Exercices sur les vecteurs corrigé

Date : _______________
Nom : _____________________________________________________
Groupe : _____________ Résultat : ________ / 40
Exercices sur les vecteurs
Module 3 : Des phénomènes mécaniques
Objectif terminal 1 : Le mouvement
1. Détermine les composantes des vecteurs suivants.
a)
b)
________ / 8
Réponse : ________________________
Réponse : ________________________
2. Détermine la norme et l’orientation des vecteurs suivants.
a) = ( − 2, 3)
v r Réponse : ________________________
________ / 8
b) = ( 4,
− 5)
w r
Réponse : ________________________
3. Une petite embarcation, dont le moteur génère une vitesse de 40 km/h, traverse de la rive
sud à la rive nord d’une rivière coulant vers l’est avec un courant de 15 km/h. L’embarcation
se dirige avec un angle de 50° par rapport au rivage d’une rivière vers un quai situé
légèrement à l’est de son point de départ. Quelle est la vitesse réelle de l’embarcation
sachant qu’elle correspond à l’addition vectorielle de la vitesse du bateau avec celle du
courant?
Réponse : ________________________
4. Quelle est la somme des vecteurs suivants?
r
r
v = w
( − 2 , − 4) et = ( 1, 6)
Réponse : ________________________
________ / 4
________ / 4
5. Quel est le déplacement résultant d’un marcheur qui fait un trajet de 2,5 km vers le nordest,
puis 5,1 km vers l’ouest et, finalement, 7,3 km à 40° sud-ouest?
Réponse : ________________________
________ / 4
Exercices sur les vecteurs 1

6. Quelles sont la norme et l’orientation du vecteur a r
Réponse : ________________________
2 , si = ( 2, − 3)
a r ?
________ / 4
7. Julie essaie de faire avancer son chien contre sa volonté. Pour ce faire, elle tire avec une
force de 10 N sur la laisse du chien, qui possède une orientation de 35° par rapport au sol.
De combien de newton dispose-t-elle pour faire avancer son chien, si la force efficace pour le
déplacement du chien est la composante horizontale de la force dans la laisse?
Réponse : ________________________
________ / 4
8. Suite aux efforts de Julie, qui tire sur la laisse de son chien avec une force de 10 N et une
orientation de 35° par rapport au sol, le chien subit un déplacement de 3 m. Quelle énergie a
été dépensée par Julie sachant qu’il s’agit du produit scalaire du vecteur force avec le
vecteur déplacement? (Note : 1 J = 1 N·m)
Réponse : ________________________
________ / 4
Exercices sur les vecteurs 2

Corrigé
1.
a) (2,75 cm, 2,56 cm)
Exercices sur les vecteurs
Module 3 : Des phénomènes mécaniques
Objectif terminal 1 : Le mouvement
∆x
=
vecteur cos θ
∆x
= 3,76 cm × cos
∆x
= 2,75 cm
∆y
= vecteur
∆y
= 3,76 cm × sin
∆y
= 2,56 cm
sinθ
( 43°
)
( 43°
)
b) (-2,62 cm, -3,33 cm)
θ = 180°
+ 51,8 °
θ = 231,8 °
2.
a) 3,6 et 123,7°
Norme
Orientation
∆x
=
vecteur cos θ
∆x
= 4,24 cm × cos
∆x
= −2,62
cm
∆y
=
vecteur sinθ
∆y
= 4,24 cm × sin
∆y
= −3,33
cm
r
v
r
v
r
v
=
=
v
2
x
= 3,6
+ v
( − 2)
2
( 231,8 ° )
( 231,8 ° )
2
y
+ 3
2
θ = tan
−1
3
θ = tan
− 2
θ = −56,3°
Le vecteur est dans 2 e quadrant, car v x est négatif et v y positif.
−1
v
v
y
x
Exercices sur les vecteurs (Corrigé) 1

Il faut donc additionner 180° à θ.
180° + (-56,3°) = 123,7°
b) 6,4 et 308,7°
Norme
r
w
r
w
r
w
Orientation
=
=
w
4
2
= 6,4
2
x
θ = tan
+ w
+
2
y
( − 5)
−1
− 5
θ = tan
4
θ = −51,3°
Le vecteur est dans 4 e quadrant, car w x est positif et w y négatif.
Il faut donc additionner 360° à θ.
360° + (-51,3°) = 308,7°
3. 51 km/h à 37°
−1
w
w
y
x
2
Recherche de l’angle entre le vecteur vitesse du courant et le vecteur vitesse de l’embarcation
φ = 180 ° − 50°
= 130°
Recherche de la norme du vecteur résultant
v
v
v
v
2
r
2
r
2
r
r
=
=
r
v
c
2
+
r
v
e
2
( 15 km/h ) + ( 40 km/h )
= 2596,3 km
2
= 50,95 km/h
2
/h
r
− 2 v
2
c
⋅
r
v
2
e
cos φ
− 2 × 15 km/h × 40 km/h × cos130°
Exercices sur les vecteurs (Corrigé) 2

Recherche de l’orientation du vecteur résultant
4. (-1, 2)
5. 9,4 km à 198,1°
sin θ sin φ
r = r
v e v r
sinθ
sin130°
=
40 km/h 50,95 km/h
r
v =
r
w =
r r
v + w
r r
v + w =
r r
v + w =
Conversion des coordonnées géographiques
sinθ
= 0,601
θ = 36,97°
( v x , v y ) = ( − 2, − 4 )
( w x , w y
) = ( 1, 6)
= ( v + w , v + w )
x
x
( − 2 + 1, − 4 + 6)
( − 1, 2)
2,5 kmNE = 2,5 kmà 45°
5,1 kmO = 5,1 km à 180°
7,3 km 40°
SO = 7,3 km à 220°
Recherche des composantes du vecteur résultant (déplacement)
Vecteurs Norme
Angle (par rapport à
l'horizontale)
∆x
∆y
1 2,5 km 45° 1,77 km 1,77 km
2 5,1 km 180° -5,10 km 0,00 km
3 7,3 km 220° -5,59 km -4,69 km
Somme des composantes: -8,92 km -2,92 km
Recherche de la norme du vecteur déplacement
∆
s r = ( ∆x r , ∆y
r ) = ( − 8,92 km, − 2,92 km)
r
2 2
∆s
= ∆xr
+ ∆y
r
r
2
2
∆s
= ( − 8,92 km) + ( − 2,92 km)
r
∆s
= 9,4 km
Recherche de l’orientation du déplacement
θ = tan
θ = tan
−1
−1
θ = 18,1°
∆y
∆x
r
r
y
− 2,92 km
− 8,92 km
y
Exercices sur les vecteurs (Corrigé) 3

Le vecteur déplacement est dans le 3 e quadrant, car ses deux composantes sont négatives, il faut
donc ajouter 180° à l’angle obtenu.
6. 7,2 à 303,7°
180° + 18,1° = 198,1°
Recherche des composantes du vecteur
r r
b = 2a
= 2 2, − 3 = 2 × 2, 2 × −3
= 4, − 6
( ) ( ) ( )
Recherche de la norme et de l’orientation du vecteur
Norme :
Orientation :
r
b
r
b
r
b
=
=
b
4
2
x
2
= 7,2
θ = tan
+ b
+
−1
2
y
( − 6)
b
b
y
x
−1
− 6
θ = tan
4
θ = −56,3°
Le vecteur est dans 4 e quadrant, car b x est positif et b y négatif. Il faut donc additionner 360° à θ.
7. 8,19 N
8. 24,6 J
360° + (-56,3°) = 303,7°
F
F
F
x
x
x
F r
=
= 10 N à 35°
8,19 N
2
= 10 N × cos35°
=
E = 24,6 J
r
F cos θ
r
∆x = 3 m à 0°
r
r r
E = F ⋅ ∆x
=
F = 10 N à 35°
r r
F × ∆x
cos θ
E = 10 N × 3 m × cos 35°
Exercices sur les vecteurs (Corrigé) 4