Séance3-TP2 - Cours - École Polytechnique de Montréal

ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL
DÉPARTEMENT DE GÉNIE ÉLECTRIQUE
AUTOMNE 2011
COURS ELE2700
ANALYSE DES SIGNAUX
SÉANCE #3 (TP2)
FENÊTRES TEMPORELLES
OBJECTIFS
Étudier et comparer l’effet de différentes fenêtres temporelles utilisées pour l’analyse
spectrale de signaux de longues durées.
TABLE DES MATIÈRES
1 Théorie de base ....................................................................................................................... 2
2 Programmation avec MATLAB
2.1 Fenêtres temporelles ......................................................................................................... 5
2.2 Transformée de Fourier .................................................................................................... 5
3 Travail à effectuer .................................................................................................................. 7
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ELE3700 – ANALYSE DES SIGNAUX / TRAVAUX PRATIQUES / SÉANCE #3
1 THÉORIE DE BASE
Lors de l’analyse spectrale d’un signal de longue durée, nous n’avons accès, en pratique, qu’à
une portion limitée de ce signal. Le spectre obtenu correspond donc au spectre du signal à
analyser auquel une « fenêtre » a été préalablement multipliée. La figure ci-dessous illustre cette
opération.
x(t)
signal à analyser
y(t) = x(t) f(t)
1
Y( jω) = X( jω) ∗F( jω)
2π
[ ]
f(t) : fenêtre
Exemple :
x(t)
t
f(t)
t 1 t 2 t
y(t)
t 1 t 2 t
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Comme on peut le constater, la fenêtre f(t) doit être telle que le spectre Y(jω) puisse être
considéré comme une approximation acceptable de X(jω), le spectre du signal complet. Plusieurs
études ont été effectuées pour déterminer la forme optimale de la fenêtre à utiliser.
Les principales caractéristiques d’une fenêtre peuvent être mises en évidence en utilisant, par
exemple, un signal x(t) sinusoïdal de fréquence ω 0 . Comme on le sait, le spectre X(jω) de la
sinusoïde n’est formé que deux impulsions de Dirac situées à ±ω 0 ; le spectre Y(ω) sera donc (à
un facteur près) F[j(ω+ω 0 )] + F[j(ω-ω 0 )] et nous permettra d’évaluer la qualité de la fenêtre
selon les deux critères suivants :
1
2
ω 0
ω
1 La largeur du lobe central détermine la résolution spectrale de la fenêtre, c’est-à-dire sa
capacité de discriminer deux fréquences proches l’une de l’autre.
2 L’amplitude des lobes latéraux détermine l’étalement spectral de la fenêtre. Un étalement
spectral trop grand nuira à la détection d’un signal d’amplitude faible en présence d’un signal
d’amplitude élevée.
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Exemples de fenêtres
Fenêtre rectangulaire :
f(t)
1
0 τ
t
Fenêtre triangulaire :
f(t)
1
0 ½τ
τ
t
Fenêtre de Blackman :
f(t)
1
⎛2π
t ⎞ ⎛4π
t⎞
0.42 + 0.5cos⎜ − π ⎟+
0.08cos⎜ ⎟
⎝ τ ⎠ ⎝ τ ⎠
0 ½τ
τ
t
Fenêtre de Hamming :
f(t)
0.08
1
2
0.54 0.46cos ⎛ πt
+ ⎜ −π
⎞
⎟
⎝ τ ⎠
0 ½τ
τ
t
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2 PROGRAMMATION AVEC MATLAB
2.1 Fenêtres temporelles
Les commandes triang(n), blackman(n) et hamming(n) produisent directement les
fenêtres voulues selon n points (en vecteurs colonnes).
2.2 Transformée de Fourier
Soit Y(jω), la transformée de Fourier de y(t), un signal borné dans le temps entre 0 et τ.
0
τ
()
− jωt
Y( jω)
= ∫ y t e dt
Lors du travail pratique #2, vous avez réalisé un algorithme permettant l’évaluation de
coefficients de séries exponentielles de Fourier. En appliquant cet algorithme à y(t) selon un
intervalle d’analyse T > τ, on obtient :
Yn
2π
nt
1
− j
T
= y()
t e
T
∫ dt
0
τ
Cette expression correspond à l’évaluation de différents points de Y(jω), la transformée de
Fourier du signal y(t) :
Y( ω) = TY
ω =
2π
n
T
On remarque que l’échantillonnage du spectre Y(jω) est obtenu selon des multiples de 2π/T. On
peut donc en augmenter la précision en augmentant la grandeur de l’intervalle d’analyse T. Dans
ce travail, nous vous suggérons l’intervalle suivant :
n
0 τ T
t
Intervalle [ 0 τ ] représenté par 1024 points
Intervalle [ 0 T ] représenté par 16384 points
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Programme suggéré (à compléter ou modifier)
% CONSTRUCTION DU VECTEUR SIGNAL y DE 1024 POINTS
y= ;
% INTERVALLE D’ANALYSE
T= ;
% ÉVALUATION DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
tfy=T*fft([y zeros(1,15360)])/16384;
% AFFICHAGE DU RESULTAT
omega= 2*pi*[0:8191]/T;
plot(omega,abs(tfy(1:8192)))
grid
title(’TRANSFORMÉE DE FOURIER DE y(t)’)
xlabel(’Fréquence angulaire (rad/s)’)
ylabel (’Module’)
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3. TRAVAIL À EFFECTUER
Au début de la séance, deux fenêtres vous serons désignées. Vous utiliserez le logiciel MATLAB
pour :
• mettre en évidence par une simulation pertinente (1) la supériorité d’une fenêtre sur l’autre en
ce qui a trait à la résolution spectrale,
(1) deux sinusoïdes de fréquences très proches l’une de l’autre
• mettre en évidence par une simulation pertinente (2) la supériorité d’une fenêtre sur l’autre en
ce qui a trait à l’étalement spectral.
(2) une sinusoïde d’amplitude forte + une sinusoïde de fréquence différente et d’amplitude faible
Avant la fin de la séance, vous devrez remettre :
des figures illustrant la supériorité d’une fenêtre sur l’autre en ce qui a trait à la résolution
spectrale,
des figures illustrant la supériorité d’une fenêtre sur l’autre en ce qui a trait à l’étalement
spectral,
le listage commenté des commandes MATLAB utilisées.
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