Simulation numérique directe de la turbulence en présence d ... - ISAE

Chapitre 2. Les équations du problème physique 57
Ce sont les équations de Reynolds où le terme −ρu ′ i u′ j est le tenseur des contraintes de Reynolds.
On constate qu’en écrivant une équation sur le moment d’ordre n (ici n = 1), pour le champ
moyen et à cause de la non linéarité convective, on obtient le moment d’ordre n + 1, ici le
tenseur de Reynolds. En supposant que l’on ne connaisse alors que le champ moyen, une fermeture
devient nécessaire pour résoudre ces équations. Parmi ces méthodes et conformément à
la classification établie dans le paragraphe 1.2.3.2, nous distinguerons les méthodes statistiques
d’ordre un (modèle k − ε) des méthodes statistiques d’ordre deux (modèle RSTE).
2.2.3.2 Modèle issu de la statistique d’ordre 1 : le modèle k − ε
• Approche phénoménologique du concept de viscosité de turbulence
Supposons que l’écoulement moyen se décompose en filets horizontaux, et que la vitesse
moyenne u i soit croissante suivant la direction x j . Les particules de fluide qui pénètrent dans
un filet par le bas (u ′ j > 0) ont en moyenne une vitesse horizontale plus petite que la vitesse
moyenne du filet : u ′ i < 0. Parallèlement, les particules qui pénètrent par le haut (u′ j < 0) ont
quant à elles une vitesse horizontale plus grande que la vitesse moyenne du filet : u ′ i > 0. Ainsi,
dans les deux situations la contrainte de Reynolds σ ij ′ vérifie σ′ ij ≡ −ρu′ i u′ j > 0. Le même raisonnement
s’applique lorsque la vitesse moyenne U i est décroissante suivant x j et conduit cette fois
à σ ij ′ ≡ −ρu′ i u′ j < 0.
Cette description phénoménologique suggère l’existence d’un frottement turbulent responsable
d’échanges de quantité de mouvement entre les filets du mouvement moyen : des régions
rapides vers les régions lentes. Ainsi, en 1877, Boussinesq [10] fut le premier à introduire le
concept de viscosité tourbillonnaire ou viscosité de turbulence, il proposa d’écrire :
σ ′ ij = µ t
∂u i
∂x j
(2.62)
où µ t > 0 s’interprète comme une viscosité de turbulence. Il s’agit là de traiter la turbulence
comme un état d’agitation de la matière en considérant les mouvements turbulents comme des
mouvements moléculaires, mais avec des molécules dont le libre parcours moyen serait macroscopique
et non plus microscopique. Dans le cadre de cette approximation, le tenseur (complet)
des contraintes de Reynolds, symétrique de trace nulle, s’exprime sous la forme :
(
∂ui
−ρu i u j = µ t + ∂u j
− 2 )
∂u l
δ ij
∂x j ∂x i 3 ∂x l
} {{ }
− 2 3 ρkδ ij (2.63)
2S ij
Le modèle de viscosité de turbulence est présenté ici car il est à la base du modèle k − ε que
nous aller maintenant expliciter plus en détail.
• Équations du modèle k − ε
La question est alors de savoir comment évaluer cette nouvelle inconnue qu’est la viscosité
de turbulence. Dans le modèle k − ε développé initialement par Launder & Jones [31], l’analyse
dimensionnelle de l’expression de la viscosité de turbulence permet d’écrire :
µ t = c µ ρ k2
ε
(2.64)