Espaces Fibrés, connexions et Interactions Fondamentales

Espaces Fibrés, connexions
et Interactions
Fondamentales
R.C.
séminaire du
17/03/05

Plan
• Physique et Mathématique
• Les espaces fibrés
• Les connexions
• Un saut vers l’infini : l’espace des connexions
• Physique classique ou quantique : géométrie
commutative ou non commutative

0 - Physique et Mathématique

Physique classique ou quantique :
géométrie commutative
ou
non commutative
(sloggan un peu abusif...!)

Considérations Philosophiques
Le Réel : Notion métaphysique
La Physique : Description mathématique du réel
dans un sens très large
Point de vue
personnel :
Si on ne dispose pas d’une description mathématique (même
élémentaire et inconsciente) d’un “sujet” donné, on ne peut pas en
parler de façon rationnelle.

Physique Classique
et Géométrie (Commutative)
• Ensemble de points
Espace
Les fonctions (à valeurs réelles ou
complexes) sur un espace constituent
une algèbre commutative
• Notion de voisinage et de continuité
Topologie
• Etats d’un système Théorie de la Mesure
• Notion de distance, de forme
Géométrie
• Symétries Groupes et géométrie
Les grandeurs physiques afférentes à un système sont des
fonctions définies sur l’espace qui décrit le système

Physique Quantique
et Géométrie (Non Commutative)
• Espace
• Topologie
Algèbre non commutative
C* algèbre
• Théorie de la Mesure
Algèbre de von Neumann
• Géométrie
• Groupes
Géométrie non commutative
Groupes quantiques
Les grandeurs physiques sont décrites
par des éléments de l’algèbre associée au système

1 - Les espaces fibrés

Espaces Fibrés : aspects
conceptuels et utilisation
• En Mathématiques : concepts
• En Mathématiques : utilisation
• En Physique : Interactions fondamentales
(description des “champs de matière”)
• En Physique : Outil

Préambule géométrique
Pas l’objet de
cet exposé{
Ensemble (espace)
Variété topologique
Variété différentiable
Structure d’espace fibré :
Les fibrés principaux
Les fibrés associés (en particulier les fibrés vectoriels)
Autres espaces fibrés...

Le langage des fibrés
section

1-1 Les espaces fibrés principaux
Fibration
Espace fibré localement trivial
Espace fibré principal
Exemple fondamental
Autres exemples

Une application π : P → M est une fibration si toutes les fibres π −1 (x), x ∈ M sont difféomorphes
(on suppose ici que P et M sont des variétés et que π est différentiable).
Plus généralement, même dans le cas où les fibres sont discrètes on dira qu’on a affaire àune
fibration si toutes les fibres ont même cardinalité.
Toutes les fibres sont de type F
Trivialité locale : π −1 (U) =U × F
U
Une fibration (P, M, π) est un espace fibré principal lorsque les trois conditions suivantes sont
satisfaites :
1. (P, M, π) est un espace fibré localement trivial.
2. Un groupe de Lie G agit (à droite) sur P ,etce,defaçon transitive dans chaque fibre.
3. Toutes les fibres sont homéomorphes à G.
Groupe structural

Exemple fondamental : le fibré principal des repères linéaires
Espace M : une variété de dimension n.
Considérer en chaque point x ∈ M l’ensemble G x de tous les repères.
G x estlafibreaudessusdex.
La réunion de toutes les fibres constitue l’ensemble de tous les repères (espace total P ).
La projection π associe au repère z ∈ G x le point x où il est situé.
On peut toujours passer d’un repère z =(z i ) i∈{1...n} àunrepère z ′ =(z ′ j)aumême point x à l’aide
d’un élément g =(g i j )deGL(n) :(z′ j = z i g i j ).
Marquons (choisissons) un repère de référence σ . =(σ) i en x ; alors, tout élément g de GL(n) définit
un nouveau repère z = σg au même point, et réciproquement, tout nouveau repère z détermine un
et un seul élément g de GL(n) telquez = σg.

G = GL(n)
Espace fibré principal des
repères linéaires
.
.
z 2 = z 1 g
z 1 = σ(x)
P
g ∈ G
x
x
M
Analogie (collège !) :
A2
A 2 = A 1 + −→ V analogie : z 2 = z 1 g
A1
point point vecteur
Généralisation
“Point” z de l’espace total P : repère (généralisé) en x.
Section locale (courbe σ(x)) : repère mobile.
Element g du groupe : changement de repère.
Groupe structural G : groupe de changements de repères généralisés.
Correspondance entre groupe et repères en un point :
marquer l’origine (section locale).

Exemples
Les entiers modulo 3
Fibration principale d’un groupe
au dessus d’un espace homogène

Fibration principale d’un espace
homogène relative à l’action du normalisateur
G = SO(n) H = SO(n − 1) N = SO(n − 1) × ZZ 2 N|H =ZZ 2
G/H = S n−1
G/N =IRP n
G = SU(n) H = SU(n − 1) N = SU(n − 1) × U(1) N|H = U(1)
Exemple : fibration de Hopf des sphères
G/H = S 2n−1
G/N =lCP n−1
G = Sp(n) H = Sp(n − 1) N = Sp(n − 1) × SU(2) N|H = SU(2)
G/H = S 4n−1
G/N =IHP n

1-2 Les espaces fibrés associés
(en particulier les espaces fibrés vectoriels)
Aspect Intuitif :
Partir d’un fibré principal et “remplacer” la fibre type (un
groupe) par un espace sur lequel le groupe structural agit.
G
Définition :
P
. z
.
. .
x
M
F
On se donne une action (à gauche) du groupe structural G sur l’ensemble F
z ∈ P, f ∈ F, g ∈ G
On identifie (z,f) avec (zg,g −1 f). C’est une relation d’équivalence.
u
x
E
M
On note E = P × G F et u = z.f (la notation rend évidente la propriété zf = zgg −1 f)
u est l’objet géométrique qui, dans le repère z,possède les composantes f et possède les composantes
g −1 f dans le repère zg Notion qui généralise la notion géométrique (intrinsèque) de “vecteur”

Espaces Fibrés Vectoriels
C’est un cas particulier de fibré associé :
- La fibre type F est un espace vectoriel
- On a choisi une représentation linéaire du groupe G
u = z.f = z µ f µ
(notation avec composantes : sommation sur l’indice µ)
“repère” z µ et “composantes” f µ (écriture à droite)
Cas (très) particulier : le fibré tangent à une variété
Question pédagogique : qui vient “en premier” ?
Le fibré principal ou le(s) fibré(s) associé(s) ?
commentaire...

Sections de fibrés associés =
“champs de matière”
En Physique Fondamentale, les champs de matière sont en général
décrits par des sections de fibrés associés
(par exemple des “champs de tenseurs”)
Trois points de vue :
• section x -> u(x) du fibré associé E
• application qui à z (un élément du fibré principal P, c’est à
dire un ``repère”) associe les coordonnées f(x) de l’objet
u(x) -- de façon équivariante
• Fixer le “repère” (mobile) une fois pour toutes : on ne parle
alors que des composantes f

1-3 Espaces Fibrés et Interactions
Fondamentales
Description des champs qu’on associe aux particules
(élémentaires ou non)
SO(3,1)
G = GL(n)
.
g ∈ G
z 2 = z 1 g
P
Aspect spatio-temporel
.
x
x
z 1 = σ(x)
M
Choisir une métrique sur M
Cela revient à choisir un certain fibré
principal de groupe structural SO(3,1)
Remplacer SO(3,1) par Spin(3,1)
Choisir une représentation du groupe structural,
fabriquer le fibré associé et les sections correspondantes

Particules élémentaires “fondamentales” :
– 6 Quarks répartis en 3 familles : (up, down), (charm, strange), (top, bottom).
– 6 Leptons en 3 familles : électron et son neutrino, muon et son neutrino, tau et son neutrino)
– Bosons de jauge (photon, W+,W-,Z, et 8 gluons)
– Particules scalaires (Higgs)
– Gravitons
– Autres ?
Les autres particules “élémentaires” sont des “états liés” de particules élémentaires fondamentales
(en général des états liés de quarks, exemple : proton, neutron... pions, kaons... etc. )
Les particules ”scalaires” sont associées à la représentation triviale. Les ”leptons” , comme les
”quarks” sont des particules associés aux représentations fondamentales du groupe Spin(3, 1).
Exemple
Du point de vue spatio-temporel, il n’y a pas de différence entre les leptons et les quarks.
Si on oublie les interactions fortes et electrofaibles, chaque quark est simplement un spineur de
Dirac (la somme de deux spineurs de Weyl). Il est décrit par une section d’un fibré vectoriel de
fibre type lC 4 ≡ lC 2 ⊕ lC 2 associé au fibré des repères spinoriels (groupe structural Spin(3, 1).
Il vaudrait mieux considérer un fibré en algèbres de Clifford (complexifiées)
En chaque point de l’espace-temps, un champ de
⎛
quark
⎞
est caractérisé par la donnée de 4 nombres
ψ 1 ou de lepton, ou n’importe quelle particule “de spin 1/2”
complexes (dans un certain repère spinoriel) : ⎜ ψ 2
⎟
⎝ ψ 3
⎠
ψ 4

Aspect Interactions Fortes
Pour tenir compte des interactions fortes (chromodynamique), on décrit chaque quark, non pas par
UN, mais par TROIS spineurs de Dirac (on dit qu’il existe trois couleurs).
Chaque quark – par exemple le quark up u – est ainsi un triplet,
mais la “composante” u b , par exemple, est elle-même un quadruplet :
du point de vue spatio-temporel
⎛
⎜
⎝
⎞
(u b ) 1
(u b ) 2
(u b ) 3
(u b ) 4
⎛
⎝
u b
u w
u r
⎞
⎠
⎟
⎠ = ( (ub ) L
(u b ) R
)
L’écriture du triplet sous-entend le choix d’un repère mobile dans l’espace complexe tri - dimensionnel
lC 3 .
Le groupe structural de l’espace fibré principal correspondant est SU(3) (le “groupe de couleur”).
SU(3) lC 3
G
P
. z
.
. .
x
M
F
u
x
E
M

Aspect Interactions Electro - Faibles
Pour tenir compte des interactions electro-faibles, on regroupe les demi - spineurs (gauche) par
“doublets”, les autres demi-spineurs (droit) constitutant des “singlets” .
Doublet = représentation fondamentale du groupe SU(2).
Singlet = représentation triviale du groupe SU(2).
On introduit un doublet pour chacune des trois familles de leptons ou de quarks.
On associe également à chaque composante un nombre Y appelé ‘ ‘hypercharge faible” qui caractérise
une représentation du groupe U(1).
( ) ( ) ( )
( )
uL cL tL
eL
, ,
et
d L s L b L
avec
ν e L
) (
µL
,
ν µ L
) (
τL
,
νL
τ
Y =1/3, 1/3, 1/3 et Y = −1, −1, −1
avec
u R , d R , c R , s R , t R , ,b R et e R , ν e R, ,µ R , ν µ R ,τ R, ,ν τ R
Y =4/3, −2/3, 4/3, −2/3, 4/3, −2/3, et Y = −2, 0, −2, 0 − 2, 0
Famille par famille, l’hypercharge faible du monde gauche est égale à celle du monde droit !
L’écriture du doublet sous-entend le choix d’un repère mobile dans l’espace complexe bi - dimensionnel
lC 2 , c’est à dire d’une base en chaque point x de l’espace-temps. L’écriture du singlet sous-entend
également un choix analogue.
Le groupe structural de l’espace fibré principal correspondant est SU(2) × U(1) (le “groupe des
interactions electro-faibles”).

SU(2)xU1 lC 2 ou lC
G
P
. z
.
. .
x
M
F
u
x
E
M
Aspect Interactions Electromagnétiques (seules)
Si on oublie les interactions faible (et, le cas échant, les interactions fortes) pour ne tenir compte
que des interactions electromagnétiques, on doit néanmoins choisir, en chaque point de l’espacetemps,
ce qu’on entend par “axe réel” dans le plan complexe pour pouvoir écrire des vecteurs à
composantes complexes.
U(1)
G
P
. z
.
. .
x
M
Choisir une jauge (électromagnétique) = Choisir en chaque point une origine du cercle trigonométrique
= Choix d’une section locale d’un fibré principal de groupe structural U(1) (un fibré
en cercles).
lC
F
u
x
E
M

Conclusion :
Les espaces fibrés (leurs sections) permettent de décrire les particules élémentaires
“fondamentales”
En fait, ils permettent de décrire aussi bien d’autres objets...
Citons, par exemple “les modèles sigma” qui interviennent dans la description des
théories effectives.
Remarque :
Les espaces fibrés constituent un outil conceptuel utilisable par le
physicien théoricien et on peut l’utiliser dans tous les domaines, pas
seulement en particules élémentaires.
Exemple : la fibration de Hopf et mécanique quantique élémentaire.
Beaucoup de physiciens utilisent les espaces fibrés sans le savoir (comme
Monsieur Jourdain...)
De fait, de nombreux problèmes physiques sont “locaux” (ils utilisent la
propriété de trivialité locale). On peut alors feindre d’ignorer la structure
possiblement non triviale du fibré de base M et de fibre F et raisonner
comme si on avait simplement affaire à un produit direct M x F.
La théorie des espaces fibrés permet non seulement la description des objets
mais aussi l’écriture des équation régissant la dynamique (connexions).

2 - Connexions sur des espaces fibrés

But (intuitif) : Introduire une notion qui permette de parler de ”rotation d’un répère” lors d’un
déplacement sur la base.
On sait déjà...
Si on ne change pas le point de base, et parce qu’on est déjà dans un fibré principal, on sait déjà
associer à toute “rotation du repère” une certaine rotation (un élément de groupe).
De façon infinitésimale, on sait donc (a fortiori) associer à tout déplacement infinitésimal vertical
(le long d’une fibre) dans l’espace des repères, un déplacement infinitésimal dans le groupe.
Techniquement : à tout vecteur vertical on sait associer un élément de l’algèbre de Lie du groupe
structural.
Remarque :
Par contre, si on se déplace sur la base en transportant un repère d’une certaine façon, on n’a –
pour l’instant – aucun moyen de comparer des repères situés en des points de base différents.

Définition :
Se donner une connexion (sur le fibré choisi) c’est précisément se donner une façon de pouvoir
effectuer ce type de comparaisons. Pour chaque repère possible (chaque élément du fibré principal)
on veut savoir dans quelle direction (de l’espace des repères), le déplacement choisi va s’effectuer
sans rotation.
Techniquement : on se donne en chaque point de l’espace des repères, une famille de directions
qu’on va qualifier d’“horizontales” (on se donne une “distribution horizontale”).
Plus précisément, on se donne en tout point du fibré principal un sous-espace de l’espace tangent,
qui soit supplémentaire du sous-espace vertical, et qui soit tel que la distribution obtenue soit
équivariante.
On fabrique ainsi la forme de connexion ω : c’est un objet qui associe à tout déplacement inifinitésimal
dans l’espace des repères, une ”rotation infinitésimale”. Plus généralement (et plus
précisemment), ω associe à tout vecteur tangent au fibré principal un élément bien déterminé de
l’algèbre de Lie du groupe structural (en l’occurence l’élément0siledéplacement est “horizontal”).

Rappel très général : si on sait faire correspondre z (élément de l’espace d’arrivée) à x (élément
de l’espace de départ) par une application (un “règlement”) différenttiable, on sait aussi associer
à un petit déplacement de l’espace de départ (un vecteur en x) un petit déplacement de l’espace
d’arrivée (un vecteur en z).
Le potentiel de jauge :
Donnons nous un repère mobile (une section locale du fibré principal). A tout ”petit déplacement’
−→
δx sur la base (un vecteur tangent à M) on sait donc associer un ”petit déplacement” −→ δz sur l’espace
fibré (un vecteur tangent à P ). Ce vecteur n’a aucune raison d’être horizontal pour la connexion
choisie : il se peut que ce petit déplacement fasse “tourner” le repère z. Pour savoir de combien, on
prend son image par la forme de connexion.
On obtient ainsi, en tout point x de la base M (intuitivement l’espace-temps, par exemple), un
objet qui, un repère mobile étant choisi (on dit aussi “une jauge” étant choisie), associe à n’importe
quel petit déplacement (par exemple dans dans la direction x µ )unélément de l’algèbre de Lie du
groupe structural.
Section locale (“choix de jauge ” ou “repère mobile”) : x ∈ M ↦→ z ∈ P
Potentiel de jauge A : −→ δx ↦→ −→ δz → ω( −→ δz) ∈ Lie(G)
C’est ce que les physiciens appellent “le champ de Yang-Mills” (ou “potentiel de jauge”). On le
note A
A(x) =A α µ(x) dx µ X α
(sommation sous entendue)
Ici dx µ désigne une base de l’espace (co) tangent au point x et X α une base de l’algèbre de Lie du
groupe structural relatif au fibré principal choisi.

Résumons nous : le choix dune connexion dans un espace fibré principal permet de ”connecter” les
points et spécifie la “forme” (au sens intuitif du terme) de l’espace considéré.
Le potentiel de jauge (ses composantes A α µ(x)) est connu, dans différents secteurs de la physique
théorique, sous des noms divers :
–SiG = U(1), alors X α = 1 et le champ A µ est le potentiel du photon (le potentiel électomagnétique
usuel).
–SiG = SU(2) × U(1), les composantes de A sont les champs des bosons vectoriels surnommés
W ± , Z et γ (le photon).
–SiG = SU(3), le champ A α µ(x) est le potentiel de Yang-Mills de la chromodynamique.
–SiG = SO(3, 1), cas des théories gravitationnelles (Relativité Générale), les composantes de A
sont les symboles de Christoffel.
Lorsque le groupe G (ou son algèbre de Lie) est représenté sur un espace vectoriel, chacun des
générateur X α est une matrice dont les entrées sont des nombres X α =(X α ) i j
On peut donc écrire A de deux façons : soit avec les nombres A α µ, soit avec les nombres A j µi avec
A j µi = Aα µ (X α ) i j

En électrodynamique, les composante de A µ = (potentiel V, potentiel vecteur −→ A), sont des nombres.
En chromodynamique, les composante de A µ = (potentiel V, potentiel vecteur −→ A) sont des matrices
3 × 3 (anti) hermitiques de trace nulle.
Dans le cas particulier d’un fibré de repères (cas de la Relativité Générale où G = SO(3, 1)) les
indices µ (indice de base) et i, j (indices de fibre) peuvent être ”naturellement” identifiés. C’est
pour cette raison que les symboles de Christoffel sont en général écrits A j µi
(avec des indices i, j de
1à 4) plutôt qu’ A α µ (avec α de 1 à 6).
Si on identifie indices de fibre et indices de base, on peut même écrire A ρ µν ...
Rappelons nous... l’electromagnétisme :
A partir du Potentiel A µ =(V, −→ A ) on calcule le champ electromagnétique F µ,ν =( −→ E, −→ B ) : les
champs electrique E et magnétique B.
F = dA
⎛
⎞
0 −E x −E y −E z
F µν = ⎜E x 0 B z −B y
⎟
⎝E y −B z 0 B x
⎠
Une équation de structure (ne fait pas intervenir les sources) : dF =0
E z B y −B x 0
Ces champs obéissent aux équations de Maxwell :
Une équation qui décrit la réponse du champ au sources : d⋆F = ⋆J
Cette deuxième équation utilise une métrique
On a aussi l’équation de Faraday qui décritlaréponse de la matière au champ (la “force”) :
dp
dτ = q
d
Si la matière est décrite par un champ de spineurs on a plutôt une
équation faisant intervenir l’opérateur de Dirac.
L’opérateur est “couplé” au champ A.
DΨ . = γ a ∇ a Ψ
2 + 2 = 4 équations avec notations 3 dim.

Plus généralement,
– On se donne un espace fibré principal P = P (M,G). Le groupe de structure est G.
– On choisit une connexion (localement un potentiel de jauge A)
– A cette connexion on associe une courbure F
– On choisit un fibré associé (ses sections sont les “champs de matière”)
– Dans chaque fibré associé on obtient une expression de la connexion A, de la courbure F et une
notion de “dérivée covariante” ∇
Les équations (cas Yang - Mills)
La définition générale de la courbure F est donnée plus loin
– La courbure F se calcule à partir du potentiel de connexion : F = dA + A ∧ A
– F obéit automatiquement à des équations de structure (Bianchi) : dF + A ∧ F = F ∧ A
– Au champ de matière choisi (par exemple au champ spinoriel Ψ) on associe un “courant” qui
jouelerôle de source du champ de jauge (par exemple J µ = Ψγ µ Ψ et on impose l’équation
(Yang-Mills) : d⋆F = ⋆J
– A l’aide de l’opérateur de dérivée covariante on écrit une équation qui traduit la réponse de la
matière au champs. Par exemple l’équation de Dirac γ µ ∇ µ Ψ=mΨ avec ∇ µ = ∂ µ + A µ
Cette équation utilise l’existence d’une métrique (implicite dans l’opérateur * - Hodge)
Les équations (cas de la gravitation)
Même chose mais l’équation imposée est différente : G =8πT. Le courant associé au champ de
matière est différent (c’est le tenseur impulsion-énergie associé au champ considéré) et le membre
de gauche de l’équation n’est pas F lui même mais le tenseur d’Einstein (qui se calcule à partir de
l’opérateur de courbure).

Remarques
– Les objets mathématiques sous - jacents sont les mêmes pour la gravitation, les interactions
fortes, les interactions faibles et l’électromagnétisme.
– Les équations imposées sont essentiellement les mêmes dans les trois derniers cas.
– Les variables dynamiques sont différentes pour la gravitation et les autres cas : équations du
second ordre en A (le potentiel de connexion) pour le cas Yang-Mills, équations du second ordre
en g (la métrique) pour le cas de la gravité.
– Dans tous les cas, ces équations de champs sont couplées.
– Du point de vue de la physique, nous somme encore au niveau de la “théorie classique des
champs” (etnonen“théorie quantique des champs”).
–Même dans le cas où le membre de droite est posé égal à 0, ces équations conduisent àdes
problèmes mathématiques intéressants...

Quelques équations
L’opérateur de différentiation covariante
∇(vf) =(∇v)f + v ⊗ df
∇ :Γ(E) → Ω 1 (M,E) . =Γ(E) ⊗ Ω 1 (M)
L’opérateur de dérivée covariante (dans une direction)
∇e i = e j A j i
∇v = ∇(e j v j )=(∇e j )v j + e j dv j
= e i A i jv j + e i dv i = e i (A i jv j + dv i )
= e i (A i jµv j + ∂ µ v i )dx µ
∇ ξ v = 〈∇v, ξ〉
La différentielle extérieure covariante
d ∇ :ΓE ⊗ Ω p (M) ↦→ ΓE ⊗ Ω p+1
d ∇ (ψ ∧ λ) =d ∇ (ψ) ∧ λ +(−1) k ψ ∧ dλ
La courbure
d ∇ n’est pas linéaire par rapport aux fonctions
(d ∇ ) 2 est linéaire par rapport aux fonctions
F . =(d ∇ ) 2
dérivation graduée de l’algèbre ⊕ p E ⊗ Ωp (M).
d ∇ (σ.f)=(d ∇ σ)f + σdf ≠(d ∇ σ)f
(d ∇ ) 2 (σ.f)=(d ∇ ) 2 (σ).f
La bonne définition de la courbure
Transformation (de jauge) pour les connexions et les courbures
e ′ = e.Λ A ′ = L Λ −1 AΛ+L Λ −1 ∂(Λ) Cas particuliers :
∂ ′ = ∂.L F ′ =(LL)Λ −1 L = 1 (si on ne change pas de repère dans le fibré tangent)
F Λ
L = Λ (dans le cas des connexions linéaires)

Quelques équations pour la courbure
pour les amateurs d’indices...
F =(d ∇ ) 2
F µν =[∇ µ , ∇ ν ] −∇ [µ,ν]
Fj i = dA i j + A i k ∧ Ak j ⇔ F = dA + A ∧ A
F = 1 2 F µν dx µ ∧ dx ν
F µν = FµνT α α
Fj i µν = Fµν(T α α ) i j
Autres écritures (avec indices) des équations de Yang-Mills.
Ces eqs généralisent les équations de Maxwell (electromagnétisme).
Equations sans sources
Equations avec sources
avec
∇ µ F νρ + ∇ ν F ρµ + ∇ ρ F µν =0
∇ ρ F µν = ∂ ρ F µν +[A ρ ,F µν ]
∂ ν F µν +[A ν ,F µν ]=J µ
utilisation d’une métrique

Cas des connexions linéaires (un fibré de repères)
Pour des raisons historiques, le potentiel de jauge se note plutôt Γ (et
non A) et le tenseur de courbure se note plutôt R (et non F ).
On peut “souder” la base à la fibre
repère mobile {e µ }
corepère mobile dual {θ µ }
Forme de soudure : application identique...
considérée comme 1-forme sur M à valeur dans le fibré tangent
θ = e µ .θ µ ∈ Ω 1 (M,TM)
Forme de Torsion
T = d ∇ θ ∈ Ω 2 (M,TM)
θ(v) =e µ .θ µ (e ν v ν )=e µ .θ µ (e ν )v ν = e µ .δ µ ν v ν = e µ .v µ = v
Identité de Bianchi
relative à la torsion
Pour les amateurs d’indices...
Ecriture de la torsion
T µν = ∇ µ e ν −∇ ν e µ − [e µ ,e ν ]
Ecriture de la courbure
(d ∇ ) 2 θ = R ∧ θ
dT +Γ∧ T = R ∧ θ
R α βµν = 〈eα ,R(e µ ,e ν )e β 〉
=(Γ α βν,µ − Γ α βµ,ν)+(Γ α τµΓ τ βν − Γ α τνΓ τ βµ − Γ α βτ f µν τ )
L’identité de Bianchi relative à la torsion peut s’écrire
R µ νρσ + R µ ρσν + R µ σνρ = T µ νρ;σ + T µ ρσ;ν + T µ σν;ρ + T τ νρT µ τσ + T τ ρσT µ τν + T τ σνT µ τρ
R µ νρσ;τ + R µ νστ;ρ + R µ ντρ;σ + R µ νκρT κ στ + R µ νκσT κ τρ + R µ νκτT κ ρσ =0
L’identité de Bianchi relative à la courbure peut s’écrire

Tenseur de Ricci (cas des connexions linéaires)
ρ σν = R µ σµν
Remarque : l’existence d’une métrique n’est pas nécessaire
Connexions métriques
– On se choisit une métrique (en tout point). On sait alors mesurer les distances et les angles.
– On sait en particulier ce que sont les repères othonormés. Leur ensemble définit un fibré principal
(le groupe structural est le groupe des rotations SO(n)).
– Une connexion quelconque choisie dans cet espace fibrée est dite ”connexion métrique”
–Ondémontre que, parmi toutes les connexions métriques (par définition compatibles avec une
métrique donnée) il en existe une, et une seule qui est sans torsion. C’est la connexion de Levi -
Civita.
La courbure scalaire
τ . = g µν ρ µν
Le tenseur d’Einstein
Amateurs d’indices...
G µν
. = ρµν − 1 2 g µντ
Γ αβγ
. =Γ
δ
βγ g αδ
Pour une connexion métrique :
2Γ αβγ =(g αβ,γ + g γα,β − g βγ,α )+
(−T αβγ + T γαβ − T βγα )+
(f αβγ − f γαβ − f βγα )
Poser T = 0 si on n’a pas de torsion (Levi-Civita)
et poser f=0 si on travaille dans un repère naturel

γ a γ b + γ b γ a =2η ab
γ a . = η ab γ b ,
Γ a b =Γ a bµdx µ .
L’opérateur de Dirac
̂Γ = 1 8 Γ ab[γ a ,γ b ]= 1 4 Γ abγ a γ b
∇Ψ =dΨ+̂ΓΨ = dΨ+ 1 4 Γ abγ a γ b Ψ
DΨ . = γ a ∇ a Ψ

3 - L’espace des connexions
sur
un espace fibré (donné)

Automorphismes verticaux d’un espace fibré principal
1. Φ est un difféomorphisme de P .
2. Φ préserve les fibres, au sens suivant : la fibre π −1 (x) au dessus
de x est stable par Φ.
3. Φ commute avec l’action du groupe structural G, c’est à dire que
G
∀z ∈ P, ∀g ∈ G, Φ(zg) =Φ(z)g
oublier les parenthèses
Φ zg=Φ(zg) =Φ(z)g
On peut
Φ(z) =z.φ(z)
identifier le groupe de jauge G avec l’ensemble Ω 0 Ad
(P, G)
,
Φ(zg) =Φ(z)g p implique φ(zg) =g −1 φ(z)g
On peut identifier le
groupe de jauge G comme l’ensemble des sections du fibré
Ad P = P × Ad G le fibré adjoint
Lorsque P est trivial, on sait qu’il existe des sections globales.
Choisir un repère mobile σ(x) etécrire Φ(σ(x)) = σ(x)g(x)
On peut identifier le groupe de jauge G avec le groupe Ω 0 (M,G)

Action du
groupe de jauge
sur les fibrés
associés
G
E = P × G F un espace fibré associéaufibré principal P
Attention !
L’action à droite de G sur P n’existe plus au niveau
le groupe structural
de E puisqu’on a fabriqué un espace quotient
Par contre, on peut utiliser l’action à gauche de G sur P pour
définir une action (à gauche) de G sur n’importe quel fibré associéà P
G agit non seulement sur E mais sur l’espace ΓE de ses sections.
[Φu](x) . =Φ(u(x))
G
A l’ensemble de toutes les connexions qu’on peut définir sur un fibré principal donné P = P (M,G).
le groupe de jauge G agit sur A par “pull-back” ω Φ z(V ) . = ω Φ(z) (Φ ∗ (V ))
espace des orbites I
A
. = A /G.
I . = A /G
Attention...
C’est donc de la géométrie différentielle en dimension infinie qu’il faut
faire pour comprendre, du point de vue quantique, la structure des théories
physiques décrivant les interactions fondamentales.
la physique des champs de Yang-Mills et
des champs de matière qui leur sont couplésestendéfinitive décrite par la
géométrie de l’espace fibré
ΓE
ℵ . = A (I , G) × G ΓE
ℵ . = A (I , G) × G ΓE
I . = A /G

4 - Connexions en géométrie non
commutative

Ingrédients pour espaces fibrés et connexions
(cas commutatif)
• Un “espace” : une variété différentiable
• Un “calcul différentiel” : les formes différentielles
• Un fibré vectoriel
Ingrédients pour espaces fibrés et connexions
(cas non commutatif)
• Un opérateur de différentiation covariante
• Une algèbre associative
• Un calcul différentiel
• Un module sur l’algèbre associative
• Un opérateur de différentiation covariante

L’algèbre différentielle des formes universelles ΩA
(ΩA,δ)
Soit A une algèbre associative unitale. On veut construire une algèbre
différentielle ZZ-graduée (ΩA,δ) qui soit “la plus générale possible”, et qui
soit telle que ΩA 0 = A
Ω 0 A . = A
Ω 1 A . = Ker(m) m(a ⊗ b) =ab. m : A⊗A↦→ A
Ω p A . =Ω 1 A⊗ A ⊗ A ...⊗ A Ω 1 A
δb . =1l ⊗ b − b ⊗ 1l
δab =(δa) b + a (δb)
δ(a) =δa et δδa =0.
1lδa = δa etδ1l =0
Exemple :
aδb . = a ⊗ b − ab ⊗ 1l
a 0 δa 1 δa 2 =(a 0 ⊗ a 1 − a 0 a 1 ⊗ 1l)(1l ⊗ a 2 − a 2 ⊗ 1l)
= a 0 ⊗ a 1 ⊗ a 2 − a 0 a 1 ⊗ 1l ⊗ a 2 − a 0 ⊗ a 1 a 2 ⊗ 1l+a 0 a 1 ⊗ a 2 ⊗ 1l
δ(στ) =δ(σ)τ +(−1) p σδ(τ)
Autres algèbres différentielles sur A
Ξ=ΩA/K
K estunidéal bilatère gradué différentiel de ΩA (idéal car ΩA.K ⊂ K, K.ΩA ⊂K et différentiel
car δK ⊂ K).
Cas habituel : complexe de De Rham
Λ(M)
A = C ∞ (M) (p q
d envoie Λ p (M) dans Λ p+1 (M)
M) C l

Formes universelles dans le cadre commutatif : le calcul différentiel
non local
aδb = a ⊗ b − ab ⊗ 1l ∈ Ω 1 A⊂A⊗A
[aδb](x, y) =a(x)b(y) − a(x)b(x) =a(x)(b(y) − b(x))
Considérons maintenant un élément de Ω 2 A :
aδbδc = a ⊗ b ⊗ c − ab ⊗ 1l ⊗ c − a ⊗ bc ⊗ 1l+ab ⊗ c ⊗ 1l
[aδbδc](x, y, z) =a(x)b(y)c(z) − a(x)b(x)c(z) − a(x)b(y)c(y)+a(x)b(x)c(y)
= a(x)[b(y) − b(x)][c(z) − c(y)]
L’exemple de lC ⊕ lC
ensemble discret {L, R}
(p
x(L) = . 1,x(R) = . 0
y(L) =0,y(R) . =1
. δx + δy =0
x 2 = x
xy = yx =0,x 2 = x, y 2 = y
)
y 2 = y
x + y =1l
1l(L) =1, 1l(R) =1
A =lCx ⊕ lCy.
( ) λ 0
0 µ
λx + µy (où λ et µ sont deux nombres complexes)
( )
q y ;
(δx)x + x(δx) = (δx)
(δx)x = (1l − x)δx
(δy)y
l
=(1l
δ
−
lδ
y)δy.
q
{xδxδx...δx,yδyδy...δy}
dim(Ω p ) = 2 pour tout p

( ) λ 0
λx(δx) 2p + µy(δy) 2p
0 µ
( ) 0 iα
αx(δx) 2p+1 + βy(δy) 2p+1 iβ 0
i
Connexion
A =(ϕxδx+¯ϕyδy).
.
A =
( ) 0 iϕ
i ¯ϕ 0
g
V [φ] . = |F | 2 .
Courbure
F = . δA+A 2
δ t δA
( )
ϕ +¯ϕ − ϕ ¯ϕ 0
F =(ϕ +¯ϕ − ϕ ¯ϕ)(xδxδx + yδyδy) =
0 ϕ +¯ϕ − ϕ ¯ϕ
choisir un produit hermitien sur Ω en décidant que la base
x(δx) p ,y(δy) q est orthonormale.
|F | 2 = ¯FF =(ϕ +¯ϕ − ϕ ¯ϕ) 2 .
j g
potentiel de Higgs translaté
V [Re(ϕ),Im(ϕ)]

Algèbres différentielles pour espaces non connexes
Ω(C ∞ (M) ⊕ C ∞ (M)) ↦→
ΛM ⊗ Ω(lC ⊕ lC)
(exemple)
Ξ . =ΛM ⊗ Ω(lC ⊕ lC)
Ξ n =
n∑
Λ p M ⊗ Ω n−p (lC ⊕ lC)
p=0
(ρ ⊗ α)(σ ⊗ β) . =(−1) |α||σ| (ρ ∧ σ) ⊗ (αβ)
Connections généralisées
Ξ un calcul différentiel sur une algèbre A,
0
M un module à droite sur A
, g
algèbre différentielle ZZ-graduée
Ξ 0 = A.
Une
Une
différentielle covariante ∇ sur M e
M⊗ A Ξ p ↦→M⊗ A Ξ p+1 ∇(ψλ) =(∇ψ)λ +(−1) s ψdλ
∇ 2 estunopérateur linéaire par rapport à A.
-> Courbure
ψ ∈M⊗ A Ξ s et λ ∈ Ξ t .

Exemple
’on choisit le module M comme l’algèbre
A
∇1l =ω
f ∈A,
∇f = ∇(1lf) =(∇1l)f +1ldf = df + ωf
∇ 2 f = ∇(df + ωf) =d 2 f + ωdf +(∇ω)f − ωdf =(∇ω)f.
d ´ l `
ρ . = ∇ω = ∇1lω =(∇1l)ω +1ldω = dω + ω 2 .

5 - Notions de théorie quantique des
champs
Système de champs (classiques) en interaction
(connexions sur espaces fibrés, sections...)
Fonctions à n points
Machine : Théorie Quantique des Champs
Un peu plus précisément :
Système de champs (classiques) en interaction
(connexions sur espaces fibrés, sections...)
Action
Intégrale fonctionnelle
ou
Formalisme opératoriel
Lagrangien
Evaluation perturbative
(diagrammes de Feynman)
On n’a pas mieux...
Résultat

En général :
∫
D[A]D[Ψ]D[Ψ] e [ i
ℵ
R
Commentaires...
M dvol L](A,Ψ) (polynôme dans les champs)
Même en dimension 0, ce n’est pas trivial !
-> résolution d’un problème de comptage en théorie des graphes :
Exemple de l’electrodynamique en dimension 0 :
Ici chaque diagramme de Feynman vaut 1 !
et
Développement en e :
Propagateur = −2z(1 + d ∫ ∞
dz LogK(z)) avec K(z) = e −zchθ dθ
ℵ
L’intégrale fonctionelle sur le fibré de dimension infinie
devient une intégrale ordinaire et l’intégrale sur la variété M
disparaît
z = −1
4e 2
0
Propagateur = 1 + e 2 +4e 2 +25e 6 + 208e 4 + ...

Questions de physique
• Définition non perturbative des théories de champs (par
exemple : electrodynamique quantique) ?
• Valeurs des constantes “fondamentales” (masses,
couplages etc)
• Autres interactions ? Super... ? (expérimental)
• Quantification de la gravitation
• Pourquoi SU(3) x SU(2) x U(1) ? Pourquoi 4 ?
Pourquoi 3 + 1 ?
La géométrie “classique” (celle des espaces fibrés et des connexions) permet
de décrire les interactions au niveau de la théorie classique des champs.
Il nous faut mieux comprendre la théorie quantique des champs...
Que nous apportera la géométrie non commutative ?