TD-PST : corrigé des exercices sur la symétrie - IUFM

L3 PST Année 2010-2011
UE67-3 Culture mathématique – géométrie
Autour de la symétrie axiale
Le napperon 1
Il s'agit de reproduire un « napperon » en papier affiché dans la classe. Les élèves doivent observer le napperon et
le reproduire en réalisant des pliages et des découpages, la seule contrainte étant de déplier uniquement après
avoir réalisé tous les pliages et découpages souhaités. Les élèves doivent ensuite comparer leur réalisation avec
le modèle et, dans le cas où leur production n'est pas satisfaisante, recommencer en s'appuyant sur l'analyse des
différences constatées avec le modèle.
Cette situation peut être mise en œuvre à l’école élémentaire aux cycles 2 et 3 selon le type de napperon choisi et
les critères de conformité au modèle.
Les consignes données font que dans la réalisation de la tâche, l’esprit est mobilisé en même temps que la main.
La manipulation va servir de support à la réflexion. Il est donc nécessaire de développer une réelle activité
cognitive, d’anticiper l’action, de faire des hypothèses sur les pliages et les découpages à réaliser en utilisant
implicitement des connaissances géométriques et ici plus particulièrement les éléments de symétrie de certaines
figures géométriques (axes de symétrie du carré, du triangle isocèle, du losange, de l’octogone régulier).
L’analyse des différents essais infructueux permet de modifier ses hypothèses et donc de modifier la manière de
plier et de découper. Cette analyse permet en outre la construction d’images mentales relatives aux différents
1 La situation présentée par PELTIER M.-L. (2000), « Le napperon », Grand N, n° 68, IREM de Grenoble, est adaptable du cycle 2 au cycle
3.
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éléments de symétrie que possèdent à la fois le support (carré) et les différentes formes géométriques qui
constituent les découpes du napperon.
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Une fois le carré plié le long de ses axes de symétrie, on obtient la
partie minimale sur laquelle il faudra réaliser les découpes, c’est ce que
montre la figure ci-contre.
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Les propriétés de la symétrie axiale
Il s’agit de reconnaître si chacune des figures ci-dessous constitue une configuration symétrique par rapport à une
droite en argumentant la réponse afin de mettre en évidence quelles sont les propriétés de la symétrie axiale.
En effet, pour mettre en évidence ces dernières, on peut partir de configurations non symétriques. Etant donné une
configuration non symétrique, il est possible d’apporter plusieurs arguments portant sur des propriétés distinctes
pour justifier qu’il n’y a pas symétrie. Parmi ces propriétés, l’une d’entre elles est plus pertinente à la perception
que les autres et apporte ainsi un argument « plus évident », plus rapidement reconnaissable.
A
B
C
D
E
G
F
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A n’est pas une configuration symétrique par rapport à une droite : la forme des deux figures n’est pas conservée
B n’est pas une configuration symétrique par rapport à une droite : l’orientation des deux figures par rapport à l’axe
n’est pas bonne
C est une configuration symétrique
D n’est pas une configuration symétrique par rapport à une droite : les deux figures ne sont pas à la même
distance de l’axe
E n’est pas une configuration symétrique par rapport à une droite : les deux figures ne sont pas situées sur une
même droite perpendiculaire à l’axe
F n’est pas une configuration symétrique par rapport à une droite : les deux figures n’ont pas la même taille
G n’est pas une configuration symétrique par rapport à une droite : les deux figures ont la même orientation
La symétrie axiale par rapport à une droite (d) est la transformation qui à tout M point du plan associe le point M’ tel
que (d) est la médiatrice de [MM’]
Lorsqu’on donne deux figures symétriques par rapport à une droite, pour construire cette dernière, il suffit de
construire la médiatrice du segment joignant un point d’une figure et son symétrique sur l’autre figure.
La symétrie axiale conserve les angles et les distances. C’est une isométrie.
De cette propriété on déduit d’autres propriétés :
La perpendicularité est conservée.
Le parallélisme est conservé.
Le symétrique du milieu I d’un segment [AB] est le milieu I’ du segment dont les extrémités sont les symétriques
des points A et B.
L’image d’une figure dans une symétrie axiale est superposable à la figure initiale après retournement.
L’axe de symétrie est l’ensemble des points invariants.
Exercices
Exercice 2
a) Un triangle isocèle un axe de symétrie, un « cerf-volant » a un axe de symétrie.
Un rectangle a deux axes de symétries qui sont ses médianes, un losange a deux axes de symétries qui sont ses
diagonales.
Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie.
Le carré a quatre axes de symétrie : ses diagonales et ses médianes.
Un pentagone régulier a 5 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Un cercle a une infinité d’axes de symétrie : les diamètres. Une droite a une infinité d’axes de symétrie : toutes les
droites perpendiculaires à cette dernière.
b) Une figure peut avoir un centre de symétrie sans avoir d’axe de symétrie. Par exemple le parallélogramme a un
centre de symétrie qui est le point de concours de ses diagonales.
c) Le raisonnement est faux : le point d’intersection des axes de symétrie d’une figure est un centre de symétrie
pour cette dernière, uniquement dans le cas où les axes sont perpendiculaires. Le triangle équilatéral a trois axes
de symétrie mais pas de centre de symétrie.
Exercice 3
a) Une droite est déterminée par deux points. On peut faire l’hypothèse que la droite cherchée est celle qui passe
par les deux centres I et J des carrés. Il faut alors démontrer que cette hypothèse est vérifiée.
Le centre d’un carré, point de concours I de ses diagonales est un centre de symétrie du carré. I est donc le centre
d’une rotation d’angle 180°.
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A
B
I
D C
E F
J
H
G
La droite (IJ) coupe [AD] en O, [BC] en P, [EH] en Q et [FG] en R
Considérons le carré ABCD. Dans la rotation de centre I et d’angle 180°, C est l’image de A, D est l’i mage de B, O
est l’image de P. Le trapèze OABP a donc pour image le trapèze PCDO. Comme une rotation conserve les
longueurs et les angles, ces deux trapèzes sont isométriques, ils sont donc superposables. La droite (OP) partage
donc le carré ABCD en deux parties égales.
On démontrerait de la même manière que la droite (QR) partage le carré EFGH en deux parties égales.
La droite (IJ) partage les deux carrés en deux parties égales.
b) Cette propriété reste vraie pour les rectangles et les parallélogrammes qui ont un centre de symétrie.
La symétrie centrale ou symétrie par rapport à un point
La symétrie par rapport à un point O ou symétrie centrale est la transformation qui a tout point M du plan associe le
point M’ tel que O est le milieu du segment [MM’].
La symétrie centrale par de centre O est une rotation de centre O et d’angle 180°.
La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles. C’est une isométrie.
Exercice 4
Soit C le point situé sur la berge de la rivière où le jardinier puise de l’eau. Il faut déterminer où est situé C pour
que la longueur AC + CB soit minimale.
Soit A’ le point symétrique du point A par rapport à la berge de la rivière. C étant sur la médiatrice de [AA’], AC =
A’C. AC + CB est donc égal à A’C + CB. Pour que A’C + CB soit minimale C doit être situé sur (A’B). C est donc
l’intersection de (A’B) avec la berge de la rivière
A’
C
●
B
●
A
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