Etude de la conception et du contrôle comportemental ... - Admiroutes

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trajectoire qui définit la situation exacte de toute particule matérielle au cours du

temps.

Dans les équations de calcul de trajectoire, la variable temps joue un rôle réversible.

On peut ainsi prévoir la position et le moment de la particule à tout instant ultérieur et

également antérieur du temps, en changeant t en – t. On peut donc déterminer l’état et

le lieu où se trouve la particule à tout instant du futur ou du passé. On dit alors que le

comportement de cette particule, donné par des équations dans lesquelles le temps est

réversible, est déterministe.

Avec cette approche des systèmes particulaires basés sur les trajectoires, on va en fait

s’intéresser à des états qui seront particulièrement stables : les états dits d’équilibre où

les caractères du système ne changent pas même si certaines particules sont en

mouvement. Pour le système, un état d’équilibre est un état qui est nécessairement

atteint en partant de conditions initiales prises dans un certain domaine : si les

conditions initiales changent un peu dans ce domaine, c’est toujours ce même état

d’équilibre qui sera atteint. Cet état d’équilibre sera donc significatif du système. Ce

cas est idéal et ne semble pas correspondre à la situation des systèmes vivants, ni même

à celle des systèmes particulaires généraux.

L’espace permettant de représenter le comportement des particules physiques d’un

système est l’espace des phases, dont les dimensions sont N fois les trois coordonnées

classiques d’espace et une dimension définie par la quantité de mouvement, s’il y a N

particules. On représente la trajectoire de l’ensemble des particules, c’est-à-dire du

système, comme un point dans cet espace. Mais on peut aussi représenter dans

l’espace des phases un ensemble de points dont chacun n’est plus la précision des

trajectoires de toutes les particules à un instant donné, mais la probabilité de la densité

des particules en ce point. On représente ainsi un nuage de points dont chacun est la

probabilité de la densité de particules pour les coordonnées d’espace et de quantité de

mouvement. C'est le modèle de Gibbs.

On obtient donc deux représentations de l’état des systèmes : l’une par les trajectoires

individuelles des particules et l’autre par les probabilités que des particules se trouvent

en un point de l’espace des phases. Et il a pu sembler évident, à une certaine époque,

que ces deux représentations fournissaient la même description, qu’elles étaient en fait

équivalentes. Ce n’est pas le cas pour tous les systèmes particulaires, car tous les

systèmes ne peuvent pas être caractérisés comme stables.

Considérons en effet un système formé d’un grand ensemble de telles particules

matérielles en sachant que celles-ci peuvent maintenant entrer en collision et que ces

collisions sont permanentes. Ces collisions ne sont pas temporaires, mais elles

caractérisent le fonctionnement du système. Les trajectoires des particules ne sont alors

plus indépendantes et le problème, au regard du nombre important de particules,

devient complexe car on ne peut plus mathématiquement résoudre les équations de

trajectoire !