Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

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Polycopié 2013 - mms2 - MINES ParisTech

MINES ParisTech

1ère année

MÉCANIQUE

DES

MATÉRIAUX

SOLIDES

Notes de cours

D. RYCKELYNCK, S. CANTOURNET, M. MAZIERE, H. PROUDHON

P.-O. BOUCHARD, G. CAILLETAUD

L. CORTE, J-L. DEQUIEDT

A. GAUBERT, S. JOANNES

A. ROUABHI, Y. TILLIER

V. YASTREBOV

Mars 2013


Table des matières

I COURS 3

1 Eléments de théorie des poutres planes 5

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Modélisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Modélisation des actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Approche par le principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Rappel : le principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Cinématique de la poutre de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Traitement des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Equations différentielles traduisant l’équilibre . . . . . . . . . . . . 12

1.2.5 Cas particulier des systèmes isostatiques . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.6 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.7 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.8 Energie potentielle dans le cas de l’élasticité linéaire . . . . . . . . . 16

1.3 Solution de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Poutre sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.1 Evaluation des efforts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2 Forme générale des lois de comportement élastiques . . . . . . . . . 21

2 Rhéologie 25

2.1 Les différents types de ”déformation” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Les sources de ”déformation” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2 Dilatation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Les briques de base du comportement non linéaire . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Plasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Modèle élastique–parfaitement plastique . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2 Modèle de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.3 Écriture générale des équations de l’élastoplasticité uniaxiale . . . . 30

2.4 Viscoélasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Un exemple de modèle rhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.2 Étude d’un modèle composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Viscoplasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.1 Un exemple de modèle rhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii


iv

TABLE DES MATIÈRES

2.5.2 Quelques modèles classiques en viscoplasticité . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Influence de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Hyperélasticité 39

3.1 L’élasticité caoutchoutique, une origine entropique . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Formalisme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Formalisme des grandes déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.2 Mesure des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Comportement Hyperélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.1 Hyperélasticité isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.2 Représentation en élongations principales . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.3 Traitement de l’incompressibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.4 Quelques formes de densité d’énergie de déformation . . . . . . . . 51

4 Éléments de Mécanique Linéaire de la rupture 57

4.1 Paramètres géométriques et paramètres mécaniques . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Modes de rupture et facteur d’intensité des contraintes . . . . . . . . . . . 59

4.2.1 Cas du mode I en état de contraintes planes . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.2 Autres modes de sollicitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3 Taux de restitution d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.1 Critère en énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.2 Cas d’une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.3 Quelques valeurs critiques de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.4 Critère de propagation en mode I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Analyse de l’état de contrainte tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5 Quelques compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Introduction à la théorie de stabilité des systèmes conservatifs 69

5.1 Evolution et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1 Dynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.2 Stabilité d’un équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1.3 Equation de mouvement linéarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Théorème de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3 Cas d’une énergie potentielle strictement convexe localement . . . . . . . . 72

5.3.1 Théorème de Lejeune Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.2 Conservation de l’énergie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3.3 Eléments de démonstration du théorème de Lejeune Dirichlet . . . . 74

5.4 Critère de seconde variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6 Analyse de la stabilitée d’une barre articulée par le critère de seconde variation 75

5.7 Analyse du flambage d’une poutre par le critère de seconde variation de

l’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.7.1 Une méthode d’analyse qui procède par étapes . . . . . . . . . . . . 76

5.7.2 Paramétrage et hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.7.3 Condition d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.7.4 Etude de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.7.5 Analyse de stabilité du flambage, critère de seconde variation . . . . 80


TABLE DES MATIÈRES

v

5.8 Analyse du flambage par l’étude de l’équilibre d’une configuration déformée 80

5.8.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.8.2 Poutre simplement supportée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.8.3 Autres conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Exercice 83

6.1 Flexion sur appui simple : poutre homogène et poutre sandwich . . . . . . 83

6.1.1 Poutre homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1.2 Poutre sandwich sur deux appuis simples . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2 Flexion d’une poutre de section rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3 Gonflage d’un ballon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.4 Rupture fragile d’une poutre en flexion par une approche statistique . . . . 98

6.5 Evaluation de la charge de flambement d’une poutre droite . . . . . . . . . 103

6.6 Composites à fibres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.6.1 Réservoir sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.6.2 Coefficient de dilation d’un composite à fibres longues . . . . . . . . 110

6.6.3 Assemblage collé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.7 Etude de la flexion d’un bilame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.8 Test Biaxial sur élastomère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7 Notations 125

II Approche expérimentale de la mécanique de matériaux

solides 127

8 Approche expérimentale et inductive 129

8.1 Objectifs et évaluation des mini-projets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.2 Description des mini-projets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.2.1 Rupture de billes de verre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.2.2 Retour élastique lors du pliage d’une tôle en acier . . . . . . . . . . 129

8.2.3 Etude de la mise en forme d’une tôle en acier . . . . . . . . . . . . 130

8.2.4 Photoélasticité sur une poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.2.5 Fluage et relaxation d’un fil de brasure . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.2.6 Montages rhéologiques complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.2.7 Un mécano pour jouer avec les poutres . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.2.8 Comportement de plaques composites . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.2.9 Flexion et torsion d’un ski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.2.10 Etude de la bifurcation d’une fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.2.11 Comportement des élastomères chargés . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.2.12 Comportement d’une balle de squash . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.2.13 Comportement d’une balle de ping-pong . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.2.14 Etude de la tenue d’un assemblage fretté . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.2.15 Etude de biomatériaux, les hydrogels . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.2.16 Contact d’une sphère et d’un plan rigide . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.2.17 Compression de canettes métaliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.2.18 Comportement d’une mousse rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.2.19 Resistance au flambement de pots de yaourt . . . . . . . . . . . . . 132


vi

TABLE DES MATIÈRES

8.2.20 Etude expérimentale et analyse de l’essai d’étirage de films minces

en polymère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


Préambule

La mécanique est la science des mouvements de la matière à toute échelle de temps

et pour toute échelle d’espace. Pour les solides, ces mouvements conduisent à des

changements de forme. Par ailleurs, un matériau c’est de la matière que l’on sait utiliser

ou transformer pour lui donner une fonction. La mécanique des matériaux solides a pour

but de maîtriser les changements de forme des matériaux à toutes les échelles de temps et

d’espace, dans les cas où l’on souhaite que leur forme évolue peu ou dans le cas d’évolutions

de forme désirées.

Prendre forme c’est occuper un domaine géométrique de l’espace avec des

transformations décrites par des champs de déplacement. Nous nous plaçons dans le cadre

d’une approche lagrangienne, il est donc question de déplacement de points matériels.

Nous nous limitons ici aux échelles d’espace pour lesquelles le milieu occupé par la

matière peut être considéré comme continu, c’est à dire de façon simple, des milieux pour

lesquels les déplacements de matière sont des fonctions continues des variables d’espace

(variables de position), ou des fonctions continues presque partout sur le domaine occupé

par la matière. Ce type d’approche est très largement répandue dans les métiers de

l’ingénieur pour des domaines aussi variés que les transports, l’énergie, l’agroalimentaire

...

La rupture est le changement de forme ultime pour les solides. Lorsqu’une fissure se

propage, de nouvelles surfaces se créent au bord de la matière. Mais bien avant de rompre,

certains matériaux peuvent supporter des contraintes induisant un changement de forme

par déformation élastique, c’est à dire réversible, ou par déformation en partie irréversible.

Les 5 séances de cours magistraux sur la Mécanique des Matériaux Solides ont

pour objectif pédagogique de donner des éléments de connaissance théorique dans le

but d’interpréter les essais mécaniques réalisés au cours de mini-projets. Elles sont une

introduction : (i) à la théorie des poutres, afin d’être capable d’écrire les équations

d’un problème de mécanique pour les milieux élancés rectilignes simples ; (ii) aux

modèles rhéologiques permettant de décrire des lois de comportement liant tenseur de

contrainte et tenseur de déformation ; (iii) à la modélisation de l’hyperélasticité ; (iv) à

la mécanique linéaire de la rupture ; (v) à la stabilité des états d’équilibre dans le cadre

de la modélisation du flambage. Ces notions théoriques permettrons de proposer une

modélisation analytique des essais réalisés en deuxième partie du cours.

L’ensemble, constitué des cours magistraux et des mini-projets, vise à donner un

certain nombre d’éclairages sur la mécanique des matériaux solides et les méthodes

utilisées, tout en offrant des points d’entrée en vue d’études plus approfondies. Le

fait de suivre un tel axe de découverte fait courir le risque d’être parfois trop

lapidaire. On cherchera donc, dans le temps imparti, à trouver un juste équilibre dans

l’exposé. On espère ainsi montrer que la mécanique des matériaux est un carrefour,

vii


TABLE DES MATIÈRES 1

où se croisent mathématiciens et ingénieurs, industriels et universitaires, théoriciens et

expérimentateurs.

Le cours lui-même peut être prolongé par les exercices corrigés qui sont disponibles et

par les applications du site web http ://mms2.ensmp.fr, dont certaines sont interactives.

Cet entrainement est nécessaire à une bonne assimilation du cours.

Ce polycopié a été rédigé sur la base de divers ouvrages dont le polycopié du cours

MMS de G. Cailletaud de 2011, que nous remercions vivement pour son aide dans la mise

en place la nouvelle formule du cours de Mécanique des Matériaux Solides.


2 TABLE DES MATIÈRES


Première partie

COURS

3


Chapitre 1

Eléments de théorie des poutres

planes

La théorie des poutres s’applique sur des ”solides élancés”. De façon traditionnelle,

le calcul de poutres fait partie du domaine de la résistance des matériaux (RDM) [14].

Cette discipline, longtemps enseignée en tant que telle, a permis pendant longtemps de

calculer de façon analytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages d’art divers.

Les mêmes calculs sont maintenant effectués numériquement, au moyen de codes de calcul

par éléments finis.

Néanmoins, malgré le développement des super calculateurs, l’intérêt pour la résolution

analytique de problèmes de mécanique subsiste. En effet, disposer d’une solution

analytique permet d’y voir l’influence des différents paramètres du modèle, chose

essentielle pour prendre des décisions ou pour comprendre un modèle. Or, la théorie

des poutres, par l’ajout d’hypothèses sur l’élancement des milieux étudiés, est une façon,

dans certains cas, d’obtenir des solutions analytiques.

1.1 Définitions

1.1.1 Modélisation géométrique

Les poutres ne sont pas forcément des prismes. Le modèle géométrique qui est employé

se résume à :

– une ligne moyenne C, de point courant G, avec s, abcisse curviligne à partir de O.

On définit le long de cette ligne (t, n, b), trièdre de Frénet orthonormé, ainsi que R,

rayon de courbure. On rappelle les égalités suivantes :

t = OG

ds

n = R dt

ds

b = t ∧ n (1.1)

– une section droite, S de la poutre, dans le plan (n, b), de contour Γ, de centre de

gravité G.

Dans le cas des géométries cylindriques, nous prendrons comme premier axe du repère

x 1 = t. Pour que la théorie soit applicable, il est nécessaire que les sections droites soient

lentement variables ou constantes en fonction de s, et que la plus grande dimension

de la section droite soit petite devant R, et devant la longueur de la poutre. Ces

hypothèses permettent d’assimiler localement la poutre à un tronçon de prisme. On

5


6 CHAPITRE 1.

ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES

s=0

n

S

b

t

Figure 1.1 – Représentation géométrique d’une poutre

considère dans la suite une théorie en petites déformations et petits déplacements. Les

actions mécaniques, charges et actions de liaison, s’appliquent sur la géométrie simplifiée.

Elles sont représentées par des torseurs (un vecteur résultant et un moment résultant),

que l’on définit donc sur la ligne moyenne. On construira également une cinématique

simplifiée, permettant de reconstruire les déplacements approchés du milieu continu à

partir de translations et de rotations d’un point de la ligne moyenne.

Le but de la théorie des poutres est de remplacer la solution tridimensionnelle par

une solution globale, dans laquelle on écrira des équations d’équilibre entre les quantités

moyennes qui définissent les efforts, une cinématique définissant les déplacements sur la

structure simplifiée, et des lois de comportement qui relient les deux. Il s’agit de trouver

une solution acceptable pour un problème qui est, en toute rigueur, incomplet, puisqu’on

ne spécifiera pas de façon précise les efforts extérieurs sur la géométrie tridimensionnelle.

On ne cherchera à représenter que les moyennes, en termes de résultantes et de moments.

La figure 1.1 montre la forme générale d’une poutre. Dans chaque section droite, on

définit le centre de gravité par : ∫

GM dS = 0 (1.2)

S

On définit le moment quadratique par rapport à une droite ∆ de la section droite, en

introduisant H, projection de M ∈ S sur ∆


I(S, ∆) = ||HM|| 2 dS (1.3)

S

Cette grandeur présente une analogie avec le moment d’inertie d’un solide autour d’une

droite, mais dans le cas présent, le solide est plan et la masse surfacique est de 1. Ceci

explique qu’on parle souvent de moment d’inertie de la surface S autour de ∆. On peut

donc construire une matrice des moments quadratiques, qui est symétrique :

⎛ ∫

∫ ⎞

( ) I

⎜ 22 = x 2 3dS I 23 = − x 2 x 3 dS

I = S

S

⎝ ∫

∫ ⎟

⎠ (1.4)

I 32 = − x 2 x 3 dS I 33 = x 2 2dS

S

S


1.1. DÉFINITIONS 7

Elle est diagonalisable. Il existe donc des directions centrales principales, pour lesquelles

on définit les moments quadratiques centraux principaux

⎛ ∫


( ) I

⎜ 2 = x 2 3dS 0

I = S


∫ ⎟

⎠ (1.5)

0 I 3 = x 3 2dS

Pour la suite du chapitre, on travaillera dans les axes ainsi définis. Dans le cas où la

section présente deux axes de symétrie, ceux-ci correspondent bien entendu aux directions

principales.

1.1.2 Principe de Saint-Venant

Le traitement de la théorie des poutres s’appuie sur le principe de Saint-Venant formulé

en 1855 [4, 1]. Dans le cas de matériaux élastiques linéaires, il s’agit d’un théorème dont

on peut trouver une démonstration dans [12]. Il est alors démontré qu’une distribution

d’efforts extérieurs appliquée sur une section á l’une des extrêmités de Ω n’a qu’un effet

localisé au voisinage de cette section, si la résultante et le moment des efforts appliqués

sont nuls.

Ce principe peut être reformulé de la façon suivante : pour les milieux élancé, l’état

mécanique en des points suffisamment éloignés des points d’application des charges

extérieures ne dépend que du torseur résultant des efforts extérieurs.

On en déduit que seul le torseur des efforts intérieurs intervient dans le travail virtuel des

efforts intérieurs, si l’on se place hors de l’effet local des conditions aux limites.

Dans la pratique, la solution donnée par la théorie des poutres est valable lorsqu’on a

parcouru sur la ligne moyenne une distance qui est de l’ordre de deux à trois diamètres,

si bien que la schématisation de type poutre est en général acceptée à partir d’un rapport

10 à 15 entre la longueur et la plus grande dimension de la section droite.

1.1.3 Modélisation des actions mécaniques

S

Ligne moyenne C

_ x 1

_ x 1

G

σ(x). x 1 ~ _ _ S

dS

_ x 3

σ(x). ~ _ _ x 1

G

_ x 1

Ω

-

Ω-

S

Figure 1.2 – Efforts intérieurs transmis par une section droite


8 CHAPITRE 1.

ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES

La figure 1.2 définit la manière dont on prend en considération les efforts de cohésion.

Il ne s’agit plus de considérer les actions transmises par une surface infinitésimale mais

celle transmises par une section droite de la poutre. Dans la mesure où la géométrie se

résume en fait à une ligne et des sections droites, la représentation de la section elle-même

n’est présente que de façon indicative. La section droite considérée coupe le domaine en

deux parties, Ω = Ω − ∪Ω + . L’étendue de la surface de coupure n’étant plus infinitesimale,

il est possible d’introduire une description de la rotation de celle-ci. Le plus simple est

d’introduire un torseur de vitesse pour décrire la cinématique de la surface de coupure.

La puissance des efforts exercés sur cette surface fait alors intervenir le torseur des efforts

intérieurs, composé d’une résultante et d’un moment généralement exprimé au point G.

Pour un champ de contrainte donné dans la section courante, il est possible d’obtenir

les composantes du torseur des efforts intérieurs. Elles sont définies de manière globale

sur la section courante. Les notations seront les suivantes :

– une résultante N selon x 1 , T 2 selon x 2 , T 3 selon x 3 ; N est l’effort normal, T 2 et T 3

les composantes de l’effort tranchant

– un moment de flexion M 2 autour de x 2 , M 3 autour de x 3

– un couple de torsion autour de x 1 , M 1 .

On définit ainsi un torseur, qui est obtenu en intégrant les composantes suivantes du

tenseur de contrainte :


C =

S



N = σ 11 dS T 2 =

S

∫S

(x 2 σ 13 − x 3 σ 12 )dS M 2 =

S


σ 12 dS T 3 = σ 13 dS (1.6)

S∫

x 3 σ 11 dS M 3 = − x 2 σ 11 dS (1.7)

Par définition, le torseur des efforts intérieurs est le torseur des actions de Ω + sur Ω − .

Il n’est pas utile de connaître les composantes σ 22 et σ 33 pour calculer les efforts

résultants. Ceci va inspirer la solution de Saint-Venant qui est exposée en section suivante.

Il faut noter également qu’il est possible de construire une infinité de champs de contraintes

qui redonnent le torseur indiqué. Dans la pratique, la théorie des poutres ne précise pas

la manière dont sont distribuées les contraintes dans une section droite (en application du

principe de Saint-Venant). Néanmoins cette distribution peut être estimée dans certains

cas.

S

1.2 Approche par le principe des travaux virtuels

On va poursuivre la description des actions mécaniques en appliquant le principe des

travaux virtuels à l’aide d’une description cinématique particulière. Pour plus de concision,

on se résume à la résolution dans un plan. La figure 1.3 montre la géométrie et résume

les efforts appliqués. La ligne moyenne est l’axe x 1 , la poutre se déforme dans le plan

x 1 − x 3 , qui est plan principal d’inertie. Comme l’axe x 1 est le lieu des centres d’inerties

des sections, on a :


x 3 dS = 0 . (1.8)

S


1.2. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 9

x 3

p

¡

¡

t

P

F

x 2

¡

¡

x 1

M

Figure 1.3 – Géométrie et efforts extérieurs considérés

1.2.1 Rappel : le principe des travaux virtuels

La figure 1.4 rappelle les grandeurs fondamentales que l’on considère sur un milieu

continu.

On introduit les définitions suivantes :

– Champ u ′ CCA (cinématiquement admissible) :

u ′ = u d sur ∂Ω u ε ′


= 0.5 ( gradu ′ + grad

T u ′) (1.9)



– Champ σ ∗


CSA (statiquement admissible) :

σ ∗

∼ .n = F d sur ∂Ω F divσ ∗

∼ + f d = 0 dans Ω (1.10)

La notation □ ′ n’indique pas une dérivée quelconque, mais un champ virtuel utile au

calcul de travaux virtuels.

L’évaluation du travail développé par σ ∗ dans u′ conduit à l’enchaînement suivant, pour


tout σ ∗ CSA et u′ CCA non forcément reliés par la loi de comportement :


u d f d F d

Ω

– Déplacement imposé u d sur la surface ∂Ω u

– Force répartie imposée F d sur la surface ∂Ω F

– Force volumique imposée f d à l’intérieur de Ω

Figure 1.4 – Notations dans le milieu continu


10 CHAPITRE 1.

ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES



Ω

Ω


σijε ∗ ′ ijdΩ =


=


=


=


σijε ∗ ′ ijdΩ =

Ω

Ω

Ω

∂Ω

∂Ω

1 ( )

2 σ∗ ij u


i,j + u ′ j,i dΩ (1.11)

σ ∗ iju ′ i,jdΩ (1.12)

( (σ )


ij u i)

′ − ,j σ∗ ij,ju ′ i dΩ (1.13)


σijn ∗ j u ′ idS − σij,ju ∗ ′ idΩ (1.14)


Ω

F i u ′ idS + fi d u ′ idΩ (1.15)

Ω

(1.16)

Le principe des travaux virtuels s’énonce alors de la façon suivante : ∀u ′ i, variation

autour d’un état d’équilibre (u ′ i = 0 sur ∂Ω u )




σijε ∗ ′ ijdΩ = −δW int = δW ext = Fi d u ′ idS + fi d u ′ idΩ (1.17)

Ω

∂Ω F

Dans la suite, on va appliquer ce principe sur les quantités globales définies sur la

poutre.

Ω

1.2.2 Cinématique de la poutre de Timoshenko

L’idée consiste, pour un solide élancé, à postuler une description simplifiée, globale,

de la structure, au lieu de chercher une résolution exacte. Les solutions obtenues sont

d’autant plus satisfaisantes que l’élancement est important.

Pour traiter le cas d’une poutre plane, on conserve dans la description géométrique

deux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment, conjugués

(au sens du travail virtuel). Pour le cas d’une poutre mince, on négligerait le cisaillement

(modèle N, M, Navier–Bernoulli).

Sollicitation axe de la poutre perp à l’axe moment de flexion

”force” N T M

”déplacement” U V θ

On calcule donc successivement les déplacements virtuels et les déformations virtuelles,

en suivant les notations illustrées par la figure 1.5

u ′ 1 = U ′ (x 1 ) + θ ′ x 3 u ′ 3 = V ′ (x 1 ) (1.18)

ε ′ 11 = U ′

,1 + θ ′ ,1x 3 2ε ′ 13 = V ′

,1 + θ ′ (1.19)

ε ′ 22 = 0 ε ′ 21 = 0 ε ′ 23 = 0 ε ′ 33 = 0 (1.20)

(La notation □ ′ n’indique pas une dérivée quelconque, mais un champ virtuel utile au

calcul de travaux virtuels.)


1.2. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 11

Plan de la ligne neutre

Section

Figure 1.5 – Schématisation de la poutre de Timoshenko

1.2.3 Traitement des équations

Travail virtuel des efforts internes


δW int = −


= −

V

L

(ε ′ 11σ 11 + 2ε ′ 13σ 13 )dV (1.21)

( ∫


∫ )

U ,1

′ σ 11 dS + θ ,1

′ x 3 σ 11 dS + (V,1 ′ + θ ′ ) σ 13 dS dx 1 (1.22)

S

S

On introduit alors naturellement les quantités N, T , M conjuguées de U, V , θ :




N = σ 11 dS T = σ 13 dS M = x 3 σ 11 dS (1.23)

ce qui donne :

S

S


(

δW int = − NU


,1 + Mθ ,1 ′ + T (V,1 ′ + θ ′ ) ) dx 1 (1.24)

L

Traitement du travail des efforts intérieurs

d’où :

A partir de :


(

δW int = − NU


,1 + Mθ ,1 ′ + T (V,1 ′ + θ ′ ) ) dx 1 (1.25)

L

On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple :




NU ,1dx ′

1 = ((NU ′ ) ,1 − N ,1 U ′ ) dx 1 = [NU ′ ] L 0 − N ,1 U ′ dx 1 (1.26)

L

L


δW int = − (−N ,1 U ′ − M ,1 θ ′ − T ,1 V ′ + T θ ′ )) dx 1 (1.27)

L

+N(0)U ′ (0) − N(L)U ′ (L) + T (0)V ′ (0) − T (L)V ′ (L) (1.28)

+M(0)θ ′ (0) − M(L)θ ′ (L) (1.29)

S

S

L


12 CHAPITRE 1.

ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES

Travail des efforts extérieurs

On suppose que les forces concentrées sont appliquées aux extrémités (x 1 = 0 et

x 1 = L), et on intègre entre 0 et L les efforts répartis. Les données sont :

– les forces normales F 0 et F L , tangentielles P 0 et P L ,

– les moments M 0 et M L ,

– les efforts répartis sur la surface, représentés par des densités linéiques normales p

et tangentielle t :

δW ext = F 0 U ′ (0) + F L U ′ (L) + P 0 V ′ (0) + P L V ′ (L) + M 0 θ ′ (0) + M L θ ′ (L) (1.30)


+ (pV ′ + tU ′ )) dx 1 (1.31)

L

1.2.4 Equations différentielles traduisant l’équilibre


δW int = − (−N ,1 U ′ − M ,1 θ ′ − T ,1 V ′ + T θ ′ )) dx 1 (1.32)

L

+N(0)U ′ (0) − N(L)U ′ (L) + T (0)V ′ (0) − T (L)V ′ (L) (1.33)

+M(0)θ ′ (0) − M(L)θ ′ (L) (1.34)

δW ext = F 0 U ′ (0) + F L U ′ (L) + P 0 V ′ (0) + P L V ′ (L) + M 0 θ ′ (0) + M L θ ′ (L) (1.35)


+ (pV ′ + tU ′ )) dx 1 (1.36)

L

Comme l’égalité δW int + δW ext = 0 est valable quel que soit le triplet (U ′ , V ′ , θ ′ ), on

trouve, en identifiant terme à terme les contributions de δW int et δW ext :

N(0) = −F 0 N(L) = F L T (0) = −P 0 T (L) = P L (1.37)

M(0) = −M 0 M(L) = M L (1.38)

N ,1 + t = 0 T ,1 + p = 0 M ,1 − T = 0 (1.39)

On pose :

On obtient :




N = σ 11 dS T = σ 13 dS M = x 3 σ 11 dS (1.40)

S

S

S

N ,1 + t = 0 T ,1 + p = 0 M ,1 − T = 0 (1.41)

La figure 1.6 illustre la signification physique des équations précédentes pour une

”tranche” de la poutre.


1.2. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 13

p

t

T

N

M

N+dN

T+dT

M+dM

dN = −tdx 1 (1.42)

dT = −pdx 1 (1.43)

dM = T dx 1 (1.44)

Figure 1.6 – Equilibre d’une ”tranche” de poutre

1.2.5 Cas particulier des systèmes isostatiques

Par définition, un système est isostatique si l’on peut déterminer les efforts intérieurs

en utilisant uniquement les équations d’équilibre. Si un système est isostatique, il est alors

possible de déterminer les efforts sur toute la frontière du système mécanique en écrivant

uniquement des conditions d’équilibre. La méthode de résolution suivante peut alors être

adoptée : 1- déterminer toutes les réactions des appuis (bords à déplacements imposés),

2- considérer l’équilibre de différents tronçons Ω + pour obtenir l’expression du torseur des

efforts interieurs dans la section courante S. Si la première étape échoue, cela signifie que

le système n’est pas isostatique. Il faut alors tenir compte de lois de comportement pour

déterminer les efforts intérieurs.

Pour appliquer l’étape 2 de la méthode, il faut utiliser la propriété suivante : le torseur

des efforts intérieurs étant le torseur des actions de Ω + sur Ω − , l’action de Ω − sur Ω + est

donnée par le torseur des efforts intérieurs multiplié d’un signe moins.

1.2.6 Lois de comportement

Pour établir les lois de comportement, il faut trouver des relations raisonnables entre les

déplacements définis sur la ligne moyenne et les efforts globaux. L’approche par le principe

des travaux virtuels laisse le choix du champ de contraintes statiquement admissible que

l’on considère. Dans la suite, on va considérer une théorie très simplifiée, qui n’aura

pas le même degré de raffinement que la solution de Saint-Venant présentée plus loin :

on s’inspire en effet directement du champ cinématiquement admissible pour évaluer un

champ de contrainte, qui sera, en fait obtenu au travers de la loi de comportement, et qui

ne sera pas rigoureusement statiquement admissible. On traite successivement les cas de la

force axiale, du moment et de l’effort tranchant, en faisant l’hypothèse de transformations

infinitésimales. Le matériau est supposé homogène, ses caractéristiques élastiques sont des

constantes.

Lois de comportement : force axiale

On évalue la composante 11 du tenseur de contrainte comme Eε 11 = σ 11 −ν(σ 22 +σ 33 ),

et on néglige σ 22 et σ 33 . Il vient :


N =

S


σ 11 dS =

S


Eε 11 dS =

S


Eu 1,1 dS =

S


EU ,1 dS + E(θx 3 ) ,1 dS (1.45)

S


14 CHAPITRE 1.

ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES

Selon l’équation (1.8), le deuxième terme du développement est nul, si bien que :

N = U ,1 ES (1.46)

Lois de comportement : moment





M = x 3 σ 11 dS = x 3 Eε 11 dS = x 3 U ,1 dS + x 3 (θx 3 ) ,1 dS (1.47)

S

S

S

S

Selon l’équation (1.8), le premier terme du développement est nul, il vient :


M = θ ,1 x 2 3dS = θ ,1 I (1.48)

S


avec I = x 2 3 dS, moment quadratique par rapport à x 2 , si bien que :

S


M = x 3 σ 11 dS = EIθ ,1 (1.49)

S

Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I = 2bh3

3

Lois de comportement : cisaillement


T =

S

si bien que :


σ 13 =

Lois de comportement

S


2µε 13 dS =

S


µ(u 1,3 + u 3,1 )dS =

S

µ (θ + V ,1 ) dS (1.50)

T = µS(θ + V ,1 ) (1.51)

Les relations suivantes constituent les lois de comportement globales de la structure.

Equations différentielles

N = ESU ,1 T = µS(θ + V ,1 ) M = EIθ ,1 (1.52)

Comportement et conditions d’équilibre fournissent donc le système d’équations

différentielles suivant :

U ,1 = N/ES (1.53)

V ,1 = −θ + T/µS (1.54)

θ ,1 = M/EI (1.55)

N ,1 + t = 0 (1.56)

M ,1 − T = 0 (1.57)

T ,1 + p = 0 (1.58)


1.2. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 15

flexion

cisaillement

1.2.7 Remarques

Déformées

Figure 1.7 – Forme de la déformée de la ligne moyenne

La forme de la déformée de la ligne moyenne (fig. 1.7) dépend du type de chargement :

– Le terme de cisaillement, produit une évolution linéaire de la flèche.

– La flèche est obtenue comme solution d’un problème d’ordre 4 par rapport aux

efforts appliqués :

V ,11 = −θ ,1 = − M EI

V ,111 = − M, 1

EI

= T EI

V ,1111 = − p

EI

(1.59)

– En présence d’un moment appliquée, la forme de la ligne moyenne sera circulaire,

elle sera de degré 3 en cas d’effort concentré, et de degré 4 en cas d’effort réparti

tout au long de la poutre.

Méthode de résolution

Le déplacement axial s’obtient en intégrant la relation :

U ,1 = N/ES (1.60)

La rotation relative entre les sections s’obtient en intégrant la relation :

θ ,1 = M/EI (1.61)

La flèche est le résultat de la somme de deux termes, l’un provenant de la rotation elle

même, et l’autre de l’effort tranchant T :

V ,1 = −θ + T/µS (1.62)

Expression des contraintes locales

La connaissance de U, V et θ permet de remonter aux champs de déformation et de

contrainte locaux. (≃ Eε 11 = Eu 1,1 ) est la somme de deux termes, dus à l’élongation et à

la flexion :

σ 11

∼ = N/S + Mx3 /I (1.63)


16 CHAPITRE 1.

ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES

Si le cisaillement est négligeable

θ = −V ,1 M = −EIV ,11 (1.64)

Théorie de Navier–Bernoulli

Dans la théorie qui a été développée jusque là, une section plane reste plane, mais

pas perpendiculaire à l’axe neutre. Si la plus grande dimension de la section droite est

extêmement petite devant la longueur de la poutre (poutre mince), ou si les cisaillements

sont faibles (effet du moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernière

hypothèse. On retrouve alors la théorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dans

ce cas, il faut assurer ε 13 = 0, ce qui entraîne la condition suivante sur l’hypothèse

cinématique :

2ε 13 = V ,1 + θ = 0 (1.65)

La conséquence immédiate est que T n’est pas calculable par la loi de comportement,

mais uniquement accessible par les conditions d’équilibre.

1.2.8 Energie potentielle dans le cas de l’élasticité linéaire

Théorème de l’énergie potentielle : Pour les milieux élastiques linéaires, il existe une

énergie potentielle. A l’équilibre cette énergie est stationnaire.

Notons F l’énergie potentielle. Pour un tronçon de poutre élastique et linéaire, en se

plaçant dans le cadre de la théorie de Navier–Bernoulli, on a :

u = (U, V ) cinématiquement admissible → F(u) = 1 ∫

(

E S U

2

2

,1 + E I V,11) 2 dx1 − W ext

L

(1.66)

où W ext est le travail des efforts extérieurs appliqués au tronçon de poutre. Le premier

terme correspond à l’énergie de déformation du tronçon.

Nous montrerons au chapitre sur la stabilité que ce point stationnaire doit être un

minimum local. Il faut donc que le module d’Young soit une grandeur positive.

F est une fonction de fonctions, c’est une fonctionnelle. La condition de stationarité

s’obtient par extraction de la partie linéaire en U ′ et V ′ de la différence F(U + U ′ , V +

V ′ ) − F(U, V ), lorsque U ′ et V ′ sont des perturbations infinitésimales. La différentielle de

F en u = (U, V ) est notée F ,u (u)[u ′ ], avec u ′ = (U ′ , V ′ ). Par le calcul obtient l’expression

suivante :


(U, V ) , (U ′ , V ′ ) → F ,u (u)[u ′ ] =

La condition de stationnarité s’écrit donc :

L

(

E S U,1 U ′

,1 + E I V ,11 V ′

,11)

dx1 − δW ext (1.67)

F ,u (u)[u ′ ] = 0 ∀ (U ′ , V ′ ) cinématiquement admissible (1.68)

Ainsi, la stationnarité de F implique que le principe des travaux virtuels est vérifié. La

réciproque est vraie également.


1.3. SOLUTION DE SAINT-VENANT 17

Prise en compte du gauchissement de section

Comme on peut le constater en se référant à la solution de Saint-Venant, la méthode

présentée ici n’est qu’approchée, surtout dans le cas où le cisaillement est important.

Ainsi, il est facile de vérifier par exemple que le résultat en contrainte σ 13 ne vérifie pas

les conditions aux limites, puisque, σ 13 étant uniforme, le cisaillement calculé n’est pas

nul en surface. Par ailleurs, les équations d’équilibre non utilisées ne sont pas vérifiées.

L’approximation se justifie néanmoins en raison des ordres de grandeur respectifs de

chacune des composantes de contrainte mises en jeu. Il est relativement simple d’apporter

une première amélioration en considérant que la section S peut devenir gauche. Cela

conduit à postuler un champ de déplacement tridimensionnel de la forme, où η i désigne

le ”gauchissement longitudinal” :

u 1 (X) = u(s) + θ(s)x 3 + η 1 (x 1 , x 2 , x 3 )

u 2 (X) = η 2 (x 1 , x 2 , x 3 )

u 3 (X) = v(s) + η 3 (x 1 , x 2 , x 3 )

La seule modification à apporter aux équations consiste à introduire un coefficient k,

dit de section réduite dans l’expression du cisaillement, qui devient :

T = µ(S/k)(θ + V ,1 ) (1.69)

Ce coefficient vaut 6/5 pour le cas d’une poutre de section rectangulaire.

1.3 Solution de Saint-Venant

Sous certaines hypothèses détaillées ci-dessous, la théorie des poutres et la théorie

générale des milieux continus coincident.

1.3.1 Contraintes

L’hypothèse de Saint-Venant consiste à chercher la solution d’un tronçon de poutre

droite sous la forme d’un état de contrainte contenant uniquement deux cisaillements et

un terme de contrainte axiale :



( )

σ 11 σ 12 σ 13

σ.. = ⎝σ 21 0 0 ⎠ (1.70)

σ 31 0 0

Chaque composante dépend pour le moment de la position (x 1 , x 2 , x 3 ) d’un point

courant au sein de la poutre. On cherche à résoudre le problème à l’aide d’une formulation

en contraintes. Le tenseur recherché doit vérifier :

– les équations d’équilibre

σ 11,1 + σ 12,2 + σ 13,3 = 0 (1.71)

σ 21,1 = 0 (1.72)

σ 31,1 = 0 (1.73)

(1.74)


18 CHAPITRE 1.

ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES

– les équations de Beltrami permettant de trouver ultérieurement un champ de

déplacement

−∆σ 11 − σ 11,11 = 0 (1.75)

(1 + ν)∆σ 12 + σ 11,12 = 0 (1.76)

(1 + ν)∆σ 13 + σ 11,13 = 0 (1.77)

−σ 11,22 + ν∆σ 11 = 0 (1.78)

−σ 11,23 = 0 (1.79)

−σ 11,33 + ν∆σ 11 = 0 (1.80)

(1.81)

On déduit des équations précédentes la forme générale de la solution, dans laquelle on

a introduit une fonction φ dépendant de x 2 et x 3 , telle que ∆φ = 0 :

σ 11 = a 0 + a 1 x 1 + (b 0 + b 1 x 1 )x 2 + (c 0 + c 1 x 1 )x 3 (1.82)

σ 12 = φ ,3 − a 1

2 x 2 − c 1 x 2 x 3 − b 1

1 + ν

σ 13 = −φ ,2 − a 1

2 x 3 − b 1 x 2 x 3 − c 1

1 + ν

x 2 3

2

x 2 2

2

(1.83)

(1.84)

(1.85)

Lors du calcul des intégrales sur la section droite, un certain nombre de termes ∫ sont

nuls, dans la mesure où les axes x 2 et x 3 sont des axes principaux. C’est le cas de x 2 dS,

∫ ∫

S

x 3 dS, x 2 x 3 dS. On voit par ailleurs apparaître les moments quadratiques principaux.

S

S

La forme finale de la solution en contrainte est :

σ 11 = N S + M 2

I 2

x 3 − M 3

I 3

x 2 (1.86)

σ 12 = − T 3

I 2

x 2 x 3 − 1

1 + ν

σ 13 = − T 2

I 3

x 2 x 3 − 1

1 + ν

T 2

x 2 3

I 3 2

T 3 x 2 2

I 2 2

(1.87)

(1.88)

(1.89)

La fonction φ est solution de ∆φ = A, équation différentielle qu’il faut résoudre en

prenant en compte respectivement une condition aux limites sur le contour de la section

droite, et l’expression du moment de torsion :

(

dφ = − T ) (

2

T 3

x 2 x 3 − x 2 2 dx 2 + − T )

3

T 2

x 2 x 3 + x 2 3 dx 2 (1.90)

I 3 2(1 + ν)I 2 I 2 2(1 + ν)I

∫ ∫

3

C = S φdS + φ(x 3 dx 2 − x 2 dx 3 ) (1.91)

S

Γ

+ T (

)

2

x

−x 2 x 3 +

I 3

∫S

2 3

dS + T (

)

3

x

−x 3 x 2 +

2(1 + ν) I 2

∫S

2 2

dS (1.92)

2(1 + ν)


1.3. SOLUTION DE SAINT-VENANT 19

1.3.2 Déplacements

On passe des contraintes aux déplacements par la loi de comportement. Le calcul des

déplacements se fait de façon traditionnelle en calculant d’abord les rotations, puis les

composantes du vecteur déplacement (voir le cours MMC) Les rotations sont calculées

à l’aide d’un tenseur ω


, partie antisymétrique du gradient de déplacement, dont les

composantes ω 12 , ω 23 et ω 31 vérifient des équations différentielles du type :

ω 12,1 = ε 11,2 − ε 12,1 ω 12,2 = ε 12,2 − ε 22,1 ω 12,3 = ε 13,2 − ε 32,1 (1.93)

et permutation circulaire.

Les composantes du déplacement sont obtenues par des équations du type :

u 1,1 = ε 11 u 1,2 = ε 12 + ω 12 u 1,3 = ε 13 + ω 13 (1.94)

et permutation circulaire.

On trouve [7] :

u 1 = N (

ES x T2

1 − x 2 + T ) ( )

3

x 3 Lx 1 − x2 1

+

EI 3 EI 2 2

+ T (

)

2

ν x3 2

EI 3 6 − (2 + ν)x 2x 2 3

+ T (

3

ν x3 3

2 EI 2 6 − (2 + ν)x 3x 2 2

2

+ 1 + ν

u 2 = −ν N ES x 3 +

+ ν

+

(

M2

EI 2

x 3 − M 3

)

x 2 x 1 (1.95)

EI 3

)

(1.96)

E Φ + γx 2 − βx 3 + α 0 (1.97)

(

T2

(x 2 2 − x 2

2EI

3) + T )

3

x 2 x 3 ν(L − x 1 ) (1.98)

3 EI

( 2

M3

(x 2 2 − x 2

2EI

3) − M )

2

x 2 x 3 + 1 + ν

3 EI 2 E Ax 1x 3 (1.99)

(

M3

EI 3

+ T 2

EI 3

(

u 3 = −ν N ES x 3 +

+ ν

+

(

M2

) ) x 2 1

2 − γx 1 − αx 3 + β 0 (1.100)

L − x 1

3

(

T3

(x 2 3 − x 2

2EI

2) + T )

2

x 2 x 3 ν(L − x 1 ) (1.101)

2 EI 3

2EI 2

(x 2 3 − x 2 2) − M 3

EI 3

x 2 x 3

)

− 1 + ν

(

− M 2

EI 2

+ T 3

EI 2

(

1.3.3 Discussion

E Ax 1x 2 (1.102)

L − x ) )

1 x 2 1

3 2 + βx 1 − αx 2 + γ 0 (1.103)

(1.104)

La solution est bien donc relativement complexe, cependant la solution est adaptée

pour une large gamme de problèmes, en flexion et en torsion. C’est la présence de Φ

qui rend la résolution analytique délicate (voire impossible), et dépendante de la forme

de la section. Dans le cas général, il y a un couplage entre les sollicitations, c’est-à-dire

par exemple qu’un effort tranchant conduit à un déplacement en torsion. Les couplages

disparaissent lorsque les sections présentent des axes de symétrie. On obtient un résultat

analytique dans le cas où la section est circulaire. En torsion pure, on trouve tout


20 CHAPITRE 1.

ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES

simplement que φ vaut (R 2 − x 2 2 − x 2 3)/2, et on vérifie que la section reste plane ; sous

l’effet d’un effort tranchant T 2 uniquement, on trouve :

σ 12 = T (

2 3 + 2ν (

x

2

I 3 8(1 + ν) 3 − x 2 2 + R 2) )

x 2 3


σ 13 = − T ( )

2 1 + 2ν

2(1 + ν)

I 3 4(1 + ν) x 3x 2

(1.105)

On note que le vecteur contrainte est bien nul sur la surface latérale.

D’une façon générale, le déplacement de la ligne moyenne est obtenu pour x 2 = x 3 = 0.

Les sections droites restent planes sous l’action d’un effort normal ou d’un moment. Dans

le cas d’un effort tranchant, on a un gauchissement des sections droites, ainsi, sous l’action

de T 2 , en notant U le déplacement selon x 1 d’un point courant de la ligne moyenne, on a :

u 1 − U = T (

)

2

ν x3 2

EI 3 6 − (2 + ν)x 2x 2 3

2

+ 1 + ν

E Φ(x 2, x 3 ) (1.106)

Ce gauchissement reste néanmoins relativement peu important, ce qui encouragera en fait

à construire des solutions dans lesquelles on conserve les sections planes.

1.4 Poutre sandwich

On continue ici à utiliser une approche relativement grossière, qui consiste à évaluer le

champ de contrainte à partir du champ de déplacement. On suppose donc que, en présence

de plusieurs couches, on continue à avoir la même cinématique. Contrairement au cas du

matériau homogène, il y a maintenant une distribution spatiale des propriétés élastiques,

qui dépendent de la cote x 3 dans la section. On considère une section droite de forme

rectangulaire. On suppose que la partie centrale de la section droite est en mousse et que

la partie supérieure ainsi que la partie inférieure sont en métal. Ceci interdit de sortir les

modules des intégrales, et conduit donc à des moyennes différentes, prenant en compte à

la fois la géométrie et le comportement.

1.4.1 Evaluation des efforts intérieurs

Effort normal


N =

La contrainte σ 11 est discontinue, et : σ 11 (x 3 ) = E(x 3 )ε 11

S

σ 11 dS (1.107)

σ 11 = E(x 3 ) (U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) (1.108)



N = U ,1 E(x 3 )dS + θ ,1 E(x 3 )x 3 dS (1.109)

S

Si E(x 3 ) est une fonction paire en x 3 , et indépendante de x 2 ; la seconde intégrale est

nulle. On a :


N =< ES > U ,1 avec < ES >= E(x 3 )dS (1.110)

S

S


1.4. POUTRE SANDWICH 21

Poutre sandwich : moment


M = x 3 σ 11 dS (1.111)

S

M = U ,1


σ 11 = E(x 3 ) (U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) (1.112)

S

x 3 E(x 3 )dS + θ ,1


S

E(x 3 )x 2 3dS (1.113)

Si E(x 3 ) est une fonction paire en x 3 , et indépendante de x 2 ; la première intégrale est

nulle. On a :


M =< EI > θ ,1 avec < EI >=

S

E(x 3 )x 2 3dS (1.114)

Poutre sandwich : cisaillement

On ne peut pas comme dans les deux cas précédents accepter d’évaluer directement les

composantes de contrainte à partir du comportement. On commet en effet une grossière

erreur en ne prenant pas en compte la continuité de la composante σ 13 à l’interface. La

valeur de σ 13 est limitée par le faible module de la mousse à l’intérieur de la poutre, et

elle doit être nulle en surface externe, de normale x 3 , qui est libre. Une pratique courante

admet tout simplement de négliger la contribution des plaques métalliques externes ; on

se limite à l’intégrale sur le cœur de la poutre, soit, en supposant que celui-ci est compris

entre ±h :


T =

S

σ 13 dS ≈

∫ b ∫ +h

0

−h

σ 13 dx 2 dx 3 = (V ,1 + θ)

∫ +h

−h

2bµ(x 3 )dx 3 (1.115)

T ≈< µS > +h

−h (V ,1 + θ) (1.116)

1.4.2 Forme générale des lois de comportement élastiques

Si la distribution des modules n’est pas paire en x 3 , il y a un couplage entre traction

et flexion. On doit écrire :

⎛ ⎞ ⎛ ∫ ∫

⎞ ⎛ ⎞

N E i dS E i x 3 dS 0

U ,1

∫ S ∫

S

⎜M


⎝ ⎠ = E i x 3 dS E i x 2 ⎜

3dS 0

=

S

S


∫ ⎟ ⎜ θ ,1


⎠ ⎝ ⎠

T

0 0 µ i dS V ,1 + θ

On a introduit les quantités suivantes :

S

(1.117)


22 CHAPITRE 1. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES

- ligne moyenne définie par :


S ix 3 dS = 0

- rigidité équivalente de traction : < ES >= ∫ E S idS

- rigidité équivalente de flexion : < EI >= ∫ E S ix 2 3dS

- rigidité équivalente de cisaillement : < µS >= ∫ µ S idS

On a donc établi des lois de comportement simplifiées :

N =< ES > U ,1 T =< µS > (θ + V ,1 ) M =< EI > θ ,1 (1.118)

Tout ceci permet de retrouver les contraintes σ 11 locales :

( N

σ 11 ≃ E i

< ES > + Mx )

3

< EI >

(1.119)

La composante σ 11 présente donc à l’interface une discontinuité qui est dans la rapport

des modules d’Young en direction 1. Ceci explique que ce sont les peaux qui assurent la

résistance au moment de flexion. Si la poutre est suffisamment épaisse, et la peau mince,

les peaux sont pratiquement en traction et en compression simple. Comme l’assemblage

a permis de les éloigner de la ligne moyenne, la rigidité sera donc nettement plus grande.

Pour une bonne conception de l’assemblage, il faut vérifier que les contraintes de

cisaillement qui se développent aux interfaces restent compatibles avec la résistance des

joints de colle entre les différents matériaux.


1.4. POUTRE SANDWICH 23

Résumé

– La théorie de Timoshenko pour les poutres suppose qu’une section plane reste

plane, mais pas forcément perpendiculaire à la ligne moyenne. La cinématique

est :

u 1 = U(x 1 ) + θx 3 u 3 = V (x 1 )

ε 11 = U ,1 + θ ,1 x 3

– Les équations d’équilibre global sont :

2ε 13 = V ,1 + θ

N ,1 + t = 0 T ,1 + p = 0 M ,1 − T = 0

– Les équations de comportement global sont :

– Schéma de résolution :

N = ESU ,1 T = µS(θ + V ,1 ) M = EIθ ,1

T ,1 + p = 0 M ,1 − T = 0 θ ,1 = M/EI V ,1 = −θ + T/µS

– La théorie de Navier–Bernoulli s’applique pour les poutres minces qui ne sont

pas capables de supporter un cisaillement. Dans ce cas, on a simplement : θ =

V ,1 M = −EIV ,11

– Dans le cas de poutre sandwich symétrique, il n’y a pas de couplage traction–

flexion, et on peut appliquer les mêmes équations, à condition d’effectuer des

moyennes pondérées par le module de Young sur la section complète, et, dans le

cas du cisaillement, en première approximation, sur la section de mousse.


24 CHAPITRE 1. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES


Chapitre 2

Rhéologie

La construction des modèles de comportement non linéaire des matériaux comporte

deux volets : l’étude des propriétés rhéologiques et la définition de la forme des équations

pour un chargement tridimensionnel. La rhéologie, étude des écoulements, permet de

relier les contraintes, les déformations, et leurs dérivées, et caractérise la nature des

comportements. La caractérisation expérimentale a été évoquée en introduction. Certains

comportements fondamentaux ont été identifiés. Chacun va se caractériser ici par une

brique élémentaire. Les comportements les plus complexes se batissent ensuite à partir de

celles-ci en formant des assemblages qui sont décrits dans ce chapitre. On commence

l’examen des différentes classes de modèle par quelques remarques sur les types de

déformation que peut subir la matière.

2.1 Les différents types de ”déformation”

2.1.1 Les sources de ”déformation”

Pour les lois de comportement les plus simples (élasticité, viscosité pure) un seul

tenseur de déformation permet de caractériser les changements de forme de l’élément de

volume. De nombreuses situations pratiques font au contraire intervenir d’autres types de

déformations. Avant d’aborder cette description, on fait le bilan des éléments nécessaires

à la construction d’une loi de comportement.

Un cadre devenu classique, et qui est présenté dans le cours de MMC [5] (chapitre 5)

suppose que l’on définisse un certain nombre de variables d’état qui représentent à l’instant

t le résultat de toute l’histoire du matériau. La déformation élastique est l’exemple d’une

telle variable. Il faut ensuite introduire des coefficients, ou paramètres matériau, qui vont

porter sur ces variables et définir les grandeurs associées (l’approche thermodynamique

parle de ”forces” thermodynamiques) qu’elles génèrent. Ainsi, le tenseur des modules

d’élasticité permet-il de calculer le tenseur des contraintes. Un matériau est également

soumis à l’action de paramètres extérieurs, qui vont créer en son sein des distorsions ou

des variations de volume.

Le fait de solliciter le matériau dans des conditions extrêmes (fortes charges par

exemple) fait apparaître des irréversibilités dans le processus de déformation, qui devront

être caractérisées par de nouvelles variables d’état. On entamera au paragraphe suivant

l’étude de ce type de déformation. Il faut auparavant citer le cas des déformations

paramétriques. On regroupe derrière cette dénomination les modes de déformations

25


26 CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

additionnels, qui sont pilotés par des paramètres extérieurs. En toute rigueur les

distorsions et dilatations produites ne conduisent pas à un tenseur de déformation, parce

qu’elles ne vérifient pas forcément les équations de compatibilité. L’usage a néanmoins

consacré l’abus de notation, et on utilise par exemple ε th


pour désigner la dilatation

thermique ; on accepte même parfois de parler de déformation thermique. Parmi les autres

paramètres extérieurs qui fournissent des déformations additionnelles, on peut citer par

exemple :

– l’irradiation d’un matériau, qui provoque dans certaines gammes de température la

germination et la croissance de cavités, ce qui produit un changement de volume ;

– le changement de phase ; les métaux et alliages, mais aussi les roches, peuvent

changer de réseau cristallin en fonction de la température et de la pression. Ces

phénomènes doivent bien entendu être décrits à l’aide de variables d’état, mais,

dans la mesure où une quantité donnée d’atomes n’occupera pas le même volume en

fonction de sa phase cristallographique (cubique, hexagonale,. . .), un changement

de volume spécifique accompagnera de façon systématique le changement de phase.

2.1.2 Dilatation thermique

La dilatation thermique est proportionnelle à la variation de température pour

une petite variation de celle-ci autour d’un point de fonctionnement considéré. Ceci

permet donc d’introduire un tenseur de dilatation thermique. Sur une large gamme

de température, l’expérience montre que les termes de ce tenseur dépendent de la

température. Comme par ailleurs on peut choisir la température à laquelle on prend

la dilatation thermique nulle, il faut introduire deux températures particulières dans la

définition, T 0 température à laquelle ε

∼ th est nul, et T r , température de référence à partir

de laquelle est mesuré α


. La forme complète est alors :

– pour le cas anisotrope

– pour le cas isotrope

soit

ε

∼ th = α


(T )(T − T r ) − α


(T 0 )(T 0 − T r ) (2.1)

ε

∼ th = α(T )(T − T r )I


− α(T 0 )(T 0 − T r )I


(2.2)

ε th

ij = α(T )(T − T r )δ ij − α(T 0 )(T 0 − T r )δ ij (2.3)

Dans une telle définition, α(T ) (dépendant de la température) est le coefficient de

dilatation sécant. C’est lui qui est ordinairement tabulé dans les bases de données.

La déformation totale s’écrit comme une somme de la part élastique et de la part

thermique :

ε


= ε

∼ e + ε


th

Lorsque le champ de température dans une pièce n’est pas uniforme, la dilatation varie

d’un point à l’autre. Si le champ appliqué permet de vérifier les conditions de compatibilité,

et s’il peut se développer une dilatation libre, il n’y a pas de contrainte ; dans le cas

contraire (champ de température trop complexe ou restrictions cinématiques), ceci conduit

au développement de contraintes thermomécaniques.


2.2. LES BRIQUES DE BASE DU COMPORTEMENT NON LINÉAIRE 27

2.2 Les briques de base du comportement non

linéaire

L’allure qualitative de la réponse des matériaux à quelques essais simples permet de

les ranger dans des classes bien définies. Ces comportements ”de base”, qui peuvent être

représentés par des systèmes mécaniques élémentaires, sont l’élasticité, la plasticité et la

viscosité. Les éléments les plus courants sont reportés en figure 2.1, où le point au-dessus

d’une variable désigne la dérivée temporelle :

1. Le ressort, qui symbolise l’élasticité linéaire parfaite, pour laquelle la déformation

est entièrement réversible lors d’une décharge, et où il existe une relation biunivoque

entre les paramètres de charge et de déformation (figure 2.1a).

2. L’amortisseur, qui schématise la viscosité, linéaire (figure 2.1b) ou non–linéaire

(figure 2.1c). La viscosité est dite pure s’il existe une relation biunivoque entre la

charge et la vitesse de chargement. Si cette relation est linéaire, le modèle correspond

à la loi de Newton.

3. Le patin, qui modélise l’apparition de déformations permanentes lorsque la charge

est suffisante (figure 2.1d). Si le seuil d’apparition de la déformation permanente

n’évolue pas avec le chargement, le comportement est dit plastique parfait. Si, de

plus, la déformation avant écoulement est négligée, le modèle est rigide–parfaitement

plastique.

a.

σ = Eε

b.

σ = η ˙ε

c.

σ = η ˙ε 1/N

d.

−σ y ≤ σ ≤ σ y

Figure 2.1 – Les ≪ briques de base ≫ pour la représentation des comportements

Ces éléments peuvent être combinés entre eux pour former des modèles rhéologiques.

Ceux-ci représentent des systèmes mécaniques qui servent de support dans la définition

des modèles. Il ne faut en aucun cas leur accorder un trop grand crédit pour ce qui

concerne la représentation des phénomènes physiques qui sont à la base des déformations.

Ils sont néanmoins brièvement présentés ici, car ils permettent de comprendre la nature

des relations à introduire pour chaque type de comportement, en pratiquant par exemple

l’exercice qui consiste à combiner deux à deux les modèles élémentaires. C’est aussi

l’occasion d’introduire l’ensemble du vocabulaire qui sera utile dans le cas général des

chargements tridimensionnels.


28 CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

En fonction du type de chargement imposé, la réponse de ces systèmes peut être jugée

dans 3 plans différents :

– plan déformation–contrainte, ɛ-σ, pour l’essai de traction simple, ou d’écrouissage,

augmentation monotone de la charge ou de la déformation ;

– plan temps–déformation, t-ε, pour l’essai de fluage, sous charge constante ;

– plan temps–contrainte, t-σ, pour l’essais de relaxation, sous déformation constante.

2.3 Plasticité uniaxiale

(σ y ) (E)

(H)

(σ y )

a.

b.

σ

σ

σ y

ε p

σ y

H

ε p

−σ y

c.

d.

Figure 2.2 – Associations en série ou parallèle de patin et ressort

2.3.1 Modèle élastique–parfaitement plastique

L’association d’un ressort et d’un patin en série (figure 2.2 a) produit un comportement

élastique parfaitement plastique, modélisé en figure 2.2 c. Le système ne peut pas supporter

une contrainte dont la valeur absolue est plus grande que σ y .

Pour caractériser ce modèle, il faut considérer une fonction de charge f dépendant de

la seule variable σ, et définie par :

f(σ) = |σ| − σ y (2.4)

Le domaine d’élasticité correspond aux valeurs négatives de f, et le comportement du

système se résume alors aux équations suivantes :

− domaine d’élasticité si : f< 0 ( ˙ε = ˙ε e = ˙σ/E) (2.5)

− décharge élastique si : f= 0 et f< ˙ 0 ( ˙ε = ˙ε e = ˙σ/E) (2.6)

− écoulement plastique si : f= 0 et f= ˙ 0 ( ˙ε = ˙ε p ) (2.7)

En régime élastique, la vitesse de déformation plastique est bien entendu nulle, la

vitesse de déformation élastique devenant à son tour nulle pendant l’écoulement plastique.


2.3. PLASTICITÉ UNIAXIALE 29

Ceci implique que l’expression de la vitesse de déformation plastique ne peut pas se faire

à l’aide de la contrainte. C’est au contraire la vitesse de déformation qui doit être choisie

comme pilote.

Le modèle est sans écrouissage, puisque le niveau de contrainte ne varie plus au sortir

du domaine d’élasticité. Il n’y a pas d’énergie stockée au cours de la déformation, et

la dissipation en chaleur est égale à la puissance plastique. Le modèle est susceptible

d’atteindre des déformations infinies sous charge constante, conduisant à la ruine du

système par déformation excessive.

2.3.2 Modèle de Prager

L’association en parallèle de la figure 2.2b correspond au comportement illustré en

figure 2.2d. Dans ce cas, le modèle présente de l’écrouissage. Il est dit cinématique

linéaire [11], car dépendant linéairement de la valeur actuelle de la déformation plastique.

Sous cette forme, le modèle est rigide–plastique. Il devient élasto–plastique si l’on rajoute

un ressort en série. La forme de la courbe dans le plan σ − ε p est due au fait que, lors

de l’écoulement plastique, la contrainte qui s’établit dans le ressort vaut X = Hε p . Par

ailleurs, cet écoulement ne se produit que si la valeur absolue de la contrainte dans le

patin, soit |σ − Hε p |, est égale à σ y . Pour une déformation donnée, cette contrainte X est

une contrainte interne qui caractérise le nouvel état neutre du matériau.

Ce deuxième exemple offre l’occasion d’écrire un modèle plus complet que

précédemment. La fonction de charge dépend maintenant de la contrainte appliquée et de

la contrainte interne. Elle s’écrit :

f(σ, X) = |σ − X| − σ y (2.8)

Il n’y aura présence d’écoulement plastique que si on vérifie à la fois f = 0 et ˙ f = 0. Ceci

conduit à la condition suivante :

D’où :

∂f

∂σ

˙σ −

∂f

∂X Ẋ = 0 (2.9)

signe(σ − X) ˙σ+signe(σ − X) Ẋ = 0 (2.10)

˙σ = Ẋ, et finalement : ˙εp = ˙σ/H (2.11)

Dans ce cas, la contrainte augmente au cours de l’écoulement plastique, si bien qu’elle

peut servir de variable de contrôle. Mais il est aussi toujours possible d’exprimer la vitesse

d’écoulement plastique en fonction de la vitesse de déformation totale, en utilisant la

décomposition de la déformation combinée avec l’expression de la vitesse de déformation

plastique, le cas où H = 0 redonnant bien entendu le cas du matériau parfaitement

plastique :

˙ε p =

E ˙ε (2.12)

E + H

Il est remarquable de noter que le calcul de l’énergie dissipée au cours d’un cycle

produit exactement le même résultat que pour le premier montage, ce qui indique que,

pour ce type de comportement, une partie de l’énergie est temporairement stockée dans le

matériau (ici, dans le ressort), et entièrement restituée à la décharge. Ceci donne une


30 CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

illustration physique de la notion d’écrouissage renversable, alors que d’autres règles

d’écrouissage cinématique, non–linéaire, qui ne seront pas considérées dans le cadre de

ce cours, sont accompagnées d’une dissipation d’énergie.

2.3.3 Écriture générale des équations de l’élastoplasticité

uniaxiale

Dans le cas général, les conditions de ”charge–décharge” s’expriment donc :

− domaine d’élasticité si : f(σ, A i )< 0 ( ˙ε = ˙σ/E) (2.13)

− décharge élastique si : f(σ, A i )= 0 et f(σ, ˙ A i )< 0 ( ˙ε = ˙σ/E) (2.14)

− écoulement plastique si : f(σ, A i )= 0 et f(σ, ˙ A i )= 0 ( ˙ε = ˙σ/E + ˙ε p ) (2.15)

Dans le cas général, le module H dépend de la déformation et/ou des variables

d’écrouissage. La valeur du module plastique au point (σ, A i ) s’obtient en écrivant que le

point représentatif du chargement reste sur la limite du domaine d’élasticité au cours de

l’écoulement. L’équation qui en découle s’appelle la condition de cohérence :

˙ f(σ, A i ) = 0 (2.16)

Ce formalisme peut paraître un peu lourd dans le cadre d’un chargement uniaxial, mais

il est utile de le mettre en place, car ce sont les mêmes outils qui seront ensuite utilisés

dans le cas plus complexe des chargements multiaxiaux. Dans les deux exemples qui ont

été décrits, le domaine d’élasticité est soit fixe, soit mobile, sa taille étant conservée.

Le premier cas ne nécessite bien entendu aucune variable d’écrouissage, le second fait

intervenir une variable X qui dépend de la valeur actuelle de la déformation plastique.

Cette variable deviendra tensorielle dans le cas général. Comme indiqué plus haut le type

d’écrouissage correspondant s’appelle écrouissage cinématique (figure 2.3b).

Une autre évolution élémentaire que peut subir le domaine d’élasticité est l’expansion.

Cet autre cas (figure 2.3a) correspond à un matériau dont le domaine d’élasticité voit sa

taille augmenter, mais qui reste centré sur l’origine : il s’agit d’un écrouissage isotrope [13].

La variable d’écrouissage qui intervient dans f est la dimension du domaine d’élasticité,

notée R :

f(σ, R) = |σ| − R − σ y (2.17)

L’évolution de cette variable est la même quel que soit le signe de la vitesse de déformation

plastique. Elle s’exprimera donc en fonction de la déformation plastique cumulée, p,

variable dont la dérivée est égale à la valeur absolue de la vitesse de la déformation

plastique : ṗ = | ˙ε p |. Bien entendu, il n’y a pas de différence entre p et ε p tant que

le chargement est monotone croissant. Dans ce cas, vérifier la condition de cohérence

revient tout simplement à exprimer que la valeur actuelle de la contrainte est sur la

frontière du domaine d’élasticité. Pour l’écrouissage cinématique, cela s’écrit σ = X + σ y ,

et pour l’écrouissage isotrope σ = R + σ y . Cela signifie donc que c’est la loi d’évolution

de la variable d’écrouissage qui détermine exactement la forme de la courbe de traction.

Les deux modèles rhéologiques invoqués donnent des courbes linéaires, avec des modules

plastiques nul ou constant. Il est souvent plus réaliste de considérer une courbe qui se

sature en fonction de la déformation, soit par exemple une fonction puissance (loi de

Ramberg–Osgood, avec deux coefficients matériaux K et m) ou une exponentielle, cette


2.4. VISCOÉLASTICITÉ UNIAXIALE 31

dernière formulation offrant l’avantage d’introduire une contrainte ultime σ u supportable

par le matériau (deux coefficients matériau, σ u et b en plus de σ y ) :

σ = σ y + K (ε p ) m (2.18)

σ = σ u + (σ y − σ u ) exp(−b ε p ) (2.19)

Dans bien des cas, les utilisateurs ne prennent pas la peine de définir une forme

explicite de la loi de comportement, et décrivent la courbe de traction point par point.

Cela revient implicitement à considérer un écrouissage isotrope. Ce type d’écrouissage

est prédominant pour les déformations importantes (au-delà de 10%). Cependant,

l’écrouissage cinématique continue de jouer un rôle important lors de décharges, même

pour les grandes déformations, et c’est lui qui est prépondérant pour les faibles

déformations et les chargements cycliques. Il permet en particulier de simuler correctement

l’effet Bauschinger, c’est-à-dire le fait que la contrainte d’élasticité en compression décroît

par rapport à la contrainte initiale à la suite d’un préécrouissage en traction. Il est

néanmoins moins souvent utilisé que l’écrouissage isotrope, car son traitement numérique

est plus délicat.

σ

σ

σ y

R + σ y

ε p

σ y

X

σ y

σ y

ε p

R + σ y

a. Isotrope

b. Cinématique

Figure 2.3 – Illustration des deux principaux types d’écrouissage

2.4 Viscoélasticité uniaxiale

2.4.1 Un exemple de modèle rhéologique

Le modèle de Maxwell regroupe un amortisseur et un ressort en série (figure 2.4a),

celui de Voigt un amortisseur et un ressort en parallèle (figure 2.4b). Leurs équations

respectives sont :

−Maxwell : ˙ε = ˙σ/E 0 + σ/η (2.20)

−Voigt : σ = Hε + η ˙ε, ou encore : ˙ε = (σ − H ε)/η (2.21)

La particularité du modèle de Voigt est de ne pas présenter d’élasticité instantanée.

Ceci entraîne que sa fonction de relaxation n’est pas continue et dérivable par morceaux,

avec un saut fini à l’origine : l’application d’un saut de déformation en t = 0 produit

une contrainte infinie. Ce modèle n’est donc pas utilisable en relaxation, sauf si la mise


32 CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

(η) (E 0 )

(H)

(η)

a. Maxwell

b. Voigt

ε

σ

Maxwell

σ 0 /E 0

E 0 ε 0

σ 0 /H

Voigt

t

Maxwell

t

c. Fluage

d. Relaxation

Figure 2.4 – Fonctionnement des modèles de Maxwell et Voigt

en charge est progressive, et sera pour cette raison associé à un ressort en série pour

effectuer des calculs de structure (modèle de Kelvin–Voigt du paragraphe suivant). Sous

l’effet d’une contrainte σ 0 constante en fonction du temps, la déformation tend vers la

valeur asymptotique σ 0 /H, le fluage est donc limité (figure 2.4c). Par ailleurs, si, après une

mise en charge lente, la déformation est fixée à une valeur ε 0 , la contrainte asymptotique

sera H ε 0 . Il n’y a donc pas dans ce dernier cas disparition complète de la contrainte.

Au contraire, dans le cas du modèle de Maxwell, la vitesse de fluage est constante

(figure 2.4c), et la disparition de contrainte au cours d’une expérience de relaxation est

totale (figure 2.4d).

Dans le cas de modèles et de chargement aussi simples, la réponse est obtenue

instantanément par intégration directe des équations différentielles. Les formules obtenues

sont respectivement, pour le modèle de Maxwell :

et pour le modèle de Voigt :

−fluage sous une contrainte σ 0 : ε = σ 0 /E 0 + σ 0 t / η (2.22)

−relaxation à la déformation ε 0 : σ = E 0 ε 0 exp[−t/τ] (2.23)

−fluage sous une contrainte σ 0 : ε = (σ 0 / H)(1 − exp[−t/τ ′ ]) (2.24)

Les constantes τ = η/E 0 et τ ′ = η/H sont homogènes à un temps, τ désignant le temps

de relaxation du modèle de Maxwell.

2.4.2 Étude d’un modèle composé

Le modèle de Kelvin–Voigt (figure 2.5a) présente respectivement les réponses suivantes,

pour t > 0, en fluage sous une contrainte σ 0 , en posant τ f = η/H, et en relaxation pour


2.5. VISCOPLASTICITÉ UNIAXIALE 33

(H)

(E 1 )

(E 0 )

(η)

(E 2 )

(η)

a. Kelvin–Voigt

b. Zener

Figure 2.5 – Exemple de modèles composés

une déformation ε 0 , en posant τ r = η/(H + E 0 ) :

( 1

ε(t) = C(t) σ 0 = + 1 )

E 0 H (1 − exp[−t/τ f]) σ 0 (2.25)

( H

σ(t) = E(t) ε 0 = + E )

0

exp[−t/τ r ] E 0 ε 0 (2.26)

H + E 0 H + E 0

Le temps caractéristique en relaxation, τ r , est plus court que le temps correspondant en

fluage, τ f . Le matériau évolue donc plus vite vers son état asymptotique en relaxation

qu’en fluage.

Le modèle de Zener (figure 2.5b) peut se ramener au modèle de Kelvin–Voigt, à l’aide

du double changement de variable 1/E 1 = 1/E 0 +1/H, et E 2 = E 0 +H, ce qui prouve que

les deux modèles sont en fait identiques. La même observation peut être faite en fluage.

Ce modèle correspond au comportement du béton frais. Les modèles indiqués peuvent

être encore améliorés :

– le modèle de Kelvin–Voigt généralisé est obtenu en ajoutant en série d’autres modules

amortisseur-ressort (H, η) dans le cas du premier modèle ; ce modèle représente en

général correctement le comportement des polymères fortement réticulés ;

– le modèle de Maxwell généralisé est obtenu en ajoutant en parallèle d’autres modules

amortisseur-ressort (E 2 , η) au second modèle ; ce modèle représente qualitativement

le comportement des polymères thermoplastiques.

2.5 Viscoplasticité uniaxiale

2.5.1 Un exemple de modèle rhéologique

La figure 2.6a indique comment, en rajoutant un simple amortisseur, il est possible

de passer très simplement d’un modèle ayant un comportement plastique indépendant du

temps à un modèle viscoplastique : le modèle obtenu est le modèle de Bingham généralisé.

On retrouverait l’original de ce modèle en enlevant le ressort en série (E → ∞, pas

d’élasticité instantanée, on obtient alors un modèle rigide viscoplastique), et en supprimant

le ressort en parallèle, (H = 0, pas d’écrouissage). La déformation élastique se lit aux

bornes du ressort de caractéristique E, la déformation viscoplastique, que l’on nommera

ε vp , aux bornes de l’assemblage en parallèle. La détermination des équations de ce modèle

s’effectue en considérant les équations de comportement individuelles de chacun des

éléments :

X = Hε vp σ v = η ˙ε vp σ p σ y (2.27)


34 CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

(H)

σ

(E)

(η)

(σ y )

σ y

˙ε

ε vp

a. Schéma du modèle

b. Comportement en traction

Figure 2.6 – Modèle de Bingham généralisé

où X, σ v et σ p sont respectivement les contraintes dans le ressort de caractéristique H,

dans l’amortisseur et dans le patin, et :

σ = X + σ v + σ p (2.28)

Il y a donc comme pour le modèle plastique un domaine d’élasticité, dont la frontière est

atteinte lorsque |σ p | = σ y . On distingue alors trois régimes de fonctionnement, selon que

la vitesse de déformation viscoplastique est nulle, positive ou négative :

(a) ˙ε vp = 0 |σ p | = |σ − Hε vp | σ y (2.29)

(b) ˙ε vp > 0 σ p = σ − Hε vp − η ˙ε vp = σ y (2.30)

(c) ˙ε vp < 0 σ p = σ − Hε vp − η ˙ε vp = − σ y (2.31)

Le cas (a) correspond à l’intérieur du domaine d’élasticité (|σ p | < σ y ) ou à un état

de décharge élastique (|σ p | = σ y et | ˙σ p | ≤ 0), les deux autres cas à de l’écoulement

(|σ p | = σ y et | ˙σ p | = 0 ). En posant < x >= max(x, 0), les trois cas peuvent se résumer

par une seule expression :

ou encore :

˙ε vp = < f >

η

η ˙ε vp = 〈|σ − X| − σ y 〉 signe(σ − X) (2.32)

signe(σ − X) avec f(σ, X) = |σ − X| − σ y (2.33)

La nature du modèle a maintenant complètement changé, puisque le point représentatif

de l’état de contrainte courant peut se trouver dans la zone f > 0, et que la vitesse

d’écoulement est maintenant régie par le temps : elle peut être non nulle sans qu’il y ait

d’incrément de contrainte ou de déformation. Ceci explique qu’en figure 2.6b la courbe

de traction ne soit plus unique (plus la vitesse est grande, plus la contrainte visqueuse σ v

sera élevée, et plus la courbe de traction sera haute), et que, lors d’une décharge, le point

de fonctionnement ne pénètre pas immédiatement dans le domaine d’élasticité (on peut

donc avoir un écoulement positif à contrainte décroissante). Par ailleurs, il est possible de

simuler des expériences de fluage ou de relaxation.

En fluage (figure 2.7), en supposant qu’on applique un échelon de contrainte (de 0 à

σ o > σ y ) à partir d’un état de référence où toutes les déformations sont nulles, le modèle


2.5. VISCOPLASTICITÉ UNIAXIALE 35

prévoit que la déformation viscoplastique est une exponentielle en fonction du temps t,

avec un temps caractéristique τ f = η/H (figure 2.7a) :

ε vp = σ o − σ y

H

( (

1 − exp − t ))

τ f

(2.34)

La figure 2.7b montre, dans le plan contrainte–déformation viscoplastique, les évolutions

respectives de la contrainte interne X et du seuil X + σ y . Lorsque ce dernier rejoint la

contrainte appliquée σ o , la vitesse de déformation viscoplastique s’annule.

ε vp

σ 0 − σ y

H

a.

σ

σ 0

σ y

t

σ y

X

ε vp

Figure 2.7 – Fluage avec le modèle de Bingham

b.

En relaxation, la réponse à un échelon de déformation (de 0 à ε o tel que Eε o > σ y )

fait cette fois intervenir un temps caractéristique de relaxation τ r = η/(E + H) :

E

σ = σ y

E + H

( (

1 − exp − t ))

+ Eε ( (

o

H + E exp − t ))

τ r E + H

τ r

(2.35)

La figure 2.8a montre le trajet parcouru par le point représentatif de l’état de contrainte

au cours de la relaxation (pente −E puisque ˙ε vp + ˙σ/E = 0). La figure 2.8b représente

quant à elle le trajet caractéristique au cours d’une expérience d’effacement , ou encore

de recouvrance. En fonction du niveau de chargement initial, on peut rencontrer après

décharge une vitesse d’écoulement négative ou nulle, mais en aucun cas on ne pourra

ramener la déformation viscoplastique à zéro, sauf dans le cas particulier où la contrainte

σ y est nulle. Il n’y a alors plus de seuil initial, et on conçoit bien qu’il n’est plus nécessaire

dans ce cas de définir une décomposition de la déformation : on retrouve d’ailleurs le

modèle de Kelvin–Voigt, donc une approche viscoélastique.

2.5.2 Quelques modèles classiques en viscoplasticité

Dans l’exemple précédent, la vitesse de déformation viscoplastique est proportionnelle

à une certaine contrainte efficace, différence entre la contrainte appliquée et le seuil,

qui représente la distance entre le point de fonctionnement actuel et la frontière du

domaine d’élasticité, qui n’est rien d’autre que la valeur de la fonction f au point de

fonctionnement courant. La relation linéaire peut être remplacée par une forme plus

générale, en introduisant une fonction de viscosité, φ, qui fournit alors en traction simple :

˙ε vp = φ(f) (2.36)


36 CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

σ

σ A

−E

OA : transitoire

B AB : relaxation

H

BC : décharge

CD : effacement

σ y

incomplet

ε vp

O

ε vp

σ y

a.

D C

b.

Figure 2.8 – Fonctionnement du modèle de Bingham à déformation imposée

Pour un modèle qui comporterait à la fois de l’écrouissage isotrope et cinématique, cette

relation s’inverse sous la forme suivante, toujours en traction simple :

σ = σ y + X + R + φ −1 ( ˙ε vp ) = σ y + X + R + σ v (2.37)

La courbe de traction est déterminée par l’évolution du seuil, exactement comme dans le

cas d’un modèle de plasticité (au travers de X et R), mais également par la fonction de

viscosité, qui pilote la valeur de la contrainte visqueuse σ v . Pour des raisons physiques

évidentes, on considère que φ(0) = 0, et on suppose également que φ est une fonction

monotone croissante. Dans le cas où σ v s’annule, le modèle reproduit un comportement

plastique indépendant du temps. Par ailleurs, plus la vitesse de sollicitation augmente, et

plus la contrainte atteinte pour une déformation donnée sera élevée.

Dans le cadre d’un modèle viscoplastique, il y a donc deux possibilités pour introduire

de l’écrouissage. On conserve les possibilités d’action sur des variables de type X et R, et

on peut également jouer sur la forme de la contrainte visqueuse. On appelle classiquement

modèles à écrouissage additif ceux qui jouent sur les variables de type plasticité et modèles

à écrouissage multiplicatif ceux qui jouent sur la contrainte visqueuse, une approche où les

deux mécanismes sont présents étant bien entendu également envisageable. Par ailleurs,

contrairement au cas de la plasticité, on peut ici considérer un modèle dans lequel le

domaine d’élasticité se réduit à l’origine (σ = 0), et qui ne possède pas d’écrouissage.

Ainsi le modèle le plus courant est–il le modèle de Norton (avec deux coefficients matériau

K et n) :

( ) n |σ|

˙ε vp = signe(σ) (2.38)

K

On peut le généraliser pour en faire un modèle à seuil sans écrouissage, ou réintroduire

X et R aux côtés de σ y , ce qui conduit à un modèle à écrouissage additif.

〈 〉 n |σ| −

˙ε vp σy

=

signe(σ) (2.39)

K

〈 〉 n |σ − X| − R −

˙ε vp σy

=

signe(σ − X) (2.40)

K

Il y a également une grande liberté pour choisir d’autres formes que la fonction puissance,

ainsi un sinus hyperbolique dans le modèle de Sellars et Teggart (loi sans écrouissage,


2.6. INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE 37

coefficients A et K) :

˙ε vp = A sinh

( ) |σ|

signe(σ) (2.41)

K

Pour obtenir des lois à écrouissage multiplicatif, il faut admettre que la fonction φ ne

dépend pas uniquement de f, ainsi la loi de Lemaitre (coefficients matériau K, m et n

positifs) :

( ) n |σ|

˙ε vp = p −n/m signe(σ) avec ṗ = | ˙ε vp | (2.42)

K

2.6 Influence de la température

Tous les coefficients caractéristiques qui ont été définis ci–dessus sont susceptibles de

dépendre de la température. Les dépendances se définissent en général par des tables, après

examen du comportement isotherme. Dans certains cas, lorsque les mécanismes physiques

sont bien définis, il est possible de préciser explicitement l’influence de la température. La

loi la plus couramment utilisée pour cela est la loi d’Arrhenius. Elle est valide en fluage.

Elle introduit une énergie d’activation thermique Q, et R, constante des gaz parfaits (le

rapport Q/R est homogène à une température), et indique que plus la température est

élevée pour une charge donnée, plus la vitesse de déformation est grande :

˙ε vp = ˙ε o exp(−Q/RT ) (2.43)

Ceci permet de construire des équivalences temps–température, et, en menant en

laboratoire des essais à température plus élevée que la température de fonctionnement

visée dans les applications, d’obtenir en un temps limité des informations sur le

comportement à long terme. Cette approche doit bien entendu être manipulée avec

précaution dans le cas de matériaux vieillissants, et elle ne peut être étendue à de trop

grandes plages de température.


38 CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

Résumé

Les équations très générales qui ont été écrites pour le moment mettent en évidence

la nature des modèles de viscoélasticité, de plasticité et de viscoplasticité. Ces deux

derniers ont en commun l’existence d’un domaine d’élasticité (éventuellement réduit

à l’origine pour le modèle viscoplastique) et de variables d’écrouissage. Par contre,

il faut aussi retenir que l’écoulement plastique est instantané, alors que l’écoulement

viscoplastique est retardé :

dε p = g(σ, . . . )dσ dε vp = g(σ, . . . )dt (2.44)

Ceci aura des conséquences importantes pour l’écriture du comportement élasto-

(visco)-plastique tangent, qui est la caractéristique utilisée par les codes de calcul

de structures.

On ne considère dans ce cours que des formes très naïves d’écrouissage, dans la

mesure où l’objectif est avant tout de mettre en place les structures des théories. La

description de formes plus réalistes nécessiterait bien plus de temps. On retiendra

pour mémoire les effets des chargements cycliques, des trajets de chargement

multiaxiaux non proportionnels, des changements de phase, le vieillissement, les

interactions avec l’environnement, etc. . . La plupart de ces effets sont maintenant

bien documentés, et font l’objet de modélisations spécifiques.

En l’absence de déformations paramétriques, les principales équations sont donc

les suivantes (en adoptant à partir de maintenant la même notation, ε p , pour la

déformation viscoplastique comme pour la déformation plastique) :

– Viscoélasticité : le modèle est une combinaison des déformations, des contraintes,

et de leurs vitesses :

−Maxwell :

˙ε = ˙σ/E 0 + σ/η

−Voigt : σ = Hε + η ˙ε, ou encore : ˙ε = (σ − H ε)/η

– Plasticité et viscoplasticité :

– Plasticité :

˙ε = ˙ε e + ˙ε p

− domaine d’élasticité si : f(σ, A i )< 0 ( ˙ε = ˙σ/E)

− décharge élastique si : f(σ, A i )= 0 et f(σ, ˙ A i )< 0 ( ˙ε = ˙σ/E)

− écoulement plastique si : f(σ, A i )= 0 et f(σ, ˙ A i )= 0 ( ˙ε = ˙σ/E + ˙ε p )

En traction à contrainte imposée :

En traction à déformation imposée :

˙ε p = ˙σ H

– Viscoplasticité :

˙ε p =

˙ε

E + H

− domaine d’élasticité si : f(σ, A i ) 0 ( ˙ε = ˙σ/E)

− écoulement plastique si : f(σ, A i )> 0 ( ˙ε = ˙σ/E + ˙ε p )


Chapitre 3

Hyperélasticité

3.1 L’élasticité caoutchoutique, une origine entropique

Les métaux, les polymères rigides et les élastomères présentent tous une déformation

élastique pur dans un domaine de déformation propre à chaque matériau. Pourtant ces

matériaux sont très différents, leurs différences portent non seulement sur leurs valeurs

de modules de Young et de leurs limites élastiques ( 100 GPa et 1,2% pour les métaux,

quelques GPa et de 3% à 5% pour les polymères et quelques MPa et de 500% à 1000%

pour les élastomères) mais surtout sur la nature même de leurs caractères élastiques.

Soit une éprouvette soumise à une charge ⃗ f uniaxiale qui produit une extension, un état

de contrainte σ et un état de de déformation ɛ (pour simplifier, on ne fait pas apparaitre ici

les difficultés théoriques liées aux grandes déformations. Etudions la variation de l’énergie

interne. Selon le premier principe de la thermodynamique, elle est égale à la variation de

chaleur au cours de la déformation plus le travail fourni par la force de rappel :

dU = dQ + dW (3.1)

Pour un matériau élastique, on peut donc considérer du point de vue thermodynamique

que les phénomènes sont réversibles, ainsi la variation entropique est d’après le second

principe de la thermodynamique :

dQ = T dS (3.2)

On déduit donc des équations (3.1) et (3.2), la relation suivante :

Dans des conditions isothermes, il vient donc :

dU = T dS + dW (3.3)

(δW ) T = (δU) T

− T (δS) T

(3.4)

D’autre part, l’énergie libre d’un système est donnée par F = U − T S, par conséquent

la variation d’énergie libre est dF = dU − T dS − SdT . De plus si le processus s’effectue

dans des conditions isothermes, dT = 0, il vient :

(δF ) T

= (δU) T

− T (δS) T

(3.5)

39


40 CHAPITRE 3. HYPERÉLASTICITÉ

En combinant (3.4) et (3.5), on obtient :

(δF ) T

= (δW ) T

(3.6)

On en déduit que pour un phénomène réversible et isotherme, la variation d’énergie libre

est égale au travail fourni. Reprenons notre cas d’extension uniaxiale dɛ, le travail fourni

est égal à :

dW = σ : dɛ (3.7)

Or on obtient pour un processus isotherme : (∂F ) T

= (∂W ) T

= (σ : dɛ) T

Ainsi :

σ =

( ) ∂F

∂ɛ

T

En exprimant 3.5 par rapport à dɛ, on obtient :

σ =

( ) ∂F

∂ɛ

T

=

( ) ∂U

− T

∂ɛ

T

( ) ∂S

∂ɛ

T

(3.8)

(3.9)

Par conséquent la thermodynamique classique permet donc de dire que la force de rappel

associé à la déformation élastique réversible relève de deux contributions, l’une associée à

la variation d’énergie interne, l’autre à la variation entropique. ( ) ∂U

Le problème consiste donc à évaluer l’importance des deux contributions et

( )

∂ɛ

T

∂S

en fonction de σ.

∂ɛ

T

En première approximation, on peut supposer que si l’on a une variation de température

T , le volume reste constant. Donc de F = U − T S, on dérive et on obtient :

De plus, de l’expression (3.9) , on extrait :

(∂F ) V

= (∂U) V

− T (∂S) V

− S (∂T ) V

(3.10)

Par conséquent en combinant (3.10) et (3.11), on obtient :

σ : (∂ɛ) V

= (∂U) V

− T (∂S) V

(3.11)

(∂F ) V

= σ : (∂ɛ) V

− S (∂T ) V

(3.12)

Comme F est une fonction d’état, la différentielle est totale et exacte et il vient :


( ) ∂S

∂ɛ

T

=

( ) ∂σ

∂T

ɛ

(3.13)

Cette relation simple, est connue sous le nom de la relation de Maxwell en traction. Elle

montre que si le deuxième terme est positif, une augmentation de la déformation produit

une diminution de l’entropie. Cette diminution du désordre moléculaire est consécutive

à l’alignement des chaînes. De plus si on soumet l’élastomère à une charge constante,

d’après la relation (3.13), une augmentation de température produit une diminution de la


3.1. L’ÉLASTICITÉ CAOUTCHOUTIQUE, UNE ORIGINE ENTROPIQUE 41

déformation de l’échantillon. Cette relation explique donc l’expérience de Cough. De plus

en substituant l’équation (3.13) dans l’équation (3.9), on obtient :

( ) ( )

∂U ∂σ

σ = + T

(3.14)

∂ɛ ∂T

T

Donc si l’on mesure, pour un allongement maintenu constant, la contrainte σ en fonction

de la température, on( doit ) en principe obtenir une droite passant par zéro et dont la pente

∂σ

n’est que le terme : . On peut donc expérimentalement déterminer la variation

∂T

ɛ

d’entropie grâce à la relation (3.13).

Les expériences de Meyer et Ferry (1935) ont mis en évidence la prédominance des effets

entropiques dans le caoutchouc naturel vulcanisé avec 8% de souffre grâce à une expérience

de traction simple sur une éprouvette. Ils ont observé figure 3.1 que la force de rappel

dans un échantillon maintenu à déformation constante est bien une fonction linéaire de

la température avec un changement de pente à la température de transition vitreuse du

caoutchouc naturel T g = 213 o K. On en conclut que pour un caoutchouc, la variation

ɛ

Figure 3.1 – Effet entropique de l’élasticité caoutchoutique

d’énergie interne lors de l’allongement est nulle ou proche de zéro pour T > T g .

σ = T

( ) ∂σ

= −T

∂T

ɛ

( ) ∂S

∂ɛ

T

(3.15)

Avant la transition vitreuse, l’énergie libre du caoutchouc est dominée par les effets

d’énergie interne du fait de la forte cohésion du matériau. Les points de réticulation

immobiles empêchent les chaînes de glisser les unes par rapport aux autres et de

s’orienter selon l’axe de traction. Au-delà de la température de transition vitreuse les

effets entropiques apparaissent du fait de la mobilité des chaînes. La température élevée

permet aux points de réticulation de se déplacer. Ainsi lors de l’extension des chaînes, un

ordre apparaît qui diminue l’entropie du matériau. D’où σ croît avec la température : le

module des élastomères augmente donc avec la température.

La prédominance des effets entropiques a donc été démontré et explique la grande


42 CHAPITRE 3. HYPERÉLASTICITÉ

différence du comportement élastique des caoutchoucs et des métaux dont l’énergie libre

est dominée par les effets d’énergie interne.

3.2 Formalisme thermodynamique

Pour déterminer l’évolution d’un système déformable, il est nécessaire d’établir une

relation entre contrainte et déformation : la loi de comportement. Elle doit en outre obéir

aux critères suivants :

– le principe d’objectivité ou d’indifférence matérielle : la loi de comportement doit

être invariante par tout changement de référentiel,

– la compatibilité avec les symétries matérielles : dans le cas d’un matériau isotrope,

la loi de comportement doit être invariante dans toute rotation de la configuration

de référence.

Sous l’hypothèse de l’état local, la loi de comportement est construite de manière

phénoménologique en partant de l’inégalité de Clausius-Duhem que l’on obtient à partir

des premier et second principes de la thermodynamique. En introduisant l’énergie libre

spécifique de HELMHOLTZ (ϕ, ϕ 0 ) (notation usuelle en physique F voir section ( 3.1),

les anglo-saxons prèferent la notée A), l’inégalité de Clausius-Duhem traduit la positivité

de la dissipation (Φ,Φ 0 ). La mise en équation de la dissipation peut s’écrire de faÁon

équivalente sous différentes formes, selon la configuration de référence. En effet selon

le formalisme des grandes déformations, domaine de déformation des élastomères, les

configurations initiales et actuelles ne sont pas superposables, elles font donc appel à un

formalisme différent.

3.2.1 Formalisme des grandes déformations

Le mouvement d’un solide est décrit par la fonction x = x (X, t) donnant la position

x à l’instant t de la particule qui occupait la position X avant déformation. A l’instant

t donné, cette configuration décrit la déformation du solide entre sa configuration de

référence C o et sa configuration déformée C(t). Les coordonnées relatives au repère de

la configuration de référence sont dites lagrangiennes. Celles relatives au repère de la

configuration déformée sont dites eulériennes.

Le champ de déplacement u (X, t) est défini comme :

La fonction x (X, t) définit le mouvement global du solide.

x (X, t) = X + u (X, t) (3.16)

La difficulté en transformation finie est de définir des tenseurs de contraintes et de

déformations indépendants de l’observateur puis de construire une loi de comportement,

relation reliant les déformations aux contraintes, également indépendante de l’observateur.

Ce principe est appelé objectivité ou indifférence matérielle. Pour le satisfaire,

le plus simple est d’écrire la loi de comportement comme une relation entre les

tenseurs de contraintes et de déformations écrits dans la configuration initiale. La loi

est automatiquement objective. Sinon on doit vérifier que la loi de comportement est

invariante par changement de référentiel d’observation.


3.2. FORMALISME THERMODYNAMIQUE 43

Pour décrire les déformations locales, on introduit le tenseur gradient de déformation

F ∼

tel que :

dx = F ∼

dX

avec F ij = ∂x i

∂X j

(3.17)

Ce tenseur gradient de déformation F ∼

, également appelé application linéaire tangente

à la fonction x (X, t), permet de passer de la configuration initiale C 0 à la configuration

déformée C(t) selon (3.17). Il permet aussi d’exprimer la loi de transformation de l’élément

de volume dv o , c’est à dire la dilatation volumique :

dv = J dv o avec J = det (F ∼

) (3.18)

On introduit le champs de vitesse v, dérivée par rapport au temps du vecteur position

x (X, t) et on définit alors le gradient du champ eulérien des vitesses L ∼

tel que :


˙ F ∼

L ∼

= ˙ F ∼

F ∼

−1

= ˙ F ij = ∂v i

∂X j

(3.19)

La décomposition de L ∼

en ses parties symétrique et antisymétrique permet de définir le

tenseur taux de rotation et surtout le taux de déformation D ∼

, que l’on utilisera par la

suite :

D ∼

= 1 (

L∼ + L ) T

2


ou D ij = 1 ( ∂vi

+ ∂v )

j

(3.20)

2 ∂x j ∂x i

Pour définir la déformation du solide, il faut éliminer la rotation.

D’après le théorème de décomposition polaire, le tenseur F


étant inversible, il peut

se décomposer de manière unique à l’aide des tenseurs de dilatation symétriques définis

positifs U


et V


, et d’un tenseur de rotation R


sous la forme :

F ∼

= V ∼

.R ∼

= R ∼

.U ∼

(3.21)

Le tenseur de rotation R ∼

est orthogonal et vérifie donc les équations suivantes :

Les tenseurs U


et V


diffèrent par rotations près,

R ∼

.R ∼ T = 1 ∼

et det R ∼

= 1. (3.22)

V ∼

= R ∼

.U ∼

.R ∼

T

(3.23)

et

U ∼

= R ∼ T V ∼

.R ∼

(3.24)

Cette méthode permet de décomposer la transformation avec une étape intermédiaire,

étape pendant laquelle le matériau a uniquement subi une rotation (R


) ou uniquement

une déformation pure (U


).


44 CHAPITRE 3. HYPERÉLASTICITÉ

On définit ensuite le tenseur de dilatation de Cauchy-Green gauche de la

manière suivante :

puis le tenseur de dilatation de Cauchy-Green droit :

B ∼

= F ∼

.F ∼ T = V ∼ 2 ; (3.25)

C ∼

= F ∼ T F ∼

= U ∼ 2 . (3.26)

Il est important de noter que contrairement à F ∼

tenseurs B ∼

et C ∼

sont symétriques par définition.

qui n’est pas toujours symétrique, les

On définit alors les deux tenseurs des déformations de Green-Lagrange E ∼

C 0 et d’Euler-Almansi A ∼

dans C(t) par :

dans

E ∼

= 1 2 (C − I) = 1 ( ) T 1

F∼ F

∼ ∼

2 ∼

− I ∼ =

2 (U 2 − 1

∼ ∼

).

A ∼

= 1 (

I∼ − B ) −1

2


= 1 (

− I∼ − F T

2


F ) −1


= 1 2 (1 − V 2 )

∼ ∼

(3.27)

En notation indicielle, E ij = 1 2 (u i,j + u j,i + u k,i u k,j ). E ∼

est lagrangien, invariant par

changement de référentiel tandis que A ∼

, eulérien, est objectif.

3.2.2 Mesure des contraintes

Que ce soit en petites ou en grandes déformations, le vecteur contrainte est défini dans la

configuration déformée comme caractérisant les efforts intérieurs de cohésion exercés sur

une partie solide à travers un élement de surface ds de normale extérieure n. On définit

ainsi le tenseur eulérien des contraintes, le tenseur symétrique des contraintes de

Cauchy σ ∼

, sachant qu’il existe une relation linéaire entre le vecteur contrainte t et le

vecteur normale n :

df = σ ∼

n ds avec t = df/ds : (3.28)

On transporte le tenseur σ ∼

dans la configuration de référence. Il faut donc caractériser

l’élément de surface par rapport à la configuration de référence C 0 , soit N la normale

extérieure et ds o l’élément de surface. On définit alors le premier tenseur de Piola-

Kirchhoff appelé aussi tenseur de Boussinesq S ∼

, qui n’est ni eurélien ni lagrangien

tel que :

df = S ∼

N ds o (3.29)

Par conséquent pour définir un tenseur lagrangien et symétrique, il faut transporter df

dans C o . Soit Π ∼

ce tenseur appelé second tenseur de Piola-Kirchhoff (PK2) ou tenseur de

Piola-Lagrange :

df o = F −1 ∼

df = Π ∼

N ds o (3.30)

La relation entre ces trois tenseurs est donnée par :

J σ ∼

= S ∼

F ∼ T = F ∼

Π ∼

F ∼

T

(3.31)


3.3. COMPORTEMENT HYPERÉLASTIQUE 45

Cependant, le tenseur Π ∼

n’a pas de sens physique, sa construction réside dans le fait

que c’est la variable duale du tenseur de Green Lagrange. Seuls les tenseurs σ ∼

et S ∼

peuvent caractériser les efforts appliqués et intervenir dans les conditions aux limites pour

les formulations de l’équilibre et dans le travail des efforts intérieurs. Enfin, le tenseur de

Boussinesq en traction uniaxiale dans la direction e 1 correspond à la contrainte

dite ingénieur c’est à dire : S 1 = F/S 0 .

Le postulat de l’état local permet de définir en chaque point matériel M (x, t) une

température, une densité d’énergie e et une densité d’entropie s. La combinaison des deux

premiers principes de la thermodynamique nous permet d’établir l’inégalité de Clausius-

Duhem.

Description eulérienne

Description lagrangienne

Description mixte

(

Φ = σ ∼

: D ∼

− ρ ˙ϕ + sT

˙

)

− q

} {{ } T .∇ xT ≥ 0 (3.32)

} {{ }

d in

d th

(

Φ 0 = Π ∼

: Ė ∼

− ρ 0 ˙ϕ + sT

˙

)

− Q

} {{ } T .∇ XT ≥ 0 (3.33)

} {{ }

d in

d th

(

Φ 0 = S ∼

: Ḟ ∼

− ρ 0 ˙ϕ + sT

˙

)

− Q

} {{ } T .∇ XT ≥ 0 (3.34)

} {{ }

d in

d th

où q est le vecteur flux de chaleur et ϕ = e − T s est l’énergie libre spécifique. On postule

souvent un découplage de la dissipation thermique d th et de la dissipation intrinsèque d in ,

en exigeant que :

d th ≥ 0 d in ≥ 0 (3.35)

De plus l’énergie de déformation s’écrit respectivement dans la description eulérienne,

lagrangienne et mixte tel que :

σ ∼

: D ∼

= Π ∼

: Ė ∼

= S ∼

: Ḟ ∼

(3.36)

3.3 Comportement Hyperélastique

Un comportement est dit hyperélastique s’il vérifie les critères suivants :

– l’existence d’une configuration de référence libre de contrainte,

– le matériau ne dissipe pas d’énergie,

– le comportement du matériau est décrit par une densité d’énergie libre spécifique ,

fonction des déformations et de la température.


46 CHAPITRE 3. HYPERÉLASTICITÉ

Ainsi, le comportement mécanique d’un matériau hyperélastique se déduit des inégalités

thermodynamiques et s’exprime tel que :

En eulérien

σ


= 2ρB


. ∂ϕ

(3.37)

∂B


En lagrangien

En mixte

S


Π


= ρ 0

∂ϕ

∂E


(3.38)

= 2ρ ∂ϕ

∂F


(3.39)

——————————————————————————————————————–

DEMONSTRATION :

D’après le second et le premier principe de la thermodynamique, on obtient l’inégalité

de Clausius-Duhem en configuration lagrangienne :

Φ 0 = S ∼

: Ė ∼

− ρ 0

(

˙ϕ + sT

˙

)

− Q T .∇ XT ≥ 0 (3.40)

Les théorèmes de réductions appliqués aux corps élastiques montrent que le jeu de

variables privilégiées pour la représentation des solides élastiques anisotropes est :

ϕ = ϕ(E ∼

, T, G), (3.41)

où E ∼

est la déformation de Green-Lagrange reliée de manière univoque au tenseur droit

de Cauchy-Green C ∼

, T la température, G = ∇ X T le gradient de température lagrangien et

Π ∼

le second tenseur de Piola-Kirchhoff. Ce qui permet d’écrire, par dérivation en chaîne :

˙ϕ = ∂ϕ : Ė

∂E ∼

+ ∂ϕ T


∂T ˙ + ∂ϕ

∂G · Ġ (3.42)

En subtituant (3.42) dans (3.40) et en ordonnant les termes, la dissipation devient :

Φ 0 = (Π ∼

− ρ 0

∂ϕ

∂E ∼

) : Ė ∼

− ρ 0 ( ∂ϕ

∂T + s 0) ˙ T − ρ 0

∂ϕ

∂G · Ġ − Q · G

T 0 (3.43)

La dissipation Φ 0 doit être positive et ce pour tous processus thermodynamique et

donc pour toute valeur de Ė∼ , T ˙ , Ġ. Φ 0 étant clairement linéaire en ces incréments, les

termes devant Ė∼ , T ˙ , Ġ doivent donc s’annuler, et on obtient alors :

∂ϕ

Π ∼

= ρ 0

∂E ∼

s 0 = − ∂ϕ

∂ϕ

∂G = 0

∂T

(3.44a)

(3.44b)

(3.44c)


3.3. COMPORTEMENT HYPERÉLASTIQUE 47

Ces relations constituent les lois de comportement dites ”hyperélastiques” pour les

contraintes et l’entropie. Elles démontrent que l’énergie libre est un potentiel d’élasticté

dont découlent les relations contraintes-déformations et entropie-température.

——————————————————————————————————————–

3.3.1 Hyperélasticité isotrope

D’après (3.44), on a :

ρ 0 ϕ = W (E ∼

) = W (C ∼

) (3.45)

On sait qu’un corps hyperélastique est isotrope si son énergie libre est une fonction

isotrope de ses arguments. En particulier, d’après le théorème de représentation pour les

fonctions scalaires d’une variable tensorielle, elle est fonction des invariants principaux de

C ∼

(on a préféré ici la variable C ∼ à E ∼

), donc :

Π ∼

= 2 ∂W

∂C ∼

= 2

Les invariants de C ∼

s’expriment par :

( ∂W

∂I 1

∂I 1

∂C ∼

+ ∂W

∂I 2

∂I 2

∂C ∼

+ ∂W )

∂I 3

∂I 3 ∂C ∼

(3.46)

I 1 = trC ∼

(3.47a)

I 2 = 1 [

(trC∼ ) 2 − trC ] 2

2


(3.47b)

I 3 = det(C ∼

) = J 2

(3.47c)

Les invariants de C ∼

sont obtenus à partir de l’cequation de Cayley-Hamilton :

C ∼ 3 − I 1 C ∼ 2 + I2/, C ∼

− I 3 1 ∼

= 0 ∼

(3.48)

La relation reliant les contraintes aux déformations est alors obtenue en dérivant ces

invariants par rapport à C ∼

. On a :

∂I 1

= 1

∂C ∼


(3.49a)

∂I 2

= I 1 1

∂C ∼

− C ∼


(3.49b)

∂I 3

∂C ∼

= I 3 C ∼

−1

(3.49c)

La dérivée de I 3 par rapport à C ∼

est aisement obtenue en utilisant l’equation de Cayley-

Hamilton (voir eq. (3.48)).

De plus substituant les équations (3.49) dans la relation (3.46), on obtient :

Π ∼

= 2 ∂W = 2

∂C ∼

= 2

3∑

k=1

∂W

∂I k

∂I k

∂C ∼

[( )

∂W ∂W

+ I 1 1

∂I 1 ∂I ∼

− ∂W C

2 ∂I ∼ 2

] (3.50)

∂W −1

+ I 3 C

∂I ∼ 3


48 CHAPITRE 3. HYPERÉLASTICITÉ

En configuration eulérienne, la relation contrainte-déformation est obtenue en utilisant

la relation de passage :

σ ∼

= 1 J F ΠF T

∼ ∼ ∼

= 2 J

[

I 3

∂W

∂I 3

1 ∼

+

( )

∂W ∂W

+ I 1 B

∂I 1 ∂I ∼ 2

− ∂W ] (3.51)

2

B

∂I ∼ 2

La loi de comportement d’un matériau isotrope hyperélastique s’écrit, en posant W i = ∂W

∂I i

et en tenant compte de l’équation de Cayley-Hamilton (voir eq.3.48) :

En eulérien

σ ∼

= 2 J

(

(W2 I 2 + W 3 I 3 )1


+ W 1 B


− W 2 I 3 B


−1 ) (3.52)

En lagrangien

En mixte

Π


= ( (W 1 + W 2 I 1 )1


− W 2 C


− W 3 I 3 C


−1 ) (3.53)

S ∼

= 2 ( (W 1 + W 2 I 1 )F ∼

+ W 1 F ∼

.C ∼

− W 2 I 3 F ∼

−T ) (3.54)

3.3.2 Représentation en élongations principales

Rappels :

Soit un tenseur M


symétrique, il existe une base orthogonale de vecteur propres e

∼ I et ses

valeurs propres associées λ 2 i telle que :

∑III

M ∼

= λ 2 i e ∼i

⊗ e ∼i

. (3.55)

i=I

Ainsi, les tenseurs U


et V


étant relatifs aux dilatations pures, leurs valeurs propres

donnent directement accès aux valeurs des dilatations principales dans chacune des

directions. De plus, par construction les valeurs propres de U


et V


sont identiques et

noté λ i .

U ∼

= λ 1 m (1) ⊗ m (1) + λ 2 m (2) ⊗ m (2) + λ 3 m (3) ⊗ m (3) (3.56)

V ∼

= λ 1 n (1) ⊗ n (1) + λ 2 n (2) ⊗ n (2) + λ 3 n (3) ⊗ n (3) (3.57)

avec λ i et m (i) les valeurs propres et vecteurs propres de U ∼

et λ i et n (i) les valeurs propres

et vecteurs propres de V ∼

. La décomposition spectrale du tenseur de Cauchy-Green droit

C ∼

et du tenseur de Cauchy-Green gauche B ∼

:

C ∼

= U ∼ 2 = λ 2 1 m (1) ⊗ m (1) + λ 2 2 m (2) ⊗ m (2) + λ 2 3 m (3) ⊗ m (3) (3.58)


3.3. COMPORTEMENT HYPERÉLASTIQUE 49

B ∼

= V ∼ 2 = λ 2 1 n (1) ⊗ n (1) + λ 2 2 n (2) ⊗ n (2) + λ 2 3 n (3) ⊗ n (3) (3.59)

Il vient alors que les valeurs propres des tenseurs de dilatation de Cauchy-Green B


et C


(ayant aussi par construction les mêmes valeurs propres) donnent directement accès au

carré des valeurs des dilatations principales dans chacune des directions.

Finalement on obtient la décomposition spectrale du gradient de déformation F ∼

:

F ∼

= R ∼

U ∼

= V ∼

R ∼

= λ 1 n (1) ⊗ m (1) + λ 2 n (2) ⊗ m (2) + λ 3 n (3) ⊗ m (3) (3.60)

avec n (i) = R ∼

m (i) car le gradient de déformation se décompose de manière unique à l’aide

des tenseurs de dilatations symmétriques U ∼

et V ∼

.

Enfin, on peut exprimer les invariants du tenseur M ∼

(avec M ∼ égale à C ∼

ou B ∼

)

(données indépendantes du référentiel choisi) : I 1 , I 2 et I 3 invariants de M ∼

en fonction

des valeurs propres λ 2 i :


I 1 = trace(M ∼

) = λ 2 1 + λ 2 2 + λ 2 3

⎪⎨ [

I 2 = 1 (trM∼ ) 2 − trM ] 2

2


= λ 2 1 λ 2 2 + λ 2 1 λ 2 3 + λ 2 2 λ 2 3

(3.61)

⎪⎩

I 3 = det(M ∼

) = λ 2 1λ 2 2λ 2 3

L’energie de déformation hyperélastique isotrope peut être écrite en fonction des

élongations principales λ i = ( √ (λ 2 i ))

W (C ∼

) = W (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) (3.62)

l’incrément de l’énergie de déformation prend alors la forme suivante :

dW (C ∼

) = dW (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) = ∂W

∂λ 1

dλ 1 + ∂W

∂λ 2

dλ 2 + ∂W

∂λ 3

dλ 3 (3.63)

Et l’incrément tenseur de Cauchy-Green droit s’exprime d’après l’expression (3.60) :

dC ∼

=

3∑

2 λ i ∂λ i m (i) ⊗ m (i) + λ 2 i dm (i) ⊗ m (i) + λ 2 i m (i) ⊗ dm (i) (3.64)

i=1

sachant que par définition m (1) .m (i) = δ 1i et m (i) .dm (i) = 0. Par conséquent l’incrément

des élongations principales s’expriment tels que :

dλ i = 1 λ i

(m (i) ⊗ m (i) ) : dC ∼

(3.65)

En substituant ces résultats dans l’équation (3.63), on obtient :

avec :

∂W

∂C ∼

=

dW (C ∼

) = ∂W

∂C ∼

: dC ∼

(3.66)

3∑

i=1

1

2 λ i

∂W

∂λ i

(m (i) ⊗ m (i) ) (3.67)


50 CHAPITRE 3. HYPERÉLASTICITÉ

en utilisant cette dérivée, l’expression du tenseur de Piola-Kirchhoff prend la forme :

Π ∼

= 2 ∂W

∂C ∼

=

3∑

i=1

1 ∂W

(m (i) ⊗ m (i) ) (3.68)

λ i ∂λ i

Il est important de noter que Piola-Kirchhoff 2 est coaxial avec le tenseur de Cauchy-Green

droit C ∼

dans le cas isotrope et donc avec U ∼

car les directions principales coincident.

Les contraintes principales de PK2 s’expriment alors telles que :

Π i = 1 λ i

∂W

∂λ i

(3.69)

Enfin en utilisant la décomposition spectrale du gradient de déformation F ∼

, l’expression

du tenseur des contraintes de Cauchy devient :

σ ∼

= 1 J F ∼ Π ∼ F ∼ T =

1

λ 1 λ 2 λ 3

3∑

i=1

λ i

∂W

∂λ i

(n (i) ⊗ n (i) ) (3.70)

Il est également important de noter que le tenseur des contraintes de Cauchy est coaxial

avec le tenseur de Cauchy-Green gauche B ∼

dans le cas isotrope et donc avec V ∼

parce que

les directions principales coincident.

Les contraintes principales de Cauchy s’expriment alors telles que :

σ i =

3.3.3 Traitement de l’incompressibilité

λ i

λ 1 λ 2 λ 3

∂W

∂λ i

(3.71)

Les élastomères peuvent supporter des déformations sans exhiber de variation

de volume. Il s’agit d’une propriété fondamentale permettant de considérer que les

déformations se font à volume constant. Il s’agit de la propriété d’incompressibilité :

dv = constante ⇔ J = det(F ∼

) = 1, (3.72)

qui est une condition nécessaire et suffisante pour qu’une transformation soit isochore.

Cette condition d’incompressibilité peut être directement introduite dans l’expression de

l’énergie de déformation en l’écrivant sous la forme :

¯W = W (C ∼

) − p(J − 1), (3.73)

où W est définie pour J = det(F ∼

) = 1 et p est un multiplicateur de Lagrange

indeterminé qui est généralement identifié à la pression hydrostatique. Ainsi, seuls

interviennent dans W les deux premiers invariants du tenseur des déformations (puisque

I 3 = 1) et on a W (C ∼

) = W (I 1 , I 2 ).

En dérivant l’énergie de déformation, W , par rapport à F ∼

, on retrouve le premier

tenseur de Piola-Kirchhoff, S ∼

.

S ∼

= −p F ∼ −T + ∂W (C ∼ )

∂F ∼

(3.74)


3.3. COMPORTEMENT HYPERÉLASTIQUE 51

Et en multipliant par F ∼ −1 ,

le second tenseur de Piola-Kirchhoff, Π ∼

:

Π ∼

= −p C −1 ∼

+ 2 ∂W (C)


∂C

[( ∼

)

∂W ∂W

= 2 + I 1 1

∂I 1 ∂I ∼

− ∂W ]

−1

C

2 ∂I ∼

− p C ∼ 2

(3.75)

En formulation eulérienne, on a alors :

σ ∼

T

= F ∼

Π ∼

F

[(


)

∂W ∂W

= 2 + I 1 B

∂I 1 ∂I ∼ 2

− ∂W ]

(3.76)

2

B

∂I ∼

− p 1 ∼ 2

3.3.4 Quelques formes de densité d’énergie de déformation

D’après les principes thermodynamiques décrits dans la section 3.1, la déformation

provient ainsi de deux origines (voir eq.(3.9)) :

– une contribution (1) due à la variation de l’énergie interne correspondante aux

phénomènes intramoléculaires ;

– une autre (2) provient de la variation de l’entropie traduisant les phénomènes

intermoléculaires.

Dans le cas des élastomères, c’est la deuxième contribution qui est prépondérante

[Flory1943]. Lors d’une déformation, les chaînes voient leur conformation considérablement

modifiée. La force de rappel élastique est due à la diminution de l’entropie traduisant

la diminution du nombre de conformations possibles. Ainsi, la densité d’énergie de

déformation définie à partir de la variation d’entropie s’écrit telle que :

ρ 0 ϕ = W (E ∼

, T ) = −T ∆S (3.77)

Il existe deux approches pour décrire ce type de comportement pour les

élastomères. La première approche est statistique basée sur la théorie macromoléculaire

[Treolar1944],[Flory1953]. La deuxième, utilisée ici, est phénoménologique traduisant les

résultats expérimentaux macroscopiques.

Les lois constitutives hyperélastiques sont la plupart du temps écrites

en terme de densité d’énergie de déformation W , comme nous l’avons montré

précédemment (section 3.2.1). En résumé, la densité d’énergie de déformation est une

grandeur scalaire objective et de ce fait est une énergie indépende de la rotation R ∼

. Elle

est donc souvent écrite en fonction du tenseur de dilatation U ∼

, du tenseur de dilatation de

Cauchy-Green droit C ∼

, du tenseur de déformation de Green Lagrange E ∼

, des invariants

de C : I 1 , I 2 et I 3 ou encore en fonction des dilatations principales λ 1 , λ 2 et λ 3 (toutes

ces quantités étant indépendantes de R ∼

)


0.3. DÉFINITIONS D’UN COMPORTEMENT PUREMENT ÉLASTIQUE 13

52 CHAPITRE 3. HYPERÉLASTICITÉ

Les coefficients de ces différentes lois ne sont pas quelconques. En effet, ils doivent

assurer un comportement physique raisonnable pour le matériau considéré. Par exemple,

la polyconvexité de W assure l’existence d’une solution du problème d’équilibre.

Parmi les formes proposées dans la littérature, sont présentés ci-dessous les modèles

utilisés à travers nos différentes études, soient :

Modèle NEO-HOOKEEN

W (I 1 ) = µ 2 (I 1 − 3) (3.78)

Ce modèle reste de loin le plus utilisé pour sa simplicité et sa capacité à refléter

convenablement le comportement des élastomères pour des niveaux de déformation allant

jusqu’à 100%.


14

3.3. COMPORTEMENT HYPERÉLASTIQUE 53

Modèle

Modèle

de

de

MOONEY

MOONEY

W (I (I 1 ) = C 10 (I 1 − 3) + C 20 (I 1 − 3) 2 + C 30 (I 1 − 3) 3 1 )=C 10 (I 1 − 3) + C 20 (I 1 − 3) 2 + C 30 (I 1 − 3) 3 + ... + ... (79) (3.79)

Cette formulation générale générale est basée est basée uniquement uniquement sur des hypothèses sur des hypothèses d’isotropie d’isotropie et d’incom-

et

d’incompressibilité.


0.3. DÉFINITIONS D’UN COMPORTEMENT PUREMENT ÉLASTIQUE 15

54 CHAPITRE 3. HYPERÉLASTICITÉ

Modèle ModèlededeHART-SMITH , (1966) , (1966)


( )

(I 1 , I2) h 1 exp (h 3 (I 1 − 3) 2 I2

W (I 1 ,I2) = h 1 exp (h 3 (I 1 − 3) 2 )dI )dI 1 − 1 3h − 2

3hln

2 ln I2

3 3

(80) (3.80)

Cette forme d’énergie décrit décrit correctement le comportement le comportement des élastomères des élastomères pour despour défor-

des

déformations allant jusqu’à allant jusqu’à 500%. Il 500%. permet Il permet en particulier en particulier de reproduire de reproduire le phénomène le phénomène de durcis-dsement

durcissement dit ”upturn” dit ”upturn” en très grandes en trèsdéformations.

grandes déformations.


16

3.3. COMPORTEMENT HYPERÉLASTIQUE 55

Modèle de deARRUDA-BOYCE, (1993) (1993)

( N ln

)

√N

W = µ r λchain β + Nln

β

(3.81) (81)

sinh ββ

√ (λ 2 1 + λ 2 2 + λ 2 3)/3 = √ ( )

Avec λ I 1 /3 et β = L −1 λ √N chain

où L −1

chain = (λ 2 1 + λ2 2 + λ2 3 )/3 =

I 1 /3 et β = L −1 λchain √N où L −1 est la fonction est la

fonction inverse deinverse la fonction de lade fonction Langevin deL(β) Langevin = coth(β) L(β) −= 1/β coth(β) Arruda-Boyce − 1/β Arruda-Boyce (1993), introduisent (1993),

introduisent la notion d’extensibilité la notion d’extensibilité limite de chaîne limite pourde écrire chaîne un pour potentiel écrire dépendant un potentiel de l’élongation dépendant

de chaîne l’élongation λ chain . de chaîne λ chain .


0.3.

DÉFINITIONS D’UN COMPORTEMENT PUREMENT ÉLASTIQUE 17

56 CHAPITRE 3. HYPERÉLASTICITÉ

Modèle de OGDEN

Modèle de OGDEN

N∑ µ p

W =

N ( )

µ p λ

α p

W = α p 1 + λ αp

2 +

λ

α p

λ αp

3

α p 1 + λ αp

2 + λ αp

3

p=1

p=1

le lemodule de de cisaillement est est évalué évalué par la par relation relation suivante suivante : :

(82)

(3.82)

N

2 µ = µ

N∑ p α p (83)

2 µ = µ p α p (3.83)

p=1

p=1

Conclusion Les modèles phénoménologiques décrivent relativement bien le comportement

hyperélastique Conclusion des Les élastomères modèles phénoménologiques chargés ou non et sont décrivent faciles àrelativement mettre en oeuvre bien ledans comportementde

hyperélastique calcul. En revanche, des élastomères leurs paramètres chargés sont oudélicats non et àsont mesurer faciles carà ils mettre ne sont en pas oeuvre

les

codes

reliés dansà les descodes valeurs dephysiques calcul. En parfaitement revanche, leurs identifiées. paramètres sont délicats à mesurer car ils ne

sont pas reliés à des valeurs physiques parfaitement identifiées.


Chapitre 4

Éléments de Mécanique Linéaire de

la rupture

Par définition, la mécanique de la rupture a pour objet essentiel l’étude de la ruine

des structures par une fissuration macroscopique, à partir d’une fissure initiale petite,

pour des sollicitations quasi-statiques. L’apparition de la fissure initiale résulte d’un

processus d’amorçage dont la modélisation ne sera pas présentée dans ce cours. Nous nous

intéressons ici aux matériaux fragiles qui par définition ont une rupture sans produire

de déformation irréversible (sans déformation plastique, ou très peu de déformation

plastique). Nous nous limitons ici à la mécanique linéaire de la rupture, cadre dans lequel

le comportement mécanique du matériau reste élastique, linéaire et soumis à de petites

déformations. En pratique, la rupture fragile est soudaine, sans signe annonciateur autre

que la fissure initiale si celle-ci est observable. Le critère de ruine de la structure est

donné par un critère de propagation de la fissure initiale. Notons que le fait de raisonner

sur la propagation d’une fissure existante permet d’éluder la formulation d’un critère en

contrainte complétant le critère en énergie que développons ici. En effet, en pointe de

fissure la contrainte est toujours suffisamment élevée, puisqu’elle est infinie, pour vérifier

un quelconque critère en contrainte. Le lecteur trouveras dans [3] une justification de la

complémentarité du critère en contrainte et du critère en énergie pour modéliser la rupture

fragile des matériaux dans un cadre plus général que celui de la propagation d’une fissure

initiale.

Heureusement pour l’ingénieur d’aujourd’hui, on sait identifier si un matériau est

fragile. De plus, on connaît ou on sait déterminer les causes de fragilisation des

matériaux. Le paramètre d’environnement le plus commun jouant sur la fragilisation est la

température. Un matériau à basse température est plus fragile qu’à haute température. Si

à de plus hautes températures le matériau fait apparaitre des déformations irréversibles

après rupture, il est dit ductile à ces températures. Il est alors possible de tracer une

courbe de transition ductile-fragile en fonction de la température. En pratique l’ingénieur

n’utilise pas les matériaux fragiles, et il veille à ce que l’environnement dans lequel il

utilise les matériaux ne les rende pas fragile. Il reste néanmoins à savoir identifier si un

matériau est fragile et dans quel environnement il l’est ou à quelle(s) condition(s) il le

devient. Ceci suffit à justifier l’intérêt de ce cours.

De plus un cours sur la rupture fragile est une bonne introduction à la rupture

ductile pour ceux qui voudraient s’y intéresser. Il faut noter que l’utilisation de structures

fissurées en matériau ductile est tout à fait courante. Certaines cuves sous-pression

57


58 CHAPITRE 4.

ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE

en fonctionnement ont des fissures macroscopiques tolérées car le matériau est ductile.

Certaines structures extrêmement légère en matériau ductile ont également des fissures

tolérées pour faciliter l’optimisation des systèmes dont elles font partie. L’expertise des

ingénieurs et des techniciens et alors nécessaire pour prévenir les risques d’accident.

Les premiers résultats de modélisation en accord avec la rupture de matériaux fragiles

ont été obtenus dans les années 1920 par A. A. Griffith. Il a introduit un critère d’instabilité

basé sur la variation d’énergie potentielle de la structure lorsque qu’une fissure se propage.

Dans cette formulation, il n’est pas question de contrainte à rupture pouvant caractériser

le matériau. Il y a propagation d’une fissure initiale lorsqu’il y a suffisamment de variation

d’énergie potentielle due à l’élasticité de la structure pour compenser l’énergie consommée

par la création de surface lors de la séparation de la matière par l’avancement de la fissure.

Cette approche énergétique étant globale, elle ne permet pas d’introduire différents modes

de rupture. Or, pour une même valeur d’énergie de déformation, il peut correspondre

plusieurs champs de déformation dans une structure et plusieurs façons d’ouvrir ou de

fermer une fissure. La notion de mode de rupture est donc venue compléter la théorie

de Griffith et avec elle Irwin associa la notion de facteur d’intensité des contraintes.

Soulignons que le facteur d’intensité des contraintes n’est pas le facteur de concentration

des contraintes introduit dans le cours de Mécanique des Milieux Continus. Le facteur

d’intensité des contraintes est couramment utilisé aujourd’hui pour caractériser la ténacité

des matériaux fragiles.

L’unification de la description de l’amorçage des fissures et de leur propagation est

aujourd’hui encore un sujet de recherche. Actuellement, la théorie de l’endommagement

continu est une façon pertinente de décrire le processus d’amorçage d’une fissure

macroscopique. Notons également que la vitesse de sollicitation d’une structure fissurée,

lorsqu’elle est suffisamment élevée, modifie ses propriétés à rupture. Il est alors question

de résilience caractérisée par l’essai Charpy. Le lien entre résilience et ténacité est encore

un sujet ouvert, pour lequel on commence à avoir des éléments de réponse grâce aux

modèles numériques.

Le cours présenté ici n’est qu’une introduction à la mécanique de la rupture. De

nombreuses avancées scientifiques ont vu le jour depuis les travaux de Griffith et d’autres

continuent d’être produites aujourd’hui. Elles ne seront pas mentionnées ici. Les questions

ouvertes restent -comment éviter la ruture en condition d’oxydation Comment alléger

les structures sans rupture De combien peut-on prolonger la durée de vie d’installation

coûteuses (Centrales, gazoduc, ...) Ou quand doit-on prévenir un incident Pour finir, la

sensibilité de la ténacité vis à vis de la présence de défauts rend nécessaire une approche

statistique de la rupture. Cette approche n’est abordée ici que succinctement dans le cadre

d’un exercice.

4.1 Paramètres géométriques et paramètres mécaniques

La rupture est un processus de séparation de la matière par création de surface dans

un volume. En mécanique des milieux continus. La naissance d’une surface se décrit par

une discontinuité du champ de déplacement, la discontinuité étant localisée sur la surface

créée dans un volume continu.

Lorsqu’une fissure se propage la matière cesse d’être continue. Néanmoins, l’énergie de

déformation reste à valeur finie. Ceci permet d’utiliser le cadre théorique de la mécanique


4.2. MODES DE RUPTURE ET FACTEUR D’INTENSITÉ DES CONTRAINTES 59

des milieux continus. Dans ce cadre, il est tout à fait admissible de décrire un champ de

déplacement discontinu avec une discontinuité restreinte à une surface, où la matière est

susceptible d’être séparée en deux par l’avancée de la fissure.

La mécanique de la rupture est à cheval entre la mécanique des matériaux et la

mécanique des structures car il est difficile de formuler une règle de changement d’échelle.

En effet, une fissure dans un milieu homogène n’a pas de dimension caractéristique tant

que l’on ne rencontre pas d’hétérogénéité du matériau ou une frontière du domaine étudié.

De plus, l’effet des conditions aux limites, même en les supposant infiniment éloignées de la

fissure initiale, peuvent avoir une influence sur la propagation de celle-ci. Cette importance

de l’effet des conditions aux limites, qui est un effet de structure, rend utile la définition

de modes de rupture.

4.2 Modes de rupture et facteur d’intensité des

contraintes

La notion de mode de rupture a pu être exploitée grâce aux travaux de George Rankine

Irwin qui a introduit en 1956 la notion de facteur d’intensité des contraintes. Ce facteur

caractérise l’état de contrainte dans le voisinage de la pointe de fissure bien que des

contraintes soient infinies en pointe de fissure. La ténacité des matériaux fragiles a alors

pu être caractérisée par une valeur critique du facteur d’intensité des contraintes.

4.2.1 Cas du mode I en état de contraintes planes

A chaque mode correspond une énergie potentielle susceptible de faire propager la

fissure. Cette énergie potentielle est donnée par l’énergie de déformation élastique moins

le travail des efforts extérieurs produit lors du passage de l’état naturel à l’état d’équilibre.

Solution de Muskhelishvili

La figure 4.1 montre le système qui est considéré ici. Il s’agit d’un panneau ”infini”,

contenant une fissure de longueur 2a selon l’axe x 1 , et sollicité en traction uniforme selon

l’axe x 2 . Dans la pratique, un modèle de ce type pourra être raisonnablement utilisé dès

lors que les dimensions de la fissure seront de 10 à 20 fois plus faibles que celle de la plaque.

Il existe une solution analytique exacte de ce problème, sur l’axe x 2 = 0, en supposant un

état de contraintes planes :

− Si x 1 a σ 22 = σ ∞ / ( 1 − (a/x 1 ) 2) 1/2

σ 11 = σ 22 − σ ∞

(4.1)

( σ∞

ε 22 =

E

) ( )

1 − ν

ν +

(1 − (a/x 1 ) 2 ) 1/2

(4.2)

( ) 4 a σ∞ (1

− Si 0 x 1 a [u 2 ] = 2u 2 =

− (x1 /a) 2) 1/2

E

(4.3)


60 CHAPITRE 4.

ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE

x 2

M

1

A’ A

r

A

θ

x

A : (0,a)

A’ : (0,-a)

Figure 4.1 – Plaque infinie en traction simple selon x 2

La formule du déplacement u 2 sur la frontière de la fissure montre que l’ouverture des

lèvres de la fissure est représentée par une ellipse. Le changement de variable x 1 = a + r

montre qu’il existe au voisinage de la pointe de fissure une singularité en r 1/2 lorsque r

tend vers 0.

σ 22 ∝ σ ∞ (a/2r) 1/2 (4.4)

Dans ce type de configuration un critère en contrainte ne peut pas servir de critère de

rupture puisque la contrainte est infinie en pointe de fissure alors qu’il existe une ténacité

non nulle qui caractérise une résitance à la propagation de fissure.

Pour pouvoir considérer différents types de conditions aux limites à l’infini, il est préférable

d’adopter une méthode asymptotique.

Solution asymptotique de Westergaard

Le problème précédent peut également être abordé en introduisant la ”fonction d’Airy”

Ψ(x 1 , x 2 ) telle que : σ 11 = Ψ, 22 ; σ 22 = Ψ, 11 ; σ 12 = Ψ, 12 . Les équations d’équilibre sont

alors automatiquement vérifiées. En élasticité linéaire, le report de ces égalités dans les

conditions de compatibilité 2 ε 12,12 = ε 11,11 +ε 22,22 conduit à chercher Ψ comme solution de

l’équation biharmonique ∆ ∆ Ψ = 0. Ce problème se résoud par la méthode des fonctions

complexes. On obtient ainsi la solution asymptotique au voisinage de la pointe de fissure

(Fig.4.2). Irwin a montré que le premier terme du développement limité est le même, à un

facteur multiplicatif près, pour tous les problèmes correspondant à un mode d’ouverture

donné. La sollicitation d’une fissure linéaire dans un milieu plan perpendiculairement à

son axe correspond au mode I ; on introduit ainsi le facteur d’intensité de contrainte en

mode I, K I ,tel que :

( √ )

K I = lim σ 22 2 π r (4.5)

r→0


4.2. MODES DE RUPTURE ET FACTEUR D’INTENSITÉ DES CONTRAINTES 61

Remarques

1. Dans ce type de configuration un critère en contrainte ne peut servir de critère de

rupture puisque la contrainte est inifie en pointe de fissure alors qu’il existe une

ténacité non nulle qui caractérise une résitance à la propagation de fissure.

2. L’unité de K I est le N.m −3/2 . On utilise couramment le MP a. √ m. Le facteur

d’intensité des contraintes dépend à la fois du matériau et de la géométrie.

3. La singularité en r permet à l’énergie de déformation élastique de rester finie en

pointe de fissure (le matériau ne devient pas localement indéformable) :

W e = 1 2


Ω

σ


: ε


dV ∝ 1 2


Ω

1

√ r

1 √r r dr dθ (4.6)

4. La comparaison de la solution précédente en θ = 0 et de la solution de Muskhelishvili

lorsque r tend vers 0 fournit l’expression de K I pour une fissure horizontale de

longueur 2a chargée selon x 2 à l’infini avec une contrainte σ ∞ :

Westergaard : σ 22 ∝ K I


2 π r

; Muskhelishvili : σ 22 ∝ σ ∞

√ a

2 r

(4.7)

K I = σ ∞

√ π a (4.8)

5. Il ne faut pas confondre K I avec K t facteur de concentration de contrainte, qui est

sans dimension, et qui caractérise le rapport entre la contrainte normale maximale

et la contrainte à l’infini au voisinage d’une entaille. Ainsi, au voisinage d’un défaut

elliptique de longueur 2a et de rayon de courbure ρ le facteur de concentration de

contrainte vaut :

K t = σ 22max /σ ∞ = 2 √ a/ρ (4.9)

Cette valeur peut se retrouver à l’aide de la solution de Muskhelishvili pour un trou

elliptique. La valeur de K t devient infinie lorsque le rayon ρ tend vers 0, ce qui n’est

bien sûr pas le cas de K I .

4.2.2 Autres modes de sollicitation

Le chargement étudié jusqu’à présent fait intervenir un champ de contrainte ”lointain”

comportant une seule composante, normale à la direction de la fissure, il s’agit du mode

d’ouverture, ou mode I. C’est celui qui est physiquement le plus important, puisqu’une

fissure en mode I se propage dans son propre plan, par raison de symétrie, sans bifurcation,

l’ouverture de la fissure conduisant facilement à la rupture. Dans le cas du mode II, le

champ lointain de sollicitation extérieure est un cisaillement perpendiculaire au front de

fissure (Fig.4.2.b), et dans le cas du mode III un cisaillement parallèle au front de fissure

(Fig.4.2.c).

Remarque

Dans le cas des matériaux anisotropes, il existe un couplage entre les différents modes

même pour les configurations les plus simples, comme la plaque en traction étudiée

précédemment. On définit alors un tenseur de facteurs d’intensité de contraintes :

K ij = lim

r→0

σ ij


2 π r (4.25)


62 CHAPITRE 4.

ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE

σ 11 =

K I

√ cos θ 2πr 2 (1 − sin θ 3θ

sin

2 2 ) (4.10)

a. Mode I : ouverture

σ 22 =

K I

√ cos θ 2πr 2 (1 + sin θ 3θ

sin

2 2 ) (4.11)

σ 12 =

K I

√ cos θ 2πr 2 sin θ 3θ

cos (4.12)

2 2

u 1 = K √

I r

2µ 2π cos θ 2 (κ−1+2 θ sin2 2 ) (4.13)

u 2 = K √

I r

2µ 2π sin θ 2 (κ+1−2 θ cos2 2 ) (4.14)

avec : κ = 3 − 4ν en déformations planes

et : κ = 3 − ν

1 + ν

en contraintes planes

(4.15)

(4.16)

b. Mode II : glissement dans le plan

σ 11 = − K II

√ sin θ 2πr 2 (2 + cos θ 3θ

cos

2 2 )

σ 22 =

σ 12 =

K II

√ sin θ 2πr 2 cos θ 3θ

cos

2 2

K II

√ cos θ 2πr 2 (1 − sin θ 3θ

sin

2

(4.17)

(4.18)

2 ) (4.19)

u 1 = K √

II r

2µ 2π sin θ 2 (κ + 1 + 2 θ cos2 2 )

(4.20)

u 2 = − K √

II r

2µ 2π cos θ 2 (κ − 1 − 2 θ sin2 2 )

(4.21)

σ 13 = − K III


2πr

sin θ 2

(4.22)

c. Mode III : glissement antiplan

σ 23 = K III


2πr

cos θ 2

u 3 = − 2K √

III r

µ 2π sin θ 2

(4.23)

(4.24)

Figure 4.2 – Les différents modes de fissuration et les champs singuliers associés


4.3. TAUX DE RESTITUTION D’ÉNERGIE 63

4.3 Taux de restitution d’énergie

4.3.1 Critère en énergie

Nous reprenons en partie la présentation faite dans [3] 1 exceptée la discussion très

intéressante sur l’unification en une théorie du problème d’amorçage et du problème de

propagation.

Pour introduire le critère en énergie proposé par Griffith, nous considérons une

structure élastique linéaire sous chargement quasi statique tant qu’il n’y a pas propagation

d’une fissure préexistante à l’état initial. A chaque étape du chargement, l’énergie

potentielle de la structure peut être définie comme étant l’énergie de déformation moins

le travail des efforts extérieurs depuis l’état initial. Cette énergie potentielle est notée F.

Nous pouvons également définir une énergie cinétique pour la structure, notée W a . Par

définition du chargement quasi statique avant rupture on a W a = 0 tant qu’il n’y a pas

eu de propagation de la fissure. Nous considérons la variation de ces énergies entre l’état

ultime avant propagation de la fissure et celui où la propagation a produit l’ouverture

d’une surface d’aire infinitésimale dA. dA est trés petit devant l’aire de la fissure initiale

A, d’où l’hypothèse relative à l’existence d’une fissure initiale. Selon Griffith, n’ayant pas

d’autre variation d’énergie dans la structure, le bilan de variation d’énergie s’écrit :

dF + dW a + G c dA = 0, (4.26)

où dF est la variation d’énergie potentielle produite par la propagation de la fissure sans

modification des conditions aux limites, et dW a est l’apparition d’énergie cinétique lors

de cette transformation. G c est une densité d’énergie par unité de surface. Son unité est

le joule/ m 2 . G c dA est l’énergie consommée par l’ouverture d’une fissure dont la surface

créée totale est dA. Notons que la surface créée par la propagation de la fissure est le

double de la surface sur laquelle est apparue un champ de déplacement discontinu, car

une fissure est composée de deux lèvres en vis à vis. L’état avant fissuration étant quasi

statique, dW a est l’énergie cinétique de la structure après propagation de la fissure. Donc

dW a ≥ 0. On en déduit donc la condition nécessaire suivante pour qu’il y ait propagation

selon le critère de Griffith :

− dF

dA ≥ G c (4.27)

Cette inéquation différentielle suppose l’existence d’une fissure initiale. Néanmoins, cette

hypothèse peut être contournée grâce à des résultats scientifiques rescents [3].

On note G le taux de restitution d’énergie :

G = − dF

(4.28)

dA

Il est calculable quel que soit l’état mécanique de la structure étudiée. Son unité est le

joule/ m 2 . Il s’agit de la variation de l’énergie potentielle totale F, résultat de la variation

de l’énergie élastique stockée dans la structure et de la variation d’énergie liée aux forces

extérieures. Pour les matériaux fragile, lorsque la fissure avance cela libère de l’énergie

potentielle, dont de l’énergie élastique. Ceci permet d’entretenir la création de surface en

pointe de fissure jusqu’à la rupture de la structure.

La frontière du domaine est partagée en 4 parties :

1. D., Leguillon, Strength or toughness A criterion for crack onset at a notch, European Journal of

Mechanics A/Solids, 2002, 21 ,61-72


64 CHAPITRE 4.

ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE

– une partie o‘u les déplacements sont imposés, notée S u ,

– une autre où les efforts sont imposés, notée S F ,

– auxquelles s’ajoute les deux lèvres de la fissure initiale A + et A − .

Pour le calcul du taux de restitution d’énergie, nous supposons qu’il y a pas contact entre

A + et A − , si bien qu’il n’y a pas d’effort ni sur A + ni sur A − . Si le matériau est élastique,

et dans le cas où les forces de volume sont négligées, l’expression de l’énergie potentielle

se réduit à deux termes, le premier correspondant à l’énergie de déformation élastique

(dans le volume Ω du solide), et le second correspondant au travail des forces extérieures

appliquées en surface, (force F d sur les frontières où la force est imposée S F ) :

F = 1 ∫


σ

2 ∼

: ε


dV − F d . u dS (4.29)

Ω

S F

L’application du théorème de la divergence au terme volumique permet de le transporter

en surface, le terme obtenu se partageant ensuite sur les surfaces à force et déplacement

imposés (u d ) :


1

σ

2 ∼

: ε


dV = 1 ∫

F . u dS = 1 ∫

F d . u dS + 1 ∫

F . u d dS + 1 ∫

F . u dS

Ω 2 S 2 S F

2 S u

2 A + ∪A − (4.30)

Le calcul de G s’effectue par simple dérivation à partir de la nouvelle expression de l’énergie

potentielle :

F = 1 ∫

F . u d dS − 1 ∫

F d . u dS (4.31)

2 S u

2 S F

et :

G = 1 2


S F

F d . ∂u

∂A dS − 1 ∫

2 S u

∂F

∂A . ud dS (4.32)

L’étendue de la fissure initiale a une incidence sur le champ de déplacement et l’effort

de réaction sur le bord S u . Le taux de restitution d’énergie capte la sensibilité des champs

u et F aux variations de A.

4.3.2 Cas d’une charge ponctuelle

Dans le cas particulier où il n’y a qu’une charge ponctuelle, les expressions se simplifient

en introduisant la raideur R de la structure ou sa complaisance C . La force F et le

déplacement U deviennent alors ponctuels et : F = R U ; U = C F . L’avancée de fissure

peut se schématiser par une perte de raideur comme en figure 4.3, selon que l’avancée se

fait à déplacement imposé (Fig.4.3a) ou à force imposée (Fig.4.3b).

Dans chaque cas l’expression de G devient :

– à déplacement imposé (F d = 0), comme F = R U d :

G= − 1 2

= − 1 2


∂F

S u

∂A . ud dS (4.33)

( ) d R

d A U d . U d = − 1 ( ) F

2 d R

(4.34)

2 R 2 d A

(4.35)


4.3. TAUX DE RESTITUTION D’ÉNERGIE 65

F

F

F

M

0

a. Force imposée

U

0

H

U d

b. Déplacement imposé

U

Figure 4.3 – Evaluation de l’énergie mise en jeu lors d’une avancée de fissure

– à force imposée (u d = 0), comme U = C F d :

G= 1 ∫

F . ∂u dS (4.36)

2 S F

∂A

= 1 ( ) d C

2 F d .

d A F d (4.37)

Les deux cas aboutissent formellement à la même expression :

(4.38)

G = 1 2 F 2 dC

dA

(4.39)

Il faut néanmoins noter que l’évolution de la force n’est pas la même (chute de force lors

de l’avancée de fissure à déplacement imposé, la structure devenant plus souple, et bien

entendu force constante à force imposée, avec augmentation du déplacement résultant).

L’énergie récupérable dans le cas du déplacement imposé est finie (égale à l’aire du triangle

OMH), si bien que G va décroître avec la progression de fissure, et que la fissure pourra

éventuellement s’arrêter. Ces expressions sont utilisées pour mesurer expérimentalement

G.

4.3.3 Quelques valeurs critiques de G

Le verre et les céramiques ont des valeurs très faibles du taux de restitution d’énergie

critique, de l’ordre de 10 J/ m 2 . Viennent ensuite les résines fragiles, avec des valeurs de

l’ordre de 100 à 500 J/ m 2 . Les composites verre–résine possèdent des valeurs de l’ordre

de 7000 J/ m 2 , ce qui les place au voisinage des alliages d’aluminium (20000 J/ m 2 ). Les

matériaux les plus résistants à la déchirure sont les aciers (100 kJ/ m 2 ), et, bien entendu,

les métaux purs (100–1000 kJ/ m 2 ).


66 CHAPITRE 4.

ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE

x 2

x 1

0

0’

a

∆ a

Figure 4.4 – Opération de refermeture de fissure pour le calcul de la relation K–G

4.3.4 Critère de propagation en mode I

Il est possible de trouver la relation entre les facteurs d’intensité des contraintes et G.

Nous nous limitons ici au cas du mode I, en évaluant le travail nécessaire pour refermer une

fissure de longueur a+∆a, comme indiqué en figure 4.4. Il s’agit d’exprimer que la densité

d’effort sur le segment OO ′ passe de 0 lorsque la fissure est en O ′ à σ 22 lorsque la fissure

est en O, alors que dans le même temps l’ouverture passe de u 2 à 0. Le résultat obtenu

est : G = K I 2 (k + 1) /8 µ avec k = 3 − 4ν en déformations planes, et k = (3 − ν)/(1 − ν)

en contraintes planes, soit :

Contraintes planes : G = K I 2 /E (4.40)

Déformations planes : G = (1 − ν 2 )K I 2 /E (4.41)

Pour effectuer la démonstration des formules précédentes, le taux de restitution

d’énergie est pris sous la forme :

G = 1 ∫

F d . ∂u dS (4.42)

2 ∂A

Le calcul consiste à évaluer, par unité d’épaisseur :

Formule d’Irwin

G. ∆a = 1 2

S F

∫ a+∆a

Les relations générales sont, en cas de mélange des modes :

a

σ 22 (O) u 2 (O ′ ) dx 1 (4.43)

Contraintes planes : G = 1 E (K I 2 + K II 2 ) (4.44)

Déformations planes :

G = 1 − ν2

E (K I 2 + K II 2 ) (4.45)


4.4. ANALYSE DE L’ÉTAT DE CONTRAINTE TRIDIMENSIONNEL 67

x2

x x

3 1

Figure 4.5 – Etat de contrainte tridimensionnel en pointe de fissure

Ténacité d’un matériau : K IC

Pour un matériau isotrope ayant une fissure sollicitée uniquement en mode I, la

résistance du matériau est caractérisée par sa ténacité (Toughness en Anglais) notée K IC .

Elle intervient dans le critère d’Irwin ci-dessous :

– K I ≤ K IC ,

– si K I < K IC il n’y a pas de propagation de la fissure,

– si K I = K IC il y a propagation possible de la fissure.

La ténacité est mesurée à l’aide d’éprouvettes CT ou SENB.

4.4 Analyse de l’état de contrainte tridimensionnel

Après avoir examiné le problème d’élasticité bidimensionnelle, il est utile de considérer

l’état de contrainte 3D qui s’établit dans les structures.

– Dans les structures épaisses (exemple de l’éprouvette de la figure 4.5.a), l’état

de contrainte est triaxial, et 0 < σ 11 < σ 33 < σ 22 . Les directions de glissement

préférentielles sont donc dans le plan de cisaillement maximum, x 1 − x 2 , si bien que

l’éprouvette périt ”par l’arrière” de la fissure.

– Dans les structures minces (exemple de l’éprouvette de la figure 4.5.b), la

composante 33 du tenseur de contrainte est négligeable (0 < σ 33 < σ 11 < σ 22 ),

si bien que le plan de cisaillement maximum est maintenant le plan x 2 − x 3 , et que

l’épaisseur de la structure va diminuer au devant de la fissure, provoquant la ruine

par amincissement exagéré.

4.5 Quelques compléments

En fonction du chargement et du matériau considérés, si le milieu est globalement

plastique ou viscoplastique, l’étude est du ressort de la mécanique non linéaire de la

rupture, ou encore de l’approche locale, dans laquelle il est fait une description aussi

précise que possible de l’état de contrainte et de déformation en pointe de fissure à l’aide

de modèles de comportement non linéaires. Si au contraire la plasticité est absente ou reste

très confinée, les théories qui permettent de traiter le problème considèrent le matériau


68 CHAPITRE 4.

ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE LINÉAIRE DE LA RUPTURE

comme élastique partout : c’est la mécanique linéaire de la rupture, qui est considérée

dans ce chapitre.

Les dates principales qui marquent le développement de la mécanique de la rupture

sont 1920, lorsque Griffith montre que la rupture d’un milieu élastique-fragile peut être

caractérisée par une variable globale, qui sera appelée plus tard le taux de restitution

d’énergie, et 1956, lorsque, à partir de l’étude des singularités du champ de contrainte,

Irwin introduit la notion de facteur d’intensité des contraintes. Les années 1960-1980 sont

celles de l’essor puis de la maturité de la mécanique de la rupture, avec en particulier les

développements numériques et le traitement des problèmes non linéaires. Les ouvrages de

références les plus anciens sont épsuisés [10], mais il existe une abondante littérature issue

des laboratoires français [2, 8, 9, 6].


Chapitre 5

Introduction à la théorie de stabilité

des systèmes conservatifs

Ce chapitre s’inspire très largement de Stabilité et mécanique non linéaire, de Quoc-

Son Nguyen, publié dans la série Etudes en mécanique des matériaux et des structures,

chez Hermes, en 2000.

5.1 Evolution et stabilité

La rupture fragile est une instabilité au cours de laquelle l’énergie potentielle est

transformée en énergie de surface. C’est une instabilité car avant la rupture aucune

variable observable n’indique qu’une petite perturbation aura l’effet non négligeable qu’est

la rupture.

Dans ce chapitre, nous présentons une approche de la stabilité pour des systèmes élastiques

ou hyperélastiques, sans que l’énergie potentielle ne soit tranformé en une autre énergie

que l’énergie cinétique. Dans ce cadre, pour qu’une petite pertubation est un effet non

négligeable, il faut envisager l’étude de problème non-linéaires. Ainsi, nous considérons ici

des problèmes élastiques sans négliger l’effet des rotations de la matière.

Pour les structures élancées, les grandes rotations font que les équations d’équilibre

dans la configuration déformée diffères des conditions d’équilibre linéarisées pour des

transformations infinitésimales.

L’objet de ce cours est d’enseigner les notions utiles pour affirmer de façon concise qu’un

état d’équilibre stable correspond à un minimum local de l’énergie potentielle, sachant

que les états d’équilibre rendent stationnaire cette énergie.

Sur le plan théorique, la stationnarité d’une énergie potentielle peut conduire à plusieurs

états d’équilibre. Mais en réalité, certaines configurations d’équilibre ne sont pas

observables, on pourrait dire qu’elle n’existent pas physiquement, du fait qu’elles sont

instables. Malheureusement, elles sont solutions des équations d’équilibre. L’ingénieur

doit donc se poser la question suivante : l’équilibre calculé est-il stable Négliger ce

questionnement peut conduire à de graves accidents.

Nous abordons le problème de stabilité en étudiant les systèmes dynamiques conservatifs

(élasticité sans frottement). L’équilibre est vu comme un cas particulier de solution des

équations de la dynamique du système, en régime stationnaire (en oubliant l’effet des

69


70CHAPITRE 5. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVAT

conditions initiales).

On suppose ici que l’énergie potentielle F est différentiable. Comme application de ce

cours nous considèrerons le flambage d’une poutre.

5.1.1 Dynamique des milieux continus

Pour analyser les états hors équilibre en mécanique des milieux continus, nous devons

utiliser le principe fondamental de la dynamique. Nous le faisons ici sous la forme

du principe des travaux virtuels. Il faut alors introduire le travail virtuel des termes

d’accélération δW a .

Ici, le déplacement en tout point de Ω est une fonction du temps : (x ∈ Ω, t) → u,

avec t 0. Par définition, on a :


δW a =

Ω

ρ ü u ′ dΩ, u ∈ V, u ′ ∈ V (5.1)

où V est l’espace vectoriel des déplacements cinématiquement admissibles à zéro. Cet

espace permet d’écrire rigoureusement que les déplacements sont des champs suffisamment

continus et qu’il vérifient des conditions aux limites nulles aux endroits où les déplacements

sont imposées.

Le Principe fondamental de la dynamique s’écrit :

δW a = δW int + δW ext ∀ u ′ ∈ V (5.2)

Propriété des systèmes conservatifs : Il existe une énergie potentielle F telle que,

δW int + δW ext = −F ,u (u)[u ′ ] ∀ u ′ ∈ V (5.3)

où F ,u (u)[u ′ ] est la différentielle de F évaluée en u. Cette différentielle est par définition

linéaire en u ′ (que l’on aurrait pu noter du et dont les valeurs sont indépendantes de

vectu).

Pour la suite de ce chapitre nous faisons l’hypothèse suivante : l’énergie potentielle F est

indépendante du temps.

Pour les systèmes conservatifs, les équations de mouvement s’écrivent sous la forme

du problème suivant : Trouver u ∈ V tel que


ρ ü u ′ dΩ + F ,u (u)[u ′ ] = 0 ∀ u ′ ∈ V (5.4)

Ω

u(x, t = 0) = u ini (x) ∀x ∈ Ω (5.5)

˙u(x, t = 0) = v ini (x) ∀x ∈ Ω (5.6)

Définition : Une position d’équilibre u e est indépendante du temps. Elle vérifie

nécessairement :

F ,u (u e )[u ′ ] = 0 ∀ u ′ ∈ V (5.7)


5.1. EVOLUTION ET STABILITÉ 71

5.1.2 Stabilité d’un équilibre

Une position d’équilibre u e est stable si une petite perturbation des données initiales

(u t=0 = u e , ˙u t=0 = 0) n’entraine qu’une faible évolution dynamique autour de l’équilibre.

Supposons que l’on connaisse une mesure de la distance entre u e et le déplacement

pertubé u. Notons d(t) cette distance qui évolue dans le temps.

Définition : Une position d’équilibre u e est stable si et seulement si,

∀ɛ > 0 il existe α tel que d(0) < α ⇒ d(t) < ɛ ∀t > 0. (5.8)

Il est alors possible de choisir une perturbation initiale pour qu’à chaque instant l’effet

de cette perturbation soit borné par une borne donnée, quelle qu’en soit sa valeur.

La notion de stabilité dépend de la définition de d.

5.1.3 Equation de mouvement linéarisée

La perturbation initiale étant supposée petite, nous considérons un développement de

Taylor au premier ordre de l’équation de mouvement autour de la position d’équilibre u e .

On introduit la différence φ = u − u e .

On obtient l’équation linéarisée suivante :


Ω

ρ ¨φ u ′ dΩ + F ,uu (u e )[u ′ , φ] = 0 ∀ u ′ ∈ V (5.9)

C’est une équation différentielle en temps ”à coefficients” constants. On cherche φ à

l’aide d’une méthode de séparation des variables d’espace et de temps :

φ(x, t) = e s t ψ(x) (5.10)

On obtient le problème aux valeurs propres suivant : Trouver les solutions (ψ, s) tel

que,


s 2 ρ ψ u ′ dΩ + F ,uu (u e )[u ′ , ψ] = 0 ∀ u ′ ∈ V (5.11)

Ω


s 2 = − F ,uu(u e )[ψ, ψ]

∫Ω ρ ψ ψ dΩ (5.12)

Il y a une suite dénombrable de solutions (ψ k

, s k ) k=1...∞ . ψ k

est appelé mode propre du

système. Les modes propres forment une base orthogonale de V.

Ce problème est un problème de vibrations libres qui se distingue du problème usuel

car il s’agit de vibrations libres autour d’un état qui n’est pas nécessairement l’état naturel.


72CHAPITRE 5. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVAT

5.2 Théorème de Lyapunov

A chaque mode propre ψ k

on associe une valeur propre s k définie par :

s 2 k = − F ,uu(u e )[ψ k

, ψ k

]


ρ ψ ψ dΩ

Ω k k

Il alors possible de reconstruire la solution en déplacement du problème linéarisé, en

utilisant la base modale :

∞∑

∃ a k ∈ C , u = u e + a k e s k t ψ k

(x) pour le problème linéarisé

k=1

où les coefficients a k sont identifiés pour satisfaire les conditions initiales de la

perturbation.

– Si R(s k ) < 0 pour tout k, l’équilibre est asymptotiquement stable.

– S’il existe un indice k tel que R(s k ) > 0 alors l’équilibre est instable. Dans ce cas

F ,uu (u e )[ψ k

, ψ k

] < 0.

– Si R(s k ) 0 pour tout k et s’il existe au moins un indice k tel que R(s k ) = 0 alors

on ne sait pas conclure.

En mécanique, le premier cas n’est possible qu’en présence de dissipation mécanique,

ce qui n’est pas le cas des systèmes conservatifs.

5.3 Cas d’une énergie potentielle strictement convexe

localement

L’énergie potentielle est strictement convexe localement en u e , si et seulement s’il

existe un voisinage V e de ce point tel que :

∀ u ′ ∈ V e F(u ′ ) − F(u e ) − F ,u (u e )[u ′ − u e ] > 0 (5.13)

En utilisant un développement de Taylor à l’ordre 2, avec u ′ = u e + α ψ, on obtient :

∀ψ F ,uu (u e )[ψ, ψ] > 0

Donc si lénergie potentielle est strictement convexe localement, alors R(s k ) = 0 pour tout

k et on ne sait pas conclure au sujet de la stabilité, à l’aide du théorème de Lyapunov.

5.3.1 Théorème de Lejeune Dirichlet

Théorème de Lejeune-Dirichlet : L’équilibre est stable,

– s’il correspond à un minimum local de l’énergie potentielle,

∀ u ′ ∈ V e , u ′ ≠ u e , F(u ′ ) > F(u e ) (5.14)

– si l’énergie potentielle est différentiable jusqu’au deuxième ordre,

∀ u ′ ∈ V e F(u ′ ) − F(u e ) = F ,uu (u e )[u ′ − u e , u ′ − u e ] + o(‖u ′ − u e ‖ 2 ) (5.15)


5.3. CAS D’UNE ÉNERGIE POTENTIELLE STRICTEMENT CONVEXE LOCALEMENT73

– si la seconde variation est coercive dans V (s’il n’y a pas de mode de bifurcation),

∃ γ > 0, ∀ ψ ∈ V e F ,uu (u e )[ψ, ψ] > γ ∥ ∥ ψ

∥ ∥

2

(5.16)

– si les déplacements perturbés sont suffisamment réguliers.

Ce théorème vient compléter le théorème de Liapunov.

Pour la démonstration de ce théorème, nous devons introduire l’énergie totale du

système, noté E T , et la propriété de conservation de cette énergie pour les systèmes

conservatifs.

5.3.2 Conservation de l’énergie totale

Définition : L’énergie totale du système mécanique est la somme de l’énergie cinétique

et de l’énergie potentielle.

E T (u, ˙u) = 1 2


Ω

ρ ˙u ˙u dΩ + F(u) (5.17)

Propriété : Pour les systèmes conservatifs, l’énergie totale est constante au cours du

temps.

E T (u, ˙u) = E T (u ini , ˙u ini ) ∀t ≥ 0 (5.18)

avec


Ω

E T (u, ˙u) = 1 2


Ω

ρ ˙u ˙u dΩ + F(u)

ρ ü u ′ dΩ + F ,u (u)[u ′ ] = 0

∀ u ′ ∈ V

Faisons le calcul de la dérivée en temps de l’énergie totale.

d

dt E T (u, ˙u) = 1 ∫

d

2 Ω dt (ρ ˙u ˙u) + (ρ ˙u ˙u) div( ˙u) dΩ + F ,u(u)[ ˙u] (5.19)

d

Or, il y a conservation de la masse : ρ + ρ div( ˙u) = 0, donc :

dt


d

dt E T (u, ˙u) = ρ ü ˙u dΩ + F ,u (u)[ ˙u] (5.20)

Or ˙u ∈ V, donc du fait que l’équation de mouvement est vérifiée on obtient :

L’énergie totale est bien conservée au cours du temps.

Ω

d

dt E T (u, ˙u) = 0 (5.21)


74CHAPITRE 5. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVAT

5.3.3 Eléments de démonstration du théorème de Lejeune

Dirichlet

Si l’on admet que l’énergie potentielle est différentiable jusqu’au deuxième ordre, alors

dans un voisinage de u e on a :

∀u e ∈ V e E T (u, ˙u)−E T (u e , ˙u e = 0) = 1 ∫

ρ( ˙u− ˙u

2

e ) 2 dΩ+ 1 2 F ,uu(u e )[u−u e , u−u e ]+o(‖u − u e ‖ 2 )

Si la seconde variation est coercive dans V :

∀u e ∈ V e d(t) = 1 ∫

ρ ( ˙u − ˙u

2

e ) 2 + 1 2 F ,uu(u e )[u − u e , u − u e ] > 0

et d(t) = 0 si et seulment si u = u e .

Ω

Ω

Si l’on suppose o(‖u ′ − u e ‖ 2 ) négligeable, alors la conservation de l’énergie totale

donne :

d(t) = d(0)

Donc pour avoir d(t) < ɛ

est stable.

∀t > 0, il suffit de prendre d(0) < ɛ pour tout ɛ. Donc l’équilibre

Il existe des démonstrations rigoureuses ne reposant pas sur un développement de

Taylor à l’ordre 2.

5.4 Critère de seconde variation

Si les conditions 1 et 2 du théorème de Lejeune Dirichlet sont vérifiées on obtient :

le critère de seconde variation : Si,

alors l’équilibre est stable.

∀ ψ ∈ V, ψ ≠ 0 F ,uu (u e )[ψ, ψ] > 0 (5.22)

Remarques : Si ∃ψ ≠ 0, ψ ∈ V F ,uu (u e )[ψ, ψ] = 0 alors la condition de bifurcation

est vérifiée. L’étude des bifurcations n’est pas traitée dans ce cours. Pour les sollicitations

quasistatiques, avec un chargement évolutif, le passage d’un point de bifurcation peut

générer un changement de stabilité de l’équilibre.

5.5 Synthèse

L’étude de la seconde variation de l’énergie potentielle permet les conclusions

suivantes :

– si ∀ψ k

∈ V F ,uu (u e )[ψ, ψ] > 0 le théorème de Lejeune Dirichlet nous permet

d’affirmer que la position d’équilibre u e est stable ;


5.6. ANALYSE DE LA STABILITÉE D’UNE BARRE ARTICULÉE PAR LE CRITÈRE DE SECONDE

Configuration déformée

u

Configuration initiale

L

F

Figure 5.1 – Paramétrage cinématique et géométrique.

– s’il existe ψ k

∈ V tel que F ,uu (u e )[ψ, ψ] = 0 alors il peut y avoir bifurcation de la

courbe d’équilibre,

– s’il existe ψ k

∈ V tel que F ,uu (u e )[ψ, ψ] < 0 alors the théorème de Lyapunov nous

permet d’affirmer que la position d’équilibre est instable.

5.6 Analyse de la stabilitée d’une barre articulée par

le critère de seconde variation

On considère une barre indéformable soumise à de la compression. Cette barre est

articulée à l’une de ses extrémitées comme représenté sur la Figure 5.1. Un ressort de

torsion permet de ramener cette barre à l’horizontal lorsqu’aucun effort ne lui ait appliqué.

Son poid est négligé dans cette analyse. Il s’agit d’étudier la stabilité d’un état d’équilibre

sachant que la barre peut pivoter. La longueur de la barre est noté L. La force extérieure

de compression est noté F . Nous rappelons que l’énergie de déformation d’un ressort est

de la forme 1 2 k u2 , ici k est la raideur de torsion du ressort.

Notons u l’angle de rotation pour conserver les notations introduites dans ce cours pour

les paramètres cinématiques. Du fait de la rotation, le travail de la force extérieure est :

L’expression de l’énergie potentielle est donc la suivante :

W ext = L (1 − cos(u)) F (5.23)

F(u) = 1 2 k u2 − L (1 − cos(u)) F (5.24)

La différentielle de F s’obtient par un calcul différentiel classique :

La condition d’équilibre est donc :

F ,u (u)[u ′ ] = u ′ (k u − L sin(u) F ) (5.25)

k u − L sin(u) F = 0 (5.26)

Pour rechercher les solutions en u de la condition d’équilibre, il faut étudier la fonction

g(u) =

k u − sin(u). On a : g L F ,u =

k − cos(u). Discussion : Si F < k alors g est une

L F L

fonction croissante. Dans ce cas seul g(0) est nul. Il n’y a d’un état d’équilibre u e = 0, qui

correspond à la configuration horizontale. Si F ≥ k il y a plusieurs états d’équilibre.

L


76CHAPITRE 5. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVAT

*

* *

Figure 5.2 – Description du champ de déplacement.

Lorsque l’on augment progressivement l’intensité de la charge, F atteint une charge F c =

k

au-delà de laquelle plusieurs positions d’équilibre sont possibles. Il est donc légitime

L

d’étudier la stabilité de l’équilibre horizontal. Pour cela on calcule la seconde variation de

l’énergie potentielle :

Donc :

F ,uu (u) = k − L cos(u) F (5.27)

F ,uu (u e = 0) = k − L F (5.28)

Discussion : Si F < F c alors la configuration horizontale est stable, elle l’est notamment

en traction quel que soit l’intensité du chargement (car F < 0 dans ce cas). Si F = F c il

y a bifurcation de la courbe d’équilibre. Si F > F c l’équilibre horizontal est instable. F c

est la charge critique de compression de la barre.

5.7 Analyse du flambage d’une poutre par le critère

de seconde variation de l’énergie potentielle

5.7.1 Une méthode d’analyse qui procède par étapes

Les étapes de l’analyse mécanique du flambage par le critère de seconde variation sont

les suivantes :

– Choisir une description cinématique,

– choisir l’expression de l’énergie potentielle (donc des lois de comportement et les

conditions aux limites),

– écrire les conditions d’équilibre,

– trouver une courbe d’équilibre en cheminant à partir de l’état naturel,

– écrire la condition de bifurcation,

– analyser le signe de la seconde variation de l’énergie potentielle pour la position

d’équilibre courante.

Remarque : Il est également possible de considérer l’équilibre d’une configuration

perturbée par un champ de déplacement transverse. C’est le problème d’Euler dont la

résolution est proposée plus loin.


5.7. ANALYSE DU FLAMBAGE D’UNE POUTRE PAR LE CRITÈRE DE SECONDE VARIATION D

5.7.2 Paramétrage et hypothèses

Nous considérons une poutre mince. Nous choisissons ici la cinématique du modèle de

Navier-Bernoulli.

u = u 1 (x 1 , x 3 ) x 1 + u 3 (x 1 , x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (5.29)

u 1 = U(x 1 ) + θ(x 1 )x 3 u 3 = V (x 1 ) V ,1 + θ = 0 (5.30)

Les non-linéarités géomètriques sont prises en compte à l’aide du tenseur de Green-

Lagrange E


:

E


= 1 2 (F ∼ T F


− I


) (5.31)

E ij (u) = ε ij (u) + 1 2 q ij(u, u) (5.32)

ε ij (u) = 1 2 (u i,j + u j,i ) (5.33)

q ij (u, u) = u k,i u k,j (5.34)

F(u, λ) = 1 ∫

E

2 ∼

: C


: E


dΩ − W ext (u, λ) (5.35)

Ω 0

Les déformations sont supposées suffisamment petites pour considérer que l’énergie de

déformation est quadratique en E


. C


est le tenseur de Hooke. Ω 0 est le domaine occupé

par la poutre à l’état initial. Après calcul nous obtenons :



( )

U ,1 − V ,11 x 3 0 0

ε.. = ⎝ 0 0 0⎠ (5.36)

0 0 0



( )

(U ,1 − V ,1 x 3 ) 2 + V,1 2 0 U ,1 V ,1

q.. = ⎝ 0 0 0 ⎠ (5.37)

U ,1 V ,1 0 V,1

2

On suppose que les déformations longitudinales sont faibles (U ,1 ) et que l’effet du

pincement de la poutre (q 33 ) est négligeable. Le terme en x 2 3 de q est supposé négligeable


(poutre mince). On obtient la forme classique suivante pour les termes non linéaires de

E


:

⎛ ⎞

( )

V,1 2 0 0

q.. = ⎝ 0 0 0⎠ (5.38)

0 0 0

Après intégration dans les sections droites S on obtient :


F(u) = ( 1

C 0

2 E S (U ,1 + 1 2 V ,1) 2 2 + 1 2 E I V ,11) 2 dx 1 − W ext (u, λ) (5.39)

Il apparaît clairement une contribution non quadratique en (U, V ) due aux rotations avec

le terme en V ,1 . Le paramètre scalaire λ permet de piloter l’intensité du chargement. Dans

le cas d’un chargement ponctuel en un seul point et dans une seule direction, ce paramètre

se confond avec la charge appliquée.


78CHAPITRE 5. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVAT

5.7.3 Condition d’équilibre

Soit une poutre droite de section S et de longueur initiale L, soumise à une force de

compression λ > 0 en x 1 = L, en appui simple en x 1 = 0 et x 1 = L. Les sections sont

constantes et le matériau est homogène dans les sections.

On a : W ext = −λ U(L), U(0) = 0, V (0) = 0, V (L) = 0.

Et : δU(0) = 0, δV (0) = 0, δV (L) = 0

On obtient donc :


F(u, λ) = ( 1

C 0

2 E S (U ,1 + 1 2 V ,1) 2 2 + 1 2 E I V ,11) 2 dx 1 + λ U(L) (5.40)


F(u, λ) = ( 1

C 0

2 E S (U ,1 + 1 2 V ,1) 2 2 + 1 2 E I V ,11) 2 dx 1 + λ U(L)

L’équation d’équilibre est donnée par :

∫ L

0

(E S (U ,1 + 1 2 V 2

,1) (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) + E I δV ,11 V ,11 ) dx 1 + λ δU(L) = 0 ∀δU δV (5.41)

Avec par définition des efforts intérieurs :


N = σ 11 dS = E S (U ,1 + 1 ∫

2 V ,1), 2 M =

S

S

x 3 σ 11 dS = −E I V ,11

On obtient :

∫ L

(N (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) − M δV ,11 ) dx 1 + λ δU(L) = 0 ∀δU δV (5.42)

0

Première intégration par partie :

N(L)δU(L)−M(L)δV ,1 (L)+M(0)δV ,1 (0)−

On pose Q = N V ,1 + M ,1 .

∫ L

N ,1 δUdx 1 +

∫ L

0

0

NV ,1 δV ,1 +M ,1 δV ,1 dx 1 +λδU(L) = 0

(5.43)

∀δU

N(L)δU(L)−M(L)δV ,1 (L)+M(0)δV ,1 (0)−

∫ L

N ,1 δUdx 1 +

∫ L

0

0

QδV ,1 dx 1 +λδU(L) = 0

(5.44)

∀δUδV

Deuxième intégration par partie :

N(L)δU(L)−M(L)δV ,1 (L)+M(0)δV ,1 (0)−

∫ L

N ,1 δUdx 1 −

∫ L

0

0

Q ,1 δV dx 1 +λδU(L) = 0

(5.45)

∀δUδV


5.7. ANALYSE DU FLAMBAGE D’UNE POUTRE PAR LE CRITÈRE DE SECONDE VARIATION D

Donc :

N ,1 = 0, Q ,1 = 0, N(L) = −λ, M(0) = 0, M(L) = 0

N ,1 = 0, Q ,1 = 0, Q = N V ,1 + M ,1 , N(L) = −λ, M(0) = 0, M(L) = 0

N = E S (U ,1 + 1 2 V 2

,1), M = −E I V ,11

Solution triviale pour une courbe d’équilibre passant par l’état naturel (N(λ = 0) =

0, M(λ = 0) = 0, M ,1 (λ = 0) = 0).

Il s’agit d’un état de compression avec de faibles déformations linéaires

Rappel :

F ,u (u, λ)[δu] =

∫ L

0

5.7.4 Etude de bifurcation

U e = − λ

E S x 1, V e = 0 ∀x 1 ∈ [0, L] ∀λ (5.46)

(E S (U ,1 + 1 2 V 2

,1) (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) + E I δV ,11 V ,11 ) dx 1 + λ δU(L) (5.47)

Le calcul de la seconde variation de l’énergie potentielle, avec φ = (U φ , V φ ), donne :

F ,uu (u, λ)[δu, φ] =

∫ L

Au point d’équilibre u e (λ) = (− λ x E S 1, 0) on a :

F ,uu (u e , λ)[δu, φ] =

0

(E S (U φ,1 + V φ,1 V ,1 ) (δU ,1 + δV ,1 V ,1 ) (5.48)

+ E S (U ,1 + 1 2 V 2

,1) δV ,1 V φ,1 (5.49)

+ E I δV ,11 V φ,11 ) dx 1 (5.50)

∫ L

S’il existe, le mode de bifurcation ψ est donné par :

0

(E S U φ,1 δU ,1 (5.51)

− λ δV ,1 V φ,1 (5.52)

+ E I δV ,11 V φ,11 ) dx 1 (5.53)

F ,uu (u e , λ c )[δu, ψ] = 0 ∀ δU δV (5.54)

Pour le problème étudié on trouve la condition suivante, avec ψ = (U ψ , V ψ ) :

∫ L

avec U ψ (0) = 0, V ψ (0) = 0, V ψ (L) = 0.

0

(E S U ψ,1 δU ,1 (5.55)

− λ δV ,1 V ψ,1 (5.56)

+ E I δV ,11 V ψ,11 ) dx 1 = 0 ∀δU δV (5.57)

On trouve : λ c = π2

L 2 E I , U ψ = 0, V ψ = B sin(π x 1

L

)


80CHAPITRE 5. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVAT

5.7.5 Analyse de stabilité du flambage, critère de seconde

variation

On obtient alors, pour U ψ = 0, V ψ = B sin(π x 1

L

) :

F ,uu (u e , λ)[ψ, ψ] =

∫ L

0

( λ2 c

E I B2 sin 2 (π x 1

L ) (5.58)

− λ λ c

E I B2 cos 2 (π x 1

L )) dx 1 (5.59)

F ,uu (u e , λ)[ψ, ψ] = λ c

E I B2 L 2 (λ c − λ) (5.60)

Pour λ < λ c , F ,uu (u e , λ)[ψ, ψ] > 0, l’équilibre est stable (Théorème de Lejeune

Dirichlet).

Pour λ = λ c , F ,uu (u e , λ)[ψ, ψ] = 0, il y a bifurcation.

Pour λ > λ c , F ,uu (u e , λ)[ψ, ψ] < 0, l’équilibre est instable (Théorème de Lyapunov).

On en déduit que λ c est la charge critique de flambage de la poutre en compression.

5.8 Analyse du flambage par l’étude de l’équilibre

d’une configuration déformée

L’ensemble des développements qui sont montrés par ailleurs dans cette section

utilisent une hypothèse de petites perturbations, soit à la fois des petites déformations et

de petits déplacementss : les déformations sont calculées en utilisant la partie symétrique

du tenseur gradient de déplacement, donc sans considérer les termes de plus haut degré,

et les calculs sont effectués sur la configuration initiale. En élasticité, les relations qui

sont écrites sont toutes linéaires, ce qui conduit entre autres à appliquer le ”principe”

de superposition pour combiner l’effet de plusieurs chargements. L’application effectuée

dans ce paragraphe nous amène à introduire les efforts non plus sur la configuration

initiale, mais sur la configuration déformée. Ceci introduit une non-linéarité, si bien que les

relations force–déplacement ne seront plus linéaires, et que l’on ne pourra plus appliquer

le principe de superposition.

Le flambage (ou le flambement) est un phénomène d’instabilité qui apparaît sur

les poutres longues, les plaques et les coques minces, et qui conduit à des modes de

déformation catastrophiques. Ainsi une plaque ou une coque se met-elle ”en accordéon”.

Une poutre droite flambe en compression lorsque sa ligne neutre ne reste pas droite. La

force au-delà de laquelle le risque est avéré est la force critique de flambement. Sa valeur

dépend étroitement du module du matériau qui constitue la poutre, de la forme de la

section droite, de la longueur de la poutre, mais aussi des conditions aux limites (poutre

sur appui simple ou encastrée).

5.8.1 Forme générale

On considère une poutre droite de longueur l le long de l’axe x 1 , et de section S. Elle est

constituée d’un matériau élastique de module E. Elle est chargée à ses extrémités avec une

force −F , dans l’axe de la poutre (on suppose F > 0). Dans un monde parfait, l’état de


5.8. ANALYSE DU FLAMBAGE PAR L’ÉTUDE DE L’ÉQUILIBRE D’UNE CONFIGURATION DÉFO

déformation est de la compression simple, la déformation axiale est uniforme sur l’ensemble

de la poutre, de valeur F/ES. Il en est tout autrement si on considère que la ligne neutre

de la poutre peut ne pas rester droite. Les raisons pour cela peuvent être une petite

perturbation de l’équilibre, ou un défaut initial. Si on considère que la force s’applique

sur une configuration déformée qui n’est plus le segment de droite théorique initial, la

force axiale va développer un moment de flexion, et la poutre va se déformer en flexion

autour d’un axe perpendiculaire à x 1 . On note I le moment quadratique correspondant.

La déformée est donc caractérisée par la flèche V (x 1 ), et il est naturel de négliger le

déplacement axial devant celle-ci, ce qui explique que l’approche considère une poutre

inextensible. La donnée de la flèche permet d’obtenir l’expression du moment en x 1 ,

qui est égal à F V (x 1 ). Comme on se place dans le cas d’une poutre longue, le moment

varie en fonction de la courbure V ,11 uniquement. Son expression dépend des conditions

aux limites : il est maximum pour un encastrement, nul pour une extrémité simplement

supportée. Dans tous les cas, on trouve une équation de la forme :

EIV ,11 + F V = C(x 1 ) (5.61)

En posant k 2 = F/EI, l’équation sans second membre s’écrit :

Elle admet donc des solutions de la forme :

5.8.2 Poutre simplement supportée

V ,11 + k 2 V = 0 (5.62)

V (x 1 ) = A cos(kx 1 ) + B sin(kx 1 ) (5.63)

Si on considère le cas d’une poutre simplement supportée aux deux extrémités, la

flèche doit être nulle aux deux extrémités (x 1 = 0 et x 1 = L), ce qui impose :

A = 0 B sin(kL) = 0 (5.64)

Le cas B = 0 correspond à la situation triviale où la flèche reste nulle. Par contre, si on

a kl = nπ, on trouve effectivement la possibilité d’avoir une déformée non rectiligne. On

trouve alors :

(

V (x 1 ) = B sin nπ x )

1

F = n 2 π 2 EI

(5.65)

L

L 2

La charge critique d’Euler F c correspond au premier mode, obtenu avec n = 1 :

F c = π 2 EI

L 2 (5.66)

C’est à partir de cette charge là, en général bien inférieure à la charge de rupture théorique

calculée à partir d’un modèle en compression, que la poutre risque de sortir de sa position

d’équilibre. En effet, si F est légèrement inférieur à F c , la solution de l’équation (5.64) ne

peut être que B = 0. L’état déquilibre est alors de la compression pure, sans déplacement

transverse. Mais si F = F c alors B est quelconque. Les déplacements transverses peuvent

avoir une amplitude quelconque. Au moindre effort transverse, ils deviennent infinis.

L’équilibre n’est plus stable pour F = F c .


82CHAPITRE 5. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVAT

5.8.3 Autres conditions aux limites

– Pour une colonne encastrée à une extrémité et libre de l’autre côté, on trouve

directement la solution en considérant que, pour des raisons de symétrie, la charge

critique est la même que celle d’une poutre simplement supportée de longueur 2L ;

il vient :

F c = π 2 EI

4L 2 (5.67)

– Pour une colonne encastrée d’un côté et simplement supportée de l’autre, l’équation

différentielle est :

EIV ,11 + F V = H(L − x 1 ) (5.68)

dans laquelle H est la réaction de l’appui simple perpendiculairement à l’axe x 1 . La

charge critique est alors :

F c ≈ 20.187 EI

L 2 (5.69)

– Pour une colonne encastrée aux deux extrémités, on obtient successivement :

EIV ,11 + F V = Hx 1 − M 0 (5.70)

où l’on a introduit de plus le moment M 0 en x 1 = 0. La charge critique est alors :

F c ≈ 4π 2 EI

L 2 (5.71)


Chapitre 6

Exercice

6.1 Flexion sur appui simple : poutre homogène et

poutre sandwich

x 3

2h

x 1

x 3

e

2h

x 1

e

Figure 1 : Géométrie des poutres étudiées

Le but de cet exercice est de prendre conscience de l’importance qu’il y a à mettre

le matériau qu’il faut à l’endroit où il faut pour avoir des structures à la fois légères et

résistantes. La comparaison proposée porte sur deux poutres de section rectangulaire

(figure 1), l’une réalisée en alliage d’aluminium (longueur 2l, hauteur 2h, épaisseur

b), l’autre constituée de ce même alliage, collé sur un cœur de mousse polyuréthane.

Ce deuxième assemblage présente environ la même masse que le premier, les tôles

d’aluminium utilisées étant deux fois moins épaisses que dans le premier cas. L’épaisseur

de mousse vaut 2h. Chacune de ces deux poutres est posée sur deux appuis simples, et

chargée ponctuellement en son milieu avec une force −P (flexion 3 points).

6.1.1 Poutre homogène

1. Traiter le cas de la poutre homogène, en supposant qu’une section plane de la

poutre reste plane. Trouver en particulier les équations qui expriment l’équilibre du milieu

curviligne en termes de N, T et M, respectivement effort normal et ”effort tranchant”,

et moment de flexion autour de l’axe 2. Trouver les lois de comportement qui relient les

quantités précédentes aux translations U et V d’un point de la ligne moyenne et de la

rotation θ d’une section.

Les poutres étant simplement posées, et le chargement discret, l’effort tranchant T

est discontinu au point d’application de la force, et la dérivée du moment l’est aussi. Le

83


84 CHAPITRE 6. EXERCICE

moment est nul aux deux extrémités (figure 2 ). Notons que le système est isostatique, car

nous pouvons déterminer les réactions aux appuis sans exploiter les lois de comportement

du matériau. Ces réactions sont égales du fait de la symétrie et valent P/2x 3 . Pour

la résolution des équations d’équilibre, le système étant isostatique, nous avons deux

possibilités :

– (i) adopter une méthode directe, en isolant le tronçon [0, x 1 ] pour x 1 ∈ [0, l] puis

x 1 ∈ [l, 2l],

– (ii) résoudre les équations différentielles de l’équilibre local en théorie des poutres

de Timoshenko.

Développons l’analyse pour chaque approche. (i) Isolons le tronçon [0, x 1 ] pour x 1 < l.

Les actions extérieures qui lui sont appliquées sont P/2x 3 en x 1 = 0 (point O) et, par

définition, le torseur des effort intérieurs en x 1 (point G). L’équilibre des résultantes

donne :

N = 0, T + P/2 = 0

L’équilibre des moments au point G donne :

Mx 2 + GO ∧ P 2 x 3 = 0

Développement des calculs : GO ∧ P 2 x 3 = −x 1

P

2 x 1 ∧ x 3 = x 1

P

2 x 2. On obtient :

T = − P 2

∀x 1 ∈ [0, l]

M = −x 1

P

2

∀x 1 ∈ [0, l]

Par la même démarche, sur [l, 2 l] s’ajoute l’effort extérieur au centre de la poutre, on

obtient :

T = P 2

∀x 1 ∈ [l, 2 l]

M = (x 1 − l) P 2

∀x 1 ∈ [l, 2 l]

(ii) L’equation locale de l’équilibre s’écrit, en absence de charge répartie :

N ,1 = 0 ∀x 1

T ,1 = 0 ∀x 1

M ,1 − T = 0 ∀x 1

En O la normale extérieure à la matière est n = −x 1 , donc le torseur des efforts intérieurs

y est opposé au torseur des efforts extérieurs appliqués en O. Donc :

N(x 1 = 0) = 0

T (x 1 = 0) = − P 2

M(x 1 = 0) = 0


6.1. FLEXION SUR APPUI SIMPLE : POUTRE HOMOGÈNE ET POUTRE SANDWICH85

Par intégration sur [0, l] on obtient :

N = 0, T = − P 2

∀x 1 ∈ [0, l]

P

M = −x 1 ∀x 1 ∈ [0, l]

2

En x 1 = l il y a une discontinuité due au chargement extérieur ponctuel. Soit on établit

l’équilibre d’un tronçon de longueur infinitésimal centré sur le milieu de la poutre (ceci

est similaire à l’approche (i)), soit on intègre les équations différentielles en partant de

la condition à la limite x 1 = 2l. On trouve ainsi la forme de la figure 3 . Le moment est

négatif.

P/2 x

3

-P x

3

P/2 x 3

x 1

-P x 3

P/2 x 3

T

si x 1 < l : T = −P/2 ; M = −P x 1 /2

si x 1 > l : T = P/2 ; M = −P/2(l − x 1 )

M

x 1

Figure 2 : Chargement

T,M

P/2

Pl/2

M

x 1

T

−P/2

Figure 3 : Effort tranchant et moment

2. Trouver l’expression de la flèche pour cette poutre. Application numérique : P =

160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm.

N étant nul, la contrainte σ 11 est égale à Mx 3 /I, avec I = (2/3)bh 3 . Pour x 1 < l,

l’angle θ est tel que θ ,1 = −P x 1 /2EI, et, comme il est nul en x 1 = l, on a :

θ = P (x2 1 − l 2 )

4EI

La flèche s’exprime :

∫ x1

∫ x1

T

V = − θdx 1 +

0

0 µS dx 1

En tenant compte du fait qu’elle s’annule en x 1 = 0, il vient :

V = P x 1

2µS + P l2 x 1

4EI − P x3 1

12EI


86 CHAPITRE 6. EXERCICE

Soit, au milieu de la poutre (x 1 = l) :

V = P l3

6EI + P l

2µS

Application numérique :

L’ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm)

conduit à :

EI = 2 3 100 × 75000 × 23 = 40000000 N.mm 2

µS = 75000 × 100 × 4 = 11538461 N

2 × 1.3

v = (10.41 + 0.0017) mm

Le terme lié à l’effort tranchant est négligeable.

6.1.2 Poutre sandwich sur deux appuis simples

3. Indiquer les différences entre la poutre sandwich et la précédente. Etudier en

particulier la continuité des composantes du tenseur des contraintes aux interfaces.

Donner l’expression de la flèche. Application numérique : P = 160 N, l = 250 mm,

E a = 75000 MPa, E m = 20 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm.

Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d’utiliser les valeurs

homogénéisées des produits EI et µS :

v =

P l 3

6 < EI > + P l

2 < µS >

L’aluminium (E a , µ a ), est situé entre les cotes ±h et ±(h + e). La mousse (E m , µ m ) entre

les cotes ±h. Il vient donc :

< EI >= 2 3 b(E a((e + h) 3 − h 3 ) + E m h 3 )

< µS >= 2bhµ m

Application numérique :

L’ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, E a = 75000 MPa, E m = 20 MPa, ν = 0.3,

b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à :

< EI >= 2 3 × 100(75000 × (173 − 15 3 ) + 20 × 15 3 )

< EI >= 7694500000 N.mm 2

< µS >= 2 × 100 × 15 × 20

2 × 1.3 = 23077 N

V = (0.054 + 0.867) mm


6.1. FLEXION SUR APPUI SIMPLE : POUTRE HOMOGÈNE ET POUTRE SANDWICH87

4. Montrer qu’il est important que la mousse soit capable d’offrir un minimum de

résistance au cisaillement, faute de quoi la flèche due à celui-ci fait perdre l’avantage

offerte par l’assemblage pour ce qui concerne la résistance au moment de flexion.

C’est maintenant le terme lié à l’effort tranchant qui est prépondérant. On note

l’importance qu’il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non négligeables

comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d’Young qui de 0,79 MPa au lieu de

20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu tout l’avantage

de l’assemblage ¡¡sandwich¿¿.


88 CHAPITRE 6. EXERCICE

6.2 Flexion d’une poutre de section rectangulaire

x 3

Epaisseur b

M

x 2

x 1

2h

M

Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre

La poutre de la figure 1 possède une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur

b. Elle est chargée en flexion pure (cisaillements négligés), et on suppose qu’une section

droite de normale x 1 reste droite.

Le comportement du matériau qui la constitue est élastique (E, ν) parfaitement plastique

(σ y ).

1. Quelle est la distribution de contrainte et de déformation en élasticité

L’état de flexion pure autour de x 2 d’un barreau d’axe x 1 est caractérisé par une

déformation ε 11 linéaire en x 3 et, en élasticité, par une contrainte σ 11 également

linéaire en x 3 . On pose σ 11 = kx 3 . Toutes les autres composantes du tenseur de

contrainte sont nulles. Les tenseurs de contrainte et de déformation élastique sont

respectivement représentés par les matrices :



σ 0 0

0 0 0

0 0 0



et



σ/E 0 0

0 −νσ/E 0

0 0 −νσ/E


⎠ (6.1)

Le vecteur contrainte sur une section courante de normale e 1 se réduit à σ 11 e 1 .

On déduit immédiatement de la géométrie de la section (−b/2 x 2 b/2 et

−h x 3 h) que la résultante est nulle sur une facette normale à l’axe x 1 . Le

moment des efforts intérieurs sur la section de la poutre s’écrit, en tenant compte

du fait que les composantes de OM sont (0, x 2 , x 3 ) :

∫∫

M = (OM × T ) dS = M 2 e 2 + M 3 e 3 (6.2)

avec :

∫∫

∫∫

M 2 = x 3 σ 11 dx 2 dx 3 = k x 2 3 dx 2 dx 3 (6.3)

M 3 = −

∫∫

x 2 σ 11 dx 2 dx 3 = −

∫∫

k x 2 x 3 dx 2 dx 3 (6.4)

(6.5)

La composante M 3 est nulle (intégrale de x 3 entre −h et h). L’expression obtenue

pour M 2 , que l’on désignera dans la suite par M, est (voir Fig.2a) :

∫ +h

M = kb

−h

x 2 3 dx 3 = 2 3 kbh3 (6.6)


6.2. FLEXION D’UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE 89

On peut donc exprimer k en fonction du moment, et, en posant I = 2bh 3 /3, on

trouve la valeur courante de σ 11 sur la section :

σ 11 (x 3 ) = σ(x 3 ) = Mx 3 /I (6.7)

Il s’agit d’une fonction impaire en x 3 , dont la valeur maximale, σ m , atteinte en

x 3 = h, vaut 3M/2bh 2 .

2. Trouver le moment M e pour lequel la plasticité débute.

Il y a plastification lorsque σ m = σ y , soit : M e = 2bh 2 σ y /3

x 3

σ 0

+h

σ Μ

x 3

σ 0

σ - Μ

-h

Compression

Traction

-a

-

a

a

b

x 3

σ 0

-

σ 0

Figure 2 : Profil de contrainte σ 11 dans une poutre en flexion simple :

(a) Elasticité, (b) En cours de plastification, (c) Charge limite

c

3. Trouver la distribution des contraintes lorsque M dépasse M e . Montrer qu’il

existe une valeur limite M ∞ du moment de flexion pour laquelle les déformations

deviennent infinies.

Pour M > M e , il y a un noyau élastique −a ≤ x 3 ≤ a, et deux zones plastiques, l’une

en traction (x 3 > a), l’autre en compression (x 3 < −a). Dans le noyau élastique, on

a toujours linéarité de la contrainte avec x 3 : σ = kx 3 ; dans les zones plastiques,

on a σ = +σ y (x 3 > a), ou σ = −σ y (x 3 < −a) (Fig.2b). Les deux inconnues du

problème sont k et a.

Elles doivent vérifier :

– la condition d’équilibre (1) :

∫ +h

−h

x 3 σb dx 3 = M

– la continuité de la déformation en ±a , entraînant celle de la contrainte à la

frontière entre les zones élastique et plastique :

ka = σ y d’où : k = σ y /a.

En remplaçant σ par son expression dans l’égalité (1), on obtient la valeur de M :

M/2 =

∫ a

0

x 3 (σ y x 3 /a)b dx 3 +

∫ h

a

x 3 bσ y dx 3


90 CHAPITRE 6. EXERCICE

M = bσ y (h 2 − a 2 /3)

Remarques

– Si a = h : M vaut bien M e = (2/3)bσ y h 2

– Si a = 0 : M = M ∞ = bσ y h 2 = 3M e /2

Dans les deux cas, les solutions élastique et plastique se raccordent correctement.

Pour M = M ∞ , la totalité de la poutre est plastifiée, elle ne peut plus supporter de

charge supplémentaire, on a une rotule plastique (Fig.2c).

4. Que se passe-t-il lorsqu’on relâche l’effort (M = 0),

i) dans le cas où le moment maximum atteint vaut M m ≤ M e ,

ii) dans le cas où M e < M m < M ∞

Montrer qu’il subsiste dans ce dernier cas des contraintes résiduelles.

Si on n’a pas dépassé le moment M e , l’ensemble de la structure reste élastique,

si bien que, après relâchement de l’effort, la structure reprendra sa forme initiale,

et il n’y aura plus de contraintes. Au contraire, s’il y a eu plastification partielle,

lorsqu’on fera passer le moment de M m à zéro, les fibres qui sont allongées (resp.

raccourcies) de façon irréversible vont se retrouver en compression (resp. traction).

En supposant que l’ensemble de la décharge s’effectue de façon élastique (ce que

l’on vérifiera par la suite), on obtient l’état final par superposition de l’état actuel

et de la distribution de contrainte que l’on obtiendrait en élastique avec le moment

−M m , soit, quel que soit x 3 compris entre −h et +h : σ = −M m x 3 /I. Cela donne

le profil suivant, reporté en figure 3a :

– pour −a ≤ x 3 ≤ a σ = σ y x 3 /a − 3M m x 3 /2bh 3

– pour x 3 ≥ a σ = σ y − 3M m x 3 /2bh 3

– pour x 3 ≤ −a σ = −σ y − 3M m x 3 /2bh 3

Remarques

– On note que la pente −3M m /2bh 3 est négative pour |x 3 | > a.

– Les contraintes résiduelles sont autoéquilibrées :

∫ +h

−h

σ dx 3 = 0.

– On ne replastifie pas en compression, car, lorsque le moment maximum M m tend

vers le moment limite M ∞ = bσ y h 2 , la contrainte σ c obtenue par superposition

en x 3 = h reste supérieure à −σ y :

σ c = σ y − (3bσ y h 2 /2bh 3 )h = −σ y /2

-a

x 3 x 3

σ c - σ 0 /2

C

a

T

C

T

σ T - σ 0 σ0 /2

σ 0

a

Figure 3 : Profil de contrainte σ 11 après décharge : (a) Pour une mise en charge

élastoplastique, (b) Pour une mise en charge à la charge limite

b


6.2. FLEXION D’UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE 91

5. Recommencer le problème avec une force horizontale P superposée au moment de

flexion : définir dans le plan P –M la ¡¡limite d’élasticité¿¿, pour laquelle il y

a plasticité commençante, et la ¡¡charge limite¿¿ correspondant à la ruine de la

structure par déformation excessive.

Si on applique une traction horizontale en plus d’un moment, la forme du tenseur

de contrainte est inchangée, mais la ligne neutre est déplacée. On a simplement, en

élasticité :

σ 11 = σ = Mx 3 /I + P/2bh

On définit donc la limite du domaine d’élasticité par un segment de droite dans

chaque quadrant du plan P –M.

On connaît déjà le moment limite en flexion simple. En l’absence de moment, la

charge limite en traction est égale à la charge qui produit la première plasticité :

P ∞ = P e = 2hbσ y

Pour trouver les valeurs de P r et M r qui conduisent à la ruine, en cas de chargement

combiné, il suffit de se placer directement à l’état limite (Fig.4a), et d’y écrire

l’équilibre des moments et de la force horizontale. Cet état est caractérisé par :

On écrit alors :

M =

P =

∫ a

−h

∫ a

−h

si x 3 < a : σ = −σ y

si x 3 > a : σ = σ y .

−σ y b dx 3 +

−σ y x 3 b dx 3 +

∫ h

a

∫ h

a

σ y b dx 3 = −2σ y ab

σ y x 3 b dx 3 = bσ y (h 2 − a 2 )

En normant par P e et M e , P r = −P e a/h ; M r = 3M e (1 − a 2 /h 2 )/2, et on trouve le

diagramme de la figure 4b :

M r /M e = (3/2)(1 − (P r /P e ) 2 )

M/Me

+σ 0

ruine de la

1 Plast. structure

a

Elastique

P/Pe

−σ 0 1

(a)

Figure 4 : (a) Profil de contrainte σ 11 pour l’état de charge limite, en traction axiale et

flexion pure, (b) illustration des domaines élastique et plastique dans l’espace P –M

1.5

(b)


92 CHAPITRE 6. EXERCICE

6. Evaluer la flèche au cours du chargement et la flèche résiduelle.

En supposant qu’une section plane reste plane, le champ de déplacement dans la

poutre est de la forme :

u 1 = U(s) + θx 3 U(s) désignant le déplacement d’ensemble de la section,

θ son angle de rotation,

S’il n’y

u 3 = V (s) V (s) désignant le déplacement vertical.

a pas de cisaillement de type 13, la déformation correspondante doit être nulle. On

trouve ainsi la relation qui permet de calculer la flèche en connaissant la rotation :

u 1,3 + u 3,1 = 0

θ + V ,1 = 0

La déformation axiale se calcule aisément en fonction de la rotation, puisque :

ε 11 = u 1,1 = θ ,1 x 3

Dans le cas d’un comportement élastique, le terme θ ,1 s’exprime en fonction du

moment appliqué, puisque :

M =

∫ +h

−h

σ 11 x 3 b dx 3 = EIθ ,1

En présence de plasticité parfaite, la rotation continue d’être imposée par le noyau

élastique : une section plane reste plane, et son orientation est donnée par la pente

entre −a et a. Dans cette zone :

ε 11 = σ 11 /E = (σ y /E)(x 3 /a)

θ ,1 = σ y /Ea

Il s’ensuit que la courbure V ,11 vaut :

– en régime élastique : V ,11 = −M/EI

– en régime élastoplastique : V ,11 = −σ y /Ea

L’intégration de ces équations pour une poutre simplement posée sur ses deux

extrémités, et de longueur 2L (soit −L ≤ x 1 ≤ L) donne pour expression du

déplacement vertical :

– en régime élastique : V = (M/2EI)(L 2 − x 2 1)

– en régime élastoplastique : V = (σ y /2Ea)(L 2 − x 2 1)

La valeur maximale de la flèche est obtenue pour x 1 = 0. En remplaçant a par

son expression en fonction de M pendant le régime élastoplastique, on trouve

l’expression de la réponse globale de la structure :

V =

σ y L 2

2Eh √ 3(1 − M/bσ y h 2 )

Remarque

Cette expression est cohérente avec celle qui est écrite pour le cas élastique lorsque

M = M e = (2/3)bσ y h 2

La flèche tend vers l’infini lorsque M tend vers M ∞ = bσ y h 2 . Dans ce dernier cas,


6.2. FLEXION D’UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE 93

il est clair que l’hypothèse de petites déformations sera en défaut bien avant la

rupture, si bien qu’il faut en toute rigueur reconsidérer le calcul.

La flèche résiduelle est celle que l’on calcule en superposant au résultat précédent

écrit pour le moment M m celui obtenu lors d’une décharge élastique de −M m , soit :

V =

σ y L 2

2Eh √ 3(1 − M m /bσ y h 2 ) − M mL 2

2EI


94 CHAPITRE 6. EXERCICE

6.3 Gonflage d’un ballon

Un ballon de baudruche sphérique a un rayon initial R d’épaisseur H. Il est gonflé à

un rayon final r et une épaisseur de paroi h par une pression interne p i . On suppose qu’a

l’état 20 de référence p i = 0. La géométrie des deux configurations, de référence et actuelle,

sont représentées figure 6.1. Supposons que le caoutchouc peut être modélisée comme un

20

Figure 6.1 2 –– définitionde de la la configuration de réference de réference et deet la de configuration la configuration déformée déformée ou dite

ouactuelle dite actuelle (current (current configuration) configuration)

solide incompressible.

(c) Evaluer P norm = p i R

4 H

, la pression normalisée par rapport à λ.

(d) Figure En déduire 2 – définition une expression de la configuration pour la pression de réference maximale et de la requise configuration pour gonfler déformée le ballon. ou dite

1. Montrer actuelle (current que les configuration)

contraintes de Cauchy principales sont données par l’expression :

Le soufflage de membranes est un test couramment utilisé pour l’étalonnage de matériaux

souples. Lors de la mise sous σ i

pression = 2 ( ) ( )

W 2

de λ 2 la membrane sphérique celle ci se déforme en une

i + W 1 λ

2

i 1 − λ

−6

(c) Evaluer P norm = p i R

i

(6.8)

4 H

, la pression normalisée par rapport à λ.

(d) En déduire une expression pour la pression maximale requise pour gonfler le ballon.

Le soufflage Le soufflage de de membranes est est un un test couramment utilisé pour l’étalonnage de de matériaux

souples.

souples.

Lors

Lors

de

de

la

la

mise

mise

sous

sous pression de

de

la

la

membrane

membrane

sphérique

sphérique

celle ci

celle

se déforme

ci se déforme

en une

en

sphère mince ; la solution triviale du problème conserve la proprièté de sphéricité. Nous savons

qu’à partir d’une sphère parfaite si l’on applique une pression interne chaque direction dans

le plan de la sphère est une direction principale. Par conséquent nous sommes en présences

une d’une sphère déformation mince ; la; solution la équibiaxiale. solution triviale triviale du problème du problème conserve laconserve proprièté de la sphéricité. propriètéNous de sphéricité. savons

Sa qu’à déformation partir d’une peut sphère être présentée parfaite si l’on en termes applique d’étirements une pressionleinterne long des chaque directions directionprincipales

dans

le plan de la sphère est une direction principale. Par conséquent nous sommes en présences

des coordonnées sphériques. L’allongement de l’épaisseur de la paroi est aisément évaluer

d’une déformation équibiaxiale.

par :

Sa déformation peut être présentée en termes d’étirements

λ r = h le long des directions principales

des coordonnées sphériques. L’allongement de l’épaisseur de la paroi est aisément évaluer (97)

par :

H


6.3. GONFLAGE D’UN BALLON 95

Nous savons qu’à partir d’une sphère parfaite si l’on applique une pression interne chaque

direction dans le plan de la sphère est une direction principale. Par conséquent nous

sommes en présences d’une déformation équibiaxiale.

Sa déformation peut être présentée en termes d’étirements le long des directions

principales des coordonnées sphériques. L’allongement de l’épaisseur de la paroi est

aisément évaluer par :

λ r = h (6.9)

H

avec h, H les épaisseurs de la sphère mince respectivement dans le repère courant et de

référence.

La condition d’incompressibilité nous permet d’évaluer, l’allongement circonférentiel

du ballon. En effet le volume de la membrane du ballon reste constant ;

4π r h = 4π R H et λ r λ θ λ φ = 1 = V/V 0 , on obtient alors :

λ φ = λ θ = λ = r R

(6.10)

Ainsi on dééduit que λ r = λ −2 .

Le gradient de déformation et le tenseur gauche de Cauchy-Green prennent alors les formes

suivantes :

)

= λ −2 g r

⊗ G R + λ

(g θ

⊗ G Θ + g φ

⊗ G Φ (6.11)

F


avec (G R , G Θ , G Φ ), le repère sphérique associé à la configuration initiale et (g r

, g θ

, g φ

), le

repère asphérique ssocié à la configuration déformée. Le tenseur B ∼

prends alors la forme

suivante :

(

)

B


= F


F T ∼

= λ −4 g r

⊗ g r

+ λ 2 g θ

⊗ g θ

+ g φ

⊗ g φ

(6.12)

La contrainte de Cauchy peut être alors s’exprimée telle que :

(

)

σ


= σ rr g r

⊗ g r

+ σ θθ g θ

⊗ g θ

+ g φ

⊗ g φ

(6.13)




σ rr = −p + 2 (W 2 I 1 + W 1 ) λ −4 − 2W 2 λ −8

σ θθ = −p + 2 (W 2 I 1 + W 1 ) λ 2 2 − 2W 2 λ 4 2 = σ

(6.14)

le ballon étant très fin, la contrainte radiale σ rr est donc négligeable devant σ θθ (voir tube

mince) . σ rr vérifie l’équation différentielle d’équilibre. La valeur de σ rr est approximéée

tel que :

σ rr = −p + 2 (W 2 I 1 + W 1 ) λ −4 − 2W 2 λ −8 ≈ 0 (6.15)

En substituant le multiplicateur inconnu, p (pression hydrostatique), à partir de 6.15 dans

6.14 2, nous obtenons :

σ = 2 (W 2 I 1 + W 1 ) λ 2 ( 1 − λ −6) − 2W 2 λ 4 ( 1 − λ −12) (6.16)

= 2W 1 λ 2 ( 1 − λ −6) + 2W 2 λ 2 ( λ 2 − λ −4) (6.17)

= 2 ( W 2 λ 2 + W 1

)

λ

2 ( 1 − λ −6) (6.18)

2. A partir de l’équation d’équilibre de la demi-sphère déduire l’expression de la pression

interne p i en fonction de la déformation équi-biaxiale λ.


96 CHAPITRE 6. EXERCICE

Pour relier les contraintes à la pression interne, p i , nous considérons l’équilibre d’une

demi-sphère :

p i = 2 h r σ = H

2λ−2

λR σ = 2 H

λ 3 R σ = 4H ( )

W2 λ 2 + W ( 1 λ

2

1 − λ −6) (6.19)

λR

3. Evaluer P norm = p i R

, la pression normalisée par rapport à λ. Applications des modèles

4 H

d’Ogden, de Mooney Rivlin et Néo-Hookeen

A partir de léquation (6.19), l’expression générale de la pression-étirement peut être

évaluée telle que :

P norm (λ) = p i R

4H = ( W 2 λ 2 + W 1

) (

λ −1 − λ −7) (6.20)

Les modèles d’Ogden, de Mooney Rivlin et Néo-Hookeen sont appliqués avec les propriétés

matériaux suivants : Les propriétés des matériaux pour le modèle d’Ogden sont données

en fonction du module de cisaillement µ = 4.225 10 5 N/m 2 . Pour le modèle de Mooney-

Rivlin les coefficients matériaux suivant ont été utilisés C 10 = 0.4375 µ, C 20 = 0.065 µ tel

que (C 10 /C 20 = 7), et pour les Néo Hookéen modèle C 10 = µ Figure 6.2, le comportement

2

locale de la contrainte biaxiale dans la membrane est tracé en fonction de l’élongation

λ22et la pression interne normée est evaluée figure 6.3 pour chacun des modèles de

comportement.

Figure 3–

Figure 6.2 –

4. En déduire l’expression de la pression maximale requise pour gonfler le ballon.


6.3. GONFLAGE D’UN BALLON Figure 3–

97

Figure 6.3 4– –

Il est à noter que la pression atteint un maximum à un ratio d’élongation relativement faible.

la

Le

pression

maximum

atteint

apparait

un maximum

pour le modèle

à un ratio

Neo Hookeen

d’élongation

(W 2 =

relativement

0) quand :

faible. Le maximum

apparait pour le modèle Neo Hookeen (W 2 = 0) quand :

donc quand

dP dP norm norm

dλ dλ

= −λ −2 −2 + +7λ 7 λ −8 −8 = 0 (6.21) (109)

λ = 7 1/6 = 1.3831 (6.22)

Ce pic de pression en fonction de l’élongation est une caractéristique bien connue du

gonflage d’un ballon. Après un gonflage relativement faible , il est plus facile de continuer

à gonfler le ballon. Une autre conséquence de ce pic de pression est que le gonflage devient

non uniforme après le pic, une partie de la membrane peut être déformée à un degré

supérieur (perte de sphéricité), avant la réaugmentation de la pression avec la déformation,

alors que le reste de la membrane est moins déformé que λ = 1.38

RESULTATS EXPERIMENTAUX


allon. Une autre conséquence de ce pic de pression est que le gonflage devient non uniforme

après le pic, une partie de la membrane peut être déformée à un degré supérieur (perte de

sphéricité), avant la réaugmentation de la pression avec la déformation, alors que le reste de

la membrane est moins déformé que λ =1.38

98 RESULTATS EXPERIMENTAUX

CHAPITRE 6. EXERCICE

6.4 Rupture fragile d’une poutre en flexion par une

approche statistique

X 3

F

F

A

B C D

H

X 1

L L L

Fig.1 : Géométrie et conditions aux limites de la poutre en flexion

Une poutre en acier est soumise à de la flexion, à une température de -20 o C. A

cette température le matériau est plus fragile qu’à 20 o C. L’objectif de cet exercice est de

découvrir progressivement l’approche statistique de la rupture en utilisant la théorie du

maillon faible. Les premières questions sont néanmoins posées dans un cadre déterministe.

Nous considérons une poutre sollicitée en flexion pure sur deux appuis (flexion 4

points). Nous supposons les déformations planes. Le chargement et la géométrie étant

plans, pour l’étude déterministe nous n’étudions que le tronçon compris entre les points

A et C. Ce tronçon et la condition limite de symétrie sont reportés sur la figure 6.4. On

admet que la rupture n’a lieu que loin des points d’application des charges pour pouvoir


6.4. RUPTURE FRAGILE D’UNE POUTRE EN FLEXION PAR UNE APPROCHE STATISTIQUE99

appliquer la théorie des poutres. La longueur de la poutre complète est 3L (L = 0, 3m).

Sa section est rectangulaire, de hauteur h et de largeur B (h = 0, 005 m, B = 0, 03m).

L’effort appliqué est de 500N.

A

X 3 F

L L/2

X 1

B

C

Fig.2 : Conditions aux limites du problème symétrique

1. Calculer la plus grande contrainte principale en tout point de la poutre.

On supposera les effets du cisaillement négligeables.

La poutre est isostatique. L’équilibre du tronçon [0, 3 L] permet d’obtenir la réaction

2

de l’appui au point A. L’action de l’appui en A sur la poutre est R A = −F . En isolant le

tronçon [0, x 1 ] pour x 1 ≤ L on obtient l’équation de moment suivante au centre d’inertie

de la section droite en x 1 :

M + F x 1 = 0 ∀x 1 ≤ L

Donc :

M = −F x 1

∀x 1 ≤ L

Le matériau étant homogène, la répartition des contraintes dans la section droite est

linéaire. On en déduit que :

σ 11 = M I x 3

∀x 1 ≤ L

En supposant négligeable le cisaillement, les autres composantes du tenseur de contrainte

sont nulles. Donc la première contrainte principale est :

σ I = − F x 1

I

x 3 ∀x 1 ≤ L, ∀ x 2 , x 3

avec I = B h3 . En isolant le tronçon [L, x 12 1] pour x 1 ≤ 3 L on obtient l’équation de moment

2

suivante au centre d’inertie de la section droite en x 1 :

M + F x 1 − F (x 1 − L) = 0 ∀x 1 ∈ [L, 3 2 L]

Donc :

et

σ I = − F L

I

M = −F L ∀x 1 ∈ [L, 3 2 L]

x 3 ∀x 1 ∈ [L, 3 2 L], ∀ x 2, x 3


100 CHAPITRE 6. EXERCICE

X 3

A

H

X 1

σ ∞

a

σ ∞

Zoom sur la fissure

Fig.2 : Fissure de profondeur a, en face supérieure.

2. Prise en compte d’une entaille microscopique. Nous considérons la présence

d’une entaille à la surface supérieure ou inférieure de la poutre. L’entaille est assimilée

à une demie fissure. Sur la figure 2, un agrandissement d’une entaille en face supérieure

a été représenté. La longueur de l’entaille est notée a. Elle traverse toute la largeur de la

poutre, selon la direction x 2 . Nous faisons l’hypothèse de séparation des échelles. Ainsi,

la contrainte principale macroscopique (à l’échelle de la poutre) s’applique au voisinage

de la fissure comme si elle était appliquée à l’infinie. De plus l’entaille microscopique ne

modifie pas le champ de contrainte macroscopique. Quel mode de fissuration est-il activé

Il s’agit du mode d’ouverture par la contrainte perpendiculaire à la fissure. C’est le

mode I. Il n’y a pas de mode de cisaillement.

3 Donner l’expression du facteur d’intensité des contraintes en pointe

de fissure, en fonction de la contrainte principale macroscopique calculée

précédemment.

Selon le cours, nous avons pour chaque microfissure :

K I = σ I

√ π a

or seules les fissures en face inférieure sont ouvertes par le chargement. Il faut ne faut

donc considérer que le cas x 3 = − h 2 pour le calcul de K I.

σ I = F x 1

I

h

2

∀x 1 ≤ L, ∀ x 2

σ I = F L h

∀x 1 ∈ [L, 3 I 2

2 L], ∀ x 2

4 Quelle est la plus petite entaille qui provoque la rupture fragile de la poutre

La ténacité de l’acier considéré, à -20 o C, est de 100MPa.m 1/2 . Où se situe cette entaille

On notera a c la taille critique de l’entaille.

Pour ouvrir la fissure avec le chargement choisi, l’entaille doit être en face inférieure,

dans la zone la plus sollicitée en traction qui est dans l’intervalle [L, 2 L] en considérant

la poutre complète. On a alors :

K Ic = F L

I

h √ π ac

2


6.4. RUPTURE FRAGILE D’UNE POUTRE EN FLEXION PAR UNE APPROCHE STATISTIQUE10

donc

a c = 1 π

( ) 2 2 KIc I

F L h

5 L’état de surface de la poutre est tel qu’il existe, en surface, une

distribution d’entailles de longueur a. La distribution statistique est donnée par la loi

puissance suivante pour ce qui concerne la probabilité d’avoir une entaille microscopique

de longueur a :

˜p(a) = (ã

a )β

avec ã = 1, 4 10 10 m et β = 11. Sachant que la rupture a lieu pour a > a c , l’expression de

la probabilité de rupture d’un volume élémentaire V est donnée par :

P R = 1 − exp(− V V o

∫ ∞

a c

˜p(a) da),

où V o = 10 −6 m 3 . On supposera que la longueur microscopique de l’entaille et la contrainte

σ sont les seuls paramètres mécaniques expliquant la rupture à l’échelle microscopique.

Donner l’expression de la probabilité de rupture comme une fonction de la contrainte

macroscopique σ.

Il y a rupture pour les entailles de longueur supérieure à a c = 1 ( K Ic

π σ )2 +, donc :

p(σ) =

∫ ∞

1

π ( K Ic

σ )2 +

Après intégration, en supposant β > 1, on obtient :

˜p(a) da

P R = 1 − exp(− V V o

p(σ)),

p(σ) = ( σ σ U

) 2β−2

+ ,

σ U = ( β − 1

ã β K2β−2

πβ−1 Ic

) 1/β

Cette expression est similaire à une loi de Weibull dont la forme générale est :

P W = 1 − exp(−( σ − σ o

) m

̂σ

+)

6 Considérons deux volumes élémentaire V 1 et V 2 , soumis respectivement

aux contraintes macroscopique σ 1 et σ 2 . Donner l’expression de la probabilité de

rupture de l’ensemble V 1 ∪ V 2 en appliquant la théorie du maillon faible qui dit qua la

probabilité de non rupture est donnée par la non rupture de V 1 et celle de V 2 . Etendre la

formule à un ensemble de volumes infinitésimaux posés sur une surface S et de volume

g o dS, avec g o = Vo 1/3 .

Notons P R1 et P R2 les probabilité de rupture de chaque volume. On a alors :

1 − P R1+2 = (1 − P R1 ) (1 − P R2 ),


102 CHAPITRE 6. EXERCICE

avec P R1+2 probabilité de rupture de l’ensemble. On obtient donc pour la probabilité de

rupture :

P R1+2 = 1 − exp(− V 1

V o

p(σ 1 ) − V 2

V o

p(σ 2 ))

Pour un volume infinitésimal dV = g o dS on a :


P RS = 1 − exp(−

où S est la face inférieure de la poutre complète.

S

g o

V o

p(σ) dS) ,

7 Y a-t-il un effet de taille sur la rupture de la poutre La probabilité de

rupture de la poutre dépend-t-elle de la largeur B

Pour la poutre, seule la surface inférieure est en traction. Donc la probabilité de rupture

de la poutre en flexion est :

( ( ∫ L

( ) 2β−2 ∫ 3

F x1 h

2 L ( ) ))

2β−2

g o F L h

P Rpoutre = 1−exp −B

dx 1 + 2

dx 1

2 σ u I

2 σ u I

Elle dépend linéairement de B.

0

g o

V o

P Rpoutre = 1 − exp(−B A F 2β−2 ) avec A = g ( ) 2β−2

o h

L 2 β−1 2β

V o 2 σ u I

2 β − 1

L

V o

8 Quelle est la charge critique pour la poutre avec une probabilité de

rupture de 50%.

donc

0.5 = 1 − exp(−B A F 2β−2

c )

F c =

( ) 1

ln(2)

2β−2

B A

Comme β > 1 plus la largeur de la poutre est grande ou plus la poutre est longue, moins

la charge critique est grande. Il y a évidemment une limite à ce modèle.


6.5. EVALUATION DE LA CHARGE DE FLAMBEMENT D’UNE POUTRE DROITE103

6.5 Evaluation de la charge de flambement d’une

poutre droite

Dans ce problème 1 , nous examinons la résistance au flambement d’une poutre droite

de longueur L, encastrée à x 1 = 0 subissant une charge compressive F > 0 (N(x 1 ) =

−F < 0), et une charge latérale P , à x 1 = L, comme sur la figure ci-dessous. On note

comme d’habitude V (x 1 ) la flèche de la poutre, qui va intervenir dans le calcul du moment,

car on travaillera sur la configuration déformée.

1. Dessiner le diagramme d’équilibre sur la configuration deformée. En utilisant celuici,

montrer que V vérifie l’équation différentielle :

EI V, 11 +F V = P (L − x 1 ) + F δ

L’écriture de l’équilibre comporte les trois équations :

N ,1 + t = 0 T ,1 + p = 0 M ,1 − T = 0

Les valeurs de N et T sont donc constantes, égales aux valeurs des efforts extérieurs en

x 1 = L :

N(x 1 ) = F L = −F T (x 1 ) = T L = P

De façon classique, on intègre T pour trouver M, sachant que le moment est nul à

l’extrémité libre (x 1 = L),

M(x 1 ) = M L +

∫ x1

L

T (x)dx = P (x 1 − L)

Le fait de travailler sur la configuration déformée va rajouter le moment produit par F ,

si bien que :

M(x 1 ) = P (x 1 − L) + F (V − δ)

La relation de comportement M = −EI V, 11 permet ensuite de retrouver l’équation

souhaitée. Il est à noter que l’on ajoute les contributions des deux efforts (F et P ) lorsqu’on

1. Exercice mis au point par le Prof. D.M. Parks (MIT) pendant son séjour 2007–2008


104 CHAPITRE 6. EXERCICE

calcule les moments, mais que cette opération ne revient pas à appliquer le théorème de

superposition. La présence de V dans l’équation conduit à une solution non polynomiale.

2. En posant k 2 ≡ F/EI, donner la solution de l’équation différentielle, somme de la

solution homogène et de la solution particulière, et utiliser les conditions aux limites en

x 1 = 0 pour trouver la flèche, V (x 1 ).

L’équation s’écrit simplement :

V, 11 +k 2 V = P (L − x 1)

EI

+ k 2 δ

La solution homogène V h et la solution particulière V p s’écrivent :

V h = A sin kx 1 + B cos kx 1 V p = P (L − x 1)

k 2 EI

+ δ

On écrit donc respectivement la flèche et sa dérivée sous la forme :

V = A sin kx 1 + B cos kx 1 + P (L − x 1)

k 2 EI

V ,1 = Ak cos kx 1 − Bk sin kx 1 −

P

k 2 EI

+ δ

En x 1 = 0, la flèche et sa dérivée sont nulles, puisqu’on est en présence d’un

encastrement, si bien que :

0 = B + P L

k 2 EI + δ

0 = Ak − P

k 2 EI

La flèche s’exprime donc :

V (x 1 ) = P F k sin kx 1 −

( P L

F + δ )

cos kx 1 + P F (L − x 1) + δ

3. En utilisant la ¡¡condition de cohérence¿¿ V (L) ≡ δ, montrer que

( ) ( )

P L

3 tan kL − kL

δ =

EI (kL) 3

En exprimant la ¡¡condition de cohérence¿¿ V (L) = δ, on peut trouver la valeur de la

flèche à l’extrémité de la poutre :

δ = P L3

EI

tan kL − kL

(kL) 3


6.5. EVALUATION DE LA CHARGE DE FLAMBEMENT D’UNE POUTRE DROITE105

La valeur de la flèche est donc finalement :

V (x 1 ) =

P L3

EI(kL) 3 (sin kx 1 − kx 1 + tan kL(1 − cos kx 1 ))

4. Lorsque kL → π/2, δ → ∞ ; en déduire la valeur de F = F c qui prévoit une flèche

infinie pour une charge latérale nulle, et vérifier que cette valeur est égale à la charge

critique d’Euler.

La valeur obtenue est bien :

F C = π2 EI

4L 2

5. Pour une charge axiale F ¡¡petite¿¿, montrer que la solution tend vers la solution

standard d’une poutre encastrée de longueur L soumise à une charge P à son extrémité.

Si le terme kL est petit, le développement limité de tan kL dans l’expression de δ

donne un terme linéaire qui disparaît au numérateur. Le terme suivant vaut (kL) 3 /3, si

bien que :

lim δ = P L3

kL→π/2 3EI

Cette valeur est bien celle qui correspond à une poutre console chargée en son extrémité

avec une charge P . On la retrouve sans calcul en exploitant le fait que la flèche est la

même que celle d’une poutre de longueur 2L simplement supportée à ses extrémités, et

chargée avec une charge 2P en son milieu, cas qui a été traité en cours. Les équations

sont brièvement redémontrées en question 7.

6. Refaire ce problème pour le cas de la traction (on a maintenant F négative).

Le cheminement est identique, mais le changement de signe change les sin et cos en sinh

et cosh, et l’équilibre instable lorsqu’on augmente la valeur absolue de F en un équilibre

stable. En posant maintenant k 2 = −F/EI, l’équation différentielle à résoudre est :

qui a pour solution :

V ,11 − k 2 V = P (L − x 1) + F δ

EI

V (x 1 ) = A sinh kx 1 + B cosh kx 1 + P F (L − x 1) + δ

Lorsqu’on annule à la fois V et sa dérivée en x 1 = 0, on trouve les deux conditions qui

définissent A et B :

B + P L

F + δ = 0 A = P F k

La condition de cohérence en x 1 = L fournit alors la valeur de δ :

δ = P L3

EI

( )

kL − tanh kL

(kL) 3


106 CHAPITRE 6. EXERCICE

La valeur de la flèche est finalement :

V (x 1 ) =

P L3

EI(kL) (− sinh kx 3 1 + kx 1 − tanh kL(1 − cosh kx 1 ))

7. Comparer les résultats obtenus lorsque la force dans l’axe de la poutre est en

compression ou en traction

Le calcul sans force axiale, avec la seule charge P sur une poutre console de longueur

L encastrée en x 1 = 0 donne successivement :

T (L) = P L = P

M = P (x 1 − L)

θ = M EI = P ( ) x

2

1

EI 2 − Lx 1

V = P ( )

L x2 1

EI 2 − x3 1

6

V (L) = P L3

3EI

On peut comparer la déformée obtenue dans ce cas avec celles qui ont été calculées pour

une force axiale en compression ou en traction. Le diagramme suivant montre la flèche

maximale obtenue lorsqu’on applique une force axiale à l’extrémité d’une poutre console

encastrée en x 1 = 0, et chargée avec une charge P en x 1 = L. Les valeurs en ordonnée

sont normées par la valeur de référence à force axiale nulle, les valeurs en abscisse sont

normées par la charge critique d’Euler, F C . On observe bien l’instabilité qui s’annonce

dès que la force axiale en compression atteint 90% de F C , alors qu’au contraire la flèche

est stable pour le cas de la traction axiale.

Comparaison de la flèche maximale, normée par la valeur à force axiale nulle, en fonction

de la force axiale, en compression ou en traction, normée par la charge critique d’Euler


6.5. EVALUATION DE LA CHARGE DE FLAMBEMENT D’UNE POUTRE DROITE107

Augmentation de la flèche produite par l’application d’une compression axiale

Les conséquences sur la forme prise par la poutre sont illustrées par deux figures, dans

lesquelles la flèche au point x 1 est de nouveau normée par la flèche maximale, et où cette

valeur est tracée en fonction de l’abscisse normée x 1 /L sur la poutre. En compression, on

trouve que la flèche est plus grande, en traction qu’elle est plus petite.

Diminution de la flèche produite par l’application d’une traction axiale

En conclusion, on observe que, pour une charge donnée P , l’application d’une traction

produit une rigidification apparente de la poutre, alors que l’application d’une compression

produit un assouplissement apparent. Ceci est à mettre en relation avec la fréquence des

vibrations libres d’une poutre comportant une masse en bout. Si f o est la fréquence de

référence lorsque la poutre vibre dans le plan horizontal, la fréquence que l’on observera


108 CHAPITRE 6. EXERCICE

sera f b > f o lorsque la poutre vibre verticalement avec la masse vers le bas, et f h < f o si

la masse est placée vers le haut.


6.6. COMPOSITES À FIBRES LONGUES 109

6.6 Composites à fibres longues

6.6.1 Réservoir sous pression

On considère un réservoir cylindrique sous pression formé d’une enveloppe mince de

révolution, qui, en section courante, comporte des fibres de verre selon deux directions

faisant un angle ±α par rapport à l’axe du réservoir 2 . Les fibres sont disposées en couches

alternées, noyées dans une matrice de résine, dont on négligera la contribution mécanique.

Il y a un nombre égal de couches dans chaque direction. La pression interne vaut p.

L’épaisseur et le rayon moyen de l’enveloppe valent respectivement e et R (avec e ≪ R).

1. Donner l’expression du tenseur de contrainte sur l’enveloppe en coordonnées

cylindriques (on se placera en fait dans le repère (z–θ)) en fonction de p, e et R.

Voir le mini-formulaire d’élasticité. On trouve, en tenant compte de l’¡¡effet de fond¿¿ :

σ θθ = pr

e

σ zz = pr

2e

2. Les modules transversaux étant nuls dans chaque couche, l’état de contrainte

est approximativement uniaxial dans chaque couche, la seule composante non nulle

correspondant à la direction n des fibres. Etablir les relations entre σ nn , σ zz et σ θθ .

La contribution de la couche, dont les fibres font un angle α avec la direction z des

génératrices, est telle que (en notant c = cos α, s = sin α) :

⎛ ⎞ ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

σ zz c 2 s 2 −2cs σ nn c 2 σ nn

⎝σ θθ

⎠ = ⎝s 2 c 2 2cs ⎠ ⎝ 0 ⎠ = ⎝s 2 σ nn


σ zθ cs −cs c 2 − s 2 0 csσ nn

On observe donc que le terme de cisaillement va disparaître lors de la moyenne entre les

deux couches (angles α et −α), si bien que le résultat final est simplement :

σ zz = c 2 σ nn

σ θθ = s 2 σ nn

3. A l’aide des résultats des deux questions précédentes, déterminer l’angle optimal α

que doivent faire les fibres avec les génératrices du cylindre. Quelle est alors la contrainte

dans les fibres en fonction de p, e et R

L’angle optimal sera donc celui pour lequel chacune des deux contraintes σ zz et σ θθ

charge les fibres de façon équivalente. On vérifie alors :

Soit :

c 2 σ nn = pR

2e

tan 2 α = 2

s 2 σ nn = pR e

α ≈ 54.7 ◦

4. En appelant σ u la contrainte à rupture de la fibre, calculer successivement la quantité

de fibre nécessaire et l’épaisseur d de l’enveloppe, sachant que la fraction volumique de

2. Cet exercice est inspiré de celui de D. Gay, Matériaux composites, Hermès, 1991, p.433


110 CHAPITRE 6. EXERCICE

fibres f dans le composite est de 80%.

Application numérique : diamètre D=80cm ; p=200bars ; σ u = 3200 MPa.

On a alors :

Application numérique :

fσ u = 3 pR

2 e

e = 3 pR

2 fσ u

e = 3 pR

≈ 4.7mm

2 fσ u

6.6.2 Coefficient de dilation d’un composite à fibres longues

On considère un composite à fibres longues comportant une fraction volumique f de

fibres. La matrice et la fibre ont des coefficients de dilatation très différents, que l’on

supposera isotropes (respectivement α m et α f ). En raison de la géométrie du matériau,

on suppose que l’état de contrainte qui se développe est uniaxial, dans le sens des fibres.

On caractérise donc uniquement le module longitudinal des fibres, E f , et le coefficient

de Poisson correspondant, ν f . La matrice est quant à elle caractérisée par E m et ν m . Les

fibres sont disposées selon l’axe x 1 .

1. Donner une estimation de l’état de contrainte dans le matériau lorsque, partant

d’un état initial libre de déformations et de contraintes, on applique une différence de

température uniforme de ∆T .

On note respectivement σ f et σ m les seules composantes non nulles des tenseurs de

contraintes (respectivement σ f 11 dans la fibre et σ11 m dans la matrice). Les déformations

longitudinales seront alors ε f 11 et ε m 11, les déformations transversales ε f 22 et ε m 22. La résultante

selon l’axe 1 est nulle, et les déformations selon l’axe 1 sont égales. Donc :

fσ f + (1 − f)σ m = 0 ε f 11 = ε m 11 = ε 11

La déformation se décompose en une part élastique et une part thermique, soit :

σ f

E f

+ α f ∆T = σm

E m

+ α m ∆T

La résolution du système en contraintes donne, en posant E = fE f + (1 − f)E m :

σ f = (1 − f) E mE f

E (α m − α f )∆T σ m = − f

1 − f σf = −f E mE f

E

(α m − α f )∆T

2. En déduire les coefficients de dilatation moyens en direction longitudinale et

transversale.

En reportant les résultats précédents dans l’expression de ε 11 , on introduit le coefficient

de dilatation longitudinale α L :

ε 11 = ε f 11 = (1 − f) E m

E (α m − α f )∆T + α f ∆T = fα fE f + (1 − f)α m E m

∆T = α L ∆T

E

La déformation transverse ε 22 est la moyenne des déformations de chaque phase :

ε 22 = fε f 22 + (1 − f)ε m 22 = f(−ν f

σ f

E f

+ α f ∆T ) + (1 − f)(−ν m

σ m

E m

+ α m ∆T )


6.6. COMPOSITES À FIBRES LONGUES 111

Il vient alors, en posant α = fα f + (1 − f)α m :

(

ε 22 =

(fσ f − ν f

+ ν ) )

m

+ α ∆T

( E f E m

f(1 − f)(νm E f − ν f E m )(α m − α f )

=

E

= α T ∆T

si bien qu’on obtient un encadrement de α :

)

+ α ∆T

α T = f(1 − f)(ν mE f − ν f E m )(α m − α f )

+ α α α L = fα fE f + (1 − f)α m E m

E

E

On a tracé (Fig.1) les courbes résultantes pour les différentes estimations et bornes, dans

le cas d’un composite verre–résine polyester. On observe que l’estimation faite selon le sens

transverse est au-dessous de la borne minimale ( !). Cela remet en cause les hypothèses

de la comparaison :

9e-05

8e-05

max

min

longi

trans

7e-05

6e-05

alpha

5e-05

4e-05

3e-05

2e-05

1e-05

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Vol fraction

Figure 1 : Courbes obtenues pour un composite fibre de verre–résine polyester, avec :

E f =74000 MPa, ν f =0.25, α f =5.10 −6 , E m =4000 MPa, ν m =0.4, α m =8.10 −5 .

- d’une part, supposer le champ uniaxial est trop réducteur ;

- par ailleurs, l’expression de la borne inférieure utilisée ici est trop simple. Le matériau

étant anisotrope, il faut aussi tenir compte d’un terme déviatorique pour mesurer le

coefficient de dilatation thermique, qui devient alors un tenseur.

3. Une approche plus générale du problème, mais appliquée dans le cadre d’un matériau

isotrope (composite inclusion-matrice), montre que le coefficient de dilatation homogénéisé

d’un composite biphasé, α h , composé des matériaux 1 et 2, vaut :

α h = 〈α〉 + 1/Kh − 〈1/K〉

1/K 1 − 1/K 2

(α 1 − α 2 ).

où 〈.〉 est une opération de moyenne arithmétique, et où K f et K m désignent

respectivement les modules de compressibilité des matériaux 1 et 2. Les valeurs de K h

sont encadrées par les bornes de Voigt et Reuss, ce qui fournit donc un encadrement de

α h . Avec les notations précédentes, on obtient successivement, pour K h :

1

(1 − f)K m + fK f

1

K h 1 − f

K m

+ f K f


112 CHAPITRE 6. EXERCICE

et pour α h :

α +

(

1

1 − f

− + f )

(1 − f)K m + fK f K m K f

1/K f − 1/K m

(α f − α m ) α h α

avec α = 〈α〉 = (1 − f)α m + fα f

Vérifier que, si ν f =ν m , la borne min correspond à la valeur préalablement estimée en sens

travers.

La courbe figure 2 montre comment se transforme la courbe précédente lorsque l’on

ramène la valeur de ν m à 0.25, ce qui conduit à ν m = ν f . L’estimation transverse est bien

sur la borne minimale.

9e-05

8e-05

max

min

longi

trans

7e-05

6e-05

alpha

5e-05

4e-05

3e-05

2e-05

1e-05

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Vol fraction

Figure 2 : Courbes obtenues lorsque les coefficients de Poisson sont égaux :

E f =74000 MPa, ν f =0.25, α f =5.10 −6 , E m =4000 MPa, ν m =0.25, α m =8.10 −5 .

4. Application numérique : tracer en fonction de la fraction volumique de fibres les deux

estimations précédentes et les deux bornes de la question 3, pour le cas d’un composite

fibre de verre–résine (E f =74000 MPa, ν f =0.25, α f =5.10 −6 , E m =4000 MPa, ν m =0.4,

α m =8.10 −5 ). Discuter.

6.6.3 Assemblage collé

Afin de pouvoir saisir une éprouvette en composite entre les mors d’une machine de

traction, on réalise un collage entre deux plaques d’aluminium. Comme l’indique la figure

3, il y a donc deux joints de colle, de part et d’autre de l’éprouvette en composite.

Les plaques d’aluminium ont chacune une épaisseur de e 1 , l’épaisseur de l’éprouvette

en matériau composite est 2e 2 . Les couches de colle ont chacune une épaisseur h, le

recouvrement entre les plaques porte sur une distance l. L’axe x 1 est l’axe de traction de

l’éprouvette, l’axe x 3 est normal au plan de l’éprouvette. On suppose que l’ensemble est

de faible dimension en direction x 2 , ce qui autorise à tenter une modélisation dans le plan

x 1 –x 3 , en négligeant les efforts en direction 3. On supposera que toutes les forces et les

déplacements dépendent uniquement de x 1 .


6.6. COMPOSITES À FIBRES LONGUES 113

x 3

l

e

1

2e 2

x

1

Figure 3 : collage composite - plaques aluminium

Les modules de la plaque composite et de l’aluminium étant grands par rapport à celui

de la colle, il est raisonnable de supposer que la colle est cisaillée (glissement simple)

entre les plaques, dans lesquelles les segments initialement parallèles à x 3 restent parallèles

pendant la traction (force F).

1. En considérant successivement l’équilibre d’une tranche (dx 1 –e 1 ) d’aluminium, et

(dx 1 –e 2 ) de composite, autour du joint supérieur de colle, donner les relations entre les

forces de traction par unité d’épaisseur N 1 et N 2 , dans l’aluminium et dans le composite,

et le cisaillement à l’interface, τ.

La première équation d’équilibre, intégrée sur les petits volumes considérés, donnent :


(σ 11,1 + σ 13,3 )dx 1 dx 3 = 0

Il s’agit d’un cas simplifié de théorie des poutres, dans lequel ne subsiste que l’effort normal

dans la section de la poutre, mais avec une sollicitation extérieure tangente à la surface.

Le premier terme de l’intégrale correspond à la dérivée de l’effort normal par rapport à

x 1 . On transforme le second terme en intégrale sur le contour. Il vient donc un terme en

σ 13 n 3 , n 3 étant la normale à la surface chargée en cisaillement. Ce terme vaut donc −τ

pour l’élément de volume d’aluminium (normale (0,-1)), et τ pour la plaque composite. Il

vient donc :

N 1,1 + τ = 0 N 2,1 − τ = 0

Si on suppose que le déplacement horizontal est le même en tout point des plaques, et

qu’on le désigne par U 1 dans l’aluminium et par U 2 dans le composite, il vient :

N 1 = E 1 e 1 U 1,1 N 2 = E 2 e 2 U 2,1

2. Proposer un champ de déplacement pour la colle, et en déduire la relation entre les

déplacements des plaques et le cisaillement τ.

En supposant que la colle est en glissement simple, la valeur du cisaillement produit

(petites déformations) est :

γ = U 2 − U 1

= τ h µ c

D’où on déduit :

h

τ ,1 = U 2,1 − U 1,1 = N 2

− N 1

= y(x 1 )

µ c E 2 e 2 E 1 e 1

Les relations entre les efforts normaux et τ se recombinent de la façon suivante :

N 1,1

+

τ = 0

E 1 e 1 E 1 e 1

N 2,1


τ = 0

E 2 e 2 E 2 e 2


114 CHAPITRE 6. EXERCICE

soit :

y ,1 =

( 1

E 1 e 1

+ 1

E 2 e 2

)

τ

3. Trouver l’équation différentielle du second ordre que vérifie la fonction y de x 1 telle

que :

L’équation est donc finalement :

y ,11 − ω 2 y = 0

dont la solution générale est :

y = N 2

E 2 e 2

− N 1

E 1 e 1

avec ω 2 = µ c

h

y = a cosh ωx 1 + b sinh ωx 1

Les conditions aux limites sont :

- en x 1 = 0, N 1 = F , N 2 = 0, soit y = − F

E 1 e 1

= a ;

( 1

E 1 e 1

+ 1

E 2 e 2

)

- en x 1 = l, N 1 = 0, N 2 = F , soit y = F = a cosh ωl + b sinh ωl L’application de ces

E 2 e 2

conditions aux limites conduit à :

y = − F cosh ωx 1 + F sinh ωx 1

E 1 e 1 sinh ωl

( 1

+ 1 )

cosh ωl

E 2 e 2 E 1 e 1

4. Intégrer cette équation, et déterminer les constantes d’intégration en x 1 = 0 et

x 1 = l.

On trouve enfin le cisaillement en prenant la dérivée de y :

τ = F µ (

− sinh ωx 1

+ cosh ωx ( ))

1 1 cosh ωl

+

ωh E 1 e 1 sinh ωl E 2 e 2 E 1 e 1

La courbe fonction de x 1 présente des valeurs maximum aux deux extrémités du collage.

On a respectivement :

- en x 1 = 0, τ(0) = F µ (

)

1

ωh E 2 e 2 sinh ωl + 1

;

E 1 e 1 tanh ωl

- en x 1 = l, τ(l) = F µ (

)

1

ωh E 2 e 2 tanh ωl + 1

.

E 1 e 1 sinh ωl

Dans la plupart des configurations numériques, le terme en sinh est très grand, et tanh ≈ 1.

L’efficacité maximum du système commande que les produits E 1 e 1 et E 2 e 2 soient égaux.

La rupture éventuelle d’un collage débute donc à partir des bords. On peut diminuer les

efforts en considérant un recouvrement plus long. La figure ci-dessous montre la courbe

obtenue pour les conditions préconisées.

5. Déterminer l’expression du cisaillement τ et la tracer en fonction de x 1 sur

l’intervalle (O–l). Discuter le paradoxe concernant les conditions aux limites pour τ en

x 1 = 0 et x 1 = l.


6.6. COMPOSITES À FIBRES LONGUES 115

Le cisaillement calculé ici n’est donc pas nul sur les faces verticales du joint de colle,

qui sont pourtant des surfaces libres. On retrouve donc bien dans ce calcul approché

le problème classique du cisaillement dans les théories de poutre. En fait, si la surface

est libre, la forme du bord n’est pas linéaire, comme supposé dans les hypothèses pour

construire le cisaillement. Des calculs de structures montrent néanmoins que les résultats

d’un calcul complet se raccordent très rapidement à ceux qui sont trouvés ici, si bien que

le niveau de la concentration de contrainte est bien réaliste. Il représente en particulier

une bien meilleure approximation que celle qui consisterait à répartir uniformément le

cisaillement sur l’ensemble du joint.

20

18

16

14

tau (MPa)

12

10

8

6

4

2

0

0 5 10 15 20 25 30

x (mm)

Figure 4 : Evolution du cisaillement à l’interface aluminium–composite ; conditions du

calcul pour l’aluminium, E 1 = 75000 MPa, e 1 = 2. mm ; pour le stratifié,

E 2 = 100000 MPa, e 2 = 1.25 mm ; pour la colle (araldite), µ c = 1700 MPa, h = 0.1 mm,

l = 30 mm ; force par unité d’épaisseur, F =70 MPa/mm


116 CHAPITRE 6. EXERCICE

6.7 Etude de la flexion d’un bilame

Le but de cet exercice est d’examiner la courbure d’une plaque circulaire constituée

de deux couches sous l’effet d’un changement de température. La plaque est composée de

deux couches homogènes, le dépôt et le substrat qui ont respectivement des épaisseurs e d

et e s , des modules d’Young E d et E s , et des coefficients de Poisson ν d et ν s . L’épaisseur

du dépôt est supposée très petite devant celle du substrat, ce qui est généralement le

cas lorsqu’on traite le cas des ¡¡wafers¿¿, supports en silicium sur lesquels on vient

fabriquer les puces en microélectronique (il y a environ 3 ordres de grandeur d’écart).

Les coefficients de dilatation thermique sont respectivement α d et α s . On suppose que le

champ de température initial est uniforme, et on applique au système une variation de

température T , supposée également uniforme. Comme la distribution des matériaux dans

l’épaisseur n’est pas symétrique, il apparaît un couplage ¡¡membrane–flexion¿¿, si bien

que le simple changement de température va générer une courbure de la plaque, et des

contraintes thermomécaniques autoéquilibrées à l’intérieur des couches.

1. Indiquer comment est modifiée la loi de comportement d’une plaque homogène en

présence de dilatation thermique. On utilisera pour le moment des notations sans indices,

E, ν, e, α, et on supposera que le plan moyen de la plaque est le plan (x 1 ,x 2 ), donc que

−e/2 x 3 e/2.

La loi de comportement comprend un terme de membrane, un terme de flexion, et un

terme de cisaillement transverse. La loi de comportement, qui relie les termes caractérisant

les efforts et ceux qui définissent la cinématique, est établie en postulant une forme de

champ de contrainte dans la plaque. Le fait d’introduire un terme de dilatation thermique,

ε th


= αT I


, ne va pas modifier la partie cisaillement. Il faut par contre examiner son

influence sur les efforts axiaux et les moments. La loi de comportement restreinte aux

composantes 11 et 22, avec σ 33 = 0, s’écrit :

)

= E ( ) ( )

1 ν ε11 − αT

σ 22 1 − ν 2 ν 1 ε 22 − αT

(

σ11

L’estimation des termes N 11 et N 22 s’effectue en intégrant respectivement σ 11 et σ 22 sur

l’épaisseur de la plaque. Ceci donne par exemple pour N 11 :

N 11 =

E ∫ e/2


1 − ν 2 11 + νε 22 − (1 + ν)αT )dx 3

−e/2

Les déformations s’expriment en fonction des composantes du déplacement de membrane

et des angles de rotation : ε 11 = U 1,1 + θ 2,1 x 3 et ε 22 = U 2,2 − θ 1,2 x 3 . Les termes linéaires

en x 3 , qui sont impairs, disparaissent comme d’habitude dans l’intégration entre −e/2 et

e/2, mais il reste un terme supplémentaire par comparaison avec la solution du cours :

N 11 =

Ee

1 − ν (U 2 1,1 + νU 2,2 ) − EαT e

1 − ν

On a donc :

( )

N11

= Ee ( ) ( )

1 ν U1,1

− EαT e ( 1

N 22 1 − ν 2 ν 1 U 2,2 1 − ν 1)


6.7. ETUDE DE LA FLEXION D’UN BILAME 117

L’estimation des termes M 11 et M 22 s’effectue en intégrant respectivement x 3 σ 11 et x 3 σ 22

sur l’épaisseur de la plaque. Ceci donne par exemple pour M 11 :

M 11 =

E ∫ e/2

(x

1 − ν 2 3 ε 11 + νx 3 ε 22 − (1 + ν)αT x 3 )dx 3

−e/2

Cette fois-ci, le terme provenant de la dilatation thermique est linéaire en x 3 , si bien qu’il

disparaît dans l’intégration, et que la loi de comportement est inchangée par rapport à la

solution isotherme : ( )

( ) ( )

M11 Ee 3 1 ν θ2,1

=

M 22 12(1 − ν 2 ) ν 1 −θ 1,2

2. On se préoccupe dans cette question des équations d’équilibre résultant de

l’assemblage des deux couches. Justifier le fait que le moment de flexion dans le dépôt

est négligeable devant le moment résultant sur le substrat. On raisonne dans un premier

temps en conditions axisymétriques, si bien que les composantes 11 et 22 sont égales. En

écrivant l’équilibre des efforts pour une section droite de la plaque multicouche, déterminer

l’effort normal N s = N s 11 = N s 22 et le moment de flexion M s = M s 11 = M s 22 dans la couche

de substrat en fonction de l’effort normal N d = N d 11 = N d 22 dans la couche de dépôt.

x 3

N d

N s

e s E s ν s α s

x 1

M s

Figure 1 : Equilibre d’une section droite

La résultante des efforts normaux est nulle, puisqu’il n’y a pas d’efforts extérieurs

appliqués sur le système. On en déduit :

N s + N d = E de d

1 − ν d

(ε − α d T ) + E se s

1 − ν s

(ε − α s T ) = 0

On a noté ε les termes U 1,1 et U 2,2 , qui sont supposés égaux dans les deux couches, ce qui

signifie que l’extension moyenne est la même dans les deux couches, et que le problème

est axisymétrique. On fait en effet l’hypothèse qu’il y a continuité du déplacement entre

les couches. Il est donc possible d’éliminer ε et de trouver l’expression de N d :

N d =

E d e d E s e s

(α s − α d )T

1 − ν d 1 − ν s

E d e d

+ E se s

1 − ν d 1 − ν s

Comme les valeurs des constantes du modèle élastique et des coefficients de dilatation

thermique sont du même ordre pour les deux matériaux, mais que la couche de dépôt est

d’épaisseur négligeable, la valeur de l’effort normal dans le substrat est finalement :

N s = −N d ≈ E de d

1 − ν d

(α d − α s )T


118 CHAPITRE 6. EXERCICE

L’effort est donc d’autant plus grand que la différence entre les coefficients de dilatation

thermique est importante, que le dépôt est épais et que son module de Young est grand.

Le moment dans le substrat se calcule en considérant l’effort appliqué par le dépôt sur le

substrat, effort concentré appliqué à une distance e s /2 de la surface moyenne du substrat :

M s = N d e s

2

3. Calculer la valeur de la courbure, en supposant que le substrat est une plaque mince

de Love-Kirchhoff

Si la plaque est mince, les dérivées des angles qui interviennent dans l’expression des

moments sont égales à la courbure :

θ 2,1 = −W ,11 = −θ 1,2 = −W ,22 = 1 R

La relation entre le moment et le rayon de courbure dans le substrat est donc :

M s =

E s e 3 s

12(1 − ν s )

En remplaçant M s par son expression en fonction de N d , il vient :

Si on exprime maintenant N d :

où on a posé :

1

R

1

R = 6(1 − ν s)N d

E s e 2 s

1

R = 6E′ d


e s E s

′ d − α s )T

E ′ s = E se s

1 − ν 2 s

E ′ d = E de d

1 − ν 2 d

Remarques :

Le champ de contrainte dans le substrat se calcule en superposant la contribution de

l’effort de membrane et celle du moment de flexion. Le premier fournit un champ de

contrainte uniforme dans l’épaisseur, alors que le second génère un champ impair en x 3 .

Le résultat est donc une distribution affine ; la surface sur laquelle la contrainte s’annule

est située au tiers de la plaque à partir du la face qui porte le substrat. On trouve en

effet :

σ 11 = σ 22 = N 11

s + 12 x 3

M11 s = N (

d

−1 + 6x )

3

e s e s e s e s

expression qui s’annule bien lorsque x 3 = e s /6.

e 2 s

3. En fait, on observe que, sur de grandes plaques, de diamètre 200 à 300 mm, la

flexion n’est pas axisymétrique, mais elle s’effectue selon une direction préférentielle.

Cela conduit à reconsidérer les conditions aux limites, et à utiliser à la place une

hypothèse de déformation plane. Recommencer les calculs précédents et donner la


6.7. ETUDE DE LA FLEXION D’UN BILAME 119

nouvelle expression du rayon de courbure. On réalisera ensuite l’application numérique

pour une plaque de 30 cm de diamètre consstituée d’un substrat en silicium et

d’un dépôt de nickel, soumise à une diminution de température T=-300 ◦ C :

E s =112 GPa ν s =0.28 α s = 3.10 −6 ◦ C −1 e s = 200 µm

E d =207 GPa ν d =0.31 α d = 13.10 −6 ◦ C −1 e d = 50 nm

x 3

+

E d

ν d α d

e s e d

e s e d

e d

E s νs α s

2

+

2

e s

x 1

Figure 2 : Géométrie de la plaque composite

On résout cette fois-ci le problème d’une plaque composite chargée en état de

déformation plane selon la direction x 2 . On considère la résultante N 11 et le moment

M 11 correspondant à l’ensemble des couches. Les dérivées partielles par rapport à x 2 sont

nulles, si bien que les équations d’équilibre se réduisent à :

N 11,1 = 0 M 11,11 = 0

Avec les conditions aux limites de bords libres, il vient : N 11 = 0, M 11 = 0, et les équations

de comportement s’écrivent (en prenant ε 22 nul dans l’expression des contraintes) :

⎛ ∫ (ed +e s)/2


E(x

( )

3 )

(ed


+e s)/2

N11

−(e

= ⎜

d +e s)/2 1 − ν 2 (x 3 ) dx E(x 3 )

3

−(e d +e s)/2 1 − ν 2 (x 3 ) x 3dx 3

( )

U,1


M 11 ⎝ (ed +e s)/2


E(x 3 )

(ed +e s)/2


1 − ν 2 (x 3 ) x E(x 3 ) ⎠ θ 2,1

3dx 3

1 − ν 2 (x 3 ) x2 3dx 3

−(e d +e s)/2

−(e d +e

⎛ s)/2

∫ (ed +e s)/2

−T ⎜


−(e d +e

∫ s)/2

(ed +e s)/2

−(e d +e s)/2


E(x 3 )α(x 3 )

1 − ν(x 3 ) )dx 3


E(x 3 )α(x 3 )x 3 ⎠

)dx 3

1 − ν(x 3 )

On peut réécrire les équations de comportement en introduisant une matrice A et un

vecteur B sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )

N11 A11 A

=

12 U,1 B1

− T

M 11 A 21 A 22 θ 2,1 B 2

Les déformations généralisées sont calculées en inversant la matrice A et en utilisant le

fait que N 11 et M 11 sont nuls :

( )

U,1

= A −1 BT

θ 2,1


120 CHAPITRE 6. EXERCICE

Les composantes de la matrice A et du vecteur B sont calculées en remplaçant les

intégrales par des sommes, le substrat étant situé entre x 3 = −(e s + e d )/2 et x 3 =

(e s − e d )/2, et le dépôt entre x 3 = (e s − e d )/2 et x 3 = (e s + e d )/2 :

E s

E d

A 11 = e

1 − νs

2 s + e

1 − νd

2 d

(

E s (es − e d ) 2

A 12 = A 21 =

− (e )

s + e d ) 2

2(1 − νs 2 ) 4 4

(

E d (es + e d ) 2

+

2(1 − νd 2) − (e )

s − e d ) 2

4 4

(

E s (es − e d ) 3

A 22 =

+ (e )

s + e d ) 3

3(1 − νs 2 ) 8 8

(

E d (es + e d ) 3

+

3(1 − νd 3) − (e )

s − e d ) 3

8 8

B 1 = E sα s

e s + E dα d

e d

1 − ν s 1 − ν d

B 2 =

E (

sα s (es − e d ) 2

2(1 − ν s ) 4

+ E (

dα d (es + e d ) 2

2(1 − ν d ) 4

En reprenant la notation de la question 3 et en introduisant

− (e )

s + e d ) 2

4

)

− (e s − e d ) 2

4

E ′′

s = E se s α s

1 − ν s

= α s (1 + ν s )E ′ s E ′′

d = E de d α d

1 + ν d

= α d (1 − ν d )E ′ d

il vient, en négligeant les termes de second et troisième degré en e d :

A 11 = E ′ s + E ′ d

A 12 = A 21 = 1 2 (−E′ se d + E ′ de s )

Le rayon de courbure s’exprime comme :

A 22 = E′ s

12 (e2 s + 6e 2 d) + E′ d

12 (e2 d + 6e 2 s)

B 1 = E s ′′ + E d

′′

B 2 = 1 2 (−E′′ s e d + E ′′

de s )

1

R = θ 2,1 = A 11B 2 − A 12 B 1

A 11 A 22 − A 2 12

En négligeant les termes de second et troisième degré en e d , on trouve :

A 11 B 2 − A 12 B 1 ≈ e s

2 (E′ sE ′′

d − E ′ dE ′′

s )

A 11 A 22 − A 2 12 ≈ e2 sE s


12

2


6.7. ETUDE DE LA FLEXION D’UN BILAME 121

Ce qui donne finalement :

1

R = 6 E sE ′ ′′

e s

d − E′ d E′′ s

E s ′ 2

= 6E′ d

((1 + ν

e s E s

′ d )α d − (1 + ν s )α s )T

La formule diffère de celle obtenue en conditions axisymétriques uniquement par un terme

en (1 + ν) dans chaque matériau.

Application numérique : On trouve R = 17, 543m. On trouve la flèche correspondante

en intégrant deux fois. Si on suppose que la plaque est simplement posée, avec le dépôt

vers le haut, les deux extrémités vont se soulever. En supposant la flèche nulle au milieu,

et -150 mm x 1 150 mm, il vient successivement :

θ 2 (x 1 ) = x 1

R

Le soulèvement maximal est donc de 0,641 mm.

W (x 1 ) = x2 1

2R


18 122 CHAPITRE 6. EXERCICE

6.8 Test Biaxial sur élastomère

0.4 Test Biaxial

Soit une plaque d’un matériau élastomère, présentant un module néo-Hooke µ =

2C 10 Soit = une 0, 75MP plaquea, d’un de 200mm matériaucarré élastomère, et 10mm présentant d’épaisseur, un module les bords néo-Hooke de la µ plaque =2C 10 sont =

0, alignés 75MPa,de200mm parallèlementcarré aux axes et 10mm e 1 etd’épaisseur, e 2 . Quellesles sont bords lesde forces la plaque F 1 et sont F 2alignés qui doivent parallèlement

appliquées aux axes dans e 1 les et edirections 2 .QuellessontlesforcesF respectivement e 1 et eF 2 2pour qui doivent étirer de être manière appliquées homogène dans lesla

directions plaque etrespectivement déformer les bords e 1 et parallèles e 2 pour étirer à la de direction manière1homogène à 400mmla et plaque le bords et déformer parralèleles

de

être

bords la direction parallèles e 2 à la300mm direction e1 à 400mm et le bords parralèle de la direction e 2 à 300mm

Les essais de de traction biaxiaux biaxiaux sont sont généralement utilisés utilisés pour calibrer pour calibrer les parmaètres les parmaètres maté-

matériaux des modèles des modèles de comportements. de comportements. Une solution Une solution analytique analytique de ce typedede cetests typepeut de tests être

facilement peut être développé. facilementPrenons développé. l’exemple Prenons d’un l’exemple essais biaxiale d’un essais homogène biaxiale d’une homogène plaque mince d’une

incompressible plaque mince isotrope. incompressible isotrope.

y 1 1 1 y 2 λ 2 x 2 y 3 = λ 3 x 3 (84)

1 = λ 1 x 1 y 2 = λ 2 x 2 y 3 = λ 3 x 3 (6.23)

Par le calcul direct nous obtenons

Par le calcul direct nous obtenons

F ∼

= y x = λ 1e 1 ⊗ e 1 + λ 2 e 2 ⊗ e 2 + λ 3 e 3 ⊗ e 3 (85)

F


= y

En effet par définition, les directions x = λ 1e 1 ⊗ e 1 + λ 2 e 2 ⊗ e 2 + λ 3 e 3 ⊗ e 3 (6.24)

principales ne tournent pas dans un essai biaxial. Ainsi,

le système de coordonnées coincide avec les directions principales d’étirements et la loi constitutive

prend la forme :

En effet par définition, les directions principales ne tournent pas dans un essai biaxial.

Ainsi, le système de coordonnées coincide avec les directions principales d’étirements et

2

la loi constitutive prend la σ ∼

= forme −p1 ∼

: +2(W 2 I 1 + W 1 ) B ∼

− 2W 2 B ∼

(86)


σ1 =−p +2(W λ 2 1 2W 2λ 4 2

σ


= −p1


+ 2 (W 2 I 1 + W 1 ) B


− 2W 2 B


(6.25)

1

⎪⎨


σ1 = −p + 2 (W 2 I 1 + W 1 )

σ2 =−p +2(W 2 I 1 + W 1 ) λ 2 λ 2

2 − 1 − 2W 2W 2

2λ 4 λ 4 1

2

(87)

⎪⎨

⎪⎩ σ2 = −p + 2 (W

σ3 =−p +2(W 2 I 2 I 1 + W

1 + W 1 ) 1 )

λ 2 λ 2

3 − 2 − 2W 2W 2

2λ 4 λ 4 2

(6.26)

3

Les contraintes sont homogènes

⎪⎩

σ3 = −p et+ les2 équations (W d’équilibre sont satisfaites automatiquement.

A partir des conditions aux limites de traction-libres sur la surface de la plaque, nous

2 I 1 + W 1 ) λ 2 3 − 2W 2 λ 4 3

obtenons :

σ3 0 ⇒ p =2(W 2 I 1 + W 1 ) λ 2 3 − 2W 2 λ 4 3 (88)


6.8. TEST BIAXIAL SUR ÉLASTOMÈRE 123

Les contraintes sont homogènes et les équations d’équilibre sont satisfaites

automatiquement. A partir des conditions aux limites de traction-libres sur la surface

de la plaque, nous obtenons :

σ3 ≃ 0 ⇒ p = 2 (W 2 I 1 + W 1 ) λ 2 3 − 2W 2 λ 4 3 (6.27)

En substituant la pression hydrostatique (multiplicateur de Lagrange) p dans le tenseur

des contraintes 6.26, nous obtenons :


⎨ σ1 = 2 (W 2 I 1 + W 1 ) (λ 2 1 − λ 2 3) − 2W 2 (λ 4 1 − λ 4 3)

(6.28)


σ2 = 2 (W 2 I 1 + W 1 ) (λ 2 2 − λ 2 3) − 2W 2 (λ 4 2 − λ 4 3)

De plus

I 1 = trace(B


) = λ 2 1 + λ 2 2 + λ 2 3 (6.29)

On peut réécrire les contraintes sous la forme :


⎨ σ1 = 2 (W 2 λ 2 2 + W 1 ) (λ 2 1 − λ 2 3)

la condition d’incompressibilité implique :


σ2 = 2 (W 2 λ 2 1 + W 1 ) (λ 2 2 − λ 2 3)

(6.30)

λ 3 = 1

λ 1 λ 2

(6.31)

Les équations 6.30 sont souvent utilisées pour la calibration expérimentale des

matériaux moux tels que les élastomères en notamment faisant varier le rapport des

contraintes appliquées.

Les contraintes ingénieurs sont déduites à partir des contraintes de Piola-Kirchoff I

(boussinesq) :

S i = λ −1

i σ i (6.32)

Les contraintes ingénieurs dans les directions e 1 et e 2 s’expriment telles que :

S 1 = 2C 10 (λ 1 − pλ −1

1 = 0.75 ( 2 − 1 ∗ 1 9 2)

= 1.4583Mpa

S 2 = 2C 10 (λ 2 − pλ −1

2 = 0.75 ( 1.5 − 1 ∗ ) (6.33)

1

9 1.5 = 1.0694Mpa

Les forces sont alors obtenus en multipliant les contraintes ingénieurs par les sections

initiales de la plaque respectivement perpendiculaires aux directions e 2 et e 2

F 1 = S 1 ∗ A 1 = 1.4583e 6 ∗ (200e −3 ∗ 10e −3 ) = 2917N

F 2 = S 2 ∗ A 2 = 1.0694e 6 ∗ (200e −3 ∗ 10e −3 ) = 2139N

(6.34)


124 CHAPITRE 6. EXERCICE


Chapitre 7

Notations

u

u ′

δW ext

δW int

N

T

M

e

ε


, ε


ε


th

ε

∼ p , ε


vp

σ


Champ de déplacement

Champ de déplacement virtuel

Travail virtuel des efforts extérieurs connus

Travail virtuel des efforts intérieurs

Effort normal

Effort tranchant

Moment fléchissant

Tenseur de déformations (petites perturbations), déformation élastique

Tenseur de dilatation thermique

Tenseur de déformation plastique, viscoplastique

Tenseur de contrainte de Cauchy

f , n


Fonction de charge ; dérivée par rapport aux contraintes ∂f/∂σ


I 1 , I 2 , I 3 Invariants du tenseur de contrainte

J 1 , J 2 , J 3 Invariants du déviateur de contrainte

J Second invariant du déviateur des contraintes

A i , α

∼ i Variables d’écrouissage

R, X


Variables d’écrouissage isotrope, cinématique

σ y Limite d’élasticité initiale

H Module plastique

W Energie de déformation

F Energie potentielle

Ω Potentiel viscoplastique

E ∼

Tenseur de déformations de Green-Lagrange

G Taux de restitution d’énergie

Ténacité

K IC

125


126 CHAPITRE 7. NOTATIONS


Deuxième partie

Approche expérimentale de la

mécanique de matériaux solides

127


Chapitre 8

Approche expérimentale et inductive

8.1 Objectifs et évaluation des mini-projets

Deux des principaux objectifs de ce cours sont de découvrir et de pratiquer une

approche inductive de la mécanique des matériaux solides. Savoir observer, émettre des

hypothèses, proposer un ou des modèles, analyser les résultats expérimentaux à l’aide de

ce ou ces modèle(s), sont les éléments de cette approche inductive.

L’évaluation de savoirs acquis par les mini-projets aura pour support les comptes rendu

de séance de mini-projet et une présentation orale. Les points suivants seront évalués :

– présentation du matériau étudié,

– présentation des méthodes expérimentales mises en œuvre,

– présentation des hypothèses et des modèles introduits pour analyser ce qui a été

observé ou mesuré,

– pertinence de l’analyse des résultats expérimentaux,

– précision de l’argumentation scientifique,

– qualité des figures et des courbes présentées,

– qualité des réponses aux questions posées lors de la soutenance,

– qualité et concision des rapports de séance de mini-projet,

– autonomie et investissement personnel au cours des séances de mini-projet.

La note finale sera la moyenne de la note d’examen et de la note de mini-projet.

8.2 Description des mini-projets

8.2.1 Rupture de billes de verre

On génère une multitude de petites fissures (dites de faiençage thermique) en plongeant

dans l’eau glacée une bille préalablement mise au four. A l’inverse, une bille préalablement

refroidie (azote liquide) va se rompre par l’intérieur. On étudie les divers modes de rupture

possibles liés aux contraintes thermomécaniques, et on cherche à prévoir la taille des

réseaux de fissures.

8.2.2 Retour élastique lors du pliage d’une tôle en acier

Ce projet a pour but d’illustrer le retour élastique de tôles en acier ou en aluminium

après déformation plastique par pliage ; il montre que le rayon final est d’autant plus

129


130 CHAPITRE 8. APPROCHE EXPÉRIMENTALE ET INDUCTIVE

grand que (i) la tôle est mince, (ii) la limite d’élasticité est faible.

8.2.3 Etude de la mise en forme d’une tôle en acier

On étudie le pliage de deux tôles d’acier différents afin d’évaluer l’influence du

comportement mécanique sur la formabilité du matériaux. Pour cela les essais de pliages

sont réalisés sur la machine de compression ; les mesures de la force et du déplacement

sont alors comparés à des résultats de calculs.

8.2.4 Photoélasticité sur une poutre en flexion

La question est de caractériser les champs des contraintes dans des poutres en PMMA

mise en flexion en utilisant la photoélasticité. On cherchera à mesurer l’orientation et la

valeur des contraintes principales dans ces poutres et on en déduira une prévision de la

charge à la rupture des poutres, que l’on validera enfin par l’expérience

8.2.5 Fluage et relaxation d’un fil de brasure

Les fils de brasures étain-plomb présentent un comportement viscoplastique à la

température ambiante. On cherche à identifier la loi correspondante en utilisant des essais

de fluage et de relaxation. Le projet comporte donc la réalisation des essais, leur analyse,

et leur simulation numérique avec des lois qui sont à définir.

8.2.6 Montages rhéologiques complexes

En utilisant des fils de brassure, des fils rigides, et des ressorts, on va construire un

certains nombre de modèle réologiques complexes qui seront ensuite testés en traction, en

fluage, et en relaxation sur la machine d’essais mécaniques, puis comparés aux modèles

théoriques.

8.2.7 Un mécano pour jouer avec les poutres

La théorie permet entre autres d’étudier la déformée des poutres, le risque de

flambement, les vibrations. Ce mini-projet offre l’occasion de comparer les résultats

numériques avec des expériences simples, qui permettent de juger de la validité des

hypothèses avancées, pour plusieurs géométries et plusieurs matériaux.

8.2.8 Comportement de plaques composites

La superposition d’un grand nombre de plis élémentaires constitués de nappes de

fibres unidirectionnelles noyées dans une matrice permet d’optimiser les propriétés des

plaques composites obtenues vis-à-vis de chargements imposé particuliers (traction,

flexion, torsion). On se propose dans ce projet de mener de façon coordonnée une étude

expérimentale et des simulations numériques, afin de mieux comprendre les raisons de

l’excellente tenue des matériaux composites.


8.2. DESCRIPTION DES MINI-PROJETS 131

8.2.9 Flexion et torsion d’un ski

Un ski est une structure complexe qui supporte des efforts importants et qui doit

combiner rigidité en patin et souplesse en spatule. Ce mini-projet offre l’occasion de tester

un ski en flexion et torsion, et de faire le lien entre la structure interne et les propriétés

mécaniques globales. On fournit pour cela une paire de ski, l’un est entier, l’autre découpé

en plusieurs morceaux.

8.2.10 Etude de la bifurcation d’une fissure

Une fissure dont la direction est perpendiculaire à la direction de la plus grande

contrainte normale principale se propage en général en ligne droite, dans un matériau

isotrope. Ce projet permet d’étudier le chemin qu’elle suit lorsqu’elle n’est pas orientée

ainsi en début de sollicitation. Plusieurs critères théoriques seront comparés aux essais,

qui seront réalisés pendant le mini-projet.

8.2.11 Comportement des élastomères chargés

On durcit classiquement les élastomères en réalisant des mélanges avec des poudres

de carbone, dont les grains sont de taille micrométrique. Le but de ce projet est d’étudier

plutôt le renfort obtenu à l’aide de nanotubes de carbone, de taille mille fois plus faible,

et dont les propriétés mécaniques sont exceptionnelles. Il s’agit donc de réaliser des essais

mécaniques sur des mélanges disponibles pour le projet, et de développer un modèle simple

expliquant le comportement obtenu.

8.2.12 Comportement d’une balle de squash

Le comportement d’une balle de squash constitue une excellente étude de cas pour

comprendre le comportement des caoutchoucs. Les caoutchoucs font partis d’une classe

de matériau, les élastomères, très utilisés dans l’industrie notamment pour leurs grandes

déformabilités uniques et leurs pouvoir amortissants. Les applications sont multiples

telles que les amortisseurs, les pneumatiques... A travers ce ’simple’ cas, le formalisme

et les mécanismes de déformations des élastomères seront étudiés. Ainsi vous découvrirez

pourquoi avant de commencer une partie de squash, il faut ”chauffer” la balle.

8.2.13 Comportement d’une balle de ping-pong

Le but de ce mini-projet est d’étudier le flambage d’une coque mince en utilisant

comme essai de référence l’écrasement d’une balle de Ping-pong entre deux plateaux.

L’étude combine approche expérimentale, modèle analytique et modèle numérique.

8.2.14 Etude de la tenue d’un assemblage fretté

On étudie dans ce mini-projet l’assemblage d’un pointeau en PMMA et d’un poussoir

en alliage d’aluminium. L’assemblage des 2 pièces est réalisé par frettage. Le système est

utilisé pour réguler une fuite d’huile afin de temporiser le mouvement d’une barrière. Il

ne subit pas d’efforts mécaniques notables lorsqu’il est en service, néanmoins on déplore

dans certains cas des ruptures différées.


132 CHAPITRE 8. APPROCHE EXPÉRIMENTALE ET INDUCTIVE

8.2.15 Etude de biomatériaux, les hydrogels

Les hydrogels sont des matériaux biocompatibles que l’on peut utiliser en

remplacement des disques intervertébraux. Leur utilisation nécessite bien entendu une

caractérisation fine, que l’on se propose d’effectuer dans ce projet.

8.2.16 Contact d’une sphère et d’un plan rigide

On s’intéresse dans ce projet à la zone de contact entre une sphère en caoutchouc et

un plateau rigide lorsque l’on écrase cette balle avec une force donnée. Grace à la théorie

du contact de Herz, la relation entre la force et le diamètre de la zone de contact donne

des informations précieuses sur les propriétés mécanique du caoutchouc.

8.2.17 Compression de canettes métaliques

Le flambage des structures est un mode de ruine complexe difficile à anticiper sur des

structure rééles. Il faut donc mettre à l’épreuve la théorie de stabilité sur des cas simple

comme les tubes minces qui sont représentés ici par des canettes métalliques. On évaluera

la charge et le mode de flambage pour diverses géomètrie et on comparera les résultats

aux modèles théoriques.

8.2.18 Comportement d’une mousse rigide

Les mousses de polymères servent dans de nombreuses applications industrielles

en raison de leur bon rapport résistance mécanique/masse volumique. En fonction

de l’application visée on peux augmenter la densité de la mousse pour améliorer ses

propriétés. On cherchera dans ce projet à étudier de manière expérimentale et théorique

le lien entre densité de la mousse et propriétés mécanique.

8.2.19 Resistance au flambement de pots de yaourt

Le packaging joue un rôle très important dans l’industrie agroalimentaire. Un

emballage alimentaire possède entre autres des fonctions mécaniques que l’on étudiera

ici dans le cas des pots de yaourt. On analysera ainsi dans ce projet la résistance au

flambement de 2 types de géomètries ainsi que le rôle du papier d’emballage.

8.2.20 Etude expérimentale et analyse de l’essai d’étirage de

films minces en polymère

Les films de polymères sont couramment utilisés pour des applications de protection

dans des domaines aussi divers que l’optique, l’automobile ou des applications médicales.

Ce mini-projet porte sur l’étude expérimentale et l’analyse des résultats d’un essai

d’étirage de films minces en polymère. La première étape consiste à mettre au point l’essai

d’étirage. Un marquage régulier réalisé à la surface de l’éprouvette permettra de vérifier si

la déformation du film au cours de l’essai est homogène et dans le cas contraire, d’effectuer

une analyse locale des déformations. Des prises de vues régulières permettront un posttraitement

de ces informations. Plusieurs essais mécaniques seront réalisés à température


8.2. DESCRIPTION DES MINI-PROJETS 133

ambiante et pour diverses vitesses de déformation. Deux types d’informations seront

analysés : l’évolution de la force en fonction du déplacement de la traverse et du temps,

ainsi que celle de la forme de l’éprouvette et du marquage au cours de l’essai. A partir des

courbes expérimentales, on remontera à l’évolution de la contrainte nominale en fonction

de la déformation nominale, en se référant à la géométrie initiale de l’éprouvette, puis

à l’évolution de la contrainte équivalente en fonction de la déformation équivalente pour

une vitesse de déformation équivalente donnée. On se basera dans un premier temps sur

l’hypothèse d’une déformation plane puis sur une analyse locale des déformations. Cette

étape sera suivie du choix d’une loi de comportement représentative du matériau étudié.

On procédera alors à l’identification de ses paramètres, graphiquement puis à l’aide d’une

méthode d’optimisation. Les différents résultats pourront être comparés à ceux obtenus à

l’aide d’une modélisation éléments finis de l’essai et la validité des différentes hypothèses

retenues lors des dépouillements analytiques discutée.


134 CHAPITRE 8. APPROCHE EXPÉRIMENTALE ET INDUCTIVE


Bibliographie

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élancés, département de mécanique, ecole polytechnique, catalogue.polytechnique.fr,

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