Probabilités

Probabilités
TD1. Axiomes des probabilités.
1. Une boîte contient 3 jetons, un rouge, un vert et un bleu. On considère
l’expérience consistant à tirer au hasard un jetons dans la boîte, à l’y
remetre puis à en tirer un second.
Décrire l’ensemble fondamental. Même question si le second jeton est
tiré sans qu’on ait remis le premier.
2. Soient A et B des événements tels que P (A) = 0.6, P (B) = 0.4 et
P (AB) = 0.2. Trouver les probabilités de:
A ∪ B; A c ; B c ; A c B A ∪ B c ; A c B c .
3. 60% d’élèves d’une école ne portent ni bague ni collier. 20% portent
une bague et 30% ont un collier. Si un des élèves est choisi au hasard,
quelle est la probabilité qu’il porte
• une bague ou un collier ?
• une bague et un collier ?
4. Un client du rayon costumes d’un magasin achètera un costume avec
une probabilité 0, 22, une chemise avec une probabilité 0, 30 et une
cravate avec une probabilité 0, 28. Le client achètera un costume et
une chemise avec une probabilité 0, 11, un costume et une cravate avec
une probabilité 0, 14 et une chemise et une cravate avec une probabilité
0, 10. Un client achètera les trois vêtements avec une probabilité 0, 06.
Quelle est la probabilité qu’un client achete aucun vêtement.
5. On joue au pile ou face jusqu’à l’obtention d’un pile. Décrire l’univers
et calculer la probabilité pour que le premièr pile sort pendant un lancer
impair.
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Probabilités
TD2. Combinatoire.
1. On considère une urne contenant N boules numérotées 1, 2, . . . , N.
Combien y-a-t’il de résultats possibles lorsque:
(a) on tire succèssivement n boules en les remettant à chaque fois
(tirage avec remise).
(b) on tire succèssivement n boules en les enlevant à chaque fois (tirage
sans remise).
(c) on tire en vrac n boules (tirage exhaustif).
2. Une boîte contient n jetons numérotés par 1, . . . n. On considère l’expérience
consistant à tirer au hasard un jeton dans la boîte, à l’y remmetre puis
à en tirer un second. Trouver les probabilités des événements suivants:
• Le premièr jeton tiré montre 1, et le deuxième 2.
• Les nombres des deux jetons sont deux entièrs conséqutifs. (Le
premièr nombre est égale au deuxième moins 1.)
• Le deuxième nombre est plus grand que le premièr.
3. Répondre aux quéstions de l’exercice précedente si le second jeton est
tiré sans qu’on ait remis le premier.
4. Un comité de 5 personnes doit être choisi parmis les 6 hommes et 9
femmes d’un groupe. Si le choix est le résultat du hasard, quelle est la
probabilité que le comité soit composé de 3 hommes et 2 femmes?
5. Si n personnes sont présentes dans une pièce, quelle est la probabilité
que leurs anniversaires tombent sur les jours tous différents? Faire le
calcul pour n = 23. Conclusion.
6. m télégrammes sont distribués au hasard suivant n voies de communication
(n > m). Trouver la probabilité de l’événement ”chaque voie
transmet au plus un télégramme.”
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Probabilités
TD3. Probabilité conditionnelle.
1. On jette deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité qu’au moins l’un
d’entre eux montre 6, sachant que les deux résultats sont différents?
2. Le roi vient d’une famille de deux enfants. Quelle est la probabilité
qu’il a une soeur ?
3. 46% d’électeurs se déclarent indépendants alors que 30% se déclarent
libéraux et 24% conservateurs. Lors d’une récente élection locale, 35%
des indépendants, 62% des libéraux et 58% des conservateurs ont voté.
Un électeur est choisi au hasard. Sachant qu’il a voté lors de l’éléction
locale, quelle est la probabilité qu’il soit
a) indépendant;
b) libéral;
c) conservateur?
d) Quelle proportion d’élécteurs a participé à l’éléction locale?
4. On dispose de 10 pièces telles que, pour la i-ème d’entre elles la probabilité
de montrer pile lorsequ’on la lance est i/10, i = 1, 2, . . . , 10. On
choisit une pièce au hasard et on la lance. Quelle est la probabilité
d’obtenit pile? Une pièce est tirée au hasard, lancée, elle donne pile.
Quelle est la probabilité qu’il s’agisse de la cinquième pièce?
5. Deux urnes contiennent respectivement deux boules blanches plus une
noire et une blanche plus cinq noires; On tire au hasard une boule dans
l’urne A et on la place dans B. On tire alors une boule dans B, elle est
blanche. Quelle est la probabilité que la boule transferée ait aussi été
blanche?
6. Un avion est porté disparu. On pense que l’accident a pu arriver aussi
bien dans n’importe laquelle de trois régions données. Notons par 1−α i
la probabilité qu’on découvre l’avion dans la région i s’il y est effectivement.
Les valeurs α i representent ainsi la probabilité de manquer
l’avion lors des recherches. Quelle est la proba que l’avion se trouve
dans la région i, i = 1, 2, 3, si les recherches dans la région 1 non rien
donné .
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7. Dans une certaine ville, 36% des familles possèdent un chien et 22%
de celles qui ont un chien possèdent aussi un chat. De plus, 30% des
familles ont un chat. Quelle est la probabilité qu’une famille séléctionnée
au hasard possède un chien et un chat? Quelle est la proba conditionnelle
qu’une famille choisie au hasard possède un chien sachant qu’elle
a un chat?
8. Une compagnie d’assurances repartit les gens en trois classes: personnes
à bas risque, risque moyen et haut risque. Ses statistiques indiquent
que la probabilité pour que les gens soient impliqués dans un accident
sur une période d’un an est respectivement 0, 05; 0, 15; 0, 30. On estime
que 20% de la population est à bas risque, 50% est à risque moyen et
30% est à haut risque. Quelle proportion des gens ont un accident ou
plus au cours d’une année donnée? Si l’assuré A n’a pas eu d’accident
en 2001, quelle est la probabilité qu’il fasse partie de la classe à bas
risque?
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Probabilités
TD4. Indépendance. Epreuves indépendantes.
1. On réalise une séquence de n épreuves indépendantes. Chaque épreuve
donne soit un succès, soit un échec avec probabilités p et 1 − p respectivement.
Quelle est la probabilité pour:
1) qu’il survienne au moins un succès parmi les n épreuves;
2) qu’il survienne exactement k succès parmi les n épreuves
3) que toutes les épreuves donnent les succès.
4) Application numérique: n = 3 et p = 1/2.
2. Un système comprenant n composantes est appelé système en parallèle
s’il fonctionne dès qu’au moins l’un de ces composants fonctionne.
Dans le cas d’un tel système, si son i-ème composant fonctionne
indépendamment de tous les autres et avec une probabilité p i ,
i = 1, 2, . . . , n, quelle est la probabilité de son fonctionnement?
3. On lance une pièce de monnaie jusqu’à ce que pile sort pour la première
fois. La pièce montre pile avec la probabilité p et face avec la probabilité
q = 1 − p. Construire le modèle probabiliste de cet expérience.
4. Une séquence d’épreuves indépendantes consiste à jeter plusieurs fois
une paire de dés réguliers. On appelle le résultat la somme des chiffre
apparents. Quelle est la probabilité qu’on voit sortir un résultat 5 avant
qu’un 7 n’apparaisse?
5. On lance un dé jusqu’à ce qu’on obtienne 6. Sachant qu’on n’a pas
obtenu 6 au premièr lancer, quelle est la probabilité qu’il faudra effectuer
au moins 3 lancers?
Quelle est la probabilité qi’il faudra un nombre pair de lancers?
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Probabilités
TD5. V.a. Esperance.
1. Soit a > 0 et X une v.a. à valeurs dans {1, 2, . . . , 5}, telle que, pour
tout entier k dans cet ensemble
P (X = k) = 1
6a (k − a)2 .
Vérifier que, pour a = 5, X suit bien une loi de probabilité. Calculer
l’espérance et la variance de X.
2. Quatre bus transportant 148 élèves de la même école arrivent à un stade
de football. Les bus transportent repectivement 40, 33, 25 et 50 élèves.
Un des étudiants est choisi au hasard. Soit X le nombre d’étudiants
qui était dans le bus de cet élève. Un des quatre chauffeurs de bus est
également choisi au hasard. Soit Y le nombre d’élèves dans son bus.
a) Entre EX et EY , de laquelle diriez vous qu’elle est la plus grande?
Pourquoi?
b) Calculer EX et EY .
3. Un gardien de nuit a 10 clés, dont une seul marche pour ouvrir la porte.
Il emploie 2 méthodes:
A Méthode rationnelle; à jeun, il retire le cles déjà essayées.
B Ivre; chaque clé peut être essayée plusieurs fois.
Soit X le nombre de clés essayées avant d’ouvrir, y compris la bonne,
dans le cas A et Y dans le cas B.
a) Déterminer la loi de X et celle de Y .
b) Calculer EX et EY .
c) On sait que le gardien est ivre un jour sur 3. Un jour, après avoir
essayé 8 clés, le gardien n’a toujours pas ouvert la porte. Calculer la
probabilité pour qu’il soit ivre.
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Probabilités
TD6. Loi binomiale.
IUP 2002-2003.
1. On ralise n preuve de Bernoulli de probabilit de succes p. Soit S n la
somme de succs sur n preuves. Trouver la loi de S n .
2. On tire une boule d’une urne en contenant 3 blanches et 3 noires.
On la replace aprs tirage, pour recommencer indfiniment cette squence
d’preuves. Quelle est la probabilit de trouver exactement deux boules
blanches parmi les quatre premires boules tires?
3. Un examen est administr sous forme d’un questionnaire de 5 questions
3 choix multiple chacune. Quelle est la probabilit qu’un tudiant obtienne
4 bonnes rponses ou plus en devinant?
4. Les moteurs d’un avion ont une probabilit 1 − p de dfaillance en cours
de vol, et ce indpendamment les uns des autres. Un avion a besoin
d’une majorit de ses moteurs pour terminer le vol. Pour quelle valeurs
de p un avion 5 moteurs est-il prferable un trimoteur?
5. Un tudiant se prpare passer un examen oral important. Il se proccupe
de la question de savoir si’il sera en forme ou non. Son opinion est que
si’il est en forme, chacun de ces examinateurs le jugera suffisant avec
une proba de 0, 8 et indpendamment des autres examinateurs. Dans
le cas contraire, cette proba tombe 0, 4. L’tudiant est promu si une
majorit de ces examinateurs le juge suffisant. Par ailleur, il pense avoir
deux fois plus de chanes d’être en mforme qu’en forme. A-t-il plus
d’intrêt demander un control par 3 ou 5 examinateurs?
6. Au moins 9 des 12 jurs runis doivent estimer l’accus coupable pour
rendre le jugement excutoire. Supposons que la probabilit pour un
jur d’stimer un coupable innocent est 0, 2 tandis qu’elle est de 0, 1 de
commettre l’erreur contraire. Les jurs dcident en toute indpendance et
65% des accuss sont coupables. Trouver la probabilit que le jury rende
une sentence correcte.Quelle pourcentage des accuss sera condamn?
7. Soit S n ∼ B(n, p). Calculer ES n , V arS n et E 1
1+S n
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TD7. Loi de Poisson. Loi Géométrique.
1. On suppose que 10% des puces produites par une usine de matériel
d’ordinateur sont défectueuses. Si l’on commande 100 puces, quelle est
la loi du nombre de puces déffectueuses?
2. L’espérance du nombre d’erreurs typographiques sur une page d’un
certain magasine est 0, 2. Quelle est la probabilité que la prochaine
page lue contienne
a) 0 erreurs? b) 2 ou plus d’erreurs?
3. Le nombre de rhumes attrapés par un individu en espace d’un an est
une v.a. de Poisson de paramètre λ = 5. Admettons qu’un remède
miracle ait été lancé sur le marché et qu’il abaisse le paramètre λ à
3 pour 75% de la population. Pour les 25% qui restent le remède n’a
pas d’effet. Un individu essae ce médicament pendant un an et attrape
deux rhumes. Quelle est la probabilité que le remède ait un effet sur
lui?
4. Soit X une v.a. géométrique de paramètre p. Montrer que
P (X = n + k|X > n) = P (X = k).
Donner un argument intuitif en faveur de cette équation en se basant
sur le modèle général auquel s’appliquent le v.a. géometriques.
5. Calculer l’espérance de la loi géometrique. On lance un dé jusqu’à ce
qu’on obtienne un chiffre pair. Quelle est l’esperance du nombre de
tirages nécéssaires?
6. Une urne contient 4 boules blanches et 4 noires. On tire 4 boules au
hasard. Si deux sont blanches et deux sont noires on s’arrête. Sinon
on remet le boules dans l’urne et recommence le tirage, jusqu’à obtenir
deux blanches et deux noires. Quelle est la probabilité qu’il faille exactement
n tirages avant de s’arrêter? Quelle est la proba qu’il faille
un nombre pair de tirages?
7. Calculer EX et V arX pour les lois de Poisson et Géometrique.
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Probabilités
TD8. Couples. Indépendance.
Variance d’une somme. Inégalité de Tchebychev.
1. A l’oral d’un concour, un candidat doit composer sur 3 sujets tirés au
sort parmi 8, dont 3 sujets d’économie, 2 sujets de droit et 3 sujets de
gestion. Soit X le nombre de sujets d’économie sortis et Y le nombre
de sujets de droit sortis.
a) Donner la loi du couple (X, Y ).
b) Donner les lois marginales de X et Y .
2. Dans un couple le mari ne supporte pas les chats et la femme déteste
les chiens. Le mari n’élève pas plus d’un chien et la femme pas plus
d’un chat. La probabilité pour que le mari possède un chien est de 0, 2.
La probabilité pour que la femme possède un chat est de 0, 1 sachant
que le mari n’a pas de chien et de 0, 5 sachant le contraire. On note X
le nombre de chiens et Y le nombre de chats du couple.
a) Donner la loi de (X, Y ).
b) Donner la loi de Y .
c) Soit Z le nombre d’animaux du couple. Calculer EZ et V arZ.
3. On réalise n + m épreuves de Bernoulle de probabilité de succès p.
Soit X le nombre de succès sur n premières épreuves et Y le nombre
de sucsès sur m dernières épreuves. Expliquer porqoi X et Y sont
indépendantes. Donner leurs lois. Donner la loi de leur somme.
4. On admèt que le nombre de clients d’un bureau de poste en espace
d’un jour est une v.a. poissonienne de paramètre λ. On note par p
la probabilité qu’une personne entrant dans le bureau de poste soit
un homme. Montrer que, dans ce cas, le nombre des hommes et celui
des femmes parmi les clients quotidiens sont les v.a. poissoniennes de
paramètres respectifs λp et λ(1 − p) et qu’elles sont independantes.
5. Si X, Y et Z sont indépendantes, de l’espérance 0 et de variance 1,
calculer E(2X + Y + Z), V ar(2X + Y − Z).
6. Representer une v.a. binomiale S n ∼ B(n, p) comme une somme de
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n v.a. de Bernoulli indépendantes. Calculer ES n et V arS n utilisant
cette representation.
7. On lance une pièce de monnaie 100 fois. Estimer la probabilité d’avoir
moins de 20 ou plus de 80 piles.
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Probabilités
IUP 2003-2004.
Loi normale.
1. Soit X une variable aléatoire normale de paramètres m = 3 et σ 2 = 9.
Calculer à l’aide des tables:
• (2 < X < 5);
• (X > 0);
• (|X − 3| > 6).
2. La variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres m = 20 et
σ 2 = 25. . Déterminer le nombre réel a tel que:
• (X ≤ a) = 0, 99;
• (X ≤ a) = 0, 01;
• (X ≥ a) = 0, 05;
• (X ≥ a) = 0, 90;
• (20 − a ≤ X ≤ 20 + a) = 0, 95.
3. X suit la loi normale N (⇕; ′, ∞). Calculer m pour que (X ≥ 2, 2) =
0, 05.
4. X suit la loi normale N (∈, σ). Calculer σ pour que (X ≤ 2, 2) = 0, 9.
5. L’entreprise CMC fabrique des écrans vidéo pour micro-ordinateur.
Une étude statistique a permis d’établir que la demande, au Japon,
pour son modèle ZW était distribuée selon la loi normale avec une
moyenne de 2000 unités par mois et un écart-type de 300 unités.
• Si l’entreprise a en stock, pour le mois qui débute, 2300 unités,
calculer la probabilité qu’elle ne puisse suffire à la demande.
• L’entreprise veut s’assurer qu’elle ne sera pas en pénurie de stock
plus de 5% du temps. Quelle doit être le nombre d’unités stockées
mesuelement pour respecter cette condition ?
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• Au Canada, la demande est encore supposée distribuée selon la
loi normale avec le même écart-type de 300 unités. La rupture
de stock, pour un stock de 2000 unités, a lieu un mois sur douze.
Calculer la demande moyenne m du nombre d’unités par mois.
6. On a estimé que 1400 usagers cherchent, le vendredi soir, à prendre le
TGV Paris-Nantes de 19h.30. Les portes du train ouvrent une demiheure
avant le départ. Parmi les usagers, 50 arrivent avant l’ouverture
des portes et 70 arrivent trop tard. En admettant que la distribution
des temps d’arrivée et gaussienne, utiliser les tables pour obtenir la
moyenne et l’ecart-typa de cette loi.
• Déterminer l’heure à laquelle les portes du train doivent être ouverte
pour qu’il n’y ait pas plus de 20 usagers qui attendent sur
le quai?
• Calculer le nombre de voyageurs ayant manqué le train si celui-ci
a un retard de 5 minutes ?
7. On lance 10 dés équilibrés. On cherche la probabilité pour que la somme
de 10 résultats soit comprise entre 30 et 40.
8. Une assurance a 10000 automobilistes assurés. L’espérance annuelle
d’indemnité demandées par un assuré est 240 euros et son équart-type
est 800 euros. Approximer la probabilité que les indémnités annuelles
totales dépassent 2, 7 millions d’euros.
9. Un certain composant joue un role critique dans un système électrique
et doit être remplacé immédiatement à chaque panne. Si la durée de
vie moyenne de ce type de composant est de 100 heures et que son
équart-type est de 30 heures, combien de ces composants doit-on avoir
en stock pour que la probabilité que le système marche continuellement
les 2000 prochains heures soit au moins de 0, 95 ?
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