Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

48 Chapitre 2. Les équations du problème physique
où ν ′(k) et ν ′′(k) sont respectivement les coefficients stœchiométriques dans le sens direct et
inverse. A α est une espèce chimique du gaz considéré. Si l’espèce α intervient dans plusieurs
réactions chimiques, son taux de production global ˙ω α s’écrit :
kreact ∑
˙ω α = M α
k=1
(
ν ′′ (k)
α
− ν ′ (k)
α
⎡
)
⎢
⎣k (k) ∏n e
f
j=1
′
( ) (k) ν j ρj
− k (k)
b
M j
n e ∏
j=1
′′
) (k)
⎤
ν j
⎥
⎦ (2.18)
M j
avec k (k)
f
et k (k)
b
respectivement les vitesses de réaction dans le sens direct (forward) et inverse
(backward) de la réaction k. Il a été montré expérimentalement que les vitesses de réaction
dépendent de la température et suivent généralement une loi de type Arrhenius :
(
ρj
k f = A f T B f
exp(− θ f
T ) (2.19)
k b = A b T B b
exp(− θ b
T ) (2.20)
où A f , B f , θ f , A b , B b , θ b sont dépendants de la réaction considérée. L’indice b et f faisant
respectivement référence à back et forward.
2.1.2.4 Caractérisation du flux thermique
Dans le cadre de cette étude, la représentation du flux thermique par la relation q = −λ∇T
n’est pas suffisante, compte-tenu de la réactivité de l’écoulement. Ainsi pour caractériser le flux
thermique q i de l’équation (2.9), nous devons considérer l’effet enthalpique de chaque espèce.
Nous définissons d’abord l’enthalpie total H T :
où
H T =
n e ∑
α=1
C α h α + u i u i /2 (2.21)
∫ T
h α = h 0 f,α + C p (T )dT
T 0
h 0 f,α est l’enthalpie de formation de l’espèce α. Le flux de diffusion de la quantité de chaleur
pour un gaz multi-espèces suivant la direction x i est alors décrit par la relation :
q i = −λ ∂T +
∂x i
n e ∑
α=1
En remplaçant la relation (2.14) dans (2.22), on obtient :
q i = −λ ∂T −
∂x i
ne ∑
α=1
ρ α V α
i h α (2.22)
ρD α h α
∂C α
∂x i
(2.23)
La définition de ce flux thermique réactif va nous permettre de rendre compte, dans l’équation
de conservation de l’énergie, de la présence d’espèces réactives. À ce propos, les propriétés de
transport (µ, λ, D) sont étudiées dans le paragraphe 2.1.4.
2.1.3 Adimensionnement
Afin de réduire au mieux les erreurs d’arrondi et de troncature, nous adimensionnons le
système composé des équations (2.15), (2.4) et (2.9) afin de l’intégrer dans le code numérique.