Autour des Th´eor`emes d'Hurewicz - CQFD - EPFL

Projets de semestre
Hiver 2005-2006
Autour des Théorèmes d’Hurewicz
ANA DEVIC
MICHELE KLAUS
JULIAN KELLERHALLS
CAROLINE LASSUEUR
Encadré par :
Prof. KATHRYN HESS BELLWALD
&
JONATHAN SCOTT
IGAT
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Section de mathématiques
CH-1015 Lausanne
ana.devic@epfl.ch
julian.kellerhalls@epfl.ch
michele.klaus@epfl.ch
caroline.lassueur@epfl.ch

Resumé
Le but premier de ce texte est de démontrer les théorèmes d’Hurewicz, liant
groupes d’homologie et groupes d’homotopie. Dans la première partie, Julian
présente une approche classique et dans la deuxième partie, Michele présente une
approche plus moderne et conceptuelle qui utilise une approximation par les CWcomplexes.
Il s’agit ensuite d’appliquer ces théorèmes à d’autres problèmes de toplogie
algébrique, à savoir le théorème de Milnor-Moore développé par Anna dans
la troisième partie ainsi que le théorème de suspension de Freudenthal présenté
par Caroline dans la quatrième partie.
Ce travail est en outre l’occasion de donner une introduction à certains sujets à
la base de la topologie algébrique aussi variés que l’homologie singulière et cellulaire,
les groupes d’homotopie, les CW-complexes, les cofibrations et les algèbres
de Hopf.

“We apologize for the inconvenience !”

Table des matières
Table des notations 8
Partie I. Le Théorème d’Hurewicz-Approche classique 11
Chapitre 1. Outils algébriques 13
1. Catégories et Foncteurs 13
2. Suites exactes 14
3. Complexes de chaîne 15
Chapitre 2. Les groupes d’homologie d’un espace topologique 19
1. Les groupes d’homologie 19
2. Suites exactes en homologie 23
3. Le théorème d’homotopie 24
4. L’homologie des sphères 26
Chapitre 3. Les groupes d’homotopie 31
1. Les groupes d’homotopie 31
2. Les groupes d’homotopie relatifs 34
3. Action du groupe fondamental en homotopie 35
4. Suites exactes en homotopie 39
Chapitre 4. Le théorème d’Hurewicz 41
1. L’homomorphisme d’Hurewicz 41
2. Démonstration du théorème d’Hurewicz 45
Partie II. Le Théorème d’Hurewicz-Approche moderne 51
Chapitre 5. Préliminaires 53
1. Cofibrations 53
2. Cofibrations basées 57
3. Un lemme technique 61
Chapitre 6. Les CW-complexes 65
1. Définitions et propriétés 65
2. Approximation d’espaces topologiques par des CW-complexes 75
Chapitre 7. Le théorème d’excision en homotopie 85
Chapitre 8. Homologie cellulaire 91
1. Axiomes pour une théorie d’homologie 91
2. Homologie réduite 98
3. Exemples 100
5

6 TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 9. Le théorème de Hurewicz 103
Partie III. Le Théorème de Milnor-Moor 109
Chapitre 10. Introduction à l’homologie singulière 111
1. Complexes de chaîne 111
2. Les groupes d’homologie singulière 112
Chapitre 11. Algèbres, coalgèbres et algèbres de Hopf 115
1. Espaces topologiques et coalgèbres 115
2. Espaces topologiques et algèbres 119
3. Algèbres de Hopf 126
Chapitre 12. Constructions duales 129
1. Rappels sur les espaces duaux 129
2. La (co)algèbre duale 130
3. L’algèbre de Hopf duale 134
Chapitre 13. Le théorème de Milnor-Moore 135
1. Éléments primitifs et indécomposables 135
2. Algèbres de Lie 137
3. Le théorème de Milnor-Moore 139
4. Application au morphisme d’Hurewicz 141
Partie IV. Vers le Théorème de Suspension de Freudenthal 145
Introduction 147
Chapitre 14. Produits tensoriels de modules 149
1. Définition, existence et unicité 149
2. Produit tensoriel d’applications 153
3. Structure de module sur le produit tensoriel 155
4. Produit tensoriel de sommes directes 159
5. Exactitude à droite du produit tensoriel 160
6. Produit tensoriel d’Algèbres 161
Chapitre 15. Homologie singulière 165
1. Simplexes 165
2. Définition des groupes d’homologie singulière 167
3. Fonctorialité de H n 169
4. Groupe d’homologie et connexité par arcs 171
5. Axiome d’homotopie 175
6. Le théorème d’Hurewicz de rang 1 179
Chapitre 16. Suites exactes longues d’homologie 185
1. Complexes de chaînes 185
2. Suite exactes en homologie 186
3. Homologie réduite 186
4. Mayer-Vietoris 187
Chapitre 17. Algèbres, Coalgèbres et Algèbres de Hopf 189

TABLE DES MATIÈRES 7
1. Modules gradués 189
2. Algèbres 190
3. Coalgèbres 193
4. Algèbres de Hopf 194
5. Algèbre de Hopf de l’homologie d’un H-espace 198
Chapitre 18. Les théorèmes de Bott-Samelson et de Freudenthal 203
1. Les théorèmes d’Hurewicz 203
2. Théorème de Bott-Samelson 204
3. Théorème de Freudenthal 208
Bibliographie 213
Index 215

8 TABLE DES MATIÈRES
Table des notations
Ab Catégorie des groupes abéliens
B n (X) Groupe des n-bords de l’espace X
C − X Cône inférieur réduit sur l’espace X
C + X Cône supérieur réduit sur l’espace X
CX Cône réduit sur l’espace X
C f Cofibre réduite ou pas de l’application f
Comp Catégorie des complexes de chaînes
F Corps commutatif quelconque
[G, G] sous-groupe des commutateurs du groupe G
H n (X) n-ème groupe d’homologie de l’espace X
˜H n (X) n-ème groupe d’homologie réduite de l’espace X
I Intervalle [0, 1]
Id S Application identité de l’ensemble S
Im Image d’une application
K Anneau commutatif quelconque
ker Noyau
M f Mapping cylinder réduit ou pas de l’application f
N Les nombres naturels, 0 compris
N n {1, 2, 3, . . . , n}
PX Espace des chemins de l’espace X
Q Les nombres rationnels
R Les nombres réels
S n Sphère de dimension n
S n (X) Groupe des n-chaînes singulières de l’espace X
T(M) Algébre tensorielle sur le module M
Top Catégorie des espaces topologiques
Top ∗ Catégorie des espaces topologiques pointés
hTop Catégorie des espaces topologiques équivalents à homotopie près
(X, A) Paire topologique
Z Les nombres entiers
Z n (X) Groupe des n-cycles de l’espace X
π n (X) n-ième groupe d’homotopie de l’espace X
ΣX Suspension réduite (ou pas) de l’espace X
ΩX Espace des lacets de l’espace X
0 Groupe trivial
#A Cardinalité de l’ensemble A
i = m, n i = n, · · · , m
⋆ Point de base
⊕ La somme directe
⊗ Le produit tensoriel
× Le produit cartésien
◦ La composition des applications
∩ L’intersection
∪ L’union
Isomorphisme de structure algébrique
≃ Homotopie
⊆ L’inclusion
↩→ Flèche injective
↠ Flèche surjective
∀ Symbole universel “pour tout”
∃ Symbole universel “il existe”

Première Partie
Le Théorème d’Hurewicz
Approche Classique
Par
Julian Kellerhalls
Encadré par :
Jonathan Scott

CHAPITRE 1
Outils algébriques
DÉFINITION 1.1.
Une catégorie C consiste en
1. Catégories et Foncteurs
(1) une classe Ob C d’éléments appelés les objets de la catégorie.
(2) une classe Mor C contenant des ensembles Mor(X, Y) pour chaque paire
X, Y d’objets de la catégorie. Les éléments de Mor(X, Y) sont appelés les
morphismes de X vers Y.
(3) applications Mor(X, Y) × Mor(Y, Z) → Mor(X, Z) défini pour chaque triple
X, Y, Z d’objets de la classe. Pour f ∈ Mor(X, Y) et g ∈ Mor(Y, Z) on désigne
l’image de ( f, g) dans Mor(X, Z) par g ◦ f ou par g f . Il s’appelle la composition
de f et g. Pour f ∈ Mor(X, Y) on écrit aussi f : X → Y.
vérifiant les deux axiomes suivants.
Associativité: Pour tout f ∈ Mor(W, X), g ∈ Mor(X, Y), h ∈ Mor(Y, Z) on a
(hg) f = h(g f ).
Identité: Pour chaque objet X de la catégorie il existe un élément Id X ∈
Mor(X, X) avec f ◦ Id X = f et Id X ◦g = g pour tout f ∈ Mor(X, Y) et tout
g ∈ Mor(Y, X).
DÉFINITION 1.2.
Dans une catégorie C un morphisme f ∈ Mor(X, Y) est appelé isomorphisme s’il
existe un morphisme g ∈ Mor(Y, X) tel que f ◦ g = Id X et g ◦ f = Id Y . Un tel g est
unique (car g = Id X ◦g = g ′ ◦ f ◦ g = g ′ ◦ Id Y = g ′ ) et est appelé l’inverse f −1 de f .
EXEMPLES 1.3.
Voici quelques exemples de catégories. Certains entre eux concernent des notions
introduites plus tard dans ce chapitre.
ENS: La catégorie des ensembles et des applications ensemblistes.
TOP: La catégorie des espaces topologiques et des applications continues.
Les isomorphismes dans cette catégorie sont les homéomorphismes.
TOP 0 : La catégorie des espaces topologiques (X, x 0 ) pointés et des applications
continues qui fixent le point de base (X, x 0 ) → (Y, y 0 ). Les homéomorphismes
qui conservent le point de base sont les isomorphismes.
TOP 2 : La catégorie des paires d’espaces topologiques (X, A) et des applications
continues (X, A) → (Y, B).
13

14 1. OUTILS ALGÉBRIQUES
GR: La catégorie des groupes et des homomorphismes de groupe. Les isomorphismes
sont les isomorphismes de groupes.
AB: La catégorie des groupes abéliens et des homomorphismes de groupe.
KK: La catégorie des complexes de chaîne et des morphismes de chaînes.
DÉFINITION 1.4.
Soient C et D deux catégories avec les ensembles de morphismes Mor C (−, −) et
Mor D (−, −). Un foncteur F : C → D consiste en un couple d’applications
qui vérifie les conditions suivantes :
F Ob : Ob C −→ Ob D
F Mor : Mor D −→ Mor D
(1) Pour tout morphisme f ∈ Mor C (X, Y) son image F Mor ( f ) ∈ Mor D (F Ob (X), F Ob (Y)).
(2) Pour tout f ∈ Mor C (X, Y) et g ∈ Mor C (Y, Z) l’image de leur composition
F Mor (g ◦ f ) = F Mor (g) ◦ F Mor ( f ).
(3) Pour tout X ∈ Ob C on a F Mor (Id X ) = Id FOb (X).
Le théorème suivant découle de (2) :
THÉORÈME 1.5.
Soit F : C → D un foncteur. L’image d’un isomorphisme dans C est un isomorphisme
dans D.
2. Suites exactes
DÉFINITION 1.6.
Soient une suite finie ou infinie de groupes abéliens et d’homomorphismes de la
forme
. . .
f q+2
A q+1
f q+1
A q
f q
A q−1
f q−1
. . . .
Cette suite est appelée exacte en A q si Im f q+1 = Ker f q et elle est exacte si cela est vrai
pour chaque q.
EXEMPLE 1.7.
La suite 0 A f B resp. A g B 0 est exacte si et seulement si f est injectif resp.
surjectif. (0 designe ici le groupe trivial.) Ainsi la suite 0 A h B 0 est exacte si
et seulement si h est un isomorphisme.

3. COMPLEXES DE CHAÎNE 15
LEMME 1.8 (Lemme des cinq).
Soit le diagramme commutatif de groupes abéliens et d’homomorphismes
ϕ 1 ϕ
A 1
2 ϕ
A 2
3 ϕ
A 3
4
A 4
f 1
f 2
f 3
f 4
A 5
f 5
B 1
ψ 1
B 2
ψ 2
B 3
ψ 3
B 4
ψ 4
B 5
dont les rangs sont exacts. Si f 1 , f 2 , f 4 , f 5 sont des isomorphismes alors f 3 est un isomorhpisme.
DÉMONSTRATION. La preuve n’est pas donnée ici. Il s’agit essentiellement de la
chasse aux diagrammes.
□
LEMME 1.9 (Lemme du serpent).
Soit le diagramme commutatif de groupes abéliens et d’homomorphismes
A
f
B
g
C
0
α
0 A ′ f ′ B ′ g ′ C ′
dont les rangs sont exacts. Alors il existe une suite exacte
β
Ker α Ker β Ker γ Coker α Coker β Coker γ.
DÉMONSTRATION. Comme pour le lemme d’avant la preuve n’est pas donnée.
□
γ
3. Complexes de chaîne
DÉFINITION 1.10.
Un complexe de chaîne est un système C = (C q , ∂ q ) q∈Z de groupes abéliens C q et
d’homomorphismes ∂ q : C q → C q−1 tel que ∂ q−1 ◦ ∂ q = 0 pour tout q ∈ Z. On écrit
souvent ∂ au lieu de ∂ q et on donne C par un diagramme
C : . . .
∂
C q+1
∂
C q
∂
C q−1
∂
. . . (∂∂ = 0).
Pour c ∈ C q on appelle ∂ q c ∈ C q−1 le bord de c. On appelle un cycle tout c ∈ Ker ∂ q ⊂
C q . L’homomorhpisme ∂ q = ∂ est appelé opérateur de bord.
DÉFINITION 1.11.
Soit C = (C q , ∂ q ) q∈Z un complexe de chaîne. Puisque ∂∂ = 0 on a Im ∂ q+1 ⊂ Ker ∂ q ⊂
C q . Le groupe H q (C) = Ker ∂ q /Im ∂ q+1 est le q-ème groupe d’homologie du complexe
de chaîne C. Les éléments de ce groupe sont les classes [c] = [c] C = c + Im ∂ q+1 avec
c ∈ Ker ∂ q et sont appelés classes d’homologie.

16 1. OUTILS ALGÉBRIQUES
DÉFINITION 1.12.
Soient C = (C q , ∂ q ) q∈Z et C ′ = (C ′ q, ∂ ′ q) q∈Z deux complexes de chaîne. Un morphisme
de chaînes (de degré 0) f : C → C ′ est un système ( f q ) q∈Z d’homomorphismes
f q : C q → C ′ q tel que ∂ ′ q ◦ f q = f q−1 ◦ ∂ q . Souvent on écrit f au lieu de f q . Un
morphisme de chaîne peut être caractérisé par son diagramme commutatif
C :
. . .
∂
C q+1
∂
C q
∂
C q−1
∂
. . .
f
C ′ : . . .
∂ ′ C ′ q+1
f
∂ ′
f
C ′ q
∂ ′
f
C ′ q−1
∂ ′ . . . .
PROPOSITION-DÉFINITION 1.13.
Tout morphisme de chaînes f : C → C ′ envoie des cycles sur des cycles et des bords sur des
bords. Donc f induit un homomorphisme f ∗ = H( f ) avec H q ( f ) : H q (C) → H q (C ′ ) donné
par [c] C ↦→ [ f (c)] C ′.
DÉMONSTRATION. Soit c ∈ C q un cycle. Alors ∂ f q (c) = f q−1 (∂c) = f q−1 (0) = 0.
Donc f (c) est un cycle. Soit c = ∂d ∈ C q un bord. Alors f q (c) = f q (∂d) = ∂ f q+1 (d).
Donc f (c) est un bord.
□
REMARQUE 1.14.
(1) L’application 0 : C → C ′ est un morphisme de chaînes et 0 ∗ = 0.
(2) L’identité Id : C → C (c’est-à-dire f q = Id Cq pour tout q) est un morphisme
de chaînes. De plus Id ∗ : H q (C) → H q (C) est encore l’identité.
(3) On peut composer deux morphismes de chaînes f : C → C ′ et g : C ′ → C ′′
en un morphisme de chaînes g f : C → C ′′ en posant (g f ) q = g q f q . Ainsi
(g f ) ∗ = g ∗ f ∗ : H q (C) → H q (C ′′ ).
THÉORÈME-DÉFINITION 1.15.
Soient f, g : C → C ′ deux morphismes de chaînes. Une homotopie de chaînes de f vers
g est un système (h q ) q∈Z d’homomorphismes h q : C q → C ′ tel que
q+1
∂ ′ q+1 h q + h q−1 ∂ q = f q − g q .
Pour simplifier la notation on va souvent écrire
∂ ′ h + h∂ = f − g.
Si une telle homotopie existe on écrit f ≃ g et on dit que f et g sont homotopes.
Dans l’ensemble des morphismes de chaînes (de degré 0) Hom 0 (C, C ′ ) ≃ est une relation
d’équivalence.
DÉMONSTRATION. On montre que ≃ est reflexive, symétrique et transitive.
Reflexivité: Soit f : C → C ′ un morphisme de chaînes. Pour l’homotopie de
chaînes h de f vers f cherchée on peut choisir h q = 0 : C q → C ′ q+1 . Ainsi
on obtient : ∂ ′ h + h∂ = 0 = f − f .

3. COMPLEXES DE CHAÎNE 17
Symétrie: Soient f, g : C → C ′ deux morphismes de chaînes, f ≃ g et
h : C → C ′ une homotopie de f vers g. Alors −h est une homotopie de g
vers f car g − f = −( f − g) = −(∂ ′ h + h∂) = ∂ ′ (−h) + (−h)∂.
Transitivité: Soient f, g, t : C → C ′ des morphismes de chaînes, f ≃ g,
g ≃ h, h : C → C ′ une homotopie de f vers g et h ′ : C → C ′ une
homotopie de g vers t. Alors h + h ′ est une homotopie de f vers t car
∂ ′ (h + h ′ ) + (h + h ′ )∂ = (∂ ′ h + h∂) + (∂ ′ h ′ + h ′ ∂) = ( f − g) + (g − t) = f − t.
□
THÉORÈME 1.16.
Soient f, g : C → C ′ deux morphismes de chaînes. Si f ≃ g alors ils induisent le même
homomorphisme en homologie. C’est-à-dire f ∗ = g ∗ .
DÉMONSTRATION. Soit h : C → C ′ une homotopie de f vers g. Pour encore
simplifier la notation on va écrire ∂ au lieu de ∂ ′ . Dans le diagramme suivant on a
toujours ∂h + h∂ = f − g (mais il n’est pas commutatif) :
∂
. . .
∂
C q+1
∂
C q
∂
C q−1
. . .
h
f g f g
h
f g
∂
. . . C ′ ∂
q+1
C ′ ∂
q
C ′ ∂
. . .
q−1
Soit c ∈ C q un cycle. Alors la différence
f (c) − g(c) = ∂h(c) + h∂(c) = ∂h(∂d) + h∂(∂d) = ∂h(∂d)
est un bord. Dans le groupe d’homologie H q (C) associé on obtient maintenant
H q ( f )([c]) = [ f (c)] = [g(c) + ∂h∂(d)] = [g(c)] = H q (g)([c]),
puisque [∂h∂(d)] = 0 dans H q (C). On a ainsi prouvé que H q ( f ) = H q (g) pour tout q
et donc f ∗ = g ∗ .
□
DÉFINITION 1.17.
Une suite de morphismes de chaînes 0 A f B g C 0 est dite exacte si pour
f
tout q la suite 0 A q
B q g C q
0 est exacte.
LEMME ET DÉFINITION 1.18.
Soit la courte suite exacte de morphismes de chaînes
0 A f B
g
C 0.
Alors il existe un morphisme ∂ q : H q (C) → H q (A) tel que la suite
. . .
H q ( f )
H q (B)
H q (g)
H q (C)
∂ q
H q−1 (A)
H q−1 ( f )
H q−1 (B)
H q−1 (g)
. . . .
Cette suite est appelée la longue suite exacte en homologie et ∂ ∗ est son opérateur de
bord.

18 1. OUTILS ALGÉBRIQUES
DÉMONSTRATION. Une preuve détaillée de ce lemme se trouve dans [15] à la
page 137.
□

CHAPITRE 2
Les groupes d’homologie d’un espace topologique
DÉFINITION 2.1.
Dans R q+1 on note les points de base
1. Les groupes d’homologie
e 0 = (1, 0, 0, . . . , 0), e 1 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e q = (0, 0, 0, . . . , 1), .
Le q-simplexe standard ∆ q est défini par
q∑
∆ q = { x ∈ R q | x = λ i e i avec 0 ≤ λ i ≤ 1 et
i=0
= { (λ 1 , λ 2 , . . . , λ q ) | 0 ≤ λ i ≤ 1 et
q∑
λ i = 1 }
i=0
q∑
λ i = 1 }.
C’est le simplexe q-dimensionel fermé de sommets e 0 , . . . , e q . La face opposée au
sommet e i est appelée la i-ème face de ∆ q et s’écrit ∆ i q. Ce sont tous les points de ∆ q
avec λ i = 0. Le bord de ∆ q est l’union de toutes ces faces.
i=0
DÉFINITION 2.2.
Pour q ≥ 1 et 0 ≤ i ≤ q l’application δ i est une application linéaire induite par
q−1
e 0 ↦→ e 0 , . . . , e i−1 ↦→ e i−1 , e i ↦→ e i+1 , . . . , e q−1 ↦→ e q . C’est une bijection qui envoie ∆ q−1
sur ∆ i q.
LEMME 2.3.
Pour tout q ≥ 2 et 0 ≤ k < j ≤ q on a sur ∆ q égalité entre les deux compositions
δ j q−1 ◦ δk q−2 = δk q−1 ◦ δj−1 q−2 .
DÉMONSTRATION. Cette application est uniquement déterminée par les images
des sommets de ∆ q−2 . Pour chaqu’une des deux applications on a e 0 ↦→ e 0 , . . . , e k−1 ↦→
e k−1 , e k ↦→ e k+1 , . . . , e j−2 ↦→ e j−1 , e j−1 ↦→ e j+1 , . . . , e q−2 ↦→ e q . Donc les deux côtés sont
égaux.
□
Avec ça on a les outils pour définir les groupes d’homologie singulière d’un
espace topologique.
THÉORÈME-DÉFINITION 2.4.
Soit X un espace topologique. Un q-simplexe singulier dans X est une application
19

20 2. LES GROUPES D’HOMOLOGIE D’UN ESPACE TOPOLOGIQUE
continue σ : ∆ q → X. Le q-ème groupe de chaîne singulier S q (X) de X est le groupe
abélien libre engendré par tous les q-simplexes singuliers dans X. Les éléments de S q (X)
sont appelés q-chaînes singulières dans X. Pour q < 0 on pose S q (X) = 0. Pour q ≥ 1 on
définit comme opérateur de bord l’homomorphisme suivant :
q∑
∂ = ∂ q : S q (X) → S q−1 (X), ∂σ = (−1) i (σ ◦ δ i q−1 ).
Pour q ≤ 0 on pose ∂ q = 0. Le système (S q (X), ∂) q∈Z est un complexe de chaîne appelé le
complexe de chaîne singulier de X. Les groupes d’homologie associés H q (S(X)) sont les
groupes d’homologie singulière de X. On les note H q (X) = H q (S(X)).
DÉMONSTRATION. Il faut montrer que pour tout q ≥ 2 on a ∂∂ = 0. Il suffit de
montrer que ∂∂σ = 0 pour tout q-simplexe singulier σ. On calcule :
q∑
∂∂σ = ∂ (−1) i (σ ◦ δ i q−1 )
=
=
i=0
q∑
i=0
(−1) i q−1
i=0
∑
(−1) j (σ ◦ δ i q−1 ◦ δj q−2 )
j=0
∑
∑
(−1) i+j (σ ◦ δ i q−1 ◦ δj q−2 ) + (−1) i+j (σ ◦ δ i q−1 ◦ δj q−2 )
i≤j
On change les indices, à gauche i = k et j = l, à droite i = l + 1 et j = k,
∑
∑
= (−1) k+l (σ ◦ δ k q−1 ◦ δl q−2 ) + (−1) k+l+1 (σ ◦ δ l+1
q−1 ◦ δk q−2 )
k≤l
i>j
l+1>k
et en utilisant le lemme précédent on peut conclure
∑
∑
= (−1) k+l (σ ◦ δ k q−1 ◦ δl q−2 ) − (−1) k+l (σ ◦ δ k q−1 ◦ δl q−2 )
= 0 .
k≤l
k≤l
□
NOTATION 2.5.
Soit ∂ q : S q (X) → S q−1 (X) l’opérateur de bord. On note Z q (S) = Ker ∂ q et B q (X) =
Im q ∂ q+1 appelés q-ème groupe de cycles et q-ème groupe de bords de X. Le groupe
d’homologie singulière est donc noté H q (X) = Z q (X)/B q (X).
THÉORÈME-DÉFINITION 2.6.
Une application continue f : X → Y induit une famille d’homomorphismes
∑ ∑
S q ( f ) : S q (X) → S q (Y), n σ σ ↦→ n σ ( f ◦ σ).
La famille S( f ) = (S q ( f )) q∈Z est un morphisme de chaînes et le couple d’applications
X ↦→ S(X), f ↦→ S( f ) un foncteur S : TOP → KK. Pour simplifier les notations on va
écrire S q ( f ) = f • : S q (X) → S q (Y) et S( f ) = f • : S(X) → S(Y).
σ
σ

1. LES GROUPES D’HOMOLOGIE 21
DÉMONSTRATION. Il faut vérifier les trois conditions de la définition 1.4. Les
conditions (2) et (3) sont vérifiées grâce à la définition de S( f ) : S(X) → S(Y). Il
reste à vérifier (1). Soient f : X → Y une fonction continue. Il faut montrer que f •
est un morphisme de chaînes et en particulier que f • commute avec ∂. Il suffit de
vérifier ceci pour les générateurs de chaque S q (X). Soit σ : ∆ → X. D’une part on
peut calculer
∑
∂( f • σ) = ∂( f ◦ σ) = (−1) i ( f ◦ σ) ◦ δ i q−1 .
Mais d’autre part
(∑
) ∑
f • (∂σ) = f • (−1) i σ ◦ δ i q−1 = (−1) i f ◦ (σ ◦ δ i q−1 ).
Donc ∂ f • = f • ∂ et f • est bien un morphisme de chaînes.
□
L’exemple suivant est très important et permettra ensuite différentes constructions.
EXEMPLE 2.7.
On considère l’espace topologique ∆ q . L’application identité Id q : ∆ q → ∆ q est un
simplexe singulier dans l’espace topologique ∆ q . Pour σ : ∆ q → X on peut maintenant
définir σ • : S q (∆ q ) → S q (X) et on a la propriété σ = σ◦Id q = σ • (Id q ). Autrement
dit, si on a un simplexe singulier quelconque dans un espace quelconque X, on peut
toujours le voir comme image de Id q sous un morphisme de chaînes S(∆ q ) → S(X).
Comme tout autre morphisme de chaînes tout morphisme f • induit lui aussi
un homomorphisme en homologie :
DÉFINITION 2.8.
L’application continue f : X → Y induit un homomorphisme de groupes d’homologie
donné par f ∗ = H q ( f ) = H q (S( f )) : H q (X) → H q (Y). Pour un q-cycle singulier z
dans X on peut écrire f ∗ ([z] X ) = [ f • (z)] Y .
THÉORÈME 2.9.
Pour tout nombre entier q le couple d’applications X ↦→ H q (X), f ↦→ H q ( f ) est un foncteur
appelé H. On a donc Id ∗ = Id et (g f ) ∗ = g ∗ f ∗ .
DÉMONSTRATION. Encore une fois on vérifie les conditions de la définition 1.4.
(1) est vérifié car on vient de montrer que toute fonction continue f : X → Y
induit un homomorphisme de groupes f ∗ : H q (X) → H q (Y).
(2) est vérifié car pour deux fonctions continues f : X → Y et g : Y → Z le
théorème 2.6 assure que (g f ) • = g • f • et grâce à la remarque 1.14 (g f ) ∗ =
(g • f • ) ∗ = g ∗ f ∗ .
(3) est vérifié aussi puisque la même remarque dit que l’identité entre chaînes
induit l’identité en homologie. De plus on voit immédiatement dans la

22 2. LES GROUPES D’HOMOLOGIE D’UN ESPACE TOPOLOGIQUE
définition du morphisme de chaînes induit que l’identité entre deux espaces
topologiques induit l’identité entre deux complexes de chaînes :
∑ ∑
S q (Id X ) : S q (X) → S q (X), n σ σ ↦→ n σ (Id X ◦σ).
En particulier on peut maintenant dire que pour tout homéomorphisme f :
X → Y l’application H q ( f ) : H q (X) → H q (Y) est un isomorphisme. Ce résultat
peut aider à prouver que deux espaces ne peuvent être homéomorphes si on peut
calculer leurs groupes d’homologie. Pour commencer on va calculer les groupes
d’homologie d’un espace simple l’espace {∗} qui contient un seul point.
σ
σ
□
THÉORÈME 2.10.
Soit P = {∗} l’espace à un seul point. Alors H q (P) = 0 pour q 0 et H 0 (P) est le groupe
libre généré par {∗}.
DÉMONSTRATION. Pour q ≥ 0 soit σ q : ∆ q → P l’unique q-simplexe, c’est à dire
l’application constante. Calculons
{
∂σ = σ q−1 − σ q−1 ± . . . + (−1) q σq−1 pour q ≥ 0 pair
σ q−1 =
0 pour q ≥ 0 impair.
Pour q ≥ 0 pair le groupe des cycles Z q (P) contient que 0 et puisque B q (P) ⊂ Z q (P) =
0 le groupe d’homologie Z q (P)/B q (P) est le groupe trivial. Pour q ≥ 0 impair Z q (P)
contient σ q mais au même temps q + 1 est pair et donc σ q = σ q+1 est aussi un bord.
Ainsi H q (P) = 0 pour q ≥ 0.
Pour q = 0 clairement Z q (P) contient σ 0 et B q (P) puisque 1 est impair. Ainsi H 0 (P)
est le groupe libre cyclique à un seul générateur qui est isomorphe à Z. □
Si un espace topologique X a plusieurs componentes connexes par arcs, alors
on peut décomposer ses groupes d’homologie en une somme directe :
THÉORÈME 2.11.
Soient X n avec n ∈ J les composantes connexes par arcs d’un espace topologique X. Alors
pour tout q ∈ Z on a un isomorphisme
⊕
H q (X n ) → H q (X)
n∈J
( [zn ] Xn
)
n∈J
↦→
∑
[z n ] X .
Ici z n désigne un q-cycle dans X n ⊂ X et [z n ] est sa classe d’homologie dans H q (X n ) resp.
H q (X).
DÉMONSTRATION. Pour tout q-simplexe singulier σ : ∆ q → X l’image σ(∆ q ) est
contenu dans X n pour un n parce que ∆ q est connexe par arcs. Ainsi toute chaîne
n∈J

2. SUITES EXACTES EN HOMOLOGIE 23
c ∈ S q (X) s’écrit de manière unique comme somme c = ∑ n∈J c n où c n ∈ S q (X n ) et
c n 0 pour un nombre fini de n seulement. Ainsi on a trouvé un isomorphisme
⊕
S q (X n ) → S q (X)
n∈J
(c n ) n∈J ↦→
∑
c n .
Sous cet isomorphisme l’image de ⊕ n Z q(X n ) est Z q (X) et l’image de ⊕ n B q(X n )
est B q (X). On peut conclure grâce au fait que
(⊕
Z q(X n ) ) / (⊕ B q(X n ) ) ⊕ (
Zq (X n )/B q (X n ) ) .
n n n
□
n∈J
DÉFINITION 2.12.
Un espace topologique connexe par arcs est appelé acyclique si H q (X) = 0 pour
q 0. Dans un tel espace tout cycle est aussi un bord. L’espace a les mêmes
groupes d’homologie que le point.
EXEMPLE 2.13.
Tout sous-ensemble convexe A ⊂ R n et donc aussi R n est un espace acyclique.
2. Suites exactes en homologie
DÉFINITION 2.14.
Soit une paire d’espaces topologiques (X, A). Pour l’inclusion i : A ↩→ X induit
i • : S q (A) → S q (X) qui est injectif. On identifie tout simplexe singulier σ : ∆ q → A
avec i ◦ σ : ∆ q → S(X). Ainsi S q (A) ⊂ S q (X) est un sous-groupe. On définit S(X, A) =
S(X)/S(A) le complexe de chaîne relatif de la paire (X, A). Pour une fonction continue
f : (X, A) → (X, B) l’image de S(A) sous S( f ) : S(X) → S(Y) est dans S(B) et f induit
un morphisme de chaînes S(X, A) → S(Y, B) qu’on appelle encore S( f ).
On a ainsi construit un foncteur S : TOP 2 → KK. Comme dans la section
précédente on va maintenant regarder les groupes d’homologie. Composer S avec
le foncteur H q : KK → AB nous donne l’homologie relative et un foncteur H q :
TOP 2 → AB.
DÉFINITION 2.15.
Le q-ème groupe d’homologie singulière (relative) de la paire d’espaces (X, A) est
H q (X, A) = H q (S(X, A)). f : (X, A) → (Y, B) induit un homomorphisme en homologie
qu’on note f ∗ = H q ( f ) : H q (X, A) → (Y, B). Les classes de H q (X, A) s’écrivent
[z] = [z] (X,A) où z ∈ S q (X) est un cycle relatif à A (c’est-à-dire ∂z ∈ S q−1 (A)). [z] = [z ′ ]
si et seulement si z − z ′ est un bord relatif à A, i.e. z − z ′ = ∂c + x avec c ∈ S q+1 (X) et
x ∈ S q (A). L’application f ∗ est donnée par f ∗ ([z] (X,A) ) = [ f • (z)] (Y,B) .

24 2. LES GROUPES D’HOMOLOGIE D’UN ESPACE TOPOLOGIQUE
THÉORÈME-DÉFINITION 2.16.
Pour toute paire d’espaces (X, A) on a la suite en homologie associée
. . .
j ∗
H q+1 (X, A)
∂ ∗
H q (A)
i ∗
H q (X)
j ∗
H q (X, A)
∂ ∗
. . . .
Les applications i ∗ et j ∗ sont les applications induites par les injections i : A ↩→ X et
j : (X, ∅) ↩→ (X, A). L’application ∂ ∗ : H q+1 (X, A) → H q (A) est donnée par ∂ ∗ ([z] (X,A) ) =
[∂z] A .
DÉMONSTRATION. On considère la courte suite
0 S(A)
i •
S(X)
j •
S(X, A) 0 .
Cette suite est exacte en S(A) et en S(X, A) car i • : S q (A) → S q (X) est injective
et j • : S q (X) → S q (X, A) est surjective. De plus elle est exacte en S(X) puisque
Im i • = S q (A) = Ker j • . On applique le lemme 1.18 pour obtenir la longue suite
exacte en homologie qu’on cherche.
□
EXEMPLE 2.17.
Si on prend une paire d’espaces (X, x 0 ) où x 0 ∈ X est un point, alors la longue suite
exacte en homologie est
. . .
j ∗
H q+1 (X, x 0 )
∂ ∗
0
i ∗
H q (X)
j ∗
H q (X, x 0 )
∂ ∗
0
i ∗
. . . .
Parce que H q (x 0 ) = 0 pour q 0 d’après 2.10. Donc H q (X, x 0 ) H q (X) pour q 0.
Pour n = 0 l’inclusion i ∗ : H 0 (x 0 ) → H 0 (X) est injective car H 0 (X) est un groupe
abélien libre engendré par les classes [y k ] où chaque y k est dans une composante
connexe de X. On a ainsi une courte suite exacte
0 H 0 (x 0 )
i ∗
H 0 (X)
j ∗
H 0 (X, x 0 ) 0.
3. Le théorème d’homotopie
THÉORÈME 2.18.
Soient f, g : X → Y deux fonctions continues. Si f ≃ g alors f ∗ = g ∗ : H q (X) → H q (Y).
Pour faire la preuve de ce théorème très important il nous faut d’abord un
lemme. On ne va pas prouver ce lemme ici. Une preuve complète se trouve sur la
page 171 de [15].
LEMME 2.19.
Pour tout espace topologique X et pour tout entier q il existe un homomorphisme
avec les propriétés suivantes :
D X : S q (X) → S q+1 (X × I)

3. LE THÉORÈME D’HOMOTOPIE 25
(1) Pour tout simplexe singulier σ : ∆ q → X
Où i et j sont donnés par
et
∂D X σ + D X ∂σ = j • (σ) − i • (σ).
i : X → X × I
x ↦→ (x, 0)
j : X → X × I
x ↦→ (x, 1) .
(2) D X est naturel, c’est-à-dire pour toute application continue f : X → Y le
diagramme suivant commute :
S q (X)
D X
S q (X × I)
f •
S q (X)
( f ×id I ) •
D Y
S q (X × I)
DÉMONSTRATION DU THÉORÈME. Soient f, g : X → Y deux fonctions continues
avec f ≃ g. Alors il existe une homotopie H : X × I → Y de f vers g. H induit un
homomorphisme H • : S(X × I) → S(Y) et on défini h = H • ◦ D X . Où D X est défini
par le lemme précédent. On calcule
Ainsi
∂h = ∂H • D X
= H • ∂D X
= H • (j • − i • − D X ∂)
= H • j • − H • i • − H • D X ∂
= (H ◦ j) • − (H ◦ i) • − H • D X ∂
= f • − g • − h∂.
∂h + h∂ = f • − g •
et h est une homotopie de f • vers g • . Par le théorème 1.16 on peut conclure que
pour tout q
f ∗ = g ∗ : H q (X) → H q (Y).
□
On présente maintenant quelques conséquences immédiates de ce théorème.
THÉORÈME 2.20.
Si f : X → Y est une équivalence d’homotopie alors f ∗ : H q (X) → H q (Y) est un isomorphisme.
Autrement dit, deux espaces du même type d’homotopie ont des groupes
d’homologie isomorphes. Cas particulier : Tout espace contractile est acyclique.

26 2. LES GROUPES D’HOMOLOGIE D’UN ESPACE TOPOLOGIQUE
DÉMONSTRATION. Si f est une équivalence d’homotopie alors il existe un g :
Y → X tel que g f ≃ id X et f g ≃ id Y . Donc en homologie g ∗ f ∗ = id et f ∗ g ∗ = id. Ainsi
f ∗ est bijectif et f∗
−1 = g ∗ . Si X est contractile alors f : X → {∗} est une équivalence
d’homotopie. X a donc les mêmes groupes d’homologie que {∗} et donc X est
acyclique.
□
4. L’homologie des sphères
Dans cette section on va calculer l’homologie des sphères S n . Pour faire ce
calcul il nous faut le théorème d’excision. La preuve de ce théorème nécessite
plusieurs lemmes techniques qui ne seront pas présentés ici. Les énoncés donnés
ci-dessous sont des conséquences du théorème d’excision. L’excision est traitée en
détail dans le § 9.4 de [19] et dans le § 31 de [15].
COROLLAIRE 2.21.
Soit (X, A) une paire de CW-complexes. Alors H q (X, A) H q (X/A) pour q 0.
Ceci nous permet de faire un calcul intéressant :
THÉORÈME 2.22.
Soit S n des n-sphères avec j ∈ J. On écrit ∨S n le bouquet qu’on obtient en identifiant les
j j
points de base x j de chaque sphère. Alors pour q 0 on a un isomorphisme :
⊕
H q (S n j ) → H q(∨S n j )
j
([z j ] S n
j ) j∈J
↦→
∑
[z j ] ∨S n
j
DÉMONSTRATION. La somme topologique S = ⊕ S n est un CW-complexe.
j
L’union ∪ j {x j } est un CW-complexe discret contenu dans S. On a ∨S n = S/A et
j
on a :
⊕
H q (∨S n j ) H q(S, A) H q (S) H q (S n j ).
La première isomorphie découle du corollaire précédent, la deuxième de l’exemple
2.17. Ensuite on utilise le théorème 2.11. □
j
j
THÉORÈME-DÉFINITION 2.23.
Soit X = X 1 ∪ X 2 un espace topologique et X 1 et X 2 ouverts dans X. Alors il existe une
suite exacte
. . . ∆ H q (X 1 ∩ X 2 )
µ H q (X 1 ) ⊕ H q (X 2 )
ν H q (X) ∆ H q−1 (X 1 ∩ X 2 )
µ . . . .
Cette suite est appelée suite de Mayer-Vietoris associée à X = X 1 ∪ X 2 . Les homomorphismes
∆, µ, ν sont donnés par :
µ : [z] X1 ∩X 2
↦→ ( [z] X1 , − [z] X2 ),

4. L’HOMOLOGIE DES SPHÈRES 27
ν : ( [z 1 ] X1 , [z 2 ] X2 ) ↦→ [z 1 + z 2 ] X .
∆ : [z] X ↦→ [∂x 1 ] X1 ∩X 2
, où z se décompose en x 1 + x 2 avec x i ∈ S q (X i ).
REMARQUE 2.24.
On peut affaiblir les hypothèses de 2.23. Il suffit de supposer qu’il existe des
voisinages U 1 et U 2 de X 1 et X 2 tel que X 1 ⊂ U 1 , X 2 ⊂ U 2 et X 1 ∩ X 2 ⊂ U 1 ∩ U 2 sont
des rétractes par déformation.
COROLLAIRE 2.25.
Soit X = X 1 ∪ X 2 sous les conditions du théorème précédent. Alors H 1 (X) est un groupe
abélien libre et si X 1 ∩ X 2 a k composantes connexes par arcs alors H 1 (X) est de rang k − 1.
COROLLAIRE 2.26.
Si certains groupes dans la suite de Mayer-Vietoris sont trivial on trouve les propriétés
suivantes :
(1) Si X 1 ∩ X 2 est acyclique alors pour tout q > 0 on a H q (X) H q (X 1 ) ⊕ H 1 (X 2 ).
(2) Si X 1 et X 2 sont acycliques alors pour tout q > 0 on a H q+1 (X) H q (X 1 ∩ X 2 ).
DÉMONSTRATION. Les deux parties se prouvent de manière analogue. Pour (1)
on sait que H q (X 1 ∩ X 2 ) = 0 pour q > 0. Écrivons la suite de Mayer-Vietoris :
. . . 0 H q (X 1 ) ⊕ H q (X 2 ) H q (X) 0 . . . .
Par l’exemple 1.7 on conclut que H q (X 1 ) ⊕ H q (X 2 ) H q (X).
□
On a maintenant tous les moyens nécessaires pour calculer l’homologie d’une
sphère :
THÉORÈME 2.27.
Pour tout n ≥ 0 on a
H q (S n )
{
Z pour q = n,
0 pour q n.
DÉMONSTRATION. On peut décomposer S n en deux hémisphères. On note D n +
l’hémisphère nord et D n − l’hémisphère sud. La décomposition Sn = D n + ∪Dn − satisfait
les conditions affaiblies de 2.23 et D n + et Dn − sont contractiles donc leur groupes
d’homotopie sont donc triviaux. On distingue trois cas. Pour q > n > 0 on a
H q (S n ) H q−1 (S n−1 ) . . . H q−n (S 0 ) = 0,
car q − n > 0 et S 0 est un espace discret. Pour n > q > 0
H q (S n ) H q−1 (S n−1 ) . . . H 1 (S n−q+1 ) = 0,
car S n−q est connexe par arcs. Finalement
H n (S n ) H n−1 (S n−1 ) . . . H 1 (S 1 ) Z
puisque S 1 = D 1 + ∪ D1 − et D1 + ∩ D1 − a deux composantes connexe par arcs. □

28 2. LES GROUPES D’HOMOLOGIE D’UN ESPACE TOPOLOGIQUE
De même on peut calculer les groupes d’homologie des paires d’espaces
(D n , S n−1 ) :
THÉORÈME 2.28.
Pour tout n ≥ 1 on a
H q (D n , S n−1 )
{
Z pour q = n ou q = 0,
0 pour q n et q 0.
DÉMONSTRATION. D’après 2.16 on a une suite exacte
H q+1 (D n+1 ) H q+1 (D n+1 , S n )
∂ ∗
H q (S n ) H q (D n+1 )
où ∂ ∗ est un isomorphisme car D n+1 est contractile et donc les deux bouts de la
suite sont nuls. Par le théorème précédent on a le résultat voulu.
□
Ainsi pour tout n ≥ 0 les groupes H n (S n ) resp. H n (D n , S n−1 ) sont générés par un
élément α n resp. β n . On va maintenant construire ces générateurs récursivement.
On pose de nouveau S n = D n + ∪ Dn − . Alors on a les isomorphismes suivants :
H n−1 (S n−1 ∂
) ∗
H n (D n + , Sn−1 )
k ∗
H n (S n , D n − ) j
∗
H n(S n )
Ici ∂ ∗ est donné par le théorème qui précède, j ∗ sort de la longue suite en homologie
associée à la paire (S n , D n − ) et k ∗ est un isomorphisme d’excision qui existe grâce à
2.21 puisque D n + /Sn−1 ≈ S n /D n − .
DÉFINITION 2.29.
L’orientation standard α n ∈ H n (S n ) et β n ∈ H n (D n , S n−1 ) est défini par récurrence
comme suit :
Pour n = 1 le générateur β 1 est la classe d’homologie représenté par le simplexe
singulier donné par ∆ 1 → D 1 , (1−t)e 0 +te 1 ↦→ 2t−1. Ensuite on défini récursivement :
et
α n = j −1
∗ k ∗ (β n )
β n = ∂ −1
∗ (α n−1 ).
THÉORÈME 2.30.
Soit ∨S n un bouquet de n-sphères avec n ≥ 1 et j ∈ J. Alors H
j q (∨S n ) = 0 pour q n et
j
H n (∨S n j ) est un groupe abélien libre. Pour i j : S n → S n une injection de S n sur la sphère
j
S n alors (i
j j∗ (α n )) j∈J forme une base de H n (∨S n j ).
DÉMONSTRATION. D’après le théorème 2.22 et en utilisant le résultat de 2.27 on
a pour q n
⊕ ⊕
H q (∨S n j ) = H q (S n j ) = 0 = 0.
j∈J
j∈J

4. L’HOMOLOGIE DES SPHÈRES 29
Tandis que pour q = n
⊕ ⊕
H n (∨S n j ) = H n (S n j ) Z.
j∈J
est un groupe abélien libre. Et puisque i j∗ (α n ) est un générateur de H n (S n j
) la famille
(i j∗ (α n )) j∈J est bien une base. □
j∈J

CHAPITRE 3
Les groupes d’homotopie
1. Les groupes d’homotopie
Avant d’introduire les groupes d’homotopie d’un espace topologique on va
faire quelques constructions techniques dont on aura besoin.
PROPOSITION-DÉFINITION 3.1.
Une paire d’espaces (X, A) est dite n-connexe si pour tout q ≤ n et toute application
continue f : (D q , S q−1 → (X, A) les deux conditions équivalentes sont satisfaites :
(1) Il existe g ≃ f : D q → X rel S q−1 avec g(D q ) ⊂ A.
(2) Il existe h ≃ f : (D q , S q−1 ) → (X, A) avec h(D q ) ⊂ A.
DÉMONSTRATION. La condition (1) semble être plus forte puisque là l’image de
S q−1 est fixé pendant l’homotopie tandis que pour (2) ce n’est pas le cas. Clairement
(1) ⇒ (2). Pour montrer que (2) ⇒ (1) il faut bricoler une homotopie qui fixe S q−1 .
Soit H : D q × I → X une homotopie de f vers h (où H(−, 0) = f et H(−, 1) = g et
H(S q−1 , t) ⊂ A pour tout t ∈ I). Il s’avère que si l’on pose pour tout z ∈ D q
⎧
⎪⎨
K(z, t) =
⎪⎩
H ( 2z
2−t , t)
H ( z
‖z‖ , 2 − 2‖z‖)
pour t 2 ≤ 1 − ‖z‖
pour t 2 ≥ 1 − ‖z‖
on a trouvé une autre homotopie de f vers h qui fixe S q−1 .
□
Pour tout n ≥ 1 on peut voir S n−1 ⊂ S n comme l’équateur de la sphère S n .
Le quotient S n /S n−1 est homéomorphe à S n 1 ∨ Sn . Il existe un homéomorphisme ϕ
2
de S n /S n−1 vers S n 1 ∨ Sn dont les restrictions respectives sont un homéomorphisme
2
entre D n + \ Sn−1 et S n 1 \ {∗} respectivement Dn − \ Sn−1 et S n \ {∗}, où ∗ représente le point
1
de collage dans le wedge.
DÉFINITION 3.2.
Pour tout n ≥ 0 on définit l’application de pliage
ρ : S n → S n 1 ∨ Sn 2
x ↦→ ϕ([x])
où [x] est la classe de x dans le quotient S n /S n−1 et ϕ est défini comme avant.
31

32 3. LES GROUPES D’HOMOTOPIE
REMARQUE 3.3.
D n /S n−1 est homéomorphe à S n . De plus (D n 1 ∨ Dn 2 )/(Sn 1 ∨ Sn ) est homéomorphe à
2
S n 1 ∨ Sn . Ainsi on peut aussi définir
2
ρ : (D n , S n−1 ) → (D n 1 ∨ Dn 2 , Sn 1 ∨ Sn 2 ).
Que fait l’homomorphisme ρ en homologie ? La proposition suivante en dit
plus. On note α ′ et α ′′ les générateurs de H n (S n 1 ) resp. H n(S n 2 ). Et β′ et β ′′ les
générateurs de H n (D n 1 , Sn−1 ) resp. H
1 n (D n 2 , Sn−1 ).
2
PROPOSITION 3.4.
Pour tout n ≥ 1
et
ρ ∗ (α n ) = α ′ n + α ′′
n
ρ ∗ (β n ) = β ′ n + β ′′
n .
DÉMONSTRATION. On va faire une preuve par récurrence. Pour n = 1 (D 1 , S 0 )
est envoyé par ρ sur (D 1 ∨ D 1 , S 0 ∨ S 0 ) autrement dit sur ([−1, 1], {−1, 0, 1}). Soient
maintenant les simplexes σ, τ ′ , τ ′′ donnés par
En homologie on a
σ(e 0 ) ↦→ −1, σ(e 1 ) ↦→ 1
τ ′ (e 0 ) ↦→ −1, τ ′ (e 1 ) ↦→ 0
τ ′′ (e 0 ) ↦→ 0, τ ′′ (e 1 ) ↦→ 1.
[σ] = β 1 ∈ H 1 (D 1 , S 0 )
Soit en plus ω le 2-simplexe donné par
On calcule le bord de ω
[τ ′ ] = β ′ 1 ∈ H 1(D 1 ∨ D 1 , S 0 ∨ S 0 )
[τ ′′ ] = β ′′
1 ∈ H 1(D 1 ∨ D 1 , S 0 ∨ S 0 ).
e 0 ↦→ −1, e 1 ↦→ 0, e 2 ↦→ 1.
∂ω = ω ◦ δ 0 1 − ω ◦ δ1 1 + ω ◦ δ2 1 = τ′′ − σ + τ ′ .
Ainsi τ ′′ − σ + τ ′ est un bord et donc nul en homologie. Autrement dit :
[σ] = [τ ′ + τ ′′ ]
D’où
ρ ∗ (β 1 ) = β ′ 1 + β′′ 1 .
Supposons maintenant que ρ ∗ (β n ) = β ′ n + β ′′
n . On va montrer que ρ ∗ (α n ) = α ′ n + α ′′
n .
Vu 2.29 on a le diagramme commutatif
(D n , S n−1 )
ρ
(D n ∨ D n , S n−1 ∨ S n−1 )
j −1 k
(S n , ∗)
ρ
(j −1 k∨j −1 k)
(S n ∨ S n , ∗).

1. LES GROUPES D’HOMOTOPIE 33
En appliquant le foncteur d’homologie on obtient
H n (D n , S n−1 )
ρ ∗
H n (D n , S n−1 ) ⊕ H n (D n , S n−1 )
Il reste à calculer
j −1
∗ k ∗
(S n , ∗)
ρ ∗
ρ ∗ (α n ) = ρ ∗ j −1
∗ k ∗ (β n )
(j −1
∗ k ∗ ⊕j −1
∗ k ∗ )
H n (S n , ∗) ⊕ H n (S n , ∗).
= (j −1
∗ k ∗ ⊕ j −1
∗ k ∗ )ρ ∗ (β n )
= (j −1
∗ k ∗ ⊕ j −1
∗ k ∗ )(β ′ n + β ′′
n )
= α ′ n + α ′′
n .
Pour terminer la preuve il suffit maintenant de montrer que si la proposition est
vérifiée pour α n , elle l’est aussi pour β n+1 . Comme avant on trouve un diagramme
commutatif et on obtient
H n (S n , ∗)
∂ −1
∗
H n+1 (D n+1 , S n )
ρ ∗
H n (S n , ∗) ⊕ H n (S n , ∗)
(∂ −1
∗ ⊕∂ −1
∗ )
ρ ∗
H n+1 (D n+1 , S n ) ⊕ H n+1 (D n+1 , S n ).
Et un même calcul montre que ρ ∗ (β n+1 ) = β ′ n+1 + β′′ n+1 . □
Maintenant on peut définir les groupes d’homotopie d’un espace topologique :
DÉFINITION 3.5.
Soit (X, x 0 ) un espace topologique pointé et soit n ≥ 2. Alors on défini le n-ème
groupe d’homotopie de (X, x 0 ) par
π n (X, x 0 ) = [(S n , ∗), (X, x 0 )] .
Ses éléments sont les classes d’homotopie
[ϕ] = { ϕ ′ ∣ ∣ ∣ ϕ ′ ≃ ϕ : (S n , ∗) → (X, x 0 ) }
où ϕ : (S n , ∗) → (X, x 0 ) est une application continue qui conserve le point de base.
Pour [ϕ], [ψ] ∈ π n (X, x 0 ) on défini leur somme par
C’est la classe d’une application
[ϕ] + [ψ] = [(ϕ ∨ ψ) ◦ ρ].
S n
ρ
S n 1 ∨ Sn 2
(ϕ∨ψ)
X.
REMARQUE 3.6.
On ne va pas prouver que c’est un groupe ni que ce groupe est abélien pour n ≥ 2
et que la somme est bien définie et indépendante du choix du représentant. Cette
preuve, comme la preuve pour la proposition suivante, se trouvent par exemple
dans [19].

34 3. LES GROUPES D’HOMOTOPIE
PROPOSITION-DÉFINITION 3.7.
Toute application continue f : (X, x 0 ) → (Y, y 0 ) induit pour n ≥ 0 un homomorphisme
donné par
f ♯ = π n ( f ) : π n (X, x 0 ) → π n (Y, y 0 )
f ♯ ([ϕ]) = [ f ◦ ϕ]
2. Les groupes d’homotopie relatifs
DÉFINITION 3.8.
Soit un espace topologique X, un sous-espace A ⊂ X, un point x 0 ∈ A et un nombre
n ≥ 1. On appelle n-ème groupe d’homotopie relative
qui contient les classes d’homotopie
π n (X, A, x 0 ) = [(D n , S n−1 , ∗), (X, A, x 0 )].
[ϕ] = { ϕ ′ ∣ ∣ ∣ ϕ ′ ≃ ϕ : (D n , S n−1 , ∗) → (X, A, x 0 ) }
où pendant l’homotopie l’image de S n−1 reste dans A et l’image de ∗ reste x 0 .
Comme dans le cas de l’homotopie absolue, pour n ≥ 2 l’addition est donné par
Pour n ≥ 3 ce groupe est abélien.
[ϕ] + [ψ] = [(ϕ ∨ ψ) ◦ ρ].
Tout comme pour les groupes d’homotopie absolue on a ceci :
PROPOSITION-DÉFINITION 3.9.
Toute application continue f : (X, A, x 0 ) → (Y, B, y 0 ) induit pour n ≥ 2 un homomorphisme
f ♯ = π n ( f ) : π n (X, A, x 0 ) → π n (Y, B, y 0 )
donné par
et ayant les propriétés
(1) Id ♯ = Id et (g f ) ♯ = g ♯ f ♯ .
(2) Si f ≃ g alors f ♯ = g ♯ .
f ♯ ([ϕ]) = [ f ◦ ϕ]
Puisque D n et S n−1 sont connexes par arcs on a le théorème suivant :
THÉORÈME 3.10.
Si X 0 et A 0 sont les composantes connexes de X respectivement A contenant x 0 alors
l’inclusion i : (X 0 , A 0 ) → (X, A) induit un isomorphisme
i ♯ : π n (X, A, x 0 )
π n (X 0 , A 0 , x 0 )

3. ACTION DU GROUPE FONDAMENTAL EN HOMOTOPIE 35
3. Action du groupe fondamental en homotopie
Dans cette section on va définir une action du groupe π 1 (X, x 0 ) sur les groupes
d’homotopie de (X, x 0 ) respectivement (X, A, x 0 ). Tout d’abord on va construire
cette action. Certaines preuves sont omises.
On sait que S n ∨I est un rétracte par déformation forte de S n ×I. Soit r : S n ×I →
S n ∨ I une telle rétraction. On définit µ n : S n → S n ∨ I par µ n (x) = r(x, 1). Soit ∗ le
point de base de S n alors clairement µ n (∗) = (∗, 1). µ n est uniquement déterminé à
homotopie rel ∗ près. Soit maintenant w : I → X un chemin de x 0 à x 1 et ϕ : S n → X
une application qui envoit le point de base ∗ sur x 1 . Alors la composition
S n µ n
S n ∨ I
(ϕ∨w −1 )
X
envoit le point de base sur x 0 . On peut ainsi définir :
DÉFINITION 3.11.
Pour un chemin w : I → X de x 0 vers x 1 soit
w n : π n (X, x 1 ) → π n (X, x 0 )
donné par
w n ([ϕ]) ↦→ [(ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n ]
DÉFINITION 3.12.
Pour un chemin w : I → X de x 0 vers x 1 deux applications ψ(S n , ∗) → (X, x 0 ) et
ϕ(S n , ∗) → (X, x 1 ) sont appelées w-homotopes s’il existe une homotopie H : S n ×I →
X de ϕ vers ψ tel que H(∗, t) parcourt le chemin w.
LEMME 3.13.
(1) (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n et ϕ sont w-homotopes.
(2) Si ψ est w-homotope à ϕ alors ψ ≃ (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n rel ∗.
DÉMONSTRATION. Posons K(x, t) = ((ϕ ∨ w −1 ) ◦ r)(x, 1 − t) où r est le rétracte
défini au début du paragraphe. Alors
K(x, 0) = (ϕ ∨ w −1 )(r(x, 1)) = (ϕ ∨ w −1 )(µ n (x))
K(x, 1) = (ϕ ∨ w −1 )(r(x, 0)) = (ϕ ∨ w −1 )(x, 0) = ϕ(x)
K(∗, t) = (ϕ ∨ w −1 )(r(∗, 1 − t))(ϕ ∨ w −1 )(∗, 1 − t)
= w −1 (1 − t) = w(t)
et K est l’homotopie cherchée pour (1). Reprenons K et soit H une homotopie de ψ
vers ϕ. On note i 0 : S n → S n × I, x ↦→ (x, 0) et i l’inclusion dans S n × I. On constate
que
Ki 0 = (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n et Hi 0 = ψ.

36 3. LES GROUPES D’HOMOTOPIE
Soit s : S n × I → S n × {1} ∪ {∗} × I une rétraction comme r l’était et appelons s t la
déformation correspondante. Soit l’application
F t : S n × I → S n × I
(x, t ′ ) ↦→ (x, tt ′ ).
On constate que F t is 0 est une homotopie de F 0 is 0 (−, 0) vers is 0 (−, 0) rel ∗. De plus
F 0 is t (−, 0) est une homotopie de F 0 is 0 (−, 0) vers i 0 rel ∗. Ainsi i 0 ≃ is 0 (−, 0) et
ψ = Hi 0 ≃ His 0 = Kis 0 ≃ Ki 0 = (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n rel ∗ .
Ainsi (2) est vérifié.
□
COROLLAIRE 3.14.
Pour ψ, ϕ : S n → X avec ψ(∗) = x 0 et ϕ(∗) = x 1 on a w n ([ϕ]) = [ψ] si et seulement si ψ
et ϕ sont w-homotopes. Si c’est le cas on a en plus ψ ≃ ϕ : S n → X.
DÉMONSTRATION. w n ([ϕ]) = [ψ] s’écrit [(ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n ] = [ψ] Alors il existe
une homotopie H de ψ vers (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n qui fixe le point de base. Par le lemme
précédent on sait qu’il existe en plus une homotopie K de (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n vers ϕ. En
composant ces deux homotopies on obtient une homotopie de ψ vers ϕ et pendant
l’homotopie l’image du point de base (reste d’abord fixe et ensuite) parcourt le
chemin w. Ainsi ψ et ϕ sont w-homotopes. Supposons maintenant que ψ et ϕ
sont w-homotopes. Alors par le lemme précédent (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n ≃ ψ rel ∗. Donc
w n ([ϕ]) = [(ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n ] = [ψ].
□
REMARQUE 3.15.
En combinant différents homotopies on peut prouver que
(1) Le chemin constant c induit c n = id : π n (X, x 0 ) → π n (X, x 0 ).
(2) Pour deux chemins v, w de x 0 à x 1 et de x 1 à x 2 on a (v · w) n = v n ◦ w n :
π n (X, x 2 ) → π n (X, x 0 ).
(3) Si v ≃ w à extremités fixées alors v n = w n .
Ce qui suit sont quelques théorèmes préliminaires qui aboutissent dans la
définition d’une action de π 1 (X, x 0 ) sur π n (X, x 0 ).
THÉORÈME 3.16.
Pour tout chemin w de x 0 à x 1 l’application w n : π n (X, x 1 ) → π n (X, x 0 ) est un isomorphisme
de groupes qui est naturel par rapport à des fonctions continues f : (X, x 0 , x 1 ) →
(Y, y 0 , y 1 ).
DÉMONSTRATION. D’après (2) de la remarque précédente w n est bijectif et son
inverse est (w n ) −1 = (w −1 ) n . Il faut donc uniquement montrer que w n est un homomorphisme.
Pour ϕ 1 , ϕ 2 : (S n , ∗) → (X, x 0 ) on pose ψ i = (ϕ i ∨ w −1 ) ◦ ρ. Par ce
qui précède on sait que ϕ i et ψ i sont w-homotopes et on note H i : S n × I → X une
homotopie correspondante. L’homotopie K = (H 1 ∨ H 2 ) ◦ ρ : S n × I → X est une

3. ACTION DU GROUPE FONDAMENTAL EN HOMOTOPIE 37
homotopie qui montre que (ϕ 1 ∨ ϕ 2 ) ◦ ρ et (ψ 1 ∨ ψ 2 ) ◦ ρ sont w-homotopes. En
utilisant 3.14 on peut maintenant calculer
w n ([ϕ 1 ] + [ϕ 2 ]) = w n ([(ϕ 1 ∨ ϕ 2 ) ◦ ρ])
= [(ψ 1 ∨ ψ 2 ) ◦ ρ]
= [ψ 1 ] + [ψ 2 ]
= w n ([ϕ 1 ]) + w n ([ϕ 2 ]).
□
THÉORÈME 3.17.
Pour deux applications homotopes f : (X, x 0 ) → (Y, y 0 ) et g : (X, x 0 ) → (Y, y 1 ) soit w le
chemin parcouru par l’image de x 0 pendant l’homotopie. Alors f ♯ = w n ◦ g ♯ .
DÉMONSTRATION. Pour tout ϕ : (S n , ∗) → (X, x 0 ) l’application f ◦ ϕ est w-
homotope à g◦ϕ. Alors en utilisant 3.14 on peut conclure que w n ([g◦ϕ]) = [ f ◦ϕ]. □
Si maintenant on choisit un chemin fermé w, ou autrement dit un élément du
groupe fondamental π 1 (X, x 0 ), on peut définir une action de groupe :
DÉFINITION 3.18.
Pour γ ∈ π 1 (X, x 0 ) et [ϕ] ∈ π n (X, x 0 ) on définit γ · [ϕ] par
où w est un chemin représentant γ.
γ · [ϕ] = w n ([ϕ])
PROPRIÉTÉS 3.19.
Pour n ≥ 2, γ, δ ∈ π 1 (X, x 0 ) et [ϕ], [ψ] ∈ π n (X, x 1 ) on a les propriétés suivantes pour
l’action qu’on vient de définir :
(1) 1 · [ϕ] = [ϕ],
(2) γ · (δ · [ϕ]) = (γδ) · [ϕ],
(3) γ · ([ϕ] + [ψ]) = γ · [ϕ] + γ · [ψ],
(4) γ · 0 = 0.
Où 1 représente l’élément neutre de π 1 (X, x 0 ) et 0 l’élément neutre de π n (X, x 0 ).
DÉMONSTRATION.
(1) Un représentant de 1 est l’application constante c. Maintenant c n ([ϕ]) =
[(ϕ ∨ c −1 ) ◦ µ n ] = [(ϕ ∨ c] ◦ µ n ] et (ϕ ∨ c) ◦ µ n ≃ ϕ rel ∗.
(2) Soient v, w des représentants de γ et δ. Calculons γ·(δ·[ϕ]) = v n (w n ([ϕ])) =
(v · w) n ([ϕ]) = (γδ) · [ϕ].
(3) Ceci découle directement de 3.16.

38 3. LES GROUPES D’HOMOTOPIE
(4) γ · 0 = w n (0). Prenons pour 0 le représentant constant c. Mais (c ∨ w −1 ) ◦ µ n
est une application S n → S n ∨ I → {∗} ∨ I → X et toute image de I (à une
extremité fixée) est homotope à 0. Ainsi [(c ∨ w −1 ) ◦ µ n ] = 0 et γ · 0 = 0.
□
DÉFINITION 3.20.
L’espace topologique X est appelé n-simple si pour tout γ ∈ π 1 (X, x 0 ) et pour tout
[ϕ] ∈ π n (X, x 0 ) on a γ · [ϕ] = [ϕ].
Une construction analogue se fait pour les groupes d’homotopie relatifs. Pour
un chemin w dans A de x 0 à x 1 on note encore :
w n : π n (X, A, x 1 ) → π n (X, A, x 0 ).
Les résultats sont analogues, en particulier sont π n (X, A, x 0 ) π n (X, A, x 1 ) pour
tout x 0 , x 1 ∈ A si A est connexe par arcs. Et on a de nouveau les propriétés (1)-(4)
de 3.19.
THÉORÈME 3.21.
Pour n ≥ 2 et [ϕ] ∈ π n (X, A, x 0 ) on a [ϕ] = 0 si et seulement s’il existe une homotopie
H : (D n , S n−1 ) × I → (X, A) tel que H(−, 0) = ϕ et H(D n , 1) ⊂ A.
REMARQUE 3.22.
On n’exige pour cette homotopie pas que l’image du point de base reste fixe.
DÉMONSTRATION. Si [ϕ] = 0 alors il existe une telle homotopie H (qui en
plus fixe le point de base). Supposons maintenant qu’il existe une homotopie
H : (D n , S n−1 ) × I → (X, A) tel que H(−, 0) = ϕ et H(D n , 1) ⊂ A. Puisque H(D n , 1)
est contractile il existe même une homotopie K : (D n , S n−1 ) × I → (X, A) tel que
K(−, 0) = ϕ et K(D n , 1) = x 0 . Soit w le chemin défini par w(t) = K(∗, t). Ainsi ϕ
est w-homotopes à l’application constante, autrement dit [ϕ] = w n (0) = γ · 0 si
γ = [w] ∈ π 1 (X, A, x 0 ). Mais γ · 0 = 0
□
En regardant la définition de n-connexité on a directement le corollaire suivant.
COROLLAIRE 3.23.
Pour n ≥ 2 une paire d’espaces (X, A) est n-simple si et seulement si (X, A) est 1-connexe
et si π q (X, A, x 0 ) = 0 pour tout x 0 ∈ A et pour tout 1 ≤ q ≤ n.
On aimerait maintenant faire un lien entre les groupes d’homotopie absolue
et les groupes d’homotopie relative. Pour le cas où le sous-espace A contient que
le point de base x 0 il semblerait que les applications (D n , S n−1 , ∗) → (X, x 0 , x 0 ) et les
applications (S n , ∗) → (X, x 0 ) sont les mêmes puisque D n /S n−1 est homéomorphe
à S n . À homotopie près il existent deux homéomorphismes. On appelle λ n celui

4. SUITES EXACTES EN HOMOTOPIE 39
parmi eux pour quoi en homologie on a λ n∗ (β n ) = j ′ ∗(α n ). Ici j ′ : H n (S n ) → H n (S n , x 0 )
sort de la suite exacte en homologie de la paire (S n , x 0 ) et α n , β n sont défini par 2.29.
Ainsi par [ϕ] ↦→ [ϕ◦λ n ] on a un isomorphisme entre π n (X, x 0 , x 0 ) et π n (X, x 0 ) et on va
désormais identifier les deux groupes et écrire ϕ au lieu de ϕ ◦ λ n . Pour x 0 ∈ A ⊂ X
et l’inclusion j : (X, x 0 , x 0 ) → (X, A, x 0 ) l’application induite j ♯ : π n (X, x 0 , x 0 ) →
π n (X, A, x 0 ) est donnée par j ♯ ([ϕ]) = [ϕ ◦ λ n ].
4. Suites exactes en homotopie
DÉFINITION 3.24.
Pour x 0 ∈ A ⊂ X et n ≥ 2 on défini l’opérateur de bord des groupes d’homotopie de (X, A)
l’homomorphisme défini par
∂ : π n (X, A, x 0 ) → π n−1 (A, x 0 )
[ ϕ
]
↦→ [ ϕ| S n−1]
.
THÉORÈME 3.25.
Pour x 0 ∈ A ⊂ X la suite
. . .
j ♯
π n+1 (X, A, x 0 )
∂
π n (A, x 0 )
i ♯
π n (X, x 0 )
j ♯
π n (X, A, x 0 )
∂
. . .
est exacte. Ici i : (A, x 0 ) ↩→ (X, x 0 ) et j : (X, x 0 , x 0 ) ↩→ (X, A, x 0 ) sont les inclusions.
REMARQUE 3.26.
La suite s’arrête à π 1 (X, x 0 ). Les trois derniers groupes sont pas nécessairement
abéliens mais la notion d’exactitude garde un sens.
EXEMPLE 3.27.
Si X est contractile alors l’opérateur de bord est pour tout n ≥ 2 un isomorphisme
∂ : π n (X, A, x 0 ) → π n−1 (A, x 0 ) car π n (X, x 0 ) = 0 pour tout n ≥ 1. En particulier on a
l’isomorphisme ∂ : π n (D q , S q−1 , ∗) → π n−1 (S q−1 , ∗)

CHAPITRE 4
Le théorème d’Hurewicz
1. L’homomorphisme d’Hurewicz
On va maintenant créer un lien entre les groupes d’homologie et les groupes
d’homotopie d’un espace pointé (X, x 0 ). Plus précisément, on va définir un homomorphisme
des groupes d’homologie vers les groupes d’homotopie. C’est l’homomorphisme
d’Hurewicz :
PROPOSITION-DÉFINITION 4.1.
Soit (X, x 0 ) un espace topologique pointé. L’homomorphisme d’Hurewicz h n est défini
par
h n : π n (X, x 0 ) → H n (X)
[ ϕ
]
↦→ ϕ ∗ (α n )
où α n est le générateur de H n (S n ) défini au chapitre 2.
On peut fair exactement la même chose pour relier homologie relative et homotopie
relative :
PROPOSITION-DÉFINITION 4.2.
Pour (X, A, x 0 ), l’homomorphisme d’Hurewicz relatif k n est défini par
k n : π n (X, A, x 0 ) → H n (X, A)
[ ϕ
]
↦→ ϕ ∗ (β n )
DÉMONSTRATION. On va uniquement prouver que h n est un homomorphisme.
Soient [ϕ], [ψ] ∈ π n (X, x 0 ). Alors
h n ([ϕ] + [ψ]) = h n ([(ϕ ∨ ψ) ◦ ρ])
= (ϕ ∨ ψ) ◦ ρ(α n )
= (ϕ ∨ ψ)(α ′ n + α ′′
n )
= ϕ(α ′ n) + ψ(α ′′
n )
= h n ([ϕ]) + h n ([ψ]).
41
□

42 4. LE THÉORÈME D’HUREWICZ
PROPRIÉTÉ 4.3.
Le diagramme suivant est commutatif.
. . .
j ♯
π n+1 (X, A, x 0 )
∂
π n (A, x 0 )
i ♯
π n (X, x 0 )
j ♯
. . .
. . .
k n+1
j ∗
H n+1 (X, A)
∂
h n
H n (A)
i ∗
h n
H n (X)
j ∗
. . .
THÉORÈME 4.4.
Soit n ≥ 2. Soit (X, A) une paire d’espaces (n − 1)-connexe et x 0 ∈ A un point de base.
Alors
(1) H q (X, A) = 0 pour tout 1 ≤ q ≤ n,
(2) k n : π n (X, A, x 0 ) → H n (X, A) est surjectif,
(3) Le noyeau de k n est le sous-groupe (pour n = 2 le sous-groupe normal) de
π n (X, A, x 0 ) qui est généré par les éléments de la forme [ϕ] − γ · [ϕ] avec [ϕ] ∈
π n (X, A, x 0 ) et γ ∈ π 1 (A, x 0 ) (pour n = 2 la notation additive perd son sens, il
faudrait noter [ϕ] ⋆ γ · [ϕ] −1 ). Si A est simplement connexe alors π 1 (A, x 0 ) est
trivial et k n : π n (X, A, x 0 ) → H n (X, A) est un isomorphisme.
REMARQUE 4.5.
Ceci est la version ”relative” du théorème d’Hurewicz. Si on pose A = {x 0 } alors
on obtient le théorème suivant.
THÉORÈME 4.6 (Théorème d’Hurewicz).
Soit n ≥ 2. Soit X un espace (n − 1)-connexe. Alors H q (X) = 0 pour 1 ≤ q ≤ n − 1 et
h n : π n (X, x 0 ) → H n (X) est un isomorphisme.
Avant de faire la démonstration de 4.4 on va introduire quelques notations et
reformuler le théorème.
Les groupes fondamentaux agissent sur π n (X, x 0 ) respectivement π n (A, x 0 ) Puisque
d’après 3.13 (ϕ ∨ w −1 ) ◦ µ n et ϕ sont homotopes, l’action induite en homologie est
triviale. On écrit π ′ n(X, A) le quotient qu’on obtient en quotientant π n (X, A, x 0 ) par
le sous-groupe (normal) engendré par { γ · [ϕ] | γ ∈ π 1 (A, x 0 ), [ϕ] ∈ π n (X, A, x 0 ) }. η
est l’application quotient. De même π ′ n(X) après avoir quotienté par les orbites de
l’action π 1 (X, x 0 ) sur π n (X, x 0 ). On note les homomorphismes d’Hurewicz induits
par h ′ n et k ′ n. On a donc deux diagrammes commutatifs.
η
π n (X, x 0 )
π
′ n(X) π n (X, A, x 0 )
π
′ n(X, A)
h n h ′ n
k n
k n
′
H n (X)
H n (X, A).
η
On note ∆ n−1
n+1 la (n − 1)-squelette de ∆ n+1 et ˙∆ n+1 le bord de ∆ n+1 . On profite ici
du fait que ∆ n+1 et ˙∆ n+1 sont homéomorphes à D n+1 respectivement S n .

1. L’HOMOMORPHISME D’HUREWICZ 43
On va maintenant introduire une nouvelle notion de complexe de chaîne singulier.
On se donne une paire (X, A) et un point de base x 0 ∈ A. Le sous-complexe de
chaîne S (n) (X, A, x 0 ) du complexe de chaîne S(X, A) est engendré par les simplexes
singuliers σ : ∆ q → X qui envoient chaque sommet de ∆ q sur x 0 et la n-squelette ∆ n q
dans A. Ce complexe de chaîne défini les groupes d’homologie
H (n)
q (X, A, x 0 ) = H q
(
S (n) (X, A, x 0 )/S (n) (X, A, x 0 ) ∩ S(A) ) .
Clairement H (n)
q (X, A, x 0 ) = 0 pour 0 ≤ q ≤ n. On défini en plus l’inclusion
qui induit un homomorphisme naturel
J : S (n) (X, A, x 0 ) ↩→ S(X, A)
J ∗ : H (n)
q (X, A, x 0 ) → H q (X, A)
THÉORÈME 4.7.
Soit X un espace topologique et A ⊂ X connexe par arcs. Soit (X, A) n-connexe pour
n ≥ 0. Alors J ∗ : H (n)
q (X, A, x 0 ) → H q (X, A) est un isomorphisme pour tout q ∈ Z et donc
H q (X, A) = 0 pour 0 ≤ q ≤ n.
Pour prouver ce théorème on va se servir des deux lemmes qui suivent. On
suppose pour les deux que les hypothèses de 4.7 sont satisfaites.
LEMME 4.8.
Pour tout σ : ∆ q → X il existe une application P(σ) : ∆ q × I → X avec les propriétés
suivantes :
(1) P(σ)(u, 0) = σ(u) pour tout u ∈ ∆ q .
(2) L’application ˜σ : ∆ q → X donnée par u ↦→ P(σ)(u, 1) est un simplexe singulier
de S (n) (X, A, x 0 ). Si σ ∈ S (n) (X, A, x 0 ) alors ˜σ = σ et P(σ)(u, t) = σ(u) pour tout
(u, t) ∈ ∆ q × I.
(3) Pour δ i q−1 : ∆ q−1 → ∆ q on a P(σ) ◦ (δ i q−1 × Id I) = P(σ ◦ δ i q−1 ).
DÉMONSTRATION. Par récurrence : Pour q = 0 tout σ : ∆ 0 → X est un point
et puisque X est connexe par arcs il existe une application P(σ) : ∆ 0 × I → X qui
représente un chemin de σ(∆ 0 ) vers x 0 satisfait les conditions. Si σ(∆ 0 ) = x 0 on
choisit le chemin constant.
Soit maintenant 0 < q ≤ n et soient les P(σ) donnés pour tous les simplexes de
dimension inférieure à q. Soit σ q : ∆ q → X un q-simplexe. Si σ ∈ S (n)
q (X, A, x 0 ) alors
on peut poser P(σ)(u, t) = σ(u) pour tout u ∈ ∆ q . Si σ S (n) (X, A, x 0 ) alors on peut de
nouveau définir P(σ) sur (∆ q × {0}) ∪ ( ˙∆ q × I) par les conditions (1) et (3) en utilisant
l’hypothèse de récurrence. Par ailleurs il existe un homéomorphisme
h : D q × I → ∆ q × I

44 4. LE THÉORÈME D’HUREWICZ
satisfaisant
Posons maintenant
⎧
h(D ⎪⎨
q × {0}) = (∆ q × {0}) ∪ ( ˙∆ q × I),
h(S
⎪⎩
q−1 × {0}) = ˙∆ q × {1},
h((S q−1 × I) ∪ (D q × I)) = ∆ q × I.
σ ′ : (D q , S q−1 ) → (X, A)
u ↦→ σ(h(u, 0)).
Puisque q ≤ n et (X, A) est n-connexe, il existe une homotopie H : (D q , S q−1 ) × I →
(X, A) de σ ′ vers une application de D q dans A. On peut maintenant poser
P(σ) = H ◦ h −1 .
Finalement pour q > n un q-simplexe appartient à S (n) (X, A, x 0 ) seulement si tous
ses côtés y appartiennent. De nouveau : Si σ ∈ S (n) (X, A, x 0 ) alors on pose P(σ)(u, t) =
σ(u). Sinon on définit de nouveau P(σ) sur (∆ q × {0}) ∪ ( ˙∆ q × I) par les conditions (1)
et (3). Grâce au fait que (∆ q , ˙∆ q ) a la PEH, on peut conclure.
□
LEMME 4.9.
L’inclusion J : S (n) (X, A, x 0 ) ↩→ S(X, A) est une équivalence d’homotopie.
DÉMONSTRATION. Par le lemme précédent on définit
T : S(X, A) → S (n) (X, A, x 0 )
σ ↦→ ˜σ.
Par (2) T ◦ J = Id S (n) (X,A,x 0 ). Le prisme ∆ q × I peut être découpé en (q + 1)-simplexes.
Autrement dit il est une chaîne z q+1 dont le bord est base et dessus du prisme et
le bord du simplexe multiplié par I. On note e ′ 0 , . . . , e′ q les sommets de la base et
e ′′
0 , . . . , e′′ q les sommets du dessus. Ainsi
On y applique P(σ) :
〈
e
′
0 . . . 〉 〈 e′ q − e
′′
0 . . . 〉 e′′ q = ∂zq+1 +
q∑
(−1) i (δ i q−1 × Id I) • (z q ).
i=0
JT(σ) − σ = ˜σ − σ = ∂P(σ) • z q+1 +
q∑
(−1) i P(σ)(δ i q−1 × Id I) • z q .
i=0
Autrement dit :
est une homotopie de JT vers l’identité :
σ ↦→ P(σ)z q+1
JT ≃ Id S(X,A)
Ceci termine la preuve du lemme et montre directement 4.7.
□

2. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME D’HUREWICZ 45
On peut étendre le diagramme commutatif d’avant :
π n (X, A, x 0 )
π ′ n(X, A)
k n
′ k n
k n
′′
H n (X, A) H (n−1)
n (X, A).
J ∗
η
2. Démonstration du théorème d’Hurewicz
On peut maintenant prouver le théorème d’Hurewicz. Pour faire ceci on va le
découper en plusieurs propositions :
Φ n : (n ≥ 2) Pour X, A connexes par arcs et (X, A) (n − 1)-connexe k ′ n :
π ′ n(X, A) → H n (X, A) est un isomorphisme. Ceci correspond à 4.4.
¯Φ n : (n ≥ 1) Pour X (n−1)-connexe h ′ n : π ′ n(X) → H n (X) est un isomorphisme.
Cet énoncé ne dit rien d’autre que 4.6
Pour n ≥ 2 chaque δ i est une application
n+1
δ 0 n+1 : (∆ n, ˙∆ n , e 0 ) → ( ˙∆ n+1 , ∆ n−1
n+1 , e 1)
δ i n+1 : (∆ n, ˙∆ n , e 0 ) → ( ˙∆ n+1 , ∆ n−1
n+1 , e 0) pour 0 < i ≤ n + 1.
Pour les sommets e i et e j de ∆ n+1 on dénote par [e i e j ] le chemin sur l’arête de e i vers
e j et on défini
b 1 = [e 0 e 1 ][e 1 e 2 ][e 2 e 0 ],
b 2 = ( [e 0 e 1 ] · [δ 0 3 ]) [δ 2 3 ][δ1 3 ]−1 [δ 3 3 ]−1
.
∑n+1
b n = [e 0 e 1 ] · [δ 0 n+1 ] + (−1) i [δ i n+1 ]
où b 1 ∈ π 1 ( ˙∆ 2 , e 0 ) et b n ∈ π n ( ˙∆ n+1 , ∆ n−1
n+1 , e 0). De plus on défini l’inclusion
j : ( ˙∆ 2 , e 0 ) ↩→ (∆ 2 , e 0 ) pour n = 1
j : ( ˙∆ n+1 , ∆ n−1
n+1 , e 0) ↩→ (∆ n+1 , ∆ n−1
n+1 , e 0) pour n > 1.
Et on peut poser la troisième proposition qu’on appelle aussi théorème d’addition
en homotopie :
B n : (n ≥ 1) j ♯ b n = 0.
La démonstration est ainsi découpé en cinq parties :
(1) B 1
(2) B 1 ⇒ ¯Φ 1
(3) ¯Φ 1 , . . . , ¯Φ n−1 ⇒ B n pour n ≥ 2.
(4) B n ⇒ Φ n pour n ≥ 2
(5) Φ n ⇒ ¯Φ n
Pour rendre les raisonnements plus compréhensibles on va changer les notations
et écrire les éléments des groupes d’homologie entre { } au lieu de [ ].
i=1

46 4. LE THÉORÈME D’HUREWICZ
DÉMONSTRATION DE B 1 . j ♯ b 1 ∈ π 1 (∆ 2 , e 0 ) et ∆ 2 est contractile. Donc on a que
π 1 (∆ 2 , e 0 ) = 0 et j ♯ b 1 = 0.
□
DÉMONSTRATION DE B 1 ⇒ ¯Φ 1 . X est connexe par arcs. S (0) (X, {x 0 }, x 0 ) et S(X) sont
isomorphes et il suffit de montrer que
k ′′
1 : π′ 1 (X, x 0)
H (0)
1 (X, {x 0}, x 0 ).
Soit γ : (∆ 1 , ˙∆ 1 ) → (X, x 0 ) alors γ est représentant de [γ] ′ ∈ π ′ 1 (X, x 0).
k ′′
1 ([γ]′ ) = {γ}
Pour un σ : (∆ 1 , ˙∆ 1 ) → (X, x 0 ) σ représente [σ] ∈ π 1 (X, x 0 ) et donc aussi [σ] ′ ∈
π ′ 1 (X, x 0). Si σ est constant alors [σ] ′ = 0. Puisque π ′ 1 (X, x 0) est abélien et le groupe
abélien libre S (0) (X, {x 0 }, x 0 ) est généré par les complexes singuliers il existe un
homomorphisme
ψ : S (0) (X, {x 0 })/S 1 ({x 0 }) → π ′ 1 (X, x 0)
tel que ψ(σ) = [σ] ′ . Pour finir considérer la composée
S (0)
2 (X, {x 0})/S 2 ({x 0 })
et calculer pour σ : (∆ 2 , ∆ 0 2 ) → (X, x 0)
∂
S (0)
1 (X, {x 0})/S 1 ({x 0 })
ψ π ′ 1 (X, x 0)
ψ∂[σ] = ψ([σ ◦ δ 0 1 ] + [σ ◦ δ2 1 ] − [σ ◦ δ1 1 ])
= [σ ◦ δ 0 1 ]′ + [σ ◦ δ 2 1 ]′ − [σ ◦ δ 1 1 ]′
= [(σ ◦ δ 0 1 ) ⋆ (σ ◦ δ2 1 ) ⋆ (σ ◦ δ1 1 )−1 ] ′
= η(σ| ˙∆ 2
) ♯ ([e 0 e 1 ] ⋆ [e 1 e 2 ] ⋆ [e 2 e 0 ])
= ησ ♯ j ♯ b 1 = 0.
Où ⋆ est utilisé pour la concaténation de chemins pour rendre le calcul plus clair.
Ainsi ψ∂ = 0 et Im ∂ ⊂ Ker ψ et ψ induit un homomorphisme
ψ ′ : H (0)
1 (X, {x 0}) → π ′ 1 (X, x 0)
qui est l’inverse de k ′′
1 . □
DÉMONSTRATION DE ¯Φ 1 , . . . , ¯Φ n−1 ⇒ B n . On a le diagramme commutatif
π n+1 (∆ n+1 , ˙∆ n+1 , e 0 )
π n (∆ n+1 , ∆
∂
n−1
n+1 , e 0)
′
j ♯
∂
π n ( ˙∆ n+1 , ∆ n−1
n+1 , e 0)
i
∂
′′
♯
π( ˙∆ n+1 , e 0 )
π n−1 (∆ n−1
n+1 , e 0)
où les inclusions
i : ( ˙∆ n+1 , e 0 ) ↩→ ( ˙∆ n+1 , ∆ n−1
j :
n+1 )
( ˙∆ n+1 , ∆ n−1
n+1 ) ↩→ (∆ n+1, ∆ n−1
n+1 ).

2. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME D’HUREWICZ 47
sortent des suites exactes en homotopie de (∆ n+1 , ˙∆ n+1 , ∆ n−1
n+1 ) et de ( ˙∆ n+1 , ∆ n−1 ). Ainsi
n+1
les deux rangs sont exacts. Puisque ∆ n+1 est contractile ∂ est un isomorphisme (voir
aussi 3.27). B n est ainsi équivalent à ∂ ′′ (b n ) = 0. On distingue les cas n = 2 et n > 2.
Soit n = 2. Puisque ˙∆ 2 est homéomorphe à S 1 on a
et le diagramme commutatif
π 1 ( ˙∆ 2 , e 0 ) Z H 1 ( ˙∆ 2 , e 0 )
π 2 (∆ 2 , ˙∆ 2 , e 0 )
∂
π 1 ( ˙∆ 2 , e 0 )
k 2
H 2 (∆ 2 , ˙∆ 2 )
k 1
∂
H 1 ( ˙∆ 2 , e 0 ).
Maintenant il faut introduire quelqeus notations. On note ξ : (∆ 2 , ˙∆ 2 , e 0 ) → (∆ 2 , ˙∆ 2 , e 0 )
l’application identité. Notons de plus ξ (i) = ξ ◦ δ i . On a donc
1
∂k 2 [ξ] = ∂{ξ}
= {ξ (2) + ξ (0) − ξ (1) }
= {ω}
= k 1 [ω]
où ω est le chemin (ξ (2) ⋆ ξ (0) ⋆ (ξ (1) ) −1 ). Donc, puisque k 1 est un isomorphisme
∂[ξ] = [ω] = [e 0 e 1 ][e 1 e 2 ][e 2 e 0 ]. On peut maintenant calculer ∂ ′′ [δ i 3 ] :
On remplace tout dans
Pour obtenir ∂ ′′ (b 2 ) = 0.
∂ ′′ [δ i 3 ] = ∂′′ (δ i 3 ) ♯[ξ]
= (δ i 3 | ˙∆ 2
) ♯ ∂[ξ]
= [δ i 3 (e 0)δ i 3 (e 1)][δ i 3 (e 1)δ i 3 (e 2)][δ i 3 (e 2)δ i 3 (e 0)].
∂ ′′ (b 2 ) = ( [e 0 e 1 ] · ∂ ′′ [δ 0 3 ]) ∂ ′′ [δ 2 3 ]∂′′ [δ 1 3 ]−1 ∂ ′′ [δ 3 3 ]−1
Soit n > 2. On remarque que ∆ n−1
n+1 contient ∆2 et donc est simplement connexe
n+1
et π ′ n−1 (∆n−1 n+1 , e 0) = π n−1 (∆ n−1
n+1 , e 0). En fait pour q ≤ n−2 H q (∆ n−1
n+1 , e 0) H q (∆ n+1 , e 0 ) = 0.
Par ¯Φ 1 , . . . , ¯Φ n−2 on sait que ∆ n−1
n+1 est (n − 2)-connexe. Grâce à ¯Φ n−1 on a maintenant
un isomorphisme
h n−1 : π n−1 (∆ n−1
n+1 , e 0)
H n−1 (∆ n−1
n+1 , e 0)
Il suffit donc de montrer que h n ∂ ′′ (b n ) = 0. Calculons :
où ξ n est de nouveau l’identité.
h n ∂ ′′ (b n ) = ∂ ′′ h n (b n )
= ∂ ′′ {∑ (−1) i δ i n+1
= ∂ ′′ ∂ ′ {ξ n }
= ∂ ′′ i ∗ ∂{ξ} = 0.
}
□

48 4. LE THÉORÈME D’HUREWICZ
DÉMONSTRATION DE B n ⇒ Φ n . On sait déjà que l’homomorphisme d’Hurewicz
k ′ n se décompose en
π ′ n(X, A, x 0 )
k ′′
n
H (n−1)
J ∗
n (X, a, x 0 )
H n (X, A).
Si γ : (∆ n , ˙∆ n , e 0 ) → (X, A, x 0 ) est une application telle que l’image de tous les sommets
est x 0 alors k n ′′ [γ] ′ = {γ} ∈ H (n−1)
n (X, A, x 0 ). Il faut maintenant construire l’inverse
de k n ′′ . Soit σ : (∆ n , ˙∆ n , ∆ 0 n) → (X, A, x 0 ) un simplexe singulier de S (n−1)
n (X, A, x 0 ).
Alors [σ] ∈ π n (X, A, x 0 ) et η[σ] = [σ] ′ ∈ π ′ n(X, A). Si σ(∆) ⊂ A alors [σ] ′ = 0. Puisque
π ′ n(X, A) est abélien on peut définir un homomorphisme
ψ : S (n−1)
n
(X, A)/S (n−1) (S, A) ∩ S(A) → π ′ n(X, A).
Soit maintenant σ : (∆ n+1 , ∆ n−1
n+1 , ∆0 n+1 ) → (X, A, x 0). On calcule
ψ∂(σ) = ψ (∑ )
(−1) i σ ◦ δ i n
∑
= (−1) i [σ ◦ δ i n] ′
( (σ| ) )
= η ˙∆ (b n+1
n)
♯
n
= ησ ♯ j ♯ (b n ) = 0.
Ainsi ψ ◦ ∂ = 0, Im ψ ⊂ Ker ∂ et ψ définit un homomorphisme
avec ψ ′ {σ} = [σ] ′ qui est l’inverse de k ′′
n .
ψ ′ : H (n−1)
n (X, A, x 0 ) → π ′ n(X, A).
DÉMONSTRATION DE Φ n ⇒ ¯Φ n . Si X est (n − 1)-connexe, alors (X, {x 0 }) est (n − 1)-
connexe et π ′ n(X, {x 0 }, x 0 ) est isomorphe à π ′ n(X, x 0 ) = π n (X, x 0 ). Ainsi on obtient ¯Φ n
en appliquant Φ n à la paire (X, {x 0 }).
□
□

Deuxième Partie
Le Théorème d’Hurewicz
Approche moderne
Par
Michele Klaus
Encadré par :
Prof. Kathryn Hess-Bellwald

CHAPITRE 5
Préliminaires
1. Cofibrations
DÉFINITION 5.1.
Une application entre espaces topologiques i : A → X est une cofibration si elle
satisfait le diagramme commutatif suivant quelque soit f et h faisant commuter le
triangle supérieur :
A
i 0
h
A × I
i Y
f
˜h
X
X × I
où i 0 est l’inclusion vers le bas du cylindre
i 0
i×id
EXEMPLE 5.2.
Comme on le verra par la suite si f : X → Y est una application quelconque alors
l’inclusion de X vers le haut du mapping cylinder j : X → M f est une cofibration.
Supposons que i : A → X est une cofibration et considérons le mapping
cylinder Mi. On a alors :
A
i 0
A × I
Posons :
i Mi r
X
X × I
i 0
i×id
j : Mi → X × I; x ↦→ (x, 0); (a, t) ↦→ (i(a), t)
53

54 5. PRÉLIMINAIRES
Comme les deux triangles au tour de r commutent on a que r ◦ j = id Mj donc j
est injective et donc i doit l’être aussi. De plus par la même raison j ◦ r| Imj = id Imj .
Ainsi on a que j est un homéomorphisme sur son image et donc i doit l’être aussi.
Il en résulte que lorsque on a une cofibration on peut supposer qu’il s’agit d’une
inclusion.
LEMME 5.3.
Si i : A → X est une cofibration et g : A → B est une application quelconque, alors
l’application induite sur le push-out B → B ∪ g X est également une cofibration.
DÉMONSTRATION. Remarquons que (B∪ g X)×I (B×I)∪ g×id (X×I) et considérons
le diagramme suivant :
A
g
B
i 0
i 0
i 0
h
A × I
g×id
B × I
i
j Y
j×id
f
˜h
B ∪ g X
(B ∪ g X) × I
i 0
k
¯h
X
i×id
X × I
Comme f ◦ j = h ◦ i 0 par hypothèse on a que h ◦ (g × id) ◦ i 0 = f ◦ k ◦ i vu que i(A)
est collé sur B via g. Ainsi il existe ˜h faisant commuter le diagramme du push-out
et donc par la propriété universelle de ce dernier il existe ¯h qui fait commuter
directement les triangles.
□
Si f : X → Y est une application arbitraire alors f est ”presque” homotope
à una cofibration dans le sens suivant : considérons le mapping cylinder M f et
les applications j : X → M f vers le haut du cylindre, r : M f → Y la retraction
habituelle et i : Y → M f l’inclusion. On a :
j
f
M f
X Y
Ainsi M f remplace Y vu que r ◦ i = id Y et i ◦ r ≃ id M f et j remplace f vu que f = r ◦ j
et j ≃ i ◦ f . Il en résulte que toute application peut être en quelque sorte remplacée
i
r

1. COFIBRATIONS 55
par une cofibration puisque si on a :
on peut poser :
X
i 0
h
X × I
j Z j×id
g ˜h=?
M f
M f × I
i 0
˜h : M f × I → Y
{
h(x, t − ((1 − t)(1 − s)/s)), si s 1 − t;
(x, s, t) ↦→
g(x, s + (st)/(1 − t)), si s < 1 − t.
qui est bien définie car si y ∼ (x, 0) alors ˜h(x, 0, t) = f (x, 0) = f (y) = ˜h(y) et si s=1-t
alors ˜h(x, 1 − t, t) = h(x, 0) = f (x, 1) = ˜h(x, 1 − t, t) par commutativité du triangle
supérieur. De plus on a que ˜h(y, 0, t) = f (y) et ˜h(x, 1, t) = h(x, t) et donc ˜h fait l’affaire.
On va maintenant énoncer des conditions équivalentes pour que une application
i : A → X soit une cofibration. On sait que toute cofibration est injective et
un homéomorphisme sur son image donc on peut se restreindre au cas des paires
(X,A) et se demander quand est-ce que l’inclusion est une cofibration.
DÉFINITION 5.4.
Une paire topologique est une paire NDR s’il existe une application u : X → I telle
que u −1 (0) = A et une homotopie h : X × I → X avec h(x, 0) = x et h(a, t) = a pour
tout a ∈ A, t ∈ I et h(x, 1) ∈ A pour tout x ∈ X avec u(x) < 1.
Une paire DR est une paire pour laquelle u(x) < 1 pour tout x ∈ X, c’est-à-dire
A est un retracte par déformation.
EXEMPLE 5.5.
La paire (D n , S n−1 ) est une paire NDR mais pas une paire DR : posons u : D n → I ;
x ↦→ 1 − ||x|| et :
h : (D n \ {0}) × I → D n ;
(rx, t) ↦→ (r + t(1 − r))x
où x ∈ S n−1 et r ∈ I \ {0}. On a directement que h(rx, 0) = rx, h(x, t) = x, u(S n−1 ) = 0,
u −1 (1) = 0 et h(rx, 1) = x.
LEMME 5.6.
Si (h,u) et (j,v) sont des couples d’applications représentants les paires NDR (X,A) et (Y,B)

56 5. PRÉLIMINAIRES
alors la paire (X×Y, X×B∪A×Y) est une paire NDR pour les applications ω : X×Y → I ;
(x, y) ↦→ min(u(x), v(y)) et
k : X × Y × I → X × Y
{
(h(x, t), j(y, tu(x)/v(y))), si v(y) u(x) ;
(x, y, t) ↦→
(h(x, tv(y)/u(x)), j(y, t)), si v(y) u(x).
Si (X,A) et (Y,B) sont des paires DR alors (X × Y, X × B ∪ A × Y) l’est aussi.
DÉMONSTRATION. Clairement on a que ω −1 (0) = X×B∪A×Y, k(x, y, 0) = (x, y) et
si a ∈ A (ou b ∈ B) alors u(a) = 0 v(y) (ou v(b) = 0 u(x)) et donc k(a, y, t) = (a, y)
(ou k(x, b, t) = (x, b)). De plus k est bien définie et on remarque facilement que
k(x, y, 1) ∈ X × B ∪ A × Y si ω(x, y) < 1. Finalement si u(x) < 1 pour tout x ∈ X (ou
v(y) < 1 pour tout y ∈ Y) alors ω(x, y) < 1 pour tout (x, y) ∈ X × Y.
□
PROPOSITION 5.7.
Soit A un sous-espace fermé de X, les conditions suivantes sont alors équivalentes :
(1) (X,A) est une paire NDR.
(2) (X × I, X × {0} ∪ A × I) est une paire DR.
(3) X × {0} ∪ A × I est un retracte de X × I.
(4) l’inclusion i : A → X est une cofibration.
DÉMONSTRATION. On va prouver les implications 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 3 ⇒ 1
(1) Comme (I, {0}) est une paire DR, le lemme précédent prouve l’assertion.
(2) Toute retraction par déformation est une retraction.
(3) Soit r : X × I → X × {0} ∪ A × I la retraction donnée par hypothèse et
considérons
Posons :
A
i 0
h
A × I
i Y
f
˜h=?
X
X × I
i 0
i×id
g : X × {0} ∪ A × I → Y; (x, 0) ↦→ f (x); (a, t) ↦→ h(a, t)
Par commutativité du diagramme g est bien définie et ˜h = g◦r : X×I → Y
fait l’affaire.

2. COFIBRATIONS BASÉES 57
(4) Il suffit de regarder le diagramme :
i 0
A
A × I
i X × {0} ∪ A
× I
r
X
X × I
i 0
(5) Soit r : X × I → X × {0} ∪ A × I la retraction donnée par hypothèse. Soit
p 1 : X × I → X, p 2 : X × I → I les deux projections et posons :
u : X → I; x ↦→ sup { t − p 2 (r(x, t))|t ∈ I }
et :
h : X × I → X;
(x, t) ↦→ p 1 (r(x, t))
On a que si x ∈ A alors u(x) = sup {0} = 0 et si u(x)=0 alors r(x, t) ∈ A
pour tout t > 0 et donc aussi pour t=0 vu que A × I est un fermé de X × I.
Ainsi u −1 (0) = A. De plus h(x, 0) = x et h(a, t) = a pour tout a ∈ A et t ∈ I.
Finalement si u(x) < 1 alors r(x, 1) ∈ A car si r(x, 1) = (x ′ , 0) alors u(x)=1
ainsi h(x, 1) = p 1 (r(x, 1)) ∈ A.
i×id
□
2. Cofibrations basées
Dans ce paragraphe les preuves ne seront pas présentées dans tous les details.
Sa présence se justifie avec la nécéssité d’introduire des résultats utilisés par la
suite.
NOTATION 5.8.
Le cylindre réduit sur (X, ⋆) est l’espace CX = X×I/ {⋆}×I∪X×{1} et la suspension
réduite sur X est l’espace ΣX = X ∧ S 1 .
L’analogue du produit direct pour deux espaces basés (X, x 0 ) et (Y, y 0 ) est le
produit smash définit par X ∧ Y/X ∨ Y où X ∨ Y = { (x, y) ∈ X × Y|x = x 0 ou y = y 0
}
est le wedge de X et Y.

58 5. PRÉLIMINAIRES
DÉFINITION 5.9.
Une cofibration basée est une application basée i : A → X qui satisfait le diagramme
commutatif suivant quelque soit f et h faisant commuter le triangle supérieur :
A
i 0
h
A ∧ I
i Y
f
˜h
X
X ∧ I
i 0
i∧id
On vérifie facilement que une application basée i : A → X qui est une cofibration
non-basée est une cofibration basée. La réciproque n’est pas vrai et il est par
contre plus difficile de prouver que une cofibration basée dont l’inclusion du point
de base dans A et X est une cofibration non-basée, est une cofibration non-basée.
Ce résultat est admit sans preuve.
Pour un espace Y quelconque on note Y + l’union de Y avec un point de base
externe. On peut identifier X ∧ Y + avec X × Y/ {⋆} × Y. L’espace X × I + est le cylindre
réduit sur X et une homotopie basée f : X × I → Y corréspond à una application
basée de X ∧ I + vers Y. Pour une application basée f : X → Y on note M f =
Y ∪ f (X ∧ I + ) le mapping cylinder réduit. On note aussi C f = Y ∪ f CX = M f /j(X)
la cofibre homotopique où j : X → M f ; x ↦→ (x, 1).
Analoguement au cas non-basé on a que i : A → X est une cofibration si et
seulement si Mi est un retracte de X ∧ I + .
LEMME 5.10.
L’application k : X → CX ; x ↦→ (x, 0) est une cofibration basée.
DÉMONSTRATION. Contemplons :
On pose
X
i 0
h
X ∧ I
k Y
f ˜h=?
CX
CX ∧ I
i 0
k∧id
˜h : CX ∧ I → Y
{
h(x, t − s), si t s ;
(x, s, t) ↦→
f (x, s − t), si t s.

2. COFIBRATIONS BASÉES 59
et on a ˜h(x, s, 0) = f (x, s), ˜h(x, 0, t) = h(x, t) et si t=s alors ˜h(x, t, t) = h(x, 0) = f (x, 0) =
˜h(x, s, s) par commutativité du triangle supérieur. On vérifie sans peine que cette
application est bien définie.
□
COROLLAIRE 5.11.
L’application i : Y → C f est une cofibration basée quelque soit f : X → Y basée.
DÉMONSTRATION. i est l’inclusion de Y dans le push-out de f : X → Y et
k : X → CX, qui est une cofibration par le lemme précédent. Le résultat se prouve
de façon équivalente à l’analogue non basé.
□
Pour une application basée f : X → Y, on pose π : C f → C f /Y ΣX
l’application quotient et on appelle la suite de la cofibre engendrée par f la suite :
X f Y
i
C f
π
ΣX −Σ f ΣY −Σi ...
On va prouver que cette suite engendre une suite exacte. On a besoin des lemmes
suivants :
LEMME 5.12.
Si i : A → X est une cofibration basée alors l’application ψ : Ci = X∪ i CA → X/CA ≃ X/A
est une équivalence d’homotopie basée.
DÉMONSTRATION. Comme i est une cofibration il existe une retraction r : X ∧
I + → Mi = X ∪ i (A ∧ I + ). Considérons j : X → X ∧ I + ; x ↦→ (x, 1) et le quotient
q : Mi → Mi/A × {1} Ci. La composée q ◦ r ◦ j envoie A dans {⋆} et donc induit
φ : X/A → Ci.
Vu que r| A∧I+ = id A∧I+ ça induit
˜r : X ∧ I + /A ∧ I + (X/A) ∧ I + → Mi/A ∧ I + X/A
qui peut être vu comme une homotopie basée avec ˜r(x, 0) = r(x, 0) = x puisque il
s’agit d’une retraction et ˜r(x, 1) = ψ ◦ r(x, 1) = ψ ◦ φ par définition des applications.
Ainsi id X/A ≃ ψ ◦ φ.
Posons :
h : Ci ∧ I + → Ci; (x, t) ↦→ r(x, t); (a, s, t) ↦→ (a, max(s, t))
On vérifie facilement que cette application est bien définie et on a que h(x, 0) =
r(x, 0) = x et h(a, s, 0) = (a, s). De plus φ ◦ ψ(x) = r(x, 1) = h(x, 1) et φ ◦ ψ(a, t) = (a, 1)
par définition de φ et ψ. Il en résulte que h est une homotopie de id Ci vers φ ◦ ψ. □

60 5. PRÉLIMINAIRES
LEMME 5.13.
Dans le diagramme suivant le triangle de gauche commute et celui de droite commute
homotopiquement :
π( f )
X f Y i( f ) C f
ΣX −Σ f ΣY
i(i( f ))
ψ
π(i( f ))
Ci( f )
où ψ est comme au lemme précédent (ce qui a bien du sens vu que Ci( f )/CY ΣX et
Ci( f )/CX ΣY).
DÉMONSTRATION. La commutativité à gauche est claire et l’application :
h : Ci( f ) ∧ I + → ΣY; (x, s, t) ↦→ ( f (x), t − st); (y, s, t) ↦→ (y, s + t − st)
est une homotopie de π vers −Σ f ◦ ψ.
□
THÉORÈME 5.14.
Pour tout espace basé Z la longue suite induite par la cofibre d’une application f : X → Y
est exacte :
...
[ ] ΣC f, Z
[ΣY, Z] (−Σ f )∗ [ΣX, Z]
π( f ) ∗
[ C f, Z
] i( f ) ∗ [Y, Z]
f ∗ [X, Z]
Il s’agit d’une suite exacte d’ensembles pour les premiers 4 termes et d’une suite exacte de
groupes pour les autres.
DÉMONSTRATION. Commençons par prouver l’exactitude en [Y, Z]. Soit g : Y →
Z avec g ◦ f ≃ c ⋆ via l’homotopie h. Considérons le diagramme :
X f Y C f = Y ∪ f CX
g
˜g=g∪h
Z
˜g est bien définie puisque h(x, 0) = g ◦ f (x) = g(y) et de plus ˜g ◦ i = g. Ainsi si
[ g
] ∈ [Y, Z] est telle que f∗ ( [ g ] ) = [c ⋆ ] alors il existe [ ˜g ] ∈ [ C f, Z ] avec i ∗ ( [ ˜g ] ) = [ g ] .
Inversement si on a g : C f → Z alors f ∗ ◦ i ∗ ( [ g ] ) = [ g ◦ i ◦ f ] = [ g| X×{0}
] . Posons :
h : X × I × I → X × I;
i
(x, s, t) ↦→ (x, s + (1 − s)t)
l’homotopie qui envoie tout le cylindre sur le haut. Si on compose h avec la projection
q : X×I → CX, on a que q◦h se factorise en une application (q◦h) ′ : CX×I → CX.
Il en résulte que g ◦ (q ◦ h) ′ est une homotopie de g| X×{0} vers g| X×{1} = c ⋆ et donc
i ∗ ◦ f ∗ ( [ g ] ) = [c ⋆ ]. ce qui prouve l’exactitude. On remarque que ce raisonnement s’applique
chaque fois qu’on a un couple d’application ( f, i) avec i qui est l’inclusion
de l’image de f dans sa cofibre.

3. UN LEMME TECHNIQUE 61
Admettons que le changement de coordonnées entre le cône et la suspension
définit un homéomorphisme Σ(C f ) C(Σ f ). Cela donne le diagramme commutatif
suivant :
Σ n X
Σn f
Σ n y
Σ n i f
Σ n C f
Σ n π f
Σ n+1 X
Σ n+1 f
Σ n+1 Y
Σ n X Σ n Y C(Σ n f )
Σ n+1 X
τ
τ
Σ n+1 Y
où τ est l’homéomorphisme donné par le changement des coordonnées entre les
deux dernières suspensions. Si l’assertion est vraie sur la suite X → Y → C f →
ΣX → ΣY, alors elle vraie sur la suite suite Σ n X → Σ n Y → C(Σ n f ) → ΣΣ n X →
ΣΣ n Y, vu q’elles ont la même forme. Une petite chasse au diagramme nous permet
de conclure que dans ce cas l’énoncé est vrai aussi pour la suite du haut du
diagramme ci-dessus. Grâce au lemme précédent les deux triangles du diagramme
suivant commutent homotopiquement :
π( f )
X r Y i( f ) C f
ΣX −Σ f ΣY
i(i( f ))
ψ
π(i( f ))
Ci( f )
De plus on a que la suite induite par Y → C f → Ci( f ) est exacte car i(i( f )) est
l’inclusion de l’image de i( f ) dans sa cofibre et on peut appliquer la première
partie de cette preuve. Ainsi la suite induite par Y → C f → ΣX est également
exacte car on a le diagramme commutatif :
[ ] C f, Z
π( f ) ∗
[ΣX, Z]
ψ ∗
i(i( f )) ∗
[ Ci( f ), Z
]
Par ailleurs C f → ΣX → ΣY est aussi exacte car elle est équivalente, par le même
diagramme, à C f → Ci( f ) → ΣY dont on vient de prouver l’exactitude (puisque
du même type que Y → C f → ΣX). Ce qui montre que X → Y → C f → ΣX → ΣY
est exacte et termine la preuve.
□
3. Un lemme technique
LEMME 5.15.
Soit e : Y → Z une application entre deux espaces topologiques et notons CS n le cone
non-réduit sur la sphère de dimension n. Les conditions suivantes sont alors équivalentes :
(1) pour tout y ∈ Y, l’application induite sur les groupes d’homotopies e ∗ : π q (Y, y) →
π q (Z, e(y)) est une injection pour q=n et une surjection pour q=n+1.

62 5. PRÉLIMINAIRES
(2) pour toute application f : CS n → Z, g : S n → Y et h : S n × I → Z avec
f | S n = h ◦ i 0 et e ◦ g = h ◦ i 1 il existe des applications ˜g et ˜h faisant commuter le
diagramme suivant :
S n i 0
S n × I
e
Z
f
˜h
CS n CS n × I
i 0
h
i 1
g
S n
Y
˜g
CS n
où i 0 est l’inclusion vers la base du cylindre et i 1 est l’inclusion vers le haut du
cylindre.
(3) l’assertion (2) est vraie dans le cas où f | S n = e ◦ g et h est l’homotopie constante.
i 1
DÉMONSTRATION. On prouve la suite d’implications 2 ⇒ 3 ⇒ 1 ⇒ 2
(1) Clair
(2) Considérons d’abords le cas n=0. Soit g : S 0 → Y avec g(−1) = e(y) et
g(1) = e(y ′ ) et h : S 0 × I → Z avec h(−1, t) = y et h(1, t) = y ′ pour tout
t ∈ I. Supposons que e(y) et e(y ′ ) sont reliés par le chemin f : I → Z.
Comme CS 0 I on peut appliquer 3 aux applications ci-dessus pour
obtenir ˜g : CS 0 I → Y qui est un chemin reliant y et y ′ . Ainsi π 0 (e) est
injective.
Considérons maintenant le cas où n > 0. Soit g : S n → Y une application
avec e ∗ (g) = e ◦ g homotopiquement nulle. Soit h : S n × I → Y
l’homotopie constante de e ◦ g vers elle même et f : CS n → Z la factorisation
d’une homotopie H : S n × I → Z avec H(s, 0) = e ◦ g(s) et H(s, 1) = ⋆.
On peut appliquer 3 pour obtenir une application ˜g : CS n → Y qui donne
lieu à une homotopie ˜H : S n × I → S n × I/S n × {1} CS n → Y de g vers
l’application constante. Ainsi e ∗ est injective.
Pour la surjectivité considérons un entier n arbitraire et une application
f ¯ : S n+1 → Z quelconque. Notons f la composée :
CS n → CS n /S n × {0} D n+1 /S n S n+1 → Z
et g : S n → Y, h : S n × I → Z l’application et l’homotopie constantes
qui font commuter le diagramme. On peut appliquer 3 pour obtenir une
homotopie ˜h : CS n × I → Z entre f : (CS n , S n ) → (Z, e(y)) et e ◦ ˜g :
(CS n , S n ) → (Z, e(y)). On a donc que f ≃ S n e ◦ ˜g vu que ˜h(S n × {0} × I) =
h(S n × I) = e(y). Ainsi on a une surjection :
e ∗ : π n+1 (Y) π n+1 (Y, y) → π n+1 (Z, e(y)) π n+1 (Z)

3. UN LEMME TECHNIQUE 63
(3) Supposons f,g et h données, fixons un point de base ⋆ ∈ S n et soit •
le sommet du cône CS n . Notons y 1 = g(⋆), z 1 = e(y 1 ), z 0 = f (⋆, 0) et
z −1 = f (•). Pour tout x ∈ S n notons f x , h x : I → Z les chemins f x (t) = f (x, t)
de f (x, 0) = h(x, 0) vers z −1 et h x (t) = h(x, t) de h(x, 0) vers h(x, 1) = e ◦ g(x).
Considérons la fibre homotopique associée à l’application e :
F(e, y 1 ) = { (y, α) ∈ Y × Z I |α(0) = e(y 1 ) = z 1 et α(1) = e(y) }
avec le point de base ω 1 = (y 1 , c z1 ). Grâce à l’hypothèse 1 la suite exacte
d’une fibration nous donne que π n (F(e, y 1 ), ω 1 ) = 0 :
π n+1 (Y, y 1 )
e ∗
π n+1 (Z, z 1 ) π n (F(e, y 1 ), ω 1 ) π n (Y, y 1 )
e ∗
π n (Z, z 1 )
Posons k 0 : S n → F(e, y 1 ) donnée par k 0 (x) = (g(x), h x · fx
−1 · f ⋆ · h −1
⋆ ).
Remarquons que k 0 n’est pas forcement une application basée mais k 0 (⋆)
est relié au point de base ω 1 par un chemin λ vu que k 0 (⋆) = (y 1 , h ⋆ ·
f⋆
−1 · f ⋆ · h −1
⋆
≃ c z 1
). Comme {⋆} ↩→ S n est une cofibration on a que k 0 est
homotope à une application basée :
⋆
i 0
⋆ × I
λ
F(e, y 1 )
k 0 H
S n S n × I
i 0
H est l’homotopie de k 0 vers H(x, 1) qui est basée vu que H(⋆, 1) = λ(⋆, 1) =
ω 1 . Comme π n (F(e, y 1 ), ω 1 ) = 0 on a que H(x, 1) est homotopiquement
nulle au sense basé et donc k 0 est homotopiquement nulle au sense nonbasé.
Soit k : S n × I → F(e, y 1 ) ; (x, t) ↦→ ( ˜g(x, t), α(x, t)) une homotopie de
k 0 vers l’application constante sur le point de base ω 1 . Ainsi ˜g(x, 1) = y 1
pour tout x dans S n et donc ˜g se factorise en une application CS n → Y et
en même temps ˜g = g sur la base S n du cône.
De plus on a une application j : S n × I × I → Z ; (x, s, t) ↦→ α(x, t)(s) qui,
pour tout x ∈ S n , vaut sur le bord de I × I :
c x1
c x1
h x· f −1
x
· f ⋆·h −1
⋆
e◦ ˜g x

64 5. PRÉLIMINAIRES
où ˜g x (t) = ˜g(x, t). L’homotopie cherchée ˜h(x, s, t) (s étant la coordonnée sur
le cône et t la variable d’homotopie) sur le bord de I × I doit valoir :
h x
e◦ ˜g x
f x
h ⋆· f −1
⋆
Ainsi on peut obtenir ˜h en composant j avec une bonne reparametrisation
du carré I × I.
□

CHAPITRE 6
Les CW-complexes
1. Définitions et propriétés
DÉFINITION 6.1.
Un CW-complexe est un espace topologique X = ∪ n0 X n où :
(1) X 0 est un espace topologique discret dont les points sont appelés sommets.
(2) Pour tout n > 0 il existe une famille d’applications { j l : S n−1 → X n−1} l
l∈L
avec X n = (X n−1 ∪ ∐ l∈L D n l )/ ∼ où x ∼ y si et seulement si il existe l′ ∈ L
avec j l ′(x) = y ou j l ′(y) = x (ou bien sûr x=y).
On munit X de la topologie induite par l’union et le quotient. Le sous-espace
X n ⊂ X est appelé le n-ème squelette de X et une application J n : D n → X définie
l ′ l ′
par la composée des deux inclusions et de la projection sur le quotient : D n →
l ′
X n−1 ∪ l∈L D n → X n → X est appelée une n-cellule. La dimension d’un CW-complexe
l
X est le plus petit entier m avec X = X m . Si un tel entier n’existe pas on dit que X
est de dimension infinie.
DÉFINITION 6.2.
Soit A un espace topologique. Un CW-complexe relatif (à A) est une paire d’espaces
topologiques (X,A) où X est obtenu de la même façon que à la définition
précédente en remplaçant X 0 par l’union de A avec un espace topologique discret
(eventuellement vide).
DÉFINITION 6.3.
Un sous-complexe d’un CW-complexe X est un CW-complexe A qui est un sousespace
de X tel que pour toute application J n λ : Dn → A il existe une application
λ
J n : D n → X avec J n = i ◦ J n (où i est l’inclusion de A dans X).
l l l λ
65

66 6. LES CW-COMPLEXES
REMARQUE 6.4. (1) Un sous-complexe A d’un CW-complexe X est en fait la
réunion de certaines n-cellules de X.
(2) Si A est un sous-complexe de X alors la paire (X,A) est un CW-complexe
relatif.
DÉFINITION 6.5.
Une application cellulaire entre CW-complexes relatifs f : (X, A) → (Y, B) est une
application antre paire (i.e. telle que f (A) ⊂ B) avec f (X n ) ⊂ Y n pour tout entier n.
REMARQUE 6.6.
Un espace topologique, par exemple la n-sphère, peut avoir plusieurs réalisation
comme CW-complexe qui sont le même objet si on les regarde comme espaces
topologiques mais qui peuvent être très différents vu comme CW-complexes. Le
moyen de comparaison des CW-complexes sont les applications cellulaires : deux
CW-complexes sont isomorphes s’il existe un homéomorphisme cellulaire entre
les deux.
EXEMPLE 6.7. (1) Le tore T 2 est un CW-complexe construit en collant un disque
D 2 sur le wedge S 1 ∨ S 1 .
(2) Si n¿0 la sphère S n est un CW-complexe à un sommet et une n-cellule via
l’homéomorphisme D n /S n−1 S n .
(3) L’espace projectif RP 0 n’est rien d’autre qu’un point et donc, trivialement,
un CW-complexe. Si on considère un entier n non nul alors RP n est un CWcomplexe
construit en ajoutant à RP n−1 une n-cellule comme suit : Posons
j : S n−1 → RP n−1 la projection canonique et considérons l’application :
x ↦→
g : RP n−1 ∐ D n → RP n
{ (x, 0), si x ∈ RP n−1 ;
(x, √ 1 − ||x|| 2 ), s x ∈ D n .
Cette application induit un homéomorphisme f : RP n−1 ∐ j D n → RP n
puisque on a :
RP n−1 ∪ D n
g
q
RP n−1 ∪ j D n RP n
f
Clairement f est bien définie et il n’est pas difficile de se convaincre qu’il
s’agit d’une bijection. La bicontinuité se vérifie à l’aide du diagramme

1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS 67
ci-dessus en considérant les topologies induites par R n sur les quotients
et les unions disjointes.
Ceci nous montre aussi que RP m est un sous-complexe de RP n pour
tout m plus petit que n.
(4) De façon analogue on montre que CP n est un CW-Complexe construit en
collant une (2n-1)-sphère à CP n−1 et admettant CP m comme sous-complexe
si m est plus petit que n.
PROPOSITION 6.8.
Tout sous-espace compact d’un CW-complexe est contenu dans un sous complexe fini.
DÉMONSTRATION. Sans preuve.
□
PROPOSITION 6.9.
Si (X,A) est un CW-complexe relatif, alors X/A est un CW-complexe ayant A comme un
des sommets et avec autant de n-cellules que (X,A) pour tout n.
DÉMONSTRATION. Le CW-complexe relatif (X,A) est construit de la façon suivante
:
(1) (X, A) 0 = A ∐ X 0 où X 0 est un espace discret.
(2) Pour tout n¿0 il existe une famille d’application { j l : S n−1 → (X, A) n−1} l
l∈L
avec (X, A) n = (X, A) n−1 ∪ ∐ l∈L D n l / ∼ et (X, A) = ∪ n0(X, A) n
On va construire un CW-complexe Y et montrer que Y = ∪ n0 Y n (X, A)/A =
∪ n0 (X, A) n /A en prouvant par induction que Y n (X, A) n /A avec des homéomorphismes
cohérents. Posons Y 0 = {a}∐X 0 A∐X 0 /A = (X, A) 0 /A. Supposons Y m construit et
tel que Y m (X, A) m /A pour tout m n−1. Considérons l’ensemble { k l : S n−1 → Y n−1} l
l∈L
donnée par :
S n−1
l
j l
k l
Y n−1
(X, A) n−1 (X, A) n−1 /A

68 6. LES CW-COMPLEXES
Notons ∽ la relation d’équivalence sur Y n−1 ∪ ∐ l∈L D n l
et remarquons que :
habituellement notée ∼
Y n = (Y n−1 ∪ ∐ l∈L D n l )/ ∽
((X, A) n−1 /A ∪ ∐ l∈L D n l )/ ∽
(((X, A) n−1 ∪ ∐ l∈L D n l )/A)/ ∽
Ainsi pour trouver un homéomorphisme entre (X, A) n /A et Y n on commence
par considérer l’application
ϕ : (X, A) n−1 ∪ ∐ l∈L D n l
→ (((X, A) n−1 ∪ ∐ l∈L D n l )/A)/ ∽ ;
x ↦→ ¯ [x]
Cette application est surjective et continue. De plus si p ∈ (X, A) n−1 et q ∈ D n sont
l
tels que j l ′(q) = p pour un certain l ′ ∈ L alors par définition de k l ′ on a que k l ′(q) = p
[
et donc par définition de ∽ on a q ¯ ] [ = p ¯
] . Il en résulte que ϕ se factorise en une
application ¯ϕ : ((X, A) ∪ ∐ l∈L D n l )/ ∼ → Yn ; ˆx ↦→ [x] ¯ qui reste continue et surjective.
Maintenant si ˆx ŷ et ¯ϕ( ˆx) = ¯ϕ(ŷ) alors k l ′(x) = y (ou k l ′(y) = x) pour un certain
l ′ ∈ L, mais j l ′(x) j l ′(y) vu que ˆx ŷ. Ainsi par définition de k l ′ on doit avoir
que x, y ∈ A et donc ¯ϕ se factorise en une application injective φ : (X, A) n /A =
(((X, A) n−1 ∪ ∐ l∈L D n l )/ ∼)/A → Yn qui reste continue et surjective. La preuve de la
continuité inverse est omise et φ est l’homéomorphisme cherché.
□
COROLLAIRE 6.10.
Si A est un sous-complexe du CW-complexe X alors X/A est un CW-complexe.
PROPOSITION 6.11.
Soit {X i } i∈I une famille de CW-complexes basés avec le point de base en un sommet. Le
wedge ∨ i∈I X i est alors un CW-complexe admettant chaque X i comme sous-complexe.
DÉMONSTRATION. La preuve est semblable à celle de la proposition précédente.
On se limite à donner les idées principales. Comme auparavant on construit
un CW-complexe Y = ∪ n0 Y n et on montre qu’il est homéomorphe à ∨ i∈I X i =
∨ i∈I (∪ n0 X n i ) ∪ n0(∨ i∈I X n i ) en prouvant que Yn ∨ i∈I X n i .
Posons Y 0 = (∪ i∈I X 0 i
\ {x i }) ∐ {∗} ∨ i∈I X 0 i
puisque il s’agit de deux espaces
discret de même cardinalité (x i étant le point de base de X i ). Supposons construit
Y m avec Y m ∨ i∈I X m i
pour tout m < n et posons L = ∪ i∈I L i où L i est la famille

1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS 69
d’indices sur la quelle on construit X n en partant de X n−1 . Considérons l’ensemble
{ i i
kl : S n−1
l
→ Y n−1} l∈L donné par : S n−1
l
j l
k l
Y n−1
X n−1
i
∨ i∈I X n−1
i
On pose Y n = Y n−1 ∪ ∐ l∈L D n l
/ ∼ et on montre que :
ϕ : Y n−1 ∪ ∐ l∈L D n l / ∼ → ∨ i∈IX n i
= (X n−1
i
∪ ∐ l∈L D n l / ∼)/ { relation de wedge }
induit un homéomorphisme.
□
LEMME 6.12.
Soit (X, τ) un espace topologique normal et A, B ⊂ X deux fermés. Munissons X × X de la
topologie induite. On a alors que ∂(A × B) = ∂A × B ∪ A × ∂B.
DÉMONSTRATION. L’ensemble {U × V|U, V ∈ τ} est une base pour la topologie
sur X × X. Comme A et B sont des fermés ∂A × B ⊂ A × B. Ainsi si (a, b) ∈ ∂A × B
et U × V est un ouvert de base contenant (a, b) alors U × V ∩ A × B ∅ puisque
(a, b) ∈ A × B. De plus comme a ∈ ∂A et U est un ouvert de X contenant a on
a que U ∩ (X \ A) ∅ et donc U × V ∩ (X × X \ A × B) ∅. On en déduit que
(∂A × B ∪ A × ∂B) ⊂ ∂(A × B).
Soit maintenant (a, b) ∈ ∂(A × B) alors (a, b) ∈ A × B car autrement il existe un
ouvert U × V contenat (a, b) et tel que U × V ∩ A × B = ∅ vu que A et B sont des
fermés dans un espace normal. Par les mêmes raisons on ne peut pas avoir que
(a, b) ∈ int(A) × int(B) donc ∂(A × B) ⊂ (∂A × B ∪ A × ∂B).
□
COROLLAIRE 6.13.
Soit p, q ∈ N et n=p+q. On a alors que S n−1 = ∂D n ∂(D p ×D q ) = ∂D p ×D q ∪D p ×∂D q =
S p−1 × D q ∪ D p × S q−1 .
LEMME 6.14.
Soit les espaces topologiques A 1 ⊂ X 1 , A 2 ⊂ X 2 , Y 1 , Y 2 et les applications f 1 : A 1 → Y 1 ,
f 2 : A 2 → Y 2 . Notons Z 1 = Y 1 ∪ f1 X 1 et Z 2 = Y 2 ∪ f2 X 2 . Soit h : A 1 ×X 2 ∪X 1 ×A 2 → Y 1 ×
Z 2 ∪Z 1 ×Y 2 l’application évidente. Alors on a que (Y 1 ×Z 2 ∪Z 1 ×Y 2 )∪ h (X 1 ×X 2 ) Z 1 ×Z 2

= ∪ p+q=n X p × Y q □
70 6. LES CW-COMPLEXES
DÉMONSTRATION. Posons ϕ : (Y 1 × Z 2 ∪ Z 1 × Y 2 ) ∪ (X 1 × X 2 ) → Z 1 × Z 2 =
(Y 1 ∪ f1 X 1 )×(Y 2 ∪ f2 X 2 ) définie par le passage au quotient dans chaque composante.
Cette application est surjective et continue car elle est continue sur chaque marceau
composante par composante.
Si ϕ(y 1 , [z 2 ]) = ϕ(y ′ 1 , [ z 2] ′ ) ou ϕ([z1 ] , y 2 ) = ϕ( [ z 1] ′ , y
′
2 ) ou ϕ(x 1, x 2 ) = ϕ(x ′ 1 , x′ 2 )
alors (y 1 , [z 2 ]) = (y ′ 1 , [ z 2] ′ ) ou ([z1 ] , y 2 ) = ( [ z 1] ′ , y
′
2 ) ou (x 1, x 2 ) = (x ′ 1 , x′ ) puisque si
2
a ∼ b avec a b alors a ∈ X i et b ∈ Y i (ou bien a ∈ Y i et b ∈ X i ).
Si ϕ(y 1 , [z 2 ]) = ϕ([z 1 ] , y 2 ) alors y 1 ∈ [z 2 ] et y 2 ∈ [z 1 ] et si ϕ(x 1 , x 2 ) = ϕ(y 1 , [z 2 ])
(ou ϕ(x 1 , x 2 ) = ϕ([z 1 ] , y 2 )) alors f 1 (x 1 ) = y 1 et x 2 ∈ [z 2 ] (ou f 2 (x 2 ) = y 2 et x 1 ∈ [z 1 ]),
i.e. h(x 1 , x 2 ) = (y 1 , [z 2 ]) (ou h(x 1 , x 2 ) = ([z 1 ] , y 2 )).
Il s’en suit que ϕ se factorise en une application injective φ : (Y 1 × Z 2 ∪ Z 1 ×
Y 2 ) ∪ h (X 1 × X 2 ) → Z 1 × Z 2 qui est un homéomorphisme.
□
PROPOSITION 6.15.
Si X = ∪ p∈N X p et Y = ∪ q∈N Y q sont deux CW-complexes, alors X×Y est un CW-complexe.
DÉMONSTRATION. On a X × Y = (∪ p∈N X p ) × (∪ q∈N Y q ) ∪ (p,q)∈N×N (X p × Y q ) =
∪ n∈N (∪ p+q=n X p × Y q ). Comme dans les cas précédents on va construire un CWcomplexe
Z = ∪ n0 Z n et prouver que Z X×Y en montrant que Z n ∪ p+q=n X p ×Y q .
Pour n=0 posons Z 0 = X 0 ×Y 0 et supposons Z m ∪ p+q=m X p ×Y q construit pour
tout m plus petit que n. Posons L = ∪ p+q=n L p × L q ou L i est l’ensemble d’indices sur
lequel on construit X n en partant de X n−1 si L i est dans la première composante et L i
est l’ensemble d’indices sur lequel on construit Y n en partant de Y n−1 si L i est dans
la deuxième composante. Considérons l’ensemble { j l=l p ×l q
par :
⋃
S n−1 = S p−1 × D q ∪ D p × S q−1 Z n−1 = X p × Y q =
l p ×l q l p l q l p l q
p+q=n
j l p ×J l q ∪J l p ×j l q
X p−1 × Y q ∪ X p × Y q−1
Par le lemme précédent on a :
Z n = Z n−1 ∪ ∐ l∈L D n l / ∼=
: Sn−1 l
= (∪ (0p)+(0q)=n X p−1 × Y q ∪ X p × Y q−1 ) ∪ ∐ l∈L D n l / ∼=
⋃
(0p)+(0q)=n
→ Z n−1} l∈L donné
= ∪ (0p)+(0q)=n ((X p−1 × Y q ∪ X p × Y q−1 ) ∪ ∐ l p ×l q ∈L p ×L qDp l p × D q l q / ∼) =
X p−1 × Y q ∪ X p × Y q−1

1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS 71
PROPOSITION 6.16.
Soit X et Y deux CW-complexes et A un sous complexe de X, soit aussi f : A → Y une
application cellulaire. Alors le push-out Y ∪ f X est un CW-complexe contenant Y comme
sous-complexe.
DÉMONSTRATION. La preuve est semblable aux précédentes et on se limite à
donner les idées principales. On a Y ∪ f X = (∪ x0 Y n ) ∪ f (∪ x0 X n ) = ∪ x0 (Y n ∪ f X n )
par cellularité de f. Comme avant on va construire un CW-complexe Z = ∪ n0 Z n
et prouver que Z Y ∪ f X en montrant que Z n Y n ∪ f X n pour tout n. Posons
Z 0 = Y 0 ∪ (X 0 \ A 0 ), alors Z 0 Y 0 ∪ f X 0 puisque par cellularité de f on a deux
ensembles de même cardinalité.
Supposons Z n Y n ∪ f X n déjà construit et, avec les notations déjà utilisées,
posons L n = L n Y ∪ (Ln X \ Ln A ). Considérons l’ensemble { k l : S n → Z n} donné par :
l l∈L
S n l
j l
Y n ∐ X n
Comme avant on peut montrer que
k l
Z n
Y n ∪ f X n
Z n+1 = Z n ∪ ∐ l∈L nD n+1
l
/ ∼
(Y n ∪ f X n ) ∪ ∐ l∈L nD n+1
l
/ ∼
Y n+1 ∪ f X n+1
On se persuade facilement du fait que Y est un sous complexe de Y ∪ f X.
□
PROPOSITION 6.17.
La colimite d’une suite d’inclusion de sous complexes est un CW-complexe contenant
chaque CW-complexe de la suite comme sous complexe.
DÉMONSTRATION. La preuve est omise, mais le résultat paraît clair si on remarque
que ColimX i = ∪ n0 X n est on procède par induction sur i en considérant
∪ i n=0 X n = X i .
□
DÉFINITION 6.18.
Une application f : X → Y est une n-équivalence si f ∗ : π q (X, x 0 ) → π q (Y, f (x 0 )) est
injective pour tout q < n et surjective pour tout q n quelque soit x 0 ∈ X.

72 6. LES CW-COMPLEXES
LEMME 6.19.
Soit (X,A) un CW-complexe relatif de dimension inférieure ou égale à n et e : Y → Z une
n-équivalence. Soient f : X → Y, g : A → Y et h : A × I → Z trois applications avec
f | A = h ◦ i 0 et e ◦ g = h ◦ i 1 . Il existe alors deux applications ˜g : X → Y et ˜h : X × I → Z
faisant commuter le diagramme suivant :
A
i 0
h
A × I
i 1
g
A
e
Z
f
˜h
X
X × I
i 0
Y ˜g
X
i 1
DÉMONSTRATION. Sans preuve. (Si (X, A) = (D n , S n−1 ) (CS n , S n−1 ) c’est le
lemme 5.15, sinon on procède par induction sur les squelettes en appliquant le
cas (D n , S n−1 ) sur les n-cellules de X qui ne sont pas dans A).
□
REMARQUE 6.20.
Si on choisit e = id Y : Y → Y on observe que le diagramme signifie exactement que
la paire (X,A) vérifie la propriété d’extension d’homotopie et donc que l’inclusion
i : A → X est une cofibration. De plus le lemme est vrai même pour n = ∞.
COROLLAIRE 6.21.
Soit X un CW-complexe et n un entier. La paire (X, X n ) vérifie la PEH et donc X n → X
est une cofibration.
THÉORÈME 6.22.
Soit X un CW-complexe et e : Y → Z une n-équivalence. On a alors que l’application
e ∗ : [X, Y] → [X, Z] est une bijection si dimX < n et une surjection si dimX = n.
DÉMONSTRATION. Soit [ f ] ∈ [X, Z] et appliquons le lemme 6.19 à la paire (X, ∅) :
Z
f
˜h
X
X × I
i 0
e
Y ˜g
X
i 1
Ainsi il existe ˜g : X → Y avec e ∗ ( ˜g) = e ◦ ˜g = ˜h ◦ i 1 ≃ ˜h ◦ i 0 = f et donc e ∗ est un
surjection.

1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS 73
Supposons maintenant que dimX < n. Soit f : X × I → Z une homotopie et
posons h : X × ∂I × I → Z ; (x, t, s) ↦→ f (x, t). On peut appliquer le lemme 6.19 à la
paire (X × I, X × ∂I) (d’où la nécéssité de l’hypothèse sur la dimension) :
X × ∂I
i 0
h
X × ∂I × I
i 1
f |
X × ∂I
e
Z
f ˜h
X × I
X × I × I
i 0
Y
˜f |
X × I
i 1
Ainsi ˜f | est un homotopie avec ˜f | 0
= f 0 et ˜f | 1
= f 1 et donc e ◦ ˜f | i
= e ◦ f | i = h ◦ i 1 | i = f i
par définition de h. Il en résulte que ˜f | est une homotopie entre les pré-images ˜f | 0
et ˜f | 1
des applications homotopes f 1 et f 2 . D’où l’injectivité.
□
THÉORÈME 6.23.
Une n-équivalence entre CW-complexes de dimension inférieure à n est une équivalence
d’homotopie. Une équivalence faible entre CW-complexes est une equivalence d’homotopie.
DÉMONSTRATION. Soit e : Y → Z une application satisfaisante une des deux
conditions de l’énoncé. Par le théorème précédent e ∗ : [Z, Y] → [Z, Z] est une
bijection et donc il existe une application f : Z → Y avec e ◦ f ≃ id Z . Ainsi
e ◦ f ◦ e ≃
[
e mais
]
e ∗ : [Y, Y] → [Y, Z] est également une bijection et donc f ◦ e ≃ id Y
(vu que e ∗ f ◦ e = [e] = e∗ [id Y ]).
□
DÉFINITION 6.24.
Un espace topologique X est n-connexe si π q (X, x) = 0 pour tout x ∈ X et pour tout
0 q n.
Une paire (X,A) est n-connexe si i ∗ : π 0 (A) → π 0 (X) est une surjection et
π q (X, A, a) = 0 pour tout a ∈ A et tout 1 q n.
REMARQUE 6.25.
En considérant la suite exacte de la paire (X,A)
... π n+1 (X, A) π n (A) π n (X) π n (X, A) ...
on remarque que la paire (X,A) est n-connexe si et seulement si l’inclusion i : A → X
est une n-équivalence.

74 6. LES CW-COMPLEXES
LEMME 6.26.
Un CW-complexe relatif (X,A) sans m-cellules pour tout m n est n-connexe. En particulier
(X, X n ) est n-connexe.
DÉMONSTRATION. Soit f : (I q , ∂I q , ⋆) → (X, A, ⋆) avec q n. Comme f (I q ) est
compact on peut supposer que (X,A) a un nombre fini z de cellules. Si z=1 alors
X = A ∪ j D r avec r¿q vu que r¿n et q n ainsi il existe une application f ′ : I q → X
avec f | ∂I q = f ′ | ∂I q, f ≃ ∂I q f ′ et telle que f ′ (I q ) ne recouvre pas completement D r .
Ce résultat n’est pas trivial et il est admit sans preuve. On en déduit que f’ se
déforme en una application entièrment contenue dans A et donc [ f ] = [ f ′] = 0
dans π q (X, A, a).
Si on suppose le résultat vrai pour z¡s cellules on le prouve alors de façon
analogue pour le cas à s cellules. Ce qui conclut l’induction et achève la preuve. □
COROLLAIRE 6.27.
Si X est un CW-complexe alors π k (X) π k (X n ) pour tout k < n.
DÉMONSTRATION. Le fait que l’inclusion i : X n → X est une n-équivalence
(puisque (X, X n ) est n-connexe par lemme ci-dessus) et dimS k = k permet directement
de conclure que [ S k , X n] [ S k , X ] .
□
THÉORÈME 6.28.
Toute application f : (X, A) → (Y, B) entre CW-complexes relatifs est homotope relativement
à A à une application cellulaire.
DÉMONSTRATION. On procède par induction sur les squelettes. Pour n=0 rappelon
que X 0 = A ∐ X ∗ où X ∗ est un espace discret. Clairement pour tout point y
de Y il existe un chemin g y de y vers un certain y 0 ∈ Y 0 . Posons :
H : X 0 × I = A × I ∐ X ∗ × I → Y; (a, t) ↦→ f (a); (x ∗ , t) ↦→ g f (x ∗ )(t)
H est continue sur A × I puisque f l’est et H est aussi continue sur X ∗ × I puisque
les g f (x ∗ ) sont continues et H −1 (U) ∩ (X ∗ × I) = ∪ x ∗ ∈X ∗ {x∗ } × g −1 (U) est un ouvert si
f (x ∗ )
U est un ouvert de Y vu que X ∗ est discret. Ainsi H est une homotopiede f | X 0 vers
une application cellulaire.
Supposons donnée une application cellulaire g n : X n → Y n et une homotopie
h n : X n × I → Y avec f | X n ≃ i n ◦ g n où i n est l’inclusion de Y n dans Y. On vient
de montrer que la paire (Y, Y n+1 ) est (n+1)-connexe, c’est-à-dire que l’inclusion
i n+1 : Y n+1 → Y est une (n+1)-équivalence et donc on peut appliquer le lemme 6.19

2. APPROXIMATION D’ESPACES TOPOLOGIQUES PAR DES CW-COMPLEXES 75
à :
s n i 0
S n × I
h n ◦(j×id)
i 1
g n ◦j
S n
D n+1 f ◦J
Y i n+1
Y n+1
˜
h j n+1
˜
g j
n+1
Dn+1
i 0
D n+1 × I
où j : S n → X n est une application de collage et J : D n+1 → X l’application induite.
Cela nous permet de définir une application :
i 1
et une homotopie :
˜g n+1 : X n ∪ ∐ l∈L D n+1
l
→ Y n+1
x n ↦→ g n (x n )
x l ↦→ ˜g l n+1 (x l)
˜h n+1 : X n × I ∪ ∐ l∈L D n+1
l
× I → Y
(x n , t) ↦→ h n (x n , t)
(x l , t) ↦→ ˜h l n+1 (x l, t)
qui, par commutativité du diagramme, induisent g n+1 : X n+1 → Y n+1 et h n+1 :
X n+1 × I → Y avec i n+1 ◦ g n+1 ≃ f | X n+1 via h n+1 .
□
2. Approximation d’espaces topologiques par des CW-complexes
NOTATION 6.29.
On note hU la catégorie des espaces topologiques avec, comme morphismes, les
classes d’équivalence d’applications homotopes.
THÉORÈME 6.30.
Il existe un foncteur Γ : hU → hU et une transformation naturelle γ : Γ → Id qui à tout
espace topologique X associe un CW-complexe ΓX et une équivalence faible γX : ΓX → X.
En d’autres mots pour tout espace topologique X il existe un CW-complexe ΓX et une
équivalence faible γX : ΓX → X telle que pour toute application f : X → Y il existe une

76 6. LES CW-COMPLEXES
application, unique à homotopie près, Γ f : ΓX → ΓY faisant commuter homotopiquement
le diagramme suivant :
ΓX Γ f ΓY
γX
X
De plus si X est n-connexe pour un n 1 alors ΓX peut être choisi à un seul sommet
et sans q-cellules pour 1 q n.
f
Y
γY
DÉMONSTRATION. Pour tout espace topologique X supposons donné un CWcomplexe
ΓX et une équivalence faible γX : ΓX → ΓY. Soit f : X → Y une
application quelconque.
γX
ΓX
X
f
Par le théorème 6.22 γY ∗ : [ΓX, ΓY] → [ΓX, Y] est une bijection. Ainsi comme
on veut [ f ◦ γX ] = [ γY ◦ Γ f ] [ ] [ ] [ ]
= γY ∗ Γ f on doit avoir Γ f = γY
−1
∗ f ◦ γX D’où
l’existence, l’unicité et la fonctorialité.
Comme les groupes d’homotopie sont défini par rapport à un point de base
on peut supposer que X est connexe par arcs et se restreindre aux espaces et aux
applications basés. Construisons ΓX comme une colimit d’inclusions cellulaires :
ΓY
i 1
X 1
γ 1
X
i
... n 2
X n
X n+1
...
γ 2 γ n
γ n+1
X
Soit X 1 un wedge de sphères S q1 , une pour tout couple (q,j) où j : S q → X est un
représentant d’un générateur de π q (X). Sur le (q,j)-ème sommand on pose γ 1 = j.
Clairement l’application γ 1 : X 1 → X ainsi définie induit un homomorphisme de
groupe (γ 1 ) ∗ : π q (X 1 ) → π q (X) surjectif pour tout q 1. On munit X 1 de la structure
de CW-complexe induite par celle des sphères.
On dispose maintenant d’un CW-complexe X 1 et d’une application γ 1 qui
induit des homomorphismes de groupe (γ 1 ) ∗ surjecifs partout et injectifs pour q=0.
On va construire par induction une famille de CW-complexes X n de plus en plus
grands sur lesquels on définit des applications γ n qui induisent des applications
toujours surjectives et injectives pour q¡n. La première étape étant déjà faite fixons
un entier n¿1, supposons d’avoir des CW-complexes X 1 , ..., X n de plus en plus
grands avec les inclusions i 1 , ..., i n−1 et des applications γ 1 , ..., γ n avec γ m ◦i m−1 = γ m−1
et (γ m ) ∗ : π q (X m ) → π q (X) surjectif pour tout q, injectif pour tout q m et cela pour
tout m n.
Y
γY

2. APPROXIMATION D’ESPACES TOPOLOGIQUES PAR DES CW-COMPLEXES 77
Posons X n+1 = X n ∪ (∨ ( f,g) (S n ∧ I + )) où le wedge se fait sur toutes les paires
d’applications f, g : S n → X n avec [ f ] [ g ] mais [ γ n ◦ f ] = [ γ n ◦ g ] dans π n (X).
Attachons ensuite le (f,g)-ème smash à X n en idéntifiant (s,1) avec f(s) et (s,0)
avec g(s) pour tout s ∈ S n et posons X n+1 = X n+1 / ∼. Ainsi i n ◦ f ≃ i n ◦ g via
H : S n ∧ I + → X n+1 ; (s, t) → [s, t] ce qui rend injectif l’homomorphisme induit entre
les groupes d’homotopies en degré n.
Définissons γ n+1 : X n+1 → X par γ n sur X n et par une homotopie basé entre
γ n ◦ g et γ n ◦ f sur le (f,g)-ème smash S n ∧ I + :
S n
f
g
X n
γ n
γ n+1
X
(X n ∪ S n ∧ I + )/ ∼
Ainsi γ n+1 ◦ i n = γ n et (γ n+1 ) ∗ : π q (X n+1 ) → π q (X) est toujours surjectif (vu que (γ n ) ∗
l’est) et injectif pour tout q n (pour q=n c’est grâce a la construction qu’on vient
de faire, si q¡n on remarque que le q-ème groupe d’homotopie reste le même vu
que la q-ème squelette n’a pas changé).
Comme S n × I est un CW-complexe admettant [⋆] × I comme sous complexe
on a que le quotient S n ∧ I + est un CW-complexe admettant S n × ∂I comme sous
complexe. Vu que f et g sont cellulaires la propriété du push-out nous permet de
conclure que X n+1 est un CW-complexe contenat X n comme sous complexe. Notons
ΓX la colimite suivante :
...
X n
X n+1
r n r n+1
ΓX γ
n γ n+1
γ
X
X 1 X 2
r 1
r
2
γ γ 1 2
Par unicité de la colimite il existe un unique γ (donné par ∪γ n vu que ΓX = ∪X n )
faisant commuter le diagramme. En appliquant le foncteur π k à ce diagramme on
obtient que le k-ème groupe d’homotopie de la colimite est la colimite des groupes
de k-homotopie qui sont constant à partir de X k . Il en résulte que π k (ΓX) = π k (X k )
et γ ∗ : π k (ΓX) → π k (X) vaut (γ| k ) ∗ : π k (X k ) → π k (X) qui est un isomorphisme. □
THÉORÈME 6.31.
Pour toute paire d’espaces topologiques (X,A) et pour toute CW-approximation γ ′ : ΓA →
A il existe une CW-approximation γ : ΓX → X admettant ΓA comme sous complexe et telle
que γ| ΓA = γ ′ . De plus si f : (X, A) → (Y; B) est une application entre paires topologiques

78 6. LES CW-COMPLEXES
alors il existe une application unique à homotopie près Γ f : (ΓX, ΓA) → (ΓY, ΓB) telle que
le diagramme suivant commute à homotopie près :
(ΓX, ΓA)
γ
(X, A)
Γ f
f
(ΓY, ΓB)
γ
(Y, B)
Si (X,A) est n-connexe (ΓX, ΓA) peut être choisi sans q-cellules relatives pour tout q n.
DÉMONSTRATION. La preuve est similaire à la précédente. On se limite à donner
les étapes principales. Sans perte de généralité on peut supposer que X est connexe
par arcs avec un point de base x ∈ A ⊂ X. Comme avant on commence une
récurrence avec X 1 = ΓA ∨ (q,j) S n sur lequel on définit γ 1 : X 1 → X par γ ′ sur ΓA et
par j : S q → X sur le (q,j)-ème sommand. La même méthode de la démonstration
précédente nous permet de construire ΓX sur ΓA (qui est donc un sous complexe)
et clairement on a γ| Γa = γ ′ . Si (X,A) est n-connexe alors i ∗ : π q (A) → π q (X) est
une bijection pour tout q¡n et une surjection si q=n. Donc on peut commencer la
récurrence en posant X n = ΓA et γ : X n → X ; γ = i ◦ γ ′ et on a π q (X n ) = π q (ΓA)
π q (A) π q (X) pour tout q¡n. Si q=n la suite d’isomorphismes ci-dessus devient une
surjection et donc, suivant la construction déjà faite, on n’a pas besoin de q-cellules
relative pour tout q n.
Soit maintenant f : (X, A) → (Y; B) une application entre paires topologiques.
Par le théorème précédente γ ′ f : ΓA → ΓB existe déjà et on l’étend sur ΓX grâce au
lemme 6.19 :
ΓA
γ ′
A f B
h
ΓA × I
γ ′
γ ′ f
ΓB
ΓA
X
f
Y ΓY
γ ′
γ
˜h
Γ f
ΓX
ΓX × I
ΓX
L’application h est l’homotopie de γ◦Γ f vers f ◦γ et Γ f fait commuter le diagramme
voulu grâce à l’homotopie ˜h. De façon analogue on prouve l’unicité à homotopie
près de Γ f .
□
Parfois si on a des connaissences sur deux sous-espaces recouvrant, A et B
d’un espace X on peut en déduire des informations sur X. Pour cette raison on
s’intéresse aux défintions suivantes :
DÉFINITION 6.32.
Un triple d’espaces topologiques (X,A,B) est une famille de trois espaces avec B ⊂

2. APPROXIMATION D’ESPACES TOPOLOGIQUES PAR DES CW-COMPLEXES 79
A ⊂ X. Une triade (X ;A,B) est une famille de trois espaces topologiques avec A ⊂ X
et B ⊂ X. Une triade excisive (X ;A,B) est une triade vérifiant X = int(A) ∪ int(B).
Une CW-triade (X ;A,B) est un CW-complexe X munit de deux sous complexes A
et B avec X = A ∪ B.
Dans le but de prouver un théorème d’approximation des triades topologiques
par des CW-complexes on a besoin de ce qui suit.
DÉFINITION 6.33.
Soit i : C → A et j : C → B deux applications. Le double mapping cylinder de i et j
est l’espace M(i, j) = A ∪ (C × I) ∪ B/ ∼ obtenu en collant A sur C × {0} le long de i
et B sur C × {1} le long de j.
REMARQUE 6.34.
Dans la même situation de la définition ci-dessus on a une application évidente du
double mapping cylinder vers le push-out de i et j donnée par q : M(i, j) → A ∪ C B ;
(c, t) ↦→ i(c) et qui envoie A sur A et B sur B.
LEMME 6.35.
Si i : C → A est une cofibration et j : C → B une application quelconque alors q :
M(i, j) → A ∪ C B est une équivalence d’homotopie.
DÉMONSTRATION. Soit r : Mi → A la retraction habituelle et k ′ : A → Mi
l’inclusion. Posons h : C → Mi ; c ↦→ (c, 1). On a que r et k ′ sont des inverses
homotopiques et r ◦ k ′ = id A . Comme i est une cofibration il existe k : A → Mi avec
k ◦ i = j, r ◦ k ≃ C id A et k ◦ r ≃ C id Mi . Considérons les deux push-out :
j
C
B
i
A
A ∪ C B
C
h
Mi
j
B M(i, j)

80 6. LES CW-COMPLEXES
qui par la propriété universelle donnent lieu à :
j
C
h
Mi
π
r
k
B M(i, j)
q
A ∪ C B
g
M(i, j)
On remarque que g ◦ q| Im(B) = id et g ◦ q| Im(Mi) = π ◦ k ◦ r, mais k ◦ r ≃ id et donc
g ◦ q ≃ id. De la même manière on montre que q ◦ g ≃ id.
□
A
REMARQUE 6.36.
Si dans la situation du lemme, i est une cofibration et j une inclusion avec X = A∪B
et C = A ∩ B on peut voir q comme une équivalence d’homotopie entre triades :
q : (M(i, j); A ∪ (C × [0, 2/3 [), (C×] 1/3, 1]) ∪ B) → (A ∪ C B, A, B)
dont la première est une triade excisive. Ceci s’applique en particulier si (X ;A,B)
est une CW-triade en posant C = A ∩ B et i : C → A, j : C → B les deux inclusions.
On a X = A ∪ C B et i est une cofibration vu que (A,C) vérifie la PEH (C est un
CW-complexe car intersection de deux sous complexes). Ainsi pour toute CWtriade
(X ;A,B) il existe une triade excisive (x,a,b) homotopiquement équivalente à
(X ;A,B).
PROPOSITION 6.37.
Si e : (X; A, B) → (X ′ ; A ′ , B ′ ) est une application entre triades excisives telle que e : C =
A ∩ B → C ′ = A ′ ∩ B ′ , e : A → A ′ et e : B → B ′ sont des équivalences faibles, alors
e : X → X ′ est une équivalence faible.
DÉMONSTRATION. Par le lemme 5.15 il suffit de prouver que si on a deux applications
f : D n+1 → X ′ et g : S n → X avec f | S n = e ◦ g alors il existe ˜g : D n+1 → X
telle que ˜g| S n = g et f ≃ S n e ◦ ˜g :
e
X
X ′
˜g
f
g
S n
i
D n+1

2. APPROXIMATION D’ESPACES TOPOLOGIQUES PAR DES CW-COMPLEXES 81
Sans perte de généralité on peut supposer que g est la restriction d’une application
ĝ : U → X avec S n ⊂ U ⊂ D n , U un ouvert et f | S n = e ◦ ĝ. En effet si on pose :
d : D n+1 × I → D n+1
{
2x/(2 − t), si |x| (2 − t)/2 ;
(x, t) ↦→
x/|x|, si |x| (2 − t)/2.
on a que d(x, 0) = x pour tout x ∈ D n+1 et d(x, t) = x pour tout x ∈ S n et t ∈ I.
L’application d tire la boule de rayon inférieure à 1/2 sur toute la boule de rayon
inférieure à 1 et ecrase la boule creuse de rayon entre 1/2 et 1 sur la sphère de
rayon 1. Posons U = { x ∈ D n+1 | |x| > 1/2 } et définissons ĝ = g ◦ d 1 : U → X et
f ′ = f ◦ d 1 : D n+1 → X ′ . Comme on avait e ◦ g = f | S n on a e ◦ ĝ = f ′ | U et clairement
ĝ| S n = g. De plus f ′ ≃ S n f via d et donc la conclusion est vraie pour f si et seulement
si elle est vraie pour f’.
Avec ces hypothèses sur g et f on prétend que les ensembles fermés suivants
sont disjoints : C A = g −1 (X\int(A))∪ f −1 (X ′ \ A ′ ) et C B = g −1 (X\int(B))∪ f −1 (X ′ \ B ′ ).
Considérons Ĉ A = ĝ −1 (X \ int(A)) ∪ f −1 (X ′ \ A ′ ) et Ĉ B = ĝ −1 (X \ int(B)) ∪ f −1 (X ′ \ B ′ )
alors C A ⊂ Ĉ A et C B ⊂ Ĉ B , ainsi il suffit de prouver que Ĉ A ∩ Ĉ B = ∅. Comme on
a X = int(A) ∪ int(B) alors X \ int(A) = int(B) \ int(A) et X \ int(B) = int(A) \ int(B)
donc (X \ int(A)) ∩ (X \ int(B)) = ∅ et donc ĝ −1 (X \ int(A)) ∩ ĝ −1 (X \ int(B)) = ∅. De
même on montre que f −1 (X ′ \A ′ )∩ f −1 (X ′ \B ′ ) = ∅. Or (X ′ \A ′ ) ⊂ (X ′ \int(A ′ )) donc
f −1 (X ′ \A ′ ) ⊂ f −1 (X ′ \int(A ′ )) ainsi f −1 (X ′ \ A ′ ) ⊂ f −1 (X ′ \ int(A ′ )) ⊂ f −1 (X ′ \int(A ′ ))
et donc f −1 (X ′ \ A ′ ) ∩ f −1 (X ′ \ B ′ ) = ∅. Il en résulte que si v ∈ Ĉ A ∩ Ĉ B alors en fait
v ∈ (ĝ −1 (X \ int(A)) ∩ f −1 (X ′ \ B ′ )) ⊂ (ĝ −1 (int(B)) ∩ f −1 (X ′ \ B ′ )). Mais ĝ −1 (int(B)) est
un ouvert donc il existe un élément u ∈ ĝ −1 (int(B)) ∩ f −1 (X ′ \ B ′ ) et alors ĝ(u) ∈ B
et f (u) B ′ ce qui contredit f | U = e ◦ ĝ. On en déduit que Ĉ A ∩ Ĉ B = ∅ et donc
C A ∩ C B = ∅.
Puisque C A et C B sont deux fermés disjoints dans D n+1 on peut subdiviser
D n+1 comme CW-complexe de façon suffisamment fine pour que aucune cellule ne
rencontre à la fois C A et C B . Posons K A l’union de toutes les cellules σ telles que
g(σ ∩ S n ) ⊂ int(A) et f (σ) ⊂ A ′ . De la même façon ôn définit K B . Si une cellule σ
ne rencontre pas C A alors σ ∈ K A et si σ ne rencontre pas C B alors σ ∈ K B donc
D n+1 = K A ∪ K B . En appliquant le lemme 6.19 (version graphiquement réduite
puisque e ◦ g = f | S n et donc h est l’homotopie constante) on obtient une application
ḡ qui fait commuter le triangle du bas :
e
A ∩ B
A ′ ∩ B ′
ḡ
g
f
S n ∩ K A ∩ K B
i
K A ∩ K B
et une homotopie ¯h : (K A ∩K B )×I → A ′ ∩B ′ de f vers e◦ḡ relativement à S n ∩K A ∩K B .
Définissons ḡ A : K A ∩(K B ∪S n ) → A par g sur K A ∩S n et ḡ sur K A ∩K B . Comme f = e◦g
sur K A ∩ S n et f ≃ h e ◦ g sur K A ∩ K B , ¯h induit une homotopie f | KA ∩(S n ∪K B ) ≃¯hA e ◦ g A
relativement à S n ∩ K A . On applique encore une fois le lemme 6.19 aux applications

82 6. LES CW-COMPLEXES
ḡ A et ¯h A :
K A
i 0
K A ∩ (K A ∪ S n )
K A ∩ (K A ∪ S n ) × I
K A ∩ (K A ∪ S n )
¯h A
ḡ A
B ′ e
A ′
f
˜h A
˜g
A
K A × I
i 0
On a un diagramme symétrique en K A et K B qui nous donne deux applications
˜g A et ˜g B qui coïncident sur K A ∩ K B et qui définissent l’application g : D n+1 → X
voulue. De même ˜h A et ˜h B coïncident sur (K A ∩ K B ) × I et définissent l’homotopie
cherchée de f vers e ◦ ˜g relativement à S n .
□
i 1
i 1
K A
THÉORÈME 6.38.
Soit (X ;A,B) une triade excisive et notons C = A ∩ B. Il existe alors une CW-triade
(ΓX; ΓA, ΓB) et une application γ : (ΓX; ΓA, ΓB) → (X; A, B) telle que , si on pose
ΓC = ΓA ∩ ΓB, on a des équivalences faibles : γ : ΓC → C, γ : ΓA → A, γ : ΓB → B et
γ : ΓX → X. Si (A,C) est n-connexe alors (ΓA, ΓC) peut être choisi sans q-cellules pour
tout q n, de même pour (B,C).
Comme dans les deux théorèmes analogues précédents, l’approximation des triades
excisives par des CW-triades est fonctorielle et γ est une transformation naturelle vers
l’identité, à homotpie près.
DÉMONSTRATION. Considérons une approximation γ : ΓC → C et étendonsla
à deux approximations γ : (ΓA, ΓC) → (A, C) et γ : (ΓB, ΓC) → (B, C). Posons
ΓX = ΓA ∪ ΓC ΓB, le push-out des inclusions de ΓC dans ΓA et ΓB :
ΓC
ΓA
ΓB ΓX
A
γ
γ
B X
Considérons l’application γ : (ΓX; ΓA, ΓB) → (X; A, B) qui est une application
entre triades par commutativité du diagramme du push-out. Par construction on a
ΓC = ΓA ∩ ΓB et par le théorème analogue sur les paires on a que si (A,C) ou (B,C)
sont n-connexe alors (ΓA, ΓC) ou (ΓB, ΓC) sont de la forme voulue. Par ce même
théorème γ : ΓC → C, γ : ΓA → A et γ : ΓB → B sont des équivalences faibles.
Soit f : (X ′ ; A ′ , B ′ ) → (ΓX; ΓA, ΓB) une équivalence faible entre la triade excisive
(X’ ;A’,B’) et la CW-triade (ΓX; ΓA, ΓB) (une telle application existe par le lemme
6.36). Considérons la composée :
γ
(X ′ ; A ′ , B ′ )
f
(ΓX; ΓA, ΓB)
γ
(X; A, B)

2. APPROXIMATION D’ESPACES TOPOLOGIQUES PAR DES CW-COMPLEXES 83
Clairement γ ◦ f : C ′ → C, γ ◦ f : A ′ → A et γ ◦ f : B ′ → B sont des équivalences
faibles et donc par la proposition précédentes γ ◦ f : X ′ → X est une équivalence
faible. Or f : X ′ → ΓX est une équivalence faible, donc γ : ΓX → X l’est aussi.
Il reste à prouver la fonctorialité de Γ et la naturalité de γ. Soit f (X; A, B) →
(X ′ ; A ′ , B ′ ) une application entre triades excisives. En faisant appelle au théorème
d’approximation des paires on a :
ΓC
ΓA
ΓB ΓX
ΓA ′
Γ f
Γ f A
γ
ΓB ′ ΓX ′
Γ f B
Γ f existe puisque Γ f A et Γ f B sont des prolongement de Γ f C et il s’agit d’une application
entre triade par commutativité du diagramme. Finalement on a le carré
commutatif suivant :
(ΓX; ΓA, ΓB)
γ
(X; A, B)
Γ f
f
γ
(ΓX ′ ; ΓA ′ , ΓB ′ )
γ
(X ′ ; A ′ , B ′ )
donné par le fait que ΓX = ΓA∪ ΓC ΓB et Γ f A , Γ f B font commuter les carrés analogues.
□

CHAPITRE 7
Le théorème d’excision en homotopie
Pour une triade excisive (X ;A,B) l’inclusion (A, A∩B) → (X, B) n’induit pas forcement
un isomorphisme entre les groupes d’homotopie, ce qui est d’empêchement
pour les calcules de ces groupes. (Contrairement a ce qui se passe pour les groupes
d’homologie pour lesquels on dispose de la suite exacte de Mayer-Vietoris). Le but
de ce petit chapitre est de trouver des hypothèses pour que l’inclusion induise des
isomorphismes.
DÉFINITION 7.1.
Soit n¿1 un entier. Une application entre paires f : (A, C) → (X, B) est une n-
équivalence si ( f ∗ ) −1 (Im(π 0 (B) → π 0 (X))) = Im(π 0 (C) → π 0 (A)) et f ∗ : π q (A, C) →
π q (X, B) est une bijection pour q¡n et une surjection pour q = n.
REMARQUE 7.2.
La première condition de la définition ci-dessus est satisfaite si par exemple X et A
sont connexes par arcs.
On veut montrer que si (X ;A,B) est une triade excisive avec C = A ∩ B ∅
et (A, C) (n-1)-connexe et (B,C) (m-1)-connexe pour des entiers m 2, n 1, alors
l’inclusion (A, C) → (X, B) est une (m+n-2)-équivalence. Pour prouver ce résultat
on utilise une suite exacte qu’on va maintenant construire.
PROPOSITION 7.3.
Soit (X ;A,B) un triple avec un point de base choisi en B. La longue suite suivante est alors
exacte :
... π q (A, B)
i ∗
π q (X, B)
J ∗
π q (X, A)
k ∗ ◦∂ π q−1 (A, B) ...
où i,j et k : (A, ⋆) → (A, B) sont les inclusions et ∂ est la restriction ∂ : π q (X, A) →
π q (A) π q (A, ⋆).
DÉMONSTRATION. La preuve se fait par une chasse au diagramme sur les suites
exactes des paires (X,A), (X,B) et (A,B).
□
85

86 7. LE THÉORÈME D’EXCISION EN HOMOTOPIE
DÉFINITION 7.4.
Le groupe d’homotopie d’une triade (X ;A,B) avec point de base ⋆ ∈ C = A ∩ B est
le groupe π q (X; A, B) = π q−1 (P(X, ⋆, B), P(A, ⋆, C)) où P(X, ⋆, B) est l’ensemble des
chemins dans X qui commencent en ⋆ et qui se terminent dans B.
REMARQUE 7.5.
Pour une paire topologique (X,A) avec point de base ⋆ ∈ A on remarque que
π q−1 (P(X, ⋆, A)) = [ S q−1 ; ((I, 0, 1); (X, ⋆, A)) ] = [ (S q−1 × I, S q−1 × {0} , S q−1 × {1}); (X, ⋆, A) ] =
= [ (D q , S q−1 ); (X, A) ] = π q (X, A)
si on ne considère que des applications basées. On observe aussi que
π q (X; A, B) = [ (I q , I q−2 × {1} × I, I q−1 × {1} , (∂I q−2 × I ∪ I q−2 × {0}) × I q−1 × {0}); (X; A, B, ⋆) ]
Cela donne lieu à la suite exacte qui nous permettera de prouver le théorème de
excision en homotopie, il s’agit de la suite exacte de la paire (P(X, ⋆, B), P(A, ⋆, C)) :
π q (P(X, ⋆, B), P(A, ⋆, C)) π q−1 (P(A, ⋆, C)) π q−1 (P(X, ⋆, B)) π q−1 (P(X, ⋆, B), P(A, ⋆, C))
qui, en vertu des remarques ci-dessus, devient :
... π q+1 (X; A, B) π q (A, C) π q (X, B) π q (X; A, B) ...
Il suffit donc de prouver que π q (X; A, B) = 0 pour des bons q pour avoir que
π q (A, C) π q (X, B) en les dégrés corréspondants. On a besoin des lemmes suivants :
LEMME 7.6.
Soit (X,A) une paire topologique et γ : (ΓX, ΓA) → (X, A) une CW-approximation. On a
alors que π q (ΓX, ΓA) π q (X, A) via l’application induite γ ∗ .
DÉMONSTRATION. Il suffit d’appliquer le lemme des cinq à la suite exacte de la
paire (ΓX, ΓA) et (X,A) :
π q (ΓA)
π q (ΓX)
π q (ΓX, ΓA)
π q−1 (ΓA)
π q−1 (ΓX)
γ ∗
γ ∗
γ ∗
π q (A) π q (X) π q (X, A) π q−1 (A) π q−1 (X)
Les carrés commutent par naturalité de γ et les quatre flèches verticales externes
sont des isomorphismes par construction.
□
γ ∗
γ ∗
LEMME 7.7.
Soit (X ;A,B) une triade excisive et γ : (ΓX; ΓA, ΓB) → (X; A, B) une CW-approximation.
On a alors que π q (ΓX; ΓA, ΓB) π q (X; A, B) via l’application induite γ ∗ .

7. LE THÉORÈME D’EXCISION EN HOMOTOPIE 87
DÉMONSTRATION. On considère la suite exacte qu’on vient de construire et on
applique de la même façon que à la preuve précédente le lemme des cinq :
π q (ΓA, ΓC)
π q (ΓX, ΓB)
π q (ΓX; ΓA, ΓB)
π q−1 (ΓA, ΓC)
π q−1 (ΓX, ΓB)
γ ∗
γ ∗
γ ∗
π q (A, C) π q (X, B) π q (X; A, B) π q−1 (A, C) π q−1 (X, B)
où les quatres flèches verticales externes sont des isomorphismes par le lemme
précédent.
□
γ ∗
γ ∗
THÉORÈME 7.8.
Si (X ;A,B) est une triade excisive avec C = A ∩ B ∅ et (A,C) (n-1)-connexe et (B,C)
(m-1)-connexe pour des entiers m 2, n 1 ; alors π q (X; A, B) = 0 pour tout choix du
point de base ⋆ ∈ C et 2 q m + n − 2.
DÉMONSTRATION. Par le lemme précédent on peut supposer que (X ;A,B) est
une CW-triade car cela ne change pas les groupes d’homotopie. Par hypothèse de
connexité on peut supposer que la paire (A,C) n’a pas de q-cellules relatives pour
tout q n et la paire (B,C) n’a pas de p-cellules relatives pour tout p m en vertu
du théorème d’approximation des triades excisives. On peut aussi supposer que
(A,C) et (B,C) ont au moins une cellule relative car autrement on aurait A=C et
X=B (ou B=C et X=A) et donc π q (A, C) = 0 = π q (X, B) (ou π q (A, C) = π q (X, B)) ce
qui permettrait de conclure que π q (X; A, B) = 0.
Pour montrer que π q (X; A, B) = 0 on va considérer una application pointée
f : I q → X satisfaisant les hypothèses du groupe d’homotopie d’une triade et
montrer qu’elle est homotope à l’application nulle. Par compacité de I q on peut
supposer que X a un nombre fini de cellules, ce qui nous permet de faire les deux
inductions suivantes :
Si le résultat est vrai quand (A,C) a une seule cellule alors il vrai en général par
induction car si on considère les espaces C ⊂ A ′ ⊂ A où A’ est tel que A est obtenu
en attachant une cellule à A’ et (A’,C) a une cellule en moins que (A,C) alors en
posant X ′ = A ′ ∪ C B on a que π q (X ′ ; A ′ , B) = 0 = π q (X; A, X ′ ). La première égalité est
véréfiée par hypothèse de recurrence et la deuxième puisque (A, A ∩ X ′ ) = (A, A ′ )
est obtenue en ajoutant une cellule. On applique le lemme des cinq à la suite exacte
du triple (A ;A’,C) et (X ;X’,B) :
π q (A, A ′ )
π q (A ′ , C)
π q (A, C)
π q−1 (A, A ′ )
π q−1 (A ′ , C)
π q (X, X ′ ) π q (X ′ , B) π q (X, B) π q−1 (X, X ′ ) π q−1 (X ′ , B)
Les carrés commutent car il s’agit essentiellemment d’inclusions et les quatre
flèches verticales externes sont des isomorphismes puisque π q (X ′ ; A ′ , B) = 0 =
π q (X; A, X ′ ).

88 7. LE THÉORÈME D’EXCISION EN HOMOTOPIE
De même si le résultat est vrai lorsque (B,C) a une seule cellule alors il est vrai
par induction en toute généralité car si on pose C ⊂ B ′ ⊂ B tel que (B,B’) a une
cellule et (B,C) a une cellule de plus que (B’,C) alors en posant X ′ = A ∪ C B ′ le
résultat est vrai par hypothèse de recurrence pour (X’ ;A,B’) et (X ;X’,B) donc pour
(A, C) → (X ′ , B ′ ) et (X ′ , B ′ ) → (X, B). Ainsi il est vrai pour (A, C) → (X ′ , B ′ ) → (X, B).
Par tout ce qui precède on peut supposer que (X ;A,B) est une CW-triade avec
C = A ∩ B, X = A ∪ C B, A = C ∪ D m et B = C ∪ D n où m 2 et n 1. Choisissons
un point de base ⋆ ∈ C et considérons une application
f : (I q , I q−2 × {1} × I, I q−1 × {1} , (∂I q−2 × I ∪ I q−2 × {0}) × I q−1 × {0}) → (X; A, B, ⋆)
On veut montrer que f est homotope à l’application constante quelque soit 2 q
m + n − 2.
Pour deux points x ∈ int(D m ) et y ∈ int(D n ) on a les inclusions de triades
suivantes : (A; A, A \ {x}) ⊂ (X \ { y } , A, X \ { x, y } ) ⊂ (X; A, X \ {x}) ⊃ (X; A, B). Comme
D m \ {x} S m−1 et D n \ { y } S n−1 on a que les deux premières triades et les
deux dernières ont le même type d’homotopie vu que X est obtenu en ajoutant
une boule D m à C pour former A et une boule D n à C pour construire B. La
première et la troisième inclusion induisent donc des isomorphismes entre les
groupes d’homotopie des triades. Ainsi par la suite exacte d’une triade on a que
π q (A; A, A ′ ) = 0 pour tout sous-espace A ′ ⊂ A. On veut montrer que f est homotope
à une application f’ dont l’image est dans (X \ { y } ; A, X \ { y, x } ) ≃ (A; A, A ′ ) pour
des certains x et y. Cela suffira pour prouver que f est homotopiquement nulle.
Soit D m 1/2 ⊂ Dm et D n 1/2 ⊂ Dn les boules de rayon 1/2. On peut diviser I q en
sous-cubes I q a de telle sorte que f (Ia) q ⊂ int(D n ) si I q a ∩ D m ∅ et de même pour
1/2
D n . On admet que f est homotope à une application g telle que la restriction au
(m-1)-squelette de I q ne recouvre pas D m 1/2 et la restriction au (n-1)-squelette de Iq ne
recouvre pas D n 1/2 . On admet aussi que la dimension de g−1 (y) est au plus q-n, où
y est un point de D n qui n’est pas touché par la restriction de g au (n-1)-squelette
1/2
de I q . Soit p : I q → I q−1 la projection sur les premières (q-1) coordonnèes. Posons
K = p −1 (p(g −1 (y))), on a alors dimK dimg −1 (y) + 1 q − n + 1 m − 1. Ainsi
g(K) ne recouvre pas D m 1/2 . Soit x ∈ Dm 1/2 \ g(K), comme g(∂Iq−1 × I) ⊂ A on a que
p(g −1 (x)) ∪ ∂I q−1 et p(g −1 (y)) sont deux fermés disjoints de I q−1 . Par le théorème
de Uryshon il existe une application v : I q−1 → I avec v(p(g −1 (x)) ∪ ∂I q−1 ) = 0 et
v(p(g −1 (y))) = 1.
Posons h : I q+1 → I q ; (r, s, t) ↦→ (r, s − stv(r)) où r ∈ I q−1 et s, t ∈ I. Posons aussi
f ′ = g◦h 1 où h 1 (r, s) = h(r, s, 1). On a alors que h(r, s, 0) = (r, s) donc g◦h(r, s, 0) = g(r, s)
et h(r, s, t) = (r, s) si r ∈ ∂I q−1 . De plus si r ∈ p(g −1 (x)) alors h(r, s, t) = (r, s) et si
r ∈ p(g −1 (y)) alors h(r, s, t) = (r, s − st). Ainsi h est une homotopie entre applications
de tetraèdre qui va de g vers f’ et l’image de f’ est dans (X \ { y } ; A, X \ { y, x } ) □
COROLLAIRE 7.9.
Si (X ;A,B) est une triade excisive avec C = A ∩ B ∅ et (A, C) (n-1)-connexe et (B,C)

7. LE THÉORÈME D’EXCISION EN HOMOTOPIE 89
(m-1)-connexe pour des entiers m 2, n 1, alors l’inclusion (A, C) → (X, B) est une
(m+n-2)-équivalence.
DÉMONSTRATION. Il suffit d’appliquer le résultat du théorème ci-dessus à la
suite exacte d’une triade.
□
COROLLAIRE 7.10.
Soit f : X → Y une application basée entre deux espaces pointés non-dégénérés et (n-1)-
connexes pour un n 2. On a alors que Cf est (n-1)-connexe et π q (M f, X) → π n (C f, ⋆)
est un isomorphisme.
DÉMONSTRATION. Sans preuve.
□

CHAPITRE 8
Homologie cellulaire
1. Axiomes pour une théorie d’homologie
DÉFINITION 8.1.
Une application entre paires topologiques f : (X, A) → (Y, B) est une équivalence
faible si les applications f : X → Y et f | A : A → B sont des équivalences faibles.
THÉORÈME 8.2.
Soit G un groupe abélien. Pour tout entier q ∈ Z il existe un foncteur H q de la catégorie
des paires topologiques, avec les classes d’applications homotopes comme morphismes,
vers la catégorie des groupes abéliens et une transformation naturelle ∂ : H q (X, A; G) →
H q−1 (A, ∅; G) = H q−1 (A; G) qui satisfont et qui sont carctérisés par les axiomes suivants :
(1) Si X est un point alors H 0 (X) = G et H q (X) = 0 pour tout q 0.
(2) Si (X ;A,B) est une triade excisive alors l’inlcusion (A, A ∩ B) → (X, B) induit
un isomorphisme H q (A, A ∩ B; G) → H q (X, B; G) pour tout entier q.
(3) Soit i : A → X et j : (X, ∅) → (X, B) les inclusions, alors la lungue suite suivante
est exacte :
... H q (A; G)
H q (i) H q (X; G)
H q (j) H q (X, A; G)
∂
H q−1 (A; G) ...
(4) Si (X,A) est l’union disjointe de l’ensemble de paires (X k , A k ) k∈K alors les inclusions
i k : (X k , A k ) → (X, A) induisent un isomorphisme ∑ k H q (X k , A k ; G) →
H q (X, A; G) pour tout entier q.
(5) Soit f : (X, A) → (Y, B) une équivalence faible, alors H q ( f ) : H q (X, A; G) →
H q (X, B; G) est un isomorphisme pour tout entier q.
THÉORÈME 8.3.
Soit G un groupe abélien. Pour tout entier q ∈ Z il existe un foncteur H q de la catégorie des
CW-paires , avec les classes d’applications cellulaires homotopes par homotopie cellulaire
comme morphismes, vers la catégorie des groupes abéliens et une transformation naturelle
∂ : H q (X, A; G) → H q−1 (A, ∅; G) = H q−1 (A; G) qui satisfont et qui sont carctérisés par les
axiomes suivants :
91

92 8. HOMOLOGIE CELLULAIRE
(1) Si X est un point alors H 0 (X) = G et H q (X) = 0 pour tout q 0.
(2) Si (X ;A,B) est une CW-triade alors l’inlcusion (A, A ∩ B) → (X, B) induit un
isomorphisme H q (A, A ∩ B; G) → H q (X, B; G) pour tout entier q.
(3) Soit i : A → X et j : (X, ∅) → (X, B) les inclusions, alors la lungue suite suivante
est exacte :
... H q (A; G)
H q (i) H q (X; G)
H q (j) H q (X, A; G)
∂
H q−1 (A; G) ...
(4) Si (X,A) est l’union disjointe de l’ensemble de paires (X k , A k ) k∈K alors les inclusions
i k : (X k , A k ) → (X, A) induisent un isomorphisme ∑ k H q (X k , A k ; G) →
H q (X, A; G) pour tout entier q.
Une telle théorie est déterminée et détermine une théorie du théorème précédent.
DÉMONSTRATION. Avant de construire explicitement une telle théorie on prouve
la dernière assertion. Si on a une théorie comme au premier théorème alors sa
restriction au CW-complexes satisfait directement toutes les conditions sauf la
deuxième pour lauqelle il suffit d’invoquer le fait, montré au chapitre 2, que
toute CW-triade (X ;A,B) est homotopiquement équivalente à une triade excisive
(X’ ;A’,B’) et donc : H q (A, A ∩ B; G) H q (A ′ , A ′ ∩ B ′ ; G) H q (X ′ , B ′ ; G) H q (X, B; G).
Inversement si on a une théorie d’homologie sur les CW-paires on se fixe
un foncteur d’approximation Γ et on pose H q (X, A; G) = H q (ΓX, ΓA; G) et H q ( f ) =
H q (Γ f ) pour toute application f : (X, A) → (Y, B). Grâce à nos connaissences sur
les CW-complexes il n’est pas difficile de se persuader que H q et ∂ satisfont aux
conditions du premier théorème.
□
DÉFINITION 8.4.
Une théorie d’homologie est une théorie satisfaisante les théorèmes qu’on vient
d’énoncer.
REMARQUE 8.5.
L’extension d’une théorie d’homologie sur les CW-complexes vers une théorie
d’homologie sur les espaces topologiques est indépendante, à isomorphisme près,
du choix du foncteur d’approximation : si γ : (ΓX, ΓA) → (X, A) et γ ′ : (Γ ′ X, Γ ′ A) →
(X, A) sont deux approximations de la paire (X,A) alors par le théorème d’approximation
des paires il existe une application φ : (ΓX, ΓA) → (Γ ′ X, Γ ′ A) faisant
commuter homotopiquement le diagramme :
(Γ ′ X, Γ ′ A)
φ
γ
′
(ΓX, ΓA) (X, A)
γ

1. AXIOMES POUR UNE THÉORIE D’HOMOLOGIE 93
Ainsi φ ∗ = γ ′−1
∗ ◦ γ ∗ est un isomorphisme donc φ est une équivalence faible et
donc une équivalence d’homotopie. On en tire que H q (ΓX, ΓA) H q (Γ ′ X, Γ ′ A).
Analoguement on montre que H q (Γ f ) = H q (Γ ′ f ).
On va maintenant construire une théorie d’homologie sur les CW-complexes.
On pose G = Z et on note H q (X, A; Z) = H q (X, A). Dans ce paragraphe toute
construction sera non réduite. Donné un CW-complexe X on construit un complexe
de chaînes C ∗ (X) dont les modules C n (X) sont les groupes abéliens libres de base
les n-cellules de X. On va définir les applications d n : C n (X) → C n+1 (X) de deux
façons différentes. Pour le faire on a besoin de quelques préliminaires.
Soit f : S n1 → S n1 une application continue et f ∗ : π n (S n ) → π n (S n ) l’homomorphisme
induit. Comme π n (S n ) Z on a que f ∗ (n) = n f ∗ (1), on appelle f ∗ (1) le
degré de f. On a que S n D n /S n−1 ΣS n−1 . Fixons les homéomorphismes suivants :
v n : D n /S n−1 → S n
(tx 1 , ..., tx n ) ↦→ ( √ 1 − (2t − 1) 2 x 1 , ..., √ 1 − (2t − 1) 2 x n , 2t − 1)
où t ∈ I et x ∈ S n−1 , ainsi v n envoie le rayon qui relie 0 à x vers la longitude passant
par (x,0) ;
et
⎛
(x 1 , ..., x n+1 ) ↦→
⎜⎝
i n : S n → ΣS n−1
1
√
Σ n i=1 x2 i
x 1 , ...,
( )
1 xn+1 + 1
√ x n ∧
⎞⎟
Σ n ⎠ 2
i=1 x2 i
τ n : (D n , S n−1 ) → (CS n−1 , S n−1 )
(tx 1 , ..., tx n ) ↦→ (x 1 , ..., x n ) ∧ (1 − t)
On note également τ n pour l’homéomorphisme induit D n /S n−1 CS n−1 /S n−1 =
ΣS n−1 .
LEMME 8.6.
Le diagramme suivant est homotopiquement commumtatif :
D n ∪ S n−1 CS n−1 q
ψ
ΣS n−1
D n /S n−1 v n
S n i n
où ψ est l’équivalence d’homotopie donnée au lemme 5.12 et q est la projection dans le
quotient.

94 8. HOMOLOGIE CELLULAIRE
DÉMONSTRATION. Clairement D n ∪ S n−1 CS n−1 D n × {0} ∪ S n−1 CS n−1 et donc tout
point dans D n ∪ S n−1 CS n−1 est de la forme (rx,s) avec x ∈ S n−1 et s, r ∈ I. Avec ces
notations on a que i n ◦ v n (rx 1 , ..., rx n ) = (x 1 , ..., x n ) ∧ r = −τ n (rx 1 , ..., rx n ) où on pose
−(x ∧ t) = x ∧ (1 − t). Ainsi l’application :
h : D n ∪ S n−1 CS n−1 × I → ΣS n−1 ;
est une homotopie de i n ◦ v n ◦ ψ vers q.
(rx, s, t) ↦→ x ∧ (r − t(r − s))
□
Revenons a notre CW-complexe X et regardons une n-cellule comme une application
entre paire j : (D n , S n−1 ) → (X n , X n−1 ). Cela induit un homéomorphisme
α : ∨ i D n /S n−1 → X n /X n−1 dont la restriction au j-ème sommand et donnée par j.
Posons q j : X n /X n−1 → S n définie par v n ◦ α −1 sur le j-ème sommand et par l’application
constante vers le point de base sur les autres. Si n=0 on pose D 0 = {⋆},
S −1 = X −1 = ∅ et X 0 /∅ = X+ 0 qu’on peut identifier avec le wedge de autant de copies
de S 0 que de sommets dans X. On prend S 0 = {−1, +1} avec 1 comme point de base.
Soit n 1, j une n-cellule et i une (n-1)-cellule. Considérons l’application
composée :
S n−1
j
X n−1 ρ X n−1 /X n−2 q i
Si n=1 on pose ρ comme étant l’inclusion. Si n 2 on note a ij le degré de cette
application et on pose d n (j) = Σ i a ij (i), si n=1 on pose d 1 (j) = j(1) − j(−1). Ces
définitions sont bien posées puisque j(S n−1 ) est compact donc ne rencontre qu’un
nombre fini de (n-1)-cellule et ainsi la somme est nulle partout sauf en un nombre
fini de position. En étendant ces applications définies sur la base des groupes C n (X)
par Z-linéarité on a un candidat pour être un complexe de chaînes grâce auquel
poser H ∗ (X) = H ∗ (C ∗ (X)). Pour montrer que d n ◦d n−1 = 0 on construit d n d’une autre
façon faisant appelle aux cofibrations.
Notons ∂ n : X n /X n−1 → Σ(X n−1 /X n−2 ) la composée :
S n−1
X n /X n−1 ψ−1 C i q
ΣX n−1 Σρ Σ(X n−1 /X n−2 )
avec i : X n−1 → X n l’inclusion et ψ comme au lemme 5.12. On va montrer que ∂ n
induit d n via l’application d’un foncteur. Pour cela on a besoin des définitions et
du lemme suivant.
DÉFINITION 8.7.
Soit X un espace pointé (n-1)-connexe. Notons ˜H ′ (X) le groupe abélien libre de base
0
π 0 (X) \ [c ⋆ ], ˜H ′ 1 (X) l’abelianisé du groupe fondamental et ˜H n(X) ′ le n-ème groupe
d’homotopie pour tout n 2.
REMARQUE 8.8.
Si X est (n-1)-connexe alors le théorème de Freudenthal nous assure que ΣX est
n-connexe.

1. AXIOMES POUR UNE THÉORIE D’HOMOLOGIE 95
DÉFINITION 8.9.
Soit X un espace (n-1)-connexe. Définissons Σ : ˜H n(X) ′ → ˜H ′ n+1 (ΣX) par Σ [ f ] =
[ ] Σ f ◦ in+1 où f : S n → X et donc Σ f ◦ i n+1 : S n+1 → ΣS n → ΣX. Cela n’a du sens
que si n 1. Si n=0 on pose Σ [x] = [ f⋆ −1 · f x]
où x ∈ X n’est pas dans la composante
connexe par arcs de ⋆ et f x est le chemin t ↦→ x ∧ t dans la suspension non réduite.
LEMME 8.10.
Si X est un wedge de n-sphères alors Σ : ˜H n(X) ′ → ˜H ′ (ΣX) est un isomorphisme.
n+1
DÉMONSTRATION. Remarquons d’abord que X est (n-1)-connexe par le théorème
de Van Kampen et donc ˜H n(X) ′ est défini. Prouvons que ˜H n(X) ′ est un groupe abélien
libre de base les inclusions des sphères dans le wedge. Pour n=0 l’assertion est vraie
par définition, pour n=1 on a ˜H ′ (X) = ab(∗Z) = ×Z où le produit libre et le produit
1
direct se font sur les sommands du wedge.
Supposons maintenant n 2. Le groupe ˜H ′ n(X) est abélien par définition et il
faut prouver que toute application f : S n → X est homotope à un certain produit
d’inclusions i 1 , ..., i n : S n → X. On va le prouver en considérant seulement les n-
sphères de X touchées par f (S n ) qui sont en nombre fini. On peut donc supposer
que X est un wedge fini. Considérons la CW-paire (×S n , ∨S n ) dont les produits sont
finis et obtenue en collant des cellules de dimension supérieure à 2n-1 sur ∨S n .
(C’est le cas puisque dans la construction comme CW-complexe produit de ×S n
les seules q-cellules avec q¡2n sont de la forme {⋆} × ... × D n × ... × {⋆} et donc le
seul q-squelette avec q¡2n est le n-ème qui vaut exactement ∨S n ). Comme toute
application entre CW-complexe est homotope à une application cellulaire on a
que toute application g : D n+1 → ×S n est homotope à ḡ : D n+1 → ∨S n vu que le
(n+1)-squelette de la paire est le wedge. Ainsi π n+1 (×S n , ∨S n ) = 0 = π n (×S n , ∨S n ).
En considérant la suite exacte de cette paire on obtient :
0 π n (∨S n ) π n (×S n ) 0
et donc π n (∨S n ) π n (×S n ) = ×Z. Cet isomorphisme nous dit que notre application
f du départ s’écrit bien comme produit d’inclusions. On conclut gràce au théorème
de Freudenthal et à l’homéomorphisme φ : ∨(ΣS n ) → Σ(∨S n ) ; (⋆, ..., x ∧ t, ..., ⋆) ↦→
(⋆, ..., x, ...⋆) ∧ t puisque :
π n (∨S n ) = ×Z = ×π n (S n ) = ×π n+1 (S n+1 ) = π n+1 (∨(ΣS n )) = π n+1 (Σ(∨S n ))
□
Revenons à notre CW-complexe X et considérons comme base de ˜H ′ n(X n /X n−1 )
les classes d’homotopie des composées :
j ◦ v −1
n
: S n → D n /S n−1 → X n /X n−1

96 8. HOMOLOGIE CELLULAIRE
LEMME 8.11.
L’application d n : C n (X) → C n−1 (X) corréspond à la composée :
d ′ n = Σ −1 ◦ (∂ n ) ∗ : ˜H ′ n(X n /X n−1 ) → ˜H ′ n(Σ(X n−1 /X n−2 )) → ˜H ′ n−1 (Xn−1 /X n−2 )
DÉMONSTRATION. Les groupes d’arrivée et de départ des deux applications sont
isomorphes puisque il s’agit de groupes libres abéliens de même base. (A l’élément
j de la base de C n (X) corréspond l’élément j ◦ v −1
n de la base de ˜H n(X ′ n /X n−1 )).
Considérons le remarquable diagramme commutatif suivant :
S n a ij
i n
v −1
n
D n /S n−1 ψ −1
D n ∪ CS n−1 q
ΣS n−1 a ij
j
j∪C i
X n /X n−1 ψ −1
X n ∪ CX n−1 q
Σj
[
j ◦ v
−1
n
ΣX n−1
S n
i −1
n
ΣS n−1
Σq i
Σ(X n−1 /X n−1 )
Σρ
]
= Σ −1 (∂ n ) ∗
[
j ◦ v
−1
n
]
=
∑
i a ′ ij
[ ]
j ◦ v
−1
n−1
La ligne du bas est, par définition, ∂ n et d ′ n
pour des certains a ′ ij ∈ Z. Par définition de q i on a que q i ◦ i ◦ v −1
n−1 : Sn−1 → S n−1 est
l’identité pour tout i. De plus le diagramme suivant est également commutatif :
ΣS n−1
Σq i
Σ(X n−1 /X n−2 )
Σ
Σ
S n−1
q i
X n−1 /X n−2
avec des isomorphismes de groupes sur les flêches horizontales lorsque on applique
le foncteur π n . Le degré de l’application obtenue en parcourant par le bas
le digramme en partant de la n-sphère en haut à gauche vers celle en haut à droite
est le même de celle s’arretant en ΣS n−1 vu que i −1
n est un homéomorphisme. Ce
degré est le type d’homotopie de Σq i ◦ ∂ n ◦ j ◦ v −1
n−1 qui vaut : [ ]
Σq i ◦ ∂ n ◦ j ◦ v −1
n =
[ ] [ ]
(Σq i ) ∗ ◦(∂ n ) ∗ j ◦ v
−1
n = Σ∗ ◦(q i ) ∗ ◦Σ −1
∗ ◦(∂ n ) ∗ j ◦ v
−1
n = Σ∗ ◦(q i ) ∗ ( ∑ [ ]
i a ′ ij j ◦ v
−1
n−1 ) = a
′
ij .
Par commutativité du diagramme on a a ij = a ′ ij et donc d n = d ′ n.
□
LEMME 8.12.
d n−1 ◦ d n = 0

1. AXIOMES POUR UNE THÉORIE D’HOMOLOGIE 97
DÉMONSTRATION. Considérons le diagramme commutatif suivant :
X n ∪ CX n−1
q
ΣX n−1 Σi
Σ(X n−1 ∪ i X n−2 )
Σq
Σ 2 X n−2
ψ
Σρ
X n /X n−1 ∂ n
Σ(X n−1 /X n−2 )
id
Σψ
Σ(X n−1 /X n−2 )
Σ∂ n−1
Σ 2 ρ
Σ 2 X n−2 /X n−3
Le carré de gauche commute par définition de ∂ n , celui de droite par fonctorialité
de la suspension. On vérifie facilement que le carré du milieu commute également
en suivant les flèches. Comme q◦i : X n−1 → X n−1 ∪ i CX n−2 → ΣX n−2 est l’application
triviale, Σq◦Σi est triviale et donc par commutativité du diagramme Σ∂ n−1 ◦∂ n = 0.
On en déduit que d n−1 ◦ d n = d ′ n−1 ◦ d′ n = Σ −1 ◦ (∂ n−1 ) ∗ ◦ Σ −1 ◦ (∂ n ) ∗ = 0 puisque par
naturalité de Σ en homologie le diagramme suivant commute :
˜H ′ n(Σ(X n−1 /X n−2 ))
Σ −1
˜H ′ n−1 (Xn−1 /X n−2 )
(Σ∂ n−1 ) ∗
˜H ′ n(Σ 2 (X n−2 /X n−3 ))
(∂ n−1 ) ∗
Σ −1 ˜H ′ n−1 (Σ(Xn−2 /X n−3 ))
□
Ce longue discours téchnique nous permet de définir une théorie d’homologie
sur les CW-complexes et donc sur les paires topologiques (via le choix d’un foncteur
d’approximation).
DÉFINITION 8.13.
Soit X un CW-complexe avec le point de base ⋆ en un sommet. Notons (C ∗ (X), d ∗ )
le complexe de chaînes qu’on vient de construire.
(1) Le n-ème groupe d’homologie cellulaire de X est le groupe H n (X) =
H n (C ∗ (X)).
(2) Le n-ème groupe d’homologie cellulaire réduite est le groupe ˜H n (X) =
H n (˜C ∗ (X)) où ˜C ∗ (X) = ˜C ∗ (X)/˜C ∗ (⋆).
(3) Soit A un sous complexe de X. Le n-ème groupe d’homologie cellulaire
de la paire (X,A) est le groupe H n (X, A) = H n (C ∗ (X, A)) où C ∗ (X, A) =
C ∗ (X)/C ∗ (A) ˜C ∗ (X/A).
(4) Soit G un groupe abélien. Le n-ème groupe d’homologie cellulaire de la
paire (X,A) à coefficients dans G est le groupe H n (X, A; G) = H n (C ∗ (X, A; G))
où C ∗ (X, A; G) = C ∗ (X, A) ⊗ G.
Les deux résultats suivants, bien que fondamentaux, sont admit sans démonstration.
THÉORÈME 8.14.
La définition 8.13 définit bien une théorie d’homologie sur les CW-complexes.

98 8. HOMOLOGIE CELLULAIRE
THÉORÈME 8.15.
Si X et Y sont deux CW-complexes alors C ∗ (X × Y) C ∗ (X) ⊗ C ∗ (Y).
2. Homologie réduite
Dans ce paragraphe on présénte quelque résultat concernant l’homologie
réduite qu’on utilisera dans la preuve du théorème de Hurewicz.
Pour un espace topologique pointé (X, {⋆}) on note H q (X) = H q (X, ∅) le n-ème
groupe d’homologie et ˜H q (X) = H q (X, ⋆) le n-ème groupe d’homologie réduite où
on considère une théorie d’homologie arbitraire. Posons p : X → {⋆} l’application
triviale et H q (p) l’application induite en homologie. Le troisième axiome pour une
théorie d’homologie nous donne la suite exacte scindée :
... H q (⋆) H q (X) H q (X, ⋆) ...
H q (p)
et donc on a que H q (X) ˜H q (X) ⊕ H q (⋆). Pour un point de base ⋆ dans un sousespace
⋆ ∈ A ⊂ X on a l’inclusion i : A → X, l’inclusion de paire j : (A, ⋆) → (X, ⋆)
et les applications induites
et
H q (i) : ˜H q (A) ⊕ H q (⋆) H q (A) → H q (X) ˜H q (X) ⊕ H q (⋆)
H q (j) : ˜H q (A) H q (A, ⋆) → H q (X, ⋆) ˜H q (X)
Ainsi H q (i) envoie isomorphiquement H q (⋆) dans H q (⋆) vu que i et j coïncident sur
A. Il en résulte que si on regarde la suite exacte donnée en axiome :
˜H q (A) ⊕ H q (⋆)
H q (i) ˜H q (X) ⊕ H q (⋆) H q(j)
H q (X, A)
∂ ˜H q−1 (A) ⊕ H q (⋆)
alors H q (⋆) ⊂ Im(H q (i)) = ker(H q (j)) donc Im(H q (j)) = Im(H q (j)|˜H q
) et Im(∂) =
(X)
ker(H q (j)) ⊂ ˜H q−1 (A). Ainsi on a une longue suite exacte pour l’homologie réduite :
... ˜H q (A) ˜H q (X) H q (X, A)
∂
˜H q−1 (A) ...
PROPOSITION 8.16.
Pour toute cofibration basée i : A → X l’application quotient p : (X, A) → (X/A, ⋆) induit
un isomorphisme H q (p) : H q (X, A) → H q (X/A, ⋆) ˜H q (X/A) pour tout entier q.

2. HOMOLOGIE RÉDUITE 99
DÉMONSTRATION. Considérons la cofibre non réduite Ci = X ∪ i CA et la triade
excisive
(Ci, X ∪ i A × [0, 2/3] , (A × [1/3, 1])/(A × {1}))
L’axiome d’excision nous dit que la ligne du haut du diagramme commutatif
suivant donne lieu à un isomorphisme lors du passage à l’homologie :
(X ∪ i A × [0, 2/3] , A × [1/3, 2/3])
φ
(Ci, (A × [1/3, 1])/(A × {1}))
r
(X, A)
p
ψ
(X/A, ⋆)
où r est la restriction de la retraction par déformation Mi → X et donc une
équivalence d’homotopie et ψ est l’application de quotientage qui est une équivalence
d’homotopie en vertu du lemme 5.12. Ainsi le passage à l’homologie fournit un
diagramme commutatif dont les applications induites par r, φ et ψ sont des isomorphisme
et donc H q (p) l’est aussi.
□
PROPOSITION 8.17.
Pour un espace non-dégénéré (X, ⋆) il existe un isomorphisme Σ : ˜H q (X) → ˜H q+1 (ΣX).
DÉMONSTRATION. On rappelle que un espace pointé (X, ⋆) est non-dégénéré
si l’inclusion i : {⋆} → X est une cofibration basée, ou de façon équivalente si
({⋆} × X ∪ X × {0}) est un retracte par déformation de X × I. Ainsi CX est contractile
et donc ˜H q (CX) = 0. Considérons la longue suite exacte de l’homologie réduite :
... 0 = ˜H q (CX) H q (CX, X) ˜H q−1 (X) ˜H q−1 (CX) = 0 ...
De plus l’inclusion X → CX est une cofibration basée par le lemme 5.10. On peut
appliquer la proposition précédente et obtenir
˜H q (ΣX) ˜H q (CX/X) H q (CX, X) ˜H q−1 (X)
□
COROLLAIRE 8.18.
Pour tout entier positif q et n on a que ˜H q (S n ) H q−n (⋆).
DÉMONSTRATION. Par l’axiome de additivité on a que H q (S 0 ) = H q (⋆) ⊕ H q (⋆)
et donc ˜H q (S 0 ) = H q (⋆). Par la proposition ci-dessus on a ˜H q (S n ) ˜H q (Σ n S 0 )
˜H q−n (S 0 ) H q−n (⋆).
□
COROLLAIRE 8.19.
Si X = ∨ k∈K S n k est un wedge de n-sphères alors ˜H n (X) = ⊕ k∈K Z.

100 8. HOMOLOGIE CELLULAIRE
DÉMONSTRATION. Par l’axiome de additivité H n (∐ k∈K S n , { points de base } ) = ⊕ k∈K Z
et par la proposition 8.16 on a :
˜H n (∨ k∈K S n ) ˜H n ((∐ k∈K S n )/ { points de base } ) H n (∐ k∈K S n , { points de base } ) = ⊕ k∈K Z
□
3. Exemples
La construction de l’homologie cellulaire est très téchnique mais, dans certains
cas, elle nous permet de calculer les groupes d’homologie plus facilement que
l’homologie singulière. Fixons un groupe abélien G.
(1) Calculons les groupes d’homologie de la sphère S n . Si n¿0 on considère la
contruction de S n avec un sommet et une n-cellule ce qui donne lieu au
complexe de chaînes :
C ∗ (S n ; G) = 0 → G → 0 → ... → 0 → G → 0
Si n=0, S 0 est un CW-complexe formé de deux sommets et on a C ∗ (S 0 ; G) =
0 → G 2 → 0. Ainsi on obtient directement les résultats suivants :
⎧
G 2 , si n = 0 et q = 0 ;
0, si n = 0 et q 0 ;
⎪⎨
H q (S n ; G) = G, si n 0 et q = 0 ;
G, si n 0 et q = n ;
⎪⎩ 0, si n 0, q 0 et q n.
(2) Considérons le tore T 2 = S 1 × S 1 construit comme CW-complexe produit
de deux cercles. On a le complexe de chaînes
C ∗ (T 2 ; G) = 0
G
d 2
G × G d 1
G 0
Les générateurs de G × G sont les 1-cellules e 1 , e 2 : {0, 1} → {⋆}. On a
d 1 (e 1 ) = e 1 (1) − e 1 (0) = 0 = e 2 (1) − e 2 (0) = d 1 (e 2 ) et donc d 1 (G × G) = 0.
Clairement d 0 (G) = 0. Le générateur j : S 1 → S 1 ∨S 1 du G à gauche enroule
le premier quart de S 1 sur le premier cercle du wedge, le deuxième quart
sur le deuxième cercle, le troisième quart sur le premier cercle en sens
inverse et le quatrième quart sur le deuxième cercle en sens inverse. Ainsi
la composée q i ◦ j : S 1 → X 1 = X 1 /X 0 → S n enroule un quart de S 1 sur
i
S 1 deux quarts sur le point de base et le quatrième quart sur S n au sens
i i
inverse. On a donc que q i ◦ j ≃ c ⋆ ce qui implique que deg(q i ◦ j) = 0 vu
que 1 ∈ π 1 (S 1 ) est représenté par l’identité. Finalement on a d 2 (G) = 0 et
on conclut que :
⎧
G, si q = 0 ou q = 2 ;
⎪⎨
H q (T 2 ; G) = G 2 , si q = 1 ;
⎪⎩ 0, sinon.

3. EXEMPLES 101
(3) Posons G = Z et considérons l’espace topologique RP 2 construit comme
CW-complexe en collant une 2-cellule D 2 sur RP 1 S 1 via l’application
j = ϕ ◦ q : S 1 → RP 1 → S 1 où ϕ est l’homéomorphisme entre RP 1 et S 1 .
Ainsi RP 2 est un CW-complexe avec une 0-cellule, une 1-cellule et une
2-cellule :
C ∗ (RP 2 ; Z) = 0 Z d 2
Z d 1
Z 0
Comme au point précédent on a que si e est le générateurs du groupe du
milieu alors d 1 (e) = e(1)−e(0) = 0 vu que X 0 contient un seul point, donc on
a d 1 (Z) = 0. Considérons maintenant le générateur j : S 1 → S 1 du groupe
de gauche. Si on regarde de plus près l’homéomorphisme ϕ on remarque
que il enroule S 1 deux fois sur lui même puisque RP 1 = (R 2 ) ∗ / ∼= S 1 / ∼
S 1 via l’homéomorphisme qui pince le cercle à la taille et superpose les
deux cercles obtenus. On en déduit que j ∗ [id S 1] = [ j ◦ id S 1] = 2 [idS 1] et
donc d 2 (Z) = 2Z. Ce qui nous permet de conclure :
⎧
⎪⎨
H q (R n ) =
⎪⎩
Z, si q = 0 ;
Z/2Z, si q = 1 ;
0, sinon .
(4) Posons G = Z et notons K la bouteille de Klein. Si on regarde le carré
à partir du quel on obtient K on voit sans peine qu’il s’agit d’un CWcomplexe
avec une 0-cellule, deux 1-cellule et une 2-cellule puisqu’il est
construit en partant du wedge de deux cercles sur lequel on colle en quatre
étape le bord de D 2 de façon semblable à la construction de T 2 . La seule
différence est donné par le fait que sur un des deux cercles du wedge,
disons S 1 1 , les deux quarts de S1 qui se colle dessus le font dans la même
direction. (Sur l’autre cercle du wedge c’est comme pour T 2 où les deux
quarts de cercles se collent un dans le sense inverse de l’autre). On a le
complexe de chaînes :
C ∗ (K) = 0
Z
d 2
Z × Z d 1
Z 0
Encore une fois d 1 (Z × Z) = 0 car on a une seule 0-cellule. Soit j : S 1 →
S 1 ∨ S 1 le générateur du groupe de gauche et q i : S 1 1 ∨ S1 2 → S1 la i-
i
ème projection. Par définition de d 2 on a d 2 [id S 1] = a 1 [i 1 ] + a 2 [i 2 ] où
[i 1 ] , [i 2 ] sont les générateurs de Z × Z et a i est le degré de q i ◦ j. Par les
considérations faites sur la construction de K comme CW-complexe on a
que (q 1 ◦ j) ∗ [id S n] = [ q 1 ◦ j ◦ id S n] = 2 [idS n] et (q 2 ◦ j) ∗ [id S n] = [ q 2 ◦ j ◦ id S n] =
[id S n]. Ainsi d 2 (1) = (1, 2) et donc d 2 (Z) =< (1, 2) >⊂ Z × Z. Il en résulte
que :
⎧
⎪⎨
H q (K) =
⎪⎩
Z, si q = 0 ;
Z × Z/2Z, si q = 1 ;
0, sinon .

CHAPITRE 9
Le théorème de Hurewicz
Dans tout le chapitre on considère une théorie d’homologie arbitraire à coefficient
dans Z. On note i 0 le générateur de ˜H 0 (S 0 ) et i n = Σ n i 0 celui de ˜H n (S n )
˜H n (ΣS 0 ). On notera également f ∗ pour une application induite H q ( f ).
DÉFINITION 9.1.
Soit (X, {⋆}) un espace basé. L’homomorphisme de Hurewicz est l’application h :
π n (X) → ˜H n (X) ; [ f ] ↦→ f ∗ (i n ).
LEMME 9.2.
L’homomorphisme de Hurewicz est un homomorphisme de groupe pour tout n 1.
DÉMONSTRATION. Pour deux applications f, g : S n → X on a que [ f ] + [ g ] est
représenté par la composée :
S n p S n ∨ S n f ∨g
X ∨ X ∇ X
où p pince S n à la taille et ∇ est l’application de pliage. Par l’axiome de excision on a
que H n (S n ∨ S n , S n ) H n (S n , ⋆) = ˜H n (S n ) Z et on a la suite exacte de l’homologie
réduite qui est scindée :
0 ˜H n (S n ) = Z j ∗
˜H n (S n ∨ S n )
i ∗
Z = H n (S n ∨ S n , S n ) = ˜H n (S n ∨ S n /S n )
incl ∗
0
Ainsi p : S n → S n ∨ S n induit p ∗ : Z → Z ⊕ Z qui est telle que p ∗ (i n ) = i n + i n
puisque si on considère q i : S n 1 ∨ Sn 2 → Sn i
alors par la théorie élémentaire des
co-H-espaces on a que q i ◦ p ≃ id donc ((q i ) ∗ ◦ p ∗ )(i n ) = i n . L’assertion suit du fait que
(q i ) ∗ : Z ⊕ Z → Z est la projection car q i ◦ j i : S n i
→ S n 1 ∨ Sn 2 → Sn i
est l’identité donc
(q i ) ∗ ◦ (j i ) ∗ : Z → Z ⊕ Z → Z est l’identité et (j i ) ∗ est l’injection par la suite exacte
ci-dessus.
Considérons maintenant (∇ ◦ f ∨ g) ∗ : ˜H n (S n ∨ S n ) → ˜H n (X). L’application
j i : S n → S n i 1 ∨ Sn 2 induit l’inclusion (j i) ∗ : Z → Z ⊕ Z par la suite exacte ci-dessus et
(∇◦ f ∨g) ∗ ◦(j i ) ∗ = (∇◦ f ∨g◦ j i ) ∗ = f ∗ . Ainsi (∇◦ f ∨g) ∗ ◦(j 1 ) ∗ (x) = (∇◦ f ∨g) ∗ (x, 0) = f ∗ (x)
103

104 9. LE THÉORÈME DE HUREWICZ
et de même (∇ ◦ f ∨ g) ∗ (0, x) = g ∗ (x). Il en résulte que h( [ f ] + [ g ] ) = [ f + g ] (i n ) =
f (i n ) + g(i n ) = h( [ f ] ) + h( [ g ] ).
□
LEMME 9.3.
L’homomorphisme de Hurewicz est naturel et le diagramme suivant commute :
π n (X)
h
˜H n (X)
Σ
π n+1 (ΣX)
h
Σ
˜H n+1 (ΣX)
DÉMONSTRATION. La naturalité de h est claire puisque si on a une application
f : (X, x 0 ) → (Y, y 0 ) alors le diagramme suivant commute :
π n (X)
h
˜H n (X)
f ∗
f ∗
π n (Y)
h
˜H n (Y)
vu que h( f ∗ ( [ g ] )) = h( [ f ◦ g ] ) = ( f ◦ g) ∗ (i n ) = f ∗ (g ∗ (i n )) = f ∗ (h [ g ] ).
Par naturalité de Σ en homologie on a que le diagramme suivant commute :
H n (X)
f ∗
H n (Y)
Σ
H n+1 (ΣX)
Σ
(Σ f ) ∗
H n+1 (ΣY)
et donc (h ◦ Σ) [ f ] = (Σ f ∗ )(Σi n ) = Σ( f ∗ (i n )) = Σ(h [ f ] ).
□
LEMME 9.4.
Soit X = ∨S n un wedge de sphère, alors h : π n (X) → ˜H n (X) est l’abélianization de π n (X)
si n=1 et un isomorphisme si n¿1.
DÉMONSTRATION. Si X = S n alors π n (X) = Z = ˜H n (X) avec < id >= π n (X) et
< i n >= ˜H n (X). Ainsi h(id) = i n et tout est clair. Dans le cas général on a que π 1 (X)
est un groupe et si n¿1 alors π n (X) est un groupe abélien libre de base les inclusions
des sphères. Le résultat découle du fait que h envoie les générateurs de π n (X) vers
ceux de ˜H n (X).
□

9. LE THÉORÈME DE HUREWICZ 105
LEMME 9.5.
Soit f : H → G un homomorphisme de groupe. Notons < f (H) > N la clôture normale de
f(H) dans G et ab le foncteur de abélianization. On a alors que la suite suivante est exacte :
ab(H)
ab( f )
ab(G)
abπ ab(G/ < f (H) > N )
où π : G → G/ < f (H) > N est la projection.
DÉMONSTRATION. Clairement π ◦ f = 0 et donc (abπ) ◦ (ab f ) = 0. Soit [x] ∈ ab(G)
avec abπ([x]) = [ ¯x] = 0. Si ¯x = srs −1 r −1 pour des certains ¯s, ¯r ∈ G/ < f (H) > N on
a x = tsrs −1 r −1 avec t ∈< f (H) > N . Il en résulte que [x] = [t] ∈ q(< f (H) > N ) où
q : G → ab(G) est la projection. Or q(< f (H) > N ) = q( f (H)) = ab f (ab(H)), puisque
Imq est abélienne et le diagramme suivant commute :
H
f
G
ab(H)
ab f
ab(G)
On procède de la même façon si ¯x est un produit de commutateurs.
□
THÉORÈME 9.6.
Si X est un espace pointé (n-1)-connexe alors h : π n (X) → ˜H n (X) est l’homomorphisme de
abélianization si n=1 et un isomorphisme si n¿1.
DÉMONSTRATION. On peut supposer que X est un CW-complexe puisque si
Y est un espace quelconque alors ˜H n (Y) = ˜H n (ΓY) où Γ est un certain foncteur
d’approximation et donc
π n (Y)
h
γ
π n (ΓY) ˜H n (Y) = ˜H n (ΓY)
commute puisque si [ f ] ∈ π n (Y) on a γ ∗
[ f
] =
[ Γ f
] par construction de l’approximation
et f ∗ : ˜H n (S n ) → ˜H n (Y) vaut (Γ f ) ∗ par construction de l’extension d’une théorie
d’homologie. En vertu du théorème d’approximation on peut supposer que X n’a
pas de q-cellules pour 1 q < n.
On peut aussi supposer que X a un seul sommet : si X a plusieurs sommets alors
il sont tous reliés par un chemin par hypothèse de connexion. Pour tout couple
de sommets distincts choisissons un chemin entre eux et notons A l’ensemble de
tous ces arcs. On peut choisir les chemins de telle sorte que A ⊂ X 1 vue que S q>0
est connexe par arcs donc son image dans X est contenue dans une composante
connexe par arcs et donc ne peut pas connecter deux composantes disjointes.

106 9. LE THÉORÈME DE HUREWICZ
Considérons le CW-complexe ˜X = X/A avec les squelettes ˜X n = X n /A comme à la
proposition 6.9. Comme on a que X/A ≃ X via une homotopie le long des chemins
on peut remplacer X par X/A qui a un seul sommmet.
Puisque toute application et toute homotopie de S n dans X est équivalente à
une application cellulaire on a que l’inclusion i : X n+1 → X induit un isomorphisme
i ∗ : π n (X n+1 ) → π n (X). On admet le fait que i ∗ : H n (X n+1 ) → H n (X) est également
un isomorphisme. (Ce qui est clair si on considère l’homologie cellulaire, mais il
est vrai en toute généralité. Dans cette preuve on ne veut pas faire appelle à une
homologie particulière puisque ce théorème peut être utilisé pour montrer l’unicité
d’une théorie d’homologie). On en déduit qu’on peut supposer que X = X n+1 .
Grâce à ces simplifications on a que X est un CW-complexe avec X n = ⋆ ∐ l∈L
D n l / ∼= ∨ l∈LS n et X = X n+1 = X n ∐
l
l ′ ∈L ′ Dn / ∼. Ainsi X est la cofibre réduite d’une
l ′
application f : K → L où K et L sont deux wedges de n-sphères puisque les
applications j l ′ : S n → X n se factorisent en une application j : ∨
l ′ l ′ ∈L ′Sn → X n et
l ′
CS n D n+1 . Par naturalité de h on a le diagramme commutatif suivant :
π n (K)
h
π n (L)
h
π n (X)
˜H n (K) ˜H n (L) ˜H n (X) 0
L’avant dernier lemme donne le résultat pour les deux colonnes de gauche. Si n=1
on peut couper X = L ∪ f CK en A = L ∪ f CK \ { un point bien choisi } et B = CK qui
est contractile. On a donc que A ∩ B ≃ f (K) qui est connexe par arcs tout comme A
et B. On peut applique le théorème de Van Kampen pour obtenir :
π 1 (X) = (π 1 (A)∗π 1 (B))/ < π 1 ( f (K)) > N = π 1 (A)/ < π 1 ( f (K)) > N = π 1 (L)/ < f ∗ (π 1 (K)) > N
puisque A ≃ L et f : K → L est une application pointée entre wedges de n-sphères.
(Ce qui nous dit que non seulement f ∗ (π 1 (K)) ⊂ π 1 ( f (K)) mais aussi π 1 ( f (K)) ⊂
f ∗ (π 1 (K)) puisque une application basée f : K → L parcours un certain nombre de
sphère S n dans f (K) et peut être relevée en K vu que l’image d’une sphère de K est
une sphère dans f (K)). Par lemme précédent on a que l’abélianization de la ligne
du haut donne lieu à une suite exacte.
Si n¿1 le théorème de excision en homotopie nous dit que la ligne du haut est
exacte : l’application f : K → L est égale à l’inclusion i : K → M f composée avec la
retraction r : M f → L. Considérons le diagramme commutatif :
h
0
π n (K)
i ∗
π n (M f )
π n (M f, K)
0
=
π n (K)
r ∗
f ∗
π n (L) π n (X) 0
La ligne du haut est exacte puisque il s’agit de la suite exacte de la paire (M f, K)
où K est identifié avec K × {1} de telle sorte que X = C f = M f /K et q : M f → M f /K
induit q ∗ . Comme K et L sont (n-1)-connexes et n¿1 le corollaire 7.10 nous dit que X
est (n-1)-connexe et π n (M f, K) → π n (X) est un isomorphisme. Il en résulte que dans
le diagramme commutatif ci-dessus toutes les colonnes sont des isomorphismes et
q ∗

9. LE THÉORÈME DE HUREWICZ 107
le ligne du haut est exacte. On en déduit facilement que la ligne du bas doit être
exacte.
Revenons au diagramme du départ et montrons l’exactitude de la ligne du bas.
Considérons la suite exacte de l’homologie réduite :
H n+1 (X, L) → ˜H n (L) → ˜H n (X) → H n (X, L) ˜H n (X/L) = ˜H n (∨S n+1 ) = 0
Cela nous donne directement que la partie ˜H n (L) → ˜H n (X) → 0 est exacte. De
plus on sait que ˜H n (K) = ˜H n+1 (ΣK) puisque K est un wedge de n-sphères. Or
ΣK (L ∪ f CK)/L = X/L donc ˜H n+1 (ΣK) ˜H n+1 (X/L) H n+1 (X, L). Ainsi on a le
diagramme commutatif suivant qui nous permet de déduire l’exactitude en ˜H n (L) :
H n+1 (X, L)
˜H n+1 (X/L)
˜H n+1 (ΣK)
∂
˜H n (L) ˜H n (X)
f ∗
˜H n (K)
Le diagramme du départ est donc à lignes exactes et les deux premières colonnes
sont des isomorphismes. Une chasse au diagramme nous permet de conclure que
la troisième colonne est également un isomorphisme
□

Troisième Partie
Le Théorème de Milnor-Moore
Par
Ana Devic
Encadré par :
Jonathan Scott

CHAPITRE 10
Introduction à l’homologie singulière
Ce chapitre est une introduction sommaire à l’homologie singulière. Son but
principal est de poser les notations et de construire la preuve d’un résultat central
pour la suite de ce travail, à savoir la fonctorialité des groupes d’homologie. La
majeure partie des preuves intermédiaires est omise. Pour plus de détails, le lecteur
pourra se référer aux chapitres 7 et 9 de [19] et aux chapitres 1 et 4 de [15].
1. Complexes de chaîne
DÉFINITION 10.1.
Un complexe de chaîne est une famille C = (C q , ∂ q ) q∈Z de groupes abéliens C q et
d’homomorphismes ∂ q : C q → C q−1 tels que ∂ q−1 ◦ ∂ q = 0 pour tout q ∈ Z. Par
commodité, on écrit souvent ∂ au lieu de ∂ q et on représente C par le diagramme
C : · · ·
∂
C q+1
∂
C q
∂
C q−1
∂
· · · (∂∂ = 0).
Pour c ∈ C q on appelle ∂c ∈ C q−1 le bord de c et c ∈ Ker ∂ q ⊂ C q un cycle. L’homomorphisme
∂ q = ∂ est appelé opérateur de bord.
DÉFINITION 10.2.
Soit C = (C q , ∂ q ) q∈Z un complexe de chaîne. Puisque ∂∂ = 0, nous avons Im ∂ q+1 ⊂
Ker ∂ q ⊂ C q . Alors le groupe H q (C) = Ker ∂ q / Im ∂ q+1 est le qème groupe d’homologie
du complexe de chaîne C. Les éléments de ce groupe sont les classes [c] C = [c] =
c + Im ∂ q+1 , c ∈ C q appelés classes d’homologie. On note H(C) = (H q (C)) q∈Z le module
gradué d’homologie de C.
DÉFINITION 10.3.
Soient C = (C q , ∂ q ) q∈Z et C ′ = (C ′ q, ∂ ′ q) q∈Z deux complexes de chaîne. Un morphisme
de chaînes f : C → C ′ est une famille ( f q ) q∈Z d’homomorphismes f q : C q → C ′ q tels
que ∂ ′ q ◦ f q = f q−1 ◦∂ q . Souvent on dénote f q par f , ce qui nous permet de caractériser
le morphisme de chaînes par son diagramme commutatif
C :
· · ·
∂
∂
C q+1
∂
C q
∂
C q−1
· · ·
f
C ′ : · · ·
f
∂
C ′ q+1
∂
f
C ′ q
f
∂
C q−1
∂
· · ·
111

112 10. INTRODUCTION À L’HOMOLOGIE SINGULIÈRE
DÉFINITION 10.4.
Comme tout morphisme de chaînes f : C → C ′ envoie des cycles sur des cycles
et des bords sur des bords, f induit un homomorphisme f ∗ = H( f ) avec H q ( f ) :
H q (C) → H q (C ′ ) donné par [c] C ↦→ [ f (c)] C ′.
PROPOSITION 10.5.
(1) L’application 0 : C → C ′ est un morphisme de chaînes et 0 ∗ = 0.
(2) L’application identité Id : C → C est un morphisme de chaînes. De plus Id ∗ :
H(C) → H(C) est encore l’identité.
(3) On peut composer deux morphismes de chaînes f : C → C ′ et g : C ′ → C ′′ en
un morphisme de chaînes g f : C → C ′′ défini par (g f ) q = g q f q . On obtient ainsi
l’homomorphisme (g f ) ∗ = g ∗ f ∗ : H(C) → H(C ′′ ).
2. Les groupes d’homologie singulière
DÉFINITION 10.6.
Soit q ≥ 0 et considérons R q+1 avec sa base canonique associée
e 0 = (1, 0, 0, . . . , 0), e 1 = (0, 1, 0, 0, . . . , 0), . . . , e q = (0, 0, . . . , 0, 1).
Le q-simplexe standard ∆ q est défini par
∆ q = {x ∈ R q+1 | x =
q∑
λ i e i tel que 0 ≤ λ i ≤ 1,
i=0
= {(λ 0 , . . . , λ q ) | 0 ≤ λ i ≤ 1,
q∑
λ i = 1}.
i=0
q∑
λ i = 1}
Il s’agit du simplexe q-dimensionnel fermé de sommets e 0 , . . . , e q . La face opposée
au sommet e i est appelé la ième face de ∆ q et s’écrit ∆ i q. Elle est composée des points
de ∆ q avec λ i = 0. Le bord de ∆ q est l’union de ses faces.
i=0
DÉFINITION 10.7.
Pour q ≥ 1 et 0 ≤ i ≤ q, l’application δ i est une application affine induite par
q−1
e 0 ↦→ e 0 , . . . e i−1 ↦→ e i−1 , e i ↦→ e i+1 , . . . , e q−1 ↦→ e q . C’est une bijection qui envoie ∆ q−1
sur ∆ i q.
Nous avons à présent tous les outils en main pour définir les groupes d’homologie
singulière rationnels d’un espace topologique.
THÉORÈME-DÉFINITION 10.8.
Soit X un espace topologique. Un q-simplexe singulier dans X est une application continue
σ : ∆ q → X. Le qème groupe de chaîne singulier S q (X, Q) = S q (X) est le Q-espace
vectoriel engendré par tous les q-simplexes singuliers dans X. Les éléments de S q (X) sont
appelés q-chaînes singulières de X. Pour q < 0 posons S q (X) = 0. Pour q ≥ 1, définissons

2. LES GROUPES D’HOMOLOGIE SINGULIÈRE 113
l’homomorphisme suivant :
∂ = ∂ q : S q (X) → S q−1 (X), ∂σ =
q∑
(−1) i (σ ◦ δ i q−1 ).
i=0
Pour q ≤ 0 on pose ∂ q = 0. La famille (S q (X), ∂) q∈Z ainsi définie est un complexe de chaîne
appelé le complexe de chaîne singulier de X. Les groupes d’homologie correspondants
H q (S(X)) sont les groupes d’homologie singulière de X et on les note H q (X) = H q (S(X)).
Le module gradué d’homologie singulière de X est notée H ∗ (X) = H ∗ (X, Q) = H(S(X)).
NOTATION 10.9.
Soit ∂ q : S q (X) → S q−1 (X) l’opérateur de bord. Alors on note Z q (X) = Ker ∂ q et
B q (X) = Im ∂ q+1 sont appelés respectivement le qème groupe de cycles et qème groupe
de bords de X. On peut donc écrire le qème groupe d’homologie comme H q (X) =
Z q (X)/B q (X).
THÉORÈME-DÉFINITION 10.10.
Soient X et Y deux espaces topologiques. Une application continue f : X → Y induit un
homomorphisme
∑ ∑
S q ( f ) : S q (X) → S q (Y), n σ σ ↦→ n σ ( f ◦ σ)
pour tout q ∈ Z. La famille S( f ) = (S q ( f )) q∈Z est un morphisme de chaînes et le
couple d’applications X ↦→ S(X), f ↦→ S( f ) permet de définir un foncteur S entre espaces
topologiques et complexes de chaîne. Pour simplifier les notations, nous allons écrire
S q ( f ) : S q (X) → S q (Y) et S( f ) = S • : S(X) → S(Y).
DÉMONSTRATION. Soient X, Y et Z des espaces topologiques et f : X → Y, g :
Y → Z des applications continues. Par la définition même de S, (Id X ) • = Id S(X)
et f • g • = ( f g) • . Il nous reste encore à montrer que f • est bien un morphisme de
chaînes, notamment que f • commute avec ∂. Il suffit de vérifier cette relation pour
les générateurs de chaque S q (X). Soit σ : ∆ → X. D’une part on obtient
∑
∂( f • σ) = ∂( f ◦ σ) = (−1) i ( f ◦ σ) ◦ δ i q−1 .
Or d’autre part on a
∑
f • (∂σ) = f • (
∑(−1) i σ ◦ δ i q−1 ) = (−1) i f ◦ (σ ◦ δ i q−1 ).
σ
σ
Ainsi ∂ f • = f • ∂ et f • est bien un morphisme de chaînes.
□
DÉFINITION 10.11.
L’application continue f : X → Y induit un homomorphisme de groupes d’homologie
donnée par f ∗q = H q ( f ) = H q (S( f )) : H q (X) → H q (Y). Pour un q-cycle singulier
z dans X on peut écrire f ∗ ([z] X ) = [ f • (z)] Y .

114 10. INTRODUCTION À L’HOMOLOGIE SINGULIÈRE
DÉFINITION 10.12.
Soit K un corps. Alors la famille (V n ) n≥0 de K-espaces vectoriels est appelé un espace
vectoriel gradué sur K.
REMARQUE 10.13.
Vu que H q (X) = 0 pour tout q < 0, nous pouvons écrire H ∗ (X) = (H q (X)) q≥0 .
Désormais, il sera sous-entendu que pour les espaces vectoriels gradués d’homologie
singulière, l’ensemble d’indices parcourt seulement les entiers non-négatifs.
Le théorème suivant découle de la proposition 10.5 et du théorème 10.10 :
THÉORÈME 10.14.
Pour tout nombre entier q le couple d’applications X ↦→ H q (X), f ↦→ H q ( f ) définit un
foncteur appelé H et donc le couple d’applications X ↦→ H ∗ (X), f ↦→ f ∗ définit un foncteur
H ∗ entre espaces topologiques et espaces vectoriels gradués sur Q. En particulier, Id ∗ = Id
et (g f ) ∗ = g ∗ f ∗ .

CHAPITRE 11
Algèbres, coalgèbres et algèbres de Hopf
Dans ce chapitre, le but est de définir les outils algébriques qui vont nous permettre
par la suite d’étudier de plus près les groupes d’homologie et d’homotopie
d’un espace topologique donné. Dans un premier temps, nous allons présenter les
notions topologiques auxquelles on peut les associer, pour nous focaliser ensuite
sur l’étude des concepts algébriques proprement dits.
1. Espaces topologiques et coalgèbres
Une coalgèbre A peut être décrite comme un espace vectoriel doté d’une comultiplication
∆ : A → A⊗A associative et unitaire. Avant de reprendre cette définition
de façon plus formelle en fin de chapitre, nous allons montrer comment on peut
associer à tout espace topologique de manière naturelle une coalgèbre.
DÉFINITION 11.1.
Soient A et B deux espaces vectoriels gradués sur un corps K. Alors A ⊗ B = A ⊗ K B
est le K-espace vectoriel défini par (A ⊗ B) n = ⊕ i+j=n A i ⊗ B j pour tout n ≥ 0. Pour
tout couple de morphismes de K-espaces vectoriels gradués f : A → A ′ , g : B → B ′ ,
on définit ( f ⊗ g) : A ⊗ B → A ′ ⊗ B ′ comme le morphisme de K-espaces vectoriels
gradués donné par ( f ⊗ g) n = ⊕ i+j=n f i ⊗ g j pour tout n ≥ 0. Le morphisme d’échange
T : A ⊗ B → B ⊗ A est un morphisme de K-espaces vectoriels gradués défini par
T n (a ⊗ b) = (−1) pq b ⊗ a pour a ∈ A p , b ∈ B q et p + q = n.
Rappelons qu’à la fin du chapitre précédent, nous avons montré que H ∗ (−) est
un foncteur entre espaces topologiques et espaces vectoriels gradués sur Q. Les
deux propositions suivantes sont une conséquence directe de cette affirmation :
PROPOSITION-DÉFINITION 11.2.
Soit X un espace topologique. La diagonale est l’application continue ∆ : X → X × X
définie par ∆(x) = (x, x) pour tout x ∈ X. En sachant qu’il existe un isomorphisme
H ∗ (X × X, Q)
H ∗ (X, Q) ⊗ H ∗ (X, Q) ,
la diagonale induit un morphisme de Q-espaces vectoriels
∆ ′ ∗ : H ∗ (X, Q)
∆ ∗
H ∗ (X × X, Q)
H ∗ (X, Q) ⊗ H ∗ (X, Q) .
DÉMONSTRATION. L’existence d’un tel isomorphisme est un cas particulier de
la formule de Künneth (pour plus de détails, consulter [? ]).
□
115

116 11. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
PROPOSITION-DÉFINITION 11.3.
Soit {∗} l’espace topologique composé d’un seul point. L’application constante ε : X → {∗}
induit alors un morphisme
De plus, en sachant que
ε ∗ : H ∗ (X, Q) → H ∗ ({∗}, Q).
H ∗ ({∗}, Q) Q,
nous obtenons un morphisme de Q-espaces vectoriels
ε ′ ∗ : H ∗ (X, Q)
ε ∗
H ∗ ({∗}, Q)
Q .
DÉMONSTRATION. Il nous suffit de montrer que
{
Q si m = 0
H m ({∗}, Q) =
0 si m > 0.
Soit S ∗ ({∗}) le complexe de chaînes de {∗}. Désignons par ∆ q le simplexe standard de
dimension q, par σ q l’application continue qui envoie ∆ q sur {∗} (elle est unique, car
{∗} est composé d’un seul point), et par δ i q−1 : ∆ q−1 → ∆ q l’application identifiant le
(q − 1)-simplexe à l’i-ème côté du q-simplexe. L’opérateur de bord
est alors définie par
Il s’ensuit que
et
Ker ∂ q =
∂ q σ q =
Im ∂ q =
∂ q : S q ({∗}) → S q−1 ({∗})
=
=
q∑
(−1) i (σ q ◦ δ i q−1 )
i=0
q∑
(−1) i σ q−1
i=0
{
σq−1 si q pair
0 si q impair.
{
0 si q pair, q > 0
S q ({∗}) si q impair ou q = 0
{
Sq−1 ({∗}) si q pair
0 si q impair.
Ainsi, pour m > 0,
{
0 si m pair
H m ({∗}) = Ker ∂ m / Im ∂ m+1 =
S m ({∗})/S m ({∗}) = 0 si m impair.
Pour m = 0, nous avons
H 0 ({∗}) = Ker ∂ 0 / Im ∂ 1 = S 0 ({∗})/0 = S 0 ({∗}).
Comme S 0 ({∗}) est un Q-espace vectoriel de dimension 1, il est isomorphe à Q, d’où
l’affirmation.
□
Voici maintenant la définition d’une coalgèbre.

1. ESPACES TOPOLOGIQUES ET COALGÈBRES 117
DÉFINITION 11.4.
Une coalgèbre sur un corps K est un K-espace vectoriel gradué A doté de deux
morphismes de K espaces vectoriels gradués
∆ : A → A ⊗ A et ε : A → K
tels que les diagrammes suivants commutent :
A
∆
A ⊗ A
∆
∆⊗Id
A ⊗ A Id ⊗∆ A ⊗ A ⊗ A
A ⊗ A
ε⊗Id
K ⊗ A
∆
∆
A
Id ⊗ε
A ⊗ A
A ⊗ K
Le morphisme ∆ s’appelle la comultiplication et la première condition nous garantit
qu’elle est (co)associative. Le morphisme ε est appelé la counité de la coalgèbre.
EXEMPLES 11.5.
(1) Il existe une manière naturelle de considérer le corps K comme coalgèbre :
il suffit de prendre Id K : K → K pour la counité et ∆ : K → K ⊗ K définie
par ∆(x) = x ⊗ 1 pour tout x ∈ K pour la comultiplication.
(2) Soit X un espace topologique. Il découle alors des propositions 11.2 et 11.3
que (H ∗ (X, Q), ∆ ′ ∗, ε ′ ∗) est une coalgèbre sur Q.
(3) (Produit tensoriel de coalgèbres)
Soient A et B deux coalgèbres sur un corps K. Alors A⊗B est une coalgèbre
avec la comultiplication donnée par la composition
A ⊗ B
∆ A ⊗∆ B
A ⊗ A ⊗ B ⊗ B Id A ⊗T⊗Id B
A ⊗ B ⊗ A ⊗ B
et la counité définie par
A ⊗ B
ε A ⊗ε B
K ⊗ K = K .
DÉFINITION 11.6.
Soient A et B deux coalgèbres sur un corps K. Un morphisme de coalgèbres f : A → B
est un morphisme de K-espaces vectoriels gradués tel que les diagrammes suivants
commutent :
∆ A
A A ⊗ A A ε A
K
B
f
∆ B
f ⊗ f
B ⊗ B
f
B ε B
K
Id K

118 11. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
EXEMPLE 11.7 (Augmentation de coalgèbre).
Une augmentation de A un morphisme de coalgèbres η : K → A. Il est alors facile à
voir que εη = Id K . Une coalgèbre munie d’une augmentation s’appelle une coalgèbre
augmentée.
DÉFINITION 11.8.
La coalgèbre A est dite commutative si le diagramme
∆
A
A ⊗ A
T
est commutatif.
∆
A ⊗ A
NOTATION 11.9 (La notation de Sweedler).
Soit (A, ∆, ε) une coalgèbre. Pour un élément a ∈ A, nous allons écrire
∑
∆(a) = a 1 ⊗ a 2 .
Avec les conventions usuelles, nous aurions dû écrire
n∑
∆(a) = a i1 ⊗ a i2 .
i=1
La notation de Sweedler supprime l’indice i, ce qui nous permet de mettre l’accent
sur la forme de ∆(a) et elle est très utile pour écrire de longues composition
de manière compacte et intelligible. Voici un exemple d’utilisation à travers les
définitions de coalgèbre :
PROPOSITION 11.10.
Soit (A, ∆, ε) une K-coalgèbre et a ∈ A. Alors de l’égalité (∆ ⊗ A) ◦ ∆ = (A ⊗ ∆) ◦ ∆ de la
définition 11.4, il s’ensuit que
∑ ∑
∆(a 1 ) ⊗ a 2 = a 1 ⊗ ∆(a 2 )
ou encore que
∑
∑
a 11 ⊗ a 12 ⊗ a 2 = a 1 ⊗ a 21 ⊗ a 22 .
La commutativité du deuxième diagramme de cette même définition peut être réécrite
comme
Id A = φ g ◦ (ε ⊗ Id A ) ◦ ∆ = φ d ◦ (Id A ⊗ε) ◦ ∆,
où φ d : A ⊗ K −→
A et φ g : K ⊗ A −→
A sont les isomorphismes canoniques. En utilisant
la notation de Sweedler, on peut réécrire ces mêmes équations comme
∑ ∑
ε(a 1 )c 2 = a 1 ε(a 2 ) = a.

2. ESPACES TOPOLOGIQUES ET ALGÈBRES 119
2. Espaces topologiques et algèbres
Une algèbre est un espace vectoriel muni d’une multiplication ϕ : A ⊗ A → A
qui soit associative. Toutefois, contrairement au cas des coalgèbres, dans un espace
topologique quelconque il n’existe pas de multiplication usuelle qui pourrait nous
permettre d’y associer une algèbre de manière canonique. Pour cela, il est nécessaire
de doter l’espace topologique d’une structure supplémentaire, dont nous allons
montrer plusieurs exemples dans les sections suivantes. Pour la définition formelle
d’une algèbre, le lecteur pourra se référer au paragraphe 11.25.
Pour commencer, voici une courte présentation de la notion de groupe topologique.
2.1. Groupes topologiques.
DÉFINITION 11.11.
Un groupe topologique est un espace topologique G muni de deux applications
continues µ : G × G → G (multiplication) et ι : G → G (inversion) telles que (G, µ, ι)
est un groupe.
DÉFINITION 11.12.
Soient G et H deux groupes topologiques. Un homomorphisme de groupes topologiques
ϕ : G → H est une application continue qui est en même temps un homomorphisme
de groupes.
EXEMPLES 11.13.
(1) Soit G un groupe dénombrable. Alors G muni de la topologie discrète est
un groupe topologique. En effet, on voit immédiatement que l’inversion
est continue. Comme la topologie produit de G × G est également la
topologie discrète, il en découle que la multiplication est continue aussi.
(2) Le groupe additifs (R, +) et des complexes (C, +) sont des groupes topologiques
abéliens.
(3) Les groupes multiplicatifs R × et C × , munis de la topologie de sous-espace
sont également des groupes topologiques abéliens.
(4) Soit S 0 = {x ∈ R × | |x| = 1} = {−1, 1}, la sphère de dimension zéro. Alors
S 0 est un sous-groupe multiplicatif de R × et sa topologie de sous-espace
coïncide avec la topologie discrète sur S 0 . Par conséquent S 0 est un sousgroupe
topologique de R × qui est isomorphe au groupe cyclique d’ordre
2.
(5) De façon analogue, le cercle S 1 = {z ∈ C × | ‖z‖ = 1} est un sous-groupe
topologique de C × , il est donc abélien.
(6) Si G et H sont deux groupes topologiques, alors G×H muni de la topologie
produit est également un groupe topologique. Par exemple le tore de
dimension n, T n = S 1 × · · · × S 1 (n fois) est encore un groupe topologique.

120 11. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
(7) Soit H = {w+xi+ yj+zk | w, x, y, z ∈ R} l’anneau des quaternions. Alors H
est un corps non-commutatif et le groupe multiplicatif H × est un groupe
topologique non-abélien. Soit
S 3 = {w + xi + yj + zk ∈ H × | w 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1}
la sphère de dimension 3. Alors S 3 est un sous-groupe topologique de H × .
Passons maintenant à la classe plus large des monoïdes topologiques qui
contient notamment la classe des groupes topologiques.
2.2. Monoïdes topologiques.
DÉFINITION 11.14.
Un monoïde topologique est un espace topologique pointé (M, e) doté d’une application
continue µ : M × M → M qui est associative autrement dit telle que
µ(µ(x, y), z) = µ(x, µ(y, z)) pour tout x, y, z ∈ M et telle que e ∈ M soit l’élément
neutre : µ(x, e) = µ(e, x) = x pour tout x ∈ M.
DÉFINITION 11.15.
Soient (M, µ) et (N, ν) deux monoïdes topologiques. Un homomorphisme de monoïdes
est une application continue ϕ : M → N telle que ν(ϕ(x), ϕ(y)) = ϕ(µ(x, y)).
EXEMPLE 11.16 (Chemins de Moore).
Soit (X, x 0 ) un espace topologique pointé. Un chemin de Moore dans X est une paire
(γ, s 0 ) où γ : R + → X est une application continue telle que γ(s) = γ(s 0 ) si s ≥ s 0 .
On dit alors que le chemin s’arrête à γ(s 0 ). Si (δ, t 0 ) est un autre chemin de Moore
avec δ(0) = γ(s 0 ), on les compose de la façon suivante :
γ · δ(s) =
{
γ(s) si 0 ≤ s ≤ s 0
δ(s − s 0 ) si s 0 < s.
Ainsi (γ · δ, s 0 + t 0 ) est un chemin de Moore dans X. On désigne par MX l’ensemble
des chemins de Moore dans X. Muni de la topologie compacte-ouverte, MX est un
espace topologique.
Soit ΩX ⊂ MX l’ensemble des lacets de Moore, autrement dit des chemins de
Moore (α, s 0 ) qui vérifient α(0) = α(s 0 ) = x 0 La composition des lacets de Moore
définit une application
ΩX × ΩX µ → ΩX, ((γ, s 0 ), (δ, t 0 )) ↦→ (γ · δ, s 0 + t 0 ).
PROPOSITION 11.17.
Muni de l’application µ : ΩX × ΩX → ΩX définie ci-dessus, (ΩX, µ) est un monoïde
topologique.

2. ESPACES TOPOLOGIQUES ET ALGÈBRES 121
Le résultat suivant nous permet d’affirmer que pour étudier les groupes d’homotopie
d’un espace topologique pointé (X, x 0 ), il suffit d’étudier les groupes d’homotopie
de l’espace de lacets de Moore ΩX correspondant.
THÉORÈME 11.18.
Soit (X, x 0 ) un espace topologique pointé et ΩX l’espace de lacets de Moore correspondant.
Alors π k (ΩX) π k+1 (X) pour tout k ≥ 1.
Avant de prouver ceci, voici quelques rappels utiles pour la démonstration.
Rappel.
Soient E et B deux espaces topologiques. Une application continue p : E → B est
une fibration si elle vérifie la propriété de relèvement d’homotopie : pour tout carré
commutatif
Y × {0}
i
Y × I
f
h
g
E
B
p
il existe un revêtement h : Y × I → E tel que ph = g et hi = f . On appelle E l’espace
total et B l’espace de base de fibration.
Fixons un point de base b 0 ∈ B et posons F = p −1 (b 0 ), la fibre de p. Alors il existe
une suite longue exacte en homotopie,
· · · → π n (F) → π n (E) → π n (B) → π n−1 (F) → · · ·
DÉMONSTRATION. Soit PX = {(γ, s 0 ) ∈ MX | γ(0) = x 0 } l’ensemble des chemins
de Moore partant de x 0 .
(1) L’ensemble PX muni de la topologie de sous-espace est contractile.
En effet, soit
définie par
H : PX × I → PX
H((γ, s 0 ), t) = (γ, (1 − t)s 0 )
pour tout (γ, s 0 ) ∈ PX et t ∈ I. Nous avons alors
H((γ, s 0 ), 0) = (γ, s 0 ),
H((γ, s 0 ), 1) = (γ, 0) = (c, 0),
où (c, 0) est le chemin constant en x 0 . De plus H est clairement continue,
nous avons ainsi trouvé une homotopie entre PX et l’espace à un seul
point qui correspond ici à l’application constante (c, 0).
(2) L’application d’évaluation ɛ : PX → X définie par ɛ(γ, s 0 ) = γ(s 0 ) est une
fibration.

122 11. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
Pour montrer ceci, construisons, pour tout carré commutatif
Y × {0}
i
Y × I
h
g
f
un revêtement h : Y × I → PX tel que ɛh = g et hi = f . Soit y ∈ Y. Alors
ɛ · f (y, 0) = ɛ(γ, s 0 ) = γ(s 0 ) pour un (γ, s 0 ) ∈ PX et g(y, 0) = γ(s 0 ) par la
commutativité du diagramme.
Pour (y, t 0 ) ∈ Y × I, g | {y}×[0,t0 ]= (δ, t 0 ) ∈ MX avec δ(0) = γ(s 0 ) et δ(t) =
g(y, t) pour tout t ≤ t 0 par la continuité de g.
On pose
PX
X
h(y, t) = ( f (y, 0)) · (δ, t)
= (γ, s 0 ) · (δ, t) ∈ PX
pour tout (y, t) ∈ Y × I. L’application est bien définie car δ(0) = γ(s 0 ) et elle
est continue car il s’agit d’une composition de deux chemins. Il nous faut
encore vérifier si le diagramme commute.
h(i(y, t)) = h(y, 0)
pour tout y ∈ Y et
= ( f (y, 0)) · (δ, 0)
= f (y, 0) (car (δ, 0) est le chemin constant),
ɛ(h(y, t)) = ɛ((γ · δ), s 0 + t)
= (γ · δ)(s 0 + t)
= δ(t)
= g(y, t)
pour tout (y, t) ∈ Y × I. Ainsi h est bien le revêtement cherché.
(3) La fibre de x 0 est l’espace de lacets de Moore ΩX.
En effet,
ɛ −1 (x 0 ) = {(γ, s 0 ) ∈ PX | γ(s 0 ) = x 0 }
= {(γ, s 0 ) ∈ MX | γ(0) = x 0 , γ(s 0 ) = x 0 }
= ΩX.
(4) π k (ΩX) π k+1 (X).
En effet, nous avons montré au point précédent que ɛ −1 (x 0 ) = ΩX est
la fibre de x 0 . Par le rappel, nous avons la suite exacte
· · · → π k (PX) → π k (X) → π k−1 (ΩX) → π k−1 (PX) → · · ·
Comme PX est contractile, π k (PX) = 0 pour tout k ≥ 1 et la suite devient
· · · → 0 → π k (X) → π k−1 (ΩX) → 0 → · · ·
Etant donné que la suite est exacte, on a bien π k (X) π k−1 (ΩX) pour tout
k ≥ 2 et le théorème est donc démontré.
ɛ
□

2. ESPACES TOPOLOGIQUES ET ALGÈBRES 123
Soit (M, µ M ) un monoïde topologique et X un espace topologique tel qu’il existe
une équivalence d’homotopie f : M −→ ≃
X. Dans ce cas f induit une application
continue µ X : X × X → X tel que le diagramme suivant commute :
M × M µ M
M
.
f × f
X × X µ X
X
Il faut toutefois remarquer que (X, µ X ) n’est pas un monoïde topologique -
il n’en est un qu’à homotopie près. C’est notre motivation principale pour la
définition suivante, cette dernière nous permettant « d’alléger » la structure de
monoïde topologique et d’obtenir une propriété invariante par équivalence d’homotopie.
f
2.3. H-groupes.
DÉFINITION 11.19.
Un H-espace (X, x 0 ) est un espace topologique muni de deux applications continues
µ : X × X → X, appelée multiplication et ι : {x 0 } → X tel que µ ◦ (Id X ×ι) ≃ Id X ≃
µ ◦ (ι × Id X ), ce qui correspond à l’existence d’un élément neutre dans X.
Un H-espace est dit associatif si la multiplication est associative à homotopie
près, c’est-à-dire que µ ◦ (Id X ×µ) ≃ µ ◦ (µ × Id X ).
Un H-groupe est un H-espace associatif doté d’une application continue ψ :
X → X tel que µ ◦ (Id X ×ψ) ≃ ι ≃ µ ◦ (ψ × Id X ), ce qui correspond à l’existence d’un
inverse à homotopie près.
EXEMPLE 11.20.
Soit (X, x 0 ) un espace topologique pointé. Alors l’espace de lacets ΩX de base x 0 est
un H-espace par rapport à la multiplication donnée par la composition de chemins
et ι correspondant à l’inclusion de du chemin constant en x 0 dans ΩX.
2.4. Groupes de Lie.
DÉFINITION 11.21.
Un groupe de Lie est une variété différentiable M munie d’une structure de groupe
telle que la multiplication M × M → M et l’inversion M → M soient C ∞ . Un
morphisme de groupes de Lie est à la fois un morphisme de variétés et un homomorphisme.
EXEMPLES 11.22.
(1) Tous les exemples de groupes topologiques déjà cités sont en particulier
des groupes de Lie.

124 11. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
(2) Le groupe linéaire général GL(n), des matrices réelles inversibles d’ordre
n, muni de la multiplication de matrices est un groupe de Lie non connexe.
Il suffit en effet de regarder son image par le déterminant : GL(n) admet
exactement deux composantes connexes GL(n) + = det −1 (R+) ∗ et GL(n) − =
det −1 (R− ∗ ). Le groupe linéaire spécial SL(n) ⊂ GL(n) des matrices de
déterminant 1 est un sous-groupe de Lie de GL(n).
(3) Le groupe orthogonal O(n) des matrices réelles d’ordre n qui vérifient
A T A = I (où A T désigne la transposée de A) et le groupe orthogonal
spécial SO(n) ⊂ O(n) des matrices orthogonales de déterminant 1 sont
des groupes de Lie.
(4) Le groupe unitaire U(n) des matrices complexes d’ordre n qui vérifient
A T A = I (où A désigne la matrice conjuguée de A) et le groupe unitaire
spécial SU(n) ⊂ U(n) des matrices unitaires de déterminant 1 sont des
groupes de Lie.
2.5. La notion d’algèbre.
Les propositions suivantes découlent de la fonctorialité de l’homologie singulière
H ∗ (−) vue à la fin du premier chapitre.
PROPOSITION 11.23.
Soit X un monoïde topologique, respectivement un H-espace associatif et soit ϕ : X×X → X
la multiplication correspondante. Alors ϕ induit un morphisme de Q-espaces vectoriels
ϕ ′ ∗ : H ∗ (X, Q) ⊗ H ∗ (X, Q)
H ∗ (X × X, Q)
ϕ ∗
H ∗ (X, Q) .
PROPOSITION 11.24.
Soit X défini comme ci-haut et {∗} l’espace topologique composé d’un seul point. L’application
d’inclusion η : {∗}, → X dont l’image est l’élément neutre, induit alors un morphisme
η ′ ∗ : Q H ∗ ({∗}, Q)
η ∗
H ∗ (X, Q) .
Voici maintenant la définition d’une algèbre.
DÉFINITION 11.25.
Une algèbre sur un corps K est un K-espace vectoriel gradué A doté de deux morphismes
de K-espaces vectoriels gradués
ϕ : A ⊗ A → A et η : K → A
tels que les diagrammes suivants commutent :

2. ESPACES TOPOLOGIQUES ET ALGÈBRES 125
A ⊗ A ⊗ A Id ⊗ϕ A ⊗ A
ϕ⊗Id
A ⊗ A
ϕ
A
ϕ
K ⊗ A
η⊗Id
A ⊗ A
Id ⊗η
A ⊗ K
ϕ
A
ϕ
A ⊗ A
L’application ϕ est appelée la multiplication de l’algèbre et la première condition
garantit son associativité. L’application η est dite l’unité de A, elle garantit
l’existence d’un élément neutre pour la multiplication.
EXEMPLES 11.26.
(1) La multiplication usuelle d’un corps K permet de considérer ce dernier
comme K-algèbre de façon canonique.
(2) Soit X un monoïde topologique, respectivement un H-espace associatif.
Alors il découle des propositions 11.23 et 11.24 que (H ∗ (X, Q), ϕ ′ ∗, η ′ ∗) est
une algèbre sur Q.
(3) (Produit tensoriel d’algèbres)
Soient A et B deux algèbres sur un corps K. Alors A ⊗ B est une algèbre
avec la multiplication donnée par la composition
A ⊗ B ⊗ A ⊗ B Id A ⊗T⊗Id B
A ⊗ A ⊗ B ⊗ B
et l’unité définie par
ϕ A ⊗ϕ B
A ⊗ B
K = K ⊗ K
η A ⊗η B
A ⊗ B .
DÉFINITION 11.27.
Soient A et B deux algèbres sur un corps K. Un morphisme d’algèbres f : A → B est
un morphisme de K-espaces vectoriels gradués tel que les diagrammes suivants
commutent :
A ⊗ A ϕ A
A K η A
A
f ⊗ f
B ⊗ B ϕ B
B
f
Id K
K η B
B
f
EXEMPLE 11.28 (Augmentation d’algèbre).
Une augmentation est un morphisme d’algèbres ε : A → K. Il est alors facile de

126 11. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
voir que εη = Id K . Une algèbre munie d’une augmentation s’appelle une algèbre
augmentée.
DÉFINITION 11.29.
Une algèbre A est dite commutative si le diagramme
A ⊗ A
ϕ
T
A
ϕ
A ⊗ A
est commutatif.
3. Algèbres de Hopf
Après avoir défini les algèbres et coalgèbres, il est naturel de se demander
comment ces deux structures peuvent coexister sur un même espace vectoriel.
Dans ce qui suit, nous aimerions étudier des situations dans lesquelles ces structures
sont compatibles. Avant de commencer, rappelons que si A est une algèbre,
respectivement coalgèbre sur un corps K, alors A ⊗ A est également une algèbre,
resp. coalgèbre et que l’on peut doter le corps K à la fois d’une structure d’algèbre
et de coalgèbre de manière canonique.
PROPOSITION 11.30.
Soit A un espace vectoriel gradué, (A, ϕ, η) une algèbre et (A, ∆, ε) une coalgèbre. Les
assertions suivantes sont équivalentes :
(1) Les applications ϕ et η sont des morphismes de coalgèbres.
(2) Les applications ∆ et ε sont des morphismes d’algèbres.
DÉMONSTRATION. Pour que ϕ soit un morphisme de coalgèbres, il faut que les
diagrammes suivants commutent :
A ⊗ A
∆⊗∆
A ⊗ A ⊗ A ⊗ A
ϕ
A
Id ⊗T⊗Id
∆
A ⊗ A
ϕ⊗ϕ
A ⊗ A ⊗ A ⊗ A
A ⊗ A ε⊗ε K ⊗ K
A
ϕ
ε
K

3. ALGÈBRES DE HOPF 127
L’application η est un morphisme de coalgèbres si et seulement si les diagrammes
K K ⊗ K
K Id K
K
A
η
η⊗η
∆ A ⊗ A
η
A ε K
commutent. Il est facile de voir que ∆ est un morphisme d’algèbres si et seulement
si le premier et le troisième diagramme commutent et que ε est un morphisme
d’algèbres si et seulement si le deuxième et le quatrième diagramme commutent.
D’où découle l’équivalence des deux assertions.
□
Id K
DÉFINITION 11.31.
Une algèbre de Hopf ou bialgèbre sur un corps K est un K-espace vectoriel gradué A
doté de morphismes de K-espaces vectoriels gradués
tels que
ϕ : A ⊗ A → A,
∆ : A → A ⊗ A,
(1) (A, ϕ, η) est une algèbre sur K,
(2) (A, ∆, ε) est une coalgèbre sur K
η : K → A
ε : A → K
(3) ϕ et η sont des morphismes de coalgèbres (ou de façon équivalente, ∆ et
ε sont des morphismes d’algèbres).
REMARQUE 11.32.
Il s’ensuit de proposition 11.30 qu’une algèbre de Hopf ainsi définie est une algèbre
augmentée avec augmentation ε et une coalgèbre augmentée avec augmentation
η.
DÉFINITION 11.33.
Soient H et H ′ deux K-algèbres de Hopf. Un morphisme de K-espaces vectoriels
gradués f : H → H ′ est appelée un morphisme d’algèbres de Hopf si f est un morphisme
d’algèbres, respectivement de coalgèbres pour les algèbres, resp. coalgèbres
sous-jacentes.
EXEMPLE 11.34.
Soit X un monoïde topologique, respectivement un H-espace associatif. Alors
(H ∗ (X, Q), ϕ ′ ∗, η ′ ∗, ∆ ′ ∗, ε ′ ∗) est une algèbre de Hopf sur Q.
EXEMPLE 11.35 (Algèbre tensorielle).
Soit V un K-espace vectoriel. Une algèbre tensorielle de V est un couple (X, ι) où X
est une K-algèbre et ι : V → X est une application linéaire telle que la propriété
universelle suivante est satisfaite : pour tout K-algèbre A et pour toute application

128 11. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
K-linéaire f : V → A il existe un unique morphisme d’algèbres f : X → A tel que
f ι = f autrement dit le diagramme suivant est commutatif :
V
f
ι
f
A
On peut montrer que l’algèbre tensorielle d’un espace vectoriel existe et elle est
unique à isomorphisme près. A présent nous allons présenter sa construction.
Posons T 0 (V) = K, T 1 (V) = V et pour n ≥ 2, T n (V) = V ⊗ . . . ⊗ V, le produit tensoriel
de V avec lui-même n fois. Pour finir, posons T(V) = ⊕ n≥0 T n (V), et ι : V → T(V)
définie par ι(v) = v ∈ T 1 (V) pour tout v ∈ V. On définit la multiplication sur T(V)
de la manière suivante : si v = v 1 ⊗ . . . ⊗ v n ∈ T n (V) et w = w 1 ⊗ . . . ⊗ w m ∈ T m (V),
alors
v · w = v 1 ⊗ . . . ⊗ v n ⊗ w 1 ⊗ . . . ⊗ w m ∈ T n+m (V).
Il est facile de voir que la multiplication est associative, et de plus 1 ∈ T 0 (V) est
l’élément neutre pour la multiplication. Ainsi, T(V) est une algèbre et le couple
(T(V), ι) est l’algèbre tensorielle de V.
Avant de définir une structure de coalgèbre sur T(V), nous allons introduire
une nouvelle notation pour plus de clarté : si v ∈ T n (V) et w ∈ T m (V) sont deux
monômes tensoriels, alors on notera le monôme tensoriel dans T(V) ⊗ T(V) ayant
v comme première et w comme deuxième composante par v⊗w.
Considérons maintenant l’application linéaire f : V → T(V) ⊗ T(V) définie par
f (v) = v⊗1 + 1⊗v. Grâce à la propriété universelle de l’algèbre tensorielle, il existe
un morphisme d’algèbres ∆ : T(V) → T(V) ⊗ T(V) tel que ∆ι = f .
Montrons que ∆ est coassociative, autrement dit que (∆ ⊗ Id)∆ = (Id ⊗∆)∆.
Comme les deux égalités de l’équation sont des morphismes d’algèbres, il suffit de
démontrer la relation pour un système de générateurs de T(V), donc pour ι(V) = V.
Mais pour v ∈ V, nous avons en effet
et
(∆ ⊗ Id)∆(v) = (∆ ⊗ Id)(v⊗1 + 1⊗v)
X
= v⊗1⊗1 + 1⊗v⊗1 + 1⊗1⊗v
(Id ⊗∆)∆(v) = (Id ⊗∆)(v⊗1 + 1⊗v)
= v⊗1⊗1 + 1⊗v⊗1 + 1⊗1⊗v,
ce qui montre la coassociativité de ∆. Définissons ensuite la counité grâce à la propriété
universelle de l’algèbre tensorielle pour l’application identiquement nulle
0 : V → K. Nous obtenons un morphisme d’algèbres ε : T(V) → K tel que ε(v) = 0
pour tout v ∈ ι(V). Pour montrer que (ε ⊗ Id)∆ = φ, où φ : T(V) → K ⊗ T(V), φ(v) =
1 ⊗ v est l’isomorphisme canonique, il suffit de vérifier l’égalité pour ι(V). Dans ce
cas, nous avons clairement
(ε ⊗ Id)∆(v) = ε(v) ⊗ 1 + ε(1) ⊗ v = 1 ⊗ v = φ(v).
De même, (Id ⊗ε)∆ = φ ′ , où φ ′ : T(V) → T(V) ⊗ K est l’isomorphisme canonique.
En résumé, nous pouvons donc conclure que T(V) est une algèbre de Hopf.

CHAPITRE 12
Constructions duales
1. Rappels sur les espaces duaux
Voici quelques rappels d’algèbre linéaire concernant l’espace dual.
DÉFINITION 12.1.
Soit V un espace vectoriel sur un corps K. Alors l’espace dual de V est l’ensemble
des applications linéaires allant de V dans K que l’on dénote par V ∗ . Soient V et W
deux K-espaces vectoriels et ϕ : V → W une application linéaire. Alors ϕ induit
une application linéaire ϕ ∗ : W ∗ → V ∗ définie par ϕ ∗ ( f ) = f ◦ ϕ pour tout f ∈ W ∗ .
On appelle ϕ ∗ la transposée de ϕ.
Dans ce qui suit, on suppose que les espaces vectoriels sont de dimension finie.
PROPOSITION 12.2.
(1) Soit V un K-espace vectoriel et {x 1 , . . . , x n } une base de V. Alors { f i : V → K |
f i (x j ) = δ ij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n} est une base de V ∗ et V est isomorphe à V ∗ .
(2) Soit V défini comme ci-haut. Alors V ⊗ V admet pour base {x i ⊗ x j | 1 ≤ i, j ≤ n}
et {g ij : V ⊗ V → K | g ij (x r ⊗ x s ) = δ ir δ js ∀ 1 ≤ i, j, r, s ≤ n} est la base
correspondante de (V ⊗ V) ∗ .
(3) Soit V un K-espace vectoriel. L’application ρ : V ∗ ⊗ V ∗ → (V ⊗ V) ∗ définie par
ρ( f ⊗ g)(v ⊗ w) = f (v)g(w) pour f, g ∈ V ∗ , v, w ∈ V est un isomorphisme.
(4) Par récurrence, on peut montrer que pour tout n ≥ 3, l’application θ n :
V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ → (V ⊗ · · · ⊗ V) ∗ définie par θ( f
}{{}
1 ⊗ · · · ⊗ f n )(v 1 ⊗ · · · ⊗ v n ) =
}{{}
nfois
nfois
f 1 (v 1 ) · · · f n (v n ) pour f 1 , . . . , f n ∈ V ∗ , v 1 , . . . , v n ∈ V est un isomorphisme.
(5) Soit V un espace vectoriel. Alors l’application linéaire θ V : V → V ∗∗ définie par
θ V (v)(v ∗ ) = v ∗ (v) pour tout v ∈ V, v ∗ ∈ V ∗ est un isomorphisme.
(6) Soient V, W deux Q-espaces vectoriels et soit ϕ : V → W une application
linéaire. Alors ϕ : V → W est injective si et seulement si ϕ ∗ : W ∗ → V ∗ est
surjective.
(7) Soit 〈 , 〉 : V × W une application bilinéaire et considérons l’homomorphisme
induit V ⊗ W → Q définie par v ⊗ w ↦→ 〈v, w〉. Supposons que si 〈v, w〉 =
0 ∀ w ∈ W alors v = 0, ainsi que si 〈v, w〉 = 0 ∀ v ∈ V alors w = 0. Dans ce cas
V W ∗ .
129

130 12. CONSTRUCTIONS DUALES
DÉMONSTRATION. Les points (1)-(5) sont des rappels d’algèbre linéaire. Nous
n’allons démontrer ici que les deux dernières affirmations.
Preuve de (6) :
Supposons ϕ : V → W injective et soit f ∈ V ∗ . Par hypothèse, ϕ admet un inverse
à gauche ψ : W → V (autrement dit, ψ ◦ ϕ = Id V ). Posons g = f ◦ ψ ∈ W ∗ . Alors
ϕ ∗ (g) = g ◦ ϕ = f ◦ ψ ◦ ϕ = f ◦ Id V = f, et donc ϕ ∗ est surjective.
Supposons ensuite ϕ : V → W surjective et soient f, g ∈ W ∗ telles que ϕ ∗ ( f ) =
ϕ ∗ (g) ⇔ f (ϕ(x)) = g(ϕ(x)) pour tout x ∈ V. Par la surjectivité de ϕ, il existe pour
tout y ∈ W un x ∈ V tel que ϕ(x) = y. Il s’ensuit que f (y) = g(y) pour tout y ∈ W,
d’où l’injectivité de ϕ ∗ .
Preuve de (7) :
Considérons l’homomorphisme d’évaluation ε : V → W ∗ , v ↦→ 〈v, −〉. Par la
première hypothèse, elle est clairement injective car Ker(ε) = {0}.
Supposons ensuite par l’absurde que ε ne soit pas surjective. Soit n = dim V.
Alors il existe {v 1 , . . . , v n } base de V telle que Im ε = span(〈v 1 , −〉, . . . , 〈v 1 , −〉). Soit
f ∈ W ∗ \ Im ε. Alors span( f ) ∩ Im ε = 0 et il existe donc w 0 ∈ W tel que
f (w) = 1, 〈v i , w〉 = 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n. Prenons ensuite v = ∑ n
j=1 λ jv j ∈ V
quelconque. Il vient 〈v, w〉 = 〈 ∑ n
j=1 λ jv j , w〉 = ∑ n
j=1 λ j〈v j , w〉 = 0 et par conséquent
〈v, w〉 = 0 pour tout v ∈ V, ce qui contredit la deuxième hypothèse. Ainsi ε est
surjective et il s’agit donc bien d’un isomorphisme.
□
2. La (co)algèbre duale
Après avoir construit l’espace dual d’un espace vectoriel donné, on peut se
demander s’il est possible d’associer à une coalgèbre une algèbre duale et vice
versa. Les théorèmes suivants nous garantissent l’existence de telles paires dans le
cas des (co)algèbres de type fini.
THÉORÈME 12.3.
Soit (A, ∆, ε) une K-coalgèbre. Définissons les applications ϕ : A ∗ ⊗ A ∗ → A ∗ , ϕ = ∆ ∗ ρ où
ρ est définie comme dans la proposition 12.2 et η : K → A ∗ , η = ε ∗ φ où φ : K → K ∗ est
l’isomorhisme canonique, c’est-à-dire φ(1) = Id K . Alors (A ∗ , ϕ, η) est une algèbre. Ainsi
définie, A ∗ s’appelle l’algèbre duale de la coalgèbre A.
DÉMONSTRATION. Désignons ϕ( f ⊗ g) par f ∗ g. En utilisant la notation de
Sweedler, on obtient à partir de la définition que
( f ∗ g)(a) = (∆ ∗ ρ)( f ⊗ g)(a)
= ρ( f ⊗ g)(∆(a))
∑
= ρ( f ⊗ g)(
∑
a 1 ⊗ a 2 )
= ρ(
∑
f (a 1 ) ⊗ g(a 2 ))
= f (a 1 )g(a 2 )

2. LA (CO)ALGÈBRE DUALE 131
pour f, g ∈ A ∗ et a ∈ A. Il s’ensuit grâce à la proposition 11.10 que pour f, g, h ∈ A ∗
et a ∈ A, nous avons
∑
( f ∗ g) ∗ h)(a) = ( f ∗ g)(a 1 )h(a 2 )
∑
= f (a 11 )g(a 12 )h(a 2 )
∑
= f (a 1 )g(a 21 )h(a 22 )
∑
= f (a 1 )(g ∗ h)(a 2 )
= ( f ∗ (g ∗ h))(a),
d’où l’associativité.
On peut de plus remarquer que pour k ∈ K et a ∈ A, on a
η(k)(a) = ε ∗ φ(k)(a) = φ(k)(ε(a)) = kε(a).
Vérifier la deuxième condition de la définition d’algèbre revient à montrer qu’il
existe un élément neutre pour la multiplication définie par ϕ, autrement dit que
η(1) ∗ f = f ∗ η(1) = f pour tout f ∈ A ∗ , ce qui est une conséquence directe de la
formule ∑ ε(a 1 )a 2 = a 1 ε(a 2 ) = a, déjà montrée dans la proposition 11.10. □
THÉORÈME 12.4.
Soit (A, ϕ, η) une K-algèbre finie. Définissons les applications ∆ : A ∗ → A ∗ ⊗A ∗ , ∆ = ρ −1 ϕ ∗
où ρ est définie comme dans la proposition 12.2 et ε : A ∗ → K, ε = ψη ∗ où ψ : K ∗ → K est
l’isomorhisme canonique, c’est-à-dire ψ( f ) = f (1) pour tout f ∈ K ∗ . Alors (A ∗ , ∆, ε) est
une coalgèbre. Ainsi définie, A ∗ s’appelle la coalgèbre duale de l’algèbre A.
DÉMONSTRATION. Notons tout d’abord que si ∆( f ) = ∑ i g i ⊗ h i avec g i , h i ∈ A ∗ ,
alors f (ab) = ∑ i g i (a) ⊗ h i (b) pour tout a, b ∈ A. De plus, si (g ′ j , h′ j ) j est une famille
finie d’éléments de A ∗ telles que f (ab) = ∑ j g ′ j (a) ⊗ h′ (b) pour tout a, b ∈ A, alors
∑
j
i g i ⊗ h i = ∑ j g ′ j ⊗ h′ grâce à l’injectivité de ρ.
j
Nous pouvons ainsi définir ∆( f ) = ∑ i g i ⊗h i pour toute famille finie (g i , h i ) i ∈ A ∗
ayant la propriété que f (ab) = ∑ i g i (a) ⊗ h i (b) pour tout a, b ∈ A.
Prouvons maintenant la coassociativité de ∆. Soit f ∈ A ∗ avec ∆( f ) = ∑ i g i ⊗ h i .
Soit de plus ∆(g i ) = ∑ j g ′ ij ⊗ g′′ ij et ∆(h i) = ∑ j h ′ ij ⊗ h′′ ij . Alors
(∆ ⊗ A) ⊗ ∆( f ) =
(A ⊗ ∆) ⊗ ∆( f ) =
∑
i,j
∑
i,j
g ′ ij ⊗ g′′ ij ⊗ h i
g i ⊗ h ′ ij ⊗ h′′ ij .
Considérons l’application θ 3 : A ∗ ⊗A ∗ ⊗A ∗ → (A⊗A⊗A) ∗ définie dans la proposition
12.2. Alors pour tout a, b, c ∈ A,
∑
∑
θ 3 ( g ′ ij ⊗ g′′ ij ⊗ h i)(a ⊗ b ⊗ c) = g ′ ij (a)g′′ ij (b)h i(c)
i,j
=
i,j
∑
g i (ab)h i (c)
= f (abc)
i

132 12. CONSTRUCTIONS DUALES
et
∑
∑
θ 3 ( g i ⊗ h ′ ij ⊗ h′′ ij )(a ⊗ b ⊗ c) =
i,j
i,j
=
i,j
g i (a)h ′ ij (b)h′′ ij (c)
∑
g i (a)h i (bc)
= f (abc).
Comme θ 3 est un isomorphisme, donc en particulier injectif, nous obtenons que
∑
∑
g ′ ij ⊗ g′′ ij ⊗ h i = g i ⊗ h ′ ij ⊗ h′′ ij ,
d’où la coassociativité de ∆.
Il nous reste encore à vérifier la propriété de counité. Mais pour tout a ∈ A,
nous avons ∑
∑
( ε(g i )h i )(a) = g i (1)h i (a) = f (1 · a) = f (a),
i
i
et donc ∑ i ε(g i )h i = f . De la même manière, on montre que ∑ i ε(h i )g i = f , donc la
propriété de counité est également vérifiée.
□
i,j
i
REMARQUE 12.5.
(1) Il est toujours vrai que le dual d’une coalgèbre et une algèbre mais
la réciproque n’est vérifié que dans le cas des espaces vectoriels finis.
Cela découle du fait que l’application ρ que nous avons utilisé lors des
constructions est seulement injective, mais pas bijective s’il s’agit d’espaces
vectoriels de dimension infinie.
(2) Au cours des preuves précédentes, nous n’avons pas fait mention de
(co)algèbres graduées mais de simples (co)algèbres. En remplaçant l’hypothèse
de la dimension finie par l’hypothèse que les (co)algèbres gradués
sont de type fini, les théorèmes tiennent dans ce cadre plus général
également. Toutefois, lors des vérifications il faut tenir compte du degré
des éléments, ce qui entrave la lisibilité des preuves, raison pour laquelle
nous l’avons omis. En l’occurrence, si V = (V n ) n∈N est un espace
vectoriel gradué, la définition de ρ : V ∗ ⊗ V ∗ → (V ⊗ V) ∗ devient
ρ( f ⊗ g)(v ⊗ w) = (−1) pq f (v)g(w) pour f, g ∈ V ∗ , v ∈ V p , w ∈ V q .
Nous allons maintenant montrer qu’en plus des structures d’algèbre et de
coalgèbre, les morphismes se traduisent tout aussi convenablement lors du passage
au dual.
THÉORÈME 12.6.
(1) Si f : C → D est un morphisme de coalgèbres, alors f ∗ : D ∗ → C ∗ est un
morphisme d’algèbres.
(2) Si f : A → B est un morphisme d’algèbres finies, alors f ∗ : B ∗ → A ∗ est un
morphisme de coalgèbres.

2. LA (CO)ALGÈBRE DUALE 133
DÉMONSTRATION.
(1) Soient d ∗ , e ∗ ∈ D ∗ et c ∈ C. Nous avons alors
( f ∗ (d ∗ ∗ e ∗ ))(c) = (d ∗ ∗ e ∗ )( f (c))
∑
= d ∗ ( f (c 1 ))e ∗ ( f (c 2 )) ( f est un morphisme de coalgèbres)
=
∑
( f ∗ (d ∗ ))(c 1 )( f ∗ (e ∗ ))(c 2 )
= ( f ∗ (d ∗ ) ∗ f ∗ (e ∗ ))(c),
et par conséquent l’égalité f ∗ (d ∗ e ∗ ) = f ∗ (d ∗ ) f ∗ (e ∗ ) est vérifiée. De plus, pour
k ∈ K, on a
f ∗ η D (k)(c) = f ∗ ε ∗ D φ(k)(c) = k f ∗ (ε D (c)) = kε D ( f (c))
= kε C (c) = ε ∗ C φ(k)(c) = η C(k)(c),
vu que ε D f = ε C , et donc f ∗ est bien un morphisme d’algèbres.
(2) Nous devons montrer la commutativité du diagramme suivant :
B ∗ f ∗
A ∗ ∆ A ∗
∆ B ∗
B ∗ ⊗ B ∗ f ∗ ⊗ f ∗ A ∗ ⊗ A ∗
Soit b ∗ ∈ B ∗ avec (∆ A ∗ f ∗ )(b ∗ ) = ∆ A ∗(b ∗ f ) = ∑ i g i ⊗ h i et ∆ B ∗(b ∗ ) = ∑ j p j ⊗ q j et
soit ρ : A ∗ ⊗ A ∗ → A ∗ l’isomorphisme canonique. Alors pour tout a, b ∈ A,
nous avons
∑
ρ((∆ A ∗ f ∗)(b ∗ ))(a ⊗ b) = g i (a)h i (b) = (b ∗ f )(ab)
et
∑
ρ(( f ∗ ⊗ f ∗ )∆ B ∗(b ∗ ))(a ⊗ b) = ρ( p j f ⊗ q j f )(a ⊗ b)
i
=
=
j
∑
(p j f )(a)(q j f )(b)
j
∑
p j ( f (a))q j ( f (b))
j
= b ∗ ( f (a) f (b))
= b ∗ ( f (ab)),
ce qui montre que le diagramme est commutatif. De plus
(ε A ∗ f ∗ )(b ∗ ) = ε A ∗(b ∗ f ) = (b ∗ f )(1) = b ∗ ( f (1)) = b ∗ (1) = ε B ∗(b ∗ ),
ce qui prouve que f ∗ est en effet un morphisme de coalgèbres.
□

134 12. CONSTRUCTIONS DUALES
3. L’algèbre de Hopf duale
A présent, nous avons tous les outils nécessaires en main pour prouver un
résultat capital, à savoir le fait que le dual d’une algèbre de Hopf de type fini est
encore une algèbre de Hopf.
THÉORÈME 12.7.
Soit H une algèbre de Hopf de dimension finie. Alors H ∗ , muni de la structure d’algèbre
duale à la structure de coalgèbre de H et de la structure de coalgèbre duale à la structure
d’algèbre de H est une algèbre de Hopf, appelée l’algèbre de Hopf duale de H.
DÉMONSTRATION. Soient ∆ et ε la comultiplication et la counité de H, et soient
δ et E la comultiplication et la counité de H ∗ . Souvenons-nous que pour h ∗ ∈ H ∗ ,
nous avons E(h ∗ ) = h ∗ (1) et δ(h ∗ ) = ∑ h ∗ 1 ⊗ h∗ 2 avec h∗ (hg) = ∑ h ∗ 1 (h)h∗ (g) pour tout
2
h, g ∈ H. Il nous suffit de montrer que δ et E sont des morphismes d’algèbres. En
effet, si h ∗ , g ∗ ∈ H ∗ et δ(h ∗ ) = ∑ h ∗ 1 ⊗ h∗ 2 , δ(g∗ ) = ∑ g ∗ 1 ⊗ g∗ , alors pour tout h, g ∈ H
2
nous avons
∑
(h ∗ ∗ g ∗ )(hg) = h ∗ (h 1 g 1 )g ∗ (h 2 g 2 )
∑
= h ∗ 1 (h 1)h ∗ 2 (g 1)g ∗ 1 (h 2)g ∗ 2 (g 2)
∑
= (h ∗ 1 g∗ 1 )(h)(h∗ 2 g∗ 2 )(g),
ce qui montre que
δ(h ∗ g ∗ ) =
∑
h ∗ 1 g∗ 1 ⊗ h∗ 2 g∗ 2 = δ(h∗ )δ(g ∗ ).
De plus, ε(hg) = ε(h)ε(g) pour tout h, g ∈ H, et donc δ(ε) = ε ⊗ ε, ce qui montre
que δ et bien un morphisme d’algèbres. Il nous reste encore à prouver que E est
également un morphisme d’algèbres. Mais ceci est facile à voir, étant donné que
et
ce qui termine la preuve.
E(h ∗ g ∗ ) = (h ∗ g ∗ )(1) = h ∗ (1)g ∗ (1) = E(h ∗ )E(g ∗ )
E(ε) = ε(1) = 1,
□

CHAPITRE 13
Le théorème de Milnor-Moore
1. Éléments primitifs et indécomposables
DÉFINITION 13.1.
Soit A une K-algèbre ou K-coalgèbre augmentée. Alors A est dite connexe si A 0 est
isomorphe à K.
La proposition suivante est une conséquence directe de la définition de morphisme
de (co)algèbres :
PROPOSITION 13.2.
(1) Soit A une algèbre et ε : A → K une augmentation de A. Désignons par IA le
noyau de ε. Alors si A est connexe, il existe une unique augmentation de A et
IA = {A q } q>0 .
(2) Soit A une coalgèbre et η : K → A une augmentation de A. Désignons par JA le
conoyau de η. Alors si A est connexe, il existe une unique augmentation de A et
JA = {A q } q>0 .
DÉFINITION 13.3.
(1) Soit A une algèbre augmentée sur K et soit QA le K-espace vectoriel
gradué IA/ϕ(IA ⊗ IA). Les éléments de QA s’appellent alors les éléments
indécomposables de A.
(2) Soit A une coalgèbre augmentée sur K et PA l’ensemble des éléments
a ∈ JA tels que ∆(a) = a ⊗ 1 + 1 ⊗ a. Ces derniers s’appellent les éléments
primitifs de A.
THÉORÈME 13.4.
Soit A une Q-algèbre de Hopf connexe. Alors P(A ∗ ) = Q(A) ∗ .
DÉMONSTRATION. Partons du morphisme d’évaluation ɛ : A ∗ ⊗ A → Q définie
par ɛ( f ⊗a) = f (a), f ∈ A ∗ , a ∈ A. Sa restriction induit un morphisme P(A ∗ )⊗IA → Q.
Prenons f ∈ P(A ∗ ) et x, y ∈ IA. Alors
ɛ( f ⊗ (xy)) = f (xy) = ( f ⊗ 1 + 1 ⊗ f )(x ⊗ y) = f (x)1(y) + (−1) deg f deg y 1(x) f (y) = 0,
135

136 13. LE THÉORÈME DE MILNOR-MOORE
car 1 : A → Q est défini par 1(a) = a si a ∈ A 0 , 1(a) = 0 si a ∈ A q , q > 0 et x, y sont de
degré strictement positif par la connexité de A. Par conséquent, ϕ(IA ⊗ IA) ⊂ Ker f
pour tout f ∈ P(A ∗ ) et donc l’application
donnée par
ɛ : P(A ∗ ) ⊗ IA/ϕ(IA ⊗ IA) = P(A ∗ ) ⊗ QA → Q
ɛ( f ⊗ a) = f (a), f ∈ P(A ∗ ), a ∈ QA
est bien définie.
Nous aimerions maintenant montrer que ɛ satisfait les hypothèses de la proposition
12.2(7).
Soit f ∈ P(A ∗ ) tel que ɛ( f ⊗ a) = 0 pour tout a ∈ QA. Alors f (a) = 0 pour tout
a ∈ IA et donc f est bien l’application identiquement nulle.
Soit ensuite a ∈ QA tel que ɛ( f ⊗ a) = 0 pour tout f ∈ P(A ∗ ). Alors f (a) = 0
pour tout f ∈ P(A ∗ ). Supposons par l’absurde que a 0. Alors, si a ∈ A n , on
peut compléter {a} en une base {a 1 = a, a 2 , . . . , a N } de A n telle que {a 1 , . . . , a m } est
une base de (QA) n . Considérons ensuite les fonctions indicatrices f i , 0 ≤ i ≤ N
correspondants qui forment une base de (A ∗ ) n . Comme f 1 (a 1 ) = 1 0, l’application
f 1 n’appartient pas à P(A ∗ ). Il s’ensuit que
∑
∆ f 1 = f 1 ⊗ 1 + f 11 ⊗ f 12 + 1 ⊗ f 1
avec ∆ f 1 = ∑ f 11 ⊗ f 12 0. Par conséquent, il existe ∑ a ′ ⊗ a ′′ ∈ (IA ⊗ IA) n tel que
(∆ f 1 )( ∑ a ′ ⊗ a ′′ ) = t 0. Mais alors
∑
∑
∑
t = (∆ f 1 )(a ′ ⊗ a ′′ ) = f 1 (a ′ a ′′ ) = f 1 ( a ′ a ′′ ),
et comme ∑ a ′ a ′′ ∈ A n , on peut écrire ∑ a ′ a ′′ = ∑ N
i=1 r ia i avec r i ∈ K. Etant donné
que f 1 est la fonction indicatrice de a 1 , on obtient
∑
t = f 1 ( a ′ a ′′ ) = f 1 (
N∑
r i a i ) = r 1 ,
autrement dit ∑ a ′ a ′′ = ta 1 + ∑ N
i=2 r ia i . Soit π : A n → (QA) n l’application quotient.
Alors
∑
m∑
π( a ′ a ′′ ) = 0 = ta 1 + r i a i .
Par l’indépendance linéaire des a i , on obtient t = r 1 = · · · = r m = 0, contradiction.
Ainsi on a bien a = 0.
Nous pouvons donc en conclure que P(A ∗ ) Q(A) ∗ .
□
i=1
i=2
DÉFINITION 13.5.
Soit A une algèbre et V ⊂ A un espace vectoriel. On dit que V engendre A si le
morphisme d’algèbres ι : T(V) → A induite par l’inclusion ι : V → A est surjective.
PROPOSITION 13.6.
Si A une algèbre, alors QA engendre A.

2. ALGÈBRES DE LIE 137
DÉMONSTRATION. Soit {a i } i∈I une base de QA. Choisissons des représentants
des classes a i ∈ a i pour définir une application linéaire QA ι → A, ι(a i ) = a i , i ∈ I. Il
s’ensuit que l’application induite ι : T(QA) → A est un morphisme d’algèbres. Par
la proposition 3.8 de [13], ι est surjectif si et seulement si
Q(ι) : Q(T(QA)) → Q(A)
est surjectif. Mais Q(T(QA)) = QA et Q(ι) est l’indentité, donc en particulier surjective,
d’où l’affirmation.
□
2. Algèbres de Lie
DÉFINITION 13.7.
Soit A une K-algèbre et définissons [ , ] : A ⊗ A → A par [x, y] = xy − (−1) pq yx pour
x ∈ A p , y ∈ A q . Le morphisme d’espaces vectoriels gradués [ , ] est appelé le crochet
de Lie de A. L’espace vectoriel A muni du crochet de Lie est appelé l’algèbre de Lie
associée à l’algèbre A.
Une algèbre de Lie sur K est un K-espace vectoriel gradué L muni d’un morphisme
[ , ] : L ⊗ L → L tel qu’il existe une algèbre A et un morphisme de K-espaces
vectoriels gradués f : L → A injectif de manière à ce que le diagramme
L ⊗ L
[ , ]
L
f ⊗ f
A ⊗ A [ , ] A
commute. Si L et L ′ sont deux algèbres de Lie sur K, un morphisme d’algèbres
de Lie f : L → L ′ est un morphisme de K-espaces vectoriels gradués tels que le
diagramme
L ⊗ L
[ , ]
L
f
commute.
f ⊗ f
L ′ ⊗ L ′ [ , ]
L
f
PROPOSITION 13.8.
Soit L une algèbre de Lie sur K, x ∈ L p , y ∈ L q et z ∈ L r . Alors
(1) [x, y] = (−1) pq+1 [y, x], et
(2) (−1) pr [x, [y, z]] + (−1) qp [y, [z, x]] + (−1) rq [z, [x, y]] = 0.
DÉMONSTRATION. Il s’agit d’une conséquence directe de la formule [x, y] =
xy − (−1) pq yx pour x ∈ L p , y ∈ L q .
□
REMARQUE 13.9.
Notons qu’une algèbre de Lie n’est pas une algèbre car le crochet n’est pas associatif
et il n’existe pas non plus d’élément neutre pour la multiplication.

138 13. LE THÉORÈME DE MILNOR-MOORE
DÉFINITION 13.10.
Soit L une algèbre de Lie. L’algèbre universelle enveloppante de L est le couple (U(L), ι L )
où U(L) est une K-algèbre et ι L : L → U(L) est un morphisme d’algèbres de Lie
tel que la propriété universelle suivante est satisfaite : pour tout K-algèbre A et
pour tout morphisme d’algèbres de Lie f : L → A il existe un unique morphisme
d’algèbres f ♯ : U(L) → A tel que f ♯ ι L = f autrement dit le diagramme suivant
L
ι L
U(L)
f
f ♯
A
est commutatif.
REMARQUE 13.11.
Si l’algèbre universelle enveloppante existe, elle est unique à isomorphisme près.
Voici comment on peut la construire : soit L une algèbre de Lie et (T(L), ι) l’algèbre
tensorielle associée à l’espace vectoriel sous-jacent. Rappelons qu’il existe alors
pour tout algèbre A et tout morphisme d’espaces vectoriels gradués f : L → A
un unique morphisme d’algèbres f : T(L) → A tel que f ι = f . Soit maintenant f
un morphisme d’algèbres de Lie et soit I l’idéal de T(L) engendré par les éléments
xy − (−1) pq yx − [x, y] pour x ∈ L p , y ∈ L q . Alors f (I) = 0 et en posant U(L) = T(L)/I,
il existe un unique morphisme d’algèbres f ♯ : U(L) → A tel que le diagramme
L
ι L
U(L)
f
f ♯
A
est commutatif, avec ι L la composition L ι → T(L) → U(L).
DÉFINITION 13.12.
Si L, L ′ sont des algèbres de Lie sur K, alors L × L ′ est l’algèbre de Lie sur K telle que
pour
[(x, y), (x ′ , y ′ )] = ([x, x ′ ], [y, y ′ ])
(x, y) ∈ (L × L ′ ) p = L p × L ′ p, (x ′ , y ′ ) ∈ (L × L ′ ) q = L q × L ′ q.
L’algèbre de Lie L × L ′ est appelée le produit des algèbres de Lie L et L ′ .
PROPOSITION 13.13.
Soit A une algèbre de Hopf connexe. Alors PA est une sous-algèbre de Lie de l’algèbre de
Lie associée à A.

3. LE THÉORÈME DE MILNOR-MOORE 139
DÉMONSTRATION. Soient x, y ∈ PA, avec ∆(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, ∆(y) = y ⊗ 1 + 1 ⊗ y
et x ∈ A p , y ∈ A q . Nous avons alors
∆([x, y]) = [∆(x), ∆(y)]
= [x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, y ⊗ 1 + 1 ⊗ y]
= [x ⊗ 1, y ⊗ 1] + [x ⊗ 1, 1 ⊗ y] + [1 ⊗ x, y ⊗ 1] + [1 ⊗ x, 1 ⊗ y]
= (xy ⊗ 1 − (−1) pq yx ⊗ 1) + (x ⊗ y − (−1) pq (−1) pq x ⊗ y)
+((−1) pq y ⊗ x − (−1) pq y ⊗ x) + (1 ⊗ xy − (−1) pq 1 ⊗ yx)
= [x, y] ⊗ 1 + 1 ⊗ [x, y],
étant donné que les deux termes du milieu de la somme s’annulent. Donc [x, y] est
bien un élément de PA.
□
DÉFINITION 13.14.
Une algèbre de Hopf A est dite de génération primitive si la plus petite sous-algèbre
de A contenant PA est A elle-même.
3. Le théorème de Milnor-Moore
THÉORÈME 13.15.
Soit A une algèbre de Hopf connexe sur Q. Alors le morphisme naturel θ : PA → QA
donné par la composition PA ↩→ JA = IA π → QA est injectif si et seulement si A est
commutative pour la multiplication.
DÉMONSTRATION. (1) Supposons d’abord θ injectif et montrons que la multiplication
de A est commutative. Cela revient à prouver que xy−(−1) pq yx = [x, y] = 0
pour x ∈ A p , y ∈ A q , p, q > 0. Procédons par récurrence sur deg(x) + deg(x) ≥ 2.
Si deg(x) = deg(y) = 1, alors x, y sont primitifs et [x, y] ∈ PA comme démontré
dans la proposition 13.13. De plus, [x, y] n’est pas indécomposable et donc θ[x, y] =
0. Par l’injectivité de θ nous pouvons en déduire que [x, y] = 0.
Supposons maintenant que [u, v] = 0 si deg(u) + deg(v) < n et montrons le
résultat pour n. Soit x ∈ A p , y ∈ A q , p + q = n. Posons
∑
∆(x) = x ⊗ 1 + x 1 ⊗ x 2 + 1 ⊗ x avec deg(x i ) < p pour tout i,
∑
∆(y) = y ⊗ 1 + y 1 ⊗ y 2 + 1 ⊗ y avec deg(y i ) < q pour tout i.
Calculons
∆[x, y] = [∆(x), ∆(y)]
∑
∑
= [x ⊗ 1 + x 1 ⊗ x 2 + 1 ⊗ x, y ⊗ 1 + y 1 ⊗ y 2 + 1 ⊗ y]
∑
= [x ⊗ 1, y ⊗ 1] + [x ⊗ 1, y 1 ⊗ y 2 ] + [x ⊗ 1, 1 ⊗ y]
∑
∑
∑
+ [x 1 ⊗ x 2 , y ⊗ 1] + [x 1 ⊗ x 2 , y 1 ⊗ y 2 ] + [x 1 ⊗ x 2 , 1 ⊗ y]
∑
+[1 ⊗ x, y ⊗ 1] + [1 ⊗ x, y 1 ⊗ y 2 ] + [1 ⊗ x, 1 ⊗ y].
Traitons les termes séparément :
[x ⊗ 1, y ⊗ 1] = xy ⊗ 1 − (−1) pq yx ⊗ 1 = [x, y] ⊗ 1,

140 13. LE THÉORÈME DE MILNOR-MOORE
et de façon similaire, [1 ⊗ x, y ⊗ 1] = 1 ⊗ [x, y]. Ensuite
[x ⊗ 1, 1 ⊗ y] = x ⊗ y − (−1) pq (−1) pq x ⊗ y = 0,
et de même, [1 ⊗ x, y ⊗ 1] = 0. En ce qui concerne les termes composés, posons
deg(x i ) = p i , deg(y i ) = q i avec p 1 + p 2 = p, q 1 + q 2 = q. Alors
car pq+pq 2 ≡ pq 1
Pour finir
[x ⊗ 1, y 1 ⊗ y 2 ] = (x ⊗ 1)(y 1 ⊗ y 2 ) − (−1) pq (y 1 ⊗ y 2 )(x ⊗ 1)
= xy 1 ⊗ y 2 − (−1) pq (−1) pq 2
(y 1 x ⊗ y 2 )
= [x, y 1 ] ⊗ y 2 = 0
mod 2 et en appliquant l’hypothèse de récurrence. Pareillement,
[x 1 ⊗ x 2 , y ⊗ 1] = [x 1 ⊗ x 2 , 1 ⊗ y] = [1 ⊗ x, y 1 ⊗ y 2 ] = 0.
[x 1 ⊗ x 2 , y 1 ⊗ y 2 ] = (x 1 ⊗ x 2 )(y 1 ⊗ y 2 ) − (−1) pq (y 1 ⊗ y 2 )(x 1 ⊗ x 2 )
= (−1) p 2q 1
x 1 y 1 ⊗ x 2 y 2 − (−1) pq+p 1q 2
y 1 x 1 ⊗ y 2 x 2
−(−1) p 2q 1
(−1) p 1q 1
y 1 x 1 ⊗ x 2 y 2 + (−1) pq 1
y 1 x 1 ⊗ x 2 y 2
= (−1) p 2q 1
[x 1 , y 1 ] ⊗ x 2 y 2 + (−1) pq 1
(y 1 x 1 ⊗ [x 2 , y 2 ]) = 0,
en utilisant l’hypothèse de récurrence et le fait que pq + p 1 q 2 ≡ pq 1 + p 2 q 2 mod 2.
En résumé,
∆[x, y] = [x, y] ⊗ 1 + 1 ⊗ [x, y].
Ainsi, [x, y] ∈ PA et il est décomposable, donc θ[x, y] = 0. Par l’injectivité de θ, on
peut conclure que [x, y] = 0 et la multiplication de A est donc bien associative.
(2) Supposons maintenant que la multiplication de A est associative et montrons
que θ est injectif. Nous n’allons faire la preuve que pour une algèbre de Hopf
de génération finie (autrement dit, avec QA de dimension finie). Le cas général
suit car une algèbre de Hopf est la limite directe de sous-algèbres de Hopf de
génération finie (pour plus de détails, voir la propsition 4.13 de [13]). Procédons
par récurrence sur le nombre de générateurs.
Supposons que A est engendré par x ∈ A n . Remarquons que x doit être primitif.
Si n est impair, x 2 = (−1) n2 x 2 = −x 2 et donc x 2 = 0. Il s’ensuit que A 0 = Q, A n =
Q{x}, A i = 0 si i 0, n. Par conséquent PA = A n = QA et θ est l’identité, donc en
particulier injective.
Si n est pair, alors pour k ≥ 1,
k∑
( )
k
∆(x k ) = ∆(x) k = (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x) k = x j ⊗ x k−j
j
et on voit que x k ∈ PA si et seulement si k = 1. De plus, QA = Q{x} et donc θ est
encore un isomorphisme.
Supposons maintenant que l’affirmation soit vraie pour (n − 1) générateurs et
soit A engendrée par {x 1 , . . . , x n } avec deg(x 1 ) ≤ deg(x 2 ) ≤ . . . ≤ deg(x n ). Soit A ′
la sous-algèbre engendrée par {x 1 , . . . , x n−1 }, elle est connexe et de multiplication
commutative par hypothèse. Soit I(x 1 , . . . , x n−1 ) l’idéal engendré par x 1 , . . . x n−1 .
Posons A ′′ = A/I(x 1 , . . . , x n−1 ) l’algèbre monogène engendrée par l’image de x n . La
suite exacte
0 A ′ j
A π A ′′
j=0

4. APPLICATION AU MORPHISME D’HUREWICZ 141
induit alors deux suites d’applications telles que le diagramme suivant ait des
rangs exacts (les suites en questions) et il commute :
0 PA ′ P(j)
PA
P(π) PA ′′
.
θ ′
0 QA ′ Q(j)
θ
θ ′′
QA Q(π) QA ′′ 0
(Le lecteur pourra se référer au chapitre 3 de [13] pour de plus amples détails sur
la construction de ce diagramme.)
Nous savons que θ ′′ est un isomorphisme et θ ′ est injectif par l’hypothèse de
récurrence. Soit y ∈ PA tel que θ(y) = 0. Alors 0 = Q(π) ◦ θ(y) = θ ′′ ◦ P(π)(y) et
donc P(π)(y) = 0 car θ ′′ est un isomorphisme. Comme la première suite est exacte,
il existe y ′ ∈ PA ′ tel que P(j)(y ′ ) = y. Alors Q(j)◦θ ′ (y ′ ) = θ◦P(j)(y ′ ) = θ(y) = 0. Par
l’injectivité de θ ′ , nous pouvons conclure que y ′ = 0, et donc y = 0, ce qui prouve
l’injectivité de θ.
□
COROLLAIRE 13.16.
Soit A une algèbre de Hopf connexe de type fini avec comultiplication commutative. Alors
le morphisme naturel θ : PA → QA est surjectif, autrement dit A est de génération
primitive.
DÉMONSTRATION. Si A est une algèbre de Hopf connexe de type fini avec comultiplication
commutative, alors A ∗ est encore une algèbre de Hopf connexe de
type fini et de plus sa multiplication (qui est le dual de la comultiplication de A)
est commutative. Par le théorème précédent, le morphisme naturel :
est injectif. Par la proposition 12.2,
θ ∗ : P(A ∗ ) → Q(A ∗ )
θ ∗∗ : Q(A ∗ ) ∗ → P(A ∗ ) ∗
est surjectif. Mais le théorème 13.4 nous dit que Q(A ∗ ) ∗ = P(A ∗∗ ) = P(A) et P(A ∗ ) ∗ =
Q(A) ∗∗ = Q(A), en utilisant le fait qu’un espace vectoriel est isomorphe au dual de
son dual. Finalement, cette relation équivaut à dire que
θ : P(A) → Q(A)
est injectif, donc A est bien de génération primitive.
4. Application au morphisme d’Hurewicz
Ce travail a été préparé dans le cadre d’un séminaire sur le morphisme d’Hurewicz.
Dans ce dernier chapitre, nous allons tenter de présenter un bref aperçu des
liens entre le théorème de Milnor-Moore et le sujet global. Sans vouloir prétendre
à l’exhaustivité, nous renvoyons le lecteur intéressé aux autres travaux effectués
dans ce même cadre et aux références mentionnées tout le long du chapitre.
□
DÉFINITION 13.17.
Soit n ≥ 0, (X, x 0 ) un espace topologique pointé, (S n , s 0 ) la sphère de dimension
n et f : S n → X une application continue. Le foncteur H n (−) induit alors un

142 13. LE THÉORÈME DE MILNOR-MOORE
homomorphisme H n ( f ) : H n (S n , Q) → H n (X, Q). Notons [ f ] la classe de f dans
π n (X). Le n-ième morphisme d’Hurewicz
h n : π n (X) → H n (X, Q)
est donné par
h n ( f ) = H n ( f )(α n ),
où α n est le générateur de H n (S n , Q) Q{α n }. Soit h = (h n ) n≥0 : π ∗ (X) → H ∗ (X, Q) le
morphisme défini par les h n . Le foncteur − ⊗ Q induit alors un morphisme
h Q : π ∗ (X) ⊗ Q → H ∗ (X, Q) ⊗ Q = H ∗ (X, Q),
appelé le morphisme d’Hurewicz rationnel.
THÉORÈME 13.18 (Cartan-Serre).
Le morphisme d’Hurewicz rationnel est un isomorphisme
h Q : π ∗ (X) ⊗ Q P(H ∗ (X, Q)) ,
où P(H ∗ (X, Q)) désigne les éléments primitifs de H ∗ (X, Q).
DÉMONSTRATION. Pour la preuve de ce théorème, le lecteur pourra consulter
[3], [4] ou encore [14].
□
En résumé, soit X un monoïde topologique, respectivement un H-espace associatif
connexe par arcs tel que H n (X, Q) est de type fini pour tout n ≥ 0. Alors
H ∗ (X, Q) est une algèbre de Hopf vérifiant les hypothèses du corollaire 13.16, et il
s’ensuit qu’elle est de génération primitive. Grâce au théorême de Cartan-Serre,
nous pouvons donc conclure que l’homologie rationnelle de X est engendrée par
son homotopie rationnelle.
EXEMPLE 13.19.
Soit Y un CW-complexe avec un nombre de cellules fini en chaque dimension.
Dans ce cas, par le théorème de Milnor (voir [12]), l’espace de lacets ΩY admet un
espace vectoriel gradué d’homologie singulière rationnelle de type fini et on peut
appliquer les théorèmes précédents.

Quatrième Partie
Vers le Théorème de Suspension de
Freudenthal
Par
Caroline Lassueur
Encadré par :
Prof. Kathryn Hess-Bellwald

Introduction
Ce travail s’inscrit dans une série de quatre projets de semestres, réalisés
par Anna Devic, Julian Kellerhalls, Michele Klaus et moi-même, visant à étudier
les théorèmes d’Hurewicz qui lient groupes d’homotopie et groupes d’homologie
d’un espace topologique. Le but de ce travail en particulier n’est pas de
démontrer ces théorèmes, tâche incombant à Michele et Julian , mais de les appliquer
premièrement dans une démonstration du théorème de Bott-Samelson pour
deuxièmement utiliser ces deux derniers pour démontrer le théorème de suspension
de Freudenthal dans le cas des sphères.
La partie la plus difficile du travail a certainement été de déchiffrer tous les
symboles se trouvant dans l’énoncé du théorème de Bott-Samelson. C’est pourquoi
les quatre premier chapitres sont consacrés à ce déchiffrage. Le premier, qui
introduit la notion de produit tensoriel, est à considérer un peu à part du reste
du travail. Il est certes fondamental de comprendre le produit tensoriel pour aborder
les notions présentées dans la suite du travail, cependant ma motivation pour
présenter le sujet en détail étant doublée d’une volonté de CQFD-l’association des
étudiants en mathématiques de l’epfl de mettre à dispositio§n des étudiants de
la section des textes d’introduction à divers sujets des mathématiques écrits par
des étudiants d’un niveau de connaissances équivalent. Les projets de semestre
constituent à ces fins une grande ressource puisque leur contenu est vérifié par
un professeur ou un assistant compétent en la matière. Le chapitre 2 introduit
ensuite l’homologie singulière absolue d’un espace topologique. Le chapitre 3 en
un bref résumé de quelques résultats d’algèbre homologique concernant les complexes
de chaînes et les suites exactes longues en homologie ; pour plus de détails
ainsi que les preuves des résultat présentés, je recommande la lecture du projet
de Julian ainsi que des livre [15] et [16]. Par conséquent, les seuls prérequis
supposés sont quelques notions élémentaires d’algèbre, d’algèbre linéaire et de
topologie algébrique en matière de groupes d’homotopie. Cependant le lecteur savant
pourra commencer sa lecture directement au chapitre 4 où nous introduisons
ensuite les notions duales d’algèbre et de coalgèbre, que l’on regroupe à travers la
notion d’algèbre de Hopf. Finalement, après ces quatre chapitres de préliminaires,
nous avons en mains tous les outils nécessaires pour comprendre le théorème de
Bott-Samelson, que l’on appliquera ensuite pour traiter le théorème de suspension
de Freudenthal.
J’ai essayé d’écrire un texte cohérent et lisible, cependant je reste un auteur
imparfait. C’est pourquoi je sollicite l’aide de mes lecteurs pour corriger mes erreurs
de tous types. Pour terminer, je tiens à remercier la Prof. Kathryn Hess Bellwald
pour son enthousiasme envers l’idée de créer une série de projets de semestre
147

148 INTRODUCTION
autour des théorèmes d’Hurewicz, ainsi que pour avoir pris le temps de répondre
à mes questions une fois par semaine durant tout le semestre.

CHAPITRE 14
Produits tensoriels de modules
Ce chapitre présente une introduction au produit tensoriel, que j’ai voulu relativement
complète, essentiellement pour les raisons exposées dans l’introduction.
En outre, de prime abord, le produit tensoriel est une notion très abstraite et peu
intuitive, qui est souvent trop brievement expliquée dans les livres. C’est pourquoi
j’ai tenu à entrer dans les détails ici. L’intérêt de chapitre pour la suite, outre la
compréhension de l’opération produit tensoriel, réside dans les sections 5 et 6 qui
sont des préliminaires aux chapitres 4 et 5. Mes sources se constituent de notes
d’un cours donné au Tata Institute [2].
1. Définition, existence et unicité
Le produit tensoriel de deux modules est une construction algébrique basée
sur la notion suivante d’application équilibrée.
DÉFINITION 14.1.
Soit (A, +, ·) un anneau, M un A-module à droite et N un A-module à gauche. Soit
encore P un groupe abélien.
Une application f : M × N −→ P est dite A-équilibrée si :
(1) f (m 1 + m 2 , n) = f (m 1 , n) + f (m 2 , n) ∀ m 1 , m 2 ∈ M ∀ n ∈ N ;
(2) f (m, n 1 + n 2 ) = f (m, n 1 ) + f (m, n 2 ) ∀ m ∈ M ∀ n 1 , n 2 ∈ N ;
(3) f (ma, n) = f (m, an) ∀ m ∈ M ∀ n ∈ N ∀a ∈ A.
Si f satisfait les points (1) et (2) seulement, on dit que f est bi-additive.
EXEMPLE 14.2.
Soit A un anneau ainsi que M et N deux A-modules à droite. Alors Hom A (M, N) est
un A-module à gauche pour l’addition usuelle des applications et la multiplication
externe suivante :
· : A × Hom A (M, N) −→ Hom A (M, N)
(a, ϕ) ↦−→ a · ϕ : M −→ N
m ↦−→ (a · ϕ)(m) := ϕ(ma)
Alors l’application évaluation
e : M × Hom A (M, N) −→ N
(m, ϕ) ↦−→ ϕ(m)
149

150 14. PRODUITS TENSORIELS DE MODULES
est A-équilibrée. En effet, pour tous m, m 1 , m 2 ∈ M, ϕ, ϕ 1 , ϕ 2 ∈ Hom A (M, N) et a ∈ A
on a :
– e(m 1 + m 2 , ϕ) = ϕ(m 1 + m 2 ) = ϕ(m 1 ) + ϕ(m 2 ) = e(m 1 , ϕ) + e(m 2 , ϕ) ;
– e(m, ϕ 1 + ϕ 2 ) = (ϕ 1 + ϕ 2 )(m) = ϕ 1 (m) + ϕ 2 (m) = e(m, ϕ 1 ) + e(m, ϕ 2 ) :
– e(ma, ϕ) = ϕ(ma) = (a · ϕ)(m) = e(m, a · ϕ).
Nous définissons maintenant la notion de produit tensoriel de modules à l’aide
d’une propriété universelle.
DÉFINITION 14.3.
Soit A un anneau, M un A-module à droite et N un A-module à gauche. Un
produit tensoriel de M et N est un couple (T, t) où T est un groupe abélien et
t : M × N −→ T est une application A-équilibrée tels que la propriété universelle
suivante est satisfaite.
Pour tout groupe abélien P et pour toute application A-équilibrée f : M × N −→ P,
il existe un unique homomorphisme de groupes abéliens f ˜ : T −→ P tel que le
diagramme suivant commute, i.e. f ˜ t = f .
M × N
t
T
f
∃! f
˜
Commençons par montrer que si un produit tensoriel existe alors il est unique.
Unicité. Supposons que (T, t) et (T ′ , t ′ ) sont deux produits tensoriels de M et
N.
(1) Par la propriété universelle de (T, t) il existe un unique homomorphisme
de groupes abéliens h : T −→ T ′ tel que ht = t ′ .
(2) Par la propriété universelle de (T ′ , t ′ ) il existe un unique homomorphisme
de groupes abéliens h ′ : T ′ −→ T tel que h ′ t ′ = t.
M × N ′
t
h
h ′
P
t
T ′
T
Ainsi h ′ ht = h ′ t ′ = t = id T t et donc par unicité dans la propriété universelle
de (T, t) on doit avoir h ′ h = id T .
M × N
t
id T
h ′ h
T
t
De même par unicité dans la propriété universelle de (T ′ , t ′ ) on obtient que
hh ′ = id T ′. Donc h est un isomorphisme entre T et T ′ .
Par conséquent, (T, t) est unique à un unique isomorphisme près.
T

1. DÉFINITION, EXISTENCE ET UNICITÉ 151
Avant de travailler avec le produit tensoriel, il nous reste à voir que l’objet que
nous venons de définir existe effectivement. La démonstration ci-dessous donne
une construction explicite du produit tensoriel.
Existence. On considère le Z-module libre L de base M×N. Définissons alors K
comme étant le sous-Z-module de L engendré par les éléments de la forme :
(a) (m 1 + m 2 , n) − (m 1 , n) − (m 2 , n) m 1 , m 2 ∈ M, n ∈ N ;
(b) (m, n 1 + n 2 ) − (m, n 1 ) − (m, n 2 ) m ∈ M, n 1 , n 2 ∈ N ;
(c) (ma, n) − (m, an) m ∈ M, n ∈ N et a ∈ A.
Alors l’application
t : M × N
ı
−→ L
π
−→ L/K
(m, n) ↦−→ (m, n) ↦−→ (m, n) + K
qui est la restriction à M × N de la projection canonique est A-équilibrée. En
effet, pour tous m, m 1 , m 2 ∈ M, n, n 1 , n 2 ∈ N et a ∈ A on a :
· t(m 1 +m 2 , n) = (m 1 +m 2 , n)+K (a)
= (m 1 , n)+(m 2 , n)+K = t(m 1 , n)+t(m 2 , n) :
· t(m, n 1 + n 2 ) = (m, n 1 + n 2 ) + K (b)
= (m, n 1 ) + (m, n 2 ) + K = t(m, n 1 ) + t(m, n 2 ) ;
· t(ma, n) = (ma, n) + K (c)
= (m, an) + K = t(m, an).
On remarque en outre que t(M × N) engendre L/K.
On pose alors T := L/K et il reste à voir que (T, t) est un produit tensoriel de
M et N.
Soit donc P un groupe abélien (i.e. un Z-module) et f : M × N −→ P un
application équilibrée sur A. Alors par la propriété universelle des modules
libres, f peut être étendue en un unique homomorphisme f ˆ : L −→ P tel
que f ˆ ı = f . Autrement dit, f ˆ coîncide avec f sur les éléments de la base, i.e.
f ˆ(m, n) = f (m, n) pour tout (m, n) ∈ M × N, puis on étend par Z-linéarité.
( f ˆ ( ∑ r
i=1 a i(m i , n i )) = ∑ r
i=1 a ˆ
i f (m i , n i ).)
M × N
f
P
ı
T
∃! f
ˆ
Comme f est A-équilibrée on a que K ⊆ ker f ˆ , on peut donc appliquer la
propriété universelle des modules quotients au triple (L, K, f ˆ ). On obtient
qu’il existe un unique homomorphisme de Z-modules f ˜ : L/K −→ P tel que
f˜π = f ˆ .
L
fˆ
P
π
∃! f ˜
L/K = T

152 14. PRODUITS TENSORIELS DE MODULES
En résumé, on a la situation suivante :
M × N
P
ı fˆ
t L
∃! f
˜
π
T
f
Avec f ˜ t = f ˜ πı = f ˆ ı = f . Le couple (T, t) est donc un produit tensoriel de M
et N.
NOTATION 14.4.
Au lieu de T on écrira M ⊗ A N et on pose t(m, n) := m ⊗ n pour tout (m, n) ∈ M × N.
Comme t est équilibrée on a par exemple que (m 1 + m 2 ) ⊗ n = m 1 ⊗ n + m 2 ⊗ n.
Ainsi, puisque les éléments de la forme m ⊗ n engendrent M ⊗ A N, tout élément
u ∈ M ⊗ A N peut s’écrire comme u = ∑ r
i=1 m i ⊗ n i .
REMARQUES.
(1) Cette expression pour u n’est pas unique. En effet, on a pour tous m ∈ M,
n, n 1 , n 2 ∈ N et a ∈ A,
0 = m ⊗ (n 1 + n 2 ) − m ⊗ n 1 − m ⊗ n 2 = ma ⊗ n − m ⊗ an .
(2) Il découle directement de la bi-additivité du produit tensoriel que l’élément
neutre du groupe abélien M ⊗ A N est 0 M⊗A N = 0 M ⊗ A 0 N =: 0.
PROPRIÉTÉS 14.5.
Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus on a pour tous m ∈ M, n ∈ N et a, b ∈ A :
(1) 0 ⊗ n = 0 puisque 0 ⊗ n + m ⊗ n = (0 + m) ⊗ n = m ⊗ n ;
(1’) m ⊗ 0 = 0 ;
(2) (−m) ⊗ n = −(m ⊗ n) puisque 0 = (m + (−m)) ⊗ n = m ⊗ n + (−m) ⊗ n ;
(2’) m ⊗ (−n) = −((m ⊗ n) ;
(3) m(ab) ⊗ n = (ma)b ⊗ n = ma ⊗ bn = m ⊗ a(bn) = m ⊗ (ab)n.
REMARQUE 14.6.
M ⊗ A N peut être nul sans que ni M, ni N ne soit le module nul.
Exemple : T = Z/nZ ⊗ Z Q = 0 pour tout n ∈ N.
Il suffit de voir que tous les générateurs de T sont nuls. Soit donc a b
et b 0) un générateur de T. Alors
a
b ⊗ m = an
bn ⊗ m = a
bn ⊗ }{{}
nm = 0 .
0
⊗ m (a, b, m ∈ Z

2. PRODUIT TENSORIEL D’APPLICATIONS 153
2. Produit tensoriel d’applications
Le produit tensoriel de deux modules étant muni d’une structure de groupe
abélien (ou de manière équivalente, d’une structure de Z-module), intéressonsnous
maintenant aux homomorphismes (de groupes abéliens) entre produits tensoriels.
PROPOSITION 14.7.
Soit f : M −→ M ′ un homomorphisme de A-modules à droite. Soit g : N −→ N ′ un
homomorphisme de A-modules à gauche. Alors il existe un unique homomorphisme de
groupes abéliens f ⊗ g : M ⊗ A N −→ M ′ ⊗ A N ′ tel que le diagramme suivant commute :
M × N
f ×g
M ′ × N ′
t
t ′
M ⊗ A N M ′ ⊗ A N ′
autrement dit ( f ⊗ g)(m ⊗ n) = f (m) ⊗ g(n) pour tout m ∈ M et pour tout n ∈ N.
On dit que f ⊗ g est le produit tensoriel de f et g.
f ⊗g
DÉMONSTRATION. La composition h : M × N −→ f ×g
M ′ × N ′ t
−→ ′
M ′ ⊗ A N ′ est
A-équilibrée.
En effet, pour tous m, m 1 , m 2 ∈ M, n, n 1 , n 2 ∈ N et a ∈ A on a :
– h(m 1 + m 2 , n) = f (m 1 + m 2 ) ⊗ g(n) = ( f (m 1 ) + f (m 2 )) ⊗ g(n) = f (m 1 ) ⊗ g(n) +
f (m 2 ) ⊗ g(n) = h(m 1 , n) + h(m 2 , n) ;
– h(m, n 1 + n 2 ) = f (m) ⊗ g(n 1 + n 2 ) = f (m) ⊗ (g(n 1 ) + g(n 2 )) = f (m) ⊗ g(n 1 ) +
f (m) ⊗ g(n 2 ) = h(m, n 1 ) + h(m, n 2 ) ;
– h(ma, n) = f (ma)⊗g(n) = f (m)a⊗g(n) = f (m)⊗ag(n) = f (m)⊗g(an) = h(m, an).
Ainsi par la propriété universelle du produit tensoriel M ⊗ A N, il existe un unique
homomorphisme de groupes abéliens, disons f ⊗ g tel que f ⊗ g ◦ t = h = t ′ ◦ f × g.
Donc pour tout m ∈ M et pour tout n ∈ N on a :
f ⊗ g(m ⊗ n) = f ⊗ g(t(m, n)) = t ′ ( f × g(m, n)) = f (m) ⊗ g(n)
En d’autres termes, le diagramme ci-dessus commute.
□
REMARQUE 14.8.
Sous les mêmes hypothèses que la proposition ci-dessus, l’application
θ : hom A (M, M ′ ) × hom A (N, N ′ ) −→ hom Z (M ⊗ A N, M ′ ⊗ A N ′
( f, g) ↦−→ f ⊗ g
est bi-additive.
En effet, pour tous f, f ′ ∈ hom A (M, M ′ ), g, g ′ ∈ hom A (N, N ′ ), m ∈ M et n ∈ N on a :
– θ[( f + f ′ , g)](m ⊗ n) = ( f + f ′ ) ⊗ g(m ⊗ n) = ( f + f ′ )(m) ⊗ g(n) = f (m) ⊗ g(n) +
f ′ (m)⊗g(n) = ( f ⊗g)(m⊗n)+( f ′ ⊗g)(m⊗n) = θ[( f, g)](m⊗n)+θ[( f ′ , g)](m⊗n).
Cette proppriété s’étend par Z-linéarité à tous les éléments de M ⊗ A N, donc
θ[( f + f ′ , g)] = θ[( f, g)] + θ[( f ′ , g)].
– De manière similaire θ[( f, g + g ′ )] = θ[( f, g)] + θ[( f, g ′ )].

154 14. PRODUITS TENSORIELS DE MODULES
Une pathologie du produit tensoriel d’applications réside dans le fait que lorsqu’on
tensorise un homomomorphisme avec une application identité, cette opération
conserve la surjectivité, mais pas l’injectivité.
PROPRIÉTÉS 14.9.
(1) Si f : M −→ M ′ est un homomorphisme surjectif de A-modules à droite et N un
A-module à gauche, alors f ⊗ id N : M ⊗ A N −→ M ′ ⊗ A N est aussi surjectif (de
même si on inverse droite et gauche).
(2) Si f : M −→ M ′ est un homomorphisme injectif de A-modules à droite et N un
A-module à gauche, alors f ⊗id N : M⊗ A N −→ M ′ ⊗ A N n’est pas nécessairement
injectif.
DÉMONSTRATION.
(1) Il suffit de voir que tous les générateurs ont une pré-image.
Soit donc m ′ ⊗ n un générateur de M ′ ⊗ A N. Par surjectivité de f , il existe
m ∈ M tel que m ′ = f (m). Ainsi,
m ′ ⊗ n = f (m) ⊗ id N (n) = f ⊗ id N (m ⊗ n) .
(2) Posons M = Z , N = Z/2Z et M ′ = Q.
Alors M ⊗ Z N = Z ⊗ Z/2Z Z/2Z comme nous le verrons à la section
suivante. Posons encore
f : Z −→ Q
z ↦−→ z 1 .
Il s’agit clairement d’un Z-homomorphisme injectif. De plus nous savons
déjà que M ′ ⊗ Z N = Q ⊗ Z Z/2Z = 0 donc f ⊗ id N ne peut pas être injectif
puisque Z/2Z ne peut pas s’injecter dans le Z-module nul.
□
REMARQUES.
(1) id M ⊗ id N = id M⊗A N puisque id M ⊗ id N (m ⊗ n) = id M (m) ⊗ id N (n) = m ⊗ n.
(2) Si M −→ f
M ′ f
−→ ′
M ′′ et N −→ g
N ′ g
−→ ′
N ′′ sont A-linéaires à droite et à
gauche respectivement alors :
( f ′ ◦ f ) ⊗ (g ◦ g ′ ) = ( f ′ ⊗ g ′ ) ◦ ( f ⊗ g)
Effectivement calculons pour tout m ∈ M et pour tout n ∈ N :
( f ′ ◦ f ) ⊗ (g ◦ g ′ )(m ⊗ n) = f ′ ◦ f (m) ⊗ g ′ ◦ g(n)
= ( f ′ ⊗ g ′ )( f (m) ⊗ g(n))
= ( f ′ ⊗ g ′ ) ◦ ( f ⊗ g)(m ⊗ n)

3. STRUCTURE DE MODULE SUR LE PRODUIT TENSORIEL 155
3. Structure de module sur le produit tensoriel
Dans cette section nous allons voir que si l’on considère un A-module à droite
M et un A-module à gauche N, alors on peut équiper leur produit tensoriel M ⊗ A N
sur A d’une structure de B-module, pour autant que M soit muni d’une structure
de A-B-module.
Ainsi, en particulier, tout produit tensoriel de modules sur un anneau commutatif
pourra être doté d’une structure de module à gauche ou à droite sur ce même
anneau.
Rappelons que si A et B sont deux anneaux, alors un groupe abélien M est un
A-B-bimodule du type A M B si M est muni d’une structure de A-module à gauche,
d’une structure de B-module à droite et les deux multiplications extérieures sont
liées par une loi associative :
a(mb) = (am)b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B et ∀ m ∈ M .
EXEMPLES 14.10.
(1) Tout idéal bilatère d’un anneau A est un A-A-bimodule.
(2) Si f : A −→ B est un homomorphisme d’anneaux, alors B peut être
considéré comme un A-B-bimodule du type A B B en posant a · b := f (a) · b.
(3) Plus particulièrement, si A est un anneau commutatif, alors tout A-module
peut-être considéré comme un A-A-bimodule.
Par exemple, si M est A-module à gauche, alors on peut le munir d’une
structure de A-module à droite en définissant la multiplication externe
suivante :
· : M × A −→ M
(m, a) ↦−→ m · a := am
Alors m · (aa ′ ) = (aa ′ )m = a(a ′ m) = (a ′ m) · a = (m · a) · a ′ pour tout a, a ′ ∈ A et
pour tout m ∈ M et les autres axiomes de module à droite sont clairement
vérifiés.
De plus a(ma ′ ) = a(a ′ m) = (aa ′ )m = (a ′ a)m = m(a ′ a) = a ′ (am) = (am)a ′ pour
tout a, a ′ ∈ A et pour tout m ∈ M. Ainsi le troisième axiome des bimodules
est satisfait.
En résumé, tout module sur un anneau commutatif peut-être considéré
comme un bimodule sur cet anneau en prenant deux fois la structure de
module donnée.
Soit A N un A-module à gauche et B M A un A-B-bimodule. Nous allons montrer via
les lemmes suivants que l’on peut définir une structure de B-module à gauche sur
M ⊗ A N.
LEMME 14.11.
L’application µ b de multiplication par un élément b de B

156 14. PRODUITS TENSORIELS DE MODULES
µ b : M −→ M
m ↦−→ bm
est A-linéaire et induit un unique endomorphisme µ b ⊗ id N du groupe abélien M ⊗ A N.
DÉMONSTRATION. Vérifions l’A-linéarité de µ b . Soit m ∈ M et a ∈ A alors :
µ b (ma) = b(ma) = (bm)a = µ b (m)a
Ainsi µ b est une application A-linéaire de M dans M, donc d’après la proposition
14.7 µ b donne lieu a un unique endomorphisme µ b ⊗ id N du groupe M ⊗ A N. □
LEMME 14.12.
L’application b ↦−→ µ b ⊗ id N est un homomorphisme d’anneaux de B −→ End Z (M ⊗ A N).
DÉMONSTRATION. On considère la composition
θ
B −→ End A (M) × End A (N) −→ End Z (M ⊗ A N)
b ↦−→ (µ b , id N ) ↦−→ µ b ⊗ id N
Alors pour tout b 1 , b 2 ∈ B on a :
– b 1 b 2 ↦→ (µ b1 b 2
, id N ) = (µ b1 ◦ µ b2 , id N ) ↦→ (µ b1 ◦ µ b2 ) ⊗ (id N ◦ id N ) = (µ b1 ⊗ id N ) ◦
(µ b2 ⊗ id N ) ;
– 1 B ↦→ (id M , id N ) ↦→ id M ⊗ id N = id M⊗A N ;
– b 1 +b 2 ↦→ (µ b1 +b 2
, id N ) = (µ b1 +µ b2 , id N ) ↦→ (µ b1 +µ b2 )⊗id N = µ b1 ⊗id N +µ b2 ⊗id N
par bi-additivité de la deuxième application θ (cf. remarque 14.8).
L’application b ↦−→ µ b ⊗ id N est de ce fait un homomorphisme d’anneaux de
B −→ End Z (M ⊗ A N).
□
CONSÉQUENCE 14.13.
Par conséquent, le produit tensoriel M ⊗ A N acquiert, via l’homomorphisme cidessus,
la structure de B-module à gauche caractérisée par :
b · (m ⊗ n) := (µ b ⊗ id N )(m ⊗ n) = µ b (m) ⊗ id N (n) = bm ⊗ n
pour tout b ∈ B, pour tout m ∈ M et pour tout n ∈ N.
REMARQUES.
(1) Si B M ′ A est un autre A-B-bimodule, f : M −→ M′ est linéaire sur A et sur
B et g : N −→ N ′ est un homomorphisme de A-modules à gauche, alors
f ⊗ g : M ⊗ A N −→ M ′ ⊗ A N ′ est un homomorphisme de B-modules à
gauche.
On sait déjà que f ⊗ g est un homomorphisme de groupes abéliens (14.7),
de plus pour tout b ∈ B, m ∈ M et n ∈ N on a :
f ⊗ g(b · (m ⊗ n)) = f ⊗ g(bm ⊗ n) = f (bm) ⊗ g(n)
= b f (m) ⊗ g(n) = b · ( f (m) ⊗ g(n)
= b · ( f ⊗ g)(m ⊗ n)

3. STRUCTURE DE MODULE SUR LE PRODUIT TENSORIEL 157
(2) Si N est un A-B-bimodule du type A N B , le produit tensoriel M ⊗ A N peut
être muni d’une structure de B-module à droite par une construction
analogue à celle décrite ci-dessus.
(3) En particulier, si A est un anneau commutatif et M et N sont des A-
modules (à droite et à gauche, par commutativité de A), on peut munir
M⊗ A N d’une structure de A-A-bimodule. Dès lors, la notion d’application
A-équilibrée peut-être remplacée par la notion de A-bilinéarité et toutes
les applications induites par la propriété universelle du produit tensoriel
deviennent A-linéaires (i.e. des homomorphismes de A-modules).
Utilisons maintenant la structure de module sur le produit tensoriel, pour
montrer que tensoriser un module avec son anneau de base est une opération
neutre, à isomorphisme près.
PROPOSITION 14.14.
Soit M un A-module à droite et N un A-module à gauche. Alors
M ⊗ A A M
A ⊗ A N N
en tant que A-modules à droite;
en tant que A-modules à gauche.
DÉMONSTRATION. On munit M ⊗ A A d’une structure de A-module à droite
comme ci-dessus. L’application
M × A −→ M
(m, a) ↦−→ ma
est A-bilinéaire grâce aux axiomes de A-module à droite. En vertu de la remarque 3
(3), elle induit une application A-linéaire φ : M ⊗ A A −→ M telle que φ(m ⊗ a) = ma.
Définissons d’autre part
ψ : M −→ M ⊗ A A
m ↦−→ m ⊗ 1 A
qui est A-linéaire puisque ψ(ma) = ma ⊗ 1 A = m ⊗ 1 A · a = (m ⊗ 1 A ) · a. Alors φ et ψ
sont inverses l’un de l’autre :
– ψ ◦ φ(m ⊗ a) = ψ(ma) = ma ⊗ 1 A = m ⊗ a = id M⊗A A(m ⊗ a) ∀ a ∈ A, ∀ m ∈ M ;
– φ ◦ ψ(m) = φ(m ⊗ 1 A ) = id M (m) ∀ m ∈ M.
Par conséquent φ est un isomorphisme de A-modules à droite.
De manière similaire, A ⊗ A N et N sont isomorphes en tant que A-modules à
gauche.
□
Le produit tensoriel de plusieurs modules est aussi une opération associative,
à isomorphisme près.
PROPOSITION 14.15.
Soit M un A-module à droite, N un A-B-bimodule du type A N B et P un B-module à gauche.
Alors l’application
˜β : M ⊗ A (N ⊗ B P) −→ (M ⊗ A N) ⊗ B P
(m ⊗ n) ⊗ p ↦−→ (m ⊗ n) ⊗ p

158 14. PRODUITS TENSORIELS DE MODULES
est un isomorphisme de groupe abéliens.
DÉMONSTRATION. Pour tout m ∈ M définissons l’application
α m : N × P −→ (M ⊗ A N) ⊗ B P
(n, p) ↦−→ α m (n, p) := (m ⊗ n) ⊗ p
qui est B-équilibrée :
– α m (n 1 + n 2 , p) = (m ⊗ n 1 + m ⊗ n 2 ) ⊗ p = (m ⊗ n 1 ) ⊗ p + (m ⊗ n 2 ) ⊗ p =
α m (n 1 , p) + α m (n 2 , p) ;
– α m (n, p 1 + p 2 ) = (m ⊗ n) ⊗ p 1 + (m ⊗ n) ⊗ p 2 = α m (n, p 1 ) + α m (n, p 2 ) ;
– α m (nb, p) = (m ⊗ nb) ⊗ p = ((m ⊗ n)b) ⊗ p = (m ⊗ n) ⊗ bp = α m (n, bp) ;
pour tout n 1 , n 2 , n ∈ N, p, p 1 , p 2 ∈ P et b ∈ B.
Par conséquent, α m induit un unique homomorphisme de groupes abéliens ˜α m :
N ⊗ B P −→ (M ⊗ A N) ⊗ B P tel que ˜α m (n ⊗ p) = (m ⊗ n) ⊗ p. Définissons alors
β : M × (N ⊗ B P) −→ (M ⊗ A N) ⊗ B P
(m, x) ↦−→ β(m, x) := ˜α m (x) .
Cette application est bien-définie par définition de ˜α m ; elle est équilibrée sur A :
– β(m 1 + m 2 , x) = ˜α m1 (x) + ˜α m1 (x) = β(m 1 , x) + β(m 2 , x) ;
– β(m, x 1 + x 2 ) = ˜α m (x 1 + x 2 ) = ˜α m (x 1 ) + ˜α m (x 2 ) = β(m, x 1 ) + β(m, x 2 ) ;
– β(ma, x) = ˜α ma (x) = ˜α m (ax) = β(m, ax) ;
pour tout m 1 , m 2 , m ∈ M, x, x 1 , x 2 ∈ N ⊗ B P et a ∈ A.
Par conséquent, β induit un unique homomorphisme de groupes abéliens
tel que ˜β((m ⊗ n) ⊗ p) = (m ⊗ n) ⊗ p.
˜β : M ⊗ A (N ⊗ B P) −→ (M ⊗ A N) ⊗ B P
On obtient de façon similaire un homomorphisme
tel que ˜γ((m ⊗ n) ⊗ p) = (m ⊗ n) ⊗ p.
˜γ : (M ⊗ A N) ⊗ B P −→ M ⊗ A (N ⊗ B P)
Ces homomorphismes sont clairement inverses l’un par rapport à l’autre. Il s’agit
de ce fait d’isomorphismes.
□
Regardons finalement que si A est un anneau commutatif, alors le produit
tensoriel de deux A-modules est une opération symétrique à isomorphisme près.
PROPOSITION 14.16.
Soit A est un anneau commutatif, M et N des A-modules . Alors M ⊗ A N et N ⊗ A M sont
isomorphes en tant que A-modules.
DÉMONSTRATION. L’application
α : M × N −→ N ⊗ A M
(m, n) ↦−→ n ⊗ m
est A-bilinéaire :
– α(m 1 + m 2 , n) = n ⊗ m 1 + n ⊗ n 2 = α(m 1 , n) + α(m 2 , n) ∀ m 1 , m 2 ∈ M, n ∈ N ;
– α(m, n 1 + n 2 ) = m ⊗ n 1 + m ⊗ n 2 = α(m, n 1 ) + α(m, n 2 ) ∀ m ∈ M, n 1 , n 2 ∈ N ;

4. PRODUIT TENSORIEL DE SOMMES DIRECTES 159
– α(am, n) = n ⊗ am = an ⊗ m = α(m, an) = an ⊗ m = a(n ⊗ m) = aα(m, n)
∀ m ∈ M, n ∈ N, a ∈ A.
Par conséquent, par la propriété universelle du produit tensoriel et par la remarque
3 (3), α induit un unique homomorphisme de A-modules ˜α : M ⊗ A N −→ N ⊗ A M
tel que ˜α(m ⊗ n) = n ⊗ m.
De façon analogue, on obtient qu’il existe un unique homomorphisme de A-
modules ˜α : N⊗ A M −→ M⊗ A N tel que ˜α(n⊗m) = m⊗n. Ces deux homomorphismes
sont clairement inverses l’un de l’autre et sont par conséquent des isomorphimes
de A-modules.
□
4. Produit tensoriel de sommes directes
Le comportement du produit tensoriel par rapport au sommes directes de modules
et particulièrement intéressant dans l’optique de travailler avec des modules
libres.
THÉORÈME 14.17.
Soit {M i } i∈I une famille de A-modules à droite et {N j } j∈J une famille de A-modules à gauche.
Alors l’application ⊕
i∈I M i ⊗ A
⊕
j∈J N j −→ ⊕ (i,j)∈I×J (M i ⊗ A N j )
( ∑ i m i ) ⊗ ( ∑ j n j ) ↦−→ ∑ i,j m j ⊗ n j
est un isomorphisme de groupes abéliens.
DÉMONSTRATION. D’une part l’application
ψ :
⊕i∈I M ⊕
i × A j∈J N j −→ ⊕ (i,j)∈I×J (M i ⊗ A N j )
( ∑ i m i , ∑ j n j ) ↦−→ ∑ i,j m i ⊗ n j
est clairement équilibrée. Ainsi, par la propriété universelle du produit tensoriel,
elle induit un unique homomorphisme de groupes abéliens
˜ψ :
⊕i∈I M ⊕
i ⊗ A j∈J N j −→ ⊕ (i,j)∈I×J (M i ⊗ A N j )
tel que ˜ψt = ψ, i.e. ˜ψ(( ∑ i m i ) ⊗ ( ∑ j n j )) = ∑ i,j m j ⊗ n j .
D’autre part, pour tout les couples (i, j) ∈ I × J, les applications
b ij : M i × N j −→ ⊕ i∈I M i ⊗ A
⊕j∈J N j
(m i , n j ) ↦−→ m i ⊗ n j
sont A-équilibrées par construction du produit tensoriel. Par conséquent, elles
induisent des homomorphismes de groupes (uniques) :
˜ b ij : M i ⊗ A N j −→ ⊕ i∈I M i ⊗ A
⊕j∈J N j

160 14. PRODUITS TENSORIELS DE MODULES
tel que b ˜ ij (m i ⊗ n j ) = m i ⊗ n j .
Ainsi, il existe un unique homomorphisme de groupes qui étend tous les b ˜ ij :
˜β :
⊕(i,j)∈I×J (M i ⊗ A N j ) −→ ⊕ i∈I M ⊕
i ⊗ A j∈J N j
∑
i,j x ij ↦−→ ∑ ˜
i,j b ij (x ij )
En particulier, ˜β( ∑ i,j m i ⊗ n j ) = ( ∑ i m i ) ⊗ ( ∑ j n j ). Ce qui montre que ˜ψ et ˜β sont
inverses l’un de l’autre, il s’agit par conséquents s’isomorphismes de groupes. □
CONSÉQUENCE 14.18.
Soit A un anneau commutatif, M = ⊕ i∈I Ae i un A-module libre de base {e i | i ∈ I}
et N = ⊕ j∈J A f j un A-module libre de base { f j | j ∈ J}. Alors par le théorème
précédent :
⊕ ⊕ ⊕
M ⊗ A N = ( Ae i ) ⊗ A ( A f j ) (Ae i ⊗ A f j )
i∈I
j∈J
(i,j)∈I×J
Or Ae i ⊗ A f j A ⊗ A A où ae i ⊗ b f j ↦→ ab avec inverse A −→ Ae i ⊗ A f j où
c ↦→ c(e i ⊗ f j ) . Donc
⊕
M ⊗ A N A(e i ⊗ f j ) .
(i,j)∈I×J
Par conséquent M ⊗ A N est un A-module libre de base {e i ⊗ f j | (i, j) ∈ I × J}.
En outre, si M est libre de rang m et N est libre de rang n, alors M ⊗ A N est libre de
rang mn.
5. Exactitude à droite du produit tensoriel
THÉORÈME 14.19.
Soit M un A-module à droite. Le foncteur M ⊗ A − est exact à droite.
DÉMONSTRATION. Soit N ′ f
−→ N ↠ g N ′′ −→ 0 une suite exacte de A-modules à
gauche. On a donc Im( f ) = ker(g) et g est surjectif.
Il faut montrer que M ⊗ A N ′ id M ⊗ f
−→ M ⊗ A N id M ⊗g
↠ M ⊗ A N ′′ −→ 0 est exact, i.e. que
Im(id M ⊗ f ) = ker(id M ⊗g) et que id M ⊗g est surjectif.
→Surjectivité de id M ⊗g.
L’homomorphisme g étant surjectif, on a déjà montré la surjectivité de id M ⊗g
dans la propriété 14.9.
→Im(id M ⊗ f ) = ker(id M ⊗g).
Par exactitude de la suite initiale, on a g ◦ f = 0, ainsi
(id M ⊗g)(id M ⊗ f ) = id M ⊗(g ◦ f ) = id M ⊗0 = 0

6. PRODUIT TENSORIEL D’ALGÈBRES 161
et donc Im(id M ⊗ f ) ⊆ ker(id M ⊗g). Ainsi par la propriété universelle des
groupes quotients, il existe un unique homomorphisme surjectif de groupes
Θ : M ⊗ A N/ Im(id M ⊗ f ) −→ M ⊗ A N ′′
tel que Θ(x ⊗ y) = x ⊗ g(y) pour tout x ∈ M, y ∈ N. C’est un isomorphisme si
et seulement si Im(id M ⊗ f ) = ker(id M ⊗g).
Par conséquent, il suffit de montrer que Θ est un isomorphisme.
Soit x ∈ M, y ′′ ∈ N ′′ et choisissons y ∈ N tel que g(y) = y ′′ .
Affirmation. La classe de x⊗y dans M⊗ A N/ Im(id M ⊗ f ) est indépendante
du choix de y.
En effet, soit y, z ∈ N tels que g(y) = y ′′ = g(z) alors g(y − z) = 0, i.e
y − z ∈ ker(g) = Im( f ). Donc il existe y ′ ∈ N ′ tel que y − z = f (y ′ ) , ainsi
y = z + f (y ′ ) et x ⊗ y = x ⊗ z + (id M ⊗ f )(x ⊗ y ′ ), i.e x ⊗ y = x ⊗ z.
Nous avons donc une application
M × N ′′ −→ M ⊗ A N/ Im(id M ⊗ f )
(x, y ′′ ) ↦−→ x ⊗ y
avec g(y) = y ′′ , qui est équilibrée. Par conséquent, par la propriété universelle
du produit tensoriel, nous avons un homomorphisme Θ ′ de M ⊗ N ′′
dans M ⊗ A N/ Im(id M ⊗ f ) tel que Θ ′ (x ⊗ y ′′ ) = x ⊗ y où g(y) = y ′′ . Il reste
à vérifier sur les générateurs de ces deux groupes que leurs compositions
donnent l’identité.
et
ΘΘ ′ (x ⊗ y ′′ ) y′′ =g(y)
= Θ(x ⊗ y) = x ⊗ g(y) = x ⊗ y ′′
Θ ′ Θ(x ⊗ y) = Θ ′ (x ⊗ g(y)) = x ⊗ y .
Par suite, Θ est bien un isomorphisme. Ce qui prouve la première assertion.
□
6. Produit tensoriel d’Algèbres
Soit K un anneau commutatif. Si A est une K-algèbre, sa multiplication
A × A −→ A
(a, a ′ ) ↦−→ aa ′
est une application K-bilinéaire. Elle induit donc un K-homomorphisme
M A : A ⊗ K A −→ A
a ⊗ a ′ ↦−→ aa ′ .
Maintenant, si B est une autre K-algèbre, la composition
(A ⊗ K B) × (A ⊗ K B)
φ
(A ⊗ K B) ⊗ K (A ⊗ K B)
m
T
(A ⊗ K A) ⊗ K (B ⊗ K B)
M A ⊗M B
A ⊗ K B

162 14. PRODUITS TENSORIELS DE MODULES
où φ : (m, n) ↦→ m ⊗ n et T est l’unique isomorphisme de K-modules tel que
T[(a ⊗ b) ⊗ (a ′ ⊗ b ′ )] = (a ⊗ a ′ ) ⊗ (b ⊗ b ′ ) (donné par la propriété universelle du produit
tensoriel), est K-linéaire, puisque chacune des flèches l’est. Cette composition est
la multiplication sur A ⊗ K B puisque
m(a⊗b, a ′ ⊗b ′ ) = (M A ⊗M B )◦T[(a⊗b)⊗(a ′ ⊗b ′ )] = M A (a⊗a ′ )⊗M B (b⊗b ′ ) = aa ′ ⊗bb ′ .
L’élément 1 ⊗ 1 est un élément neutre pour m, et cette application est clairement
associative puisque les multiplications de A et de B sont associatives.
Par conséquent, on a muni A ⊗ K B d’une structure de K-algèbre.
REMARQUE 14.20.
Comme vu ci-dessus, la multiplication dans une algèbre A, induit une homomorphisme
M A : A ⊗ K A −→ A
a ⊗ a ′ ↦−→ aa ′ .
Plus tard on considérera cette application comme étant la multiplication, plutôt
que l’application usuelle.
PROPRIÉTÉS 14.21.
Soit K un anneau commutatif ainsi que A, B et C des K-algèbres, alors sont isomorphes en
tant que K-algèbres :
(1) K ⊗ K A A et A ⊗ K K A ;
(3) A ⊗ K B B ⊗ K A ;
(3) A ⊗ K (B ⊗ K C) (A ⊗ K B) ⊗ K C .
DÉMONSTRATION. Il s’agit simplement de copier les preuves des propositions
14.14, 14.16 et 14.15 respectivement dans le cas des K-algèbres. □
Etant donné deux K-algèbres sur un anneau commutatifs, considérons les deux
homomorphismes d’algèbres suivants :
i A : A −→ A ⊗ k B i B : B −→ A ⊗ k B
a ↦−→ a ⊗ 1 B b ↦−→ 1 A ⊗ b
Il découle de ces définitions que i A (a) commute avec i B (b) pour tout a ∈ A, b ∈ B.
Remarquons qu’en général, i A et i B ne sont pas injectifs, cependant, si K est un corps
et si les algèbres A et B sont non triviales, alors i A et i B sont injectifs et peuvent être
utilisés pour identifier A et B avec leurs images respectives A ⊗ 1 B et 1 A ⊗ B.
Finalement, le produit tensoriel d’algèbres vérifie une propriété universelle de
coproduit suivante :
PROPOSITION 14.22.
Soit K un anneau commutatif ainsi que A,B et C des K-algèbres. Soit f A : A −→ C et
f B : B −→ C des homomorphismes de K-algèbres tels que f A (a) f B (b) = f B (b) f A (a) pour

6. PRODUIT TENSORIEL D’ALGÈBRES 163
tout a ∈ A et tout b ∈ B.
Alors il existe un unique homomorphisme de K-algèbres f : A⊗ K B −→ C tel que f A = f ◦i A
et f B = f ◦ i B . Autrement dit, le diagramme suivant commute :
A
f A
i A
A ⊗ K B
∃! f
C
i B
f B
B
DÉMONSTRATION. L’unicité de f est banale. En effet si g : A ⊗ K B −→ C est un
autre homomorphisme et s’il on veut que le diagramme commute, alors il faut que
g(a ⊗ 1 B ) = f A (a) pour tout a ∈ A et il faut que g(1 A ⊗ b) = f B (b) pour tout b ∈ B.
Ainsi g(a ⊗ b) = g((a ⊗ 1 B )(1 A ⊗ b)) = f A (a) f B (b) = f (a ⊗ b).
Pour montrer l’existence, nous considérons l’application
φ : A ⊗ K B −→ C
(a, b) ↦−→ f A (a) f B (b)
est K-bilinéaire en vertu de la linéarité de f A et f B . Elle induit ainsi une application
K-linéaire f : A ⊗ K B −→ C telle que f (a ⊗ b) = f A (a) f B (b) pour tout a ∈ A et tout
b ∈ B. De plus f (1 A ⊗ 1 B ) = 1 C 1 C = 1 C et f préserve la multiplication. En effet, pour
tout a, a ′ ∈ A,b, b ′ ∈ B on a pour les générateurs de A ⊗ K B :
f ((a ⊗ b)(a ′ ⊗ b ′ )) = f (aa ′ ⊗ bb ′ ) = f A (aa ′ ) f B (bb ′ )
= f A (a) f A (a ′ ) f B (b) f B (b ′ )
= f A (a) f B (b) f A (a ′ ) f B (b ′ )
= f (a ⊗ b) f (a ′ ⊗ b ′ )
Par conséquent, f est un homomorphisme K-linéaire d’anneaux, autrement dit un
homomorphisme de K-algèbres.
□

CHAPITRE 15
Homologie singulière
1. Simplexes
L’idée cachée derrières le mot n-simplexe est de décrire l’analogue du triangle
en dimension n. On peut aussi le voir comme le plus petit sous-ensemble convexe
de R n contenant n + 1 points qui ne sont pas contenus dans un hyperplan de
dimension plus petite que n.
DÉFINITION 15.1.
Soit {v 0 , . . . , v m } ⊂ R n tels que {v 1 −v 0 , . . . , v m −v 0 } est un sous-ensemble linéairement
indépendant du R-espace vectoriel R n . (Donc m ≤ n). L’ensemble convexe engendré
par cet ensemble est appelé m-simplexe de sommets v 0 , v 1 , . . . , v m . On le
note [v 0 , . . . , v m ].
La face opposée au sommet v i est le sous-simplexe [v 0 , . . . , ˆv i , . . . , v m ] engendré par
les sommets tous les sommets v 0 , v 1 , . . . , v m moins le sommet v i .
Le bord de [v 0 , . . . , v m ] est l’union de ces m + 1 faces.
REMARQUE 15.2.
Tout élément x du m-simplexe [v 0 , . . . , v m ] s’écrit de manière unique comme
x =
m∑
t i v i
i=0
où
m∑
t i = 1
i=0
et t i ≥ 0 ∀ i = 0, m
Pour se donner une meilleure intuition, examinons cette définition en petites
dimensions.
EXEMPLE 15.3.
Le 0-simplexe [v 0 ] est simplement constitué du point v 0 .
EXEMPLE 15.4.
Le 1-simplexe [v 0 , v 1 ] = {tv 0 + (1 − t)v 1 | t ∈ I} est un segment de droite admettant
les points v 0 et v 1 pour extrémités.
165

166 15. HOMOLOGIE SINGULIÈRE
EXEMPLE 15.5.
Le 2-simplexe [v 0 , v 1 , v 2 ] est le triangle dans R 2 (avec intérieur) de sommets v 0 ,v 1
et v 2 .
EXEMPLE 15.6.
Le 3-simplexe [v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ] est le tétraèdre dans R 3 (avec intérieur) de sommets
v 0 ,v 1 ,v 2 et v 3 .
EXEMPLE 15.7.
Le n-simplexe standard est par définition le simplexe
m∑
∆ n = {(t 0 , . . . , t n ) ∈ R n+1 | t i = 1 , t i ≥ 0 ∀ i = 0, m} = [e 0 , . . . , e m ]
où e 0 = (1, 0, ..., 0), . . . , e n = (0, ..., 0, 1) est la base canonique de R n+1 .
i=0
DÉFINITION 15.8.
Une orientation du n-simplexe standard ∆ n = [e 0 , e 1 , . . . , e n ] est la donnée d’un
ordre sur les sommets de ∆ n :
e i0 < e i1 < . . . < e in
On dit que deux orientations de ∆ n sont identiques si, vue comme permutations
de {e 0 , e 1 , . . . , e n }, elles ont la même parité. Sinon on dit qu’elles sont opposées.
DÉFINITION 15.9.
Tout orientation de ∆ n induit une orientation de ses faces définie en orientant la
i-ème face dans le sens (−1) i [v 0 , . . . , ˆv i , . . . , v m ], où −[v 0 , . . . , ˆv i , . . . , v m ] signifie que
l’on donne à la i-ème face une orientation opposée à celle décrite par les sommets
ordonnés comme dans les crochets.
EXEMPLE 15.10.
Considérons le 2-simplexe standard [e 0 , e 1 , e 2 ] avec l’orientation e 0 < e 1 < e 2 . La 0-
ième face [e 1 , e 2 ] est orientée comme (−1) 0 [e 1 , e 2 ] = [e 1 , e 2 ], i.e. de e 1 à e 2 . La première
face [e 0 , e 2 ] est orientée de e 2 à e 0 et la deuxième face [e 0 , e 1 ] est orientée de e 0 à e 1 .
Et le bord de ∆ 2 est [e 1 , e 2 ] ∪ [e 0 , e 2 ] ∪ [e 0 , e 1 ].
On définit encore pour tout n et pour tout i = 0, n − 1 la i-ème application de
face F n i
= F i : ∆ n−1 −→ ∆ n comme suit :
F n 0 : (t 0, . . . , t n−1 ) ↦−→ (0, t 0 , . . . , t n−1 )
F n i
: (t 0 , . . . , t n−1 ) ↦−→ (t 0 , . . . , t i−1 , 0, t i+1 , . . . , t n−1 ) si i > 0
Il s’agit donc de l’application affine qui envoie les sommets {e 0 , . . . , e n−1 } sur les
sommets {e 0 , . . . , e n } en préservant l’ordre.

2. DÉFINITION DES GROUPES D’HOMOLOGIE SINGULIÈRE 167
2. Définition des groupes d’homologie singulière
Pour un espace topologique quelconque X nous pouvons généraliser la notion
de n-simplexe de l’espace euclidien en considérant les images dans X des
n-simplexes standards par des applications continues, ou les applications ellesmêmes.
C’est cette notion qui est la base de la construction des groupes d’homologie
singulière.
DÉFINITION 15.11.
Soit X un espace topologique quelconque. Un n-simplexe singulier est une application
continue T : ∆ n −→ X.
Remarquons que ∆ 1 étant homéomorphe à I, un 1-simplexe singulier est simplement
un chemin dans X. Similairement, comme ∆ 0 = {e 0 }, un 0-simplexe singulier
peut être identifié avec un point de X.
DÉFINITION 15.12.
Etant donné X un espace topologique, pour tout entier n ∈ N on définit S n (X),
le n-ième groupe de chaînes singulières de l’espace X, comme étant le groupe
abélien libre admettant pour base l’ensemble Simp n (X) des n-simplexes de X.
En outre, on pose S n (X) := 0 si n < 0.
On appelle n-chaînes les éléments de S n (X).
PROPOSITION-DÉFINITION 15.13.
Soit X un espace topologique. Pour tout n ∈ N on définit une application ensembliste ∂ n
par
∂ n : Simp n (X) −→ S n−1 (X)
T ↦−→ ∂ n (T) := ∑ n
i=0 (−1)i TF n i
si n > 0 et ∂ 0 = 0 si n = 0..
Ainsi par la propriété universelle des groupes libres, pour tout n ≥ 0, il existe un unique
homomorphisme, appelé opérateur de bord,
∂ n : S n (X) −→ S n−1 (X)
tel que ∂ n (T) := ∑ n
i=0 (−1)i TF n i
pour tout n-simplexe singulier T.
Autrement dit, on étend par linéarité l’application ∂ n définie sur la base de S n (X).
Nous avons ainsi construit une suite de groupes abéliens et d’homomorphismes
... ∂ n+1 ∂ n ∂ n−1 ∂ 3 ∂ 2 ∂ 1 ∂ 0
−→ S n −→ Sn−1 −→ ... −→ S2 −→ S1 −→ S0 −→ 0
appelée complexe de chaînes singulier de X. On le note (S ∗ (X), ∂) ou simplement
S ∗ (X).

168 15. HOMOLOGIE SINGULIÈRE
PROPOSITION 15.14.
La compostion ∂ n ∂ n+1 est nulle pour tout n ≥ 0.
DÉMONSTRATION. Il suffit de vérifier que ∂ n ∂ n+1 (T) = 0 pour tout (n + 1)-
simplexe T de la base de S n+1 (X). Soit donc T un (n + 1)-simplexe dans X, alors
∑n+1
∂ n ∂ n+1 (T) = ∂ n ( (−1) i TF n+1
=
=
i=0
i
)
n∑ ∑n+1
(−1) k ( (−1) i TF n+1
i
k=0
i=0
n∑ ∑n+1
(−1) i+k TF n+1
i
k=0
i≤k
i=0
Or si k < i on a pour tout (t 0 , . . . , t n−1 ) ∈ R n :
F n k
)F n k
∑
∑
= (−1) i+k TF n+1
i
F n k
+ (−1) i+k TF n+1
i
F n k .
F n+1
i
F n k (t 0, . . . , t n−1 ) = F n+1
i
(t 0 , . . . , t k−1 , 0, t k , . . . , t n−1 )
= (t 0 , . . . , t k−1 , 0, t k , . . . , t i−2 , 0, t i−1 , . . . , t n−1 )
ainsi F n+1 F n i k = Fn+1 F n k i−1 .
Par suite
∂ n ∂ n+1 (T) =
∑
(−1) i+k TF n+1
i
F n k
+
i≤k
i≤k
k

3. FONCTORIALITÉ DE H n 169
(2) On définit le n-ième groupe d’homologie singulière H n (X) comme étant
le groupe quotient suivant :
H n (X) := Z n (X)/B n (X) = ker ∂ n / Im ∂ n+1
Pour tout n-cycle z n , la classe z n = z n + B n (X) est appelée la classe d’homologie
de z n .
3. Fonctorialité de H n
L’objectif prochain est de montrer que H n est un foncteur covariant de la
catégorie des espaces topologiques Top dans la catégorie des groupes abéliens Ab.
DÉFINITION 15.16 (Homomorphisme induit par une application continue).
Soit f : X −→ Y une application continue entre deux espaces topologiques X et Y
et T : ∆ n −→ X un n-simplex dans X, alors f ◦ T : ∆ n −→ Y est un n-simplex dans
Y. En étendant par linéarité, on obtient un homomorphisme
f n # : S n(X) −→ S n (Y)
∑
aT T ↦−→ f # ( ∑ a T T) = ∑ a T ( f ◦ T) .
On appelle f n #
l’homomorphisme induit par l’application continue f .
REMARQUES.
(1) Dans l’homomorphisme induit, la composition de l’application continue
avec les n-simplexes se faisant à gauche, il est claire que si f : X −→ Y et
g : Y −→ Z sont deux applications continues alors
(g ◦ f ) n # = gn # ◦ f n # .
(2) Si A est un sous-espace de X avec inclusion j : A ↩→ X, alors l’homomorphisme
induit j n # : S n(A) ↩→ S n (X) est injectif.
En effet, considérons c = ∑ i m i T i ∈ S n (A) où m i ∈ Z pour tout i et où
l’on peut supposer sans perte de généralité que tous les T i sont distincts.
Supposons alors que c ∈ ker j n # , ainsi
∑
0 = m i (j ◦ T i )
i
où tous les j ◦ T i restent distincts dans S n (X). Or S n (X) est abélien libre de
base tous les n-simplexes, on a donc m i = 0 pour tout i. Par conséquent c
est nul et ker j n = {0}. D’où l’injectivité.
#
THÉORÈME 15.17.
Pour tout n ∈ N, H n :Top−→Ab est un foncteur covariant.

170 15. HOMOLOGIE SINGULIÈRE
Pour prouver ce théorème, nous auront besoin de deux lemmes techniques. Le
premier nous assure que l’homomorphisme induit commute avec l’opérateur de
bord et le deuxième nous assure que cet homomorphisme envoie les n-cycles de X
sur des n-cycles de Y et de même, envoie les n-bords de X sur des n-bords de Y.
LEMME 15.18.
Si f : X −→ Y est une application continue entre deux espaces topologiques, alors
∂ n f n−1
#
= f n # ∂ n pour tout n ∈ N. En d’autres termes, le diagramme suivant commute :
S n (X)
f n #
S n (Y)
∂ n
∂ n
S n−1 (X)
f n−1
#
S n−1 (Y)
DÉMONSTRATION. Il suffit de vérifier l’assertion sur les générateurs de S n (X).
Soit donc σ un n-simplexe dans X, alors
∑
f n−1
#
∂ n T = f n−1
#
( (−1) i TF n i )
i
∑
= (−1) i f n−1
#
(TF n i )
i
∑
= (−1) i ( f ◦ T)F n i
i
= ∂ n ( f ◦ T) = ∂ n f n−1
#
T
Ainsi ∂ n f n−1
#
= f n # ∂ n. □
LEMME 15.19.
Si f : X −→ Y est une application continue entre deux espaces topologiques, alors pour
tout n ∈ N on a,
f n # (Z n(X)) ⊂ Z n (Y) et f n # (B n(X)) ⊂ B n (Y) .
DÉMONSTRATION. Soit z ∈ Z n (X) est un n-cycle, alors ∂ n (z) = 0. Donc par le
lemme précédent ∂ n f n−1 (z) = f n # # ∂ n(z) = f n n−1
(0) = 0. D’où f (z) ∈ ker ∂
# # n = Z n (Y).
Ceci valant pour tout n-cycle de X, on a f n # (Z n(X)) ⊂ Z n (Y).
Soit b ∈ B n (X) un n-bord, alors il existe c ∈ S n+1 (X) tel que b = ∂ n+1 (c). Par
conséquent,
D’où f n # (B n(X)) ⊂ B n (Y).
f n # (b) = f n # ∂ n+1(c) = ∂ n+1 f n+1
#
(c) ∈ Im ∂ n+1 = B n (Y) .
□
PREUVE DU THÉORÈME 15.17. Nous avons déjà défini H n sur les objets X de Top
comme
H n (X) = Z n (X)/B n (X) .

4. GROUPE D’HOMOLOGIE ET CONNEXITÉ PAR ARCS 171
Il reste à définir H n sur les morphismes de Top. Soit f : X −→ Y une application
continue entre deux espaces topologiques, posons alors
H n ( f ) : H n (X) −→ H n (Y)
z n + B n (X) ↦−→ f n # (z n) + B n (Y)
Le lemme précédent assure que f n # (z n) ∈ Z n (Y), donc f n # (z n) + B n (Y) est bien un
élément de H n (Y).
L’application H n ( f ) est bien-définie puisque pour tout z n ∈ Z n (X) et pour tout
b n ∈ B n (X) on a :
f n # (z n + b n ) + B n (Y) = f n # (z n) + f n # (b n) +B n (Y) = f n #
}{{}
(z n) + B n (Y)
∈B n (Y)
De plus H n ( f ) est clairement un homomorphisme de groupes abéliens.
En appliquant H n à id X il vient pour tout z n + B n (X) ∈ H n (X) :
H n (id X )(z n + B n (X)) = id n X#(z n ) + B n (X) = id X ◦z n + B n (X) = z n + B n (X)
Donc H n (id X )) = id Hn (X).
Si f : X −→ Y et g : Y −→ Z sont deux applications continues alors pour tout
z n ∈ H n (X) on a :
H ( g ◦ f )(z n ) = (g ◦ f ) n # (z n) = g n # ◦ f n # (z n)
= H n (g)( f n # (z n)) = H n (g) ◦ H n ( f )(z n )
Ainsi H n (g ◦ f ) = H n (g) ◦ H n ( f ) et par conséquent H n est un foncteur covariant.
Il est maintenant clair que les groupes d’homologie d’espaces topologiques
homéomorphes sont isomorphes. Formellement :
□
COROLLAIRE 15.20.
Si X et Y sont deux espaces topologiques homéomorphes, alors H n (X) H n (Y) pour tout
n ∈ N.
DÉMONSTRATION. Découle immédiatement du fait que les foncteurs préservent
les équivalences.
□
Ainsi chaque groupe d’homologie H n (X) est un invariant topologique de l’espace
X.
4. Groupe d’homologie et connexité par arcs
Il semble que le calcul des groupes d’homologie d’un espace topologique
donné soit de façon générale difficile. Nous allons voir dans cette section que l’on
peut le ramener au calcul des groupes d’homologie de ces composantes connexes
par arcs.

172 15. HOMOLOGIE SINGULIÈRE
Nous sommes cependant pleinement en mesure de calculer tous les groupes d’homologie
des deux espaces les plus simples que l’on puisse imaginer : l’ensemble
vide et le singleton !
PROPOSITION 15.21.
Si X = ∅, alors H n (X) = 0 pour tout n ∈ N.
DÉMONSTRATION. Le groupe abélien libre de base vide étant trivial, on a S n (∅) =
0 pour tout n ∈ N. Par suite Z n (∅) = B n (∅) = 0 pour tout n ∈ N. D’où H n (∅) = 0/0 = 0
pour tout n ∈ N.
□
PROPOSITION 15.22.
Soit X = {∗} un singleton, alors H n (X) = 0 pour tout n > 0 et H 0 (X) = Z.
DÉMONSTRATION. Pour tout n ≥ 0, il n’existe qu’un n-simplexe dans {∗}, T n :
∆ n −→ {∗} qui n’est autre que l’application constante. Donc S n (X) =< T n > Z
pour tout n ≥ 0.
On a pour tout n > 0, ∆ n−1 F n i
−→ ∆ n T n
−→ X donc Tn F n = T
i n−1 . Par conséquent, les
opérateurs de bord sont
⎧
n∑
n∑
⎪⎨
∂ n (T n ) = (−1) i T n F n i
= [ (−1) i 0 si n est impair
]T n−1 = ⎪⎩ si n est pair
i=0
i=0
T n−1
· Si n est impair, alors ∂ n = 0 donc Z n (X) = ker ∂ n = S n (X).
De plus ∂ n+1 envoie T n+1 sur T n , il s’agit de ce fait d’un isomorphisme
entre S n+1 (X) =< T n+1 > et S n (X) =< T n >. D’où B n (X) = Im ∂ n+1 = S n (X).
Par suite H n (X) S n (X)/S n (X) = 0.
· Si n > 0 est pair, alors dans ce cas c’est ∂ n qui est un isomorphisme
entre S n (X) et S n−1 (X). Par conséquent Z n (X) = ker ∂ n = 0. On en déduit
immédiatement que H n (X) = 0.
Pour la cas n = 0, on est dans la situation suivante :
∂ 1 ∂ 0
S 1 −→ S0 −→ 0
avec ∂ 1 = 0. Par conséquent H 0 (X) = Z 0 (X)/B 0 (X) = S 0 (X)/0 S 0 (X) Z.
Le prochain théorème va nous permettre d’oublier les espaces topologiques
quelconques pour travailler uniquement avec les espaces topologiques connexes
par arcs.
□
THÉORÈME 15.23.
Soit X un espace topologique quelconque et {X j | j ∈ I} la famille de ses composantes
connexes par arcs. Alors pour tout n ∈ N on a
⊕
H n (X) H n (X j ) .
j∈I

4. GROUPE D’HOMOLOGIE ET CONNEXITÉ PAR ARCS 173
DÉMONSTRATION. Soit n ∈ N. Soit c = ∑ i a i T i ∈ S n (X). On peut écrire c = ∑ j∈I c j ,
où c j est la somme de tous les termes de c tels que Im(T i ) ⊂ X j . Alors l’application
S n (X) −→ ⊕ j∈I S n(X j )
c ↦−→ (c j ) j∈I
est clairement un isomorphisme. Alors c ∈ Z n (X) si et seulement si c j ∈ Z n (X j ) pour
tout j ∈ I. En effet, puisque ∂ n (c j ) ∈ S n−1 (X j ), on a 0 = ∂ n (c) = ∑ j∈I ∂ n (c j ) implique
que ∂ n (c j ) = 0 pour tout j ∈ I (puisqu’on est dans une somme directe).
Ainsi on a l’homomorphisme bien-défini suivant :
En outre, l’homomorphisme
Φ n : H n (X) −→ ⊕ j∈I H n(X j )
c ↦−→ (c j ) j∈I
Ψ n :
⊕
j∈I H n(X j ) −→ H n (X)
(c j ) j∈I ↦−→ ∑ j∈I c j
est tel que Ψ n ◦ Φ n = id et Φ n ◦ Ψ n = id. Il s’agit donc d’isomorphismes. D’où
H n (X) ⊕ j∈I H n(X j ) .
□
EXEMPLE 15.24.
A l’aide du théorème ci-dessus on calcule facilement les groupes d’homologie de
S 0 :
H n (S 0 ) = H n ({∗}) ⊕ H n ({∗}) pour tout n ∈ N .
Ainsi,
⎧
⎪⎨
H n (S 0 0 ⊕ 0 = 0 si n > 0
) = ⎪⎩ Z ⊕ Z si n = 0 .
Calculer les groupes d’homologie d’un espace topologique n’est en général pas
facile, cependant le théorème suivant montre que l’on peut toujours calculer au
moins H 0 (X). Comme π 0 renvoie le nombre de composantes connexes d’un espace
topologique, nous allons voir que les foncteurs π 0 et H 0 comportent essentielement
le même information.
THÉORÈME 15.25.
Soit X ∅ un espace topologique connexe par arcs, alors H 0 (X) Z. En outre, x est un
générateur de ce groupe pour tout x ∈ X.
DÉMONSTRATION. Regardons l’extrémité du complexe :
S 1 (X)
∂ 1
−→ S0 (X) ∂ 0=0
−→ 0
On veut calculer H 0 (X), donc on travaille dans S 0 (X) dont les éléments sont les
0-simplexes singuliers, i.e. les points de X.
Puisque ∂ 0 = 0 on a Z 0 (X) = S 0 (X), ainsi un 0-cycle s’écrit comme ∑ x∈X m x x où
m x ∈ Z pour tout x ∈ X et m x 0 pour un nombre fini de x ∈ X.

174 15. HOMOLOGIE SINGULIÈRE
Affirmation : B 0 (X) = { ∑ x∈X m x x ∈ S 0 (X) | ∑ x∈X m x = 0}.
Preuve de l’affirmation : Il faut montrer la double inclusion.
“⊆” : Soit c ∈ B 0 (X). Alors c = ∂ 1 ( ∑ i m i T i ) où m i ∈ Z ∀ i et T i est un 1-simplexe
∀ i. Ainsi c = ∑ i m i ∂ 1 (T i ) = ∑ i m i (T i (e 1 ) − T i (e 0 )). Chaque m i apparaît
deux fois dans cette somme, mais avec signes opposés, donc ∑ i m i = 0.
La première inclusion suit.
“⊇” : Soit c = ∑ k
i=0 m ix i ∈ S 0 (X) tel que ∑ k
i=0 m i = 0. L’espace X étant non vide
et connexe par arc, l’axiome du choix nous permet de choisir un élément
x ∈ X et un 1-simplexe T i : ∆ 1 −→ X (qui est en fait un chemin dans X)
reliant x à x i pour tout i = 0, k. Alors
∂ 1 (T i ) = T i (e 1 ) − T i (e 0 ) = x i − x .
Par conséquent, ∑ k
i=0 m iT i ∈ S 1 (X) et donc
k∑
k∑
∂ 1 ( m i T i ) = m i ∂ 1 (T i )
i=0
=
i=0
k∑
m i x i − x
i=0
En d’autres termes, c ∈ B 0 (X).
Il suit que l’application
k∑
i=0
m i
}{{}
=0
=
k∑
m i x i = c
i=0
φ : Z 0 (X) −→ Z
∑
x∈X m x x ↦−→ ∑ x∈X m x
est un homomorphisme surjectif de noyau B 0 (X). Ainsi le premier théorème d’isomorphie
nous fournit l’isomorphisme souhaité :
H 0 (X) = Z 0 (X)/B 0 (X) Z .
Il reste à calculer les générateurs de H 0 (X).
Soit donc c un générateur de H 0 (X) avec c = ∑ i m i x i alors φ(c) = ±1. Quitte à
remplacer c par −c, on peut supposer que φ(c) = ∑ i m i = 1. Ainsi si x ∈ X, on a
c = x + (c − x) où la somme des coefficients de (c − x) est nulle i.e. (c − x) ∈ B 0 (X).
Par conséquent, c = x.
De plus x = y pour tout x, y ∈ X. En effet, comme il exsite un 1-simplexe T : ∆ 1 −→ X
reliant x et y, on a que y − x = ∂ 1 (T) ∈ B 0 (X).
□
CONSÉQUENCE 15.26.
Si X ∅ est un espace topologique quelconque, dont l’ensemble des composantes
connexes est {X i | i ∈ I}, alors
⊕
H 0 (X) = Z .
Il s’agit donc d’un groupe abélien libre de rang #I.
i∈I

5. AXIOME D’HOMOTOPIE 175
5. Axiome d’homotopie
Le but de cette section est de montrer que si f, g : X −→ Y sont deux applications
continues homotopes, alors H n ( f ) = H n (g) pour tout n.
Le lemme suivant donne un critère d’égalité pour H n ( f ) et H n (g) lorsque f et g
sont deux applications continues entre les mêmes espaces.
LEMME 15.27.
Soit f, g : X −→ Y deux applications continues et P n : S n (X) −→ S n+1 (Y) une famille
d’homomorphismes telle que
f n # − gn # = ∂ n+1P n + P n−1 ∂ n .
∂
... n+1 ∂
S n+1
n ∂
S n
n−1
S n−1
...
P
f n+1 n
f n P n−1
g #
#
f
n−1
#
...
n+1
g n #
#
g n−1
#
S n+1
S n
S n−1
...
∂ n+1 ∂ n ∂n−1
Alors, pour tout n ∈ N, H n ( f ) = H n (g).
DÉMONSTRATION. Soit z n + B n (X) ∈ H n (X), alors on a définit H n ( f )(z n + B n (X)) =
f n # (z n) + B n (Y). Utilisons maintenant l’hypothèse pour calculer f n # (z n) en fonction
de g n # (z n) :
( f n # − gn # )(z n) = (∂ n+1 P n + P n−1 ∂ n )(z n )
= ∂ n+1 P n (z n ) + P n−1 ∂ n (z n )
}{{}
= ∂ n+1 P n (z n )
}{{}
∈S n+1 (Y)
0
∈ Im ∂ n+1 = B n (Y)
Par conséquent f n # (z n) = g n # (z n) + ∂ n+1 P n (z n ). Il suit que :
H n ( f )(z n + B n (X)) = f n # (z n) + B n (Y)
= g n # (z n) + ∂ n+1 P n (z n ) +B n (Y)
}{{}
∈B n (Y)
= g n # (z n) + B n (Y)
= H n (g)(z n + B n (X))
Remarquons que ce raisonnement est tout à fait valable pour n = 0 puisqu’on a
posé S 1 (X) = 0. Par conséquent H n ( f ) = H n (g) pour tout n ∈ N.
□
THÉORÈME 15.28.
Soit f, g : X −→ Y deux applications continues homotopes entre deux espaces topologiques
quelconques.
Alors H n ( f ) = H n (g) pour tout n ∈ N.

176 15. HOMOLOGIE SINGULIÈRE
DÉMONSTRATION. Soit F : X × I −→ Y une homotopie entre f et g.
Notons pour i = 0 ou 1
λ X i
: X −→ X × I
x ↦−→ (x, i) .
Alors f = Fλ X 0 et g = FλX 1 . En outre, à supposer que H n(λ X 0 ) = H n(λ X ) on obtient
1
que
H n ( f ) = H n (Fλ X 0 ) = H n(F)H n (λ X 0 ) = H n(F)H n (λ X 1 ) = H n(Fλ X 1 ) = H n(g) .
Nous en sommes donc ramenés à prouver que H n (λ X 0 ) = H n(λ X ) pour tout n ∈ N.
1
Or d’après le lemme précédent, pour ce faire, il suffit d’exhiber une famille d’homomorphismes
P X n : S n (X) −→ S n+1 (X × I) telle que
(1) λ X 1 − λX 0 = ∂ n+1P X n + P X n−1 ∂ n .
Nous allons construire cette famille d’homomorphismes en procédant par récurrence
sur n.
Cas n=0.
Comme S −1 (X) = 0, nous sommes contraints de définir P X −1 : S −1(X) −→ S 0 (X × I)
par P X −1 = 0. D’autre part, pour ∆ 0 = {e 0 } et T : ∆ 0 −→ X on définit
P X 0 : S 0(X) −→ S 1 (X × I)
T ↦−→ PX 0 (T) : ∆1 → X × I
t ↦→ (T(e 0 ), t)
où l’on identifie (1 − t)e 0 + te 1 ∈ ∆ 1 avec t. On étend ensuite par linéarité.
Pour vérifier que P X 0
et PX satisfont la formule (1), il suffit de l’évaluer sur un
−1
élément quelconque T : ∆ 0 −→ X de la base de S 0 (X).
D’où ∂ 1 P X 0 + P −1∂ 0 = λ X 1 − λX 0 .
En outre, P X 0
(∂ 1 P X 0 + P −1∂ 0 )(T)(t) = (∂ 1 P X 0 (T) + P −1∂ 0 (T))(t)
}{{}
= (
1∑
(−1) i P X 0 (T)F1 i )(t)
i=0
= (P X 0 (T)F1 0 − PX 0 (T)F1 1 )(t)
= (T(e 0 ), 1) − (T(e 0 ), 0)
= (λ X 1 ◦ T − λX 0 ◦ T)(t)
= (λ X 1 (T) − λX 0 (T))(t)
satisfait la condition de naturalité suivante :
0
S 0 (∆ 0 )
T 0 #
S 0 (X)
P ∆0
0
S 1 (∆ 0 × I)
(T×1) 1 #
P X 0
S 1 (X × I)

5. AXIOME D’HOMOTOPIE 177
En effet, puisqu’il n’existe qu’un seul 0-simplexe, nommément d : ∆ 0 −→ ∆ 0 ,
e 0 ↦→ e 0 , il suffit d’évaluer chaque composante du diagramme en d :
P X 0 ◦ T0 # (d) = PX 0 (T ◦ d) = PX 0 (T) : ∆1 −→ X × I
(1 − t)e 0 + te 1 ↦−→ (T(e 0 ), t)
et
(T × 1) 1 # ◦ P∆0 0 (d) : ∆1 −→ X × I
(1 − t)e 0 + te 1 ↦−→ (T × 1) 1 # (d(e 0), t) = (T × 1) 1 # (e 0, t) = (T(e 0 ), t)
D’où la commutativité du diagramme.
Cas n>0.
Renforçons l’hypothèse de récurrence en supposant maintenant que (1) et la conditions
de naturalité ci-dessus sont satisfaites pour les entiers plus petits que n et
montrons qu’elles restent valables pour n.
Commençons par remarquer que si la condition (1) est satisfaite, alors
(λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−1 ∂ n)(c)
est un n-cycle de ∆ n × I pour tout élément c ∈ S n (X) puisque
∂ n (λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−1 ∂ n) = λ ∆n
1 #∂ n − λ ∆n
0 #∂ n − ∂ n P ∆n
n−1 ∂ n
= λ ∆n
1 #∂ n − λ ∆n
0 #∂ n − (λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−2 ∂ n−1)∂ n
= P ∆n
n−2 ∂ n−1∂ n
}{{}
= 0
0
par induction
Notons d = id ∆ n ∈ S n (∆ n ). Vu ce qui précède,
(λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−1 ∂ n)(d) ∈ Z n (∆ n × I)
Or on peut montrer que, étant donné que ∆ n × I est un sous-ensemble borné
et convexe de R n+2 , son n-ième groupe d’homologie est trivial.(Admis ici, sans
démonstration.) Ainsi B n (∆ n × I) = Z n (∆ n × I). Par conséquent, il existe b n+1 ∈
S n+1 (∆ n × I) tel que
Définissons alors
∂ n+1 (b n+1 ) = λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−1 ∂ n)(d) .
P X n : S n (X) −→ S n+1 (X × I)
T ↦−→ (T × 1) # (b n+1 )
où T est un n-simplexe dans X et on étend par linéarité.
Remarquons que (T × 1)λ ∆n (a) = (T × 1)(a, i) = (T(a), i) = λ X i
i (a) pour tout a ∈ ∆n , par
conséquent
(2) (T × 1)λ ∆n
i
= λ X i T

178 15. HOMOLOGIE SINGULIÈRE
Vérifions (1). Soit T : ∆ n −→ X un n-simplexe de X, alors :
∂ n+1 P X n (T) = ∂ n+1 (T × 1) # (b n+1 )
= (T × 1) # ∂ n+1 (b n+1 )
= (T × 1) # (λ ∆n
1 # − λ ∆n
0 # − P ∆n
n−1 ∂ n)(d) par déf. de b n+1
= (T × 1) # (λ ∆n
1
− λ ∆n
0
− P ∆n
n−1 ∂ n(d))
= (T × 1)λ ∆n
1
− (T × 1)λ ∆n
0
− (T × 1) # P ∆n
n−1 ∂ n(d)
= (T × 1)λ ∆n
1
− (T × 1)λ ∆n
0
− P X n−1 T #∂ n (d) naturalité appliquée à P n−1
= λ X 1 T − λX 0 T − PX n−1 ∂ nT # (d) par (2)
= λ X 1 T − λX 0 T − PX n−1 ∂ nT
= (λ X 1 − λX 0 − PX n−1 ∂ n)(T)
D’où λ X 1 − λX 0 = ∂ n+1P X n + P X n−1 ∂ n.
Ainsi pour que (1) soit totalement vérifiée, il ne reste plus qu’à montrer que la
condition de naturalité est satisfaite pour n.
Soit s : ∆ n −→ ∆ n un n-simplexe dans ∆ n , on a :
(T × 1) # P ∆n
n (s) = (T × 1) # (s × 1) # (b n+1 )
= (Ts × 1) # (b n+1 )
= P X n (Ts)
= P X n T # (s)
D’où (T × 1) # P ∆n
n = P X n T # . Ce qui termine la preuve. □
COROLLAIRE 15.29.
Si X et Y sont deux espaces topologiques équivalents à homotopie près alors pour tout
n ∈ N
H n (X) H n (Y) .
DÉMONSTRATION. Soit f : X −→ Y et g : Y −→ X deux applications continues
telles que g ◦ f ≃ id X et f ◦ g ≃ id Y , une équivalence d’homotopie. Alors pour tout
n ∈ N,
et
H n (g) ◦ H n ( f ) = H n (id X ) = id Hn (X)
H n ( f ) ◦ H n (g) = H n (id Y ) = id Hn (Y) .
Par conséquent H n ( f ) et H n (g) sont des isomorphismes entre H n (X) et H n (Y).
□
De ce fait, les foncteurs d’homologie H n induisent des foncteurs sur la catégorie
hTop des espaces topologiques équivalents à homotopie près dans la catégorie des
groupes abéliens. On peut donc regarder H n comme un foncteur de hTop−→Ab.

6. LE THÉORÈME D’HUREWICZ DE RANG 1 179
COROLLAIRE 15.30.
Si X est un espace topologique contractile, alors pour tout n > 0 on a
H n (X) = 0 .
DÉMONSTRATION. Si X est contractile, X est équivalent à homotopie près au
singleton {∗}. Le corollaire ci-dessus entraîne alors que H n (X) H n ({∗}) = 0 pour
tout n > 0, vu la proposition 15.22.
□
6. Le théorème d’Hurewicz de rang 1
Cette section donne un lien entre le groupe fondamental et le premier groupe
d’homologie : ce dernier se trouve être l’abélianisé du groupe fondamental.
Dans toute cette section, X désignera un espace topologique et x 0 un point de base
de X.
DÉFINITION 15.31.
Soit m : ∆ 1 −→ I l’homéomorphisme définit par (1 − t)e 0 + te 1 ↦→ t. On appellera
alors application d’Hurewicz, l’application suivante :
φ : π 1 (X, x 0 ) −→ H 1 (X)
[ f ] ↦−→ f m
où f : I −→ X est un lacet dans X, i.e. f (0) = f (1) = x 0 .
Nous allons voir dans les deux résultats suivants que cette application est non
seulement bien-définie, mais qu’il s’agit aussi d’un homomorphisme.
LEMME 15.32.
L’application d’Hurewicz est bien-définie.
DÉMONSTRATION. Certainement f m : ∆ 1 −→ I −→ X est un 1-simplexe. Regardons
qu’il s’agit d’un 1-cycle :
∂ 1 ( f m)(1) = [
1∑
(−1) i f mF 1 i ](1) = f m(e 1) − f m(e 0 ) = f (1) − f (0) = 0
i=0
puisque f est un lacet dans X.
Ainsi f m ∈ Z 1 (X) est un 1-cycle et donc f m est bien un élément de H 1 (X).
Notons u : I −→ S 1 l’application définie par t ↦→ e 2πit alors il existe une application
continue f ˜ : S 1 −→ X telle que f ˜ ◦ u = f par la propriété universelle du quotient.
Alors l’application f ˜ induit un homomorphisme
H 1 ( f ˜ ) : H 1 (S 1 ) −→ H 1 (X)
∑
i n i T i ↦−→ f ˜ # ( ∑ i n i T i ) = ∑ i n i ( f ˜ ◦ T i ) .

180 15. HOMOLOGIE SINGULIÈRE
Donc f m = f ˜ um = f ˜ # (um) ∈ H 1 (X).
Soit [g] = [ f ] ∈ π 1 (X, x 0 ), alors ˜g ≃ f ˜ ainsi par le théorème 15.28 on a que H 1 ( f ˜ ) =
H 1 ( ˜g) et
f m = f ˜ # (um) = H 1 ( f )(um) = H 1 (g)(um) = ˜g # (um) = gm
Par conséquent, l’application φ est bien-définie.
□
LEMME 15.33.
L’application d’Hurewicz φ : π 1 (X, x 0 ) −→ H n (X) est un homomorphisme de groupes.
DÉMONSTRATION. Soit f, g : I −→ X deux lacets basés en x 0 . On veut montrer
que φ([ f ][g]) = φ([ f ]) + φ([g]) .
En utilisant f et g, on peut définir un élément T f,g : ∆ 2 −→ X de S 2 (X) de la façon
suivante :
· sur le bord de ∆ 2 en posant :
T f,g : (1 − t, t, 0) ↦−→ f (t)
T f,g : (0, 1 − t, t) ↦−→ g(t)
T f,g : (1 − t, 0, t) ↦−→ f ∗ g(t)
· sur l’intérieure de ∆ 2 en le posant constant égal à f (t) sur les segments
avec extrémités du type (1 − t, t, 0) et ((2 − t)/2, 0, t/2) et en le posant
constant égal à g(t) sur les segments avec extrémités du type (0, 1 − t, t) et
((1 − t)/2, 0, (1 + t)/2).
Pour voir que l’application T f,g est bien-définie, on remarque que les seuls points
dont l’image est définies de deux façons différentes sont les points du segment
d’extrémités (0, 1, 0) et (1, 0, 1 2
). Mais ces images sont égales puisque d’une part
T f,g (0, 1, 0) = f (1) = x 0 et d’autre part T f,g (0, 1, 0) = g(0) = x 0 , donc T f,g est biendéfinie.
En outre, il s’agit clairement d’une application continue puisque f et g le sont. Par
conséquent T f,g est bien un élément de S 2 (X).
Alors,
∂ 2 (T f,g ) = T f,g F 2 0 − T f,gF 2 1 + T f,gF 2 2 .
En appliquant à (1 − t, t), il vient :
∂ 2 (T f,g )(1 − t, t) = T f,g F 2 0 (1 − t, t) − T f,gF 2 1 (1 − t, t) + T f,gF 2 2
(1 − t, t)
= T f,g (0, 1 − t, t) − T f,g (1 − t, 0, t) + T f,g (1 − t, t, 0)
= g(t) − f ∗ g(t) + f (t)
= ( f + g − f ∗ g)(t)
= ( f + g − f ∗ g)m(1 − t, t)
Autrement dit, ∂ 2 (T f,g ) = ( f + g − f ∗ g)m, i.e ( f + g)m = ( f ∗ g)m + ∂ 2 (T f,g ). Par
}{{}
conséquent :
∈B 1 (X)
φ([ f ][g]) = φ([ f ∗ g]) = ( f ∗ g)m = ( f + g)m = f m + gm = φ([ f ]) + φ([g])
□

6. LE THÉORÈME D’HUREWICZ DE RANG 1 181
THÉORÈME D’HUREWICZ.
Soit X un espace topologique connexe par arcs, alors l’application d’Hurewicz
induit un isomorphisme
φ : π 1 (X, x 0 ) −→ H 1 (X)
π 1 (X, x 0 )/[π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )] H 1 (X) .
Plus précisément, φ est surjective de noyau [π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )], le sous-groupe des
commutateurs de π 1 (X, x 0 ).
En d’autres termes le premier groupe d’homologie d’un espace topologique connexe
par arcs est l’abélianisé du groupe fondamental.
DÉMONSTRATION.
(I) Surjectivité de φ. Soit c = ∑ i m i T i un 1-cycle dans X ; alors
∑
0 = ∂ 1 (c)(1) = m i (T i (e 1 ) − T i (e 0 )) .
i
L’espace X est connexe par arcs par hypothèse, ainsi il existe un chemin
c i : I −→ X liant x o à T i (e 1 ) pour tout i et de même il existe un chemin
d i : I −→ X liant x o à T i (e 0 ) pour tout i. S’il existe i et j tels que T i (e 1 ) = T j (e 1 ),
alors on pose c j = c i , et s’il existe i et j tels que T i (e 0 ) = T j (e 0 ), alors on pose
d j = d i . Ainsi, pour tout i, d i ∗ T i m −1 ∗ c −1 est un lacet basé en x
i 0 .
D’autre part, l’équation
∑
0 = m i (T i (e 1 ) − T i (e 0 ))
dans le groupe abélien libre S 0 (X) fournit l’équation
i
∑
0 = m i (d i m − c i m)
i
dans le groupe abélien S 1 (X) par substitution, puisque T i (e 1 ) = T j (e 1 ), entraîne
c i m = c j m et T i (e 0 ) = T j (e 0 ), entraîne d j m = d i m. Alors,
∑ ∑ ∑
∑
c = m i T i = m i T i + m i (d i m − c i m) = m i (d i m + T i − c i m) .
i
i
i
Par un argument similaire à celui de la preuve du lemme précédent, on
montre que pour tout i :
i
d i m + T i − c i m = (d i + T i m −1 − c i )m = (d i ∗ T i m −1 ∗ c −1
i
)m

182 15. HOMOLOGIE SINGULIÈRE
Il vient,
∑
c = m i (d i + T i m −1 − c i )m
i
∑
= m i (d i + T i m −1 − c i )m
i
∑
= m i (d i ∗ T i m −1 ∗ c −1 )m
i
i
∑
= m i φ([d i ∗ T i m −1 ∗ c −1
i
])
i
∏
= φ( [d i ∗ T i m −1 ∗ c −1
i
] m−i )
i
Ainsi, puisque toute classe de 1-cycle à une pré-image par φ, il s’agit d’une
application surjective
(II) Calcul du noyau de φ. Nous voulons montrer que ker(φ) = [π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )].
Alors il découle du premier théorème d’isomorphie que
π 1 (X, x 0 )/[π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )] H 1 (X) .
”⊇”. Puisque H 1 (X) est abélien par définition, nécessairement [π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )] ⊆
ker(φ).
”⊇”. Soit f : I −→ X un lacet dans X tel que [ f ] ∈ ker(φ). Alors f m ∈ B 1 (X),
donc on peut écrire f m = ∂ 2 ( ∑ i r i T i ) où r i ∈ Z pour tout i et T i : ∆ 2 −→ X
est un 2-simplexe pour tout i. Autrement dit :
∑ ∑
f m = ∂ 2 ( r i T i ) = r i (T i F 2 0 − T iF 2 1 + T iF 2 2 )
i
i
Comme f m est un élément de la base de S 1 (X), f m = T p F 2 q pour un
certain p = i et pour q ∈ {0, 1, 2}, on a donc une combinaison linéaire des
éléments de la base.
Utilisons maintenant le fait que X est connexe par arcs pour construire
des lacets en x 0 .
Pour tout i, posons :
· α i un chemin liant x 0 à T i F 2 0 (e 0) ;
· β i un chemin liant x 0 à T i F 2 1 (e 1) ;
· γ i un chemin liant x 0 à T i F 2 0 (e 0).
Si T i F 2 0 (e 0), T i F 2 0 (e 0) ou T i F 2 0 (e 0) est égal à x 0 , le chemin correspondant
est choisit égal au chemin constant en x 0 . De plus si T i F 2 0 (e 0) = T j F 2 0 (e 0),
on prend α j = α i (idem pour les β i et γ i ). On obtient trois familles de
lacets basés en x 0 , dont on note les classes d’homotopies dans π 1 (X, x 0 )
comme suit :
· [α i ∗ T i F 2 0 m−1 ∗ β −1
i
] := f i0 ;
· [γ i ∗ T i F 2 1 m−1 ∗ β −1
i
] := f i1 ;
· [γ i ∗ T i F 2 2 m−1 ∗ α −1
i
] := f i2 .

6. LE THÉORÈME D’HUREWICZ DE RANG 1 183
Alors,
f i0 f −1
i1
f i2 = [α i ∗ T i F 2 0 m−1 ∗ β −1
i
∗ β i ∗ (T i F 2 1 m−1 ) −1 ∗ γ −1
i
∗ γ i ∗ T i F 2 2 m−1 ∗ α −1
i
]
= [α i ∗ T i F 2 0 m−1 ∗ (T i F 2 1 m−1 ) −1 ∗ T i F 2 2
}{{}
m−1 ∗α −1
i
]
= 1 .
trivial
Nous savons aussi que f pq = [a∗T p F 2 qm −1 ∗b] où a et b représentent α,β,γ ou
leurs inverses en accord avec p et q. Or puisque T p F 2 qm −1 = f mm −1 = f
est un lacet basé en x 0 , on a posé ci-dessus que a et b sont les lacets
constants en x 0 . Par conséquent, [ f ] = [T p F 2 q].
D’autre part, comme T i F 2 0 = T jF 2 0 entraîne que f i0 = f j0 , T i F 2 1 = T jF 2 1
entraîne que f i1 = f j1 et T i F 2 2 = T jF 2 2 entraîne que f i2 = f j2 , on applique à
l’équation
∑
T p F 2 q = f m = r i (T i F 2 0 − T iF 2 1 + T iF 2 2 )
i
du groupe abélien libre S 1 (X) une substitution dans le groupe abélien
π 1 (X, x 0 )/[π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )], on obtient l’équation
∑
∏
f pq = r i ( f i0 f i1 f i2 ) = ( f i0 f i1 f i2 ) r i = 1 .
i
i
Il suit que [ f ] = f pq = 1 dans le quotient π 1 (X, x 0 )/[π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )].
Par conséquent, [ f ] est un élément [π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )] et donc ker(φ) ⊆
[π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )].
□
EXEMPLE 15.34.
Le groupe fondamental de la 1-sphère S 1 est Z, qui est abélien, le théorème d’Hurewicz
entraîne donc que H 1 (S 1 ) Z.
COROLLAIRE 15.35.
Pour tout espace topologique X simplement connexe on a H 1 (X) = 0.
DÉMONSTRATION. Immédiat puisque π 1 (X, x 0 ) = 0 pour tout x 0 ∈ X si X est
simplement connexe.
□

CHAPITRE 16
Suites exactes longues d’homologie
Le présent chapitre est un condensé de résultats d’algèbre homologique concernant
les suites exactes longues en homologie, dont nous aurons besoin par la suite.
Les démonstrations ne sont pas données, mais peuvent se trouver par exemple
dans le travail de Julian ou dans [15] ou [16].
1. Complexes de chaînes
Le complexe de chaînes singulier présenté au chapitre précédent est un cas
particulier de la notion de complexe de chaîne définie ci-dessous.
DÉFINITION 16.1.
Un complexe de chaînes S ∗ est une suite de groupes abéliens et d’homomorphismes
:
. . . ∂ n+2 ∂ n+1 ∂ n ∂ n−1
−→ S n+1 −→ Sn −→ Sn−1 −→ . . .
n ∈ Z
t.q. ∂ n ◦ ∂ n+1 = 0 pour tout n ∈ Z (ssi ker(∂ n ) ⊃ Im(∂ n+1 )).
Les homomorphismes ∂ n sont appelés les différentielles de degré n et S n le terme
de degré n.
On note le complexe de chaînes (S ∗ , ∂) ou simplement S ∗ .
DÉFINITION 16.2.
Pour un complexe (S ∗ , ∂), on définit ker(∂ n ) =: Z n (S ∗ , ∂) son groupe des n-cycles ;
Im(∂ n+1 ) =: B n (S ∗ , ∂) son groupe des n-bords. Le n-ième groupe d’homologie de ce
complexe est alors définit par
H n (S ∗ , ∂) := Z n (S ∗ , ∂)/B n (S ∗ , ∂) .
Un homomorphisme de complexes de chaînes φ : (S ∗ , ∂) −→ (S ′ ∗, ∂ ′ ) est suite
d’homomorphismes {φ n : S n −→ S ′ n} telle que ∂ ′ nφ n = φ n−1 ∂ n pour tout.
Si f : X −→ Y est une application continue, comme nous l’avons vu au chapitre
précédent dans le cas particulier du complexe singulier, f induit un homomorphisme
de complexes de chaînes f # : S ∗ (X) −→ S ∗ (Y). Les complexes et les
homomorphismes de complexes forment une catégorie, notée Comp, où la composition
est définie sur les coordonnées. ({g n } ◦ { f n } = {g n ◦ f n }).
Alors S ∗ : Top −→ Comp est un foncteur avec X ↦→ (S ∗ , ∂) et f ↦→ f # .
185

186 16. SUITES EXACTES LONGUES D’HOMOLOGIE
Et pour tout n ∈ N, H n : Comp −→ Ab est un foncteur avec S ∗ ↦→ H n (S ∗ )
et H n (φ) : z n ↦→ φ n (z n ) pour tout homomorphisme de complexes de chaînes
φ : S ∗ −→ S ′ ∗. On écrit souvent f ∗ au lieu de H n ( f ).
2. Suite exactes en homologie
THÉORÈME 16.3 (Triangle exacte).
i
p
Si 0 −→ (S ′ ∗, ∂ ′ ) −→ (S ∗ , ∂) −→ (S ′′
∗ , ∂ ′′ ) −→ 0 est une suite exacte de complexe de
chaînes, alors le triangle suivant est exacte :
H(S ′ ∗)
i ∗
H(S ∗ )
d
H(S ′′
p
∗
∗ )
Ce diagramme se traduisant par la longue suite exacte suivante :
· · · −→ H n (S ′ ∗)
i ∗
−→ Hn (S ∗ )
p ∗
−→ H n (S ′′
∗ ) −→ H n−1 (S ′ ∗)
i ∗
−→ Hn−1 (S ∗ )
p ∗
−→ H n−1 (S ′ ∗i) −→ · · · .
Pour une paire d’espaces topologiques (X, A), on note H n (X, A) := H n (S ∗ (X)/S ∗ (A)),
on a alors la suite exacte suivante de complexes de chaînes :
0 −→ S ∗ (A)
i
i
−→ S ∗ (X) −→ S ∗ (X)/S ∗ (A) −→ 0
Le théorème a pour conséquence directe le résultat suivant sur les paires d’espaces
topologiques :
COROLLAIRE 16.4 (Suite exacte longue d’une paire topologique).
Soit X un espace topologique et A un sous-espace de X, alors on a une suite exacte
· · · −→ H n (A) −→ H n (X) −→ H n (X, A) −→ H n−1 (A) −→ · · · .
Par exemple, il découle directement de ce théorème que H q (X, x 0 ) H q (X) pour
tout q > 0.
3. Homologie réduite
DÉFINITION 16.5.
Soit (S ∗ , ∂) le complexe singulier d’un espace topologique X. On définit ˜S −1 (X) Z
comme étant le groupe cyclique infini engendré par le symbole [], ainsi que ˜∂ 0 :
S 0 (X) −→ ˜S−1(X) par ∑ m x x ↦→ ( ∑ m x )[].
Le complexe singulier augmenté de X est :
˜S∗ (X) :
· · · −→ S n (X)
∂ n
−→ Sn−1 (X) −→ · · ·
∂ 2
−→ S1 (X)
∂ 1
−→ S0 (X)
˜∂ 0
−→ ˜S−1 (X) −→ 0 .

4. MAYER-VIETORIS 187
Il est claire que ˜∂ 0 ∂ 1 = 0, ainsi ˜S ∗ (X) est bien un complexe de chaînes.
DÉFINITION 16.6.
Les groupes d’homologie réduite sont pour tout n ≥ 0
˜H n (˜S ∗ (X), ∂) .
PROPOSITION 16.7.
Si (X, A) est une paire d’espaces topologiques, alors on a une suite exacte longue pour
l’homologie réduite :
qui se termine en
· · · −→ ˜H n (A) −→ ˜H n (X) −→ H n (X, A) −→ ˜H n−1 (A) −→ · · ·
· · · −→ ˜H 0 (A) −→ ˜H 0 (X) −→ H 0 (X, A) −→ 0
4. Mayer-Vietoris
Si X est un espace topologique et X 1 , X 2 deux sous-espaces tels que X = X ◦ 1 ∪X◦ 2 ,
alors le théorème de Mayer-Vietoris nous donne une relation entre l’homologie de
l’espace X et l’homologie de ses sous-espaces X 1 et X 2 .
THÉORÈME DE MAYER-VIETORIS 16.8.
Soit X un espace topologique et X 1 , X 2 deux sous-espaces tels que X = X ◦ 1 ∪ X◦ . Alors on
2
a une suite exacte longue
· · · −→ H n (X 1 ∩ X 2 ) −→ H n (X 1 ) ⊕ H n (X 2 ) −→ H n (X) −→ H n−1 (X 1 ∩ X 2 ) −→ · · · .
Il exsite aussi une version de ce théorème pour l’homologie réduite.
COROLLAIRE.(MAYER-VIETORIS POUR L’HOMOLOGIE RÉDUITE). 16.9.
Soit X un espace topologique et X 1 , X 2 deux sous-espaces tels que X = X ◦ 1 ∪ X◦ 2 et
X 1 ∩ X 2 ∅. Alors on a une suite exacte longue
· · · −→ ˜H n (X 1 ∩ X 2 ) −→ ˜H n (X 1 ) ⊕ ˜H n (X 2 ) −→ ˜H n (X) −→ ˜H n−1 (X 1 ∩ X 2 ) −→ · · ·
qui se termine en
· · · −→ ˜H 0 (X 1 ) ⊕ ˜H 0 (X 2 ) −→ ˜H 0 (X) −→ 0 .

CHAPITRE 17
Algèbres, Coalgèbres et Algèbres de Hopf
Dans ce chapitre nous considérons K un anneau commutatif fixé. Sauf mention
explicite, le produit tensoriel sera pris sur K et sera noté ⊗ au lieu de ⊗ K .
1. Modules gradués
Nous commençons par introduire la notion de graduation pour un module,
qui est à la base de la construction d’algèbre, coalgèbre et algèbre de Hopf.
DÉFINITION 17.1.
(1) Un K-module gradué M est une famille de K-modules {M n } indexée sur
N.
Le module M n est appelé le terme homogène de degré n et un élément
m ∈ M n un élément homogène de degré n.
(2) Si M et N sont des K-modules gradués, alors un morphisme de K-
modules gradués f : M −→ N est une famille { f n } n∈N de morphismes
telle que pour tout n ∈ N, f n : M n −→ N n est un morphisme de K-
modules.
Le morphisme f est dit surjectif (respectivement injectif) si pour tout
n ∈ N f n est surjectif (respectivement injectif).
(3) Le produit tensoriel de M et N est le K-module gradué M ⊗ N dont on
définit le terme homogène de degré n comme suit :
⊕
(M ⊗ N) n := M i ⊗ N j
i+j=n
Similairement, on définit la somme directe M ⊕ N de M et N en posant :
(M ⊕ N) n := M n ⊕ N n
(4) Si f : M −→ M ′ et g : N −→ N ′ sont deux morphismes de K-modules
gradués alors le morphisme produit tensoriel est définit par :
⊕
( f ⊗ g) n := f i ⊗ g j
Nous considérerons parfois l’anneau commutatif K comme un K-module
gradué en posant K 0 = K et K n = 0, le module nul, pour tout n > 0. Alors
189
i+j=n

190 17. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
d’après la définition ci-dessus du produit tensoriel, on a que K ⊗ A A A ⊗ K
pour tout K-module gradué A.
2. Algèbres
La notion d’algèbre est présentée ici non pas en termes d’ensembles, d’éléments
et de lois, mais de façon catégorique en termes d’objets et de morphismes.
DÉFINITION 17.2.
Une K-algèbre, ou algèbre sur K est un triple (A, M, u) où A est un K-module
gradué, M : A ⊗ A −→ A et u : K −→ A sont des morphismes de K-modules
gradués satisfaisant les deux conditions suivantes.
(1) Le morphisme M : A ⊗ A −→ A, appelé multiplication de l’algèbre A, fait
commuter le diagramme :
A ⊗ A ⊗ A
1⊗M
A ⊗ A
M⊗1
A ⊗ A
M
A
M
(2) Le morphisme u : K −→ A, appelé unité de l’algèbre A, fait commuter le
diagramme :
K ⊗ A u⊗1
A ⊗ A
1⊗u
A ⊗ K
M
A
Les flèches sans nom représentant l’isomorphisme canonique entre A et A ⊗ K ou
K ⊗ A et la notation 1 l’application identité.
DÉFINITION 17.3.
Une K-algèbre (A, M, u) est dite commutative si le diagramme
A ⊗ A
T
A ⊗ A
M
M
A
commute.
Où T est le morphisme twist défini sur les générateurs du produit tensoriel A ⊗ B
de deux K-modules gradués comme suit
T n : (A ⊗ B) n −→ (B ⊗ A) n
a ⊗ b ↦−→ T n (a ⊗ b) := (−1) pq b ⊗ a

2. ALGÈBRES 191
pour a ∈ A p ,b ∈ B q avec p + q = n.
Cette proriété se traduit en termes d’éléments par ab = (−1) pq ba pour tous a, b ∈ A
avec a ∈ A p et b ∈ A q .
EXEMPLES 17.4.
(1) Il convient de vérifier que la structure d’algèbre définie ci-dessus correspond
à la définition classique de K-algèbre en tant qu’ensemble muni
des structures de K-espace vectoriel et d’anneau et satisfaisant l’axiome
k(ab) = (ka)b = a(kb) pour tout k ∈ K, a, b dans l’algèbre.
D’une part si une algèbre A est donnée par la définition 17.2, alors on pose
pour tout a, b ∈ A, a · b := M(a ⊗ b) et 1 A := u(1 K ), alors par exemple,
1 A · a = M(u(1 K ) ⊗ a) = M ◦ (u ⊗ 1)(1 ⊗ a) = a
par commutativité du second diagramme de la définition 17.2. Les autres
axiomes découlent tout aussi facilement.
D’autre part, si A est donnée par sa définition standard, alors il suffit de
poser M(a ⊗ b) := a · b et u(1 K ) := 1 A . Ces deux morphismes satisfont alors
les diagrammes de 17.2.
(2) Soit F un corps. Alors F[X, Y] est une F-algèbre graduée commutative car
on peut la décomposer comme
{F[X, Y]} 2n = {polynômes sur F homogènes en X, Y de degré n} .
La multiplication est donnée par la multiplication standard des polynômes
et le morphisme unité par l’injection canonique de F dans {F[X]} 0 .
(3) Le K-module K vu comme un K-module gradué est une K-algèbre
graduée, où la multiplication est la multiplication usuelle de K et le morphisme
unité est l’inclusion K dans K 0 = K.
(4) Si A une K-algèbre libre sur K engendrée par un système de générateurs
(x i ) i∈I , notons alors M h le module engendré par les mots de longueur h
x i1 · · · x ih . La multiplication est la concaténation des mots et le morphisme
unité est l’extension par linéarité de l’application qui envoie 1 K sur le mot
vide.
(5) Si A et B sont des K-algèbres, alors le produit tensoriel A ⊗ B admet aussi
une structure de K-algèbre pour la multiplication M A⊗B définie par la
composition
M A⊗B := (1 ⊗ T ⊗ 1) ◦ (M A ⊗ M B )
(cf. chapitre 1 section 6 pour les détails) et pour le morphisme unité
u A⊗B : K
−→ K ⊗ K u A⊗u B
−→ A ⊗ B .
DÉFINITION 17.5.
Soit (A, M A , u A ) et (B, M B , u B ) deux K-algèbres. Une application f : A −→ B est
appelé un morphisme de K-algèbres si f est un morphisme de K-modules gradués
faisant commuter les deux diagrammes suivants :

192 17. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
A ⊗ A
M A
A
f ⊗ f
f
B ⊗ B
B
M B
A
u A
f
u B
K
B
Remarquons qu’en notation multiplicative, la commutativité des deux diagrammes
ci-dessus se traduit par les égalité suivantes :
f (a · a ′ ) = f (a) · f (a ′ ) et f (1 A ) = 1 B ∀ a, a ′ ∈ A ∀ b ∈ B .
REMARQUE 17.6.
On montre facilement qu’une algèbre (A, M, u) est commutative si et seulement si
M : A ⊗ A −→ A est un morphisme d’algèbres.
En effet, supposons A commutative alors M = MT. Alors :
M ◦ (M A⊗A ) = M ◦ [(M ⊗ M) ◦(1 ⊗ T ⊗ 1)]
}{{}
= [M ◦ (M ⊗ 1) ◦ (1 ⊗ M ⊗ 1)] ◦ (1 ⊗ T ⊗ 1)
}{{}
= M ◦ (M ⊗ 1) ◦ (1 ⊗ MT ⊗1)
}{{}
M
= M ◦ (M ⊗ 1) ◦ (1 ⊗ M ⊗ 1)
}{{}
= M ◦ (M ⊗ M)
Ainsi on a le diagramme commutatif souhaité :
A ⊗ A ⊗ A ⊗ A M A⊗A
A ⊗ A
M⊗M
A ⊗ A
M
A
M
La commutativité du deuxième diagramme est banale.
Reciproquement, dire que le premier diagramme de la définition 17.5, c’est dire
que abcd = (−1) pq acbd pour tous a, b, c, d ∈ A avec b ∈ A p et c ∈ A q , alors pour
a = b = 1 A , on obtient bc = (−1) pq cb pour tous b, c ∈ A avec b ∈ A p et c ∈ A q . Donc A
est commutative.
DÉFINITION 17.7.
Une augmentation d’une K-algèbre (A, M, u) est un morphisme de K-algèbre
graduée ε : A −→ K.
Notons que par commuativité du second diagramme de la définition de morphisme
d’algèbre on obtient que εu = id K .

3. COALGÈBRES 193
3. Coalgèbres
Etant donné sa nature catégorique, la notion d’algèbre peut être dualisée, on
obtient ainsi la notion de coalgèbre. Cette section est légèrement ennuyante dans
le sens où elle ne fait que présenter les définitions de bases ; il s’agit de ce fait d’une
copie de la précédente modulo inversion des flèches 1 .
DÉFINITION 17.8.
Une K-coalgèbre, ou coalgèbre sur K est un triple (C, ∆, ε) où C est un K-module
gradué, ∆ : C −→ C⊗C et ε : C −→ K sont des morphismes de K-modules gradués
satisfaisant les deux conditions suivantes.
(1) Le morphisme ∆ : C −→ C ⊗ C, appelé comultiplication de la coalgèbre
C, fait commuter le diagramme :
C
∆
C ⊗ C
∆
C ⊗ C
1⊗∆
∆⊗1
C ⊗ C ⊗ C
(2) Le morphisme u : K −→ C, appelé counité de la coalgèbre C, fait commuter
le diagramme :
ε⊗1
K ⊗ C C ⊗ C
1⊗ε C ⊗ K
∆
C
La commutativité du premier diagramme est appelée coassociativité.
DÉFINITION 17.9.
Une K-coalgèbre (C, ∆, ε) est dite commutative si le diagramme
C
∆
T
C ⊗ C
∆
C ⊗ C
commute.
Où T est le morphisme twist défini précédemment.
1 Notons que n’ayant pas de co-auteur pour ce travail, l’auteur s’est vu contraint d’inverser les
flèches lui-même.

194 17. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
EXEMPLES 17.10.
(1) On munit très facilement l’anneau commutatif K d’une structure de
coalgèbre en prenant pour comultiplication ∆ : K −→ K ⊗ K l’somorphisme
canonique (∆(k) = k ⊗ 1) et pour counité ε := 1 : K −→ K le
morphisme identité.
(2) Si F est un corps, on peut munir tout F-espace vectoriel d’une structure
de coalgèbre. Plus précisément, si S est un ensemble (non-vide), alors FS
(le F-espace vectoriel de base S) est une coalgèbre avec la comultiplication
∆ définie par ∆(s) := s ⊗ s et la counité ε définie par ε(s) := 1 K pour tout
s ∈ S. La commutativité des deux diagrammes de la définition 17.8 est
banale pour les éléments de la base S, on étend alors par linéarité.
(3) Si C et D sont deux coalgèbres sur K, alors leur produit tensoriel C ⊗ D
est une coalgèbre avec comultiplication définie par la composition
C ⊗ D
∆ C ⊗∆ D
C ⊗ C ⊗ D ⊗ D
1⊗T⊗1
C ⊗ D ⊗ C ⊗ D
et avec counité définie par
C ⊗ D
ε C ⊗ε D
K ⊗ K K .
DÉFINITION 17.11.
Soit (C, ∆ C , ε) et (D, ∆ D , ε D ) deux K-coalgèbres. Une application f : C −→ D est
appelé un morphisme de K-coalgèbres si f est un morphisme de K-modules
gradués faisant commuter les deux diagrammes suivants :
C
f
D
C
f
D
∆ C
C ⊗ C
f ⊗ f
∆ D
D ⊗ D
ε C
ε
D
K
DÉFINITION 17.12.
Une augmentation d’une K-coalgèbre (C, ∆, ε) est un morphisme de K-coalgèbres
graduées u : K −→ C.
Notons que par commuativité du second diagramme de la définition de morphisme
d’algèbre on obtient que εu = id K .
4. Algèbres de Hopf
Maintenant que nous avons introduit les structures d’algèbre et de coalgèbre,
nous nous demandons dans quelles situations ces deux structures peuvent premièrement
coexister sur un ensemble donné et deuxièmement être compatibles.

4. ALGÈBRES DE HOPF 195
REMARQUE 17.13.
D’après les exemples 17.4 (1) et 17.10 (3), tout espace vectoriel peut être muni à la
fois d’une structure d’algèbre et de coalgèbre, respectivement, de façon canonique.
Il n’est donc pas absurde de vouloir introduire sur un ensemble une nouvelle structure
englobant ces deux structres déjà existantes, il s’agira de la structure d’algèbre
de Hopf, parfois aussi appelée bialgèbre.
Le théorème ci-dessous nous permet de lier les concepts d’algèbres et de coalgèbres.
THÉORÈME 17.14.
Soit A un K-module gradué. Munissons A d’une structure d’algèbre (A, M, u) et d’une
structure de coalgèbre (A, ∆, ε). Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) les applications δ et ε sont des morphismes d’algèbres ;
(2) les applications M et u sont des morphismes de coalgèbres.
DÉMONSTRATION. Le morphisme M est un morphisme de coalgèbres si et seulement
si les deux diagrammes suivants commutes :
A ⊗ A
M
A
A ⊗ A
M
A
∆⊗∆
A ⊗ A ⊗ A ⊗ A
∆
ε⊗ε
K ⊗ K
ε
1⊗T⊗1
A ⊗ A ⊗ A ⊗ A M⊗M
A ⊗ A
K
De même, le morphisme u est un morphisme de coalgèbres si et seulement si les
deux diagrammes suvants commutes :
K
K ⊗ K
u
u⊗u
A
∆
A ⊗ A
K
1
u
ε
K
Or le morphisme ∆ est un morphisme d’algèbres si et seulement si le premier et le
troisième diagrammes commutent. Similairement, ε est un morphisme d’algèbres
si et seulement si le deuxième et le quatrième diagrammes commutent. D’où
l’équivalence des assertions.
□
A
DÉFINITION 17.15.
Une algèbre de Hopf sur K est un K-module gradué A muni de morphismes de
K-modules gradués
M : A ⊗ A −→ A u : K −→ A
∆ : A −→ A ⊗ A
ε : A −→ K
tels que
(1) (A, M, u) est une algèbre sur K avec augmentation ε ;
(2) (A, ∆, ε) est une coalgèbre sur K avec augmentation u ;
(3) M est un morphisme de coalgèbres.

196 17. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
En vertu du théorème ci-dessus, la condition (3) est équivalente à exiger que
∆ soit un morphisme d’algèbres qui est équivalente à exiger la commutativité du
premier diagramme de la preuve.
EXEMPLE 17.16 (ALGÈBRE TENSORIELLE).
Soit M un K-module. L’algèbre tensorielle T(M) sur M est définie par la propriété
universelle suivante.
Ainsi pour être totalement formel, une algèbre tensorielle sur M est un
couple (T, i) où T est une K-algèbre et i : M −→ T est un morphisme de
K-modules satisfaisant la propriété que pour toute K-algèbre A et pour
tout application K-linéaire f : M −→ A, il existe un unique morphisme de
K-algèbres f : T −→ A tel que f i = f . En d’autres termes, le diagramme
suivant commute :
M
i
T
f
∃! f
A
LEMME 17.17.
L’algèbre tensorielle définie par la propriété universelle ci-dessus est unique à
isomorphisme près.
DÉMONSTRATION. La preuve de cette unicité se fait en utilisant la propriété
universelle avec les mêmes arguments que dans la preuve de l’unicité
du produit tensoriel donnée au chapitre premier.
□
La construction de l’algèbre tensorielle sur M se fait comme suit. On pose d’abord :
T 0 (M)
T 1 (M)
T 2 (M)
...
T n (M)
...
:= K
:= M
:= M ⊗ M
:= M ⊗ M ⊗ . . . ⊗ M
}{{}
n fois
On pose ensuite :
⊕
T(M) := K ⊕ M ⊕ (M ⊗ M) ⊕ · · · ⊕ (M ⊗ M ⊗ . . . ⊗ M) ⊕ · · · = T k (M)
On a alors déjà un K-module gradué.
On définit maintenant une multiplication M sur T(M) comme suit : pour x =
m 1 ⊗ m 2 ⊗ . . . ⊗ m p ∈ T p (M) et y = l 1 ⊗ l 2 ⊗ . . . ⊗ l q ∈ T q (M) on pose
k∈N
M(x ⊗ y) := m 1 ⊗ m 2 ⊗ . . . ⊗ m p ⊗ l 1 ⊗ l 2 ⊗ . . . ⊗ l q ∈ T (p+q) (M) .

4. ALGÈBRES DE HOPF 197
L’extension par linéarité de cette application nous donne la multiplication pour
deux éléments quelconques de T(M). Cette multiplication est clairement associative.
L’unité est l’inclusion canonique u : K ↩→ K = T 0 (M) ⊂ T(M). Elle satisfait
clairement le second diagramme de la définition 17.2. .
En outre, on pose i : M −→ T(M) comme étant l’inclusion canonique de M dans
T(M) donnée par m ↦→ i(m) := m ∈ T 1 (M) pour tout m ∈ M. Alors le couple (T(M), i)
est une algèbre tensorielle.
Pour définir une structure de coalgèbre sur T(M), on considère l’application linéaire
f : M −→ T(M) ⊗ T(M)
m ↦→ m ⊗ ⊗1 + 1 ⊗ ⊗m
où la notation ⊗⊗ est utilisée uniquement pour ne pas confondre avec les produits
tensoriels internes de T(M).
Alors la propriété universelle de l’algèbre tensorielle nous donne l’existence d’un
unique morphisme de K-algèbres
∆ : T(M) −→ T(M) ⊗ T(M)
tel que ∆i = f que nous prendrons pour comultiplication. Il faut montrer que ∆
est coassociatif, i.e. que (∆ ⊗ 1)∆ = (1 ⊗ ∆)∆. Puisque (∆ ⊗ 1)∆ et (1 ⊗ ∆)∆ sont
des morphismes d’algèbres, il suffit de montrer que l’inégalité est vérifiée sur un
sytème de générateurs de T(M), en l’occurence, on utilise i(M). Soit m ∈ M, alors
(∆ ⊗ 1)∆(m) = (∆ ⊗ 1)(m ⊗ ⊗1 + 1 ⊗ ⊗m)
= m ⊗ ⊗1 ⊗ ⊗1 + 1 ⊗ ⊗m ⊗ ⊗1 + 1 ⊗ ⊗1 ⊗ ⊗m
= (1 ⊗ ∆)(m ⊗ ⊗1 + 1 ⊗ ⊗m)
= (1 ⊗ ∆)∆(m) .
D’où la coassociativité de ∆.
Pour définir la counité, on procède de façon similaire en considérant l’application
K-linéaire nulle 0 : M −→ K . La propriété universelle de l’algèbre tensorielle nous
fournit alors l’existence d’un unique morphisme de K-algèbres ε : T(M) −→ K tel
que εi = 0, i.e. ε(m) = 0 pour tout m ∈ M. On vérifie alors que (ε ⊗ 1)∆ correspond
à l’isomorphisme canonique de T(M) avec K ⊗ T(M). Soit m ∈ M alors
(ε ⊗ 1)∆(m) = ε(m) ⊗ 1 + ε(1)⊗ = 1 ⊗ m
qui est la valeur souhaitée.On procède de même pour montrer que (1 ⊗ ε)∆ correspond
à l’isomorphisme canonique de T(M) avec T(M) ⊗ K.
Par conséquent, nous avons sur T(M) une structure d’algèbre par (T(M), M, u)
avec augmentation ε (puisque c’est un morphisme d’algèbres), une structure de
coalgèbre par (T(M), ∆, ε) avec augmentation ε (c’est un morphisme de coalgèbres
par le théorème ) et δ est un morphisme d’algèbre. Finalement, T(M) est munie
d’une structure d’algèbre de Hopf.

198 17. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
5. Algèbre de Hopf de l’homologie d’un H-espace
Le but de cette section est de montrer comment on peut munir l’homologie
d’un H-espace associatif d’une structure d’algèbre de Hopf.
REMARQUE 17.18.
Si M est un module sur l’anneau commutatif K et
· · · −→ S n+1 (X) ∂ n+1
∂ n
−→ S n (X) −→ Sn−1 (X) ∂ n−1
−→ · · ·
le complexe de chaînes singulier du chapitre 2, par exactitude à droite du foncteur
M ⊗ Z − la suite suivante est un complexe de chaîne dont les termes sont des
modules sur K :
· · · −→ M ⊗ S n+1 (X) M⊗∂ n+1
−→ M ⊗ S n (X) M⊗∂ n
−→ M ⊗ S n−1 (X) M⊗∂ n−1
−→ · · · .
On note ce nouveau complexe M ⊗ S ∗ (X), on obtient alors non plus des groupes
abéliens en homologie, mais des modules sur K et l’on note
ainsi que
H n (X; M) := H n (M ⊗ S ∗ (X))
H ∗ (X; M) := {H n (X; M)} n∈N
le K-module gradué de l’homologie sur M de l’espace X.
Plaçons nous désormais dans les hypothèses du théorème de Bott-samelson
qui est présenté au chapitre suivant et supposons que X est un espace topologique
connexe par arcs et que K est un anneau principal tel que H ∗ (X; K) est un K-module
gradué sans torsion.
STRUCTURE DE COALGÈBRE SUR L’HOMOLOGIE.
Considérons l’application continue diagonale ∆ : X −→ X × X définie par ∆(x) =
(x, x) pour tout x ∈ X. Alors puisque H ∗ (X, K) est supposé sans torsion, il découle
du théorème de Künneth que
H ∗ (X × X; K) H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K) .
(Pour la construction de cet isomorphisme se référer par exemple au livre de
Spanier [18].)
La diagonale induit alors une application de K-modules
∆ H∗
: H ∗ (X; K) ∆ H∗
−→ H ∗ (X × X; K) −→ H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K) .

5. ALGÈBRE DE HOPF DE L’HOMOLOGIE D’UN H-ESPACE 199
Dans la catégorie des espaces topologiques pointés, nous avons le diagramme
commutatif suivant :
X
∆
X × X
∆
X × X
∆×1
1×∆
X × X × X
Ainsi on obtient comme conséquence de la naturalité du foncteur d’homologie
H ∗ (−; K) la commuativité du diagramme suivant :
H ∗ (X; K)
∆ H∗
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
∆ H∗
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
1×∆ H∗
∆ H∗ ×1
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
De ce fait ∆ H∗ : H ∗ (X; K) −→ H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K) est une application coassociative.
Nous avons vu au chapitre 2 que H ∗ ({∗}) Z. Après application du foncteur K ⊗ −
sur le complexe singulier comme décrit ci-dessus, cet isomorphisme devient :
H ∗ ({∗}, K) K .
Alors si ε : X −→ {∗} est l’application pointée constante, elle induit en homologie
l’application
qui induit le morphisme de K-modules
ε ∗ : H ∗ (X; K) −→ H ∗ ({∗}, K)
ε ′ ∗ : H ∗ (X; K) −→ H ∗ ({∗}, K)
Alors le diagramme suivant commute :
−→ K .
ε
K ⊗ H ∗ (X; K) ′ ∗⊗1
1⊗ε
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
′ ∗
H ∗ (X; K) ⊗ K
∆ H∗
H ∗ (X; K)
On conclut que ∆ H∗ est une comultiplication sur H ∗ (X; K) et ε ′ ∗ une counité sur
H ∗ (X; K). Par conséquent (H ∗ (X; K), ∆ H∗ , ε ′ ∗) est une K-coalgèbre.
STRUCTURE D’ALGÈBRE SUR L’HOMOLOGIE D’UN H-ESPACE.
Supposons maintenant de plus que X est un H-espace associatif. Alors il existe
une application continue pointée µ : X × X −→ X telle que les deux diagrammes

200 17. ALGÈBRES, COALGÈBRES ET ALGÈBRES DE HOPF
suivants commutent à homotopie près :
X × X × X
1×µ
X × X
µ×1
µ
X × X
X
µ
X × X µ X
i
▽
X ∨ X
où ▽ : X ∨ X −→ X est le pliage et i : X ∨ X −→ X × X l’inclusion canonique du
wedge dans le produit cartésien. L’application µ induit l’application de K-module
gradué
µ H∗ : H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
µ ∗
−→ H ∗ (X × X; K) −→ H ∗ (X; K) .
A l’aide du premier diagramme on obtient la commutativité du diagramme
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
µ H∗ ×1
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
1×µ H∗
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
µ H∗
µ H∗
H ∗ (X; K)
En outre, considérons l’application η : {∗} −→ X qui induit en homologie un
morphisme de K-modules
η ′ ∗ : K
et le diagramme suivant commute :
1⊗η
′ ∗
−→
η ∗
H ∗ ({∗}; K) −→ H ∗ (X; K) .
K ⊗ H ∗ (X; K) H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K)
µ H∗
H ∗ (X; K)
η ′ ∗⊗1
H ∗ (X; K) ⊗ K
On conclut que µ H∗ est une multiplication associative sur H ∗ (X; K) et ε ′ ∗ une unité
sur H ∗ (X; K). Par conséquent (H ∗ (X; K), µ H∗ , η ′ ∗) est une K-algèbre.
STRUCTURE D’ALGÈBRE DE HOPF SUR L’HOMOLOGIE D’UN H-ESPACE.
Afin d’obtenir une structure d’algèbre de Hopf H ∗ (X; K), il reste à voir que ∆ H∗
et µ H∗ sont des morphismes d’algèbres et de coalgèbres respectivement. (Compte
tenu du fait que X est toujours un H-espace associatif.)

5. ALGÈBRE DE HOPF DE L’HOMOLOGIE D’UN H-ESPACE 201
Dans la catégorie des espaces topologiques pointés, le diagramme
X × X
µ
X
∆
X × X
∆×∆
µ×µ
X × X × X × X
1×τ×1
X × X × X × X
où τ : X×X −→ X×X, (x, y) ↦→ (y, x), est clairement commutatif. Or comme H ∗ (X; K)
est considéré sans torsion, le théorème de Künneth nous fournit un isomorphisme
H ∗ (X; K) ⊗ H ∗ (X; K) H ∗ (X × X; K)
qui est de plus naturel. (Voir [18]). Alors en conséquence de cette naturalité, on
obtient la commutativité du diagramme
H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X)
∆ H∗ ⊗∆ H∗
H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X)
µ H∗
H ∗ (X)
1⊗T⊗1
∆ H∗
H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X)
µ H∗ ⊗µ H∗
H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X) ⊗ H ∗ (X)
où H ∗ (X) = H ∗ (X; K). Or nous avons vu que la commutativité de ce diagramme est
équivalente à la condition (3) de la définition d’algèbre de Hopf.
REMARQUE 17.19.
Dans le chapitre suivant, nous allons nous intéresser à l’homologie d’un espace
de lacets. Rappelons alors que tout espace de lacets est un H-espace associatif.
En effet, l’ensemble [S 1 , Y] étant le groupe fondamental de l’espace Y, il est munit
d’une structure de groupe pour tout espace Y. Ainsi S 1 est un co-H-groupe, ce qui
entraîne que F(S 1 , Y) est un H-groupe pour tout espace Y. Par conséquent, l’espace
des lacets de Y qui est exactement F(S 1 , Y) est en particulier un H-espace associatif.
On peut donc sans autre munir l’homologie d’un espace de lacets d’une structure
d’algèbre de Hopf.

CHAPITRE 18
Les théorèmes de Bott-Samelson et de Freudenthal
1. Les théorèmes d’Hurewicz
Nous arrivons finalement au point central de ces projets de semestre : les
théorèmes d’Hurewicz. Le but ici n’étant pas de les démontrer mais de les utiliser
pour démontrer les théorèmes de Bott-Samelson et de Freudenthal. Pour une
démonstration de ces théorèmes, se référer au travaux de Julian et Michele..
THÉORÈME D’HUREWICZ.
Soit n ∈ N un entier plus grand que 1. Soit X un espace topologique (n − 1)-connexe.
Alors
h n : π n (X) −→ H n (X)
est un isomorphisme.
CONSÉQUENCE 18.1.
Supposons que comme dans les hypothèses du théorème, X soit un espace topologique
(n − 1)-connexe, alors X est aussi (m − 1)-connexe pour tout 1 < m < n.
Ainsi,
0 π m (X) H m (X) ∀ m = 2, n − 1 .
Par conséquent, l’homologie d’un espace (n − 1)-connexe est
⎧
Z si m = 0 car X est connexe par arcs (cf. thm. 15.25)
π 1 (X) ab si m = 1
⎪⎨
H m (X) 0 si 2 ≤ m ≤ n − 1
π n (X)
si m = n
⎪⎩ Hurewicz ne dit rien si m > n .
203

204 18. LES THÉORÈMES DE BOTT-SAMELSON ET DE FREUDENTHAL
THÉORÈME D’HUREWICZ, VERSION RELATIVE.
Soit (X, A) une paire d’espace topologique (n−1)-connexe où X et A est simplement connexe
et n ≥ 2. Alors H q (X; A) = 0 pour tout q ≤ n et
est un isomorphisme.
k n : π n (X; A) −→ H n (X; A)
2. Théorème de Bott-Samelson
Cette section se base essentiellement sur un papier de J. Neisendorfer [9]. Nous
commençons par quelques rappels sur la suspension réduite et l’espace des lacets
pour fixer les idées et les notations.
LA SUSPENSION RÉDUITE.
Soit (X, x 0 ) un espace topologique pointé. On définit la suspension réduite ΣX de
X par le quotient suivant :
ΣX := X × I/X × {0} ∪ X × {1} ∪ {x 0 } × I
pointé par {x 0 }×I. La suspension réduite se caractérise aussi par ΣX = S 1 ∧X. Mais,
ici nous utiliserons la caractérisation
ΣX = C − X ∪ C + X
avec C − X = {[x, t] | x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1 2 } le cône inférieur sur X et C +X = {[x, t] | x ∈
X, 1 2 ≤ t ≤ 1} le cône supérieur sur X. En outre, C −X ∩ C + X = X × { 1 2 } X.
On peut aussi suspendre une application continue pointée f : X −→ Y
Σ f : ΣX −→ ΣY
[x, t] ↦−→ Σ f ([x, t]) := [ f (x), t] .
L’ESPACE DES LACETS.
L’espace des lacets d’un espace topologique pointé (X, x 0 ) est
pointé par le lacet constant en x 0 .
ΩX := {u ∈ X I | u(0) = u(1) = x 0 }
Si f : X −→ Y est une application continue pointée, alors on définit le laçage de f
par
Ω f : ΩX −→ ΩY
u ↦−→ Ω f (u) := f ◦ u .
Dans le théorème de Bott-Samelson c’est en fait l’espace des lacets de la suspension
réduite ΩΣX d’un espace topologique connexe X qui nous intéresse.

2. THÉORÈME DE BOTT-SAMELSON 205
APPLICATION DE SUSPENSION ET ÉVALUATION.
Nous considérons l’application Σ X , appelée application de suspension, qui envoie
un élément de l’espace X sur le lacet dans la suspension réduite de première
coordonnée constante x. Formellement :
Σ X : X −→ ΩΣX
x ↦−→ Σ X(x) : I −→ ΣX
t ↦−→ Σ X (x)(t) := [x, t]
où l’application Σ X (x) est bien un lacet dans ΣX puisque [x, 0] = [x, 1].
L’évaluation quant à elle se définit comme suit :
e X : ΣΩX −→ X
[u, t] ↦−→ u(t)
L’espace ΩΣX vérifie la propriété universelle suivante.
PROPRIÉTÉ UNIVERSELLE MULTIPLICATIVE DE ΩΣX.
Pour tout espace topologique Y et pour tout application continue f : X −→ ΩY, il existe
un unique laçage f : ΩΣX −→ ΩY, tel que f ◦ Σ X = f , c-à-d qui fait commuter le
diagramme suivant :
X
Σ X
∃! f
ΩΣX
DÉMONSTRATION. Posons f := Ωe Y ◦ ΩΣ f : ΩΣX −→ ΩΣΩY −→ ΩY, alors f
fait commuter le diagramme. En effet, pour x ∈ X calculons
f
ΩY
f ◦ Σ X (x) = Ωe Y ◦ ΩΣ f ◦ Σ X (x)
Alors e y (Σ f (Σ X (x)(t))) = e Y ([ f (x), t]) = f (x)(t). D’où f ◦ Σ X = f .
Pour l’unicité supposons que g fasse commuter le diagramme, alors pour tout
x ∈ X et pour tout t ∈ I on a g ◦ Σ X (x)(t) = f (x)(t). Ainsi
g([x, t]) = f (x)(t) = e Y ([ f (x), t]) = e Y (Σ f ([x, t])) .
D’où g = Ω(e Y ◦ Σ f ) = Ωe Y ◦ ΩΣ f = f .
L’application f est appelée l’extension multiplicative de f .
□
Après ces nombreuses pages de préliminaires, nous avons finalement en mains
tous les outils nécessaires pour énoncer et démontrer le théorème de Bott-Samelson

206 18. LES THÉORÈMES DE BOTT-SAMELSON ET DE FREUDENTHAL
THÉORÈME DE BOTT-SAMELSON 18.2.
Soit R un anneau principal. Soit X un espace topologique connexe par arcs tel que
˜H ∗ (X, R) = ˜H ∗ (X) est un R-module libre. Alors l’application
induit un isomorphisme d’algèbres
Σ ∗ : ˜H ∗ (X) −→ ˜H ∗ (ΩΣX)
T(˜H ∗ (X)) H ∗ (ΩΣX) .
En fait, ces deux algèbres sont même isomorphes en tant qu’algèbres de Hopf, où le coproduit
sur T(˜H ∗ (X)) est induit par celui de H ∗ (X).
DÉMONSTRATION. Nous allons considérer l’espace E donné par le pushout
ΩΣX × X
c
ΩΣX × C + X
1×ı
ΩΣX × C − X
E
où
c : ΩΣX × X −→ ΩΣX × X
(u, x) ↦−→ (u ∗ Σ X (x), x) .
(Ceci revient à dire que E = (ΩΣX × C − X) ∪ (ΩΣX × C + X) avec identification du
bord du premier terme avec le bord du deuxième selon c.)
LEMME 18.3.
L’espace E est un espace contractile.
PREUVE DU LEMME. Pour montrer que E est contractile, on utilise un autre espace
que l’on sait contractile, à savoir PΣX l’espace des chemins pointés de ΣX.
Rappelons que la fibration des chemins est donnée par
p : PΣX −→ ΣX
u ↦−→ u(1) .
Décomposons alors PΣX = p −1 (C − X) ∪ p −1 (C + X), où l’intersection des deux termes
est p −1 (C − X) ∩ p −1 (C + X) = p −1 (C − X ∩ C + X) = p −1 (X). Ainsi PΣX est le pushout du
diagramme suivant :
p −1 (C − X) ∩ p −1
(C + X) p
−1 (C − X)
p −1 (C + X) PΣX .
Nous allons maintenant trouver trois équivalences d’homotopie entre les sommets
des diagrammes ci-dessus (sauf entre les pusouts). Pour ce faire, on considère les

2. THÉORÈME DE BOTT-SAMELSON 207
chemins γ − ([x, t]) dans C − X qui relie linéairement [x, 0] à [x, t], ainsi que les chemins
γ + ([x, t]) dans C + X qui relie linéairement [x, 1] à [x, t]. On pose alors
ψ − : ΩΣX × C − X −→ p −1 (C − X) , (u, a) ↦→ u ∗ γ − (a)
(dont l’image est un lacet dans C − X auquel on ajoute le chemin linéaire liant a) ;
ψ + : ΩΣX × C + X −→ p −1 (C + X) , (u, a) ↦→ u ∗ γ + (a) ;
φ − : p −1 (C − X) −→ ΩΣX × C − X , u ↦→ (u ∗ γ − (u(1)) −1 , u(1)) ;
φ + : p −1 (C + X) −→ ΩΣX × C + X , u ↦→ (u ∗ γ + (u(1)) −1 , u(1)) .
En évaluant on voit facilement qu’il s’agit d’équivalences d’homotopie :
ψ − ◦ φ − ≃ 1, φ − ◦ ψ − ≃ 1, ψ + ◦ φ + ≃ 1, φ + ◦ ψ + ≃ 1 .
On obtient de ce fait un diagramme commutatif à homotopie près :
PΣX
p −1 (C − X) p −1 (C − X) ∩ p −1 (C + X) p −1 (C + X)
φ −
ΩΣX × C − X
ΩΣX × X ΩΣX × C + X
1×ı
E
Les applications de la ligne du haut sont des cofibrations, on peut donc les
modifier par une homotopie φ + et φ − de telle sorte que le diagramme soit non plus
commutatif à homotopie près, mais commutatif strictement. (Se référer au chapitre
1 du travail de Michele pour les détails de cet argument). On obtient ainsi une
application PΣX −→ E entre les pushouts.
On applique alors le foncteur π 1 à ce nouveau diagramme. Puisque les flèches verticales
sont des équivalences d’homotopie, les groupes fodamentaux des espaces
liés par une telle flèche sont isomorphes. Alors, si on applique le théorème de
Seifert-van Kampen pour trouver les groupes fondamentaux des deux pushouts E
et PΣX, on obtient que π 1 (PΣX) π 1 (E).
Comme PΣX est contracile, il suit que tous ses groupes d’homotopie sont triviaux.
En particulier, puisque 0 π 1 (PΣX) π 1 (E), alors par Hurewicz de rang 1,
H 1 (E) 0.
On applique maintenant les foncteurs d’homologie à ce diagramme et on trouve
que H n (PΣX) H n (E) pour tout n. De plus 0 π n (PΣX) pour tout n ≥ 2, veut
dire que PΣX est (m − 1)-connexe pour m aussi grand que l’on puisse souhaiter. Le
théorème d’Hurewicz entraîne que π m (PΣX) H m (PΣX) pour tout m ≥ 2.
Par conséquent, en réunissant tous les isomorphismes cités ci-dessus, il vient
0 π m (PΣX) H m (PΣX) H m (E) ∀ m > 0
Ce qui prouve finalement que E est un espace contractile.
φ −
φ +
□

208 18. LES THÉORÈMES DE BOTT-SAMELSON ET DE FREUDENTHAL
Le fait que E est contractile, entraîne que H ∗ (E) R (nous avons prouvé ce
résultat au chapitre 2 pour R = Z seulement, mais il se généralise facilement).
Ainsi en appliquant la suite exacte de Mayer-Vietoris au premier diagramme du
pushout E on obtient la suite exacte courte
0 −→ H ∗ (ΩΣX) ⊗ H ∗ (X)
d
−→ H ∗ (ΩΣX) ⊗ H ∗ (C − X) ⊕ H ∗ (ΩΣX) ⊗ H ∗ (C + X) −→ R −→ 0
où, si l’augmentation est ε : H ∗ (X) −→ R, on a d(a, b) = (a ⊗ ε(a), ab ⊗ 1). D’où
l’isomorphisme
H ∗ (ΩΣX) ⊗ ˜H ∗ (X)
−→ ˜H ∗ (ΩΣX) .
On utilise alors le fait que X est connexe, ce qui implique que l’algèbre H ∗ (X)
est connexe, pour conclure à l’aide du lemme suivant.
LEMME 18.4.
Soit A une algèbre connexe et M un module libre connexe. Si f : M −→ Ã est une
application linéaire, alors l’extension f : T(M) −→ A est un isomorphisme si et seulement
si A ⊗ M −→ 1⊗ f
A ⊗ Ã −→ m
à est un isomorphisme.
DÉMONSTRATION. La démonstration de ce lemme se fait par induction et se
trouve dans l’article sur les algèbres de Hopf de Milnor and Moor [13]. □
On obtient donc finalement T(˜H ∗ (X)) H ∗ (ΩΣX).
Pour la partie Algèbre de Hopf, on détermine la comultiplication de l’algèbre
tensorielle T(˜H ∗ (X)) sur les générateurs par la comultiplication de H ∗ (X).
□
3. Théorème de Freudenthal
Il s’agit dans cette section d’appliquer le théorème d’Hurewicz, ainsi que le
theorème de Bott-Samelson pour donner une démonstration du théorème de suspension
de Freudenthal dans le cas où l’espace considéré est la n-sphère.
THÉORÈME DE SUSPENSION DE FREUDENTHAL 18.5.
Soit X un espace topologique pointé m−1-connexe (m ≥ 2), alors la suspension homotopique
σ : π i (X) −→ π i+1 (ΣX)
[ f ] ↦−→ [Σ f ]
est un isomorphisme de groupes pour i < 2m − 1. Elle est surjective pour i = 2m − 1.
PREUVE POUR X = S n , n ≥ 2.
Rappelons que pour tout n ≥ 2, on a S n+1 = S 1 ∧ S n = ΣS n .

3. THÉORÈME DE FREUDENTHAL 209
Les foncteur Σ et Ω étant adjoints, on peut écrire
π i+1 (S n+1 ) = [S i+1 , S n+1 ] = [ΣS i , S n+1 ]
= [S i , ΩS n+1 ] = π i (ΩS n+1 )
Il suffit donc de montrer que π i (ΩS n+1 ) π i (S n ) pour tout i < 2n − 1 et que
π i (S n ) ↠ π i (ΩS n ) pour i = 2n − 1.
En appliquant Bott-samelson à S n , on obtient T(˜H ∗ (S n )) H ∗ (ΩS n+1 ). L’algèbre
tensorielle se calcule facilement puisque pour n ≥ 0
⎧
⎪⎨
H q (S n Z si n = q
) ⎪⎩ 0 si n q .
(Voir chapitre 2 du travail de Julian pour ce calcul.)
Ainsi, si x n est un générateur H n (S n ), on peut écrire T(˜H ∗ (S n )) = T(x n ). D’où
⎧
⎪⎨
H k (ΩS n+1 Z si k = n, 2n, · · ·
) ⎪⎩ 0 sinon .
Par conséquent H k (ΩS n+1 ) H k (S n ) pour tout k = 0, 2n − 1.
En utilisant une décomposition en CW-complexes de ΩS n+1 , on peut voir que
S r ↩→ ΩS n+1 . (Voir chapitre 1 du travail de Michele.) On obtient ainsi une suite
exacte longue en homologie pour la paire (ΩS n+1 , S n ) :
· · · H i+1 (ΩS n+1 , S n ) −→ H i (S n ) −→ H i (ΩS n ) −→ H i (ΩS n+1 , S n ) −→ · · · .
Alors, comme H k (ΩS n+1 ) H k (S n ) 0 pour tout k = 0, 2n − 1 avec k n, par
exactitude de la suite on obtient que H k (ΩS n+1 , S n ) = 0 pour tout 0 ≤ k ≤ n − 1 et
n + 2 ≤ k ≤ 2n − 1. Autour de n on obtient la suite exacte courte
0 −→ H n+1 (ΩS n+1 , S n ) −→ Z Z −→ H n (ΩS n+1 , S n ) −→ 0
qui entraîne que H n+1 (ΩS n+1 , S n ) = H n (ΩS n+1 , S n ) = 0.
Maintenant, en homotopie, on obtient pour la paire topologique (ΩS n+1 , S n ) la suite
exacte longue
· · · π i+1 (ΩS n+1 , S n ) −→ π i (S n ) −→ π i (ΩS n ) −→ π i (ΩS n+1 , S n ) −→ · · · .
Alors comme π j (ΩS n+1 , S n ) 0 pour tout j ≤ 2n − 1 l’exactitude de la suite entraîne
que π i (S n ) π i (ΩS n ) pour tout i ≤ 2n − 2 et π i (S n ) ↠ π i (ΩS n ) pour i = 2n − 1. □
REMARQUE 18.6.
On peut appliquer une démonstration similaire à un espace X (n − 1)-connexe en
utilisant une approxiamation par les CW-complexes (développée dans le travail
de Michele), puisqu’alors il est facile d’inclure une sphère dans X.
Le théorème de Freudenthal est particulièrement intéressant pour calculer
certains groupes d’homotopie des sphères.

210 18. LES THÉORÈMES DE BOTT-SAMELSON ET DE FREUDENTHAL
REMARQUE 18.7.
Si X est un espace topologique m-connexe, on déduit de la suite
π i (X)
σ
−→ π i+1 (ΣX)
σ
−→ π i+2 (Σ 2 X)
σ
−→ . . .
et du théorème de Freudenthal que ΣX est (m+1)-connexe, Σ 2 X est (m+2)-connexe
et ainsi de suite.
En outre, si l’on prend k ∈ N tel que k ≥ i − 2m (alors i + k ≤ 2m + k + k = 2(m + k))
on obtient qu’à partir de
π i+k (Σ k X)
σ
−→ π i+k+1 (Σ k+1 X)
toutes les suspensions sont des isomorphismes.
En appliquant ce résultat à X = S 1 , i = 1 et k = 1 on obtient la suite suivante
d’isomorphismes :
π 2 (S 2
) −→ π 3 (S 3
) −→ π 4 (S 4
) −→ . . .
σ σ σ
Or nous savons que H 2 (S 2 ) Z, ainsi puisque S 2 est 1-connexe, il découle du
théorème d’Hurewicz que
π n (S n ) Z
pour tout n ≥ 1.
EXEMPLE 18.8.
En partant de la sphère S 2 , que nous savons connexe par arcs et dont le groupe
fondamental est trivial (i.e. S 2 est 1-connexe), comme S 1 ∧ S n = S n+1 on obtient
π 1 (S 2
) −→ π 2 (S 3 )
}{{} σ
0
Il suit que π 2 (S 3 ) 0. Par conséquent, π 1 (S 3 ) étant trivial, S 3 est 2-connexe. Ainsi
et
π 1 (S 3
) −→ π 2 (S 4 )
}{{} σ
0
π 2 (S 3
) −→ π 3 (S 4 ) .
}{{} σ
0
Donc S 4 est 3-connexe. (On considère ici connu le fait que π 1 (S n ) 0 pour tout
n > 1.)
Et ainsi de suite.
Il ressort finalement que
π i (S n ) = 0 si i < n .

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213

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Leitfäden. [Mathematical Textbooks]. B. G. Teubner, Stuttgart, second edition,
1994. Eine Einführung. [An introduction].

Index
éléments
indécomposables, 131
primitifs, 131
équivalence faible
entre paires, 87
évaluation, 199
acyclique, 21
algèbre, 184
commutative, 184
connexe, 131
de Hopf, 189
de Lie, 133
duale, 126
tensorielle, 190
universelle enveloppante, 134
algèbre de Hopf
duale, 130
application
équilibrée, 143
bi-additive, 143
d’Hurewicz, 173
de face, 160
application cellulaire, 62
application de suspension, 199
bord, 13, 17, 107, 108, 159
catégorie, 11
classe
d’homologie, 13, 107, 163
coalgèbre
commutative, 187
duale, 127
coalgèbre, 187
coassociativité, 187
cofibration, 49
cofibration
basée, 53
complexe de chaîne, 13, 107
relatif, 21
singulier, 109
complexe de chaînes
singulier, 161
complexe singulier
augmenté, 180
composition, 11
comultiplication, 187
counité, 187
CW-complexe, 61
CW-complexe
relatif, 61
cycle, 13, 107
différentielle, 179
espace des lacets, 198
espace dual, 125
espace vectoriel gradué, 110
face opposée, 159
foncteur, 12
génération primitive, 135
groupe
d’homologie, 13, 163
de bords, 109
de chaîne singulière, 161
de cycles, 109
groupes d’homologie
réduite, 181
singulière, 18, 109
homomorphisme d’Hurewicz, 39
relatif, 39
homomorphisme induit, 163
homotopie
de chaînes, 14
i-ème face, 17, 108
inverse, 11
isomorphisme, 11
laçage, 198
longue suite exacte
en homologie, 15
module gradué, 183
morphisme, 11
de K-algèbres, 185
215

216 INDEX
de K-coalgèbres, 188
de module gradué, 183
d’Hurewicz, 138
d’Hurewicz rationnel, 138
de chaînes, 14, 107
produit tensoriel, 183
multiplication, 184
n-ème groupe d’homotopie, 31
relatif, 32
n-bord, 162
n-chaînes, 161
n-connexe, 29
n-cycle, 162
n-equivalence, 67
n-simple, 36
n-simplexe
singulier, 161
standard, 160
objets, 11
opérateur de bord, 13, 18, 107, 161
des groupes d’homotopie, 37
orientation, 160
orientation standard, 26
pliage, 29
produit tensoriel, 144
d’homomorphismes, 147
de modules gradués, 183
q-ème groupe d’homologie, 107
singulière relative, 21
q-ème groupe de bords, 18
q-ème groupe de chaîne
singulier, 18, 108
q-ème groupe de cycles, 18
q-chaînes
singulières, 18
q-chaînes singulières, 108
q-simplexe
singulier, 17, 108
standard, 108
simplexe, 159
somme directe
de modules gradués, 183
sous-complexe, 61
suite de Mayer-Vietoris, 24
suite exacte, 12
de morphismes de chaînes, 15
suspension homotopique, 202
suspension réduite, 198
terme homogène de degré n, 183
théorie d’homologie, 88
transposée, 125
unité, 184