Etude de la conception et du contrôle comportemental ... - Admiroutes

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interaction, le comportement ne sera plus déterminé par les équations individuelles des particules mais

par d’autres équations dans l’espace des phases, globales et définies seulement en probabilité : le

comportement n'est plus totalement contrôlable. Le problème de la prédiction de l’état futur du système

est alors beaucoup plus complexe.

Les opérateurs de détermination de comportement d’un système instable

Les classiques équations du mouvement précisent les trajectoires des particules en

définissant vitesses et accélérations et en reliant la force à l’accélération. La valeur

centrale de cette formulation est alors l’Hamiltonien H(p,q) qui représente l’énergie du

système, dépendant des positions des particules notées p, et de leurs moments notés q.

Selon H. Poincaré [Poincaré op. cité], les systèmes dynamiques s’expriment avec un

Hamiltonien étendu :

H = H 0 (p) + λ .V (q)

où H 0 (p) est un Hamiltonien bien intégrable décrivant l’énergie cinétique du système

et λ .V (q) est un terme qui représente l’énergie potentielle et les interactions entre les

particules.

Il a montré que les interactions ne pouvaient en général pas être enlevées des équations

par changement de variables et que le système était alors non intégrable : il devenait

impossible de calculer les trajectoires des particules. Cette non intégrabilité est due

aux résonances entre les particules. Tout degré de liberté s'exprime mathématiquement

par une fréquence. Chaque point de l'espace des phases est caractérisé par une

combinaison linéaire des fréquences, qui s'annule pour certaines valeurs de ces

fréquences. Le calcul des trajectoires place cette combinaison linéaire comme

dénominateur dans les équations et on obtient ainsi des points dits de résonance, où la

trajectoire n'est pas définie car des termes deviennent infinis : le système dynamique

est alors non intégrable. Toute interaction génère des corrélations qui se développent

par transitivité, avec d’autres particules, en créant des couplages et en entraînant un

flux de corrélations. Ces couplages complexes, mettant ainsi en jeu de nombreuses

particules, sont instables, car ils se modifient par association et transformation de

couplages locaux. Le système a alors un comportement fluctuant, avec des variations

d’organisation correspondant à de nombreuses bifurcations dans son état global et dues

aux modifications des couplages.

La description classique représente les caractères des particules par des variables : la

connaissance des particules revient à poser des équations sur des variables dont les

valeurs représentent directement les états observables. C’est une vision simple et

simplificatrice de la réalité. Il s’avère en fait nécessaire de médiatiser cette posture

d’interprétation directe en introduisant la notion d’opérateur. Un opérateur exprime le

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