 4 2 0 . 7 0 . 6
0 . 1
4 . 1 . 5
7
2
2 . 8
0 . 8
2
2
. 4
0 . 7
7
8
6 D
8
5
1. 6
1
2 9
1 .
2
7
6
3
1 . 4
2
9
6
2 1
1 0
21 . 8
5 1
5
2 .
. 1
4
2 1 . 6 1.2
3
3 . 2 2. 1 .4
11 2 6
32
E
4 . 8
1 . 8
4 4
1 2
4
1 . 6
5 9 5
3
6
1 7
2 . 2
4
8
5
1 2 3
. 4
7 F
36
7
3
2.6
. 2 2.8
3
6
4
2
3
.4
2 9
2
.6
9
10
5
3 . 2 .8
1 12
4
2 13
8 7 6
9
1
5
1 6
25
9
6
17
10
7
6
1
11 8
5
3 6
2 2 1 6 1 9 6
12
7
13
1
7 6
9
7 6
6
10
8
41
5
21
11
7
49
6 4
9
12
5
29
37
17
8
4 5
4
5 6
10
32 . 8
2 5 1 3 7
3 . 2
2 . 62 . 4
2 . 2
6
1
250 1000 2000 3000 4000 50006000 8000 10000
Masse modale [kg]
Figure 2 : Principe d’application des diagrammes
Le diagramme s’utilise en repérant la masse modale sur l’axe des abscisses
ainsi que la fréquence propre correspondante sur l’axe des ordonnées. La valeur
OS-RMS 90 et la classe d’acceptabilité sont directement lues à
l’intersection des deux droites (voir Figure 2).
: signifie une zone en dehors du domaine tolérable
4.3.1. Systèmes avec plusieurs fréquences propres
Dans certains cas, la réponse du plancher peut être caractérisée par plus
d’une fréquence propre. Dans de tels cas, la valeur d’OS-RMS 90 doit être déterminée
comme une combinaison de valeurs d’OS-RMS 90 obtenues pour
chaque mode de vibration. Le procédé est le suivant :
a) Déterminer les fréquences propres.
b) Déterminer la masse modale et l’amortissement correspondant à chaque
fréquence propre.
c) Déterminer la valeur d’OS-RMS 90 qui correspond à chaque fréquence
propre.
d) Approximer la valeur totale (ou combinée) d’OS-RMS 90 en utilisant :
∑
2
90
RMS 90;i
i
OS − RMS = OS − .
e) Relever la classe de plancher correspondante du Tableau 1.
14

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
15
4.4. Diagrammes OS-RMS 90 pour l’oscillateur simple
100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Modal mass of the floor (kg)
Eigenfrequency of the floor (Hz)
Classification based on a damping ratio of 1%
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
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1.6
1.8
1.8
1.8
1.8
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1.8
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2
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2.4
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2.6
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2.6
2.6
2.6
2.6
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
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2.8
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3
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13
13
13
13
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21
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25
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29
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136
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216
216
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236
236
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256
256
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276
276
296
296
316
316
336
336
356
356
376
376
396
396
416
416
436
456
476
496
516
536
556
596 576
616
636
656
676
696
716
736
756
776
796
816
836
856
876
896
916
936
956
A
B
C
D
E
F
Figure 3 : OS-RMS 90 pour un amortissement de 1 %

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
16
100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000
1
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20
Modal mass of the floor (kg)
Eigenfrequency of the floor (Hz)
Classification based on a damping ratio of 2%
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0.1
0.1
0.1
0.1
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0.2
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0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
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0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
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1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
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1.2
1.2
1.2
1.4
1.4
1.4
1.4
1.4
1.4
1.4
1.4
1.4
1.4
1.4
1.6
1.6
1.6
1.6
1.6
1.6
1.6
1.6
1.6
1.6
1.6
1.8
1.8
1.8
1.8
1.8
1.8
1.8
1.8
1.8
1.8
1.8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2.2
2.2
2.2
2.2
2.2
2.2
2.2
2.2
2.2
2.2
2.2
2.4
2.4
2.4
2.4
2.4
2.4
2.4
2.4
2.4
2.4
2.4
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
3
3
3
3
3
3
3
3
3
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3.2
3.2
3.2
3.2
3.2
3.2
3.2
3.2
3.2
4
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4
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4
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6
6
6
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9
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10
10
10
10
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11
11
11
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12
13
13
13
13
13
13
17
17
17
17
17
21
21
21
21
21
25
25
25
25
29
29
29
29
33
33
33
33
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41
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45
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136
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156
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196
196
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216
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236
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256
276
276
296
296
316
316
336
336
356
356
376
396
416
436
456
476
496
516
536
556
576
596
616
636
656
676
696
716
736
756
776
796
816
836
856
876
896
916
F
E
D
C
B
A
Figure 4 : OS-RMS 90 pour un amortissement de 2 %

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Eigenfrequency of the floor (Hz)
20 10
19 9
11
18
17
16
15
14
21
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12
1137
29
10
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9
8
7
6
5
196
216
276
236
4 256
176
3
2
7
8
12
13
17
116
136
156
5
6
10
9
11
4
7
8
12
13
17
21
25
76
96
216 196
96
3.22.6
1.61.4
2.8
2
1.2
1.8
2.2
2.4
3
5
10
6
9
11
37
4
Classification based on a damping ratio of 3%
3.2 2.6
2.8
7
8
12
13
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41
49
276
316
356
456
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416336
636 496
296
716 736
656 396
436
556 516 376
256
236
76
49
29
5
3
21
1
0.70.6
0.4
0.5
0.8
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1.4
2
1.2
1.8 1
2.2
2.4
4
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10
25
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156
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1.4
2.8
2 1.2
1.8
1
2.2
2.4
3
F
136
25
56
9
10
5
11 7
8
13
6
12
3.2 2.6
4
9
33
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13
E
29
21
0.7 0.6
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0.2
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1.4
1
2.8
1.2
2
1.8
2.2
2.4 D
3
7
4
11
8
17
98
5
10
3.2
2.8
2.2
3
12
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2.4
2.6
0.3
C
0.1
2
1.8
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2.2 1.4 1.2 0.8
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1.2
4 3 1.8 2 1.4
2.6 2.2 1.6
5
2.8 2.4
1.8
3.2
2
1.6
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1.2
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B
1
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A
0.5
0.4
1
100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000
Modal mass of the floor (kg)
Figure 5 : OS-RMS 90 pour un amortissement de 3 %
17

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Eigenfrequency of the floor (Hz)
Classification based on a damping ratio of 4%
20
2.6 2 1.6 1.2
199
8 7 4
2.4
1
0.60.5
6 5 3.2 2.2
0.80.7
0.4
18
1.8 1.4
0.3 0.2
3
17 12
11
2.8
0.1
13
16 10
2.6 2
15
8 7
1.6 1.2
17 9
4
1 0.6
5
2.4
0.5
A
6
3.2 2.2
0.80.7
0.4
14
1.8 1.4
0.3 0.2
21
3
13
12
2.8
0.1
11
12
13
10
2
11
7
2.6 1.6
1.2
9
8
4
1 0.6 B
17
6 5
2.4
0.5
3.2
2.2
0.80.7
0.4
10
0.2
0.3
29
1.8 1.4
37 25
0.1
41 33
3
9
21
1211
2.8
8
13
C
49 45
10
0.1
2
1
0.2
2.6 1.6 1.2 0.6 0.5 0.4 0.3
0.1
7
87
4
9
0.7
0.8
17
2.4
5
96 56
6
3.2
0.2
2.2
116
6
76
1.8
1.4
29
37
D
25
41 33
3
5
21
0.3
0.50.4
0.6
0.2
12
2.8
1 0.7
0.3
0.8
196
11
1.2
0.4
236
2 1.6
4 156
E
176
216
49
13
45
10
0.5
2.6
0.3
2.4
0.6
2.2
0.4
1.8 1.4
0.3
4
0.7
F
7
0.2
3
8
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5 3.2
0.4
0.3
9
1 0.6
6
1.2
176
0.7 0.5 0.4
17
3
1.6 0.8 0.6
2.8
2
1.4 1
1.8 1.2
0.7
56
2.6 2.4 2.2
0.8
196 96
1
1.6
356
2
1.4 1.2
3.2
476416
396
4
1.8
816 616 556 576496
436376
296236
836
796 73636
456
776 716
2
676
696
656 536
596
336
3
516 276
116
2.8 2.2
2.4 1.6
316
1.4
76
2.6
256
1.2
5
136
29
1211
1.8
2
1
216
6
1.6 1.41.2
0.8
25
10 7
3.2
2.2
1
8
0.80.7
0.6
3
2.4
37
2.8
1.2
0.50.4
21
2.6 21.8
1.4
0.6
33
41
13
9
4
1
0.8
0.7
0.5
0.4
0.3
1
100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000
Modal mass of the floor (kg)
Figure 6 : OS-RMS 90 pour un amortissement de 4 %
18

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Eigenfrequency of the floor (Hz)
Classification based on a damping ratio of 5%
20
1.6
0.8 0.7
8 7 4
3.2
1
0.6
0.1
19
3 2.8 1.4
1.2
6 5
2.21.8
0.5
2.4
0.4
18
2.6 2
0.2
0.3
17
10
11
16 13 9
1.6
0.80.7
0.1
8 7
4 3.2
1 0.6
15
3 2.8
1.4
1.2
A
6
0.5
5
2.2
1.8
0.4
14
17
2.4
2.6
2
0.2
12
13
0.3
10
11
12
13 9
0.1
1.6 0.80.7
0.6
11
8 7 4 3.2
1
3 2.8 1.4
B
1.2
25
6
0.5
5
2.2
1.8
29
0.4
10 21 17
2.42
0.2
2.6
33
12
0.3
9
0.1
11
10
8
C
9
13
1.6 1 0.80.7
0.6
0.2 0.1
7
8
7 4 3.2
1.4
0.5 0.4
76
3 2.8
1.2
49
0.3
45 37 25
6
2.2 1.8
96
56
5
29
2.4 2
6
21 17
0.2
41
2.6
12
33
D
5
0.6 0.50.4
0.3
0.7
0.2
0.8
10
1
176
4 196
11
1.6
0.3
9
1.4
13
1.2
0.4
E
1.8
0.5
3.2
156
7 4 3 2.8 2.2
0.3
F
0.6
0.2
3 136
8
2
0.7
0.4
76
0.8
2.4
0.3
1
0.5
49
6 5
2.6
0.6 0.4
196
0.7
1.2
0.5
1.61.4
0.8
37
1 0.7 0.6
45 25
1.8
2.22
1.2
416
2.8 1.4 1
276
3 2.4 1.6
596 556 516
3.2
496
56
536 356
29
476436
96
396 336
17
21
2
636 616 456
576
216
2.6
376 296
12
1.8 1.2
4
316256
1.4 1
176
236
2
41
2.2 1.6 0.8
10
1.2
5
1
9
2.4 1.8 1.4 0.80.7
116
7
2.8
0.6
0.5 0.4
3
2.6
33
1.2 1
11
1.6
0.3
8 6
3.2
0.7 0.4
0.8
2
0.6
1
100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000
Modal mass of the floor (kg)
Figure 7 : OS-RMS 90 pour un amortissement de 5 %
0.5
19

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Eigenfrequency of the floor (Hz)
20
19
15
14
13
12
11
8
7
6
5
4
3
2
7
6
18
8
17 10
9
16
13
12
17
21
10
25
29
9
41
37
96
176
156
5
49
76
7
4
6
8
110
9
13
12
56
17
45
2.6
2.2
2.4
1.8
1.6
3.2 2.8
2
5
7
3
21
6
1.2
Classification based on a damping ratio of 6%
1
1.4
2.6
2.2
2.4
3.22.8
4
8
5
11
10
25
33
29
49
256
236 216 196
316
456
356
436
636
596
576 556 496
476
336
616 536 516416
396 376
41
9
37
3
4
0.8
1.6
1.8
2
2.6
2.2
2.4
3.22.8
7
13
12
17
21
F
116
1.2
6
76
0.6
1.4
8
0.7
1
0.4
0.8
1.2
1.6
1.8
3
2
5
11
10
9
13
0.5
0.3
4
7
0.6
0.7
6
0.8
1
1.4
2.6
3.2
2.8
E
0.2
0.4
0.5
12
0.3
0.6
2.2
2.4
2
0.7
0.4
1.6
1.8
5
3
2.6
0.1
0.2
0.3
1.2
D
2.2
0.5
1
1.4
C
0.8
1.6
1.8
2.4
2.8
3.2
4
8
0.2
0.1
0.6
0.3
0.7
1.2
2
1
0.4
0.5
0.8
0.1 B
1.4
3
0.6
0.7
0.2
0.5
0.3
0.4
0.4
0.6
0.8
0.1
1.2
1.6
1.8
2.2
2.6
2.4
2
0.2
A
0.3
0.3
0.1
0.2
0.2
0.2
0.5 0.4 0.3
0.7 0.6 0.5
1 0.8
0.7
1.4
1.2 1
296
276
176
96
136
56
45
33
29
17
25
11
10
9
7
5
6
4
3
2.6
2.4
2.8
3.2
1.8
2.2
2
1.2
1.6
1.4
0.8
1
1
1.6
1.41.2
0.8
1 0.7
0.8 0.6
0.5
0.4
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
1
100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000
Modal mass of the floor (kg)
Figure 8 : OS-RMS 90 pour un amortissement de 6 %
20

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Eigenfrequency of the floor (Hz)
Classification based on a damping ratio of 7%
20
0.1
6 5
2.2
4 2.4
1.4
0.7 0.5
0.2
19
2.8 1.8
1
2
18
1.2
3.2
3 2.6
0.3
1.6
17
0.8
0.6 0.4
9
7
8
16
2.2
0.5
0.1
0.2
15
11
6 5 4 2.4
1.4
1
0.7
13
2.8 1.8
12
2
A
14
10
3
1.2
0.3
3.2 2.6
17
1.6
0.6
13
7
0.8 0.4
9
8
12
0.1
6
2.2 1.4 0.7 0.5
0.2
11
11
5
4 2.4
1
13
2.8 1.8
B
10
12
2
21
10
3
1.2
0.3
25
2.6
29
3.2
17
0.6
9
1.6
0.8
0.4
7
9
0.1
8
8
41
33
0.2
56
49
0.5 C
6 5
2.2 1.4 0.7
0.1
7
37
11
4
1
2.4
0.3
13
2.8 1.8
2
45
12
6
76
10
1.2
0.1
21
3
2.6
0.4
0.6
25
0.2
3.2
D
96
29
17
0.8
5
1.6
7
0.5 0.3 0.2
9
116
8
0.7
4
E
0.4
33
1.4
1
41
49
0.2
56
2.2
6
0.3
3
F
5
0.6
4 2.4 1.8
136
1.2 0.8 0.5
37
11
2
0.4
2.8
0.3
0.7
3 1.6
0.6 0.5 0.4
2.6
1
13
3.2
0.8
1.4 0.7
1.2 0.6
256
1.8 1 0.8
416
296
176
376 236
196
2.2
12
516 336
10
576 616
1.6
536 476 496 356
396 276
45
2
556
2
456
216
436
2.4
156
316
76
21
7
1.41.2
0.8
2.8
1 0.7
2.6
0.8 0.6
25
4 3
1.8
0.7
1.6 1.2
0.5
1
0.4
17
8
9
5
29
1.4
0.6
3.2
0.3
96
0.8
2
6
0.5 0.4
1
100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000
Modal mass of the floor (kg)
Figure 9 : OS-RMS 90 pour un amortissement de 7 %
21

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Eigenfrequency of the floor (Hz)
Classification based on a damping ratio of 8%
20
5
3.2
4
2
0.5 0.4 0.2 0.1
197
1.8
6
3
1.6 1.21
2.6 2.4
0.7
0.3
18
2.8
0.8 0.6
1.4
17
9 8
2.2
16
5
3.2
4
2
0.5 0.4
0.2
15
1.8
13 7 6
3
1.6
1.2
1
0.7
0.3
10
2.4
2.6
14
2.8
0.8
0.6
11
1.4
13
12
9 8
2.2
12
17
3.2
5
2
0.5 0.4
11
4
21
3 1.8
1.6 1
13 7 6
2.4 1.2 0.7
0.3
10
2.6
10
2.8
0.8
0.6
11
25
1.4
9
12
9 8
2.2
8 4137
5 3.2 2
49
17
7
29
4
56
3 1.8 1
21
7 6
1.6
45
13
2.4 1.2
10
76
2.6
6
33
2.8
11
25
1.4
5
D
12
9 8
2.2
4
37
96
41
E
2
3.2
17
5
3
49
4 3
29
F
56
7 6
21
13
45
216
10
356316
496
596
436 416 396
576476
376 296
556 516
176
536
2
76
456
336 256
0.1
0.1
0.2
0.5
0.4
0.7
0.8 0.6
1
1.81.6
1.2
2.4
2.6
2.8
A
B
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.2
0.4
0.3
0.5
0.2
0.7
0.6
0.3 0.2
0.8
0.4
0.5
0.3
1.4
0.70.6
0.4
0.5
1 0.8
1.2 0.7
0.6
2.2 1.6
21.8
0.8
1
1.4
0.8
236
196
33
276
136
1.2 0.7
11
3.2
2.4
3
0.8 0.6
1
2.6
0.7 0.5
156
1.6
0.4
116
1.4
0.6
2.8
4
0.3
1.8
25
12
2.2 1.2 0.8 0.5
8
0.4
5
9
2
C
1
100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000
Modal mass of the floor (kg)
Figure 10 : OS-RMS 90 pour un amortissement de 8 %
22

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Classification based on a damping ratio of 9%
Eigenfrequency of the floor (Hz)
20
5 4
19
18
6
17 8 7
9
16
11
15
13
12 10
14
13
12
11
10
9
8
7
76
6
5
4
3
2
17
25
21
45
3.2
2.82.6
2.42.2
1.6 1.4 1.2
3
1
1.8
2
5
6
8 7
9
13
12 10
49
11
29
41
37
33
56
216
236
4
356 336
416
256
396
476
456
436 376 296
316
276
176
3.2
2.8 2.62.4
2.2
3
5
17
136
4
6
87
9
21
25
45
29
196156
0.4 0.3
0.8
0.6
0.5
0.7
1.6
1.4 1.2
1
1.8
2
3.2
2.8 2.62.2
2.4
3
11
13
12
10
F
116 96
49
17
76
56
5
0.7
0.2
0.4
0.8 0.5
0.6
1.6
1.41.2
1
25
1.8
2
4
6
87
9
41
37
0.8
0.3
0.5
0.6
0.7
3.2
2.8 2.62.2
2.4
3
11
33
21
E
5
8
4
0.4
0.2
0.1
0.3
1.6
1.41.2
1
1.8
2
13
7
3.2
12
10
4
0.1
0.2 0.1
0.8
D
A
B
0.1
0.2
0.4 0.3
0.5
0.1
0.6
C
0.7
0.2 0.1
0.3
0.4
0.2
0.5
0.6
1.2 1 0.8
1.61.4
0.3
2.2
0.7
2.6
0.4
2.82.4
3
0.5 0.3
1.8
0.6 0.4
2
0.80.7
1
0.5
1.2 0.6
1.4
1.6 0.8 0.7
6
1
2.2
1.8
0.6
1.2 0.8
0.7 0.5
2.6
2.4
2
3.2 2.8 1.4
0.6 0.4
0.5
1
3
0.3
1.6
0.8
0.7
0.4
1
100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000
Modal mass of the floor (kg)
Figure 11 : OS-RMS 90 pour un amortissement de 9 %
23

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
A. Calcul des fréquences propres et de la masse modale des
planchers et d’autres structures
A.1.
Fréquence propre et masse modale des dalles isotropes
Les tableaux ci-après permettent le calcul manuel de la première fréquence
propre (selon [2]) et de la masse modale de dalles pour différentes conditions
d’appuis.
Les équations prennent pour hypothèses qu’il n’y a pas de déformation latérale
sur le pourtour des dalles.
Condition aux appuis :
encastré
rotulé
Fréquence propre ; Masse modale
3
α E t
f =
; M
2
2 mod
= β ⋅ Mtot
L 12 ⋅ µ (1 −ν
)
B
B
L
L
E Module d’élasticité en N/m²
t Epaisseur de la dalle en m
µ Masse surfacique du plancher incluant les
finitions et le mobilier en kg/m²
ν Coefficient de Poisson
M tot Masse totale du plancher incluant les finitions
et une partie représentative des charges
variables en kg
α
9.00
8.00
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
α
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
2
α = 1.
57 ⋅ ( 1 + λ )
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Ratio λ = L/B
β ≈ 0,25 pour tout λ
α =
.
2
4
1. 57 1 + 2.
5 λ + 5 14 λ
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Ratio λ = L/B
β ≈ 0,20 pour tout λ
24

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Condition aux appuis :
encastré
rotulé
Fréquence propre ; Masse modale
3
α E t
f =
; M
2
2 mod
= β ⋅ Mtot
L 12 ⋅ µ (1 −ν
)
α
14.00
12.00
α =
.
2
4
1. 57 5.
14 + 2.
92 λ + 2 44 λ
10.00
B
8.00
6.00
4.00
L
2.00
0.00
α
12.00
10.00
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Ratio λ = L/B
β ≈ 0,18 pour tout λ
α =
.
2
4
1. 57 1 + 2.
33 λ + 2 44 λ
8.00
B
6.00
4.00
2.00
L
0.00
α
12.00
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Ratio λ = L/B
β ≈ 0,22 pour tout λ
α =
.
2
4
1. 57 2.
44 + 2.
72 λ + 2 44 λ
10.00
8.00
B
6.00
4.00
2.00
L
0.00
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Ratio λ = L/B
β ≈ 0,21 pour tout λ
25

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Condition aux appuis :
encastré
rotulé
Fréquence propre ; Masse modale
3
α E t
f =
; M
2
2 mod
= β ⋅ Mtot
L 12 ⋅ µ (1 −ν
)
A.2.
B
L
α
18.00
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
α =
.
2
4
1. 57 5.
14 + 3.
13 λ + 5 14 λ
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Ratio λ = L/B
β ≈ 0,17 pour tout λ
Fréquence propre et masse modale des poutres
La première fréquence propre d’une poutre peut être calculée suivant les
formules pour différentes conditions d’appuis du Tableau 4 :
E
Module d’élasticité [N/m²]
I Moment d’inertie [m 4 ]
µ Masse surfacique m du plancher multipliée par la largeur [kg/m]
l
Longueur de la poutre
Tableau 4 : Calcul de la première fréquence propre des poutres
Conditions aux appuis
Fréquence propre Masse modale
l
l
l
l
4 3EI
f =
4
mod
0,41 µ l
π 0,37µl
M =
2 3EI
f =
4
mod
0,45 µ l
π 0,2 µl
M =
2 3EI
f =
4 mod
0,50 µ l
π 0,49 µl
M =
1 3EI
f =
4
mod
0,64 µ l
2π
0,24µl
M =
A.3.
Fréquence propre et masse modale des dalles orthotropes
Les planchers orthotropes, comme par exemple les planchers mixtes avec
des poutres composées dans la direction longitudinale et la dalle seule dans
26

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
la transversale, ont des raideurs différentes suivant la longueur ou suivant la
largeur (E x I x > E y I y , voir Figure 12 ci-dessous).
b
l
y
Figure 12 : Dimensions et axes d’une dalle orthotrope
La première fréquence propre d’une dalle orthotrope simplement appuyée
sur les quatre côtés est :
où :
A.4.
f
2
π E I ⎡ ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
2 µl ⎢⎣
⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠
y y
1
= 1 +
4
⎢2
4
⎤ ExI
⎥
⎥⎦
EyI
µ est la masse surfacique du plancher, en kg/m²,
l
b
x
y
est la longueur du plancher, en m (dans la direction x),
est la largeur du plancher, en m (dans la direction y),
E x , E y sont les modules d’élasticité suivant l’axe x et l’axe y respectivement,
en N/m²,
I x est le moment d’inertie pour la flexion suivant l’axe x, en m 4 ,
I y est le moment d’inertie pour la flexion suivant l’axe y, en m 4 .
Approche par le poids propre pour la fréquence propre
L’approche par le poids propre est une approximation très pratique dans les
cas où la déformée maximale δ max due à la masse m est déjà connue comme
par exemple lors de calculs par éléments finis.
Cette méthode a son origine dans l’équation générale de la fréquence :
f
=
1
2π
K
M
La raideur K peut être évaluée par :
où
M × g
K = ,
3 δ
max
4
M
est la masse totale du système en vibration,
z
x
27

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
g
est l’accélération de la pesanteur et
3 δ
max est la flèche moyenne.
4
La valeur approximative de la fréquence propre est
A.5.
f
=
1
2π
K
M
=
1
2π
2
4g
[mm s ]
=
3δ
[mm]
max
δ
max
18
[mm]
Méthode de Dunkerley pour la fréquence propre
La méthode de Dunkerley est une approximation pour calculs manuels. Elle
est applicable lorsque la nature des vibrations semble très complexe mais
elle permet de diviser le problème en plusieurs modes simples. La fréquence
propre pourra alors être déterminée en utilisant les formules décrites aux paragraphes
A.1, A.2 et A.3.
La Figure 13 montre un exemple de plancher mixte avec deux poutres simplement
appuyées et une dalle béton libre aux extrémités.
Le mode vibratoire escompté est divisé en deux modes simples indépendants
; un pour la dalle en béton, l’autre pour la poutre mixte. Les deux formes
ont leur propre fréquence propre (f 1 pour la vibration de la dalle en béton
et f 2 pour la poutre mixte).
Système initial:
Mode de la dalle béton:
Mode de la poutre mixte:
Figure 13 : Exemple de la décomposition des formes de mode
Selon la méthode de Dunkerley, la fréquence propre résultante f du système
totale est :
A.6.
1
f
1
2
f
1
2
f
1
2
f
= + + +
2
1 2 3
...
Approximation de la masse modale
28

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
La masse modale peut être interprétée comme une fraction de la masse totale
d’un plancher, activée lorsque ce dernier oscille dans une forme de
mode spécifique. Chaque mode de vibration a sa fréquence propre et masse
modale spécifique.
Pour le calcul de la masse modale, le mode doit être connu et normalisé par
rapport à la déformation maximale. Puisque le mode ne peut être déterminé
par un calcul manuel, des approximations du premier mode seront généralement
utilisées.
De même, les analyses par éléments finis sont souvent utilisées comme alternative
au calcul manuel. Si les logiciels ne fournissent pas la masse modale
comme résultat de l’analyse modale, le mode de vibration peut être obtenu
par l’application de charges poussant la dalle à adopter la forme de
mode escompté, voir Figure 14.
Mode escompté :
Application des charges :
Figure 14 : Application de charge pour l’obtention du mode escompté (exemple)
Si le mode vibratoire du plancher peut être approché par une fonction normalisée
δ(x,y) (c.-à-d. |δ(x,y)| max =1,0), la masse modale correspondante se
calcule par :
M
où
mod
= µ
∫
F
2
δ (x,y) dF
µ est la distribution des masses
δ(x,y) est la déformée verticale au point de coordonnées x,y
Cette équation devient, lorsque le mode est calculé par les éléments finis :
2
Mmod = ∑ δ
i
× dM i
Nodes i
où
f i
dM i
est la déformée verticale au nœud i (normalisée par rapport à la
déformée maximale)
est la fraction de masse représentée au nœud i
29

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Si la fonction δ(x,y) représente la solution exacte pour le mode vibratoire,
l’équation décrite ci-dessus conduit alors à la masse modale exacte.
Les exemples suivants illustrent des calculs manuels de la masse modale :
Exemple 1 : Dalle simplement
appuyée aux quatre
côtés, L x ~L y
t
L
y
L
x
• Approximation du premier mode de vibration :
⎛ π x ⎞ ⎛ ⎞
⎜
π y
δ (x,y) = sin × ⎟
⎜
⎟ sin , δ (x, y) = 1,
0
max
⎝ Lx ⎠ ⎝ L y ⎠
• Distribution de la masse :
µ =
M
L
x
total
L
• Masse modale :
y
M
mod
M
2
total
= µ × ∫ δ (x,y)dF = ×
L
F
x
L
∫ ∫
y L L
y
x
2⎛
π x ⎞ ⎛
2 y ⎞
sin sin ⎜
π
⎟
⎜
dx dy
L
⎟
x
L
⎝ ⎠ ⎝ y ⎠
=
M
4
total
Exemple 2 : Dalle simplement
appuyée aux quatre
côtés, L x

Contrôle vibratoire des planchers
M
=
=
mod
M
L
x
= µ ×
total
L
M
4
y
total
∫
F
⎡
× ⎢2
×
⎢⎣
L
x
∫ ∫
⎛
⎜
L
× 2 −
⎝ L
2
δ (x,y)dF
0
x
y
Lx
2
0
Exemple 3 : Dalle portant dans
une direction entre
poutres, dalle et
poutres simplement
appuyées
⎞
⎟
⎠
⎛ ⎞
2⎛
π x ⎞
2⎜
π y
sin
⎟
⎜
⎟ sin
dx dy
⎝ Lx
⎠ ⎝ Ly
⎠
+
L
x
∫ ∫
0
Lx
Ly
−
2
Lx
2
Guide
⎤
2⎛
π x ⎞
sin
⎜
⎟ dx dy⎥
⎝ Lx
⎠ ⎥⎦
L y
L x
• Approximation du premier mode de vibration :
δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x
π x δy
+ × ⎜
π y
δ (x,y) = × sin ⎟
⎜
⎟ sin , δ (x, y) = 1,
0
max
δ ⎝ Lx
⎠ δ ⎝ Ly
⎠
avec
δ
x
δy
= Déformée de la poutre
= Déformée de la dalle considérant la déformée des appuis (c.-à-d.
la déformée de la poutre) comme nulle
δ = δ x
+ δ y
• Distribution de la masse :
µ =
M
L
x
total
L
• Masse modale :
M
mod
= M
y
2
Mtotal
= µ × ∫ δ (x,y)dF = ×
L L
∫ ∫
total
F
2
⎡δ
x
+ δ
y
× ⎢
2
⎢⎣
2δ
2
x
y
8 δ ⎤
x
δy
+ ×
2 2
⎥
π δ ⎥⎦
L L
x y
⎡δ
⎛ ⎞ δ ⎛ ⎞⎤
x
π x y
⎢
⎜
π y
× sin + × ⎟
⎜
⎟ sin
⎥
⎢⎣
δ ⎝ Lx
⎠ δ ⎝ Ly
⎠⎥⎦
2
dx dy
31

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
B. Exemples numériques
B.1.
B.1.1.
Dalle légère avec poutres cellulaires ACB mixtes (bâtiment de bureaux)
Description du plancher
Dans ce premier exemple de bureaux ouverts dits « open space », le comportement
d’un plancher composé de pré-dalle avec faux-plancher est contrôlé
par rapport à la marche.
Figure 15 : Structure du plancher
La dalle porte sur 4,2 m entre poutres. Son épaisseur totale est de 160 mm.
Les poutres principales sont des poutres cellulaires Arcelor (ACB) agissant
comme poutres mixtes. Elles sont connectées aux poteaux avec un moment
d’encastrement. La vue en plan est donnée à la Figure 16. La partie représentative
du plancher à considérer dans cet exemple est indiquée en hachuré
à la Figure 16.
32

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Le mode de vibration escompté qui correspond à la première fréquence propre
de la partie du plancher est dessiné à la Figure 18. De par le mode rey
x
Figure 16 : Vue en plan du plancher
Pour les poutres de 16,8 m de portée, les profilés ACB/HEM400 de qualité
S460 ont été choisis, pour celles plus petites de 4,2 m ce sont des
ACB/HEM360, aussi en S460.
Les poutres transversales qui portent dans la direction globale X sont négligées
pour les calculs, puisqu’elles ne contribuent pas à la descente des charges
de la structure.
Les propriétés nominales des matériaux sont :
• Acier S460 : E s = 210 000 N/mm², f y = 460 N/mm²
• Béton C25/30 : E cm = 31 000 N/mm², f ck = 25 N/mm²
Comme indiqué dans la section 4.1.1, le module élastique nominal du béton
sera augmenté pour les calculs dynamiques de 10 % :
E
c, dyn
= 1,1 × Ecm
= 34 100 N/mm²
33

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
présenté ici, on peut conclure, pour les calculs dynamiques suivants, que
chacun des bords de la dalle se comporte comme simplement appuyé. De
même pour les conditions aux appuis de la poutre principale, suivant le type
d’assemblage poutre-poteau montré à la Figure 17, il semble évident que
pour des faibles amplitudes comme celles rencontrées dans l’analyse des vibrations,
la rigidité rotationnelle de l’assemblage est suffisante pour permettre
de considérer la poutre comme encastrée.
Figure 17 : Assemblage poutre-poteau
Figure 18 : Mode escompté correspondant à la première fréquence propre de la
partie du plancher considérée
34

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Caractéristiques de sections
• Dalle :
Les propriétés de la dalle suivant la direction globale X sont :
A
c, x
=
2
160mm
mm
I
,
= 3,41 × 10
c x
5
mm
4
mm
• Poutre mixte :
La largeur participante de la poutre mixte est obtenue par l’équation
suivante en considérant le premier mode de vibration décrit auparavant
:
b
eff
= b
l0
l0
0,7 × 16,8
+ = 2 ×
8 8 8
eff , 1
+ beff
,2
=
=
2,94m
Les propriétés de la section nécessaires pour les Etats Limites de Service
(sans fissuration) sont :
A
,
= 21936 mm
a net
A
,
= 29214 mm
A
i
a brut
2
= 98320 mm
2
2
I
i
= 5 ,149 × 10
9 mm 4
Charges
• Dalle :
Poids propre (avec 1,0 kN/m² pour le faux-plancher) :
g
dalle
=
−3
160 × 10 × 25 + 1,0 =
5 kN m
2
Charge d’exploitation : généralement une charge variable de
3 kN/m² est recommandée pour les bâtiments de bureaux. La fraction
de charge variable considérée pour le calcul dynamique est
supposée d’environ 10 % de la charge variable totale, d’où
q
dalle
= 0 ,1 × 3,0 =
2
0,3 kN m
• Poutre mixte :
B.1.2.
Poids propre (avec 2,00 kN/m pour l’ACB) :
g
poutre
4,2
= 5 ,0 × × 2 + 2,0 = 23,00 kN m
2
Charge d’exploitation :
q
poutre
4,2
= 0 ,3 × × 2 = 1,26 kN m
2
Détermination des caractéristiques dynamiques du plancher
35

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Fréquence propre
La première fréquence propre est calculée selon l’approche du poids propre.
La flèche maximale totale sera obtenue par superposition de la flèche de la
dalle et de celle de la poutre principale :
avec
δ = δ + δ
total
dalle
poutre
δ
dalle
=
−3
5 × (5,0 + 0,3) × 10 × 4200
5
384 × 34100 × 3,41 × 10
4
= 1,9mm
δ
poutre
La flèche maximale est :
δ
total
4
1 × (23,0 + 1,26) × 16800
=
384 × 210000 × 5,149 × 10
= 1 ,9 + 4,7 = 6,6mm
9
=
4,7 mm
La première fréquence propre sera alors obtenue par :
f
18
1
= =
6,6
7,0Hz
Masse modale
La masse totale de la dalle est :
M
total
= (5 + 0,3) × 10
2
× 16,8 × 4,2
= 37397kg
Suivant l’exemple 3 du chapitre A.6, la masse modale de la dalle peut être
calculée par :
M
2 2
37 ⎡ 1,9 + 4,7 8 1,9 × 4,7 ⎤
= 397 × ⎢
+ ×
2 2
2 6,6
6,6
2 ⎥
⎣ × π
⎦
mod
=
Amortissement
17246 kg
Le taux d’amortissement de la dalle acier-béton avec faux-plancher se calcule
à partir du Tableau 1 :
avec
B.1.3.
D = D1 + D2
+ D3
= + 1 + 1 + 1 = 3%
D 1 = 1,0 (dalle acier-béton)
D 2 = 1,0 (bureau ouvert)
D 3 = 1,0 (faux-plancher)
Evaluation
Selon les caractéristiques modales calculées ci-dessus, le plancher est de
classe C (Figure 5). La valeur OS-RMS 90 espérée est d’environ 0,5 mm/s.
36

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Suivant le Tableau 1, la classe C fait partie du domaine recommandé pour
les bâtiments de bureaux, l’exigence est donc remplie.
B.2.
B.2.1.
Bâtiment de bureaux à 3 niveaux
Description du plancher
La portée du plancher de ce bâtiment, voir Figure 19, est de 15 m entre les
deux poutres de rive extrêmes. Les poutres secondaires sont des IPE600 et
ont un entre-axe de 2,5 m. Les poutres principales de rive, de portée 7,5 m
de poteau à poteau, sont aussi des IPE600, voir Figure 20.
Figure 19 : Vue d’ensemble de la structure
Figure 20 : Vue en plan du plancher avec désignation des sections en acier
La dalle est une dalle mixte d’épaisseur totale 15 cm avec un bac acier CO-
FRASTRA 70, voir Figure 21.
37

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Figure 21 : Composition du plancher
Les propriétés nominales des matériaux sont :
- Acier S235 : E s = 210 000 N/mm², f y = 235 N/mm²
- Béton C25/30 : E cm = 31 000 N/mm², f ck = 25 N/mm²
E
c, dyn
= 1,1 × Ecm
= 34 100 N/mm²
Propriétés des sections
• Dalle (perpendiculaire aux poutres) :
A = 1 170 cm²/m
I = 20 355 cm 4 /m
g = 3,5 kN/m²
∆g = 0,5 kN/m²
• Poutre mixte (b eff = 2,5 m ; E = 210 000 N/mm²) :
A = 468 cm²
I = 270 089 cm 4
g = (3,5+0,5) x 2,5 + 1,22 = 11,22 kN/m
Charges
• Dalle (perpendiculaire aux poutres) :
g + ∆g = 4,0 kN/m² (poids propre)
q = 3,0 x 0,1 = 0,3 kN/m² (10 % des charges variables totales)
p total
= 4,3 kN/m²
• Poutre mixte (b eff = 2,5 m ; E = 210 000 N/mm²) :
g = 11,22 kN/m
q = 0,3 x 2,5 = 0,75 kN/m
p total
= 11,97 kN/m
38

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
B.2.2.
Détermination des caractéristiques dynamiques du plancher
Conditions aux appuis
Les poutres secondaires aboutissent sur des poutres principales qui sont de
sections ouvertes à faible rigidité en torsion. Ces poutres peuvent donc être
considérées comme simplement appuyées.
Fréquence propre
Pour cet exemple, les conditions de support sont déterminées de deux manières.
La première est l’application de la formule de la poutre en négligeant
la raideur transversale du plancher. La deuxième consiste en la méthode du
poids propre en prenant en compte la rigidité transversale.
• Application de la formule de la poutre (Chapitre A.2) :
p = 11,97 kN/m ⇒ µ = 11,97 × 10
f
2
=
π
3EI
0,49 µ l
4
2
=
π
3
[kg m/s² m] / 9,81 [m/s²] = 1220 kg/m
6
3 × 210000 × 10 [N/m²] × 270089 × 10
4 4
0,49 × 1220 [kg/m] × 15 [m ]
• Application de l’équation des dalles orthotropes (Chapitre A.3) :
−8
4
[m ]
= 4,77 Hz
f
1
π
=
2
E
y
I
µ l
y
4
⎡ ⎛ b ⎞
1 + ⎢2⎜
⎟
⎢⎣
⎝ l ⎠
2
⎛ b
+ ⎜
⎝ l
4
⎞
⎟
⎠
⎤ ExI
⎥
⎥⎦
EyI
x
y
π
=
2
6
210000 × 10 × 270089 × 10
4
1220 × 15
= 4,76 × 1,00 = 4,76 Hz
−8
⎡ ⎛ 2,5 ⎞
1 + ⎢2⎜
⎟
⎢⎣
⎝ 15 ⎠
2
4
⎛ 2,5 ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ 15 ⎠
⎤ 34100 × 20355
⎥
⎥⎦
210000 × 270089
• Application de la méthode du poids propre (Chapitre A.4) :
δ = δ + δ
total
dalle
poutre
δ
dalle
=
−3
4
5 × 4,3 × 10 × 2500
384 × 34100 × 20355 × 10
1
= 0,3 mm
δ
total
δ
poutre
4
5 × 11,97 × 15000
=
384 × 210000 × 270089 × 10
= 0 ,3 + 13,9 = 14,2 mm
4
= 13,9 mm
⇒ f
18
1
= =
14,2
4,78 Hz
Masse modale
La détermination de la fréquence propre ci-dessus a montré que le comportement
dynamique du plancher peut être assimilé au modèle d’une poutre
simple (voir Tableau 4). Ce modèle sera donc utilisé pour la masse modale :
M
mod
= 0,5 µ l = 0,5 × 1220 × 15 = 9150 kg
39

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
Amortissement
Le taux d’amortissement de la dalle acier-béton avec faux-plancher se calcule
à partir du Tableau 1 :
avec
B.2.3.
D = D1 + D2
+ D3
= + 1 + 1 + 1 = 3%
D 1 = 1,0 (dalle acier-béton)
D 2 = 1,0 (bureau ouvert)
D 3 = 1,0 (faux-plafond)
Evaluation
Selon les caractéristiques modales calculées ci-dessus, le plancher est de
classe D (Figure 5). La valeur OS-RMS 90 attendue est d’environ 3,2 mm/s.
Suivant le Tableau 1, la classe C fait partie du domaine recommandé pour
les bâtiments de bureaux, l’exigence est donc remplie.
40

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
NOTES
41

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
42

Contrôle vibratoire des planchers
Guide
43