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Some Fourier transform pairs

Some Fourier transform pairs

Some Fourier transform

Appendix C Some Fourier transform pairs Note: G(k) = ∫ ∞ −∞ g(x)e − jkx dx, g(x) = 1 ∫ ∞ G(k)e jkx dk, 2π −∞ g(x) ↔ G(k). rect(x) ↔ 2 sinc k (C.1) (x) ↔ sinc 2 k 2 (C.2) sgn(x) ↔ 2 jk (C.3) e jk 0x ↔ 2πδ(k − k 0 ) (C.4) δ(x) ↔ 1 (C.5) 1 ↔ 2πδ(k) (C.6) d n δ(x) dx n ↔ ( jk) n (C.7) x n ↔ 2π j n dn δ(k) dk n (C.8) U(x) ↔ πδ(k) + 1 jk ∞∑ ( δ t − n 2π ) ↔ k 0 k 0 n=−∞ ∞∑ n=−∞ δ(k − nk 0 ) (C.9) (C.10) e −ax2 ↔ √ π k2 e− 4a a (C.11) e −ax U(x) ↔ 1 a + jk (C.12)

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