T - International Actuarial Association

Ĉ et ĉ sont discontinues par construction et leur discontinuité s’accentue lorsque T diminue.
Dans la pratique, leur temps de calcul, croissant avec T, peut être assez long. Il est conseillé
de ne pas choisir une valeur trop grande de T afin de limiter les temps de traitement
informatique tout en veillant à ne pas retenir une valeur trop faible qui conduirait à des
résultats trop discontinus, engendrant alors une perte d’information sur la forme de la
distribution. Ces deux fonctions empiriques peuvent être utilisées graphiquement mais elles
ne permettent pas par simple visualisation de choisir la famille paramétrique de copules la
mieux adaptée à la structure de dépendance des données.
2.8. Inférence statistique
Cette partie présente les principales méthodes permettant d’estimer le paramètre de la copule.
Méthode des moments
Cette méthode revient à se donner une mesure de concordance
κ C et à considérer que la
valeur du paramètre a de la copule C est celle qui égalise la valeur théorique κ C(a)
à
ˆ κ C . Elle n’assure aucune robustesse de l’estimateur. Dans la pratique, l’estimateur
empirique du tau de Kendall est le plus souvent utilisé comme mesure de concordance en
raison de sa simplicité de calcul.
Méthode du maximum de vraisemblance
A partir du théorème 1 et de la définition 2, sous des conditions de continuité, la densité
jointe de la distribution F s’écrit :
f
n
1 fi(
xi
).
( x ,..., xn
) = c( F1
( x1
),..., Fn
( xn)
)∏
i=
1
t t
Soient {( x x } T 1 ,..., n)
t= 1
l’échantillon d’observations, θ le vecteur K × 1 des paramètres à estimer
et Θ l’espace dans lequel θ prend ses valeurs.
= T
T n
t
1 ln fk
( xk
).
t= 1 t= 1 k=
1
t
t
La log-vraisemblance s’exprime alors l(θ
) ∑ln
c(
F ( x1
),..., Fn
( xn))
+ ∑∑
L’estimateur de θ , noté
ˆML θ , est tel que l( ˆ θ ML ) ≥ l(
θ ), ∀θ
∈ Θ.
Il vérifie la propriété de
normalité asymptotique :
( ˆ
−1
θ −θ 0
) → N( 0, Ι ( θ ))
T ML
L
0
, avec Ι θ ) la matrice d’information de Fisher.
( 0
Le problème avec cette méthode est qu’elle peut engendrer des temps de calcul très longs
dans le cas d’une grande dimension car elle nécessite d’estimer conjointement les paramètres
des lois marginales et les paramètres de la structure de dépendance. De plus, l’estimation de
la copule est sensible à une éventuelle erreur d’estimation des marginales car elles
interviennent directement dans le calcul de la log-vraisemblance.
12