Outils mathématiques pour tester la fiabilité du matériel ferroviaire

Outils mathématiques pour tester la fiabilité
des émetteurs UM71
Jeudi 27 septembre 2007
Marc Menicucci, SNCF, I&R, GDA
Maître de stage : Rachid Ziani, SNCF, I&R, GDA

Thème de stage / déroulement du stage
• Projet Optifra
• Appareils de signalisation subissent des incidents
– Retards de train
– Coûts, insatisfaction clientèle
• Étude des durées de vies par retour d’expérience par
méthodes classiques : estimation par Kaplan Meier,
estimation par la méthode du hazard plotting
• Étude des durées de vies par le modèle de Bertholon
• Détermination de la politique de maintenance optimale
1

Plan
• Statistique descriptive des durées de vies des émetteurs UM71
• Estimation non paramétrique de la fiabilité des UM71
• Estimation paramétrique par méthode du « hazard plotting »
• Estimation paramétrique par le modèle de Bertholon
• Définition d’une politique de maintenance
• Simulation des conséquences de la politique de maintenance
appliquée
• Conclusion et préconisations
2

Base de données de l’étude
n° série
Symbole
Ligne
Lettre
série
pk
Censure
ordre
Durée de vie
(ans)
Durée de
stock (ans)
Région
Nb train
an
1
S1
750000
A
313,10
1
1
15,63
0,00
Clermont
12619
1
S1
570000
A
449,38
0
2
12,49
2,57
Bordeaux
22726
2
S1
640000
A
70,27
0
1
11,03
2,65
Bordeaux
13162
3
S1
800000
A
711,80
0
2
13,34
1,67
Montpellier
11182
4
S1
800000
A
658,30
0
1
11,82
1,06
Lyon
11099
5
S1
900000
A
206,40
1
1
11,50
0,00
Chambéry
16759
5
S1
1000
A
82,60
1
2
6,33
1,24
Paris Est
11107
• Une ligne pour chaque vie des UM71
• Durée de vie = -1 signifie que l’UM71 n’a pas encore été mis en fonction active
• Censure = 0 signifie que l’UM71 n’a toujours pas eu d’accident dans la vie considérée
• Censure = 1 signifie que l’UM71 a eu un accident ou qu’il est déclassé
3

Statistique descriptive des durée de vies
• Ci-contre la répartition
des émetteurs UM71
tombés en panne
• La moyenne des durées
de vies, en tenant compte
des données censurées
est 11.95 ans
Nombre de pannes par année de fonctionnement
4

Étude descriptive des différentes vies
• Effet du nombre de réparations subies :
Moyenne
Médiane
Variable d’analyse : durée de vie
14
12
Numéro de
vie
Vie 1
Nombre
d’UM
20236
Moyenne
(ans)
12.50
Médiane
(ans)
11.46
10
8
Vie 2
10943
10.46
10.64
6
Vie 3
3003
9.57
9.59
4
Vie 4
622
6.98
6.87
2
Vie 5
117
4.14
4.72
0
Vie 1 Vie 2 Vie 3 Vie 4 Vie 5
• On voit une importante diminution de la durée de vie entre les
UM71 neufs et réparés (16%).
5

Modélisation de la fiabilité des émetteurs UM71
• Fiabilité différente selon le nombre de réparations subies
• La lettre de série informe sur la technologie des appareils,
fiabilité différente suivant la lettre de série
• Les séries s1 et s2 représentent près des deux tiers de la
population actuelle et les trois quarts de la population totale
des détecteurs
• Nous n’exposerons que les émetteurs neufs série s1
6

Rappels de fiabilité
• Soit Te une variable aléatoire qui modélise le temps
de panne d’un émetteur
• Fiabilité (ou survie) : R(t) = P(Te>t)
avec Te le temps de panne de l’émetteur E
T E
T E
• Taux de panne instantané :
R( t)
= 1−
F(
t)
= P(
TE > t)
⎛ P T
λ(
t)
= lim
⎜
h→0
⎝
( [ ])
( ) ⎟ ⎞
E
∈ t,
t + h
P TE
> t ⎠
• Mean up time au temps t :
MUT(
t)
t
= ∫
R(
x)
dx
0
7

Estimation non paramétrique de la fiabilité
• Représentation de la fiabilité par l’estimateur de Kaplan-Meier
(Annexe1)
R( t)
= P(
TE > t)
Summary of the Number of Censored
and Uncensored Values
Total
5220
Failed
4588
Censored
632
Percent
Censored
12.11
Statistiques
(en années)
Moyenne
25% de pannes
50% de pannes
75% de pannes
10.8
5.8
10.86
16.3
(en années)
8

Représentation du taux de hasard
• Représentation du taux de panne par la méthode
actuarielle
Moyenne (10.8 ans)
• 257 UM71 sont encore en vie après 19 ans, soit 4.9%
9

La méthode du « hazard plotting »
Annexe2
Méthode qui consiste à trouver la transformation de notre fonction de survie empirique
qui s’approche le plus d’une droite.
Transformations les plus utilisées : celles de la loi Exponentielle et de Weibull.
Modèle Exponentiel : -log(R) = a*t + b
Modèle de Weibull : log(-log(R)) = c*log(t) + d
R_ = 0.72
R_ = 0.88
Ici, le Modèle de Weibull est sélectionné.
10

Estimation des paramètres de la loi Weibull
• Estimation des paramètres par maximisation de la vraisemblance ou de la
log-vraisemblance :
L(
θ )
=
5220
∏(
ε
1−
( ) × ( ) )
i
ε i
f ti
S ti
i=
1
ε i
ε i
= 0
=1
: donnée censurée
: donnée non censurée
• Loi de Weibull :
L(
η
W
, β )
5220 ⎡
β
= ∏ ⎢
i=
1 ⎢ηW
⎣
⎛ t
*
⎜
⎝η
W
⎞
⎟
⎠
β −1
⎛
⎜ ⎛ t
× exp −
⎜
⎜
η
⎝ ⎝
W
⎞
⎟
⎠
β
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠
⎥
⎦
ε
i
⎡ ⎛ t
× exp⎢−
⎜
⎢ η
⎣ ⎝
W
⎞
⎟
⎠
β
⎤
⎥
⎥⎦
1−ε
i
11

Modèle paramétrique : résultat
• Paramètre de forme : 1.43
• Paramètre d’échelle : 12 ans
Trouver une autre loi plus précise : modèle de Bertholon
12

Modèle de Bertholon : présentation
Annexe2
• B =Min(EXP, WEIB décalée)
• Pas de maximum à la
vraisemblance et de forme
précise
• Algorithme EM, Maximisation
de la vraisemblance
conditionnelle
1
η
E
β ⎛ t − t
+
⎜
ηW
⎝ ηW
0
⎞
⎟
⎠
β −1
• Estimation des paramètres :
η E
η
, et
W
β
1/η E
t 0
t 0
• Sélection du
la vraisemblance
qui maximise
13

Modèle de Bertholon : résultat
• Estimations :
t
0
= 0.7ans,
ηE =19. 53ans
η =16.85ans,
W
β = 4.88
14

Intégration de variables explicatives
• Expression d’un paramètre comme régression de variables extérieures :
X
⎛ 1 ⎞
=
⎜ x 1
⎟
⎜ ⎟
⎝...
⎠
η
E
t
= exp( Α× X ) = exp( α + α1X1
⎛α0
⎜
Α = ⎜
α
⎝...
Où sont les variables et 1 sont les coefficients associés
• Weibull : Estimation des paramètres par maximisation de la vraisemblance
• Bertholon : Estimation par l’algorithme EM, par maximisation de la
vraisemblance conditionnelle
Pas de changements sur le temps de cassure
0
+
• 3 variables prises en compte : la vitesse nominale de la ligne, le nombre de
trains journaliers et la durée de stockage
⎞
⎟
⎟
⎠
t 0
...)
15

Influence des variables : vitesse nominale, nombre de
trains journaliers et durée de stockage
• Ces 3 variables influencent négativement la durée de vie.
• Pas d’intervalle de confiance de leur estimation
• Pas de tests de significativité
• Test de ces variables avec la loi de Weibull : mêmes
conclusions, variables significativement non nulles sauf la
durée de stockage.
16

Politique de maintenance
• Les émetteurs connaissent effectivement un vieillissement
• Définition du temps optimal de remplacement : modèle de Kelly
• Étude de l’impact de la politique de maintenance choisie
17

VII - Fonction de coût : série BCC neuve
C d
= 2000
C
CM ( t)
=
C d
C R
MUT(t)
CM (t)
euros
*(1 − R(
t))
C
MUT(
t)
d
+
R
* R(
t)
: Coût d’une défaillance
: Coût d’un renouvellement
: Durée de vie moyenne au temps t.
: Coût moyen par unités de temps
• est fixé à 1000€
C R
• Si = 1600€ :
C d
Temps optimal est 16 ans
Taux de panne en pleine montée
exponentielle
• Si = 2000€ :
C d
Temps optimal est 14 ans
Taux de panne commence à
augmenter
18

Impact de la politique : simulations
• Réalisation de plusieurs simulations
• Simulations avec ou sans politique de maintenance
préventive selon la loi de Bertholon trouvée précédemment
• Arrêt des simulations à 50 ans
• Application des coûts définis au départ
• Regroupement des simulations
• L’écart dû au hasard des simulations est faible
19

Résultats des simulations
Le pourcentage de pannes
évitées est très variable
selon les années. Ceci est
certainement dû aux
remplacements préventifs
de masse. Le gain sera
stabilisé au bout d’un
grand nombre d’années
On peut apprécier cidessous
les gains
financiers cumulés
comparés sur plusieurs
simulations. On peut voir
qu’on est rentable à partir
de 8 années. Au bout d’un
temps long, les gains
suivent une droite linéaire
On remarque une nette
diminution du nombre de
pannes par rapport à la politique
de maintenance actuelle. Ceci
est à mettre en confrontation
avec le nombre de
remplacements
20

Résultats des simulations : chiffres
• Gain en Régularité de trafic :
33.3% de pannes en moins sur 50 ans
• Pas de perte d’argent, très peu de bénéfices aussi.
2498000€ sur 50 ans, soit 7% de la somme totale dépensée
pour l’entretien des UM71 sans maintenance préventive
• Politique rentable à partir de 8 années d’application
21

Diminution du coût de la défaillance
• Coût de défaillance réévalués à 1600 euros
• Temps optimal de prévention : 16 ans
• Gain de panne : 22.2%
• Gain financier : 855400€ sur 50 ans, soit 3% de la somme
totale dépensée en entretien des UM71 sans maintenance
préventive
• Rentable à partir de 10 années de fonctionnement
22

Revenons au modèle de Weibull…
• Que ce soit pour la série s1 ou
la série s2, pour un coût de
défaillance de 1600 ou 2000
euros, la fonction de coût n’a
pas de minimum
• Ceci signifie que le temps
optimal de prévention est à
l’infini, donc il ne faut pas
appliquer de politique de
maintenance préventive
23

Conclusion Préconisations / limites
• Classifier les émetteurs forte et faible puissance
• Intégration des variables influentes dans le modèle de
Bertholon à améliorer
• Étude de la pertinence de la réparation
• Simulation => Équation de renouvellement
• Extension de l’étude à d’autres appareils de signalisation
24

Je vous remercie de votre attention
Des questions?
25

Annexe 1 : Estimateur de Kaplan Meier
Retour p7
C’est un estimateur empirique. Il se base sur l’effectif de la population
restante à l’instant ainsi que sur le nombre de pannes au même instant.
Product-Limit Survival Estimates
dureeVieAn
0.0000
Survival
1.0000
0
Failure
0
Survival
Standard
Error
Number
Failed
0
Number
Left
5220
0.0000
0.9912
0.00881
0.00129
46
5174
0.0000
*
.
.
.
46
5173
0.0027
.
.
.
47
5172
0.0027
0.9908
0.00920
0.00132
48
5171
26.4750
0.000514
0.9995
0.000363
4587
2
26.8282
*
.
.
.
4587
1
28.1451
0
1.0000
0
4588
0
Rˆ
( t)
=
∏
(1 −
i
i:
T ≤ t n − i +
i
δ
)
1
26

Annexe 2 : Formules associées au modèle de
Bertholon
retour p.10
retour p.12
• Fiabilité d’une loi exponentiel :
• Fiabilité d’une loi de Weibull décalée:
R E
0
R
W
t
ηE
]
⎞
⎟⎟ ⎠
β
]
• Fiabilité de Bertholon :
R
0
R
B(t)
= exp[- -
⎜ ⎟
]si t >
ηW
(t) = exp[-
B
t 0
η E
t
t
] si
⎛ t - t
⎜
⎝
⎛ t - t
(t) = exp[-
⎜
⎝ ηW
(t) = exp[-
t
≤
⎞
⎟
⎠
β
t
0
• Taux de panne associé au modèle de
Bertholon :
1
η
0
1
η
0
η E 0
si t ≤ t
0
β ⎛ t − t
+
⎜
η1
⎝ η1
0
⎞
⎟
⎠
β −1
si t
> t
27