Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

Chapitre 4. Simulation de la Turbulence Homogène Isotrope (THI) 111
4.3 Décroissance énergétique de la turbulence
Dans cette section, l’évolution d’un écoulement de THI en décroissance libre est calculée par
le code EVEREST puis comparée avec son évolution prédite par les équations du modèle k − ε
(cf. 2.2.3.2).
4.3.1 Validation des comportements analytiques des simulations
4.3.1.1 Expressions analytiques des paramètres
Dans le cas d’une THI, il est possible de déterminer analytiquement les lois d’évolution de
k, ε et des différentes échelles de longueurs. En effet, le traitement des équations (2.65) et (2.66)
du modèle k − ε, en régime de turbulence incompressible, conduit à des équations de transport
modélisées par l’équation exacte (4.25) et la relation du modèle k − ε (4.26).
∂k
= −ε
∂t
(4.25)
∂ε
∂t = −C ε 2
ε,2
k
(4.26)
Le système différentiel ci-dessus possède une solution analytique. On introduit alors l’échelle de
temps τ T (1.14) liée à l’échelle intégrale dont la valeur correspond au temps de retournement
des tourbillons porteurs d’énergie. L’introduction du changement de variable τ T = k/ε dans le
système (4.25) et (4.26) amène à :
En notant f τ (t) = 1 + (C ε,2 − 1)
dε
ε = −C dt
ε2
(4.27)
τ T
dτ T
= C ε2 − 1 (4.28)
dt
t
τ T 0
, les solutions analytiques de ce système sont de la forme :
τ T (t) = τ T 0 [f τ (t)] (4.29)
1
k(t) = k 0 [f τ (t)]
1−C ε2 (4.30)
ε(t) = ε 0 [f τ (t)] C ε2
1−C ε2 (4.31)
où τ T 0 , ε 0 et k 0 sont respectivement les valeurs à l’instant initial de τ T , k et ε. On a de la même
manière les relations exprimant le comportement des échelles de longueurs :
l T (t) = l T 0 [f τ (t)] 2C ε2 −3
2(C ε2 −1)
(4.32)
λ T (t) = λ T 0 [f τ (t)] 1 2 (4.33)
η(t) = η 0 [f τ (t)]
C ε2
4(C ε2 −1)
(4.34)
Re T = Re T 0 [f τ (t)] C ε2 −2
C ε2 −1
(4.35)
L’ensemble des relations (4.29) à (4.35) constitue la base des expressions analytiques dont
nous allons nous servir pour valider les résultats de THI simulés par le code EVEREST.