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ENSAI - 2ème année - 2008/2009 MARTINGALES ET PROCESSUS DE LÉVY Chapitre 2 : Martingales 1. Définitions et exemples Définition Soit F = (F n ) n≥0 une filtration et X = (X n ) n≥0 un processus stochastique à valeurs réelles. On dit que X est une F-(sur ; sous)-martingale si : (i) X est F-adapté ; (ii) pour tout n ≥ 0, IE|X n | < ∞ ; (iii) pour tout n ≥ 1, IE(X n |F n−1 )(≤; ≥) = X n p.s. Remarques 1. On a donc (cf ex. 7, TD 1), pour tout n ≤ p : IE(X p |F n )(≤; ≥) = X n p.s. En particulier, IE(X p )(≤; ≥) = IE(X n ). 2. X est une F-martingale si c’est à la fois une F-sur-martingale et une F-sous-martingale. 3. Si X est une F-(sur ; sous) martingale, c’est aussi une (sur ; sous)-martingale par rapport à sa filtration naturelle. On peut donc parler de (sur ; sous)-martingale, sans mentionner la filtration. 4. X est une sous-martingale ⇐⇒ −X est une sur-martingale. Trois exemples fondamentaux de martingales La martingale de Doob : soit (F n ) n≥0 une filtration et X ∈ L 1 (Ω, F, IP ). Alors, (IE(X|F n )) n≥0 est une (F n ) n≥0 -martingale. La marche aléatoire élémentaire : soient X 1 , X 2 , · · · des variid telles que IP (X 1 = 1) = p = 1−IP (X 1 = −1). On pose S n = X 1 + · · · + X n . Alors, (S n ) n≥1 est une : • martingale, si p = 1/2 (marche aléatoire élémentaire symétrique) ; • sur-martingale, si p ≤ 1/2 ; • sous-martingale, si p ≥ 1/2. L’intégrale stochastique à temps discret : soient F une filtration, (M n ) n≥0 une F-martingale et (H n ) n≥0 un processus F-prévisible. On suppose que pour tout n, H n et M n sont de carrés intégrables. Notons (Z n ) n≥0 le processus stochastique défini par Z 0 = H 0 M 0 et, pour n ≥ 1 : Z n = H 0 M 0 + H 1 (M 1 − M 0 ) + · · · + H n (M n − M n−1 ). Z n est une intégrale stochastique à temps discret, et le processus (Z n ) n≥0 est une F-martingale. L’inégalité de Jensen nous donne aussi les propriétés suivantes : Proposition Soit (X n ) n≥0 un processus stochastique á valeurs réelles et ϕ : IR → IR une fonction convexe telle que que pour chaque n, IE|ϕ(X n )| < ∞. Alors, (ϕ(X n )) n≥0 est une sous-martingale si l’une ou l’autre des propriétés ci-dessous sont vérifiées : (a.) (X n ) n≥0 est une martingale ; (b.) (X n ) n≥0 est une sous-martingale et ϕ est croissante. A titre d’exemple, si (X n ) n≥0 est une martingale de carré intégrable, alors (X 2 n) n≥0 est une sous-martingale. 2. Convergence p.s. des martingales La construction de la martingale de Doob montre qu’une manière intuitive de se représenter une martingale est de la considérer comme une approximation d’une va. Cette approximation est de plus en plus précise à mesure que l’on acquiert de l’information. Il est donc naturel de se pencher sur le problème de la convergence des martingales. Théorème [Théorème fondamental de convergence des martingales] Si (X n ) n≥0 est une (sous ; sur)- martingale bornée dans L 1 (i.e., sup n IE|X n | < ∞), il existe une va X ∞ ∈ L 1 telle que X n → X ∞ p.s., lorsque n → ∞. Une surmatingale positive est bornée dans L 1 . On a donc le résultat : 1

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