Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

Chapitre 2. Les équations du problème physique 55
Il est intéressant de noter que les valeurs moyennes au sens statistique du terme peuvent
s’obtenir à partir d’une seule réalisation, il faut pour cela que le processus soit ergodique.
Ces deux estimations deviennent alors équivalentes lorsque certaines propriétés statistiques de
la fonction aléatoire considérée sont invariantes par translation spatiale ou temporelle. Ceci
implique que sous certaines conditions, la moyenne d’ensemble pourra se confondre avec la
moyenne temporelle (stationnarité temporelle) ou bien avec la moyenne spatiale (stationnarité
spatiale). Ces deux propriétés seront conjuguées lors de l’étude de la turbulence homogène
isotrope (cf. 4).
2.2.2.2 Moyennes spatiales
La moyenne spatiale volumique dans le domaine d’étude correspond à l’expression suivante :
∫ ∫ ∫
1
f(x, t) = lim
f(x, t)dV (2.47)
V→∞ V V
Cette moyenne sera largement utilisée dans ce travail ; elle sera calculée sur l’ensemble des
l f × m f × n f points du maillage. Nous l’emploierons notamment pour caractériser les montants
d’énergie cinétique turbulente et celui du taux de dissipation de la turbulence, notés respectivement
k et ε, mais qui correspondent implicitement à k et ε.
Si une grandeur est homogène dans un plan horizontal y = cte, on pourra être amené à
considérer une moyenne par plan :
f(y, t) =
∫ ∫
1
lim
Π xz→∞ Π xz
Π xz
f(x, t)dσ (2.48)
Calculée sur l f × n f , cette moyenne permet d’étudier l’évolution verticale des statistiques à un
instant donné. Cela étant, pour les plus grosses structures de l’écoulement, la convergence des
moyennes horizontales ne sera pas forcément assurée et pourra entraîner des variations de ces
moyennes dont il faudra tenir rigueur.
Dans certaines configurations d’écoulements, nous pourrons être amenés à coupler plusieurs
de ces moyennes. Ainsi, lors de l’étude de la paroi en présence de zones de blocages pariétaux
(cf. 5), nous améliorerons la convergence des moyennes horizontales en considérant la nature
stationnaire de l’écoulement. Il s’agira donc d’effectuer une moyenne par plan des moyennes
d’ensemble des moyennes temporelles qui peut se noter :
1
̂f(x, t) = lim
N→∞ N
[
N∑
i=1
lim
Π xz→∞
∫ ∫
1
Π xz
Π xz
(
lim
T →∞
1
T
∫ T/2
−T/2
f(x, t)dt
)
dσ
]
(2.49)
ou schématiquement :
̂f = ˜〈f〉
2.2.2.3 Règles de Reynolds
La décomposition de toute fonction aléatoire A en somme de sa moyenne d’ensemble A et
de sa fluctuation centrée a se traduit formellement par :
A = A + a avec a = 0 (2.50)